2018年广州市高考一模数学试卷(理科)

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥A ．A BB ．A BC ．()()A B RRD ．()()A B RR3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45B ．35C ．45-D ．35-6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是A ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为A ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为A ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-DC ABE二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b，若+=+a b a b ，则实数m = ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥切球的半径为 ．15．△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=， 则cos θ的值为 ．16．我国南宋数学家辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“辉三角形”．现将辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 图②图①某地1~10岁男童年龄ix（岁）与身高的中位数iy()cm()1,2,,10i =如下表：x（岁） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y()cm76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y()1021x xii∑-=()1021y yii∑-=()()101x x y yi ii∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r=++更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x=-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx=+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a y bx=-．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD-中，△ABD为正三角形，︒=∠120BCD，2CB CD CS===，︒=∠90BSD．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若BDSC⊥，求二面角CSBA--的余弦值．()()()121nx x y yi iib nx xii=--∑=-∑=DCBS已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-． （1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，数a 的取值围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．。

2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)
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2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)。

试卷类型：A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）2018.3 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在地市、县/区、学校以及自己地姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型<A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项地答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹地钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内地相应位置上；如需改动，先划掉原来地答案，然后再写上新地答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答地答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应地信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂地，答案无效.5．考生必须保持答题卡地整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体地体积公式，其中是锥体地底面积，是锥体地高．．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1．已知是虚数单位，若，则实数地值为A ．B ．C ．D ．2．在△中，角，，所对地边分别为，，，若，则为A ．B ．C ．D ．3．圆关于直线对称地圆地方程为A ．B ．C ．D ．4．若函数地定义域为实数集，则实数地取值范围为A ．B ．C ．D ．1 / 172 / 175．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生地分数，并绘制成如图1地频率分布直方图．样本数据分组为，，，，．若用分层抽 样地方法从样本中抽取分数在范围内地数据16个，则其中分数在范围内地样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个6．已知集合，则集合中地元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．57．设，是两个非零向量，则使成立地一个必要非充分条件是 A ．B ．C．D ．8．设，，为整数<），若和被除得地余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则地值可以是A ．2018B ．2018C ．2018D ．2018二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． <一）必做题<9～13题） 9．若不等式地解集为，则实数地值为． 10．执行如图2地程序框图，若输出，则输入地值为．11．一个四棱锥地底面为菱形，其三视图如图312．设为锐角，若13．在数列中，已知，记为数列地前项和，则． <14～15题，考生只能从中选做一题）14．<坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线与曲线，两点，若，则实数地值为．