1.3探索三角形全等的条件(4)

合吗？（2）重新利用这张长方形剪一个直角三角形，要使得全班同学剪下的都能够重合，你有什么办法？（3）剪下直角三角形，验证是否能够重合，并能得出什么结论？5.如图，△ABC 与△DEF 、△MNP 能完全重合吗？（1）直觉猜想哪两个三角形能完全重合？ （2）再用工具测量，验证猜想是否正确．6.按下列作法，用直尺和圆规作△ABC ，使∠A ＝∠α，AB ＝a ，AC ＝b ．作法：1．作∠MAN ＝∠α．2．在射线AM 、AN 上分别作线段AB ＝a ，AC ＝b ． 3．连接BC ．△ABC 就是所求作的三角形．图形：你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？ 三．交流展示通过上面几个活动你对三角形全等所需要的条件有什么看45︒31.5CB A60︒3DEF1.5P45︒31.5MN课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（3）教学目标1．掌握三角形全等的条件“ASA”；会利用“ASA”进行有条理的简单的推理；2．通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心．教学重点掌握三角形全等的条件“ASA”，并能利用它们判定三角形是否全等．教学难点探索三角形全等的条件“ASA”的过程及应用教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：（1）要证明两个三角形全等，需要几个条件？（2）上节课我们学习了哪些条件可以构成全等（3）请你们猜想，构成全等还有哪些条件组合?二．探究交流1．调皮的小明用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？每个人画出的三角形都一样吗？2．粗心的小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？3．请你和小明一起画：用圆规和直尺画△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM、BN相交于点C．（3）△ABC就是所求作的三角形．以上三个问题回答完毕了，你有什么发现？基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）三．交流展示1.说一说图中有几对全等三角形？你能找出它们并说出理由吗？2．如图，O是AB的中点，∠A＝∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么（以填空方式回答）？四.拓展提高：已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．求证：BE＝DF，DE＝CF．五.小结与反思：这节课你学到了什么？哪些三个条件的组合是你还想去探索求证的？课外作业：布置作业板书设计教后札记课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（4）1．掌握三角形全等的条件“AAS”,会用“AAS”进行有条理的简单的推理；教学目标2．学会根据题目的条件选择适当的定理进行全等的证明．教学重点掌握三角形全等的条件“AAS”，并能利用它们判定三角形是否全等．教学难点在解题时选择适当定理应用．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一. 自主先学：1．回忆上节课内容，用自己的语言表达出来！2．解决下面的问题，你有什么发现吗？已知：如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，求证：AB＝DC．二．探究交流探索新知一已知：△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．基本推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．在△ABC与△A'B'C'中，∠B＝∠B'（已知），∠C＝∠C'（已知），AB＝A'B'（已知），∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）．三．交流展示1．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”，应补充一个直接条件__________根据“AAS”，那么补充的条件为______，才能使△ABC≌△DEF．2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？3．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”，应补充一个直接条件__________根据“AAS”，那么补充的条件为______，才能使△ABC≌△DEF．2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？3．已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'中BC和B'C'边上的高．求证：AD＝A'D'．四.拓展提高：4．已知：如图，△ABC ≌△A 'B 'C '，AD 和A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '中∠A 和∠A’的角平分线．求证：AD ＝A 'D '．五.小结与反思：布置作业课外作业：板书设计教后札记课时NO: 主备人： 审核人 用案时间： 年 月 日 星期A 'B ' D 'C 'AB DC AB DC A 'B'D 'C '教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（5）教学目标1．会用“角边角”“角角边”证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等；2．渗透综合、分析等思想方法，从而提高学生演绎推理的条理性和逻辑性．教学重点用“角边角”“角角边”定理证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等教学难点角边角”“角角边”定理的灵活应用教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，（1）根据“SAS”需添加条件________；（2）根据“ASA”需添加条件________；（3）根据“AAS”需添加条件________．二．探究交流1．如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗？2．如图，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E，∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗？三．交流展示例1: 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：AB＝CD．例2;已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，∠B ＝∠C．求证：DB＝EC变式一已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC．求证：AD＝AE，∠D＝∠E．变式二已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC，D、A、E在一条直线上．求证：AD＝AE，∠D＝∠E．四.拓展提高：1．如图，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，CE＝DE．求证：AC＋BD＝AB．2．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF＋AE＝CF．五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（6）教学目标1．掌握“边边边”定理．理解三角形的稳定性和它在生产、生活中的应用；教会学生如何利用尺规来完成“已知三边画三角形”，如何添加辅助线构造全等三角形；2．培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法．教学重点探究三角形全等的方法及运用“边边边”条件证明两个三角形全等．教学难点边边边”定理的应用和转化意识的形成及辅助线的添加．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，小明该怎么办呢？二．探究交流实践探索一：已知三条线段a、b、c，以这三条线段为边画一个三角形，并把你画好的三角形剪下，和其他同学进行比较，看剪下的三角形是否能完全重合．通过以上的操作你发现了什么？实践探索二：教师出示三角形、四边形木架，让学生动手拉动木架的两边．教师提出问题：（1）演示实验说明了什么？教师总结：三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．（2）你能举出生活中利用三角形稳定性的例子吗？三．交流展示1．下列图形中，哪两个三角形全等？2．如图，C 点是线段BF 的中点，AB ＝DF ，AC ＝DC ．△ABC 和△DFC 全等吗？变式1若将上题中的△DFC 向左移动（如图），若AB ＝DF ，AC ＝DE ，BE ＝CF ，问：△ABC ≌△DFE 吗 ？变式2若继续将上题中的△DFC 向左移动（如图），若AB ＝DC ，AC ＝DB ，问：△ABC ≌ △DCB 吗 ？3．已知：如图, 在△ABC 中，AB ＝AC ,求证：∠B ＝∠C ．四.拓展提高：1．已知：如图，AB ＝CD ，AD ＝CB ，求证：∠B ＝∠D ．117667119942．如图，AC 、BD 相交于点O ，且AB ＝DC ，AC ＝DB ．求证：∠A ＝∠D ．五.小结与反思：布置作业课外作业：板书设计教后札记课时NO: 主备人： 审核人 用案时间： 年 月 日 星期CDOAB教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（7）教学目标1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯；2．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法；3．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．教学重点能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．”．教学难点几何图形信息转化为尺规操作教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一. 自主先学：工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．请同学们说明这样画角平分线的道理．二．探究交流1．说请按序．．说出木工师傅的“操作”过程．2．作与写用直尺和圆规在图（2）中按序．．将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．3．证请证明你的作法是正确的．4．用用直尺和圆规完成以下作图：（1）在图（3）中把∠MON四等分．图（1）（2）在图（4）中作出平角∠AOB 的平分线．说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线．1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C 、D 的直线l （如图（5）），观察图中射线OM 与直线l 的位置关系，并说明理由．2．问题变式．你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线PQ ）． 3．比较分析．引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略． 4．作图与证明．1 以点P 为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB 交于C 、D ．2 分别以点C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点Q ．3 作直线PQ ．∴直线PQ 就是经过直线AB 外一点P 的AB 的垂线（如图（7））． （2）证明略．5．归纳总结．图（2）O BA 图（4）NOM图（3）（图7）QDC BAPMDCBOA图（5）l图（6）BAP课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 1.3 探索三角形全等的条件（8）教学目标 1．利用尺规作图，掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法； 2．经历操作、实验、观察、归纳，证明斜边、直角边（HL ）定理；3．用HL 及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算，发展演绎推理的能力． 教学重点 斜边、直角边”定理的证明和应用． 教学难点 斜边、直角边”定理的证明和应用．教学方法教具准备教学课件教 学 过 程个案补充一.自主先学：1．判定两个三角形全等的方法： 、 、 、___ ．2．如图，在Rt △ABC 中，直角边是 、 ， 斜边是___ 3．如何将一个等腰三角形变成两个全等的直角三角形？ 4．如图，在Rt △ABC 、Rt △DEF 中，∠B ＝∠E ＝90°， （1）若∠A ＝∠D ，AB ＝DE 则△ABC ≌△DE ( ) （2）若∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，则△ABC ≌△DEF ( ) （3）若AB ＝DE ，BC ＝EF ，则△ABC ≌△DEF （ ）．上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直角三角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等？二．探究交流探索活动一． （1）交流、操作．用直尺和圆规作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，CB ＝a ，AB ＝c ．（2）思考、交流．①△ABC 就是所求作的三角形吗？BADE C F。

