湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题(理科)

湖南省长沙市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·晋江期中) 复数z满足，则A .B . 2C .D .2. （2分） (2019高一上·罗庄期中) 设集合，，若，则实数a的取值范围是A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·吉林期中) 三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（）A .B .C .D . 不确定4. （2分）在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A .B .C .D .5. （2分）“渐升数” 是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458) ,若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列.则第30个数为（）A . 1278B . 1346C . 1359D . 15796. （2分）甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制．现在的情形是甲胜3局，乙胜2局．若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 随机变量X～B（n，），E（X）=3，则n=（）A . 8B . 12C . 16D . 208. （2分）由1，2，3，4能组成被3整除且没有重复数字的三位数的个数是（）A . 6个B . 12个C . 18个D . 24个9. （2分）求（x2+2）（）6的展开式的常数项是（）A . 15B . ﹣15C . 17D . ﹣1710. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了72名员工进行调查，所得的数据如表所示：积极支持改革不太支持改革合计工作积极28836工作一般162036合计442872对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是（参考公式与数据：．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当Χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当Χ2＜3.841时认为事件A与B无关．）（）A . 有99%的把握说事件A与B有关B . 有95%的把握说事件A与B有关C . 有90%的把握说事件A与B有关D . 事件A与B无关11. （2分） (2017高二下·深圳月考) 有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A .B .C .D .12. （2分）从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（）A . 3B . 5C . 6D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·惠来期中) 已知复数z满足|z|=1，则|z﹣1﹣i|的最大值为________．14. （1分）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)15. （1分）若（x3+x﹣2）n的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是________．16. （1分）某城市近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是________ 亿元．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）(2018·中原模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线，直线，直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线的参数方程以及直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于两点，直线与曲线分别交于两点，求的面积．18. （15分） (2017高三上·漳州开学考) 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程 = x+ ．（参考公式： = ， = ﹣）19. （10分）(2018·河南模拟) 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.（1）求甲获得奖品的概率；（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望.20. （10分）(2017·福州模拟) 选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．21. （10分） (2017高二下·淄川期中) 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X 的分布列及数学期望．22. （5分）(2017·太原模拟) 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图．这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁________ ________________年龄超过40岁________________________合计________________________（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望．附：；P（K2≥k0）0.150.100.050.01k0 2.072 2.706 3.841 6.635参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

长沙市高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·湖南模拟) 已经集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·汕头期中) 如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（）A . ,B . ,C . ,D . ,3. （2分）双曲线的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若此圆在点处的切线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）设等比数列的前n项和为，若，则（）A . 2B .C .D . 45. （2分）已知,若向区域上随机投1个点P,则点P落入区域A的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·河北模拟) 已知，则下列选项中错误的是（）A .B .C .D .7. （2分）如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC . 12πD . 24π8. （2分） (2018高三上·西安模拟) 在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（）A .B .C . 6D . 79. （2分）(2017·重庆模拟) 某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），…，若程序运行中输出一个数组是（x，﹣10），则数组中的x=（）A . 16B . 32C . 64D . 12810. （2分）不等式组表示的平面区域是（）A . 矩形B . 三角形C . 直角梯形D . 等腰梯形11. （2分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3 ，则关于x的方程f（x）=|c osπx|在[﹣， ]上的所有实数解之和为（）A . ﹣7B . ﹣6C . ﹣3D . ﹣112. （2分）设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若，且，则”为真命题的是（）A . x为直线,y,z为平面B . x,y,z为平面C . x,y为直线,z为平面D . x,y,z为直线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·绵阳期中) 设，若复数 (是虚数单位)的实部为，则________．14. （1分）（x+3）（2x﹣）5的展开式中常数项为________．15. （1分）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω=________16. （1分） (2016高二下·浦东期末) 双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2017·河北模拟) 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ，且S1 ， S2 ， S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2017高二下·友谊开学考) 有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费（消费金额不超过1000元），其中有女士1100名，男士900名、该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如下表：（消费金额单位：元）女士消费情况：消费金额（0，200）[200，400）[400，600）[600，800）[800，1000]人数10253530x男士消费情况：消费金额（0，200）[200，400）[400，600）[600，800）[800，1000]人数153025y5附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879（K2= ，n=a+b+c+d）（1）计算x，y的值；在抽出的200名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”女士男士总计网购达人非网购达人总计19. （5分） (2019高二上·田阳月考) 如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，，，与平面所成角的正切值为 .(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)若是的中点，求二面角的余弦值.20. （10分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆过点，右顶点为点．（1）若直线与椭圆相交于点两点（不是左、右顶点），且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）是椭圆的两个动点，若直线的斜率与的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．21. （10分） (2018高二下·遂溪月考) 已知函数 .（1）若，求函数的单调区间；（2）若，函数有两个极值点，且，求证： .22. （10分） (2016高三上·兰州期中) 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．23. （10分）(2018·广东模拟) 已知 .（1）当，时，求不等式的解集；（2）当，时，的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