侧<左）视图图3 俯视图P图4输入 否输出图13 / 1715．<几何证明选讲选做题） 如图4，是圆地切线，切点为，直线与圆交于，两点，地平分线分别交弦，于，两点，已知，，则地值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．<本小题满分12分）已知函数地图象经过点．<1）求实数地值； <2）设，求函数地最小正周期与单调递增区间．17．<本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用地概率是，甲，丙两人同时不能被聘用地概率是，乙，丙两人同时能被聘用地概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．<1）求乙，丙两人各自能被聘用地概率；<2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用地人数与不能被聘用地人数之差地绝对值，求地分布列与均值<数学期望）．18．<本小题满分14分）如图5，在棱长为地正方体中，点是棱地中点，点在棱上，且满足．<1）求证：；<2）在棱上确定一点，使，，，四点共面，并求此时地长；<3）求平面与平面所成二面角地余弦值．19．<本小题满分14分）已知等差数列地首项为10，公差为2，等比数列地首项为1，公比为2，．<1）求数列与地通项公式；<2）设第个正方形地边长为，求前个正方形地面积之和．<注：表示与地最小值．）20．<本小题满分14分）图5已知双曲线：地中心为原点，左，右焦点分别为，，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足．<1）求实数地值；<2）证明：直线与直线地斜率之积是定值；<3）若点地纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，，在线段上取异于点，地点，满足，证明点恒在一条定直线上．21．<本小题满分14分）已知函数<其中为自然对数地底数）．<1）求函数地单调区间；<2）定义：若函数在区间上地取值范围为，则称区间为函数地“域同区间”．试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件地“域同区间”；若不存在，请说明理由．4 / 171 / 172018年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学<理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生地解法与参考答案不同，可根据试题主要考查地知识点和能力比照评分标准给以相应地分数． 2．对解答题中地计算题，当考生地解答在某一步出现错误时，如果后继部分地解答未改变该题地内容和难度，可视影响地程度决定后继部分地得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数地一半；如果后继部分地解答有较严重地错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得地累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．40分．30分．其中14~15或三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．<本小题满分1）<本小题主要考查三角函数图象地周期性、单调性、同角三角函数地基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化地数学思想方法，以及运算求解能力）解：<1）因为函数地图象经过点，所以．即．即．解得．<2）方法1：由<1）得．所以2 / 17．所以地最小正周期为．因为函数地单调递增区间为，所以当时，函数单调递增，即时，函数单调递增．所以函数地单调递增区间为．方法2：由<1）得．所以分所以函数地最小正周期为分因为函数地单调递减区间为，所以当时，函数单调递增．即<）时，函数单调递增．所以函数地单调递增区间为．17．<本小题满分1）<本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量地分布列与均值<数学期望）等知识，考查或然与必然地数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：<1）记甲，乙，丙各自能被聘用地事件分别为，，，由已知，，相互独立，且满足解得，．所以乙，丙各自能被聘用地概率分别为，．<2）地可能取值为1，3．因为．所以．所以地分布列为所以．18．<本小题满分1）<本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角地平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化地数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：3 / 17<1）证明：连结，，因为四边形是正方形，所以．在正方体中，平面，平面，所以．因为，，平面，所以平面．因为平面，所以．<2）解：取地中点，连结，则．在平面中，过点作，则．连结，则，，，四点共面．因为，，所以．故当时，，，，四点共面．<3）延长，，设，连结，则是平面与平面地交线．过点作，垂足为，连结，因为，，所以平面．因为平面，所以．所以为平面与平面所成二面角地平面角．因为，即，所以．在△中，，，4 / 175 / 17所以．即．<苏元高考吧： 广东省数学教师QQ 群：179818939） 因为，所以．所以．所以．故平面与平面所成二面角地余弦值为．空间向量法： <1）证明：以点为坐标原点，，，所在地直线分别为轴，轴，轴，建立如图地空间直角坐标系，则，，，，，所以，．因为， 所以．所以．<苏元高考吧： 广东省数学教师QQ 群：179818939） <2）解：设，因为平面平面， 平面平面，平面平面，所以． 所以存在实数，使得．6 / 17因为，，所以．所以，．所以．故当时，，，，四点共面．<3）解：由<1）知，．设是平面地法向量，则即取，则，．所以是平面地一个法向量． 而是平面地一个法向量， 设平面与平面所成地二面角为，则…1．故平面与平面所成二面角地余弦值为．第<1）、<2）问用推理论证法，第<3）问用空间向量法： <1）、<2）给分同推理论证法． <3）解：以点为坐标原点，，，所在地直线个人收集整理-仅供参考7 / 17分别为轴，轴，轴，建立如图地空间直角坐标系，则，，，则，．设是平面地法向量，则即取，则，．所以是平面地一个法向量． 而是平面地一个法向量， 设平面与平面所成地二面角为，则…1．故平面与平面所成二面角地余弦值为．19．<本小题满分1）<本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化地数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：<1）因为等差数列地首项为10，公差为2， 所以，即．因为等比数列地首项为1，公比为2， 所以，即．<2）因为，，，，，，，，，，，．易知当时，．下面证明当时，不等式成立．方法1：①当时，，不等式显然成立．②假设当时，不等式成立，即．则有．这说明当时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对地所有整数都成立．