鲁教版七年级数学上1.3.3探索三角形全等的条件（边角边）【学习目标】1.掌握三角形全等的“边角边”条件.在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.【学习过程】一、复习1.在前两节课的讨论中,我们知道:只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时,有四种可能出现的情况,想一想,是哪四种呢?二、探索新知，合作探究（一）自学指导1.通过自学课本第24~28页的内容.思考:小明不慎将一块三角形模具打碎成两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,带哪块去合适?为什么?（二）合作探究1.大家想一想:如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能情况呢?那在每种情况下得到的三角形全等吗?我们逐一来研究.先看第一种情况下,两个三角形是否全等.2.做一做(1)如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角.如:三角形的两条边分别为2.5 cm,3.5 cm.它们的夹角为40°,你能画出这个三角形吗?你画出的三角形与同伴画的一定全等吗?（2）大家利用直尺、三角尺和量角器来画满足以上条件的三角形,然后与同伴画的来比较一下.（3）由此得到结论:我们来改变上述条件中的角度和边长,大家分组讨论,是否能得到以上结论?（4）由此我们得到了三角形全等的条件:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简称“边角边”或“SAS”.（5）[例1]如图,已知AB与CD相交于点O,OA=OB,OD=OC,△AOD与△BOC全等吗?说明理由.3.议一议（1）如果“两边及一角”条件中角是一边的对角,如:两边长分别为2.5 cm和3.5 cm,其中2.5 cm的边所对的角为45°,画图形会得到什么情况?画一画,试一试.并与同桌比较.结论:两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.即:“边边角”或“SSA”不一定成立.4.[例2]已知:△ABC≌△A1B1C1,D,D1分别是BC,B1C1上的一点,且BD=B1D1.AD与A1D1相等吗?为什么?（三）小结（四）当堂训练1.图(1)中,AB=EF,AC=ED,∠A=∠E.图(2)中,AD=CB,∠DAC=∠BCA=90°,分别找出各图中的全等三角形,并说明理由.2.小明做了一个如图所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD.将上述条件标注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?与同伴进行交流.3.如图,AD是△ABC的中线,在AD及其延长线上截取DE=DF,连接CE,BF,试说明:(1)△BDF≌△CDE;(2)BF与CE有何关系?为什么?4.如图,点E,F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,△ABF与△CDE全等吗?请说明理由.5.(2019淄博)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.试说明:∠E=∠C.6.如图,AD=BC,AC=BD,DE与CE相等吗?为什么?7.(2019邵阳)如图,已知AD=AE,请你添加一个条件,使得△ADC≌△AEB,你添加的条件是.(不添加任何字母和辅助线)1.如图,FE=BC,DE=AB,若∠B=∠E=40°,∠F=70°,则∠A等于( )第1题图(A)40° (B)50° (C)60° (D)70°2.(2020利津期中)下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是( )(A)甲和乙(B)乙和丙(C)甲和丙(D)只有丙3.(2020济宁附中期中)如图,在△ABC和△DEF中,已知:AC=DF,BE=CF,要使△ABC≌△DEF,还需要的条件可以是.(只填写一个条件)第3题图4.(2020利津期中)如图,在△A B C与△A E F中,A B=A E,B C=E F,∠B= ∠E,AB交EF于点D.给出下列结论:①∠EAB=∠FAC;②AF=AC;③∠C=∠EFA;④AD=AC.其中正确的结论是(填序号).5.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.试说明:BD=CE.6.如图,AC∥EG,BC∥EF,直线GE分别交BC,BA于P,D.且AC=GE,BC=FE.试说明:∠A=∠G.7.(2020利津期中)如图,AB∥CD,BC∥AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的对数是( )(A)4 (B)3(C)2 (D)18.如图,给出下列四个条件,AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,∠C=∠F,从中任选三个条件能使得△ABC ≌△DEF的共有( )(A)1组(B)2组(C)3组(D)4组9.(2020利津期中)如图,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点,且BE=AF,CE与BF 交于点P.(1)试说明:CE=BF;(2)求∠BPC的度数.【提高训练】10.(探究题)如图,在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG.试说明:(1)AD=AG;(2)AD与AG的位置关系如何?。

怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学1.3探索三角形全等条件1巩固主备：：陈秀珍 审校 郁胜军 日期：2013年9月3日教学目标：掌握利用“边角边”公理判定三角全等。

教学重点：边角边公理条件不具备的进行转换后，再利用边角边公理证明 教学难点：1.边角边公理条件不具备的进行转换后，再利用边角边公理证明2.边角边公理书写格式，对应元素顺序问题。

教学内容： 一、自主探究1. 边角边公理： 。

2. 边角边公理的几何表达形式：二、自主合作1. P15/课本例2已知：如图1-8AB 、CD 相交于点E ，且E 是AB 、CD 的中点。

求证：△AEC ≌△BE D2. 巩固练习：（1）你能证明P15/课本例2中AC ∥B D 吗？（2）P16、练习1三、自主展示1. P16/课本例3已知：如图1-9点 E 、F 在CD 上。

且CE=DF ，AE=BF ，AE ∥BF 求证：△AEC ≌△BF D巩固练习：（1）你能改变图1-9中△AEC 的位置得到图1-8？（2）根据例3的已知条件，你还能证出其它新的结论吗？（3）P16/课本练习2ED CBAC四、自主拓展1. 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．2. 如图所示，AB = AD ，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE ，则需要添加的条件是______.请你证明3.如图（13）△ABC ≌△EDC 。

求证：BE=AD 。

4. 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．（SAS ）五、自主评价课堂小结：布置作业：：P 30/4、 5 教学反思：E（图13）DCBA怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学1.3探索三角形全等条件2巩固主备：：陈秀珍 审校 郁胜军 日期：2013年9月5日教学目标：1. 掌握且利用角边角、角角边定理判定三角全等教学重点：不能直接利用“角边角、角角边”定理判定三角全等要先进行转换，再利用角边角、角角边定理判定三角全等。

