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第3课时平行四边形的判定1．掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件选择合适的判定定理判定一个四边形是平行四边形；(重点)2．能够灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明．(难点)一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：平行四边形的判定【类型一】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF ∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF ＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.【类型二】两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF.试探究四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题中的已知条件可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF ＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∴AC ＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB ＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过三角形全等和等量代换解决．【类型三】 对角线互相平分的四边形是平行四边形已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ；(2)四边形AFBE 是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 就可以了．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ，∴△AOC ≌△BOD (AAS )；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO .∴四边形AFBE 是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题探究点二：平行四边形判定与性质的综合应用如图所示，在▱ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG .求证：EG 和HF 互相平分．解析：由EG 和HF 是四边形EFGH 的对角线，可将证明EG 和HF 互相平分转化成证明四边形EFGH 是平行四边形． 证法1：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C (平行四边形的对边相等，对角相等)．∵DE ＝BG ，而AE ＝AD －ED ，CG ＝CB －GB ，∴AE ＝CG .∵AF ＝CH ，∴△AEF ≌△CGH ，∴EF ＝HG .同理FG ＝HE .∴四边形EFGH 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∴EG 和HF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．证法2：∵DE ＝BG ，∴DE 平行且等于BG ，即四边形DEBG 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OE ＝OG .又∵AF ＝CH ，∴FB ＝HD ，∴FB 平行且等于HD .∴四边形FBHD 是平行四边形，对角线BD 与FH 互相平分．∵BD 的中点O 只有一个，∴BD 与FH 也交于O 点．∴OB ＝OD ，OF ＝OH ，∴EG 与HF 互相平分．方法总结：本题综合利用了平行四边形的判定与性质，证明的关键在于根据图形发现平行四边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课是对前面所学的全等三角形和平行四边形的定义、性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，在教学内容上起着承上启下的作用．教学过程中通过操作、交流、论证，使学生逐步掌握说理的基本方法，能合理清晰地表达自己的思维过程．让学生主动参与探索的过程，发展学生的合情合理意思，激发学生学习数学的热情和兴趣.第2课时二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm2)．他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的混合运算计算：(1)48÷3－12×12＋24；(2)12÷43×23－50.解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6；(2) 原式＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝ －922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的． 【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2. 解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －yx －xy(x >0，y >0)，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋yxy.∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2，∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．【类型四】 二次根式混合运算的应用 一个三角形的底为63＋22，这条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为12(63＋22)(33－2)＝12×2×(33＋2)(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】 分母有理化计算： (1)215＋122；(2)3－23＋2＋3＋23－2. 解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算．解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6；(2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10.方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a·a的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a＋b，则分子、分母同乘以a－b.【类型二】分母有理化的逆用比较15－14与14－13的大小解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13.∵15＋14＞14＋13＞0，∴115＋14＜114＋13即15－14＜14－13.方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。