所以当时，．方法2：因为当时，所以当时，．所以则当时，8 / 179 / 17．当时，．综上可知，20．<本小题满分1）<本小题主要考查直线地斜率、双曲线地方程、直线与圆锥曲线地位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程地数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）<1）解：设双曲线地半焦距为，由题意可得解得．<2）证明：由<1）可知，直线，点．设点,，因为，所以．所以．因为点在双曲线上，所以，即．所以．所以直线与直线地斜率之积是定值．<3）证法1：设点，且过点地直线与双曲线地右支交于不同两点，，则，，即，．设，则．即整理，得由①×③，②×④得将，代入⑥，得．⑦将⑤代入⑦，得．所以点恒在定直线上．10 / 1711 / 17证法2：依题意，直线地斜率存在． 设直线地方程为，由消去得．因为直线与双曲线地右支交于不同两点，，则有设点，<苏元高考吧： 广东省数学教师QQ 群：179818939）由，得．整理得．1将②③代入上式得．整理得． ④因为点在直线上，所以． ⑤联立④⑤消去得． 所以点恒在定直线上．<本题<3）只要求证明点恒在定直线上，无需求出或地范围．）① ② ③21．<本小题满分1）<本小题主要考查函数地单调性、函数地导数、函数地零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论地数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：<1）因为，所以．当或时，，即函数地单调递增区间为和．当时，，即函数地单调递减区间为．所以函数地单调递增区间为和，单调递减区间为．<2）假设函数在上存在“域同区间”，由<1）知函数在上是增函数，所以即也就是方程有两个大于1地相异实根．设，则．设，则．因为在上有，所以在上单调递增．因为，，即存在唯一地，使得．当时，，即函数在上是减函数；当时，，即函数在上是增函数．因为，，，所以函数在区间上只有一个零点．这与方程有两个大于1地相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数在上不存在“域同区间”．12 / 17申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.13 / 17。

秘密 ★ 启用前试卷类型： A2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018． 3本试卷共 5 页， 23 小题， 满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1满足 z 1 i24i，则复数 z的共轭复数 z A．设复数 zA ． 2B ． 2C ． 2iD ． 2i2．设集合 Axx30 ， Bx x ≤ 3 ，则集合 x x ≥1 Dx1A ． A I BB ． A U B开始C ． 痧R A U R BD ． 痧R AIRBn 2, S 03．若 A ， B ， C ， D ， E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为 B4 32D ．A ．B ．C ．555 4．执行如图所示的程序框图，则输出的S D94 2D ．A ．B ．C ．20995．已知 sin x3，则 cos xD454A ．4B ．3C ．4 D ．11S S+25n n9 n n240否n ≥19?是3输出 S5 555结束6．已知二项式 2x21xAn 的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含1项的系数是xA ．84B ．14 C ． 14 D ． 847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 CA ． 4 4 2 2 3B ． 14 4 2C ． 10 42 2 3D ．4yxy 2≥0,z x2x y8满足约束条件 2 y 1 0,则 2 2的最小值为D．若 x ，≥x 1≤0,A ．11C ． 1D ．3B ．24249．已知函数 f xsinx60 在区间4 ， 上单调递增，则 的取值范围为3BA ． 0,8B ． 0,1C ． 1 ,8D ． 3, 2322 3810．已知函数f xx 3 ax 2bx a 2 在 x 1 处的极值为 10，则数对 a, b 为 CA ．3,3B ．11,4C ． 4,11D ．3,3 或 4, 1111．如图，在梯形ABCD 中，已知 ABuuur2 uuur2 CD ， AEAC ，双曲线5DEC过 C ， D ， E 三点，且以 A ， B 为焦点，则双曲线的离心率为 AA ． 7B ． 2 2ABC ． 3D ． 1012．设函数 f x在 R 上存在导函数 f x，对于任意的实数x ，都有 f xf x2x 2 ，当 x 0 时， f x 1 2x ，若 f a 1 ≤f a 2a 1，则实数 a 的最小值为 A1B ．1C．3D．2A ．22二、填空：本共 4 小，每小 5 分，共 20分．13．已知向量a m,2 ， b1,1，若 a b a b ，数m2．14 ．已知三棱P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形， AB⊥AC ， PA⊥底面 ABC ，PA AB1，个三棱内切球的半径33．615．△ABC的内角A，B，C的分a，b，c，若2a cosB2b cos A c 0 ，cos 的1．216．我国南宋数学家所著的《解九章算》中，用①的三角形形象地表示了二式系数律，俗称“ 三角形”．将三角形中的奇数成1，偶数成 0 ，得到②所示的由数字 0 和 1 成的三角形数表，由上往下数，第 n 行各数字的和S n，如S11，S2 2 ， S3 2 ， S4 4 ，⋯⋯，S12664．图①图②三、解答：共70 分．解答写出文字明、明程或演算步．第17～21必考，每个考生都必做答．第22、 23 考，考生根据要求做答．（一）必考：共60 分．17．（本小分12 分）已知数列n的前 n 和S n，数列Sn是首1，公差 2 的等差数列．a n （1）求数列a n的通公式；a 1 a 2a nn（2）设数列b5 4n 51 b 的前 n 项和 T n ．满足L，求数列nb 1 b 2b n2n18．（本小题满分 12 分）某地 1~10 岁男童年龄x i（岁）与身高的中位数y i cm i1,2, L,10 如下表：x （岁）12345678910 y cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y 10210210x i xi 1y i y x i x y i y i 1i 15.5112.4582.503947.71566.85（ 1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（ 2）某同学认为，y px2qx r 更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是 y0.30 x210.17 x68.07 ．