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2017-2018学年广东省广州市增城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）sin150°的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知sinα＝，α为第一象限角，则tanα的值是（）A．B．C．D．3．（5分）半径为2，弧长为的扇形的面积为（）A．B．C．πD．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）若向量＝（2，3），＝（﹣4，﹣7），则＝（）A．（﹣2，﹣4）B．（2，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）6．（5分）若sin（﹣α）＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣7．（5分）两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切8．（5分）将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则φ一个取值可以为（）A．πB．πC．D．09．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于（）A．36B．216C．±36D．±21610．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD 的中点，且，则λ+μ＝（）A．3B．C．2D．111．（5分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为多少km （）A．20B．30C．15D．3012．（5分）已知函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b为常数，ab≠0，x∈R），若f（﹣x）＝f （x﹣）对一切x∈R恒成立，则函数y＝f（x﹣）是（）A．奇函数且它的图象关于（，0）对称B．偶函数且它的图象关于（，0）对称C．奇函数且它的图象关于（，0）对称D．偶函数且它的图象关于（，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知cosα＞0，sinα＜0，则α为第象限角．14．（5分）已知||＝1，||＝2，向量与的夹角为60°，则|+|＝．15．（5分）已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为．16．（5分）设函数f（x）＝，数列{a n}满足a n＝f（n），n∈N*，且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列的前n项和为T n，求T2015的值．18．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．19．（12分）在平面直角坐标系中，设向量＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），其中A，B为△ABC的两个内角．（1）若⊥，求证：C为直角；（2）若∥，求证：tan A＝﹣3tan B．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝﹣．（1）求sin C的值；（2）当a＝2，2sin A＝sin C时，求b和c的长．21．（12分）若数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3a n﹣1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1＝3a1，b3＝S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和为T n．22．（12分）已知圆O的方程为x2+y2＝1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2017-2018学年广东省广州市增城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）sin150°的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°＝，故选：A．2．（5分）已知sinα＝，α为第一象限角，则tanα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由sinα＝，且α为第一象限角，得cosα＝，∴．故选：C．3．（5分）半径为2，弧长为的扇形的面积为（）A．B．C．πD．【解答】解：∵S扇形＝LR，L＝，R＝2，∴S扇形＝××2＝．故选：B．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．5．（5分）若向量＝（2，3），＝（﹣4，﹣7），则＝（）A．（﹣2，﹣4）B．（2，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）【解答】解：向量＝（2，3），＝（﹣4，﹣7），则＝+＝（2﹣4，3﹣7）＝（﹣2，﹣4）．故选：A．6．（5分）若sin（﹣α）＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：sin（﹣α）＝，可得cosα＝，cos2α＝2cos2α﹣1＝2×＝﹣．故选：C．7．（5分）两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【解答】解：把x2+y2﹣8x+6y+9＝0化为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，又x2+y2＝9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R＝4和r＝3，则两圆心之间的距离d＝＝5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．8．（5分）将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则φ一个取值可以为（）A．πB．πC．D．0【解答】解：将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝sin（2x﹣+φ）的图象，再根据得到的函数是一个偶函数的图象，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．则φ一个取值可以为，故选：A．9．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于（）A．36B．216C．±36D．±216【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5＝a2a4＝a32＝36，∴a3＝6，∴a2a3a4＝a33＝216故选：B．10．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD 的中点，且，则λ+μ＝（）A．3B．C．2D．1【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴＝（1，0），＝（﹣1，1），∵＝（λ﹣μ，μ），又∵点P为CD的中点，∴＝（，1），∴，∴λ＝，μ＝1，∴λ+μ＝，故选：B．11．（5分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为多少km （）A．20B．30C．15D．30【解答】解：设根据题意，可得Rt△BCD中，设CD＝xkm，∵∠CBD＝15°，∴tan∠CBD＝＝（2﹣）x由此可得BD＝＝（2+）xkm∵Rt△ADB中，∠ABD＝60°∴AD＝BD＝（2+3）x因此，AC＝AD﹣CD＝（2+3）x﹣x＝15×4即（2+2）x＝60，解之得x＝15（﹣1）km由此可得Rt△BCD中，BC＝＝＝30km，即此时的船与灯塔的距离为30km故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b为常数，ab≠0，x∈R），若f（﹣x）＝f （x﹣）对一切x∈R恒成立，则函数y＝f（x﹣）是（）A．奇函数且它的图象关于（，0）对称B．偶函数且它的图象关于（，0）对称C．奇函数且它的图象关于（，0）对称D．偶函数且它的图象关于（，0）对称【解答】解：函数f（x）＝a sin2x+b cos2x＝sin（2x+φ），其中tanφ＝．其对称轴x＝，∴+φ＝，k∈Z．φ＝．函数y＝f（x﹣）＝sin（2（x﹣）+φ）＝sin（2x+）＝cos（2x+kπ），∴函数y＝f（x﹣）是偶函数；当x＝时，可得函数y＝f（x﹣）＝cos（+kπ）＝sin（kπ）＝0．∴图象关于（，0）对称，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知cosα＞0，sinα＜0，则α为第四象限角．【解答】解：由三角函数的符号规律可知：由cosα＞0，可得α为第一，四象限角，或x轴的非负半轴，同理由sinα＜0可得α为第三，四象限角，或y轴的非负半轴，取公共部分可得α为第四象限角，故答案为：四14．（5分）已知||＝1，||＝2，向量与的夹角为60°，则|+|＝．【解答】解：由题意可得＝||•||•cos60°＝1×2×＝1，∴|+|＝＝＝＝，故答案为：．15．（5分）已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为3．【解答】解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，可知tan（α+β）＝＝，即＝，解得tanβ＝3．故答案为：3．16．（5分）设函数f（x）＝，数列{a n}满足a n＝f（n），n∈N*，且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（3，4）．【解答】解：函数f（x）＝，数列{a n}满足a n＝f（n），n∈N*，且数列{a n}是递增数列，可得4﹣a＞0，且a＞1，8（4﹣a）+1＜a2，即a＜4，且a＞1，且a＞3，可得3＜a＜4，故答案为：（3，4）．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列的前n项和为T n，求T2015的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，解得d＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝2+（n﹣1）•2＝2n；（2）由，解得k＝10或k＝﹣11（舍去）；（3）∵，∴，∴T2015＝＝．18．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）∴（1）f（x）的最小正周期T＝；（2）有正弦函数的性质可知：当2x+＝时，k∈Z函数y＝sin（2x+）取得最大值为1．∴函数f（x）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）的最大值为2．此时的x＝（k∈Z）即取得最大值时x的集合为{x|x＝（k∈Z）}．19．（12分）在平面直角坐标系中，设向量＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），其中A，B为△ABC的两个内角．（1）若⊥，求证：C为直角；（2）若∥，求证：tan A＝﹣3tan B．【解答】证明：（1）∵向量＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），其中A，B为△ABC的两个内角．⊥，∴＝﹣＝0，∴，∵A+B∈（0，π），∴A+B＝，∴C为直角．（2）证明：∵∥，∴﹣3sin B cos A﹣sin A cos B＝0，∴sin A cos B＝﹣3sin B cos A，∴tan A＝﹣3tan B．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝﹣．（1）求sin C的值；（2）当a＝2，2sin A＝sin C时，求b和c的长．【解答】解：（1）由cos2C＝1﹣2sin2C＝﹣，及0＜C＜π，解得sin C＝；（2）当a＝2，2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，解得c＝4；由cos2C＝2cos2C﹣1＝﹣，及0＜C＜π，解得cos C＝±；由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，化简得b2±b﹣12＝0，解得b＝或b＝2；所以b＝或b＝2，c＝4．21．（12分）若数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3a n﹣1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1＝3a1，b3＝S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3a1﹣1，∴a1＝1，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝（3a n﹣1）﹣（3a n﹣1﹣1），即a n＝3a n﹣1，∵a1＝1≠0，∴数列{a n}是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列，∴，设{b n}的公差为d，b1＝3a1＝3，b3＝S2+3＝7＝2d+3，d＝2．∴b n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1；（2）∵c n＝＝，∴①②由①﹣②得，＝．∴．22．（12分）已知圆O的方程为x2+y2＝1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0…（2分）又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（5分）（2）对于圆O的方程x2+y2＝1，令x＝±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x＝3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…（9分）所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2＝1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…（11分）即＝0即，又s2+t2＝1故圆C的方程为，令y＝0，则（x﹣3）2＝8，所以圆C经过定点，y＝0，则x＝，所以圆C经过定点且定点坐标为（15分）。
