湖南省长沙市雅礼中学高二数学下学期期末考试试题 理(扫描版)

2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）是z的共轭复数，若z+＝2，（z﹣）i＝2（i为虚数单位），则z＝（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 3．（5分）设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞05．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）6．（5分）已知x，y为正实数，则（）A．2lnx+lny＝2lnx+2lny B．2ln（x+y）＝2lnx•2lnyC．2lnx•lny＝2lnx+2lny D．2ln（xy）＝2lnx•2lny7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．459．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z10．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）设a＝ln，b＝，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，|a n﹣a n﹣1|＝（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10＝（）A．6﹣B．6﹣C．11﹣D．11﹣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝．14．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为15．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是．16．（5分）△ABC中，AB＝1，＝2，则tan∠ACB的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜a，a＞0}，集合B＝{x|＜1}（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A⊊B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c＝5，，求a的值．20．（12分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（I）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a、b、c的值．（II）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在（1.50，1.70]的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）＞0.6826且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）＞0.9544，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布N（1.6，0.01）的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．21．（12分）已知f（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2+1），x∈[1，+∞）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣2a+lnx，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），M 为曲线C1上的动点，动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为（2，），射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x|+a（Ⅰ）若a＝0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）＝x有三个不同的解，求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由于，（z﹣）i＝2，可得z﹣＝﹣2i①又z+＝2 ②由①②解得z＝1﹣i故选：D．2．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．3．【解答】解：由“|x﹣1|＜1”得﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，由x3＜8，得x＜2，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A 不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．5．【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．6．【解答】解：根据指数与对数的运算性质可得：2ln（xy）＝2lnx+lny＝2lnx•2lny．可知：只有D正确，而A，B，C都不正确．故选：D．7．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞＝•＝＝＝，故选：A．8．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．9．【解答】解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．10．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．11．【解答】解：∵a＝ln＜＝﹣1，0＜b＝＜＝1，∴ab＜a+b＜0．故选：B．12．【解答】解：由|a n﹣a n﹣1|＝，则|a2n﹣a2n﹣1|＝，|a2n+2﹣a2n+1|＝，∵数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，且a2n+2﹣a2n＞0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，即a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1，又∵|a2n﹣a2n﹣1|＝＞|a2n+2﹣a2n+1|＝，∴a2n﹣a2n﹣1＜0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＜a2n+1﹣a2n，又|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n＝，当数列{a n}的项数为偶数时，令n＝2m（m∈N*），，…，，，这2m﹣1个等式相加可得，a2m﹣a1＝﹣（）+（），∴＝．∴12a10＝．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴＝+4•+4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|+2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形＝+＝+2；在△OAC中，由余弦定理得||＝＝2，即|+2|＝2．故答案为：2．14．【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故答案为：3．15．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+e x+≥﹣2+2＝0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣＝0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．16．【解答】解：以A为圆心，建立坐标系，如图所示：，∵AB＝1，∴B（1，0），设C（x，y），则＝（1，0），＝（x，y），由＝2，得x＝2，故C（2，y），于是BC＝，AC＝，sin A＝，∴sin C＝＝≤，故tan∠ACB的最大值是，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．【解答】解：（1）将a＝1代入A中不等式得：|x﹣2|＜1，变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3）；由B中不等式变形得：＜0，即（x﹣5）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜5，即B＝（﹣3，5），则A∩B＝（1，3）；（2）∵A⊊B，且A＝（2﹣a，a+2），B＝（﹣3，5），∴，解得：a＜3．18．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，．∴2a1＝22+m，2（a1+a1q）＝23+m，2（a1+a1q+a1q2）＝24+m，联立解得：m＝﹣2，a1＝1，q＝2．∴a n＝2n﹣1．（Ⅱ）数列{b n}满足＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝++……+＝＝．19．【解答】解：（1）由正弦定理得：由于sin C≠0，∴，∴，即，∵0°＜A＜180°，∴﹣30°＜A﹣30°＜150°，∴A﹣30°＝30°，∴A＝60°．（2）∵S△ABC＝bc sin A＝bc＝，∴bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝13，∴．20．【解答】解：（I）由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15．记X为学生的身高，给合图1可得：f（1.30＜X≤1.40）＝f（1.80＜X≤1.90）＝＝0.02，f（1.40＜X≤1.50）＝f（1.70＜X≤1.80）＝＝0.13，f（1.50＜X≤1.60）＝f（1.60＜X≤1.70）＝（1﹣2×0.02﹣2×0.13）＝0.35，又由于组距为0.1，所以a＝0.2，b＝1.3，c＝3.5．（II）以样本的频率估计总体的概率可得：从这批学生中随机选取1名，身高在（1.50，1.70]的概率为0.35+0.35＝0.7．所以随机变量ξ服从二项分布B（3，0.7），故P（ξ＝k）＝•0.7k•0.33﹣k（k＝0，1，2，3）．故ξ的分布列为：∴E（ξ）＝3×0.7＝2.1．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，P（1.50＜X≤1.70）＝0.7＞0.6826，又结合（I），可得：P（1.40＜X≤1.80）＝1﹣0.02×2＝0.96＞0.9544，所以这批学生的身高满足近似于正态分布N（1.50，0.01）的概率分布，所有应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．21．【解答】解：（1）f′（x）＝xe x﹣2ax＝x（e x﹣2a），当a≤时，x∈[1，+∞），f′（x）≥0．∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；当a＞时，由f′（x）＝0，得x＝ln2a．当x∈（1，ln2a）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（1，ln2a）单调递减；在（ln2a，+∞）单调递增．（2）令g（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2﹣1）﹣lnx，问题转化为g（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，则g′（x）＝xe x﹣2ax﹣，注意到g（1）＝0．当a＞时，g′（1）＝e﹣2a﹣1＜0，g′（ln（2a+1））＝ln（2a+1）﹣，因为2a+1＞e，所以ln（2a+1）＞1，g′（ln（2a+1））＞0，所以存在x0∈（1，ln（2a+1）），使g′（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）＜g（1）＝0，不满足题意．当a≤时，g′（x）≥xe x﹣（e﹣1）x﹣＝x[e x﹣（e﹣1）]﹣，因为x＞1，x[e x﹣（e﹣1）]＞1，0＜＜1，所以g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥g（1）＝0，满足题意．综上所述：a≤．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】（1）动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．设P（x，y）M（x0，y0），所以：，则：，由于点M在曲线C1的图象上，则：，即：（θ为参数）．消去参数θ得：（x﹣2a）2+＝4a2（a≠1）．故曲线c2是以（2a，0）为圆心，2|a|为半径的圆．（2）：A点的直角坐标为（1，）．∴直线AO的普通方程为y＝，即：，设B点坐标为（2a+2a cosθ，2a sinθ），则B点到直线的距离：，＝，当时，．所以：，解得：a＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）若a＝0，f（x）＝|x+1|﹣|x|＝，∴当x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣，综合可得﹣≤x＜0．当x≥0 时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）（Ⅱ）设u（x）＝|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和y＝x的图象如右图：由题意易知，把函数y＝u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y＝x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）。

湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下学期期末考试（理）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的共轭复数. 若错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为虚数单位），则错误！未找到引用源。

（）A.错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2．设全集为R，集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A.错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

3．设错误！未找到引用源。

，则“错误！未找到引用源。

”是错误！未找到引用源。

的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设错误！未找到引用源。

是等差数列. 下列结论中正确的是（）A．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

B．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

C．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

D．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

5．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线错误！未找到引用源。

对称的是（）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

6．已知错误！未找到引用源。

为正实数，则（）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

7．已知点错误！未找到引用源。

2024年上学期高二期末考试数学（答案在最后）得分：__________本试卷分第工卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第I 卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}{24},182A xx B x x x =<=--∣∣ ，则A B ⋃=（）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,∞+ D.[)3,∞+2.已知0,0a b >>，设甲:1a b ->，乙1>，则（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件3.设2ln1,log 3,a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a<< D.b a c<<4.某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若y 与x 线性相关，且经验回归方程为.ˆ6ˆ0yx a =-+，则下列说法不正确的是（）时间x 12345销量/y 万只5 4.54 3.5 2.5A.由题中数据可知，变量y 与x 负相关B.当5x =时，残差为0.2C.可以预测当6x =时销量约为2.1万只D.经验回归方程.ˆ6ˆ0yx a =-+中ˆ 5.7a =5.某饮料厂生产,A B 两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为40%,60%，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为20%,80%，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）A.0.12B.0.20C.0.44D.0.326.已知π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2425B.2425-C.725D.725-7.函数()sin 1f x x x x =--在区间()0,∞+上的零点个数为（）A.无穷多个B.4C.2D.08.若正数,a b 满足：32a b ab +=，则a 的最大值为（）A.13 B.14D.2二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.已知函数()πsin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.2π为()f x 的一个周期B.()y f x =的图象关于直线4π3x =对称C.()πf x +的一个零点为π3D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减10.已知向量)()(),cos ,sin 0πa b θθθ==，则下列命题正确的是（）A.若a b ⊥，则tan θ=B.若b 在a 上的投影向量为2a a - ，则向量a 与b 的夹角为2π3C.存在θ，使得a b a b+=+D.a b ⋅11.设函数()ln 1x f x x=-，则下列选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.当0x >时，()f x 的最小值为11e-C.若函数()()g x f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是111,1e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D.函数()()2y f x f x =+的图象关于点()0,2对称第II 卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数()i 0,,z a b a a b =+≠∈R ，则当b a =__________时，复数1iz+对应的点在虚轴上.13.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，则A =__________.14.已知两个不同的正数,a b 满足33(1)(1)a b a b++=，则ab 的取值范围是__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知())22sin ,cos ,,2a x x b x ==，且函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.（本小题满分15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=.（1）求A ；（2）若ABC BC 边上的高为1，求ABC 的周长.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 2xf x a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分17分）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为35.记甲乙两人的答题总次数为()2n n .（1）求p ；（2）当2n =时，求甲得分X 的分布列及数学期望；（3）若答题的总次数为n 时，甲晋级的概率为()n P A .证明：()()()2342153n P A P A P A +++< .19.（本小题满分17分）已知函数()()()e ,ln ,xf x ag x x b a b ==+∈R .（1）当1b =时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）已知直线12,l l 是曲线()y g x =的两条切线，且直线12,l l 的斜率之积为1.（i ）记0x 为直线12,l l 交点的横坐标，求证：01x <；（ii ）若12,l l 也与曲线()y f x =相切，求,a b 的关系式并求出实数b 的取值范围.2024年上学期高二期未考试数学参考答案题号1234567891011答案CBABCCDBACBCDBD一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C 【解析】由182x x -- ，解得3x ，即{}3B x x =∣ ，{}{24},2A x x A B x x =<∴⋃= ∣∣ .故选：C.2.B 【解析】不妨设3,1a b ==，满足1a b ->11=<，充分性不成立，11>⇒>，两边平方得1a b >++，又0b >，故11a b ->+>，必要性成立，故甲是乙的必要不充分条件.故选：B.3.A【解析】ln10a ==，因为222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，故12b <<，122c =>=，所以a b c <<.故选：A.4.B 【解析】对于选项A ，从数据看y 随x 的增大而减小，所以变量y 与x 负相关，故A 正确；对于选项B ，由表中数据知123455 4.54 3.5 2.53, 3.955x y ++++++++====，所以样本中心点为()3,3.9，将样本中心点()3,3.9代入.ˆ6ˆ0yx a =-+中得 3.9 1.8 5.7ˆa =+=，所以经验回归方程为0.6 5.7ˆyx =-+，所以50.65 5.7 2.7, 2.5 2.70.2ˆˆy e =-⨯+==-=-，故B 错误；对于选项C ，当6x =时销量约为0.66 5.7 2.1ˆy=-⨯+=（万只），故C 正确.对于选项D ，由上得 3.9 1.8 5.7ˆa=+=，故D 正确.故选：B.5.C 【解析】由题意，选到非碳酸饮料的概率为()()40%120%60%180%0.44⨯-+⨯-=.故选：C.6.C 【解析】设π6βα=+，则π4,sin 65αββ=-=，所以ππππsin 2sin 2sin 2cos26662αβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()22167cos212sin 2sin 1212525βββ-=--=-=⨯-=.故选：C.7.D【解析】当()0,x ∞∈+时，由()0f x =，即sin 10x x x --=，得1sin 1x x=+，当()0,x ∞∈+时，sin 1x 恒成立，而111x +>恒成立，因此1sin 1x x=+不成立，所以函数()sin 1f x x x x =--在区间()0,∞+上的零点个数为0.故选：D.8.B 【解析】因为,a b 为正数，所以322a b += ，因为32a b ab +=，所以2ab ，所以1 ，所以14a ，当且仅当11,48a b ==时，取等号.故选：B.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.AC 【解析】对于A ，根据函数()πsin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭知最小正周期为2π，故A 正确；对于B ，当4π3x =时，4π4ππsin sinπ0333f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，()2πππ2ππsin ,πsin sinπ03333f x x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+∴+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()πsin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间5π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故选：AC.10.BCD 【解析】因为向量)()(),cos ,sin 0πa b θθθ==，对于A ，由a b ⊥ 得sin 0a b θθ⋅=+= ，解得tan θ=A 错误；对于B ，由b 在a 上的投影向量为2a a -，得1cos ,2b a b =- ，而1b = ，所以1cos ,2a b =- ，又因为[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b =，故B 正确；对于C ，因为当(0)b ta t => 时，a b a b +=+ ，所以()cos 0πsin tθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，因此2221t t +=，解得t =，故C 正确；对于D ，因为()sin a b θθθϕ⋅=+=+，而π0π,0,tan 2θϕϕ<<= ，所以当π2θϕ+=时，a b ⋅ 的最D 正确.故选：BCD.11.BD【解析】对于()()()()ln ln A,10,1x x f x x f x f x =-≠-=+≠-，故A 错误；对于B ，当0x >时，()()()2ln ln 11,,x x f x f x f x x x -=-∴'=在()0,e 上递减，()e,∞+上递增，()f x 的最小值为()1e 1ef =-，故B 正确；对于C ，当0x >时，()()()2ln ln 11,,x x f x f x f x x x-=-∴'=在()0,e 上递减，()e,∞+上递增，且0x →时，(),f x x ∞∞→+→+时，()1f x →；当0x <时，()()()()()()22ln 1ln ln 11,,x x x f x f x f x xxx-----=-=-=∴'在(),e ∞--上递增，()e,0-上递减，且0x →时，(),f x x ∞∞→-→-时，()1f x →，画出图象，知()f x a =不可能有4个零点，故C 错误；对于D ()()ln ln 2,2112x x y f x f x xx =+=-+-，令()ln ln 2ln ln 211222x x x x g x xxxx=-+--=--，()g x 的定义域为{}0x x ≠∣，则()()ln ln 2ln ln 2022x xx xg x g x x x x x ⎛⎫---+=++-= ⎪--⎝⎭，()g x ∴是奇函数，图象关于原点对称，()()2y f x f x ∴=+关于点()0,2对称，故D 正确.故选：BD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.-113.60【解析】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为0180A << ，所以60A = .14.10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将33(1)(1)a b a b++=两边展开，得到22113333a a b b a b +++=+++，从而()()221130a ba b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭，故()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，而a b ≠，故130a b ab ++-=，又0,0a b >>，故133a b ab=++>，从而321+<.设函数()3223g x x x =+，则112g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，观察易得()g x 在()0,∞+12<，又0,0a b >>，所以104ab <<.故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）())22sin ,cos ,,2a x x b x == ，由()2cos 2cos f x a b x x x =⋅=+ πcos212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，得()f x 的最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π2π22π,262k x k k +++∈Z ，得π2πππ,63k x k k ++∈Z，故()f x 的单调递减区间为π2ππ,π,63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，当π7π266x +=时，函数()f x 取得最小值为7π2sin 106+=，当ππ262x +=时，函数()f x 取得最大值为π2sin 132+=，故得函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.16.【解析】（1）因为()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin B A B =.因为在ABC 中，sin 0B ≠，所以1cos 2A =.又因为0πA <<，所以π3A =（2）因为ABC 112a ⨯⨯=，即a =，所以1sin 24bc A ==，所以4bc =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =+-，得2()12324b c bc +=+=，所以b c +=，所以ABC 周长为a b c ++=17.【解析】由题意，()f x 的定义域为(),∞∞-+，且()e xf x a '=-.（1）当1a =时，()e 1xf x '=-，令()0f x '=，解得0x =，∴当(),0x ∞∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，()f x ∴在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.（2）①当0a 时，()e 0xf x a =->'恒成立，()f x 在(),∞∞-+上单调递增，不符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，当(),ln x a ∞∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()ln ,x a ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，()f x ∴的极小值也是最小值为()()()ln ln 21ln f a a a a a a =-+=-+，又当x ∞→-时，()f x ∞→+，当x ∞→+时，()f x ∞→+，∴要使()f x 有两个零点，只要()ln 0f a <即可，则1ln 0a +>，可得1ea >，综上，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.【解析】（1）记i A =“第i 次答题时为甲”，B =“甲积1分”，则()()()()()11441,,1,1,,2555i i i i P A P B A P B A P B A p P B A p ===-==-=∣∣∣∣，()()3141114115255255p p p p ⎡⎤⎡⎤=⋅+⋅-+-⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则33155p +=，解得23p =.（2）由题意可知当2n =时，X 可能的取值为0,1,2，则由（1）可知()315P X ==，()11221202533515P X ⎛⎫==⨯+⨯=⎪⎝⎭，()14114422533515P X ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭，X 的分布列为：X 012P21535415随机变量X 的数学期望为()234170121551515E X =⨯+⨯+⨯=.（3）由答题总次数为n 时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x 甲，乙的积分为x 乙，则2x x -=甲乙，且2x x n +=甲，所以甲晋级时n 必为偶数，令*2,n m m =∈N ，当n 为奇数时，()0n P A =，则()()()()()()2324n n P A P A P A P A P A P A +++=+++ 012134343434515515515515m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭012131154333342313155555153515m m m -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又1m 时，()()()23n P A P A P A +++ 随着m 的增大而增大，()()()2342153n P A P A P A ∴+++< .19.【解析】（1）由于e ln 1x a x + ，则ln 1ex x a +，设()ln 1e x x F x +=，则()()1ln 1,10e x x x F x F --'=='，且1ln 1y x x =--在()0,∞+上单调递减，令()0F x '>得01x <<，令()0F x '<得1x >，所以()F x 在()0,1上单调递增，()1,∞+上单调递减，所以()max ()1F x F =，则()11ea F = .（2）（i ）设两条切线在()g x 上的两个切点横坐标分别为12,x x ，有()()1212111g x g x x x ''=⋅=，即121x x =，此时，切线为：()()()()11221211ln ,ln y x b x x y x b x x x x -+=--+=-，相减得()21211211ln ln x x x x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以212220212222ln ln ln ln 2ln 11x x x x x x x x x x x x -+===---，设()()21212ln ,10k x x x k x x x x⎛⎫=--=-'- ⎪⎝⎭ ，所以()k x 在()0,∞+上单调递减.故当()0,1x ∈时，()()10k x k >=，所以102ln x x x ⎛⎫>>-⎪⎝⎭；当()1,x ∞∈+时，()()10k x k <=，所以102ln x x x ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，则20222ln 11x x x x =<-.（ii ）由题意得，存在实数,s t ，使()f x 在x s =处的切线和()g x 在x t =处的切线重合，所以()()()()f sg t f s g t s t -='=-'，即1ln 1e ln e ss t b a t b t a t s t s t ----===--，则()1ln ,1ln 1s t t t bt s t t b t -=--=---，又因为1e ln ln s a a s t t=⇒+=-，所以()ln ln ln 1ln 1a t s t t t b t =--=--++-，题目转化为()()ln 1ln 1ln h t t t t b t a =--++-=有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为1,m m ，则由()1h m h m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()()1111ln 1ln 1ln 1ln 1m m m b m b m m m m --++-=--++-，化简得()()()()2211111ln 111212b m b m m m m b m m m m m ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭===-+--+-，所以()()()()()ln 1ln 111111a m m b m b m b m b =--+-=----+-=-，所以ln b a =-（也可写为)e b a -=.代入()h t 中得()()ln 1ln 1h t t t t b t b =--++-=-有两个不等实根，即11ln 1t b t t --=⋅+，设()()()()22111ln 11ln 2ln 1ln ,1(1)(1)t t t t t t t t t G t t G t t t t ⎛⎫--+---- ⎪-⎝⎭=⋅'==+++，由于()1ln H t t t t=--在()0,∞+上单调递减且()10H =，所以()G t 在()0,1单调递增，()1,∞+单调递减，而t 无限趋近于0时，()G t 无限趋向于负无穷大，t 无限趋近于正无穷大时，()G t 无限趋向于负无穷大，()10G =，所以10b -<，即1b <.。