姓名： 班级1.3 探索三角形全等的条件本课重点（1）熟练掌握五种全等三角形的判定本课难点 （2）全等三角形的判定的综合运用全卷共25题，满分：120分，时间：120分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，测河两岸A ，B 两点的距离时，先在AB 的垂线BF 上取C ，D 两点，使CD ＝BC ，再过点D 画出BF 的垂线DE ，当点A ，C ，E 在同一直线上时，可证明△EDC △≌△ABC ，从而得到ED ＝AB ，测得ED 的长就是A ，B 的距离，判定△EDC ≌△ABC 的依据是：（ ）A ．ASAB ．SSSC ．AASD ．SAS2．（2021·浙江九年级期末）如图，在ABC 与DEF 中，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，,//=BE CF AB DE ，下列所添条件中不能判定ABC DEF △≌△的是（ ）A ．AC DF =B ．AB DE =C ．AD ∠=∠ D ．ACB F ∠=∠3．（2021·江苏南京市·九年级专题练习）如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若∠CAE +∠ACE +∠ADE =130°，则∠ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°4．（2021·重庆万州区·八年级期末）如图，在MPN △中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ =NQ ，已知PQ ＝5，NQ ＝9，则MH 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2021·河南焦作市·九年级二模）已知锐角AOB ∠，如图，（1）在射线OA 上取点C ，E ，分别以点O 为圆心，OC ，OE 长为半径作弧，交射线OB 于点D ，F ；（2）连接CF ，DE 交于点P ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误．．的是（ ） A ．CE DF =B ．PE PF =C ．若60AOB ∠=︒，则120CPD ∠=︒ D ．点P 在AOB ∠的平分线上6．（2021·成都市第十八中学校八年级期末）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD上一点，连接OM ，过点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．227．（2021·全国七年级专题练习）如图所示，90E F ∠=∠=︒，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ≌，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·北京九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AB AC >，下列结论正确的是（ ）A ．AB AD CB CD ->-B ．AB AD CB CD -=-C ．AB AD CB CD -<- D ．AB AD -与CB CD -的大小关系不确定9．（2021·北京九年级专题练习）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，90B C ∠=∠=︒，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠，求证：AB CD AD +=．小明是这样想的：要证明AB CD AD +=，只需要在AD 上找到一点F ，再试图说明AF AB =，DF CD =即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．①过点E 作EF AD ⊥交AD 于点F ；②作EF EC =，交AD 于点F ；③在AD 上取一点F ，使得DF DC =，连接EF ；上述3种辅助线的添加方式，可以证明“AB CD AD +=”的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，有以下5个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=DQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·云南玉溪市·八年级期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第___块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是____．12．（2021·全国八年级） 如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ． 13．（2020·北京八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，AC BC ⊥于点C ，且AC 平分BAD ∠，若ADC的面积为210cm ，则ABD △的面积为________2cm ．14．（2021·江苏八年级期中）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE BD ⊥于E ，若8BD =，则CE 为______．15．（2021·石家庄市第二十八中学八年级月考）如图， BD 是ABC ∆的角平分线，延长BD 至点E ，使DE AD =，若60ADB ∠=，78BAC ∠=， 则BEC ∠=__________．16．（2021·沙坪坝区·重庆八中七年级期中）如图所示，在ΔABC 中， AD 平分∠BAC ，点E 在DA 的延长线上，且EF ⊥BC ，且交BC 延长线于点F ，H 为DC 上的一点，且BH =EF ， AH =DF ， AB =DE ，若∠DAC +n∠ACB ＝90°，则n =__________．17．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图所示，AD 为ABC 中线，D 为BC 中点，AE AB =，AF AC =，连接EF ，2EF AD =．若AEF 的面积为3，则ADC 的面积为______．18．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______． 三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点E 在△ABC 的边AC 上，且∠ABE ＝∠C ，AF 平分∠BAE 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于点D ．（1）求证：△ABF ≌△ADF ；（2）若BE ＝7，AB ＝8，AE ＝5，求△EFD 的周长．20．（2021·江苏镇江市·九年级二模）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 为对角线BD 上一点，A BEC ∠=∠，且AD BE =．（1）求证：AD DE BC +=；（2）若70BDC ∠=︒，求ADB ∠的度数．21．（2021·四川宜宾市·八年级期末）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．22．（2021·广东广州市·八年级期末）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是线段BC 上一个动点，点F 在线段AB 上，且∠FDB ＝12∠ACB ，BE ⊥DF ．垂足E 在DF 的延长线上．（1）如图2，当点D 与点C 重合时，试探究线段BE 和DF 的数量关系．并证明你的结论；（2）若点D 不与点B ，C 重合，试探究线段BE 和DF 的数量关系，并证明你的结论．23．（2021·黑龙江佳木斯市·九年级三模）在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD =，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD +=；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．24．（2021·福建三明市·八年级期中）如图1，△ABC 和△ABD 中，∠BAC ＝∠ABD ＝90°，点C 和点D 在AB的异侧，点E 为AD 边上的一点，且AC ＝AE ，连接CE 交直线AB 于点G ，过点A 作AF ⊥AD 交直线CE 于点F ．（Ⅰ）求证：△AGE ≌△AFC ；（Ⅱ）若AB ＝AC ，求证：AD ＝AF +BD ；（Ⅲ）如图2，若AB ＝AC ，点C 和点D 在AB 的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD ，AF ，BD 的数量关系 ．25．（2021·湖北随州市·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是 ；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．附加题（1-2题，每题4分，3题6分，4-5题每题8分，共30分）1．（2021·全国七年级专题练习）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ． 则下列结论：①BG=CF ；②BG ⊥CF ；③∠EAF=∠ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④2．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且90EDF ∠=︒，连接EF ，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①270BEF CFE ∠+∠=︒；②ED FD =；③EF FC =；④12ABC AEDF S S =四边形3．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在ABC 中，BC AC =，E 是射线BF 上一点，且CBE CAE ∠=∠，CD BF ⊥，垂足为D ，过点C 作CM AE ⊥，垂足为M ，连接CE ，2DE =，8AE =，3CD =，则下列结论：①CBD CAM ≌△△；②DE ME =；③30BDC S =△．其中正确的结论有_______（填序号）．4．（2020·山东威海市·七年级期末）（问题情境）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=．点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且60EAF ︒∠=，试探究线段BE ，EF ，DF 之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，再证明AEF AGF ≅△△，进而得出EF BE DF =+．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．（探索延伸）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，70B ︒∠=，110D ︒∠=，100BAD ︒∠=，点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且50EAF ︒∠=，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形ABCD 中，若AB AD =，180B D ︒∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠，那么EF BE DF =+．你认为正确吗？请说明理由．5．（2020·武汉市二桥中学八年级月考）直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA ︒<∠<︒，当α∠与BCA ∠之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．。

三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：已知 中间条件 结论 综合法 分析法例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ． 在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表：已知条件寻找条件判定方法—边一角对应相等一边SAS一角SAS或AAS两角对应相等一边ASA或AAS两边对应相等一角SAS 一边SSS11．如何选择三角形判定全等在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。