湖南省长沙市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·肇庆期末) 若z=4+3i，则 =（）A . 1B . ﹣1C . + iD . ﹣ i2. （2分）设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为A .B . [-1,0]C . [0,1]D .3. （2分）“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）．A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 大前提和小前提都错误4. （2分）已知函数f（x）=（x+3）（x+2）（x+1）x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3），则f′（1）的值为（）A . 24B . 48C . ﹣48D . 05. （2分）设a ， b＞0，,，则A ， B的大小关系是（）A . A＝BB . A<BC . A>BD . 大小不确定6. （2分）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）若函数f（x）= x3﹣（a+ ）x2+（a2+a）x﹣a2+ 有两个以上的零点，则a的取值范围是（）A . （﹣2，﹣1）B . （﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C .D .8. （2分）(2017·静安模拟) 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A . 336种B . 320种C . 192种D . 144种9. （2分）已知随机变量X服从二项分布X～B（6，），则P（X=2）等于（）A .B .C .D .10. （2分）下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（）①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x ．A . ①②B . ②③C . ③④D . ①③11. （2分）已知x，y，z为非零实数，代数式 + + + 的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A . 4∈MB . 2∈MC . 0∉MD . ﹣4∉M12. （2分）已知函数，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·葫芦岛月考) 若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是________．14. （1分）某文艺团体下基层进行宣传演出原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这两个小品节目在节目表中既不排在排头也不排在排尾，有________种不同的插入方法．15. （1分） (2016高二下·日喀则期末) 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．16. （1分） (2017高二上·新余期末) 已知随机变量ξ的分布列为（如表所示）：设η=2ξ+1，则η的数学期望Eη的值是________．ξ﹣101P三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）已知二项式 .（1）若它的二项式系数之和为 .①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.18. （5分） (2019高二下·荆门期末) 设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.19. （5分）如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，电阻断路的可能性共有多少种情况.20. （10分） (2015高三上·太原期末) 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．21. （5分） (2018高三上·邹城期中) 设函数 (为常数，是自然对数的底数),若曲线在点处切线的斜率为 .（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）令，试讨论函数的单调性.22. （10分）(2018·宝鸡模拟) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为，求的分布列、数学期望和方差.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）是z的共轭复数，若z+＝2，（z﹣）i＝2（i为虚数单位），则z＝（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 3．（5分）设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞05．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）6．（5分）已知x，y为正实数，则（）A．2lnx+lny＝2lnx+2lny B．2ln（x+y）＝2lnx•2lnyC．2lnx•lny＝2lnx+2lny D．2ln（xy）＝2lnx•2lny7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．459．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z10．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）设a＝ln，b＝，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，|a n﹣a n﹣1|＝（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10＝（）A．6﹣B．6﹣C．11﹣D．11﹣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝．14．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为15．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是．16．（5分）△ABC中，AB＝1，＝2，则tan∠ACB的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜a，a＞0}，集合B＝{x|＜1}（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A⊊B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c＝5，，求a的值．20．（12分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（I）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a、b、c的值．（II）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在（1.50，1.70]的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）＞0.6826且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）＞0.9544，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布N（1.6，0.01）的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．21．（12分）已知f（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2+1），x∈[1，+∞）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣2a+lnx，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），M 为曲线C1上的动点，动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为（2，），射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x|+a（Ⅰ）若a＝0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）＝x有三个不同的解，求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由于，（z﹣）i＝2，可得z﹣＝﹣2i①又z+＝2 ②由①②解得z＝1﹣i故选：D．2．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．3．