2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，故复数的虚部为．选D．2. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以．选C．3. “常数是2与8的等比中项”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵常数是2与8的等比中项，∴，解得．∴“常数是2与8的等比中项”是“”的必要不充分条件．选B．4. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选A.5. 已知是双曲线的一个焦点，点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设一条渐近线方程为，，则点到的一条渐近线的距离，则双曲线的离心率，故选C.6. 等差数列的第四项等于（）A. 3B. 4C.D.【答案】A【解析】∵成等差数列，∴，∴，∴，解得．∴等差数列的前三项为，∴公差，∴数列的第四项为．选A．7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体截去了两个半圆柱而形成的，则该几何体的表面积为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知曲线，则下列结论正确的是（）A. 把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B. 把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称C. 把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D. 把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称【答案】B【解析】对于A，把向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，为偶函数，图象关于轴对称．故A不正确．对于B，把向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，为偶函数，图象关于轴对称．故B正确．对于C，把向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，无奇偶性，图象不对称．故C不正确．对于D，把向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为，无奇偶性，图象不对称．故D不正确．综上选B．9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A. 是偶数，B. 是奇数，C. 是偶数，D. 是奇数，【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，结束，所以第二个框应该填，故选D.10. 已知函数在其定义域上单调递减，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵函数在其定义域上单调递减，∴在定义域上恒成立，且不可恒为0，即恒成立．结合函数的图象及导数的几何意义可得选项A满足条件．选A．11. 已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设切线的方程为．由消去x整理得（*），∵直线与抛物线相切，∴，故．∴方程（*）为，解得．∴点的坐标分别为．在方程中，令，可得，∴点的坐标为．∴，∴当时，取得最小值．选C．点睛：在求解解析几何中的最值问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先选择适当的变量建立目标函数，然后再根据函数解析式的特征，选择用基本不等式或函数的知识求解这个最值，这是解决此类问题常用的方法．12. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出函数的图象如图所示．不妨令，则，则．结合图象可得，故．∴．选B．点睛：解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到；二是根据图象判断出c的取值范围，进而得到的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量的夹角为30°，则__________．【答案】1【解析】因为单位向量的夹角为，所以，，故答案为.14. 设满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图，由可得，由图可知，当直线过点时，取得最大值，此时，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知数列的前项和为，且，则__________．【答案】14【解析】由题意得．答案：16. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】如图，连结交于点，设重合于点，正方形的边长为，则该四棱锥的侧面积是底面积的倍，，解得，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，则，，，解得，外接球的体积，故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在中，角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，求的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）将条件变形可得，利用余弦定理可得所证的结论．（2）当时，由（1）中的结论可得；再根据正弦定理可得，又又，根据面积公式可得结果．试题解析：（1）∵，∴，由余弦定理可得，∴，∴.（2）∵，∴，由正弦定理得，∴，又，∴.18. “微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）先根据题中数据完成列联表，然后根据列联表求得，再结合临界值表中的数据得到结论即可．（2）根据古典概型概率的求法先通过列举法得到基本事件总数和男性人数超过女性人数所包含的基本事件数，然后根据概率公式求解．试题解析：（1）根据题意完成下面的列联表：根据列联表中的数据，得到，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”．（2）设步行数在中的男性的编号为1，2，女性的编号为.从5人中选取三位的所有情况为：，共有10种．符合条件的情况有：，共3种．故所求概率为.19. 如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.（1）证明：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2)2.【解析】试题分析：（1）由折叠问题的特征可得，又，，故可得平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论．（2）过点作交于点，连结，结合条件可得可得，于是得到．然后根据条件求得，，然后根据可求得点到平面的距离．试题解析：（1）证明：由题意可得，∴，又，，∴平面.∵平面，∴平面平面．（2）解：过点作交于点，连结，则平面，∵平面，∴，又，∴平面，又平面∴．于是可得，∴ ，∴,∴．设点到平面的距离为，由，可得．∵，∴平面，∴．又,∴．又，∴，解得．故点到平面的距离为2．点睛：（1）解决折叠性问题时首先要分清在折叠前后哪些量（位置关系或数量关系）发生了变化，哪些量没有发生变化．一般的结论是在折线同侧的量的关系在折叠前后不变，在折线两侧的量的关系在折叠前后改变．（2）立体几何中求点到平面的距离时，可把所求的距离看作是一个三棱锥的高，利用可利用等体积法求解．20. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线的斜率，再根据题意可得，根据此式可求得，为定值．试题解析：（1）由题意可得，解得．故椭圆的方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴．设点的坐标分别为，则，∴．∵直线的斜率成等比数列，∴，整理得，∴，又，所以，结合图象可知，故直线的斜率为定值．点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数.（1）证明：当时，函数在上是单调函数；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】 (1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意得，再令，利用导数可得在取得最小值，且，于是，从而得到在上是单调递增函数．（2）由题意分离参数可得当时，恒成立．令，利用导数可得到当时，取得最小值，且，从而可得，即为所求的范围．试题解析：（1）∵，∴，令，则，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴函数在取得最小值，且最小值为，∴在上恒成立，∴在上是单调递增函数．（2）由题意得当时，恒成立，∴当时，恒成立．令，则，令，则.∴时，单调递增，∴，即．∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴当时，取得最小值，且，∴．故实数的取值范围为.点睛：（1）不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角函数式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性)，求参数取值范围．（2）解决不等式恒成立问题的常用方法是分离参数法，将参数分离后变成或恒成立的问题，此时只需满足或即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，从而问题得解．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）化圆的标准方程为一般方程，再把代入一般方程得的极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义以及直线的点斜式方程，可得的直角坐标方程；（2）分别将代入，得，根据极径与极角的几何意义，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）因为圆的普通方程为，把代入方程得，所以的极坐标方程为，的平面直角坐标系方程为；（2）分别将代入，得，则的面积为.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，取掉绝对值符号，分别求解不等式组，然后求并集即可求得不等式的解集；（2）存在，使得成立，等价于，求得，，根据交集的定义列不等式求解即可.试题解析：（1）由题意可得，当时，，得，无解；当时，，得，即；当时，，得，综上，的解集为.（2）因为存在，使得成立，所以，又，由（1）可知，则，所以，解得.故的取值范围为.。
2017-2018学年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则A B = （ ）（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ 【答案】D 【解析】试题分析：{}{}22002x x x x x B =-≤=≤≤，所以{}01x x A B =≤≤ ，故选D ．考点：1、一元二次不等式；2、集合的交集． 2.已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：()()()()23133321112i i i i i i z i i i i +-+-+-====-++-，所以复数z 所对应的点()2,1Z -，在第四象限，故选D ．考点：1、复数的除法运算；2、复数的几何意义．3.已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（ ）（A ）12 （B ）15 （C ）15- （D ）12-【答案】C 【解析】试题分析：()()()22226f -=---=，所以()()()1126165f f f -===--，故选C ． 考点：分段函数求值．4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B 【解析】试题分析：依题意，得C 2P =PA ，设点P 到C A 的距离为h ，所以∆PAB 与C ∆PB 的面积之比是C1121C 2C 2hS S h ∆PAB∆PB PA⋅PA ===P P ⋅，故选B ．考点：三角形的面积． 5.如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：26πT =，解得：3πT =，因为23ππωT ==，所以6ω=，故选B ． 考点：三角函数的性质．6.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：第1次运行：2339x =⨯+=，2k =，9100>，否；第2次运行：29321x =⨯+=，4k =，21100>，否；第3次运行：221345x =⨯+=，6k =，45100>，否；第4次运行：245393x =⨯+=，8k =，93100>，否；第5次运行：2933189x =⨯+=，10k =，189100>，是，所以输出10k =．故选C ．考点：程序框图． 7.在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】试题分析：作出平面区域，如图所示，其中阴影部分符合2y x ≤，其面积为11111224S =⨯⨯=，正方形的面积为111S =⨯=，所以点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率是114S S =，故选A ．考点：1、线性规划；2、几何概型． 8.已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）（A ）（B ） （C （D【答案】B 【解析】试题分析：因为3sin 5α=，2παπ<<，所以4c o s 5α==-，所以sin 124f ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34sin coscos sin44525210ππαα=+=⨯-⨯=-，故选B ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和的正弦公式．9.如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++= ，则12n PF P F P F +++= （ ）（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D ）220n +【答案】A 【解析】试题分析：抛物线C 的焦点()F 1,0，准线方程是1x =-，由抛物线的定义得：11F 1x P =+，22F 1x P =+，⋅⋅⋅，F 1n n x P =+，所以1212F F F 1nn x x x n n P +P+⋅⋅⋅+P =++⋅⋅⋅++=+，故选A ．考点：抛物线的定义．10.