1.3 探索三角形全等的条件（4）班级___________姓名_________________【学习目标】1．探索三角形全等的“角角边”的条件；会用“AAS”方法判断三角形全等2.经历探索三角形全等的条件的过程，积累数学活动经验，提高分析问题、解决问题能力【重点难点】重点:掌握三角形全等的条件“AAS”，并能利用它们判定三角形是否全等．难点:在解题时能根据不同条件选择适当方法判定三角形全等．【预习导航】1．有两角和它们的_____对应相等的两个三角形全等，简写成“____”或“______”．2．两角和__________对应相等的两个三角形全等，简写成“_______”或“________”．3.已知：如图，∠1=∠2, ∠B=∠C你还能证明OB=OC吗？【课堂导学】活动一、已知：△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．得出基本推论推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．在△ABC与△A'B'C'中，∠B＝∠B'（已知），∠C＝∠C'（已知），AB＝A'B'（已知），∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）．O4321CBA得出基本事实推论：__________________________________________________例题：例1已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'中BC和B'C'边上的高．求证：AD＝A'D'．变式：已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'中∠A和∠A’的角平分线．求证：AD＝A'D'．变式：已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的BC和B'C'边上的中线．求证：AD＝A'D'．【课堂检测】1.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA2．如图，AC与BD相交于点O，AO=DO，∠B=∠C．求证：△ABO≌△DCO．课后反思：【课后巩固】一、基础检测1.(1)如图,已知△ABC中AD平分∠BAC,∠ABD=∠ACD，则由“________ ”,就可判定△ABD≌△ACD．(2)如图，已知AD∥BC，∠ABC=∠CDA, 则可由“AAS”直接判定△__________ ≌△__________；(3)如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，要根据“AAS”证明△ABD≌△ACD，还需加条件∠_________=∠__________．（1）（2）（3）3．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？4.已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AD=EC，△ABD≌△EBC吗？为什么？DEBACBACDBACD二、拓展延伸1.如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．AFB CDE教师评价日期。

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.3探索三角形全等的条件姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•鼓楼区期末）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，则添加下列条件不能使△ABC≌△DEF成立的是（）A．∠B＝∠E B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．BC＝EF【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析．【解析】A、添加∠B＝∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠F，可利用AAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、添加AC＝DF，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BC＝EF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．2．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS进行分析．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，A、添加BE＝CE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠A＝∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、添加EC＝CF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BE＝CF，可利用ASA定理判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．3．（2020秋•泰兴市期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理ASA得出即可．【解析】如图，只要量出AB的长和∠A和∠B的度数，再画出一个三角形DEF，使EF＝AB，∠E＝∠A，∠F＝∠B即可，故选：A．4．（2020秋•常州期末）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90°C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．【解析】在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；故选：A．5．（2020秋•南京期末）在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝50°，AB ＝8，下列条件能得到△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．∠D ＝60°，∠E ＝50°，DF ＝8B ．∠D ＝60°，∠F ＝50°，DE ＝8C ．∠E ＝50°，∠F ＝70°，DE ＝8D ．∠D ＝60°，∠F ＝70°，EF ＝8【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【解析】∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B ＝∠E ＝50°，∠A ＝∠D ＝60°，AB ＝DE ＝8，∴∠F ＝180°﹣∠E ﹣∠D ＝70°，故选：C ．6．（2020秋•东台市期末）如图，点E 、F 在AC 上，AD ＝BC ，DF ＝BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加一个条件是（ ）A ．AD ∥BCB ．DF ∥BEC ．∠A ＝∠CD ．∠D ＝∠B【分析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，根据以上定理逐个进行判断即可．【解析】∠D ＝∠B ，理由是：∵在△ADF 和△CBE 中{AD =BC ∠D =∠B DF =BE，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），即选项D 正确；具备选项A 、选项B ，选项C 的条件都不能推出两三角形全等，故选：D ．7．（2020秋•顺城区期末）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．AB ＝DC C ．∠ACB ＝∠DBCD ．AC ＝BD【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【解析】A 、添加∠A ＝∠D 可利用AAS 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；B 、添加AB ＝DC 可利用SAS 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；C 、添加∠ACB ＝∠DBC 可利用ASA 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；D 、添加AC ＝BD 不能判定△ABC ≌△DCB ，故此选项符合题意；故选：D ．8．（2020秋•东海县期末）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，下列条件中不能使△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．AB ＝DC B ．AC ＝DB C ．∠1＝∠2D ．∠A ＝∠D【分析】由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，可判定A 正确；由两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，可判定C 正确；由两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，即可判定D 正确．【解析】A 、在△ABC 和△DCB 中，{AB =DC ∠ABC =∠DCB BC =CB，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）；故本选项能使△ABC ≌△DCB ；B 、本选项不能使△ABC ≌△DCB ；C 、在ABC 和△DCB 中，{∠ABC =∠DCB BC =CB ∠2=∠1，∴△ABC ≌△DCB （ASA ）；故本选项能使△ABC ≌△DCB ；D 、在△ABC 和△DCB 中，{∠ABC =∠DCB ∠A =∠D BC =CB ，∴△ABC ≌△DCB （AAS ）；故本选项能使△ABC ≌△DCB ．故选：B ．9．（2020秋•邹城市期末）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解析】图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选：B．10．（2020秋•海州区期末）在△ABC中和△DEF中，已知BC＝EF，∠C＝∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理进行判断即可．