【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -2．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()R A B = A ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<3．设x ∈R ，则“11x -<”是38x <的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->5．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+6．已知x ，y 为正实数，则（ ） A ．2lgx+lgy =2lgx +2lgy B ．2lg （x+y ）=2lgx •2lgy C ．2lgx•lgy =2lgx +2lgyD ．2lg （xy ）=2lgx •2lgy7．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A．2B．2C．2-D．32-8．（2021年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．459．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈10．在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）ABC．10-D． 11．设1311ln ,log 22a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+12． 已知数列{}n a 满足1111,||3n n n a a a -=-=（,2)n N n ∈≥，且21{}n a -是递减数列，2{}n a 是递增数列，则1012a =A ．10163-B ．9163-C ．101113- D ．91113-二、填空题13．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 15．已知函数()3xx1f x =x 2x+e -e -，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________．16．ABC ∆中，1,2AB AB AC =⋅=，则tan ACB ∠的最大值为____________.三、解答题17．已知集合A ={}|2,0x x a a -，集合B =22|13x x x -⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭. （1）若1a =，求A B ；（2）若A⊂≠B ，求实数a 的取值范围.18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S m m R +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()()21121log n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C的对边，且cos 1sin A c C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=且ABC ∆a 的值.20．某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则（ ）A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M2．（5分）已知复数z 满足（1﹣i ）2z ＝2﹣4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i3．（5分）下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A ．y =x +1xB ．y =x 2+3x 2+2C ．y ＝e x +e ﹣xD ．y =sinx +1sinx(0＜x ＜π2)4．（5分）若tan α＝2，则2sinα―cosαsinα+2cosα的值为（ ）A ．0B ．34C ．1D ．545．（5分）棱长分别为2，3，5的长方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．24πD ．48π6．（5分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD =π4，若→AB ⋅→AC =2→AB ⋅→AD ，则→AD ⋅→AC =（ ）A ．12B ．16C ．20D ．4107．（5分）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）A ．A 33A 1111B ．2A 33A 1111C ．A 33A 44A 77D ．2A 33A 44A 778．（5分）已知实数λ＞0，记函数构成的集合A λ＝{m （x ）|∀x 1，x 2∈R ，|m （x 2）﹣m （x 1）|＜λ|x 2﹣x 1|}．已知实数α、β＞0，若g （x ）∈A α，h （x ）∈A β，则下列结论正确的是（ ）A ．g （x ）•h （x ）∈A α•βB ．若h （x ）≠0，则g (x )ℎ(x )∈A αβC ．g （x ）﹣h （x ）∈A α﹣βD ．g （x ）+h （x ）∈A α+β二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y =―0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）x 681012y6m32A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．m ＝4C ．可以预测，当x ＝11时，y 约为2.6D ．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）（多选）10．（5分）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|，实数a ，b 满足f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则（ ）A ．2a +2b ＞2B ．∃a ，b ∈R ，使得0＜a +b ＜1C ．2a +2b ＝2D ．a +b ＜0（多选）11．（5分）已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列说法正确的是（ ）A ．P （B |A ）+P （B |A ）＝P （A ）B ．P （B |A ）+P （B |A ）＝1C ．若A ，B 独立，则P （A |B ）＝P （A ）D ．若A ，B 互斥，则P （A |B ）＝P （B |A ）（多选）12．（5分）如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列命题正确的是（ ）A．MB是定值B．点M在圆上运动C．一定存在某个位置，使DE⊥A1CD．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线y＝e x在点（0，1）处的切线方程是 ．14．（5分）若双曲线x2a2―y2b2=1的离心率为3，则其渐近线方程为 ．15．（5分）已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有x（0＜x＜20）个男生与20﹣x个女生，乙队伍中有20﹣x个男生与x个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，X表示所取的2个人中男生的个数，则当方差D（X）取到最大值时，x的值为 ．16．（5分）已知y＝f（x），x∈R满足f（x+2）＝f（x﹣2），f（0）＝0，当x∈（0，4）时，f(x)=lo g2x 4―x ．已知g(x)=2sin(π2x+π)，则函数y＝f（x）﹣g（x），x∈[﹣4，8]的零点个数为 ，这些零点的和为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列{a n}中，2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．（1）求证：A1B⊥B1C；（2）求A1B与平面AEF所成角的正弦值．19．（12分）一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为[5，15），[15，25），[25，35），[35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15）内的小球个数为X，求X的分布列和均值．（以直方图中的频率作为概率）20．（12分）（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边．请用向量方法证明等式a2＝b2+c2﹣2bc cos A；（2）若三个正数a，b，c满足a2＝b2+c2﹣2bc cos A（0＜A＜π），证明：以a，b，c为长度的三边可以构成三角形．21．（12分）已知抛物线x2＝2py，点P（2，8）在抛物线上，直线y＝kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（1）求点P到抛物线焦点的距离；（2）是否存在实数k使→NA⋅→NB=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2+x．（1）证明f（x）≤0；（2）关于x的不等式x2e ax2―xe x+lnx―ax2+x≤0恒成立，求实数a的取值范围．2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁U M＝{1，3}，则（ ）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁U M＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．故选：A．2．（5分）已知复数z满足（1﹣i）2z＝2﹣4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：∵（1﹣i）2z＝2﹣4i，∴﹣2iz＝2﹣4i，∴z=2―4i―2i=―2i2―4i―2i=2+i，∴z=2―i，其虚部为﹣1．故选：B．3．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（ ）A．y=x+1 xB．