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（ 1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？n$$$$x i x y i y附：回归方程 y a bx 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：i 1，b n2x i x $$i 1a y bx．19．（本小题满分12 分）S 如图，四棱锥S ABCD 中，△ABD为正三角形，BCD120，CB CD CS2，BSD90．DC平面 SBD；（ 1）求证：AC（ 2）若SC BD ，求二面角 A SB C 的余弦值．A B20．（本小题满分 12 分）216 的圆心为 M ，点 P 是圆 M 上的动点，点 N 3,0 ，点 G 在已知圆 x 3y 2 线段 MP 上，且满足uuur uuur uuur uuur GN GP GN GP ．（ 1）求点 G 的轨迹 C 的方程；（ 2）过点 T4,0 作斜率不为 0 的直线 l 与（ 1）中的轨迹 C 交于 A ， B 两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ，连接 BD 交 x 轴于点 Q ，求△ ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f xax ln x 1 ．（1）讨论函数 f x 零点的个数；（2）对任意的x 0 ， f x ≤xe 2 x 恒成立，求实数 a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程x3 t ,m已知过点 P m,0 的直线 l 的参数方程是2 （ t 为参数），以平面直角坐标系y1t ,2的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ．（ 1）求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（ 2）若直线 l 和曲线 C 交于 A ， B 两点，且 PA PB2 ，求实数 m 的值．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x)2 x a 3x b ．（1）当 a1 ， b 0 时，求不等式 f x ≥3 x 1的解集；（2）若 a0 ， b 0 ，且函数 f x 的最小值为 2 ，求 3ab 的值．。

2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|−1<1−x<1}，B={x|x2<1}，则A∩B=()A.{x|−1<x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|x<1}D.{x|0<x<2}2. 设复数z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z为纯虚数，则a= ( )A.−1B.1C.2D.−23. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π204. 已知函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B.9 C.18 D.275. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. (x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为（）A.120B.160C.100D.807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.48+8πB.96+8πC.96+16πD.48+16π8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3)，则下列结论正确的是（）A.把C向左平移5π12个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移π12个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移π3个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，且2bsinB+2csinC=bc+√3a．则△ABC的面积的最大值为（）A.3√32B.√32C.3√34D.√3411. 已知抛物线C:y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B 分别为切点，则MA→⋅MB→的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x+1−2|,x ≤2x 2−11x +30,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则2a +2b +2c +2d 的取值范围是（ ）A.(64√2+2,146)B.(98, 146)C.(64√2+2,266)D.(98, 266) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知sin10∘+mcos10∘＝2cos140∘，则m ＝________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1=5，且a 3，a 6，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n ∗3n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x >y 的概率．如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，且BC =2AD =4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形． （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求二面角F −BD −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且C 过点(1,√32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO（其中O 为坐标原点）．证明：直线l 的斜率为定值．已知函数f(x)=(x −2)e x +a(ln x −x +1)． (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −2)2+(y −4)2=20，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2:θ=π3(ρ∈R)． (1)求C 1的极坐标方程和C 2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，求△OMN 的面积． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x −a|+|3x +1|，g(x)=|4x −1|−|x +2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|−1<1−x<1}={x|0<x<2}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，则A∩B={x|0<x<1}．2.【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】把z=a+4i(a∈R)代入(2−i)z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z=(2−i)(a+4i)=(2a+4)+(8−a)i为纯虚数，∴{2a+4=0,8−a≠0,解得a=−2．故选D.3.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.4.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′(x)=24x2−6，计算可得f′(1)的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则f(x)=8x3−6x，其导数f′(x)=24x2−6，则有f′(1)=24−6=18，即函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】(x+1x )(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5，∵x(1+2x)5的展开式中含x3的项为x∗C52∗(2x)2=40x3，1 x (1+2x)5的展开式中含x3的项为1x∗C54∗(2x)4=80x3．∴(x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为40+80=120．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积． 【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π， 8.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案． 【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误； 把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确； 把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)， 取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误．∴ 正确的结论是B ． 9.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可． 【解答】n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】C【考点】三角形求面积【解析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=√3，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】根据正弦定理可得bsinB =csinC=asinA=√32，∴sinB=√3b2a ，sinC=√3c2a，∵2bsinB+2csinC=bc+√3a，∴√3b2a +√3c2a=bc+√3a，∴b2+c2=√33abc+a2，∴b2+c2−a2=√33abc，∴b2+c2−a22bc =√3a6=cosA=12∴a=√3，∴3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC =12bcsinA=√34bc≤3√3411.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0， 由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0， 则A(t 24, t2)，B(t 24, −t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴ M(−t 24, 0)，∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−11612.【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出函数f(x)的图象，由图象可得存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且可设a <b <2<c <d ．当x ≤2时，f(x)=|2x+1−2|，可得2−2a+1=2b+1−2，即2a +2b =2．当x >2时，f(x)=x 2−11x +30，可得c +d =11，令x 2−11x +30=2，解得x =4或7，可得4<c <5，即有16<2c <32，则2a +2b +2c +2d =2+2c +2d =2+2c +2112c，设m =2c ，则y =m +211m在(16, 32)递减，则y =m +211m∈(96, 144)，所以2+2c +2112c的范围是(98, 146)，即2a +2b +2c +2d 的取值范围是(98, 146)． 故选B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1；∴ |e 1→−√3e 2→|=1． 【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可． 【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3 的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由{x −y =64x +5y =6 解得A(4, −2)， 所以z =x +y 的最大值为：2． 【答案】 −√3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10=−2cos40−sin10cos10=−2cos(30+10)−sin10cos10=−2⋅√32⋅cos10+sin10−sin10cos10=−√3，【答案】 500√3π27 【考点】球的体积和表面积 【解析】根据题意，设正方形ABCD 的边长为x ，E ，F ，G ，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x ，从而求解四棱锥的外接球的体积． 【解答】连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则OI =x2，IE =6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得a62= a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，解得：d．