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）（A ）20π （B （C ）5π （D 【答案】D 【解析】=R =，所以该球的体积为34V R 3π=343π=⨯=⎝⎭D ． 考点：1、六棱柱的外接球；2、球的体积． 11.已知下列四个：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】试题分析：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥或//l α，所以1p 是假；()22x x f x --=-()()22x x f x -=--=-，所以2p 是真；由111x x +=+得：0x =，所以3p 是假；a b A >B ⇒>2R sin 2R sin sin sin ⇒A >B ⇒A >B ，所以4p 是真．故选B ．考点：1、直线与平面的位置关系；2、函数的奇偶性；3、全称与特称；4、正弦定理． 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）（A ）8+（B ）8+（C ）2+（D ）1224+【答案】A 【解析】试题分析：该四面体是如图中的三棱锥D C -AB ，D B =AB =，1C A =D AB 的底边D A =的表面积是11242422S =⨯⨯+⨯⨯ 114822+⨯+⨯+A ．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.函数()33f x x x =-的极小值为 ． 【答案】2- 【解析】试题分析：()233f x x '=-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．考点：导数研究函数的极值．14.设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．【答案】[]6,15- 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：由23z x y =-+可得233z y x =+表示的是斜率为23，截距为3z 的平行直线系．当截距最大时，z 最大，当截距最小时，z 最小．当过直线230x y --=与直线230x y +-=的交点()3,0A 时，截距最小，min 2306z =-⨯+=-，当过直线230x y +-=与直线3x =-的交点()3,3B -时，截距最大，()max 233315z =-⨯-+⨯=，所以23z x y =-+的取值范围是[]6,15-． 考点：线性规划．15.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【答案】12【解析】试题分析：由题意得：(),0a A -，()F ,0c ，所以(),a b BA =-- ，()F ,c b B =-，因为F 0BA⋅B =，所以20b ac -=，因为222b c a =-，所以220c ac a --=，两边同除以2a ，得210e e --=，解得：e =（舍去）或e =． 考点：1、双曲线的简单几何性质；2、平面向量的坐标运算．16.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ． 【答案】5考点：余弦定理．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（I ）2n n a =；（II ）()16232n n n +T =+-⨯．【解析】试题分析：（I ）设数列{}n a 的公比，由题意列出关于q 的方程，解出q ，进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）先求出数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可得数列{}n n a b 的前n 项和n T ．试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ， 因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分 所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分 考点：1、等比数列的通项公式；2、数列求和． 18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[)45,65内的概率．【答案】（I ）0.05；（II ）23． 【解析】试题分析：（I ）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1可得这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（II ）先算出落在区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的产品件数，再列举出从6件产品中任意抽取2件产品的基本事件和这2件产品都在区间[)45,65内的基本事件，进而利用古典概型公式可得这2件产品都在区间[)45,65内的概率． 试题解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1． 用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ． 在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ，则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分考点：1、频率分布直方图；2、古典概型；3、分层抽样． 19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1ACO ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求点C 到平面1OBB 的距离．【答案】（I ）证明见解析；（II ． 【解析】试题分析：（I ）由题意可证1D A O ⊥B ，C D O ⊥B ，进而可证D B ⊥平面1C A O ；(II)先将点1B 到平面CD AB 的距离转化为点1A 到平面CD AB 的距离，再利用等积法可得点C 到平面1OBB 的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AO ⊥BD ．……………………………………………………………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分因为1AO CO O = ，1AO ，CO ⊂平面1ACO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，21==AA AB ，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯5分 因为1AO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以1AO AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1AO ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1AAC ，所以BD ⊥1A A ． 因为11A A B B ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分 所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =gg ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⋅===所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分 解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面1ACO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D ．…4分 连接11AC 与11B D 交于点1O ，连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点，所以11OAO C 为平行四边形． 所以111OC OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OAO C 与平面11BB D D 交线为1OO ， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O C A O ，1AO ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB212分考点：1、线面垂直；2、点到平面的距离． 20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22184x y +=；(II)()2,0或()2,0-．解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．…………12分解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．即20t =，即222808y t x +=-． （※）…………9分 因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………………12分解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………12分考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质；3、直线与圆锥曲线的位置关系． 21.（本小题满分12分）已知函数()e ln 1x f x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >. 【答案】（I ）()1y e x =-（II ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先代入1m =，对()f x 求导数，再算出()1f '，()1f ，进而可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）先构造函数()ln 2xg x e x =--，再利用导数可得()g x 的最小值，，进而可证当1m ≥时，()1f x >．试题解析：（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1x f x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x xf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->.思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e xh x x =-，则21()e 0xh x x'=+>， 所以函数()h x =1()e xg x x'=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e xg x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分 因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 （若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2xx ->.因为曲线e x y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ，则)12AB d d +． 其中1t d =2d =()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．所以1t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=．所以2d =≥所以)122AB d d +>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1x f x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.思路1：设()e ln 2x g x m x =--，则1()e xg x m x'=-. 设1()e xh x m x =-，则21()e 0xh x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e xg x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202m mg m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->，所以函数1()e xg x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1ex x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE = ；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．【解析】（I ）利用弦切角定理和D //C E A 证D ∆AE ∽D ∆EB ，进而可证2D E =AE⋅BE ；（II ）先利用切割线定理可得EB 和AB ，利用（I ）的结论可得D E ，再由D //C E A 可得C ∆BA ∽D ∆EB ，进而可得C A ．试题分析：试题解析：（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线， 所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）．………………1分 因为DE CA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2分 所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE = ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE = ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分 所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分考点：1、相似三角形的判定定理；2、弦切角定理；3、切割线定理． 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（I ）2220x y y +-=（或()2211x y +-=）；（II）32⎫⎪⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（I ）先两边同乘ρ得22sin ρρθ=，再利用222x y ρ=+，sin y ρθ=可得曲线C 的直角坐标方程；（II ）先消去t 可得直线l 的普通方程，再设点D 的坐标，利用垂直可得0x ，进而检验可得点D 的坐标．试题解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =．所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分由于点D 到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分解法二：因为直线l 的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l 50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l 的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（II ）)+∞．【解析】试题分析：（I ）先代入1a =得()1f x x x =+-，写出分段函数，再求解()12f x ≥，进而可得实数x 的取值范围；(II)先由已知条件得()max b f x >⎡⎤⎣⎦，再利用绝对值不等式可得()f x 的最大值，进而利用基本不等式可得实数b 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分 以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =≤=当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x ≤+==当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =.思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分考点：1、绝对值不等式；2、恒成立问题；3、基本不等式．。