y=x2+3 x2+2C．y＝e x+e﹣xD．y=sinx+1sinx(0＜x＜π2)【解答】解：当x＜0时，y=x+1x＜0，故A错误；∵x2+2≥2，∴y=x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2在[2，+∞）上单调递增，故当x＝0时，函数取得最小值322，故B错误；∵e x＞0，∴y ＝e x +e ﹣x ≥2e x ⋅e ―x=2，当且仅当x ＝0时取等号，故C 正确；∵0＜x ＜12π，∴0＜sin x ＜1，由y ＝t +1t在（0，1）上单调递减可知，y ＜2，不存在最小值，故D 错误故选：C ．4．（5分）若tan α＝2，则2sinα―cosαsinα+2cosα的值为（ ）A ．0B ．34C ．1D ．54【解答】解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cos α（cos α≠0）得，原式=2sinα―cosαsinα+2cosα=2sinα―cosαcosαsinα+2cosαcosα=2tanα―1tanα+2=34故选：B ．5．（5分）棱长分别为2，3，5的长方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．24πD ．48π【解答】解：∵长方体的棱长分别为2，3，5，∴长方体的对角线长为22+(3)2+(5)2=23，则长方体外接球的半径为3．∴长方体的外接球的表面积为4π×(3)2=12π．故选：B ．6．（5分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD =π4，若→AB ⋅→AC =2→AB ⋅→AD ，则→AD ⋅→AC =（ ）A ．12B ．16C ．20D ．410【解答】解：因为→AB•→AC =2→AB•→AD ，所以→AB•→AC ―→AB•→AD =→AB •（→AC ―→AD ）=→AB •→DC =→AB•→AD ，所以2|→AB |=→AB •→AD ，可得|→AD |cos π4=2，解得|→AD |＝22，所以→AC•→AD =→AD ⋅(→AD +→DC )=→AD 2+→AD ⋅→DC =(22)2+22×2×cos π4=12．故选：A ．7．（5分）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）A ．A 33A 1111B ．2A 33A 1111C ．A 33A 44A 77D ．2A 33A 44A 77【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①将3人的教练组看成一个整体，安排在左端或右端，有2A 33种站法，②将除队长外的11人全排列，安排在剩下11个位置，有A 1111种站法，③将队长安排在中间，有1种情况，则有2A 33A 1111种站法．故选：B ．8．（5分）已知实数λ＞0，记函数构成的集合A λ＝{m （x ）|∀x 1，x 2∈R ，|m （x 2）﹣m （x 1）|＜λ|x 2﹣x 1|}．已知实数α、β＞0，若g （x ）∈A α，h （x ）∈A β，则下列结论正确的是（ ）A ．g （x ）•h （x ）∈A α•βB ．若h （x ）≠0，则g (x )ℎ(x )∈A αβC ．g （x ）﹣h （x ）∈A α﹣βD ．g （x ）+h （x ）∈A α+β【解答】解：因为g （x ）∈A α，h （x ）∈A β，设x 2＞x 1，则﹣α（x 2﹣x 1）＜g （x 2）﹣g （x 1）＜α（x 2﹣x 1），﹣β（x 2﹣x 1）＜h （x 2）﹣h （x 1）＜β（x 2﹣x 1），即有﹣（α+β）（x 2﹣x 1）＜g （x 2）+h （x 2）﹣[g （x 1）+h （x 1）]＜（α+β）（x 2﹣x 1），所以g （x ）+h （x ）∈A α+β，故D 正确；由于h （x ）∈A β，则﹣h （x ）∈A β，即﹣β（x 2﹣x 1）＜﹣[h （x 2）﹣h （x 1）]＜β（x 2﹣x 1），所以﹣（α+β）（x 2﹣x 1）＜g （x 2）﹣h （x 2）﹣[g （x 1）﹣h （x 1）]＜（α+β）（x 2﹣x 1），所以g （x ）﹣h （x ）∈A α+β，故C 错误；根据﹣α（x 2﹣x 1）＜g （x 2）﹣g （x 1）＜α（x 2﹣x 1），﹣β（x 2﹣x 1）＜h （x 2）﹣h （x 1）＜β（x 2﹣x 1），无法得到﹣αβ（x 2﹣x 1）＜g （x 2）h （x 2）﹣g （x 1）h （x 1）＜αβ（x 2﹣x 1），故A 错误；由于|h （x 2）﹣h （x 1）|＜β（x 2﹣x 1），所以1|ℎ(x 2)―ℎ(x 1)|＞1β(x 2―x 1)，又|g（x2）﹣g（x1）|＜α（x2﹣x1），故无法得到|g(x2)ℎ(x2)―g(x1)ℎ(x1)|＜αβ（x2﹣x1），故B错误．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为y=―0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）x681012y6m32 A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m＝4C．可以预测，当x＝11时，y约为2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）【解答】解：对于A，由y=―0.7x+10.3得：b=―0.7，故x，y呈负相关关系，A正确；对于B，x=14×（6+8+10+12）＝9，y=14×（6+m+3+2）=m+114，∴m+114=―0.7×9+10.3，解得m＝5，B错误；对于C，当x＝11时，y＝﹣0.7×11+10.3＝2.6，C正确；对于D，由m＝5知y=4，回归直线必过点（x，y），即必过点（9，4），D正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|，实数a，b满足f（a）＝f（b）（a＜b），则（ ）A．2a+2b＞2B．∃a，b∈R，使得0＜a+b＜1C．2a+2b＝2D．a+b＜0【解答】解：画出函数f（x）＝|2x﹣1|的图象，如图所示，由图知1﹣2a＝2b﹣1，则2a+2b＝2，故A错，C对，由基本不等式可得2=2a+2b＞22a⋅2b=22a+b，所以2a+b＜1，则a+b＜0，故B错，D对．故选：CD．（多选）11．（5分）已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（ ）A．P（B|A）+P（B|A）＝P（A）B．P（B|A）+P（B|A）＝1C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）D．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）【解答】解：选项A中：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故选项A错误，选项B正确；选项C中：A，B独立，则P（AB）＝P（A）P（B），则P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故选项C正确；选项D中：A，B互斥，则P（AB）＝0，根据条件概率公式P（B|A）＝P（A|B）＝0，故选项D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M 为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（ ）A．MB是定值B．点M在圆上运动C．一定存在某个位置，使DE⊥A1CD．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确；由∠A1DE＝∠MFB，MF=12A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以|BM|是定值，故A正确；∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确；在矩形ABCD中，若AB＝2AD，E为边AB的中点，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE，则DE⊥EA1，这与∠DEA1为45°矛盾，∴当AB＝2AD时，不一定存在某个位置，使DE⊥A1C，∴故C不正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线y＝e x在点（0，1）处的切线方程是　x﹣y+1＝0　．【解答】解：由f（x）＝e x，得f′（x）＝e x，∴f′（0）＝e0＝1，即曲线f（x）＝e x在x＝0处的切线的斜率等于1，曲线经过（0，1），∴曲线f（x）＝e x在x＝0处的切线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．14．（5分）若双曲线x2a2―y2b2=1的离心率为3，则其渐近线方程为　y=±2x　．【解答】解：双曲线的离心率e=ca=3即：c=3a，∴c2＝a2+b2＝3a2，∴b2＝2a2，b=2a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax=±2x，故答案是y=±2x15．（5分）已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有x（0＜x＜20）个男生与20﹣x个女生，乙队伍中有20﹣x个男生与x个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，X表示所取的2个人中男生的个数，则当方差D（X）取到最大值时，x的值为　10　．【解答】解：易知X的所有取值为0，1，2，此时P（X＝0）=x20•20―x20=x(20―x)400，P(X=1)=20―x20⋅20―x20+x20⋅x20=(20―x)2+x2400，P(X=2)=x(20―x)400，所以X的分布列为：X012P x(20―x)400(20―x)2+x2400x(20―x)400则E（X）＝0×x(20―x)400+1×(20―x)2+x2400+2×x(20―x)400=1，D（X）＝（0﹣1）2×x(20―x)400+（1﹣1）2×(20―x)2+x2400+（2﹣1）2×x(20―x)400≤1200×（20―x+x2）2，当且仅当x＝10时，等号成立，则当方差D（X）取到最大值时，x的值为10．故答案为：10．16．（5分）已知y＝f（x），x∈R满足f（x+2）＝f（x﹣2），f（0）＝0，当x∈（0，4）时，f(x)=lo g2x 4―x ．