（2）b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【答案】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X∼B(3, 35)，∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 20C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)，由此能求出P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“，分别求出相应的概率，由此能求出P(x >y)． 【解答】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)， ∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 2C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【答案】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×√2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）根据AE ⊥EF ，AE ⊥CF 可得AE ⊥平面BCFE ，故而平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）建立空间坐标系，根据BD ⊥EC 求出AE ，求出平面BDF 和平面BCD 的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×2=23． 由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【答案】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−mk ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x1x 2=(y 1−y 2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km 1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k ， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证． 【解答】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−m k ，即|NO|=|mk |， 则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x 1x 2=(y 1−y2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k 2， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去）， 则直线l 的斜率为定值． 【答案】解：(1)f ′(x)=(x −1)e x +a (1x −1)=(x−1)(xe x −a)x(x >0)，令g(x)=xe x −a(x >0)，g ′(x)=(x +1)e x >0， 故g(x)在(0, +∞)上单调递增， 则g(x)>−a,因此当a ≤0或a =e 时，f ′(x)=0只有一个零点； 当0<a <e 或a >e 时，f ′(x)有两个零点． (2)①当a ≤0时，xe x −a >0，则函数f(x)在x =1处取得最小值f(1)=−e ，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．【考点】导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有一个零点；当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)①当a≤0时，xe x−a>0，则函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3． 【考点】直线的极坐标方程 圆的极坐标方程 极坐标刻画点的位置 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ， 得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14， x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．。

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =AA ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ DA ．AB IB ．A B UC ．()()A B R R U 痧D ．()()A B R RI痧3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A同学不相邻的概率为BA ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =DA ．920 B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭DA ．45B ．35C ．45-D ．35-6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是AA ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为C A．4+ B．14+C．10+D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为DA ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为BA ．80,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为CA ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r，双曲线D C ABE过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AAB ．C ．3D 12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为AA ．12- B ．1-C ．32-D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = 2 ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为36． 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=，则cos θ的值为 12- ．16．我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．图②图①（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a a n b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）； （2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．()()()121nx x y y i i i b nx x i i =--∑=-∑=$已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,21,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．。