【解析】A、根据SAS即可推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、不能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、根据AAS即可推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•丹阳市期末）如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件∠AFB＝∠DEC或AB＝DC，可以判断△ABF≌△DCE．【分析】先求出BF ＝CE ，然后根据全等三角形的判定方法确定添加的条件即可．【解析】∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，又∵AF ＝DE ，∴若添加∠AFB ＝∠DEC ，可以利用“SAS ”证明△ABF ≌△DCE ，若添加AB ＝DC ，可以利用“SSS ”证明△ABF ≌△DCE ，所以，添加的条件为∠AFB ＝∠DEC 或AB ＝DC ．故答案为：∠AFB ＝∠DEC 或AB ＝DC ．12．（2020秋•淮安期末）如图，∠ABC ＝∠DCB ，只需补充条件 ∠A ＝∠D ，就可以根据“AAS ”得到△ABC ≌△DCB ．【分析】根据AAS 的判定方法可得出答案．【解析】补充条件∠A ＝∠D ．理由：在△ABC 和△DCB 中，{∠A =∠D∠ABC =∠DCB BC =CB，所以△ABC ≌△DCB （AAS ）．故答案为：∠A ＝∠D ．13．（2020秋•江都区期末）如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，∠A ＝∠DBE ＝∠C ＝90°，请你只添加一个条件，使得△DAB ≌△BCE ．你添加的条件是 DB ＝BE （答案不唯一） ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解析】添加的条件是DB ＝BE ，理由是：∵∠A ＝∠DBE ＝90°，∴∠D +∠ABD ＝90°，∠ABD +∠CBE ＝90°，∴∠D ＝∠CBE ，在△DAB 和△BCE 中，{∠D =∠CBE ∠A =∠C DB =BE ，∴△DAB ≌△BCE （AAS ），故答案为：DB ＝BE （答案不唯一）．14．（2020秋•溧水区期中）如图，AB ＝DC ，AD 、BC 相交于点O ，请添加一个条件 ∠A ＝∠D ，使得△ABO ≌△DCO ．【分析】根据题意和图形，可以得到AB ＝DC ，∠AOB ＝∠DOC ，然后即可写出使得△ABO ≌△DCO 需要条件的条件，注意本题答案不唯一．【解析】由题意可得，AB ＝DC ，∠AOB ＝∠DOC ，∴若添加条件∠A ＝∠D ，则△ABO ≌△DCO （AAS ），若添加条件∠B ＝∠C ，则△ABO ≌△DCO （AAS ），故答案为：∠A ＝∠D ．15．（2020秋•南京期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形ABC 外，可画出与△ABC 全等的格点三角形共有 15 个．【分析】用SSS 判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【解析】用SSS 判定两三角形全等，所以共有16个全等三角形，除去△ABC 外有15个与△ABC 全等的三角形．故答案为：15． 16．（2020秋•南京期中）如图，点C 在AE 上，BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCE ，则根据 SAS ，就可以判定△ABC ≌△ADC ．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 证得△ABC ≌△ADC ．【解析】∵∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△ABC 与△ADC 中，{BC =DC ∠ACB =∠ACD AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．故答案是：SAS ．17．（2020秋•前郭县期末）如图，点E ，F 在AC 上，AD ＝BC ，DF ＝BE ，要使△ADF ≌△CBE ，需添加一个条件是 ∠D ＝∠B ．（只需添加一个条件即可）【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≌△CBE．【解析】当∠D＝∠B时，在△ADF和△CBE中∵{AD=BC ∠D=∠B DF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），故答案为：∠D＝∠B．（答案不唯一）18．（2020秋•镇江期中）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，添加一个条件：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF，使得△ABC≌△DEF．【分析】根据AB∥DE，得出∠B＝∠DEF，进而利用全等三角形的判定解答即可．【解析】∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AB＝DE，添加∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEF；添加∠ACB＝∠DFE，利用AAS得出△ABC≌△DEF；添加BC＝EF，利用SAS得出△ABC≌△DEF；故答案为：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•涟水县模拟）如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据平行线的性质得出∠A ＝∠D ，求出AC ＝DF ，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】证明：∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ，∵AF ＝DC ，∴AF +CF ＝DC +CF ，即AC ＝DF ，在△ABC 和△DEF 中{AB =DE ∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．20．（2021•海州区校级一模）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F ．求证：△BDE ≌△CDF ．【分析】根据平行线的性质得到∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，由AD 是BC 边上的中线，得到BD ＝CD ，于是得到结论．【解答】证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠FCD ∠BED =∠F BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）．21．（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OA ＝OB ，OC ＝OD ．求证：（1）AB ∥CD ；（2）△ABC ≌△BAD ．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠OAB ＝∠OBA ，∠OCD ＝∠ODC ，求出∠OAB ＝∠OCD ，根据平行线的判定推出即可；（2）求出AC ＝BD ，根据SAS 推出即可．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠OCD ＝∠ODC ，∵∠COD ＝∠AOB ，∠OAB +∠OBA +∠AOB ＝180°，∠OCD +∠ODC +∠COD ＝180°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠OCD ＝∠ODC ，即∠OAB ＝∠OCD ，∴AB ∥CD ；（2）∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴AC ＝BD ，在△ABC 和△BAD 中，{AC =BD ∠CAB =∠DBA AB =BA，∴△ABC ≌△BAD （SAS ）．22．（2020秋•宜兴市月考）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BC 的异侧，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】根据BF ＝EC ，可以得到BC ＝EF ，然后根据题目中的条件，利用SSS 证明△ABC ≌△DEF 即可．【解答】证明：∵BF ＝EC ，∴BF +FC ＝EC +FC ，即BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE AC =DF BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．23．（2020•泸西县模拟）如图，已知DE ∥AB ，∠DAE ＝∠B ，DE ＝2，AE ＝4，C 为AE 的中点． 求证：△ABC ≌△EAD ．【分析】根据中点的定义，再根据AAS 证明△ABC ≌△EAD 解答即可．【解答】证明：∵C 为AE 的中点，AE ＝4，DE ＝2，∴AC =12AE ＝2＝DE ，又∵DE ∥AB ，∴∠BAC ＝∠E ， 在△ABC 和△EAD 中，{∠B =∠DAE∠BAC =∠E AC =DE，∴△ABC ≌△EAD （AAS ）．24．（2019秋•慈利县期末）如图（1），AB ＝7cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB 垂足分别为A 、B ，AC ＝5cm ．点P 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t （s ）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解析】（1）△ACP≌△BPQ，∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠A＝∠B＝90°∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，{AP=BQ ∠A=∠B AC=BP，∴△ACP≌△BPQ；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x=207，t=74．。