【解答】解：由“|x﹣1|＜1”得﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，由x3＜8，得x＜2，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A 不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．5．【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．6．【解答】解：根据指数与对数的运算性质可得：2ln（xy）＝2lnx+lny＝2lnx•2lny．可知：只有D正确，而A，B，C都不正确．故选：D．7．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞＝•＝＝＝，故选：A．8．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．9．【解答】解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．10．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．11．【解答】解：∵a＝ln＜＝﹣1，0＜b＝＜＝1，∴ab＜a+b＜0．故选：B．12．【解答】解：由|a n﹣a n﹣1|＝，则|a2n﹣a2n﹣1|＝，|a2n+2﹣a2n+1|＝，∵数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，且a2n+2﹣a2n＞0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，即a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1，又∵|a2n﹣a2n﹣1|＝＞|a2n+2﹣a2n+1|＝，∴a2n﹣a2n﹣1＜0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＜a2n+1﹣a2n，又|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n＝，当数列{a n}的项数为偶数时，令n＝2m（m∈N*），，…，，，这2m﹣1个等式相加可得，a2m﹣a1＝﹣（）+（），∴＝．∴12a10＝．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴＝+4•+4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|+2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形＝+＝+2；在△OAC中，由余弦定理得||＝＝2，即|+2|＝2．故答案为：2．14．【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故答案为：3．15．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+e x+≥﹣2+2＝0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣＝0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．16．【解答】解：以A为圆心，建立坐标系，如图所示：，∵AB＝1，∴B（1，0），设C（x，y），则＝（1，0），＝（x，y），由＝2，得x＝2，故C（2，y），于是BC＝，AC＝，sin A＝，∴sin C＝＝≤，故tan∠ACB的最大值是，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．【解答】解：（1）将a＝1代入A中不等式得：|x﹣2|＜1，变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3）；由B中不等式变形得：＜0，即（x﹣5）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜5，即B＝（﹣3，5），则A∩B＝（1，3）；（2）∵A⊊B，且A＝（2﹣a，a+2），B＝（﹣3，5），∴，解得：a＜3．18．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，．∴2a1＝22+m，2（a1+a1q）＝23+m，2（a1+a1q+a1q2）＝24+m，联立解得：m＝﹣2，a1＝1，q＝2．∴a n＝2n﹣1．（Ⅱ）数列{b n}满足＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝++……+＝＝．19．【解答】解：（1）由正弦定理得：由于sin C≠0，∴，∴，即，∵0°＜A＜180°，∴﹣30°＜A﹣30°＜150°，∴A﹣30°＝30°，∴A＝60°．（2）∵S△ABC＝bc sin A＝bc＝，∴bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝13，∴．20．【解答】解：（I）由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15．记X为学生的身高，给合图1可得：f（1.30＜X≤1.40）＝f（1.80＜X≤1.90）＝＝0.02，f（1.40＜X≤1.50）＝f（1.70＜X≤1.80）＝＝0.13，f（1.50＜X≤1.60）＝f（1.60＜X≤1.70）＝（1﹣2×0.02﹣2×0.13）＝0.35，又由于组距为0.1，所以a＝0.2，b＝1.3，c＝3.5．（II）以样本的频率估计总体的概率可得：从这批学生中随机选取1名，身高在（1.50，1.70]的概率为0.35+0.35＝0.7．所以随机变量ξ服从二项分布B（3，0.7），故P（ξ＝k）＝•0.7k•0.33﹣k（k＝0，1，2，3）．故ξ的分布列为：∴E（ξ）＝3×0.7＝2.1．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，P（1.50＜X≤1.70）＝0.7＞0.6826，又结合（I），可得：P（1.40＜X≤1.80）＝1﹣0.02×2＝0.96＞0.9544，所以这批学生的身高满足近似于正态分布N（1.50，0.01）的概率分布，所有应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．21．【解答】解：（1）f′（x）＝xe x﹣2ax＝x（e x﹣2a），当a≤时，x∈[1，+∞），f′（x）≥0．∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；当a＞时，由f′（x）＝0，得x＝ln2a．当x∈（1，ln2a）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（1，ln2a）单调递减；在（ln2a，+∞）单调递增．（2）令g（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2﹣1）﹣lnx，问题转化为g（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，则g′（x）＝xe x﹣2ax﹣，注意到g（1）＝0．当a＞时，g′（1）＝e﹣2a﹣1＜0，g′（ln（2a+1））＝ln（2a+1）﹣，因为2a+1＞e，所以ln（2a+1）＞1，g′（ln（2a+1））＞0，所以存在x0∈（1，ln（2a+1）），使g′（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）＜g（1）＝0，不满足题意．当a≤时，g′（x）≥xe x﹣（e﹣1）x﹣＝x[e x﹣（e﹣1）]﹣，因为x＞1，x[e x﹣（e﹣1）]＞1，0＜＜1，所以g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥g（1）＝0，满足题意．综上所述：a≤．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】（1）动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．设P（x，y）M（x0，y0），所以：，则：，由于点M在曲线C1的图象上，则：，即：（θ为参数）．消去参数θ得：（x﹣2a）2+＝4a2（a≠1）．故曲线c2是以（2a，0）为圆心，2|a|为半径的圆．（2）：A点的直角坐标为（1，）．∴直线AO的普通方程为y＝，即：，设B点坐标为（2a+2a cosθ，2a sinθ），则B点到直线的距离：，＝，当时，．所以：，解得：a＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）若a＝0，f（x）＝|x+1|﹣|x|＝，∴当x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣，综合可得﹣≤x＜0．当x≥0 时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）（Ⅱ）设u（x）＝|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和y＝x的图象如右图：由题意易知，把函数y＝u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y＝x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）。

