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物理学 第五版 5-6+静电场的环路定理+电势能

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静电场的环路定理

静电场的环路定理

静电场的环路定理物理学第五版一、静电场力所做的功0d d A q E l=⋅l rrεqq d ˆπ4200⋅=020d d 4πqq A r εr= 点电荷的电场qq Ar ABBr Errˆl d θrd r θl l rd cos d d ˆ==⋅物理学第五版20d 4πBAr r qq r A εr=⎰)11(π400BA r r εqq -=结论: A 仅与q 0的始末位置有关，与路径无关20d d 4πqq A r εr=qq Ar ABBr Errˆl d θrd物理学第五版任意带电体的电场∑=iiE E 0d lA q E l =⋅⎰⎰∑⋅=li ilE qd 0结论：静电场力做功，与路径无关。

静电场力是保守力。

（点电荷的组合）++=+⋅+⋅=⎰⎰212010A A l d E q l d E q baba物理学第五版二、静电场的环路定理⎰⎰⋅=⋅ADCABCl E q l E qd d 000)d d (0=⋅+⋅⎰⎰CDAABCl E l E qd =⋅⎰ll E静电场是保守场结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零.EABCD物理学第五版静电场的环流定理反映了静电场的一个重要性质。

它说明静电场是保守场（无旋场），可以引入势的概念，所以也叫势场。

根据斯托克斯公式s d E l d E ls⋅⨯∇=⋅⎰⎰)(0=⨯∇E静电场的旋度为零，静电场是无旋场物理学第五版例：用环流定理证明“静电场电力线不会闭合”。

证：用反证法证明：先假设电力线形成闭合线，则以此闭合线为路径应用环流定理El⎰⎰⎰>==⋅lEdl Edl l d E 0cos 0与 ⎰=⋅ll d E 0相矛盾说明：假设不正确，静电场的电力线不会闭合物理学第五版例：证明非无限大平行板电容器电力线不可能只分布内部。

带电平行板电容器的电场线+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - -物理学第五版+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - 证：用反证法，假设外部 0=E 如图作一闭合回路 ⎰=⋅ll d E⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅DACD AB BC l d E l d E l d E l d E EL =与 ⎰=⋅l l d E 0相矛盾，A B CD说明：假设不正确。

电势

电势
l
i l
结论：静电场力做功与路径无关.
§5-6 静电场的环路定理 二 静电场的环路定理
电势能
q0 E dl q0 E dl
A1B A2 B
1
B
2
q0 ( E dl E dl ) 0
A1B B2 A
A
E
E dl 0
§5-6 静电场的环路定理 一 静电场力所做的功 点电荷的电场
电势能
dW q0 E dl
er dl dl cos
qq0 e dl 2 r 4 π 0 r
B dl dr E rB
dr
r
q
rA
A
qq0 dW dr 2 4π 0r
x 0，V0
q
o
x
q 2 2 12 4π 0 (x R )
§5-7 Eg.2
电势
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dr
o r
dq 2 π rdr
x r
2 2
R
x
R
P
x
1 VP 4π 0
x R
( x 2 R 2 x) 0 x 2 r 2 2 0 2 R V q 4 π 0 x 2 2 x R x （点电荷电势） 2x
B
A dl

E cos El
U AB VA VB dV
dV dV El dl ， l E dl
El E
V dV
V
§5-8 电场强度与电势梯度
dV El dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于 这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.

高等物理静电场环路定理

高等物理静电场环路定理

a
a 20

V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y

4 0 r
xz

2 ) 定义法:

1
Vp

4 0r
dq
q

qx
x 40(R2x2)3/2dx

q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q

4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp

q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z

4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外

1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p

VEdr drrC

q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：

电势能 电势

电势能 电势
o c. 均匀带电圆平面（σ, R）轴线上V 分布？ ∞ Ⅰ法 叠加法
取均匀带电细圆环( r,d r ) 利用上例结论积分
R
b. x R “点电荷”
x
( x 2 r 2 )1/ 2
P
r
dr
o
x
x
Ⅱ法 线积分法
利用P.160例2结论 ， 选 x 轴为积分路径
[例2] 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带 电球面. 试求 (1) 球面外两点间的电势差; (2) 球 面内两点间的电势差; (3) 球面外任意点的电势 ; (4) 球面内任意点的电势.
V Ex x
V Ey y
V Ez z
梯度
V V V E （ i j k ) (grad)V V x y z — 电势梯度 梯度算符 i j k
x y z
注 a. 式中V 为所求点相关区域空间分布函数， 而非所求点V 值 b. V 与E 本质 —— 微积分关系 V — E 的空间累积效应（线积分） E — V 的空间变化率（方向导数）
q dl 任取点电荷 dq o 2R dq dV 4πε0 r 积分中：r与d q 选取无关 常量
P
x
x
b. 线积分法
利用P.159例1结论 积分路径 P
x轴
无穷远
讨论 结论
V
q 4πε0 x R
2 2
（记住）
q 4 πε0 R
V
q 4πε0 x 2 R 2
a. 比较上述两种方法的区别
9－6
一. 电势
电势
定义： V E pA 、 A q0
一般取V∞= 0 (场源电荷作有限分布 )