已知g(x)=2sin(π2x+π)，则函数y＝f（x）﹣g（x），x∈[﹣4，8]的零点个数为　13　，这些零点的和为　26　．【解答】解：函数y＝f（x），x∈R满足f（x+2）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，当x ∈（0，4）时，f(x)=lo g 2x4―x ，则有4﹣x ∈（0，4），所以f （4﹣x ）＝log 24―x x=―log 2x 4―x=―f （x ），所以f （x ）的图象关于（2，0）中心对称，而f （4）＝f （0）＝0，因此函数y ＝f （x ），x ∈R 的图象关于点（4k +2，0）（k ∈Z ）对称，函数g(x)=2sin(π2x +π)=―2sin π2x 的周期T =2ππ2=4，g （4﹣x ）＝2sin[π2（4﹣x ）+π]＝2sin[2π+（π-π2x ）]＝2sin （π-π2x ）＝2sin π2x ＝﹣g （x ），所以点（2，0）是g （x ）的图象的一个对称中心，因此g （x ）的图象关于点（4k +2，0）（k ∈Z ）对称，所以点（4k +2，0）（k ∈Z ）是函数y ＝f （x ）与函数y ＝g （x ）的图象的对称中心，由f （x ）﹣g （x ）＝0，得f （x ）＝g （x ），因此函数y ＝f （x ）﹣g （x ）的零点即为函数y ＝f （x ）与函数y ＝g （x ）的图象交点横坐标，作出函数y ＝f （x ），y ＝g （x ）在区间（0，4）的图象，如图所示：由图象知，函数y ＝f （x ）与函数y ＝g （x ）在区间（0，4）上有3个公共点，公共点的横坐标和为3×2＝6，于是函数y ＝f （x ）与函数y ＝g （x ）在区间（﹣4，0）上有3个公共点，公共点的横坐标和为3×（﹣2）＝﹣6，函数y ＝f （x ），y ＝g （x ）在区间（4，8）上有3个公共点，公共点的横坐标和为3×6＝18，因为f （0）＝0，则f （﹣4）＝f （0）＝f （4）＝f （8）＝0，又g（﹣4）＝g（0）＝g（4）＝g（8）＝0，所以函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4，8]上共有3×3+4＝13个零点，它们的和为﹣4﹣6+0+6+4+18+8＝26．故答案为：13；26．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列{a n}中，2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵2a2+a3+a5＝20，且前10项和S10＝100，∴4a1+8d＝20，10a1+10×92d＝100，联立解得a1＝1，d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（II）b n=1a n a n+1=1(2n―1)(2n+1)=12(12n―1―12n+1)，∴数列{b n}的前n项和=12[(1―13)+(13―15)+⋯+(12n―1―12n+1)]=12(1―12n+1)=n2n+1．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．（1）求证：A1B⊥B1C；（2）求A1B与平面AEF所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所以AA1⊥平面ABC，又AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥AA 1，又AC ⊥AB ，AB ∩AA 1＝A ，AA 1，AB ⊂平面ABA 1，所以AC ⊥平面ABA 1，又A 1B ⊂平面ABA 1，则AC ⊥A 1B ，又A 1B ⊥AB 1，AC ∩AB 1＝A ，AB 1，AC ⊂平面ACB 1，所以A 1B ⊥平面ACB 1，又B 1C ⊂平面ACB 1，所以A 1B ⊥B 1C ；（2）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），A 1（0，0，2），B （2，0，0），B 1（2，0，2），C （0，2，0），F （1，1，0），E （0，2，1），则→A 1B =（2，0，﹣2），|A 1B |＝22，→AF =（1，1，0），→AE =（0，2，1），设平面AEF 的法向量为→n =（x ，y ，z ），则{→n ⋅→AE =0→n ⋅→AF =0，得{2y +z =0x +y =0，令y ＝﹣1，则x ＝1，z ＝2，∴平面AEF 的一个法向量为→n =（1，﹣1，2），设直线A 1B 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜→n ，→A 1B ＞|=|→n ⋅→A 1B ||→n ||→A 1B |=|1×2―2×2|6×22=243=36．即直线A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值为36．19．（12分）一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为[5，15），[15，25），[25，35），[35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15）内的小球个数为X ，求X 的分布列和均值．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得（0.02+0.032+a +0.018）×10＝1，解得a ＝0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：X =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体可知：一个盒子中小球的重量在[5，15]内的概率为0.2；则X ～B （3，15），X ＝0，1，2，3；P （X ＝0）=C 03×（45）3=64125；P （X ＝1）=C 13×（45）2×15=48125；P （X ＝2）=C 23×（45）×（15）2=12125；P （X ＝3）=C 33×（15）3=1125，∴X 的分布列为：X 0123P6412548125121251125即E （X ）＝0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．20．（12分）（1）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边．请用向量方法证明等式a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ；（2）若三个正数a ，b ，c 满足a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A （0＜A ＜π），证明：以a ，b ，c 为长度的三边可以构成三角形．【解答】证明：（1）因为→BC =→AC ―→AB ，则→BC 2＝（→AC ―→AB ）2=→AC 2+→AB 2﹣2→AC ⋅→AB＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以a 2＝b 2+22﹣2b cos A ，得证．（2）因为b 2+c 2﹣2bc ＜a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＜b 2+c 2+2bc ，所以（b ﹣c ）2＜a 2＜（b +c ）2，所以|b ﹣c |＜a ＜b +c ，则{a ＜b +cb ―c ＜a c ―b ＜a ，所以{a ＜b +c b ＜a +c c ＜a +b，所以a ，b ，c 为长度的三边可以构成三角形，得证．21．（12分）已知抛物线x 2＝2py ，点P （2，8）在抛物线上，直线y ＝kx +2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（1）求点P 到抛物线焦点的距离；（2）是否存在实数k 使→NA ⋅→NB =0，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）将点P （2，8）代入抛物线方程，则p =14，x 2=12y ，抛物线焦点F(0，18)，则点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离|PF|=8+18=658．（2）存在，证明如下：如图，设A(x1，2x21)，B(x2，2x22)，把y＝kx+2代入y＝2x2得2x2﹣kx﹣2＝0，Δ＝k2+16＞0，由根与系数的关系得x1+x2=k2，x1x2=―1．∴x N=x M=x1+x22=k4，∴N点的坐标为(k4，k28)．假设存在实数k，使→NA⋅→NB=0，则NA⊥NB，又∵M是AB的中点，∴|MN|=12|AB|．由（1）知，y M=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k24+2，∵MN⊥x轴，∴|MN|=|y M―y N|=k24+2―k28=k2+168，又|AB|=1+k2|x1―x2|=1+k2(x1+x2)2―4x1x2=1+k2(k2)2―4×(―1)=12k2+1k2+16，∴k2+168=14k2+1k2+16⇒k2+16=2k2+1，两边同时平方得：k2+16＝4（k2+1），解得k＝±2，即存在k＝±2，使→NA⋅→NB=0．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2+x．（1）证明f（x）≤0；（2）关于x的不等式x2e ax2―xe x+lnx―ax2+x≤0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：f'(x)=1x―2x+1=―2x2―x―1x=―(2x+1)(x―1)x，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1，所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1），即f（x）≤0．（2）解：由x2e ax2―xe x+lnx―ax2+x≤0得e2lnx―ax2+2lnx﹣ax2≤e lnx﹣x+lnx﹣x，因为g（x）＝e x+x为增函数，则2lnx﹣ax2≤lnx﹣x，则a≥lnx+xx2，令h（x）=lnx+xx2，则h′（x）=1―x―2lnxx3，由h′（x）＞0，可得0＜x＜1，由h′（x）＜0，可得x＞1，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，h（x）最大值为h（1）＝1，所以实数a的取值范围是[1，+∞），。

