江苏省常州高级中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文201904250297

绝密★启用前江苏省常州“教学研究合作联盟”2018学年度第二学期期中质量调研高二数学（文科)试题一、填空题1．已知命题，，则__________．【答案】$x∈R，x2－x＋1≤0【解析】对于含有全称量词命题的否定，需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故，．2．若集合，,则图中阴影部分所表示的集合为_____．【答案】【解析】【分析】图中阴影部分所代表集合为，求出答案即可.【详解】解：由题意知：阴影部分所表示的集合为故答案为：.【点睛】本题考查了集合的交集，韦恩图，属于基础题.3．若实数满足(表示虚数单位)，则的值为_____．【答案】2【解析】【分析】去分母化简，由复数相等得到方程组解出，然后求出答案.【详解】解：因为，所以所以，即所以故答案为：2.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的相等，属于基础题.4．函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】由根式和分式有意义范围列出不等式组，解出答案即可.【详解】解：因为函数所以，解得且所以函数定义域为故答案为：.【点睛】本题考查了根式和分式函数的定义域，属于基础题.5．用反证法证明命题“若直线是异面直线，则直线也是异面直线”的过程可归纳为以下三个步骤：①则四点共面，所以共面，这与是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线也是异面直线；③假设直线是共面直线．则正确的推理步骤的序号依次为________．【答案】③①②【解析】结合反证法的证明步骤可知：假设直线AC、BD是共面直线，则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；其正确步骤为③①②．6．在复平面内,若向量对应的复数为,则______．【答案】【解析】【分析】由复数的几何意义写出复数的代数形式，再计算求解即可.【详解】解：因为向量对应的复数为所以，所以故答案为：.【点睛】本题考查了复数的几何意义，模长的计算，属于基础题.7．若一次函数满足，则______．【答案】1【解析】【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后代入求出.【详解】解：因为是一次函数，可设则所以，解得所以所以故答案为：1.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，在已知函数名称时常采用待定系数法求解.8．如图所示，正方形和的边长均为，点是公共边上的一个动点，设，则.请你参考这些信息，推知函数的值域是_______．【答案】【解析】【分析】当三点共线时，最小，当点P与点B或C重合时，最大，分别求出最值得到值域即可.【详解】解：由题意知：当三点共线时，最小为当点P与点B或C重合时，最大为所以的值域为故答案为：.【点睛】本题考查了图形的观察推理能力，函数的值域，属于基础题.9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：,,,,……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______．【答案】9999【解析】分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.详解：，，，，按照以上规律，可得.故答案为：9999.点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．10．已知指数函数在上为减函数；，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题和，然后取交集即可.【详解】解：由函数在上为减函数，故，即所以命题由，，得有解，故，即所以命题因为“且”为真命题所以、都是真命题所以故答案为：.【点睛】本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.11．已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为______．【答案】【解析】【分析】由函数定义域和值域范围，可分析得到，解出即可.【详解】解：因为函数的定义域为，值域为所以在R上恒成立，且有解所以，解得故答案为：.【点睛】本题考查了函数的定义域与值域，一元二次不等式的恒成立与能成立问题，一元二次不等式常结合二次函数图像进行求解.12．已知定义在上的偶函数满足，若，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】结合函数解析式和偶函数特点分析得函数在上单调递减，在上单调递增，且函数图像关于y轴对称，从而得到，解出范围即可. 【详解】解：因为函数为偶函数，且在上为增函数所以在上为减函数，且函数关于y轴对称由，得两边平方化简得解得或故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.13．已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意得在上有解，参变分离得在上有解，然后用换元法求出在上的值域，即为的范围.【详解】解：由题意知：在上有解即，在上有解记，则，所以由双勾函数单调性知在上单调递减所以所以实数的取值范围为实数的取值范围故答案为：.【点睛】本题考查了函数的能成立问题，常用参变分离法转化为最值或值域问题.14．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】分，和进行讨论，去绝对值后采用参变分离求出的范围，再取交集即可.