第1章全等三角形1.3探索三角形全等的条件课程标准课标解读1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．3．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.3．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.知识点01 全等形的判定1.全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.【微点拨】如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.【即学即练1】1．如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取AB的垂线BF 上两点C，D，使BC CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得ABC EDC△≌△，因此，测得DE的长就是AB的长．这里判定ABC EDC△≌△的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】A【分析】'A''A B'B'''A B C目标导航知识精讲根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】解：因为证明在△ABC △△EDC 用到的条件是：BC =CD ，△ABC =△EDC =90°，△ACB =△ECD （对顶角相等）， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA 这一方法． 故选：A ．【即学即练2】2．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A ．一条直角边和斜边分别对应相等 B ．两条直角边分别对应相等 C ．一个锐角和一条斜边分别对应相等 D ．两个锐角分别对应相等 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. 可以利用边角边或HL 判定两三角形全等，不符合题意； B. 可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意； C. 可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．D. 两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意； 故选：D ．2. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 【微点拨】如果AB ＝ ，∠A ＝∠，AC ＝ ，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.3. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 4.全等三角形判定3——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 【微点拨】''A B 'A ''A C '''A B C如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则△ABC ≌△. 5.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 【微点拨】由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 6.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.知识点02 判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.【即学即练3】3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，BE BC =，连接BD ，若8cm AC ，则AD DE +等于（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．10cm【答案】C 【分析】证明Rt△BCD△Rt△BED （HL ），由全等三角形的性质得出CD=DE ，则可得出答案． 【详解】解：DE AB ∵⊥，90DEB ∴∠=︒，在Rt BCD 和Rt BED △中，BD BDBE BC =⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)BCD BED ∴≅△△，CD DE ∴=，''A B ''A C ''B C '''A BCAD DE AD CD AC∴+=+=，8AC =cm，8AD DE AC∴+==cm．故选：C．【即学即练4】4．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，AD△CE，BE△CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是（）A．2B．4C．D【答案】A【分析】根据条件可以得出△EBC=△DCA，进而得出△CEB△△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．【详解】解：△BE△CE，AD△CE，△△E=△ADC=90°，△△EBC+△BCE=90°．△△BCE+△ACD=90°，△△EBC=△DCA，在△CEB和△ADC中，E ADCEBC DCA BC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△CEB△△ADC（AAS），△BE=DC=1，CE=AD=3，△DE=EC-CD=3-1=2．故选：A．考法01 判断方法的选择已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典例1】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC CD=，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，可以说明ABC EDC△≌△，得AB DE=，因此测得DE的长就是AB的长，判定ABC EDC△≌△，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：因为证明在△ABC△△EDC用到的条件是：CD=BC，△ABC=△EDC=90°，△ACB=△ECD，能力拓展所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA 这一方法． 故选：D ．考法02 判断直角三角形全等的特殊方法---斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”【典例2】如图，AB DE =，A D ∠=∠，要说明ABC DEF △≌△，需添加的条件不能是（ ）A ．//AB DE B ．//AC DF C ．AC DE ⊥D ．AC DF =【答案】C 【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可； 【详解】A 、△AB△DE ，△△ABC=△DEC ，△根据ASA 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；B 、△AC△DF ，△△DFE=△ACB ，△根据AAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；C 、AC△DE ，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；D 、△AC=DF ，△根据SAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，MB ND =，MBA D ∠=∠，添加下列条件不能判定ABM CDN ≌的是（ ）分层提分A ．M N ∠=∠B ．AM CN =C ．AB CD = D ．AC BD =【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理可解. 【详解】A 选项：根据ASA 可以判定ABM CDN ≌，故A 错误；B 选项：根据SSA 不能判定ABM CDN ≌，故B 正确；C 选项：根据SAS 可以判定ABM CDN ≌，故C 错误；D 选项：根据AC BD =，可推AB CD =，所以根据SAS 可以判定ABM CDN ≌，故D 错误． 故答案选：B ．2．如图，在ABC 和ABD △中，已知AC AD =，BC BD =，则能说明ABC ABD △≌△的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL【答案】C 【分析】由题意，结合AB=AB ，即可由SSS 判定ABC ABD △≌△ 【详解】解：在△ABC 和△ABD 中， △AC AD =，BC BD = 又△AB=AB△ABC ABD △≌△（SSS ）故选：C3．在△ABC 和△DEF 中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（ ） A ．AB ＝DE ，BC ＝DF ，△A ＝△D B ．AB ＝BC ，DE ＝EF ，△B ＝△E C ．AB ＝EF ，AC ＝DF ，△A ＝△D D ．BC ＝EF ，AC ＝DF ，△C ＝△F【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定条件“SAS”逐项判断即可． 【详解】A ．BC 边和EF 边是对应边，所以所给条件证明不出ABC DEF ≅．故A 不符合题意．B ．边AB 与BC 都在ABC 中，边DE 与EF 都在DEF 中，所给条件不是对应边相等，所以证明不出ABC DEF ≅，故B 不符合题意．C ．AB 边和DE 边是对应边，所以所给条件证明不出ABC DEF ≅，故C 不符合题意．D ．相邻两对应边分别相等且所夹的角相等，可以利用SAS 证明ABC DEF ≅，故D 符合题意． 故选：D ．4．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC △△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC △△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法． 【详解】解：根据题意，△ABC=△EDC ，BC=CD ，△ACB=△ECD ， △能证明△ABC△△EDC 最直接的依据是ASA ． 故选：C ．5．如图，DC CA ⊥，EA AC ⊥，BC AE =，CD AB =，证明BCD EAB △≌△的理由是（ ）．A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】B 【分析】根据SAS 可证明两个三角形全等． 【详解】因为DC CA ⊥，EA AC ⊥， 所以90BCD EAB ︒∠=∠=， 所以在BCD △与EAB 中，BC EA BCD EAB CD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以BCD EAB △≌△（SAS ）， 故选B ．6．下列说法正确的是（ ）A ．在ABC 中，若::1:2:3ABC ∠∠∠=，则ABC 是直角三角形 B ．每条边都相等的多边形是正多边形 C ．所有正方形都是全等图形D ．