一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3.14C. 1/2D. 22. 已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a10的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(x+1)的图像与f(x)的图像相比（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位4. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. 2x < x + 1C. 2x ≥ x + 1D. 2x ≤ x + 15. 在△ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值为（）A. 1/2B. √2/2C. 1/3D. √2/3二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为______。

7. 函数f(x) = -x^2 + 4x + 3的图像的对称轴为______。

8. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，其解为______。

9. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为______。

10. 已知等差数列{an}中，a1=5，公差d=3，则前10项的和S10为______。

三、解答题（共50分）11. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求：（1）函数f(x)的图像的顶点坐标；（2）函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

12. （10分）已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，求：（1）数列的前10项；（2）数列的前n项和。

13. （10分）已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2，求：（1）函数f(x)的单调区间；（2）函数f(x)的极值。

14. （10分）已知等比数列{an}中，a1=4，公比q=1/2，求：（1）数列的前5项；（2）数列的前n项和。

湖南省长沙市2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题1、已知复数z满足z= ，那么z的虚部为（）A、﹣1B、﹣IC、1D、i2、定积分（2x+e x）dx的值为（）A、e+2B、e+1C、eD、e﹣13、观察下列各式：，，，…．若则n﹣m=（）A、43B、57C、73D、914、按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（）A、12种B、6种C、10种D、9种5、曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是（）A、4B、C、3D、26、的展开式中常数项是（）A、﹣160B、﹣20C、20D、1607、用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A、2k+1B、2k+3C、2（2k+1）D、2（2k+3）8、某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q （单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q=8300﹣170P﹣P2，则最大毛利润为（毛利润=销售收入﹣进货支出）（）A、30元B、60元C、28000元D、23000元9、若f（x）=2xf'（1）+x2，则f'（0）等于（）A、﹣2B、4C、2D、﹣410、用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A、12B、24C、30D、3611、若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A、（﹣∞，0）B、（0，+∞）C、（﹣∞，4]D、[4，+∞）12、f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A、①③B、②③C、②④D、①④二、填空题13、已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，则a=________，b=________．14、设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________．15、在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为________．16、已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，以下命题正确的序号是________．①如果函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），其中a i∈M（i=1，2，3，…，7），那么f′（0）的最大值为127．②数列{a n}满足首项a1=2，a k+12﹣a k2=2，k∈N*，当n∈M且n最大时，数列{a n}有2048个．③数列{a n}（n=1，2，3，…，8）满足a1=5，a8=7，|a k+1﹣a k|=2，k∈N*，如果数列{a n}中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列{a n}一共有33个．④已知直线a m x+a n y+a k=0，其中a m， a n， a k∈M，而且a m＜a n＜a k，则一共可以得到不同的直线196条．三、解答题17、已知复数(1)m取什么值时，z是实数？(2)m 取什么值时，z是纯虚数？18、（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求(1)a1+a2+a3+a4．(2)（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2．19、6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？20、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？21、设f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n为正整数．(1)求f（1），f（2），f（3）的值；(2)猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．22、已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．(1)若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．(2)若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；(3)若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．湖南省长沙市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：z= = =1+i，∴z的虚部为1．故选：C．【分析】利用复数的乘法运算法则得出．2、【答案】C【考点】定积分【解析】【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）| =（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．