2017-2018学年广东省广州市增城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）sin150°的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知sinα＝，α为第一象限角，则tanα的值是（）A．B．C．D．3．（5分）半径为2，弧长为的扇形的面积为（）A．B．C．πD．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）若向量＝（2，3），＝（﹣4，﹣7），则＝（）A．（﹣2，﹣4）B．（2，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）6．（5分）若sin（﹣α）＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣7．（5分）两圆x 2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切8．（5分）将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则φ一个取值可以为（）A．πB．πC．D．09．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于（）A．36B．216C．±36D．±21610．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD 的中点，且，则λ+μ＝（）A．3B．C．2D．111．（5分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为多少km （）A．20B．30C．15D．3012．（5分）已知函数f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b为常数，ab≠0，x∈R），若f（﹣x）＝f （x﹣）对一切x∈R恒成立，则函数y＝f（x﹣）是（）A．奇函数且它的图象关于（，0）对称B．偶函数且它的图象关于（，0）对称C．奇函数且它的图象关于（，0）对称D．偶函数且它的图象关于（，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知cosα＞0，sinα＜0，则α为第象限角．14．（5分）已知||＝1，||＝2，向量与的夹角为60°，则|+|＝．15．（5分）已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为．16．（5分）设函数f（x）＝，数列{a n}满足a n＝f（n），n∈N *，且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列的前n项和为T n，求T2015的值．。
2017-2018学年广东省广州市增城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1．（5分）（2014•武鸣县校级模拟）sin150︒的值是( )A ．12B C ． D ．12．（5分）（2018春•增城区期末）已知4sin 5α=，α为第一象限角，则tan α的值是( ) A ．35B ．53C ．43D ．343．（5分）（2018春•增城区期末）半径为2，弧长为23π的扇形的面积为( ) A ．3π B ．23π C ．π D ．43π 4．（5分）（2012•福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为() A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）（2018春•增城区期末）若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则(BC = ) A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--6．（5分）（2018春•增城区期末）若3sin()25πα-=，则cos2(α= )A ．725B ．2425C ．725-D ．2425-7．（5分）（2018秋•日照期末）两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是() A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切8．（5分）（2018春•增城区期末）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向右平移8π个单位后得到一个偶函数的图象，则ϕ一个取值可以为( ) A ．34πB ．38πC ．4π D ．09．（5分）（2015•赫山区校级三模）已知等比数列{}n a 中，12a =，518a =，则234a a a 等于() A ．36B ．216C ．36±D ．216±10．（5分）（2017•广安模拟）如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+，则(λμ+= )A ．3B ．52C ．2D ．111．（5分）（2018春•增城区期末）一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为多少(km )A ．B ．C ．D ．12．（5分）（2018春•增城区期末）已知函数()sin 2cos2(f x a x b x a =+，b 为常数，0ab ≠，)x R ∈，若()()4f x f x π-=-对一切x R ∈恒成立，则函数()8y f x π=-是( )A ．奇函数且它的图象关于(2π，0)对称 B ．偶函数且它的图象关于(2π，0)对称C ．奇函数且它的图象关于(4π，0)对称D ．偶函数且它的图象关于(4π，0)对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2018春•增城区期末）已知cos 0α>，sin 0α<，则α为第 象限角． 14．（5分）（2018春•增城区期末）已知||1a =，||2b =，向量a 与b 的夹角为60︒，则||a b += ．15．（5分）（2015•江苏）已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为 ． 16．（5分）（2018春•增城区期末）设函数7(4)1,8(),8x a x x f x a x --+⎧=⎨>⎩…，数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（2015•扶沟县校级模拟）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，36a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若110k S =，求k 的值；（3）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2015T 的值．18．（12分）（2018春•增城区期末）已知函数()sin 22()f x x x x R =+∈． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合．19．（12分）（2018春•增城区期末）在平面直角坐标系中，设向量(3cos m A =，sin)A ，(cos ,)n B B =，其中A ，B 为ABC ∆的两个内角．（1）若m n ⊥，求证：C 为直角； （2）若//m n ，求证：tan 3tan A B =-．20．（12分）（2018春•增城区期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 124C =-．（1）求sin C 的值；（2）当2a =，2sin sin A = C 时，求b 和c 的长．21．（12分）（2014•邯郸一模）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈，等差数列{}n b 满足113b a =，323b S =+． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设3nn nb a =ð，求数列{}n ð的前n 项和为n T ． 22．（12分）（2010•福建模拟）已知圆O 的方程为221x y +=，直线1l 过点(3,0)A ，且与圆O 相切．（1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点P '，直线QM 交直线2l 于点Q '．求证：以P Q ''为直径的圆C 总经过定点，并求出定点坐标．2017-2018学年广东省广州市增城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1．（5分）sin150︒的值是( )A ．12B C ． D ．1【分析】利用sin(180)sin αα︒-=即可求得答案． 【解答】解：1sin150sin(18030)sin302︒=︒-︒=︒=， 故选：A ．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题． 2．（5分）已知4sin 5α=，α为第一象限角，则tan α的值是( ) A ．35B ．53C ．43D ．34【分析】由已知求得cos α，再由商的关系求解． 【解答】解：由4sin 5α=，且α为第一象限角，得3cos 5α==，∴sin 4tan cos 3ααα==． 故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3．（5分）半径为2，弧长为23π的扇形的面积为( ) A ．3π B ．23π C ．π D ．43π 【分析】根据12S LR =扇形，代入计算即可． 【解答】解：12S LR =扇形，23L π=，2R =，1222233S ππ∴=⨯⨯=扇形． 故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，属于基础题．4．（5分）等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】设数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得12410a d +=，137a d +=，由此解得d 的值．【解答】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=，解得2d =， 故选：B ．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 5．（5分）若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则(BC = ) A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【分析】根据平面向量的线性表示与坐标运算，计算即可． 【解答】解：向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--， 则(24BC BA AC =+=-，37)(2-=-，4)-． 故选：A ．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题．6．（5分）若3sin()25πα-=，则cos2(α= )A ．725B ．2425C ．725-D ．2425-【分析】利用诱导公式化简，然后通过二倍角公式转化求解即可． 【解答】解：3sin()25πα-=，可得3cos 5α=， 297cos22cos 1212525αα=-=⨯-=-． 故选：C ．【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，考查计算能力． 7．（5分）两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R 和r ，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把228690x y x y +-++=化为22(4)(3)16x y -++=，又229x y +=， 所以两圆心的坐标分别为：(4,3)-和(0,0)，两半径分别为4R =和3r =，则两圆心之间的距离5d ，因为43543-<<+即R r d R r -<<+，所以两圆的位置关系是相交． 故选：B ．【点评】此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．8．（5分）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向右平移8π个单位后得到一个偶函数的图象，则ϕ一个取值可以为( ) A ．34πB ．38πC ．4π D ．0【分析】由题意利用sin()y A x ωϕ=+的变换规律，诱导公式，三角函数的奇偶性，求得ϕ的一个取值．