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第三课时 探索三角形全等的条件（二）一、 学习目标：掌握三角形的“角边角”、“角角边”的全等条件；二、温故知新：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为__________或___________；2、如图，在△ABC 中，PA=PB ，PC 是AB 边上的中线，PC 能平分∠APB 吗？证明∵PC 是AB 边上的中线，∴AC=__________( )在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴_________=_________ (__________________)∴PC 平分∠APB3、如图， （1）∵AB ∥CD （已知）∴∠_____=∠_____（_______________）（2）∵AD ∥BC （已知）∴∠_____=∠_____（_______________）4、如图，∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD （已知）∴∠______=∠______=90°（______________）三、探索新知：1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm ，你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？结论：________及其_________分别__________的两个三角形____________； 简写成“____________”或“___________”2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60°和45°，一条边长为3cm ，你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？结论：_______分别_______其中一组______的对边_____的两个三角形_______； 简写成“____________”或“___________”⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________四、巩固新知：1、图中的两个三角形全等吗？依据是什么？依据（_____________） 依据（_____________）2、如图，AB=AC ，∠B=∠C ，你能证明△ABD ≌△ACE 吗？证明：在_________________________中∴________≌__________ (___________)3、如图，∠B=∠C ，AD 平分∠BAC ，你能证明，△ABD ≌△ACD 吗？若BD=3cm ，则CD 有多长？ 解：∵，AD 平分∠BAC （已知）∴∠________=∠________ ( )在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴BD=________=________(___________)4、如图，已知AB=CD ，∠B=∠C ，求证△ABO ≌△DCO ；证明： 在_________________________中∴________≌__________ (_________)⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________五、提高练习：5、如图，已知AC 与BD 交于点O ，AD ∥BC ，且AD=BC ，你能说明BO=DO 吗？ 证明：∵AD ∥BC ，（已知）∴∠_____=∠_____∠_____=∠_____ ( )在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴________=________ (______________________)6、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线， 且BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ， 求证：BE=CF证明：∵AD 是BC 边上的中线，（已知）∴_______=________ ( )∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD∴_________=_________ =90°（ ）在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴________=________ (______________________)7、如果，AB ∥CD ，∠A=∠D ，BF=CE ，∠AEB=80°，求∠DFC 的度数？ 证明：∵AB ∥CD ， （已知）∴ ∠______=∠_______ ( )∵BF=CE∴BF-______=CE-________即_______=________在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴∠DFC =________=________ (______________________)⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________8、如图，AB=AD ，∠1=∠2，∠ABC=∠ADE ，求证△ABC ≌△ADE ； 证明：∵∠1=∠2， （已知）∴ ∠1-_______=∠2-_______ ( )∴ __________=__________在_________________________中∴_________≌_________ (___________)9、如图，AB=AD ，∠1=∠2，∠ABC=∠ADE ，求证△ABC ≌△ADE ； 证明：∵∠1=∠2， （已知）∴ ∠1+______=∠2+_______ ( )∴ __________=__________在_________________________中∴_________≌_________ (___________)10、如图，AB ⊥BC 于B ，DF ⊥AC 于F ，BC=BE ，△ABC ≌△DBE ； 证明：∵AB ⊥BC ， （已知）∴ ∠______=∠______=90°( )∵DF ⊥AC ， （已知）∴ ∠______=90° ( )∴ ______+∠C=______+∠C∴ __________=__________在_________________________中∴_________≌_________ (___________)⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________。