【分析】根据微积分基本定理计算即可．3、【答案】C【考点】归纳推理【解析】【解答】解：∵，，…．∴，=，…∵，∴m=9，n=m2+1=82，∴n﹣m=82﹣9=73，故选：C．【分析】通过找规律可知：等式左边的第n项为：根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样，问题得以解决．4、【答案】D【考点】计数原理的应用【解析】【解答】解：由题意，他的父母的血液类型都是A、B、O三种之一，故每人的血液类型有三种可能则其父母血型的所有可能情况有3×3=9种故选D．【分析】由血液遗传原理知它的血型为O型，则其父母都血型中都有O型基因，都不是AB型，由此每人的血液类型有三种选择，由公式求解即可．5、【答案】C【考点】余弦函数的图象【解析】【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是3 =3sinx =3，故选：C．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤ ）与坐标轴围成的面积是3 =3sinx ，计算求的结果．6、【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．7、【答案】C【考点】数学归纳法，数学归纳法【解析】【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．8、【答案】A【考点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即 L（p）=pQ﹣20Q=Q（p﹣20）=（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）=﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）=﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）=0，解得p=30或p﹣﹣130（舍去）．此时，L（30）=23000．因为在p=30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故选：A．【分析】毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．9、【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=2xf'（1）+x2，则其导数f′（x）=2f'（1）+2x，令x=1可得：f′（1）=2f'（1）+2，解可得f′（1）=﹣2，则f′（x）=2×（﹣2）+2x=2x﹣4，则f'（0）=﹣4；故选：D．【分析】根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=2f'（1）+2x，令x=1可得：f′（1）=2f'（1）+2，解可得f′（1）的值，即可得f′（x）的解析式，将x=0代入可得f'（0）的值，即可得答案．10、【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求．11、【答案】C【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤x+2lnx+ ，x＞0，令y=x+2lnx+ ，则= ，由y′=0，得x1=﹣3，x2=1，x∈（0，1）时，y′＜0；x∈（1，+∞）时，y′＞0．∴x=1时，y min=1+0+3=4．∴a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：C．【分析】由已知条件推导出a≤x+2lnx+ ，x＞0，令y=x+2lnx+ ，利用导数性质求出x=1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围．12、【答案】C【考点】命题的真假判断与应用，函数的值域【解析】【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；对于②，y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴②正确；对于③，f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则x3+2x2+x=kx有二不等负实数根，即x2+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，∴，解得0＜k＜1，∴③错误；对于④，y= （a≠0）是1型函数，即（a2+a）x﹣1=a2x2，∴a2x2﹣（a2+a）x+1=0，∴方程的两根之差x1﹣x2= = == ≤ ，即n﹣m的最大值为，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故选：C．【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．二、<b >填空题</b>13、【答案】-3；-9【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，∴f′（﹣1）=0且f′（3）=0，即，解得a=﹣3，b=﹣9，故答案为：﹣3，﹣9【分析】求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可得到结论．14、【答案】-2【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：= = + ，∵复数为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】由已知得= + ，从而得到，由此求出a=﹣2．15、【答案】﹣e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：y=lnx的导数为y′= ，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k= ，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a• =﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．16、【答案】②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，令g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a n），则f′（x）=g（x）+x•g′（x），∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），∴f′（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）…（﹣a7）＜（﹣1）7=﹣1．命题①错误；对于②，n=12，令，则b k+1﹣b k=2，b1=4．对于每一个a i（i＞1）都有两种取值，共211=2048个．命题②正确；对于③，这个问题相当于走楼梯问题，一共六级楼梯，可以进一步也可以退一步，现在在第三级，求走7步后到第四级楼梯的走法．事实上，必定要向前走四步和向后走三步，共种走法，但先走四步和先退三步这两种都是不行的．∴共33种走法，即符合条件的不同数列{a n}一共有33个．命题③正确；对于④，考虑满足a m＜a n＜a k（a m， a n， a k）数组的数量，共个．