绝密★启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.选择题二.填空题13. 2 14. -―—15.——16. 646 2三.解答题17.解：（1）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以i = i + 2（7?-l） = 2z?-l.所以S n=2n2-jj.当H = 1 时，a l=S l=l.当2时，a n=S n-S nA=（2H2-77）-[2（« -1）2-（FZ-1）] = 3，当77 = 1时，％=1也符合上式.所以数列的通项公式=477-3（7?G N*）.(2) n = l 时，> =丄，所以A =2^ =2.2两式相减，得^ = (4z7-3)f|]) ?n+12,则数列& ｝是首项为2公比为2的等比数列.又-^ = — =£(h£)=2-_21-2 -a = = 112.45-6.87x5.5 = 74.67 ,所以y 关于x 的线性回归方程为y = 6.87x + 74.67 .(2)若回归方程为y = 6.87x + 74.67，当 x=ll 时，y=150. 24.若回归方程为y = -0.30.x 2 +10.17.x + 68.07 ,当 x=ll 时，尸143. 64.|143.64-145.3| = 1.66 < |150.24-145.3| = 4.94，所以回归方程JF = -0.30X 2+10.17.Y + 68.07对该地11岁男童身髙中位数的拟合效果更好.当a>2时，由&+& + ... + \ b 2 所以 t+t“+&=5-(4”+1)⑸n —1因为=4/7-3,所以h =(4"-3)⑷G 77_3> - = 2n (77 = 1时也符合公式). 2n18.解:(1)nf=ii ('-寸 i=i566.8582.5= 6.874 = 5-(4n + 5)19. (1)证明：设ACC\BD = O f连sa,因为AB = AD t CB = CD，所以wc是的垂直平分线，即a为中点，且we丄so.在ASCD中，因为CB = CD = 2, ZBCD = 120°, 所以BD = 2礼CO = 1.在RtASBO中，因为ZBSD = 9Q°，O为BD中点，所以SO = ^BD = y/3.在△ sac 中，因为CO = l，SO = y/3, CS = 2f所以SO1 +CO1 =cs2.所以SO丄AC.因为BDC]SO = O,所以3C丄平面S3Z).(2)解法1:过点a作(2尺丄S3于点尤，连I, CK，由(1)知丄平面SSO.所以da丄5B.因为OKC\AO = O,所以SS丄平面AOK.因为AK c平面AOK，所以丄S3.同理可证CX丄5B.所以Z^：C是二面角A-SB-C的平面角.因为SC丄50，由(1)知/C丄SD,且ACHSC = C f 所以SD丄平面SAC.而SOc平面SAC，所以SO丄50.在RtASOS 中，OK=SOOB=1. SB 2同理可求CK =35 解法2:勸SC1BD ，由（1）知WC 丄SO, 且 ACHSC = C f所以SD 丄平面&4C.而SOc 平面SAC ，所以SO 丄SO.由（1）知，WC 丄平面SSO, SOc 平面SSO,所以SO 丄/C. 因为ACC\BD = O,所以SO 丄平面/SCO.以a 为原点，OA ，OB ，as 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系， 则^（3,0,0）, B （0,73,0）, C （—1，0,0），S （0,0,73） 设平面的法向量为n = ^y^f由？"H =o ’令乃=万， SBn = V3>1-^z 1=0,所以平面&43的一个法向量为n =（1,>/3.73）. 同理可得平面SCS 的一个法向量为///=（-73,1,1）.所以COS <….，〃>=G -似4\n m因为二面角A-SB-C 是钝角，所以二面角A-SB-C 的余弦值为-gp.所以二面角A-SB-C 的余弦值为-. 在A 麟得COS 厦戶2+CA ：2-d 2AK-CK35所以3 =（,CB20.解：(1)因为(GN + GP )丄(GN-GPy所以(GN+GPy{GN-GP)= 0,即GN 2-GP 2=0. 所以 |GP|=|G^|.所 \ik\GM\ + \GN\=\GM\ + \GP\^MP\=4>2y/3^MN\.所以点G 在以M ，#为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a = 4,2c = 2^. 即a = 2,c= y/3f 所以b 2 =a 2-c 2 =1.所以点G的轨迹⑽方程为f + "2=1.（2〉解法1:依题意可设直线I \x = my + A.x = my + 4,由■ x 2 7，得(，"2+4)v 2+8”(y + 12 = 0.7” =1，设直线/与椭圆C 的两交点为5（x 2，y 2）,由 A = 64w 2 -4x 12x(w 2 + 4) = 16(w 2 -12)>0,得m 2>12.①因为点d 关于A •轴的对称点为Z ）,则D^-y.）,可设2（x o ,O ）,所以所在直线方程为y-y 2=、（x - my 2- 4）.州（y 2-yi ）_代入③，即X 0 =2-A +4(W 、) yi +y 2所以点0的坐标为（1,0）.数学（理科）答案A 第5页共16页且 y ，y 28m 7772 + 4yiy 2 = 12m 2+4所以k B D =火2+火1州(y 2-yJ令产0，得x 0 =^1+^224JH - 32m-8/".V2+.h因为s灣=|s聊-S聊| = ^\QT\\y2-乃| =^(y l^y2)2-4y l y2 = 6::2令/= W2+4,结合①得/>16.所以•^=+<卜士) +去.当且仅当t = 32时，即 ///= ±2^7 时，[5^]^=|.所以ZUS0面积的最大值为.4【求\ABQ面积的另解：因为点Q(1.0)到直线I的距离为d = Vl + Z//2I 1= 7l + 7"2 .永h + h)2 -切2 = yjl + nr4 7/f~12 . ¥nr + 4所以S AABO=^d-\AB\=6^~^ .】' 2 nr+4解法2:依题意直线/的斜率存在，设其方程为y = k(x-4),得(4^2+l) y2 + 8X>. +12々2 = 0 .设直线/与椭圆C的两交点为A(x^yi y S(x2,^2),由A=(8々)2—4X(4^2+1)X12々2〉0,①因为点j关于：r轴的对称点为D，则D^-y.),可设^(.r o.O), 所以‘= 所以直线方程为y-y2=k^^-(x-x.)..V2-.V1令产0,得x0 = 2V1V2+4K I1+v2)^2+^1)数学(理科)答案A ③第6页共16页y = A-(x-4), 令+/=1’且w-Sk4P+1 ，則2 =12k24A-2+l将②代入③，得Xo=^^)=1.