【解答】解：将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向右平移8π个单位后得到sin(2)4y x πϕ=-+的图象，再根据得到的函数是一个偶函数的图象，42k ππϕπ∴-+=+，k Z ∈．则ϕ一个取值可以为34π， 故选：A ．【点评】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的变换规律，诱导公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{}n a 中，12a =，518a =，则234a a a 等于( ) A ．36B ．216C ．36±D ．216±【分析】由等比数列的性质可得21524336a a a a a ===，解得3a 的值，即可得解． 【解答】解：由等比数列的性质可得21524336a a a a a ===， 36a ∴=，32343216a a a a ∴==故选：B ．【点评】本题考查等比数列的性质，得到215336a a a ==，是解题的关键．属于基础题． 10．（5分）如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+，则(λμ+= )A ．3B ．52C ．2D ．1【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到AP AB AE λμ=+的坐标表示，进而得到答案．【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图， 则(1,0)B ，(1,1)E -，∴(1,0)AB =，(1,1)AE =-，(,)AP AB AE λμλμμ=+=-，又点P 为CD 的中点，∴1(2AP =，1)，∴121λμμ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， 32λ∴=，1μ=， 52λμ∴+=， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量加减的几何意义，数形结合思想，难度中档．11．（5分）一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为多少(km)A ．B ．C ．D ．【分析】设过B 点的南北方向直线与直线AB 交于点D ，且CD xkm =，结合题中数据在Rt BCD ∆中算出(2)B D x k m =+，然后在Rt ADB ∆中算出(3)A D x =+，根据15460AC AD CD km =-=⨯=建立关于x 的方程解出1)x km =，最后在Rt BCD ∆中利用三角函数的定义加以计算，即可算出此时的船与灯塔的距离． 【解答】解：设根据题意，可得 Rt BCD ∆中，设CD xkm =，15CBD ∠=︒，tan (2CDCBD x BD∴∠==由此可得(2BD xkm =Rt ADB ∆中，60ABD ∠=︒3)AD x ∴==因此，3)154AC AD CD x x =-=-=⨯即2)60x =，解之得1)x km =由此可得Rt BCD ∆中，sin15CD BC ===︒，即此时的船与灯塔的距离为故选：B ．【点评】本题给出实际应用问题，求航行过程中船与灯塔的距离．着重考查了利用正余弦定理解三角形、直角三角形中三角函数的定义和方位角的概念等知识，属于中档题． 12．（5分）已知函数()sin 2cos2(f x a x b x a =+，b 为常数，0ab ≠，)x R ∈，若()()4f x f x π-=-对一切x R ∈恒成立，则函数()8y f x π=-是( )A ．奇函数且它的图象关于(2π，0)对称 B ．偶函数且它的图象关于(2π，0)对称C ．奇函数且它的图象关于(4π，0)对称D ．偶函数且它的图象关于(4π，0)对称【分析】根据三角函数化简，()()4f x f x π-=-对一切x R ∈恒成立，可知函数关于8x π=-对称．即可建立关系．【解答】解：函数()sin 2cos 2)f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=． 其对称轴8x π=-，∴42k ππϕπ-+=+，k Z ∈．34k πϕπ=+． 函数3()))))8844y f x x x k x k ππππϕππ=--+-++=+，∴函数()8y f x π=-是偶函数；当4x π=时，可得函数()cos())082y f x k k ππππ=-=+==． ∴图象关于(4π，0)对称，故选：D ．【点评】本题考查正弦函数的对称性，辅助角公式化简是关键，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知cos 0α>，sin 0α<，则α为第 四 象限角．【分析】由cos 0α>，可得α为第一，四象限角，或x 轴的非负半轴，由sin 0α<可得α为第三，四象限角，或y 轴的非负半轴，取公共部分即可． 【解答】解：由三角函数的符号规律可知：由cos 0α>，可得α为第一，四象限角，或x 轴的非负半轴， 同理由sin 0α<可得α为第三，四象限角，或y 轴的非负半轴， 取公共部分可得α为第四象限角， 故答案为：四【点评】本题考查三角函数值的符号，以及象限角和轴线角的定义，属基础题．14．（5分）已知||1a =，||2b =，向量a 与b 的夹角为60︒，则||a b +【分析】由题意可得1a b =，再根据2||()a b a b +=+，计算求得结果． 【解答】解：由题意可得1||||cos601212a b a b =︒=⨯⨯=，222||()2124a b a b a a b b ∴+=+=++=++，【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题． 15．（5分）已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为 3 ． 【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：tan 2α=-，1tan()7αβ+=，可知tan tan 1tan()1tan tan 7αβαβαβ++==-，即2tan 112tan 7ββ-+=+，解得tan 3β=． 故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．16．（5分）设函数7(4)1,8(),8x a x x f x a x --+⎧=⎨>⎩…，数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 (3,4) ．【分析】由题意可得40a ->，1a >，且f （8）f <（9），解不等式组求交集，即可得到所求范围．【解答】解：函数7(4)1,8(),8x a x x f x a x --+⎧=⎨>⎩…，数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且数列{}n a 是递增数列， 可得40a ->，且1a >，28(4)1a a -+<， 即4a <，且1a >，且3a >， 可得34a <<， 故答案为：(3,4)．【点评】本题考查数列的单调性，注意结合一次函数、指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17．（10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，36a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若110k S =，求k 的值；（3）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2015T 的值．【分析】（1）由题意列关于首项和公差的方程组，求得公差，则数列{}n a 的通项公式可求； （2）直接利用等差数列的前n 项和公式求得k 的值；（3）求出等差数列的前n 项和，再由裂项相消法求2015T 的值． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由131226a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =，∴数列{}n a 的通项公式2(1)22n a n n =+-=；（2）由21(1)(1)2211022k k k k k S ka d k k k --=+=+=+=， 解得10k =或11k =-（舍去）； （3）(22)(1)2n n n S n n +==+， ∴1111(1)1n S n n n n ==-++， 2015111111112015(1)()()()1223342015201620162016T ∴=-+-+-+⋯+-=-=． 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和的求法，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18．（12分）已知函数()sin 22()f x x x x R =+∈． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合．【分析】（1）利用辅助角公式化简，即可求解()f x 的最小正周期； （2）结合正弦函数的性质，即可求最大值以及取得最大值时x 的集合． 【解答】解：函数()sin 22sin(2)3f x x x x π==+∴（1）()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）有正弦函数的性质可知：当2232x k πππ+=+时，k Z ∈函数sin(2)3y x π=+取得最大值为1．∴函数()sin 22sin(2)3f x x x x π==+的最大值为2．此时的()12x k k Z ππ=+∈即取得最大值时x 的集合为{|()}12x x k k Z ππ=+∈．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，最值的求解．属于基础题．19．（12分）在平面直角坐标系中，设向量(3cos m A =，sin )A ，(cos ,)n B B =，其中A ，B 为ABC ∆的两个内角． （1）若m n ⊥，求证：C 为直角； （2）若//m n ，求证：tan 3tan A B =-．【分析】（1）由向量垂直的性质得：3cos cos sin 0m n A B A B ==，从而c o s ()0A B +=，进而2A B π+=，由此能证明C 为直角．（2）由//m n ，得3sin cos sin cos 0B A A B --=，由此能证明tan 3tan A B =-．【解答】证明：（1）向量(3cos m A =，sin )A ，(cos ,)n B B =， 其中A ，B 为ABC ∆的两个内角．m n ⊥，∴3cos cos sin 0m n A B A B ==，∴)0A B +=，(0,)A B π+∈，2A B π∴+=，C ∴为直角．（2）证明：//m n ，3sin cos sin cos 0B A A B ∴--=，sin cos 3sin cos A B B A ∴=-， tan 3tan A B ∴=-．【点评】本题考查角为直角的证明，考查两个角的正切值的倍数的证明，考查向量垂直、向量平行、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 124C =-．（1）求sin C 的值；（2）当2a =，2sin sin A = C 时，求b 和c 的长．【分析】（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sin C 的值；（2）利用正弦定理先求出边长c ，由二倍角公式求cos C ，再用余弦定理解方程求出边长b ． 【解答】解：（1）由21cos212sin 4C C =-=-，及0C π<<，解得sin C =（2）当2a =，2sin sin A C =时， 由正弦定理sin sin a cA C=， 解得4c =；由21cos22cos 14C C =-=-，及0C π<<，解得cos C = 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，化简得2120b -=，解得b或b =；所以b或b =4c =．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是中档题．21．（12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈，等差数列{}n b 满足113b a =，323b S =+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设3nn nb a =ð，求数列{}n ð的前n 项和为n T ． 【分析】（1）由数列递推式求出1a ，在数列递推式中取1n n =-得另一递推式，作差后得到数列{}n a 为等比数列，则数列{}n a 的通项公式可求，再由113b a =，323b S =+求出数列{}n b 的首项和公差，则{}n b 的通项公式可求； （2）把数列{}n a 、{}n b 的通项公式代入3nn nb a =ð，直接由错位相减法求数列{}n ð的前n 项和为n T ．【解答】解：（1）当1n =时，11231S a =-，11a ∴=，当2n …时，11222(31)(31)n n n n n a S S a a --=-=---，即13n n a a -=， 110a =≠，∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，∴13n n a -=，设{}n b 的公差为d ，1133b a ==，323723b S d =+==+，2d =． 3(1)221n b n n ∴=+-⨯=+；（2）2133n n n n b n a +==ð， ∴123357213333n nn T +=+++⋯+① 234113572133333n n n T ++=+++⋯+② 由①-②得，234122222211333333n n n n T ++=++++⋯+-1111(1())2193121313n n n -+-+=+⨯--．∴223n nn T +=-． 【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．22．（12分）已知圆O 的方程为221x y +=，直线1l 过点(3,0)A ，且与圆O 相切． （1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点P '，直线QM 交直线2l 于点Q '．求证：以P Q ''为直径的圆C 总经过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）由已知中直线1l 过点(3,0)A ，我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k 值，进而得到直线1l 的方程；（2）由已知我们易求出P ，Q 两个点的坐标，设出M 点的坐标，我们可以得到点P '与Q '的坐标（含参数），进而得到以P Q ''为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论． 【解答】解：（1）由题意，可设直线1l 的方程为(3)y k x =-， 即30kx y k --=⋯（2分）又点(0,0)O 到直线1l的距离为1d ==，解得4k =， 所以直线1l的方程为3)y x =-，40y --40y +-=⋯（5分）（2）对于圆O 的方程221x y +=，令1x =±，即(1,0)P -，(1,0)Q ． 又直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为(1)1ty x s =++． 解方程组3(1)1x ty x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩，得4/(3,)1t P s +， 同理可得：2/(3,)1tQ s -．⋯（9分） 所以圆C 的圆心C 的坐标为23(3,)1st ts --，半径长为23||1st t s --， 又点(,)M s t 在圆上，又221s t +=．故圆心C 为13(3,)st-，半径长3||s t -． 所以圆C 的方程为222133(3)()()s s x y t t---+-=，⋯（11分） 即2222222(13)(13)(3)(3)0s y s s x y t t t ----+-+-= 即22222(13)8(1)(3)0s y s x y t t ---+-+=，又221s t +=故圆C 的方程为222(13)(3)80s yx y t--+--=， 令0y =，则2(3)8x -=，所以圆C 经过定点，0y =，则3x =± 所以圆C经过定点且定点坐标为(3±（15分）【点评】本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系，弦长公式等是解答本题的关键．。