而数组（1，2，3），（2，4，6），（3，6，9），（4，8，12），（1，2，4），（2，4，8），（3，6，12），（1，2，5），（2，4，10），（1，2，6），（2，4，12），（1，3，4），（2，6，8），（3，9，12），（1，3，5），（2，6，10），（1，3，6），（2，6，12），（1，4，5），（2，8，10），（1，4，6），（2，8，12），（1，5，6），（2，10，12），（2，3，4），（4，6，8），（6，9，12），（2，3，5），（4，6，10），（2，3，6），（4，6，12），（2，4，5），（4，8，10），（2，4，6），（4，8，12），（2，5，6），（4，10，12），（3，4，5），（6，8，10），（3，4，6），（6，8，12），（3，5，6），（6，10，12），（4，5，6），（8，10，12）中共重复25个数组，∴一共可以得到不同的直线195条．命题④错误．故答案为：②③．【分析】对于①，由积函数导数的运算法则求得f′（0）的最大值为﹣1，说明命题①错误；对于②，由分步计数原理可得命题正确；对于③，把问题转化为走楼梯问题，由排列组合知识解决；对于④，由组合数知识求解，然后枚举重复的数组，即可说明命题错误．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：由z是实数得，即，即m=﹣2，∴当m=﹣2时，z为实数（2）解：由z是纯虚数得，即，解得m=3；∴当m=3时，z为纯虚数【考点】复数的基本概念【解析】【分析】根据复数的概念，建立方程或不等式关系即可．18、【答案】（1）解：由（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0得（0﹣3）4=a0，所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4﹣a0=（2﹣3）4﹣81=﹣80（2）解：在（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4．①令x=﹣1得（﹣2﹣3）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4．②所以由①②有（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）（a0+a1+a2+a3+a4）=（﹣2﹣3）4（2﹣3）4=（2+3）4（2﹣3）4=625【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0得（0﹣3）4=a0，即可求出答案，（2）令x=1得（2﹣3）4=a0+a1+a2+a3+a4．①，令x=﹣1得（﹣2﹣3）4=a0﹣a1+a2﹣a3+a4．②而（a0+a2+a4）2﹣（a+a3）2，代值计算即可．（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）（a0+a1+a2+a3+a4）119、【答案】（1）解：6个人排有A66种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C74=35种插法，故空位不相邻的坐法有A66C74=25200种（2）解：将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72=30240种．（3）解：4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有C74种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C71C62种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C72种坐法．综合上述，应有A66（C74+C71C62+C72）=115920种坐法【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【分析】（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在6个人隔开的7个间隔中，有C74种插法，得到空位不相邻的坐法有几种．（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个间隔里插有A72种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A72种．（3）4个空位至少有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻②4个空位2个相邻，另有2个不相邻③4个空位分两组，每组都有2个相邻．根据分类计数原理得到结果．20、【答案】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．21、【答案】（1）解：∵f（n）=（1+ ）n﹣n，∴f（1）=1，f（2）= ﹣2= ，f（3）=﹣3= ﹣3=﹣（2）解：猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，证明：①当n=3时，f（3）=﹣＜0成立，②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即f（k）= ﹣k＜0，∴＜k，则当n=k+1时，由于f（k+1）= = （1+ ）＜（1+ ）＜k（1+ ）=k+ ＜k+1，∴＜k+1，即f（k+1）= ﹣（k+1）＜0成立，由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+ ）n﹣n＜0成立【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（1）由f（n）=（1+ ）n﹣n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，再利用数学归纳法证明即可：①当n=3时，f（3）=﹣＜0成立；②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即﹣k＜0，去证明当n=k+1（n≥3，n∈N+）时，f（k+1）=﹣（k+1）＜0也成立即可．22、【答案】（1）解：当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）= ，从而f′（1）=1．又f （1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0（2）解：证明：当k=5时，f（x）=lnx+ ﹣4．因为f′（x）= ，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+ ﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点（3）解：方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x ∈（2，+∞）恒成立．令h（x）= ，则h′（x）= ．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）= ．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x=x0时，h（x）的最小值h（x0）= ．因为lnx0= ，所以h（x0）= ∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）= ．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）= ＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出k=5时f（x）的解析式和导数，求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k讨论，运用导数求出单调区间，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值为4．。

湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下学期期末考试（理）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的共轭复数. 若错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为虚数单位），则错误！未找到引用源。

（）A.错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2．设全集为R，集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A.错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

3．设错误！未找到引用源。

，则“错误！未找到引用源。

”是错误！未找到引用源。

的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设错误！未找到引用源。

是等差数列. 下列结论中正确的是（）A．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

B．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

C．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

D．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

5．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线错误！未找到引用源。

对称的是（）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

6．已知错误！未找到引用源。

为正实数，则（）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

7．已知点错误！未找到引用源。

2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。

湖南省长沙市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）的展开式中，的系数等于40，则等于（）A .B .C . 1D .2. （2分） (2016高二下·永川期中) 用反证法证明命题：“若（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，则a，b，c中至少有一个小于1”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c中至多有一个大于1B . 假设a，b，c中至多有两个小于1C . 假设a，b，c都大于1D . 假设a，b，c都不小于13. （2分） (2019高三上·汉中月考) 复数满足，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·南昌期末) 定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人a，b，c，d，e中的每个人都恰给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（）A . 704B . 864C . 1004D . 10145. （2分）将1，2，3，4四个数分为两组，每组至少一个数，则两组数的和相等的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中一、二、三、四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中一年级的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰后2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（）A . 24种B . 18种C . 48种D . 36种7. （2分）口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·卢龙期末) 已知变量x，y的值如表所示；如果y与x线性相关且回归直线方程为，则实数 =（）x234y546A .B . ﹣C .D . ﹣9. （2分）在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三·三元月考) 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4 个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P（ A|B）=（）A .B .C .D .11. （2分） 8788+7除以88的余数是（）A . 0B . 1C . 8D . 8012. （2分）已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（）A . 100，0.8B . 20，0.4C . 10，0.2D . 10，0.8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·合肥模拟) 已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞0）=0.8，则P（X≥2）=________．14. （1分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为________15. （1分） (2016高二下·佛山期末) （x﹣y）2（x+y）7的展开式中x3y6的系数为________（用数字作答）16. （1分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二下·福建期末) 某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）．该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，制成如表格．前8小时的销售量t（单位：件）567频数403525（1）若某天该商场共购入7件A商品，在前8个小时售出5件．若这些产品被7名不同的顾客购买，现从这7名顾客中随机选3人进行回访，记X表示这3人中以每件200元的价格购买的人数，求X的分布列；（2）将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，并说明理由．18. （15分） (2016高二下·辽宁期中) 现有0，1，2，3，4，5六个数字．（1）用所给数字能够组成多少个四位数？（2）用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）19. （5分） (2015高二下·宁德期中) 已知点列An（xn ， 0），n∈N* ，其中x1=0，x2=1．A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An+2是线段AnAn+1的中点，…设an=xn+1﹣xn ．（Ⅰ）写出xn与xn﹣1、xn﹣2（n≥3）之间的关系式并计算a1 ， a2 ， a3；（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．20. （15分）已知二项式（5x﹣）n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240．（1）求n；（2）求展开式中含x项的系数；（3）求展开式中所有x的有理项．21. （10分）(2016·河北模拟) 雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．22. （5分） (2017高三上·桓台期末) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