第10讲 静电场的环路定理 静电场力的功 电势能

第10讲 静电场的环路定理 静电场力的功 电势能
W W o W 28.8 10 7 J 0
电场力作功等于电势能增量的负值！
电势能
例题2 如图已知+q 、-q、R。求： ①单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功。 ②将单位负电荷由∞移到 o 点电场力所作的功。
d
解：① 由对称性知
Uo 0
a
q
o
b q
c
0
rR
U r E dl E dl
R r R
q
rR

P1
q r 0
2
0
4
R
q
0
r
2
dr
Ur
4
r
dr
P2

q 4 0 R

q 4 0 r
例题5 L长一节同轴圆柱面，内外半径RA 、RB，均匀 带电等量异号。①求电场分布； ②若UAB = 450V，求电荷线密度λ＝？ 解： 由高斯定理
xp
y
qxdx

2 3 2


xp


4 0 ( x R )
2

z
q 4 0 R x
2 2

R

x
□
O


例题4 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q.
q
解：由高斯定理求出场强分布 E
由定义 U p E dl
P
4 0 r
2
rR rR
U 最小
r U r
U 最大
以q为球心的同一球面上各点的电势相等。
② 电势叠加原理 若场源为q1 、q2 qn构成的点电荷系，则场中任一点 的电势等于各点电荷单独存在时在该点电势的代数和。

(完整版)静电场环路定理电势

(完整版)静电场环路定理电势

E dl
p
q1
r1
E2
q2
r2 P
E1
p (E1 E2 ) dl
q1 dr
r1 4 0r 2
q2 dr
r2 4 0r 2
q1 q2
40r1 40r2
对n 个点电荷
n
u
qi
i1 40ri
• 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
ua
Aa"0" q0
"0" E dl
a
中电场力作的 功。
• 电势的理解： 1.电势是标量，电势的正负由电势零点的选取而定
如 q
若 U 0
a Ob
则Ua E dl 0
a
Ub E dl 0
b
若 U0 0
0
则Ua E dl 0
a
0
Ub E dl 0
b
2. 电势的单位：伏。
1) rc
c qE dl
a
a qQ
40
(1 ra
1 rc
)
两点的电势能差：
Wa Wb
b qE dl
qQ
(1 1)
a
40 ra rb
§10.5 电势 电势差
a点电势在量值 上等于：将单
一. 电势（电势是从能的角度来描述电场分布的物理量） 位正电荷
a“零”过程
• 电势定义
ua
Wa q0
对连续分布的带电体 u
dq
V 40r
——标量积分
三.电势的计算
（1） 已知电荷分布 u
dq
方法

静电场的环路定理、电势


R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）

静电场环路定理电势能


b
a
q0 E dl -Wb Wa Wa Wb
取无穷远为势能零点 W 0 则q0 在a点的电势能： Wa dl
注意：Wa 属于 q0 及 E 的系统
§5.7 电势
一. 电势
• 电势定义
Wa q0 E dl
a
rb
q
r

ra
q0
E
a
保守力
qq0 1 1 q0 dr 2 ra 4 0 r 4 0 ra rb q
（与路径无关）
推广：任意带电体系产生的电场中
Aab q0 ( E1 E2 En ) dl
b b q0 E1 dl q0 E2 dl q0 En dl a a a
dq
r
R O P
qx E 4 0 ( x 2 R 2 )3 / 2
1
x
x
u

P
1 qx E dl dx 2 2 3 / 2 x 4 ( x R ) 0

q 4 0
R
2
2
x
2 1/ 2 x

4 0 R r

q
2 1/ 2

在静电场中，沿闭合路径acbda移动q0，电场力作功
A F d l q 0 E dl 0
b
c

acb
q0 E dl q0 E dl
bda
q0 E dl q0 E dl 0 acb adb
a b
a

a、b两点的电势差在数值上等于将单位正电荷从a点移到 b点时，电场力所作的功。

56静电场的环路定理电势能

4πε0r
VA
1 4πε0
dq r
dq
r
A
17
四.电势的计算
4.1 从点电荷电势和电势叠加原理计算电势
点电荷的电势：
V V (r) q
4 0 r
+ q
dl
r
rP
a
有限大带电体，选无限远处电势为零.
18
点电荷系的电势
V
Vi
i
i
qi
40r i
电荷连续分布的带电体的电势
dV dq
4 0 r
令 VB 0
VA
E dl
AB
q0 A EVpA
B
EVpBB
E
10
Va
Epa q0
b
E dl
a
（任意路径）
➢ 电势决定产生电场的电荷，而与试验电荷 q0 无关。 ➢ 电势的大小与零电势的参考点选择有关。
11
电势零点的选取：
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
W q0
E dl 0
l
l E dl 0
B
C
DE
A
➢ 静电场是保守场。 ➢ 静电场中的电场线不闭合。
5
三 电势能
静电场是保守场，静 电场力是保守力. 静 电场力所做的功就等 于电荷电势能增量的 负值.
A EpA
WAB EpA EpB (EpB EpA )
电场力做正功，电势能减少.
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x

静电场环路定理电势能和电势.pptx


V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
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