2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理 第1课时

关于“空间向量基本原理”的说课稿说课内容：普通高中课程标准试验教科书（人教B版）《教学选修2-1》第三章第3.1.2节——空间向量基本定理第一课时。

下面，我从背景分析、教学目标设计、教学媒体设计、教学过程设计、及教学效果分析五个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析1.教材分析本课时内容是“空间向量基本定理”，上一节课我们研究了空间向量的线性运算，在必修4我们已经学习了平面向量基本定理，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究空间向量的坐标及坐标运算，并运用向量的坐标运算来解决问题，更多的是向量的代数形态，所以本节内容是向量中承前启后的内容.2.学情分析学生必修4已经学习了平面向量的有关知识，对这部分知识有一定的认知基础。

在讲新课之前已布置学习复习平面向量的有关知识。

3.教学重点、难点本节重点是空间向量共线和共面条件本节难点是空间向量共线与共面定理的理解与应用二、教学目标设计《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求：1、知识与技能（1）了解共线或平行向量的概念，向量与平面平行（共面）的意义，掌握它们的表示方法；（2）理解共线向量定理，共面向量定理及其表示；（3）会用以上知识解决立体几何中有关的简单问题。

2、过程与方法通过空间共线、共面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思维方法；3、情感、态度与价值观：通过本节的学习，培养学生积极参与交流的学习习惯培养学生的理性精神.在前面必修4中已学习了平面共线向量定理，所以将其拓展到空间引出空间共线向量定理是比较自然的；对于空间共面向量定理,有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,所以在教学中教师要不断地帮助学生进行反思,这也是改善学生的思维品质,提升学生的数学能力的一个途径,这一过程是隐性的、长期的，但也是必须的.结合课标要求和学生情况分析，我将本节课的过程方法目标定为：1、理解：运用已有的向量知识研究空间向量的共线与共面定理，体会给定的向量判断其是否共线或者共面的过程;2、应用：体验在解决问题过程中选择适当的不共线的两个向量，体会数学中的问题转化，进一步培养学生的观察、抽象、概括的能力.三.教学媒体设计为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在教学媒体的使用上，我的设想主要有以下两点：1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量.2、设计科学合理的板书（见下），一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络.空间向量基本定理第一课时一、定理的内容二、例题讲解三、练习注意问题（1）例1 1、（2）例2 2、（3）四、教学过程设计课标指出：数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是老师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程.为了有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下五个活动.创设问题情景导入新课探究空间向量共线与共面定理的内容攻破难点：教师讲解共面定理的证明掌握重点：空间向量共线与共面定理的理解与应用小结提升与作业布置活动一：创设问题情景数学是自然的，而不是强加于人的.空间向量共线与共面定理与向量的线性运算一样也有其数学背景，为了体现这一点，我设计以下几个问题：问题1：向量共线的定义？问题2：平面共线向量定理是什么？问题3：空间两向量共线的充要条件应该是怎样的？（问题1，2的设计意图：回顾共线向量与平面共线向量基本定理：如果两个向量，a b（0b≠），a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使b xa=。

第2讲 空间向量基本定理、坐标运算及应用一[玩前必备]1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量． 思考1：若a ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？【名师提醒】 不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋vx 2，uy 1＋vy 2，uz 1＋vz 2)； (3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．5.直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0【玩转典例】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A ．AB AC AD ，， B ．11AB AA AB ，， C ．11111 D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++考点二 基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60，M 是PC 的中点， 设,,AB a AD b AP c ===． （1）试用,,a b c 表示出向量BM ； （2）求BM 的长．2．（2020·陕西新城。