增城中学高三数学每周一测(1)(2020-08-16)姓名学号分数一.单项选择题:每小题5分,共40分.二．多项选择题:每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的0分.三.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 14. 15. 16.四.解答题:本大题共6小题,共70分17.(本小题满分10分)18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)ABCD1A1C1B增城中学高三数学每周一测(1)参考答案一、单项选择题二、多项选择题 三、填空题13.14 14.2 15. 2 23(前3分,后2分) 16.1和-1 四、解答题17.解:(1)由题意,11512,1736,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得2d =,12a =.∴2(1)22n a n n =+-⨯=.(2)选条件①:4122(1)(1)n b n n n n ==⋅++,1111223(1)n S n n =+++⨯⨯+11111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 选条件②:∵2n a n =,(1)nn n b a =-,∴2468(1)2n n S n =-+-+-+-⋅,当n 为偶数时,(24)(68)[2(1)2]n S n n =-++-+++--+22nn =⨯=；当n 为奇数时,1n -为偶数, (1)21n S n n n =--=--.,,1,.n n n S n n ⎧∴=⎨--⎩为偶数为奇数选条件③:∵2n a n =,2n a n n b a =⋅,∴22224n nn b n n =⋅=⋅, ∴12324446424n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯,①234142444642(1)424n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯,②由①-②得,123132424242424n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯()18142414n n n +-=-⨯-()1814243n n n +-=-⨯-,∴()18214493nn n n S +=-+⋅. 18.详解:(1)法一: 因为//m n ,cos (2)cos C b A =,cos 2sin cos sin A C B A A C =,)2sin cos A C B A +=,2sin cos B B A =,因sin 0B >,所以cos A =又(0,)A π∈,所以6A π=.法二: 因为//m n ,cos (2)cos C b A =,易知222cos 2a b c C ab +-=,222cos 2b c a A bc +-=,代入上式得,222222(2)22a b c b c a b ab bc+-+-⨯=⨯, 整理得222b c a =+-,所以222cos 2b c a A bc +-==,又(0,)A π∈,所以6A π=. (2)由(1)222b c a =+-,又22212b ac -=,所以c =,又111sin 2222ABCSbc A b ==⨯=,得29b =,所以3b =. 19.解:解法一:(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥.正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,AO ∴⊥平面11BCC B .连结1B O ,在正方形11BB C C 中,O D ，分别为1BC CC ，的中点, 1B O BD ∴⊥, 1AB BD ∴⊥.在正方形11ABB A 中,11AB A B ⊥, 1AB ∴⊥平面1A BD .(Ⅱ)设1AB 与1A B 交于点G ,在平面1A BD 中,作1GF A D ⊥于F ,连结AF ,由(Ⅰ)得1AB ⊥平面1A BD .1AF A D ∴⊥, AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角.在1AA D △中,由等面积法可求得AF = ABCD1A1C1BOF又1122AG AB ==, 210sin 45AG AFG AF ∴===∠.∴6cos 4AFG ∠=所以二面角1A A D B --的余弦值大小为6. 解法二:(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥. 在正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,AD ∴⊥平面11BCC B .取11B C 中点1O ,以O 为原点,OB ,1OO ,OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系,则(100)B ，，,(110)D -，，,1(023)A ，，,(003)A ，，,1(120)B ，，, 1(123)AB ∴=-，，,(210)BD =-，，,1(123)BA =-，，.12200AB BD =-++=,111430AB BA =-+-=, 1AB BD ∴⊥,11AB BA ⊥.1AB ∴⊥平面1A BD .(Ⅱ)设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n .(113)AD =--，，,1(020)AA =，，.AD ⊥n ,1AA ⊥n ,100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，03y x z =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，．令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量.由(Ⅰ)知1AB ⊥平面1A BD ,1AB ∴为平面1A BD 的法向量.cos <n ,111336222AB AB AB -->===-n n .∴二面角1A A D B --的余弦值大小为64. 20.解:(1)根据表中数据,描点如图:(2)由已知数据得t =123456 3.56+++++=,35811131496y +++++==,6131024446584230i ii t y==+++++=∑,62114916253691ii t==+++++=∑,z AB C D1A1C1BO Fy616222162306 3.59 2.34916 3.56i i i ii t yt yb tt ∧==-+-⨯⨯==≈-⨯-∑∑,9 2.34 3.50.81a y bt ∧∧=-=-⨯=, 所以y 关于t 的线性回归方程为 2.340.81y t ∧=+.(3)由(2)可知,当1t =时,1 3.15y ∧=；当2t =时,2 5.49y ∧=；当3t =时,37.83y ∧=；当4t =时,410.17y ∧=；当5t =时,512.51y ∧=；当6t =时,614.85y ∧=.与年利润数据i y 对比可知,满足0i iy y ∧-<的数据有3个,所以X 的所有可能取值为0,1,2,则23261(0)5C P X C ===,1133263(1)5C C P X C ===,23261(2)5C P X C ===,X 的分布列为数学期望131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=. 21.解:(1)由椭圆22221x y a b+=的右焦点为,知223a b -=,即223b a =-则222213x y a a +=-,23a >.又椭圆过点(2,1)M -,∴224113a a +=-,又23a >,∴26a =. ∴椭圆Γ的标准方程为22163x y +=.(2)设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y由221,63(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(1)6x k x +-=,即()2222124260k x k x k +-+-= ∵点(1,0)N 在椭圆内部,∴>0∆∴212221224122621k x x kk x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩则()()()()12122211t MA MB x x y y =⋅=+++--()()()1122212411x x x x k k x k x k =++++--⋅--()()()22212121225k x x k k x x k k =++--++++()()222222226412252121k k t k k k k k k k -∴=+⋅+--⋅+++++∴22152121k k t k +-=+,∴2(152)210t k k t -+--=,R k ∈ 则0)1)(215(4221=+-+=∆t t ,∴1)1)(152(=+-t t ,即0161322=--t t由题意知1t ,2t 是2213160t t --=的两根∴12132t t +=. 22.解:(Ⅰ)当0a =时,()ln ,x f x e x =-∴()()10,xf x e x x=->'()11,f e ∴=-'又()1f e =,∴函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程()()11y e e x -=--,即()110e x y --+=. (Ⅱ)由题意得()1(0)x af x e x x+=->', 设()()1x ag x f x ex +='=-,则()210x a g x e x+=+>', ()g x ∴在()0,+∞上是增函数.x a a e e +>,由1aa e x e x可得->>, ∴当a x e ->时,()0f x '>； 若101x a a x e e ++<<<，则,由111a a ex e x可得+--<<, ∴当{}10min 1,a x e --<<时,()0f x '<,故()0f x '=仅有一解,记为0x ,则当00x x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减；当0x x >时,()0f x '>,()f x 单调递增.()()000min ln x a f x f x e x +∴==-,而()00000110x ax a f x ee x x ++=-=='，故，解得00ln ,a x x =-- 记()ln h x x x =+,则()000011ln ,f x x h x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又()011111a a h x h e e e ⎛⎫>-⇔-<-⇔< ⎪⎝⎭, 而()h x 显然是增函数,所以00110x e e x <⇔,()011h h e e x ⎛⎫∴>=+ ⎪⎝⎭； 综上可得当11a e>-时,()1f x e >+.。