雅礼中学2018年上学期期末考试试卷高二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 是的共轭复数. 若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先设z=x+yi，（x,y∈R），由题得关于x,y的方程组，解方程组得x,y的值即得z的值. 详解：设z=x+yi，（x,y∈R），由题得故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数的共轭复数复数相等:.2. 设全集为R，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设，则“”是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.详解：由得-1＜x-1＜1，所以0＜x＜2.由得x＜2，因为，所以“”是的充分不必要条件.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：（1）若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；（2）若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；（3）若且，即时，则是的充要条件.4. 设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：本题可使用举反例法排除错误选项．A项中，取，可见命题是错误的；B项中，取，可见命题是错误的；D项中，取，可见命题是错误的；而C项中，，因为，所以，可得，故本题的正确选项为C.考点：等差数列的运用.5. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．详解：首先根据函数y=lnx的图象，则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．故答案为：B．点睛：本题主要考查函数图像的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.6. 已知为正实数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由对数与指数的运算法则，知，，所以，故D正确，故选D．考点：指数与对数的运算．7. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，向量在方向上的投影为，故选A．8. 【2018天津，文2】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y 的最大值．详解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.9. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知，，解得，，所以，令，解得<<，，故单调减区间为(，)，，故选D．【名师点睛】本题考查函数的图象与性质，先列出关于的方程，求出，或利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求出是解题的关键.10. 在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.视频11. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较的大小关系得解.详解：由题得＜ln1=0,>. 所以ab<0..所以，所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.12. 已知数列满足，且是递减数列，是递增数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），则过点（3，0）且斜率为的直线l被曲线C截得的线段中点的坐标为（）A . （﹣，﹣）B . （，﹣）C . （﹣2，﹣4）D . （，﹣）2. （2分） (2016高二下·金沙期中) 曲线（φ为参数）上的点到直线（t为参数）的距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分） (2019高二下·合肥期中) 在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为（）A .B .C .4. （2分） (2019高二下·太原月考) 在极坐标系下，极坐标方程表示的图形是（）A . 两个圆B . 一个圆和一条直线C . 一个圆和一条射线D . 一条直线和一条射线5. （2分） (2019高二下·珠海期末) 从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有（）种A . 1190B . 420C . 560D . 33606. （2分） (2015高三上·东莞期末) 高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（）A . 864种B . 432种C . 288种D . 144种7. （2分） (2017高二下·淄川期末) 某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A . 16B . 18D . 328. （2分）展开式中系数最大的项为（）A . 第4项B . 第5项C . 第7项D . 第8项9. （2分） (2019高二下·大庆期末) 在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（）A .B .C . 1D . -110. （2分） (2016高一下·唐山期末) 设（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），是变量x和y的n 个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（）A . x和y正相关B . x和y的相关系数为直线l的斜率C . x和y的相关系数在﹣1到0之间D . 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同11. （2分） (2017高一上·肇庆期末) 已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（）x0134y 2.4 4.5 4.6 6.5A . 2.64B . 2.84C . 3.95D . 4.3512. （2分） (2019高二下·吉林期末) 随机变量服从正态分布，若，，则（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）(2012·新课标卷理) 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．14. （1分） (2020高二下·天津期中) 某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现已知有6种原料可用，但甲､乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，因此不同的实验方案种数共有________.15. （2分） (2017高二上·孝感期末) 已知随机变量ξ～B（n，p），若，，则n=________，p=________．16. （2分）一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2020高二下·东莞月考) 在（，且）的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为256，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，求展开式中各项的系数的绝对值之和.18. （5分）(2020·新沂模拟) 记为从个不同的元素中取出个元素的所有组合的个数．随机变量表示满足的二元数组中的，其中，每一个（ 0,1,2, , ）都等可能出现．求．19. （5分） (2017高二下·邢台期末) 为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了50名女性和50名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图（Ⅰ）完成下列2×2列联表：喜欢旅游不喜欢旅游合计女性男性合计（II）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）20. （10分） (2019高二下·大庆期末) “初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6.统计数据如下表所示：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀40学习成绩一般20合计200（1）完成列联表（应适当写出计算过程）；（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.参考公式：其中21. （10分） (2017高三下·新县开学考) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．22. （5分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为．（Ⅰ）求直线C1、圆C2的普通方程；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A、B，求弦AB的长．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