专题1.7 探索全等三角形的条件（2）-角边角（ASA）（基础检测）一、单选题1．如图，测量河两岸相对的两点A，B的距离时，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△ABC的依据是（）A．“边边边”B．“角边角”C．“全等三角形定义”D．“边角边”【答案】B【分析】由“ASA”可证△EDC≌△ABC．【详解】解：由题意可得∠ABC＝∠CDE=90°，在△EDC和△ABC中ACB DCE CD BCABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EDC≌△ABC（ASA），故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定方法正确推理论证是解题关键．2．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝10，CF＝6，则BD等于（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．【详解】∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠F，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE和△CFE中，ADE FDE FEAED CEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF＝6，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等是解题的关键．3．如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】B【分析】结合图，根据全等三角形的判定定理ASA可得到答案【详解】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定定理4．如图，一定全等的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．②与③D．以上答案都不对【分析】根据ASA 进行判断即可．【详解】在三角形①和三角形③中∠B=∠D ，BC=DE ，∠C=∠E ，∴△ABC ≌△FDE （ASA ），故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．5．如图，在ΔABC 和ΔDEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠DEF ，要使ABC DEF △≌△，需要添加下列条件中的（ ）A ．AB=EFB ．AC=DEC ．BC=DFD ．AB=DE【答案】D 【分析】添加条件为AB=DE ，根据ASA 推出两三角形全等即可．【详解】解：条件是AB=DE ， 理由是：∵在ABC 和DEF 中A D AB DEB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABC DEF △≌△（ASA ），故选D ．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．如图，小强画了一个与已知ABC 全等的DEF ，他画图的步骤是：（1）画DE ＝AB ；（2）在DE 的同旁画∠HDE ＝∠A ，∠GED ＝∠B ，DH ，EG 相交于点F ，小强画图的依据是（ ）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．AAS【分析】根据题意可知全等的条件是两角及夹边，即可得出答案．【详解】根据题意可知，在ABC 和DEF 中，A FDE AB DEB FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DEF ASA ∴≌故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形判定的条件是解题的关键．二、填空题7．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__．【答案】ASA【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形， 他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA ）．故答案为：ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．8．如图，12∠=∠，BC EC =，请补充一个条件：______，能使用“ASA ”方法判定ABC DEC ≌△△．【答案】∠B ＝∠E【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB ＝∠DCE ，则根据三角形的判定定理“ASA ”即可证得．【详解】可以添加∠B ＝∠E ．理由是：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCE ＝∠2+∠BCE ，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴在△ABC 和△DEC 中，ACB DCE BC ECB E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEC （ASA ）．故答案是：∠B ＝∠E【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握“两角及夹边对应相等的两个三角形全等”是解题关键． 9．如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，若要以“ASA ”证明△ABC ≌△DEF ，则还缺条件_____．【答案】∠A ＝∠D ．【分析】利用全等三角形的判定方法结合ASA 得出即可．【详解】当添加∠A ＝∠D 时，可证明△ABC ≌△DEF ；理由：在△ABC 和△DEF 中A D AB DEB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．故答案为∠A ＝∠D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握，即可解题.10．如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ⊥，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB ∠=∠，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】AC BD ，90CAD CAB ∴∠=∠=︒，CA CA =，ACD ACB ∠=∠，()ACD ACB ASA ∴∆≅∆，120AB AD m ∴==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．