2018 年增城区初中毕业班综合测试数学注意事项：本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25 小题，共5 页，满分150 分．考试时间120 分钟．1．答卷前，考生务必在答题卡用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、考号．2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．考生可以使用考试专用计算器，必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30 分）一、选择题（本题有10 个小题，每小题3 分，满分30 分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．在实数1，0 ，1， 2 中，最小的实数是（※）A． 2B．1C．0 D．12．如图1 所示的几何体的俯视图是（※）3．下列运算正确的是（※）A ． 3a22a 2 1 B ． a 2 a 3a 6C ． a b 2a 2b 2 D ． a b 2a 2 2ab b 24．如图 2，在半径为 5cm 的⊙ O 中，弦 AB 6cm ， OC AB 于点 C ， 则OC （ ※）A ． 3cmB ． 4cmC ． 5cmD ． 6cm5．学校抽查 30 名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成条形统计图（如图 3）， 则 30 名学生参加活动的平均次数是（ ※ ） A ． 2B ． 2.8C ． 3D ．3.36．菱形具有而平行四边形不．一．定．具有的性质是（ ※ ） A ．两组对边分别平行 B ．两组对角分别相等 C ．两条对角线互相平分 D ．两条对角线互相垂直7．代数式有意义，则 x 的取值范围是（ ※ ）A ． x 2B ． x 2C ． x 2D ． x 28．如图 4， ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 tan A BC （ ※ ）A．B．2C．D．9．关于抛物线y x 2 2x 1，下列说法错．误．的是（※ ）A．开口向上B．与x 轴只有一个交点C．对称轴是直线x 1D．当x 0 时，y 随x 的增大而增大10．如图5，直线y x 4 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC PD 最小时，点P 的坐标为（※）A．(-3,0)B．(-6,0)C．(-,0)D．(-,0)第二部分非选择题（共120 分）二、填空题（本题有6 个小题，每小题3 分，共18 分．）11．太阳半径约为696000 千米，数字696000 用科学记数法表示为※ ．12．分解因式：m2 1=※ ．13．分式方程 1 的解是※ ．14．若关于x 的一元二次方程x 2 2x m 0 有实数根，则m 的取值范围是※ ．15．如图6，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则这个圆锥的侧面积是※ cm2 ．（结果用表示）16．如图7，在正方形ABCD 中，边长为2 的等边AEF 顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：2①CE CF ；②AEB 75 ；③BE DF EF ；④S正方形ABCD其中正确的序号是※ （把你认为正确的都填上）．三、解答题（本题有9 个小题，共102 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）17．（本题满分9 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．18．（本题满分9 分）如图8，在RtABC 中，ACB 90 ，DE 、DF 是ABC 的中位线，连接EF 、CD ．求证：CD EF ．19．（本题满分10 分）先化简，再求值：x 22x 2 x 12x2 ，其中x20．（本题满分10 分）当前，“精准扶贫”工作已进攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A1、A 2 、A3、A4，现对A1 、A2 、A3 、A4 统计后，制成统计图（如图9）．（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；（2）将条形统计图补充完整，并求出A1 所在扇形的圆心角的度数；（3）现从A1 、A2 中各选出一人进行座谈，若A1 中只有一名女生，A2 中只有两名女生，请用树状图法或列表法求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．21．（本题满分12 分）如图10，一次函数y ax b 与反比例函数y 的图象交于A 、B 两点，点A坐标为（6 ，2 ），点B 坐标为（ 4 ，n ），直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）求四边形OCBD 的面积．22．（本题满分 12 分）如图11，某一栋楼房AB 后有一假山，假山斜面CD 上有一休息亭E ，测得ABC 90 ，BCD 150 ，BC 25 米，CE 20 米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45 ，求楼房AB 的高．（结果保留根号）A45°DEB C（图11）水平地面23．（本题满分12 分）如图12，在RtABC 中，C 90 , AD 是BAC 的角平分线，以AB上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ．A （1）尺规作图：作出⊙O ，并连接OD （不写作法与证明，保留作图痕迹）；（2）求证：OBD ∽ABC ．B D C（图12）24．（本题满分14 分）如图13-1，在平面直角坐标系中，直线y x m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B （0 ，1），抛物线y x 2 bx c 经过点B ，交直线AB 于点C （4 ，n ）．（1）分别求m 、n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0＜t ＜4），DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，点F 在直线AB 上，且四边形DFEG 为矩形（如图13-2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式和p的最大值．AC25．（本题满分14 分）如图14，在边长为2 的正方形ABCD 中，以点D 为圆心、DC 为半径作⌒，点E 在AB 上，且与A 、B 两点均不重合，点M 在AD 上，且ME MD ，过点E 作EFME ，交BC于点F ，连接DE 、MF ．（1）求证：EF 是弧AC所在⊙D 的切线；（2）当MA时，求MF 的长；（3）试判断：MFE 能否构成等腰直角三角形？若能，请求出MF 的长度；若不能，请说明理由．。
增城区高级中学2018～2019学年第二学期期中考试高一级 数学 科 试 题命题人： 黄裕鸿 审核人： 王刚宝一、选择题（12题每小题5分共60分）1．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )A. (7,4)--B.(7,4)C.(1,4)-D.(1,4) 2．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a ( )A ．-1B ．0C ．1D ．33.在中，3=c ，045=B ，060=C ，则b =（ ）A..B.C.D.4．在∆ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC =（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π5.已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是（ ）A.l α⊥，//l βB.//l α，//l βC.α⊥γ，γβ⊥D.//αγ，//γβ6.一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．15πC ．15D ．247．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1 BCD ．28.已知向量,满足====∙b a ,321( )A. B.6C.D. 59.在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若A ＝060，3=a ，3=+c b ，则A B C∆的面积为（ ） A.43 B.23C.3D. 2 10.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）A.323πB.83πC.D.311. 已知△ABC 的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,且sin sin 2BAab=, 则cos B 的值为A.2 B. 12 C. 12-D. 2- 12．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（） A BC D 二、填空题（4题每题5分共20分）13.一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________.14. 已知向量()()3,2,2,1==n m ，则在方向上的投影为15. 已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球(不计损耗)，则该铜球的半径是__________16. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为 .AV CB图2三、解答题15.（本小题满分10分）已知向量()()()2,3,,2,2,1-===λ．(1)b a //，求实数λ的值；(2)若c a k +与c a 2-垂直，求实数k 的值．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积．17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为 棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF平面11CB D ；（2）求证：平面11CB D ⊥平面11C CAA ．A 118.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知π11sin()214A +=,1cos(π)2B -=-.（1）求sin A 与B 的值；（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值.19.（本小题满分12分）已知向量,12==，向量3,2+=-=，．(1)若与的夹角为060-的值；(2)若⊥，求向量与的夹角θ的值．20．（本小题满分12分）如图，已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是 ⊙O 上一点，且AC =BC =P A ， E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF //平面ABC ； （2）求证：EF ⊥平面P AC ； （3）求三棱锥B —P AC 的体积.PAB增城区高级中学2018～2019学年第二学期期中考试高X 级 XX 科 答 卷一.选择题二．填空题 13. π6 14.13138 15. 3 16.33215.向量，，．，，解得实数．..........4分，，与垂直，，解得实数 (10)分16.解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >……………2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯……3分 12=-．4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ==………6分由正弦定理2sin aR A=，……7分得2sin 214a R A ==⨯=8分 由（1）设7a k =，即k =5b k ==3c k ==10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=12=⨯……11分=12分17.()分面面面分面面，，又分面，面分）在正方体中（分面，面，在正方体中的中点分别为连接12......,10......7.....5....24.....//////,,11111111111111111111111111111111111111111111111111C CAA D CB D CB D B C CAA D B C CAA A A C A A A A C A A A D B D C B A D B D C B A A A D B C A D CB D B D CB EF D B EF D B BD BDEF AB AD F E BD ⊥∴⊂⊥∴⊂=⋂⊥∴⊂⊥⊥⊂⊄∴∴18.解：（1）πsin()cos 2A A +=Q ，11cos 14A ∴=，……2分 又0πA <<Q ，…3分sin A ∴=.…4分 1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且0πB <<， π3B ∴=.…6分 （2）法一：由正弦定理得sin sin a bA B=， sin 7sin a Bb A⋅∴==，………8分 另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-，解得8c =或3c =-（舍去）…………………11分 7b ∴=，8c =.……12分A 119.．即．20.证明：（1）在∆PBC 中，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点，所以EF //BC . （2分） 又BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以EF //平面ABC . （4分） （2）因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC . （5分） 因为AB 是⊙O 的直径，所以BC ⊥AC . （6分） 又P A ∩AC =A ，所以BC ⊥平面P AC . （7分） 由（1）知EF //BC ，所以EF ⊥平面P AC . （8分） （3）解：在Rt ∆ABC 中，AB =2，AC =BC ，所以2==BC AC . （9分）所以2=PA .因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 所以121=⋅=∆AC PA S PAC . （10分） 由（2）知BC ⊥平面P AC ，所以3231=⋅=∆-BC S V PAC PAC B . （12分）PA B。