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 【答案】A 【分析】直角三角形的判定、正多边形的定义及三角形判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若::1:2:3A B C ∠∠∠=，设△A=a ，则△B=2a, △C=3a ．△ △A+△B+△C=180°, △a+2a+3a=180°△a=30°，3a=90°，△ABC 是直角三角形，说法正确； B. 各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故说法错误； C. 所有正方形不是全等图形，说法错误；D. 如果两个三角形有两边和两边的夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，故说法错误． 故答案为：A ．7．下列条件中，能利用“SAS ”判定△ABC △△A′B′C′的是 （ ） A ．AB=A′B′，AC=A′C′，△C=△C′ B ．AB=A′B′，△A=△A′，BC=B′C′ C ．AC=A′C′，△C=△C′，BC=B′C′ D ． AC=A′C′，△A=△A′，BC=B′C′ 【答案】C 【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可． 【详解】解：A 、边边角不能证明两个三角形全等，故A 错误； B 、边边角不能证明两个三角形全等，故B 错误；C 、AC=A'C'，△C=△C'，BC=B'C'，符合ASA ，故C 正确；D 、边边角不能证明两个三角形全等，故D 错误． 故选：C ．题组B 能力提升练1．在ABC 和DEF 中，条件：△AB DE =；△BC EF =；△AC DF =；△A D ∠=∠；△B E ∠=∠；△C F ∠=∠；则下列各组给出的条件不能保证ABC DEF △≌△的是（ ） A ．△△△ B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法 对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、△△△可以利用“SSS”证明△ABC△△DEF ，故本选项不符合； B 、△△△可以利用“SAS”证明△ABC△△DEF ，故本选项不符合； C 、△△△可以利用“AAS”证明△ABC△△DEF ，故本选项不符合； D 、△△△符合“SSA”，不能证明△ABC△△DEF ，故本选项符合． 故选：D ．2．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的中线分别对应相等，那么这两个三角形第三条边所对的角的关系是（ ） A ．相等 B ．互余C ．互补D ．以上答案都不正确【答案】A 【分析】如图，在ABC 和DEF 中，AG ，DH 分别是两个三角形的中线，AB DE =，BC EF =，AG DH =，则B E ∠=∠．根据SSS 证明ABG DEH ≅即可． 【详解】解：如图，在ABC 和DEF 中，AG ，DH 分别是两个三角形的中线，AB DE =，BC EF =，AG DH =，则B E ∠=∠．理由：在ABC 和DEF 中，AG ，DH 分别是两个三角形的中线，12BG BC ∴=，12EH EF =，BC EF =，BG EH ∴=，AB DE =，AG DH =，△ABG DEH ≅（SSS ），B E ∴∠=∠，∴这两个三角形的第三条边所对的角的关系是相等，故选A ．3．以下命题是假命题的是（ ） A ．两个全等三角形的三条边对应相等B ．三条边对应相等的两个三角形全等C ．两个全等三角形的面积相等D ．面积相等的两个三角形全等【答案】D 【分析】根据假命题的定义，再根据全等三角形的判定方法及性质逐个选项进行判断即可得出结果． 【详解】A 、两个全等三角形的三条边对应相等，是真命题，不符合题意；B 、三条边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；C 、两个全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；D 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，符合题意． 故选：D ．4．下列判断中错误．．的是（ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【分析】根据三角形全等判定的条件逐一判断即可． 【详解】解：A 、有两角和一边对应相等的两个三角形全等（AAS 或ASA ），故正确；B 、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，可能为（SSA ）或者（SAS ），其中只有（SAS ）能够作为三角形全等的判定条件，故错误；C 、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等：对应两边与中线所构成的三角形全等（SSS ），可证得对应两边的夹角相等，再根据（SAS ）可证得两个三角形全等，故正确；D 、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（SAS ），故正确； 故选：B ．5．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 为CB 延长线上一点，AE AD =，且AE AD ⊥，BE 与AC 的延长线交于点P ，若3AC PC =，则DBBC=__________．【答案】23【分析】作EM AP ⊥于M ，根据全等三角形性质得出CP =PM ，DC =AM ，设PC =PM =x ，AC =BC =3x ，AM =DC =5x ，求出BD =2x ，即可求出答案． 【详解】解：作EM AP ⊥于M ，90ACB ∠=︒，M ACD ∴∠=∠，AD AE ⊥，90DAE ∴∠=︒，90EAM AEM ∴∠+∠=︒，90EAM DAC ∠+∠=︒， DAC AEM ∴∠=∠，在ADC 和EAM △中，DAC AEMACD MAD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADC EAM AAS ∴≅△△，AC EM ∴=，AC BC =，BC EM ∴=， 90ACB ∠=︒，BCP M ∴∠=∠，在BCP 和EMP 中BCP M BPC EPM BC EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCP EMP AAS ∴≅△△，BCP EMP ≅△△，ADC EAM ≅△△， CP PM ∴=，AMDC =，设PC PM x ==，3AC BC x ==，5AM DC x ==，2BD x ∴=，∴23DB BC =， 故答案为：23．6．如图，在四边形ABCD 中，,90,AB BC ABC CDA BE AD ︒=∠=∠=⊥于,10ABCD E S =四边形，则BE 的长为__________【分析】过点B 作BF CD ⊥ 交DC 的延长线交于点F ，证明AEB △()CFB AAS 推出BE BF =，ABEBFC S S =，可得BEDF ABCD S S 12==正方形四边形，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B 作BF CD ⊥交DC 的延长线交于点F ，如右图所示， △BF CD ⊥，⊥BE ADBFC BEA 90∠∠∴==ABC ADC 90∠∠==ABE EBC 90∠∠∴+= ，EBC CBF 90∠∠+=ABE CBF ∠∠∴= AB CB =△AEB △()CFB AASBE BF ∴=，ABEBFC SS =BEDF ABCD S S 10∴==正方形四边形，BE BF 10∴⨯=，即2BE 10=，BE ∴=．7．如图，AC=BC ，△ACD=90°，AE 平分△BAC ，BF△AE ，交AC 的延长线于F ，且垂足为E ，则下列结论：△AD=BF ；△BF=AF ；△AB=BF ；△AC+CD=AB ；△AD=2BE ．其中正确的结论有________．【答案】△、△、△ 【分析】利用ASA 证明△ADC△△BFC 判断△正确；由AF>AD ，推出BF ≠AF 判断△错误；利用角平分线的性质及垂直的定义证明△AEB△△AEF ，得到AB=AF ，BE=FE ，即可判断△错误；根据△ADC△△BFC 推出CF=CD ，由AF=CF+AC 判断△正确；由AD=BF ，BF=2BE ，判断△正确. 【详解】 △BF△AE ，△△AEF=△BCF=△ACD=90°,△△F+△FAE=90°，△F+△FBC=90°，△△FAE=△FBC，又△AC=BC，△△ADC△△BFC，△AD=BF，故△正确；△AF>AD，△BF≠AF，故△错误；△AE平分△BAC，△△BAE=△FAE，△AE△BF，△△AEB=△AEF=90°，△AE=AE，△△AEB△△AEF，△AB=AF，BE=FE，△BF≠AF，△BF≠AB，故△错误；△△ADC△△BFC，△CF=CD，△AF=CF+AC，△AB=CD+AC，故△正确；△AD=BF，BF=2BE，△AD=2BE，故△正确；故答案为：△、△、△.题组C 培优拔尖练1．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE△△CBE．现给出如下五个条件：△△A=△C;△△B=△D;△AE=CE;△BE=DE;△AD=CB．其中符合要求有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】延长DA、BC使它们相较于点F ，首先根据AAS证明△FAB△△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE△△CBE，可判断△、△的正误；根据SAS证明△ADE△△CBE，即判断△、△的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB△△CBD，根据全等三角形的性质得到△A=△C，结合△即可证明△．【详解】延长DA、BC使它们相较于点F△△DAB=△DCB，△AED=△BEC△△B=△D又△△F=△F，AB=CD△△FAB△△FCD△AF=FC，FD=FB△AD=BC△△ADE△△CBE，即△正确；同理即可证明△正确；△AE=CE，AB=CD△DE=BE 又△△AED=△BEC △△ADE△△CBE ，△正确； 同理即可证明△正确； 连接BD ，△AD=CB ，AB=CD ，BD=BD △△ADB△△CBD △△DAB=△BCD△△ADE△△CBE ，△正确； 故选D ．2．如图，已知120AOB ∠=︒，在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ，将一个60°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA ，OB 相交于点D ，E ．下列结论：（1）CD CE =；（2）OE OD OC +=；（3）OE OD OC -=；（4）OC a =，OD b =，则=-OE a b ；其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】过C 点作CN OB ⊥于N 点，CF OA ⊥于F 点，根据AOB ∠的平分线OM 上有一点C ，得60AOC BOC ∠=∠=︒，CF CN =，从而得12ON OC =，12OF OC =，36060∠=︒-∠-∠-∠=︒FCN AOB CFO CNO ；当D ，E 在射线OA ，OB 上时，通过证明≌CFD CNE △△，得OE OD OC +=；当D ，E 在直线OA ，射线OB 上时，通过≌CFD CNE △△，得OE OD OC -=；当D ，E 在直线OA 、OB 上时，得OD OE OC -=，即可完成求解． 