2017-2018学年度第二学期高二年级数学（理科）期中考试试卷（卷面分值：150分，考试时间：120分钟）选择题（共17题，每小题5分，共85分）1．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A ．1＋1＋1＝3 B ．3＋4＋2＝9 C ．3×4×2＝24 D ．以上都不对 2．已知C2n ＝10，则n 的值等于 ( ) A ．10 B ．5 C ．3 D ．23．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有 ( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人 D ．4人4．若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是 ( ) A ．C16C294B ．C16C299C ．C3100－C394D ．C3100－C2945已知回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^ ，其中a ^＝3且样本点中心为(1,2)，则回归直线方程为 ( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－2x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3 6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1等于( )ξ －1 2 4P15 23 P1 A.0B.215C.115D ．17．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是 ( ) A.23B.14C.25D.158．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.2279．若随机变量ξ的分布列为ξ1P m n，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是 ( ) A ．E(ξ)＝m ，D(ξ)＝n3B ．E(ξ)＝n ，D(ξ)＝n2C ．E(ξ)＝1－m ，D(ξ)＝m －m2D ．E(ξ)＝1－m ，D(ξ)＝m210．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( )A.19B.112C.115D.11811．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13D.71812．位于西部地区的A 、B 两地，据多年的资料记载：A 、B 两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A 地为雨天时，B 地也为雨天的概率为 ( ) A.17 B.14 C.13 D.34 13. 一人有n 把钥匙，其中只有一把可把房门打开，逐个试验钥匙，房门恰好在第k 次被打开（1≤k ≤n ）的概率是（ ）A ．1!nB ．1nC ．k nD ．1(1)!k n - 14．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程20x bx c ++=有相等实根的概率为（ ）A ．112B ．19C ．136D ．11815．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．C28A23 B ．C28A66 C ．C28A26 D ．C28A2516．设(2－x)6＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a6x6，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值是( )A ．665B ．729C ．728D ．6317．将正方体ABCD —A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A 的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（ ） A ．15种 B ．14种 C ．13种 D ．12种 填空题（共4题，每5分，共20分）18.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为______．(用数字作答)19．已知随机变量ξ～B(5，13)，随机变量η＝2ξ－1，则E(η)＝________.20.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P （X=4）=.（用数字表示）21．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案有________种． 解答题（共4题，共45分）22（11分）．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排． （1）共有多少种不同的排法？（2）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？（用数字表示）23（12分）．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .24（12分）同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题： 求两个骰子都出现2点的概率；（2）若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？（χ2＝n n11n22－n12n212n1＋n2＋n ＋1n ＋2）25．（本小题满分10分） 选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0），其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ρθ=，C3：23cos ρθ=。