19.２平行四边形的判定教学设计教学目标：知识与技能１、探索平行四边形的判定条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
２、掌握应用上面判定方法对一些平行四边形的判定进行说明。
过程与方法１、通过操作、观察、猜想、论证、推理等活动，培养学生逻辑推理的能力，培养学生发散思维的能力。
２、经历对平行四边形判定方法的探究，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
情感、态度与价值观学生通过观察、实验、类比获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的准确性，培养学生克服困难的意志，通过解题激发学生的学习兴趣。
重点、难点重点：探索并掌握平行四边形的判定条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
难点：经历对平行四边形判定方法的探索过程，培养学生合理的推理意识、主动探索的习惯，逐步掌握说理的基本方法。
教学准备多媒体课件、三角尺教学方法通过动手操作、猜想结论、论证结论、探索判定平行四边形的条件，让学生自主地接受知识，激发学生学习兴趣，更有利于学生灵活运用所学知识解决实际问题。
教学过程一、复习提问，衔接新知师问：１、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
２、平行四边形有哪些性质？性质1 ：平行四边形的对边相等。
性质2 ：平行四边形的对角相等。
性质3 ：平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的定义有两层意思：(1) 若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边就分别平行；(2)若一个四边形的两组对边分别平行，则它是平行四边形。
二、操作实验，探究新知B′A B将线段AB按图上所给方向和距离平移，得到线段A′B′。
因此，线段A′B′与线段AB 即平行又相等。
连接AA′，BB′得到四边形ABB′A′。
这样这个四边形的一组对边平行且相等。
19.２平行四边形的判断教课方案教课目的：知识与技术１、研究平行四边形的判断条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线相互均分的四边形是平行四边形。
２、掌握应用上边判断方法对一些平行四边形的判断进行说明。
过程与方法１、经过操作、察看、猜想、论证、推理等活动，培育学生逻辑推理的能力，培育学生发散思想的能力。
２、经历对平行四边形判断方法的研究，进一步提升学生剖析问题、解决问题的能力。
感情、态度与价值观学生经过察看、实验、类比获取数学的猜想，体验数学活动充满着研究性和创建性，感觉证明的必需性、证明过程的谨慎性以及结论的正确性，培育学生战胜困难的意志，经过解题激发学生的学习兴趣。
要点、难点要点：研究并掌握平行四边形的判断条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线相互均分的四边形是平行四边形。
难点：经历对平行四边形判断方法的研究过程，培育学生合理的推理意识、主动研究的习惯，逐渐掌握说理的基本方法。
教课准备多媒体课件、三角尺教课方法经过着手操作、猜想结论、论证结论、研究判断平行四边形的条件，让学生自主地接受知识，激发学生学习兴趣，更有益于学生灵巧运用所学知识解决实质问题。
教课过程一、复习发问，连接新知师问：１、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
２、平行四边形有哪些性质？性质 1 ：平行四边形的对边相等。
性质 2 ：平行四边形的对角相等。
性质 3 ：平行四边形的对角线相互均分。
平行四边形的定义有两层意思： (1) 若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边就分别平行； (2)若一个四边形的两组对边分别平行，则它是平行四边形。
二、操作实验，研究新知１、操作·察看 A B ′A B将线段 AB 按图上所给方向和距离平移，获取线段A′ B′。
所以，线段A′ B′与线段AB 即平行又相等。
连结 AA′， BB′获取四边形 ABB′ A′。
漫水河中学“三段式”有效教学导学案年级八年级学科数学课题：平行四边形的判定（第2课时）主备教师审核人授课时间2012.4. 发放学案时间（学生填写）学习目标：1.了解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.2.运用平行四边形的判定定理和有关性质来证明或解决问题．3.学习添加简单的辅助线来研究和证明问题，培养添加辅助线的意识和能力. 学习重难点：三角形中位线定理、平行四边形的判定定理与性质定理的应用．课前自主预习问题：1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 .2.三角形两边中点的连线，并且等于 .3.在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有哪几对？4. 如右图，ΔABC中，BC=10cm,D、E分别是AB、AC的中点，则DE= .再经过点D作就能得到一个平行四边形.（用字母表示）课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：1.学习课本例题4 已知：如图，点E、F是Y ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形.（1）思考判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？（2）研究和解决四边形问题常用的方法①是运用已知平行四边形的性质，②是添加将四边形转化成的问题来思考（如证明两个三角形全等），所需添加的辅助线要在证明中写出，在图上画出（虚线）. （3）证明过程要严密，做到步步有据：证明连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是，∴AO= ,BO= .又∵AE= ,∴OE= .即四边形是平行四边形.证明方法2：（提示：考虑证明ΔADE≌ΔCBF或ΔABE≌ΔCDF等）2.学习例题5 已知：如图，点D、E分别为ΔABC的边AB、AC的中点，求证： DE∥BC，且DE=1BC2.(1)学用添加辅助线的方法构造全等三角形.(2)小组讨论、分析证明方法：①证明线段相等的方法有哪些？②证明线段的倍数或几分之一常用什么方法？(3)认识三角形的中位线的概念：本题中的线段DE是ΔABC两边中点的连线，叫做ΔABC的中位线.用文字表述本例题中的结论（三角形中位线定理）：.3.补充例题：已知三角形的边长分别是6cm、8cm和10cm，顺次连接各边中点所得的三角形周长和面积分别是和 .自结测试：（1）已知ΔABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若ΔDEF的周长为20cm，则ΔABC的周长为 .（2）已知EF过□ABCD对角线的交点O，并交CD边于点E、交AB边于点F，若AD=4cm,AB=5cm,OE=1.5cm,则四边形EFBC的周长是 cm.（3）如下图，在RtΔABC中，∠ACB=900，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B，①CF=DE吗？请说明理由.②若AC=6cm,AB=10cm,求四边形DCFE的面积.自我评价：，同伴评价：，组长评价：，教师评价： .课后作业：课本P81页第11题、P82页第13，16题.班级：姓名：。