【详解】过C 点作CN OB ⊥于N 点，CF OA ⊥于F 点△OC 平分AOB ∠ 又△120AOB ∠=︒△60AOC BOC ∠=∠=︒，CF CN =， △30∠=∠=︒OCF OCN △12ON OC =，12OF OC =，36060∠=︒-∠-∠-∠=︒FCN AOB CFO CNO△当D ，E 在射线OA ，OB 上时60∠=∠=︒FCN DCE△∠=∠FCD ECN△CF CN =，90∠=∠=︒CFD CNE △≌CFD CNE △△ △CD CE =，=FD NE△+=++=++=+=OE OD ON NE OD ON DF OD ON OF OC ． △如图，当D ，E 在直线OA ，射线OB 上时≌CFD CNE △△=+=+=++=+OE ON NE ON DF ON OF OD OC OD△OE OD OC -=；△如图，当D，E在直线OA、OB上时△△≌CFD CNE-=△OD OE OC综上：△△△错误；故选：A．3．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE 相交于点H，则下列结论：△△ACD△△BCE；△△AFB=60°；△BF=AH；△△ECF△△DCG；△连CG，则△BGC=△DGC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】运用等边三角形的性质和角的和差可得出条件，△△ACD△△BCE；由△ACB=60°，可得△AFB=△ACB+△FBC ＞60°，可知△错误；由△ACD△△BCE可得出△CBF=△CAH，以及由题意得BC=AC,但找不到其他条件是，不能证明△BCF△△ACH；在△BCF和△DCG中△CEG=△CDG，缺少其他条件,说明△错误；作CJ△BE,CK△AD，由△BCE△△ACD，可得△BGC=△DGC.【详解】解：△ △ABC与△CDE都是等边三角形△△BCA=△DCE=60°△△BCA+△ACE=△ACE+△DCE，△△BCE=△ACD，在△BCE和△ACD中BC=AC，△BCE=△ACD，CE=CD△△ACD△△BCE（SAS），△正确；△△ACB=60°，△△AFB=△ACB+△FBC＞60°，可知△错误；△△ACD△△BCE△△CBF=△CAH；在△BCF和△ACH中△CBF=△CAH，BC=AC，缺少其他条件故△错误；△△ACD△△BCE△△CEG=△CDG；在△BCF和△DCG中△△CEG=△CDG，缺少其他条件,故△错误；作CJ△BE,CK△AD，△△BCE△△ACD，△CJ=CK，△GC平分△BGD，△△BGC=△DGC，故△正确；故选B.4．如图1，已知AB=AC，D为△BAC 的平分线上一点，连接BD、CD；如图2，已知AB= AC，D、E 为△BAC的平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为△BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是（）A．n B．2n-1C．()12n n+D．3（n+1）【答案】C【分析】根据条件可得图1中△ABD△△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD△△ACD，△BDE△△CDE，△ABE△△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：△AD是△BAC的平分线，△△BAD=△CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，△BAD=△CAD，AD=AD，△△ABD△△ACD．△图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE△△ACE，△BE=EC，△△ABD△△ACD．△BD=CD，又DE=DE，△△BDE△△CDE，△图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是(1)2n n．故选：C．5．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：△AD=BE；△PQ△AE；△AP=DQ；△DE=DP；△△AOB=60°．其中一定成立的结论有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】△由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，△ACB=△DCE=60°，从而证出△ACD△△BCE，可推知AD=BE；△由△ACD△△BCE得△CBE=△DAC，加之△ACB=△DCE=60°，AC=BC，得到△ACP△△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故△正确；△根据△△CQB△△CPA（ASA），再根据△PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由△PQC=△DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知△正确；△根据△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，可知△DQE≠△CDE，可知△错误；△利用等边三角形的性质，BC△DE，再根据平行线的性质得到△CBE=△DEO，于是△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°，可知△正确．【详解】△△等边△ABC和等边△DCE，△BC=AC,DE=DC=CE，△DEC=△BCA=△DCE=60△，△△ACD=△BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，△ACD=△BCE，DC=CE，△△ACD△△BCE(SAS)，△AD=BE；故△正确；△△△ACD△△BCE(已证)，△△CAD=△CBE，△△ACB=△ECD=60°(已证)，△△BCQ=180°-60°×2=60°，△△ACB=△BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，△CAD=△CBE，AC=BC，△ACB=△BCQ=60°，△△ACP△△BCQ(ASA)，△AP=BQ；故△正确；△△△ACP△△BCQ，△PC=QC，△△PCQ是等边三角形，△△CPQ=60△，△△ACB=△CPQ，△PQ△AE；故△正确；△△AD=BE，AP=BQ，△AD−AP=BE−BQ，即DP=QE，△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，△△DQE≠△CDE，△DE≠QE ，则DP≠DE ，故△错误；△△△ACB=△DCE=60°，△△BCD=60°，△等边△DCE ，△EDC=60°=△BCD ，△BC△DE ，△△CBE=△DEO ，△△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°.故△正确；综上所述，正确的结论有：△△△△，错误的结论只有△，故选D ．6．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：△△△CDE BDF ≅，△CE AB AE =+，△BDC BAC ∠=∠，△DAF CBD ∠=∠，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝DF ，再利用“HL”可证明Rt△CDE 和Rt△BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE ＝AF ，利用“HL”证明Rt△ADE 和Rt△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，然后求出CE ＝AB ＋AE ；根据全等三角形对应角相等可得△DBF ＝△DCE ，根据三角形内角和是180°和△AOB=△COD （设AC 交BD 于点O ），得到△BDC ＝△BAC ；根据三角形内角和是180°易得△DAE ＝△CBD ，再根据角平分线可得△DAE ＝△DAF ，然后求出△DAF ＝△CBD ．【详解】△AD 平分△CAF ，DE△AC ，DF△AB△DE ＝DF在Rt△CDE 和Rt△BDF 中BD CD DE DF ⎧⎨⎩＝＝ △Rt△CDE△Rt△BDF （HL ），故△正确；△CE ＝AF在Rt△ADE 和Rt△ADF 中AD AD DE DF ＝＝⎧⎨⎩△Rt△ADE△Rt△ADF （HL ）△AE ＝AF△CE ＝AB ＋AF ＝AB ＋AE ，故△正确；△Rt△CDE△Rt△BDF△△DBF ＝△DCE△△AOB=△COD （设AC 交BD 于点O ）△△BDC ＝△BAC ，故△正确；△△BAC+△ABC+△ACB=180°△BDC+△DBC+△DCB=180°△DBF ＝△DCE△△DAE ＝△CBD ，△△DAE ＝△DAF ，△△DAF ＝△CBD ，故△正确；综上所述，正确的结论有△△△△.故选D7．如图，在△ABC 中，△BAC 和△ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F ，过点O作OD△BC于D，下列四个结论：△△AOB＝90°+12△C；△当△C＝60°时，AF+BE＝AB；△若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△【答案】C【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解△AOB与△C的关系，进而判定△；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO△△EBO，得到△BOH＝△BOE＝60°，再证得△HBO△△EBO，得到AF＝AH，进而判定△正确；作OH△AC于H，OM△AB于M，根据三角形的面积可证得△正确．【详解】解：△△BAC和△ABC的平分线相交于点O，△△OBA＝12△CBA，△OAB＝12△CAB，△△AOB＝180°﹣△OBA﹣△OAB＝180°﹣12△CBA﹣12△CAB＝180°﹣12（180°﹣△C）＝90°+12△C，△正确；△△C＝60°，△△BAC+△ABC＝120°，△AE，BF分别是△BAC与ABC的平分线，△△OAB+△OBA＝12（△BAC+△ABC）＝60°，△△AOB＝120°，△△AOF＝60°，△△BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，△BF是△ABC的角平分线，△△HBO＝△EBO，在△HBO 和△EBO 中，BH BE HBO EBO BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△HBO △△EBO （SAS ），△△BOH ＝△BOE ＝60°，△△AOH ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，△△AOH ＝△AOF ，在△HBO 和△EBO 中，HAO FAO AO AO AOH AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△HBO △△EBO （ASA ），△AF ＝AH ，△AB ＝BH +AH ＝BE +AF ，故△正确； 作OH △AC 于H ，OM △AB 于M ，△△BAC 和△ABC 的平分线相交于点O ， △点O 在△C 的平分线上，△OH ＝OM ＝OD ＝a ，△AB +AC +BC ＝2b△S △ABC ＝12×AB ×OM +12×AC ×OH +12×BC ×OD ＝12（AB +AC +BC ）•a ＝ab ，△正确． 故选：C ．。