增城中学2018届普通高中毕业班综合测试（三）数学（文科）2018.11.本试卷共4页．共21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1.复数2ii+-等于（ ）. A ．12i -+ B.12i - C. i 21+ D. 12i --2.集合{}20,2,A a =,{}1,B a =,若{}1AB =,则a 的值为( )A. 0B. 1C.-1D. 1±3.已知0AB AC ⋅=uu u r uu u r ， ||3,||2AB AC ==u u u r u u u r ，则||BC uu u r=（ ）A 5 B.5 C. 13 D. 134.设a b <,函数2()()y a x x b =--的图象可能是（ ）5．曲线1xy x =+在2x =-处的切线方程为（ ） A ．40x y ++= B.40x y -+= C. 0x y -= D. 40x y --=6. 圆222440x y x y +-+-=与直线220()tx y t t R ---=∈的位置关系（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能7.已知等比数列}{n a 中1n n a a +>，且37283,2a a a a +=⋅=，则117a a =（ ） A. 21B. 23C. 32D. 28.将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于（ ）xyO abxyO ab xyO ab xyO ab AB C DA ．6π B ．116π C. 76π D. 56π9．椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ．若3FA FB =,则AF =（ ） A ．2 B ． 2 C ．3 D ．310．已知函数2log (1),0,()(1)1,0.x x f x f x x -≤⎧=⎨-+>⎩则(2010)f =（ ）A ．2018B ．2018C ．2018D ．2018二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11.已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为 ． 12．已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 ．13．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只以第一小题计分）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线2sin()42πρθ+=，与直线31x ky +=垂直，则常数k = ．15.(几何证明选讲选做题)如图，过点D 做圆的切线切于B 点，作割线交圆于,A C 两点，其中3,4,BD AD == 2AB =，则BC = ．C B DA（第15题图）是 否结束i =1，sum =0，s =0sum =sum +1i =i +1 s =s +1/(sum ×i )输出s开始 （第13题图）三、解答题，本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分13分) 设函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕφπ=+-<<在π=x 处取最小值.（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C . 17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，+∞) 频数 48 121 218 223 193 165 42 频率（I ）将各组的频率填入表中；（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．18．(本小题满分13分)如图，在四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，22SB SD ==，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：CD ⊥平面SAE ；（Ⅱ）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．19.（本小题满分14分） 如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线:4l x =与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于 点M ．求证：点M 恒在椭圆C 上．20.（本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a ⋅=, 2716a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式：（Ⅱ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：31223(*)2222nn nb b b b a n N =++++∈， 求数列{}n b 的前n 项和n S . 21．（本小题满分14分）已知函数3()3.f x x x =-（Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（Ⅱ）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．增城中学2018届高中毕业班综合测试（三）数学试题(文科）答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ACDBBCDBAC1.解析:2(2)2112()1i i i i i i i i ++-===-+--,故选A. 2.解析：∵{}20,2,A a =,{}1,B a =,{}1A B =∴211a a ⎧=⎨≠⎩∴1a =-,故选C. 3.解析： 0AB AC ⋅=uu u r uu u r ，∴AB AC ⊥uu u r uu u r。
增城区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 2． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ） A ．e x+1 B ．e x ﹣1 C ．e ﹣x+1 D ．e ﹣x ﹣13． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<5． 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．24D ．48 6． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinAB ．2bcosAC ．2bsinBD ．2bcosB7． 若，[]0,1b ∈，则不等式221a b +≤成立的概率为（ ）A ．16π B ．12π C ．8π D ．4π 8． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个9． 已知函数f （x ）=，则f （1）﹣f （3）=（ ）A ．﹣2B ．7C ．27D ．﹣710．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）. A. ]210,1( B. ]537,1( C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）11．设曲线y=ax ﹣ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，空间四边形OABC 中，，，，点M 在OA 上，且，点N 为BC 中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．14．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力． 15．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ．16．已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= . 三、解答题17．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．18．（本小题满分12分）111]在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，DB EF //. （1）已知BC AB =，CF AF =，求证：⊥AC 平面BEF ； （2）已知H G 、分别是EC 和FB 的中点，求证： //GH 平面ABC .19．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，(1,2P 是椭圆上1122|,||PF F F PF 成等差数列．（1）求椭圆C 的标准方程；、（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分10分）已知函数f （x ）＝|x －a |＋|x ＋b |，（a ≥0，b ≥0）． （1）求f （x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围； （2）若f （x ）的最小值为2，求证：f （x ）≥a ＋b .21．已知函数f （x ）=x 2﹣mx 在[1，+∞）上是单调函数．（1）求实数m 的取值范围；（2）设向量，求满足不等式的α的取值范围．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．增城区第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】考点：命题的真假.2．【答案】D【解析】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．3．【答案】B【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．4．【答案】D5．【答案】C【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．6．【答案】D【解析】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，∴sinA=2sinBcosB，根据正弦定理==2R得：sinA=，sinB=，代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．故选D7．【答案】D【解析】考点：几何概型．8．【答案】C【解析】考点：真子集的概念.9．【答案】B【解析】解：∵，∴f （1）=f （1+3）=f （4）=17，f （3）=10， 则f （1）﹣f （3）=7， 故选B ．10．【答案】C【解析】如图，由双曲线的定义知，a PF PF2||||21=-，a QF QF 2||||21=-，两式相加得 a PQ QF PF 4||||||11=-+，又||||1PF PQ λ=，1PF PQ ⊥，||1||121PF QF λ+=∴， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||1211=-++=-+∴λλ，λλ-++=21114||aPF ①，λλλλ-+++-+=∴22211)11(2||a PF ②，在12PF F ∆中，2212221||||||F F PF PF =+，将①②代入得+-++22)114(λλa22224)11)11(2(c a =-+++-+λλλλ，化简得：+-++22)11(4λλ22222)11()11(e =-+++-+λλλλ，令t =-++λλ211，易知λλ-++=211y 在]34,125[上单调递减，故]35,34[∈t ，22222284)2(4t t t t t t e +-=-+=∴]25,2537[21)411(82∈+-=t ，]210,537[∈e ，故答案 选C.11．【答案】D【解析】解：，∴y ′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．12．【答案】B【解析】解： ===；又，，，∴．故选B．【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．二、填空题13．【答案】3．【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=x+=4，∴x=3，故答案为：3．【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．14．【答案】A【解析】15．【答案】②③．【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，②函数=cosx是偶函数，故②正确，③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数的一条对称轴方程，故③正确，④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，故答案为：②③．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．16．【答案】27-． 【解析】考点：向量的夹角．【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义．（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简三、解答题17．【答案】【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm ，在Rt △EOF 中，，∴，∴依题意函数的定义域为{x|0＜x ＜10}【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．18．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据DB EF //,所以平面BEF 就是平面BDEF ,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公共底边，点D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥,DF AC ⊥,即证得⊥AC 平面BEF 的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC 的中点为，连接GI ，HI ，根据中位线证明平面//HGI 平面ABC ,即可证明结论.试题解析：证明：（1）∵DB EF //，∴EF 与DB 确定平面BDEF .如图①，连结DF . ∵CF AF =，D 是AC 的中点，∴AC DF ⊥.同理可得AC BD ⊥. 又D DF BD = ，⊂DF BD 、平面BDEF ，∴⊥AC 平面BDEF ，即⊥AC 平面BEF .考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行. 19．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++＝22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716QA QB ⋅=-恒成立．20．【答案】【解析】解：（1）由|x －a |＋|x ＋b |≥|（x －a ）－（x ＋b ）| ＝|a ＋b |得，当且仅当（x －a ）（x ＋b ）≤0，即－b ≤x ≤a 时，f （x ）取得最小值， ∴当x ∈[－b ，a ]时，f （x ）min ＝|a ＋b |＝a ＋b . （2）证明：由（1）知a ＋b ＝2，（a ＋b ）2＝a ＋b ＋2ab ≤2（a ＋b ）＝4， ∴a ＋b ≤2，∴f （x ）≥a ＋b ＝2≥a ＋b ， 即f （x ）≥a ＋b . 21．【答案】【解析】解：（1）∵函数f （x ）=x 2﹣mx 在[1，+∞）上是单调函数∴x=≤1 ∴m ≤2∴实数m 的取值范围为（﹣∞，2]； （2）由（1）知，函数f （x ）=x 2﹣mx 在[1，+∞）上是单调增函数∵，∵∴2﹣cos2α＞cos2α+3∴cos2α＜∴∴α的取值范围为．【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率， 又∵直线x ﹣y ﹣2=0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…∴椭圆方程为：．…（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…则，于是…又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．∴…由m≠0得：又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…设原点O到直线的距离为d，则∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．。