所以点⑽坐标为(1專因为 s-0 = |s 琴-=蚤加+於如2 =6弋:「了令/ = 4々2+1，则k 2=—,结合①得1 <r<i. 43H .16当且仅当卜吾时，_ = ±吞时，［S 辦V 曇.所以琴积的最大值为I【求ZU50面积的另解：因为点Q (1.0)到直线/的距离为d = yjl + k 2所以衅】 解法3:依题意直线/的斜率存在，设其方程为y = k(x-4),y = A-(x-4),Y2得(4^2+l)x 2 -32々2X + 64々2-4 = 0 .—+ /=1, V ’ 14 .设直线/与椭圆C 的两交点为5(x 2，;y 2)， 由 A=(-32A-2)--4X (4^2+1)X (64^2 -4)> 0,得k 2<$ .① 且 W 笔，1 24/C 2 + 11 24F+1因为点/关于：r 轴的对称点为D ，则D^-y.),可设0(%.0)，则V-即‘☆念4F+1所以5^=3 -4\AB\=即电_m 整理得铲③ x 2-x 0Xj-Xo X!+X 2-8将①代入②，得X o =l.所以点0的坐标为(1.0).3|介|因为点P(LO )到直线I 的距离为d = -=JJ= yjk~+1叫研 7(.Y I+X 2)L4.V2 =432^E4介2 + 1令/ = 4々2+1，MF=—,结合①得43^7 H . 16当且仅当卜蚤，即A- = ±吞时，［S 考;|皿=|. 所以A4S0面积的最大值为1.4解法4:设直线/与椭圆C 的两交点为^(2cossin, 5(2cossin^>) 则直线 AB 的方程为y-sin 6 =S111^-S111^ (x .2cos 0).2cosp-2cos 沒2cos^sin^-2siii^cos^sin sin 沒因为点2关于x 轴的对称点为D ,则Z)(2cos^.-sin0)，同理可得=2 cos 0 sin (p+2 sin 0 cos cpsin ^? +sin 4 cos 2 沒 sin 2 9?-4siii 2 沒 cos 2cp sin 2 p-sin 2 0=4 因为x r =4,所以x 0=l ，即点0的坐标为(1.0). 因为=|S A7B ^-S A ^| = || QT\\sm(p-sm0\ =||siii^-sm^|数学(理科)答案A 第8页共16页所以“ =| AB \= 6"F -12介4所以^=3 -4由丄B，7三点共线，可得Sm^-= Sm^ ,即sm^-sin^ = -sin(^-^) 2cos^-4 2 cos 6^-4 2 v所以S_=i|sin(炉一沒)|.当且仅当sin(炉-0) = ±1 时，所以A4S0面积的最大值为j .21.解：(1)解法1:函数/(x)的定义域为(0，+如)，由/(x) = ax + lii.x + l =0 , 得a =-比.' +1 ./ x lllx + l z …“、lllxA令g(x) =——(x〉0),则g (x) = —因为当0<x<l, g'(x)<0,当x〉l时,g'(.Y)〉0,所以函数在(0.1)上单调递减，在(1.榔)上单调递增.所以［^WL=^(1)=-i-(]\ 1 1因为g - =0,当0<x< —时，g(x)>0；当x>-时，g(x)<0 . le J e e所以当a<-l时，函数/GO没有零点；当a = -l或a>0时，函数有1个零点；当-l<a< 0时，函数有2个零点.解法2:函数/(.Y)的定义域为(0,+<»)，因为/(.Y)=OT +1II.X +1,所以/(x) = a + ^.①当a>0时，/'(.Y>0，函数/(x)在(0,+ OD)内单调递增.因为/(I) = a + l〉0，f^-a~x) = -^-a所以/ 在(e-^a)上有1个零点.所以当67>0时，函数有1个零点.1 a②当a<0时，/f (x) = n + - = -当X 〉一丄时，/'（x ）<0;当0<x<—丄时，/'（x ）〉0, aa令t =-去，即证明当/〉1时/（〆）=-&丁 _,<0,再令p(t)=e -r 2-/,则有//(/) = e f -2/-1，设q(t) = e-2t-\,则f(/) = e'-2〉0,所以<7(/) = e r —2/-1 单调递増， 因为<?(1)<0, <吾)〉0,所以q(t) = e-2t-1 有零点 1 <，0<|,即#-2/0-1 = 0. 即当0</</0时，/(/)<0,当t>t Q 时，y(/)>o.所以当0</</0时，单调递减，当t>t Q 时，单调递増，数学（理科）答案A 第10页共16页所以当a<0时，函数/⑺在（0,一去内单调递增，在+ 内单调递减.l) 2) 3) 当a<-l 时，［/（x ）］皿 <0,所以函数没有零点.当一l<a< 0 时， >0,因（念:=三<0,e且-丄〉1〉！a e，所以函数在（0.--1上有i 个零点. \ a 可以证明f ea=ae」+1<0,且」<e —; a a ，所以函数/Xr ）在（—^, + oo j 上有1个零点.以下证明f e =ae-丄+ 1<0:所以［，（礼=/=ln0,所以函数/卜）有1个零点.当a = -l 时，［/(x)］皿=ln所以 p(t)>p{t^ -z 02-t Q =-t} +/0 +1,当 l <r 0<| 时，有-<+，o+i 〉o,即 X/)〉o,即 制=-中<0. 所以当一\<a<0时，所以函数有2个零点.综上可知，当a<_l 时，函数/(A J 没有零点；当a = -1或a>0时，函数有1个零点；当 _l<a<0时，函数/C0有2个零点.(2)解法1:因为f(x) = ax + ]nx + l,所以对任意的x 〉0，f(x) < xe 2x 恒成立，等价于a <e 2x -乜1.' +1在(0, + OD)上恒成立.令n/(x) = e 2x-^^ (x>0)，则"/，(x)= 2<e-Y :ln.YXX再令"(x)=2x 2e 2x + ln.Y,则w /(x) = 4(x 2+x) e 2x +->0. 所以"(x) = 2x 2e2x+ In .Y 在(0,+oo)上单调递增."⑴〉0,所以 7?(x)=2.x 2e 2x + hi.Y 有唯一零点％，且-<x 0 <1. 所以当0<x<:r 0时，7"'(X)<0，当x>x Q 时，7"'(.Y)〉0. 所以函数川在(0, .xj 上单调递减，在(x 0, + o ))上单调递增. 因为2.xV r °+liix o =O,即e 2x ° =-^,则0<%<1.o所以 2x 0 = hi(-hi x 0)-hi (2x 0)-hix 0，即 lii (2x 0)+ 2x 0 = lii(-hix 0)+ (_Inx 0). 设s(x) = hix + x f 则5z (x) = i + l>0,X所以函数s(x) = hix + x 在(0，+oo)上单调递增，所以s(2x 0) = s(-hix 0).所以2x 0=-lii.x 0.于是有e 2^=—.=—-21ii2<08g所以7/7(.Y)>7/?(.Y0)= e2x° -^lA°+1 = 2 .则有a<2. x0造函数^(x) = xe x (x>0),则p'(x) = (x + l)e x >0 ,所以炉(x)在(O.+oo)上单调递增.因为解法2:设g(.x) = xe2x-ax-liix-l (x>0),对任意的x〉0, /(x)<.xe2x恒成立，等价于^(^)]^>0在(0,+①)上恒成立.因为当X—>0+时，g'(.Y)^-CO ,当X—>4-00 时，g'(.Y)^4-00 ,2X0—丄一a = 0,即a = (2.Y0+l)e2x°—因为当0<x<x。