11．如图所示，某三角形材料断裂成A 、B 、C 三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该选用材料____，理由是____．【答案】C ASA【分析】显然C 中有完整的三个条件，用ASA 易证现要的三角形与原三角形全等．【详解】解：因为C 块中有完整的两个角以及它们的夹边，利用ASA 易证三角形全等，故应带C 块． 故答案为：C ，ASA ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题数学化石正确解答本题的关键．12．如图，ABC ∆的面积为22cm ，AP 与ABC ∠的平分线垂直，垂足是点P ，则PBC ∆的面积为______2cm .【答案】1【分析】延长AP 交BC 于点M ，则由条件可知ABP MBP S S ∆∆=， APC CPM S S ∆∆=，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．【详解】如图，延长AP 交BC 于点M 。
课题：1.3探索三角形全等的条件(1)课型：新授 主备：丁虎平 备课组长：丁虎平 教研组长：吴进班级 姓名 学号【学习目标】1．熟练使用“SAS ”判定两个三角形全等；2．渗透转化思想，把证明线段或角相等转化为证明三角形全等；3．培养学生有条理地表达和解题过程的书写.【重点】全等三角形的判定【温故知新】1．＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿分别相等的两个三角形＿＿＿＿（可以简写成______或______）；2. 全等三角形的对应边＿＿＿＿，对应角＿＿＿＿；3. 如图，已知∠B =∠E ，若使用“SAS ”判定△ABC ≌△DEF ，则还需条件＿＿＿＿＿＿＿＿； 如图，已知BC =EF ，∠C =∠F ，若使用“SAS”判定△ABC ≌△DEF ，则还需条件＿＿＿＿＿＿；E DF C A B新知应用例1. 已知：如图，AB 、CD 相较于点E ，且E 是AB 、CD 的中点.求证：△AEC ≌△BED. AED B C【拓展】1. 将△ACE 进行怎样的变换可以与△BDE 重合？2. 你能证明AC ∥DB 吗？例2. 已知：如图点E 、F 在CD 上，且CE =DF ，AE =BF ，AE ∥BF .求证：△AEC ≌△BFD.EAC BD F【拓展】1. 能否改变△AEC 位置得到例1中的图形？2. 如果把原题中的条件“CE =DF ”改为“CF =DE ”，其他条件不变，原题的结论还成立吗？3. 根据上题的已知条件，你还能证得其他新的结论吗？例3. 如图，已知AB ⊥BD ，垂足为B ，ED ⊥BD ，垂足为D ，AB =CD ，BC =DE .求证：AC ⊥CE ．EB D AC【拓展】证明线段或角相等，可以把问题转化成证明______________.【当堂检测】1.已知，如图，C 是AB 的中点，AE =BD ，∠A =∠B .求证：∠E =∠D . EC D A B2. 已知，如图，点D 在AE 上，BD =CD ，∠BDE =∠CDE .求证：AB =AC. C A E BD3. 如图，已知：AB =AD ，AC =AE ，∠1=∠2.求证：∠B =∠D . 21ED AB C【课后检测】1. 如图，已知：AD =BC ，∠D =∠C ，DF =CE .求证：AE =BF .F B D CA E2.如图，已知：CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，CD =EF ，BD =AF .求证：∠C =∠E.E F B A D C3. 已知：如图，C 为BE 上一点，点A 、D 分别在BE 两侧．AB ∥ED ，AB =CE ，BC =ED ．求证：AC =CD ．DCB EA4. 已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC ，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，并且AE ＝CF .求证：（1）△AFD ≌△CEB ； （2）试判断EB 与DF 的位置关系. F C DB A E5.已知：如图所示，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF ＝CD ，AB ∥DE ，且AB ＝DE ．求证：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）∠CBF ＝∠FEC ． C D AB EF【拓展升华】 已知，如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 边上的中点，延长BD 到M ，使得DM =BD ，延长CE 到N ，使得EN =CE ，连接AM 、AN .求证：（1）△BCE ≌△ANE ，△BCD ≌△MAD ；（2）M 、A 、N 三点在同一条直线上. M ND EB C A。
探索三角形全等的条件（第二课时）源南学校李舰锋三、运用新知深化理解例11、如图，已知AB=DE，∠A =∠D， ,∠B=∠E，则△ABC ≌△DEF的理由是：。
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则△ABC ≌△DEF的理由是：。
例2如图，已知∠A=∠D，∠B=∠DEF ，请在横线上添加一个条件使△ABC≌△DEF,并说明理由。
（）例3 如图,O是AB的中点，∠A=∠B ，△AOC与△BOD全等吗?为什么？引导：（1）O是AB的中点说明什么？（2）△AOC与△BOD满足哪三组对应相等条件？哪个全等条件？师：分析题意、启发学生找出满足所学的三角形全等的条件。
生：独立思考，并解答。
例题设计由浅到深，通过不同题型帮助学生巩固知识。
鼓励学生大胆发表自己的思考推理过程，体会不同的表示方式，引导学生学会选择适合自己的解决方法。
培养学生的运用能力，分析问题的能力，有条理的表达能力。
A BCD EFAB CDE F四、巩固练习强化新知1﹑如图：已知AB＝AC，∠B＝∠C，△ABD与△ACE全等吗？BE=CD吗？为什么？2﹑如图，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？生：独立完成或与同桌交流守成师：巡视、启发、引导学生完成练习。
检查学生对本节的两个全等条件是否能够熟练运用。
同时使学生进一步巩固所学知识的同时又能发挥学生对所掌握知识的灵活。
五、联系生活解决问题如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?学生互相讨论寻求解决办法让学生体会到数学知识来源于生活，又可以为生活服务。
AE DB CAB CDE12。