长沙市高二下学期数学期末考试试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·上海月考) 若为非零实数,则以下四个命题都成立:① ②③若则④若则则对于任意非零复数上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2015高二上·福建期末) 下列有关命题的说法正确的是（）A . “若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”B . “x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的根的逆命题是真命题C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题3. （2分） (2017高二下·宜春期中) 已知数列：1，a+a2 ， a2+a3+a4 ， a3+a4+a5+a6 ，…，则数列的第k项为（）A . ak+ak+1+…+a2kB . ak﹣1+ak+…+a2k﹣1C . ak﹣1+ak+…+a2kD . ak﹣1+ak+…+a2k﹣24. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.954 4，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826．若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A . 0.1359B . 0.1358C . 0.2718D . 0.27165. （2分）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·宾阳期中) 用数学归纳法证明不等式＜1+ + + +…+ ＜n+1（n ＞1，n∈N*）的过程中，当n=2时，中间式子为（）A . 1B . 1+C . 1+ +D . 1+ + +7. （2分）分类变量x和y的列联表如下，则（）y1y2总计x1a b a+bx2c d c+d总计a+c b+d a+b+c+dA . ad﹣bc越小，说明x与y的关系越弱B . ad﹣bc越大，说明x与y的关系越弱C . （ad﹣bc）2越大，说明x与y的关系越强D . （ad﹣bc）2越小，说明x与y的关系越强8. （2分）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有（）种．A . 432B . 384C . 308D . 2889. （2分）已知随机变量X服从二项分布，，则P(X=2)等于（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·鹰潭模拟) 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l，与该抛物线及其准线从上向下依次交于A，B，C三点，若|BC|=3|BF|，且|AF|=3，则该抛物线的标准方程是（）A . y2=2xB . y2=3xC . y2=4xD . y2=6x11. （2分）在等差数列中，已知，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·西安期末) 给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）dx=________14. （1分） (2016高二下·海南期末) 具有线性相关的两个随机变量x，y可用线性回归模型y=bx+a+e表示，通常e是随机变量，称为随机误差，它的均值E（e）=________．15. （1分） (2017高二上·驻马店期末) 已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为________．16. （1分）已知函数f（x）=，a∈R，若f[f（﹣1）]=1，则a=________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2016·桂林模拟) 如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（1）求sin∠ABD的值；（2）求△BCD的面积．18. （15分） (2016高一下·南沙期末) 已知正数数列{an}的前n项和为Sn ，点P（an ， Sn）在函数f （x）= x2+ x上，已知b1=1，3bn﹣2bn﹣1=0（n≥2，n∈N*），（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn；（3）是否存在整数m，M，使得m＜Tn＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9，说明理由．19. （5分）(2017·江苏) 已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．20. （15分） (2016高二上·平原期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，PA=BD= ，AB=AD，E为PC的中点．（1）求证：BC⊥AB；（2）求AB的长；（3）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．21. （10分） (2018高二上·定远期中) 已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆C的焦点；（2）已知点在椭圆C上，点是椭圆C上不同于的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.22. （10分）(2020·海南模拟) 已知的图象在处的切线方程为.（1）求常数的值；（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

湖南省长沙市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·平顶山期末) 设命题P：∃n∈N，n2＞2n ，则￢P为（）A . ∀n∈N，n2＞2nB . ∃n∈N，n2≤2nC . ∀n∈N，n2≤2nD . ∀n∉N，n2≤2n2. （2分）设复数z满足|z﹣3﹣4i|=1，其中i为虚数单位，则|z|的最大值是（）A . 3B . 4C . 5D . 63. （2分） (2018高二下·科尔沁期末) 设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则 p为（）A . ∃x0∈R, +1>0B . ∃x0∈R, +1≤0C . ∃x0∈R, +1<0D . ∀x∈R,x2+1≤04. （2分）在下列命题中：①若向量共线，则向量所在直线平行②若三个向量两两共面，则共面；③已知空间的三个向量，则对空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得。

其中正确的命题个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）(2018·宣城模拟) 已知，关于的方程（）有四个不同的实数根，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·黑龙江月考) 如下分组正整数对:第组为第组为第组为第组为依此规律,则第组的第个数对是（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高二下·福州期中) 设a，b，c都是正数，那么三个数a+ ，b+ ，c+ （）A . 都不大于2B . 都不小于2C . 至少有一个不大于2D . 至少有一个不小于28. （2分）(2017·安徽模拟) ，则实数a等于（）A . 1B .C . ﹣1D .9. （2分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与DC1所成角的大小为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·南宁月考) 设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A .B . 1C . 2D . 不确定11. （2分）已知点F1 ， F2是双曲线（a>0,b>0）的左右焦点，点P是双曲线上的一点，且，则△PF1F2面积为（）A .B .C .D .12. （2分）若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为（）A . (－∞，0)B . (－∞，－2)C . (－2，－1)D . (－2,0)二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 直角中，，为边上的点，且，则 ________；若，则 ________．14. （1分） (2018高二下·如东月考) 椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线________ 上15. （1分）直线2xcosα﹣y﹣3=0（α∈[ ， ]）的倾斜角的范围是________．16. （1分）(2018·南京模拟) 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高二下·辽源月考) 已知p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x 的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18. （5分） (2018高二下·如东月考) 用数学归纳法证明： .19. （15分）(2017·黄陵模拟) 已知函数f（x）=x3﹣ax，g（x）= x2﹣lnx﹣．（1）若f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值；（2）对于一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，求实数a的取值范围；（3）设G（x）= x2﹣﹣g（x），求证：G（x）＞﹣．20. （10分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB的上一点，且AD=tAB．（1）当t= 时，求证：BC1∥平面A1CD；（2）若AB=AA1，且t= ，求平面A1CD与平面BB1C1C所成锐二面角的余弦值．21. （10分） (2017高二上·太原月考) 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；22. （5分）已知函数f（x）=ax2﹣x+2ln（x+1）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

雅礼中学201８年上学期期末考试试卷高二理科数学一、选择题:本题共1２小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、是的共轭复数、若(为虚数单位),则 ( )A、Ｂ、 C、Ｄ、【答案】D【解析】分析:先设z＝x+yi,(ｘ,ｙ∈R),由题得关于x,y的方程组,解方程组得x,y的值即得z的值。

详解:设z=x+ｙi,(x,y∈R),由题得故答案为:Ｄ。

点睛:(1)本题主要考查复数的计算和复数相等的概念,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力、(2) 复数的共轭复数复数相等:。

2。

设全集为R,集合,,则 ( )A。

B、 C。

D、【答案】B【解析】分析:由题意首先求得,然后进行交集运算即可求得最终结果、详解:由题意可得:,结合交集的定义可得:、本题选择B选项、点睛:本题主要考查交集的运算法则,补集的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力、3。

设,则“”是的( )Ａ、充分而不必要条件 B。

必要而不充分条件Ｃ。

充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】Ａ【解析】分析:先化简两个不等式,再利用充要条件的定义来判断、详解:由得—1＜x－１＜１,因此０〈x<2。

由得x〈2,因为,因此“"是的充分不必要条件。

故答案为:A、点睛:(1)本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力、(２)本题利用集合法判断充要条件,首先分清条件和结论;然后化简每一个命题,建立命题和集合的对应关系。

,;最后利用下面的结论判断:(1)若,则是的充分条件,若,则是的充分非必要条件;(2)若,则是的必要条件,若,则是的必要非充分条件;(3)若且,即时,则是的充要条件、4、设是等差数列、下列结论中正确的是( )Ａ。

若,则Ｂ、若,则C、若,则D、若,则【答案】C【解析】试题分析:本题可使用举反例法排除错误选项、A项中,取,可见命题是错误的;B项中,取,可见命题是错误的;Ｄ项中,取,可见命题是错误的;而Ｃ项中,,因为,因此,可得,故本题的正确选项为C。