【详解】解：当时，，则不等式所以在上恒成立所以当时，，则不等式所以在上恒成立所以当时，，则不等式所以在上恒成立由双勾函数性质易知：函数在上单调递减，在上单调递增所以函数在单调递增，所以所以综上所述：故答案为：.【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，主要用到了分类讨论和参变分离法，综合性较强.二、解答题15．已知复数(,表示虚数单位)．(1)若为纯虚数,求复数；(2)在复平面内,若满足的复数对应的点在直线上, 求复数.【答案】（1）； （2）.【解析】 【分析】 （1）先化简，结合纯虚数概念得到的关系，解出答案；（2）先解出复数，得到其坐标代入直线即可. 【详解】解：(1),∵为纯虚数, ∴∴,∴.(2),∵复数对应的点在直线上,∴,∴.∴.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的分类，复数的几何意义，属于基础题.16．已知集合(),.(1)若，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）必要条件.【解析】【分析】（1）写出集合A，B，直接求并集即可；（2）先写出集合B，再由“”是“”的必要条件得，列式解出的范围.【详解】解：(1)当时, ,,所以, .(2) (),,因为“”是“”的必要条件，所以，即，所以所以.所以,当时，“”是“”的必要条件.【点睛】本题考查了集合的交并集运算，充分必要条件与集合的关系，属于基础题.17．已知函数 (且)的图象经过点 .(1)求实数的值；(2)若，求实数的值；(3)判断并证明函数的单调性.【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）代入点P直接解出；（2）由（1）得出函数解析式，代入解出即可；（3）用单调性的定义法证明即可.【详解】(1)将点的坐标代入函数式得, ,解得,.(2)由(1)得由题意可得，,所以，，，,所以.(3) 函数是上的减函数.由(1)得.令,则,因为指数函数是上的增函数,而,所以,所以,,所以,即,所以, ,所以, 函数是上的减函数.【点睛】本题考查了指数复合函数的取值与单调性的证明，证明函数单调性除了定义法，也可尝试用导数来证明.18．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量(单位：千克)与肥料费用(单位：元)满足如下关系：其它成本投入(如培育管理等人工费)为(单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为(单位：元)．（1）求的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元．【解析】【分析】（1）由题意分段列出函数的解析式即可；（2）分两段讨论分别求出其最值，再取较大值即可.【详解】解：（1）由已知，答：的函数关系式为，（2）由（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，且；当时，，，当且仅当时，即时等号成立．，因为，所以当时，．答：当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元．【点睛】本题考查了函数得实际应用于最值，分段函数要注意每段上自变量的范围.19．已知是奇函数．（1）求实数的值；（2）求函数在上的值域；（3）令，求不等式的解集．【答案】（1）见解析；（2）①当时，值域为；②当时，值域为；（3）.【解析】【分析】（1）由奇函数得，可解出；（2）先换元（），则，，再结合二次函数的图像讨论其值域；（3）先证到也为奇函数，用导数证得在上单调增，将等价转化为，所以，解出答案即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为为奇函数，由可知，，所以，即；当时，，此时为奇函数所以．（2）令（），所以所以，对称轴，①当时，，所求值域为；②当时，，所求值域为；（3）因为为奇函数，所以所以为奇函数，所以等价于，又当且仅当时，等号成立，所以在上单调增，所以，即，又，所以或．所以不等式的解集是．【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性得综合应用，指数复合型函数的值域，综合性较强，属于中档题.20．已知函数,.（1）若，求的单调区间；（2）求函数在上的最值；（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减, 在上单调递增；（2）见解析；（3）. 【解析】【分析】（1）分段结合二次函数图形讨论函数的单调性即可；（2）分，，，四段讨论函数的单调性，求出最值；（4）令，分别解出，，（舍），得，然后化简求出取值范围即可.【详解】（1）当时，函数的对称轴是，开口向上，故在上单调递减, 在上单调递增.当时，函数在上单调递增.综上：在上单调递减, 在上单调递增.（2）①当时，的对称轴是，在上递减，在上递增而最小值，最大值；②当时的对称轴是，，的最小值为，最大值，③当时，的最小值为，最大值，④ 当时，的对称轴是的最小值，最大值，综上：①当时，的最小值，最大值；②当时，的最小值为，最大值；③当时，的最小值为，最大值④当时，的最小值，最大值（3）当时,令,可得，，因为，所以，（舍去）所以,在上是减函数,所以.【点睛】本题考查了绝对值函数的单调性，值域与零点问题，绝对值函数常转化为分段函数分类讨论求解.。

江苏省常州高级中学2018-2019学年第二学期期中质量检查高二年级语文试卷说明：1.以下题目的答案做在答题纸上；2.本卷总分160分，考试时间150分钟。

一、基础知识（1-9题，共18分）1.在下面一段话的空缺处依次填入成语，最恰当的一组是（2分）（）“宋词是唐诗的’’，对待’自然’的心态转入颓废，梳剔精致，吐属尖新，尽管吹气若兰，脉息终于微弱了……”木心的文意就是这样又切中肯繁。

也许在严谨的学者眼里这样表达未必严谨。

但他的笔法，不落窠臼的现代思维，还是激起一大批年轻人读其书便想拜谒其人的热情。

A.兴尽悲来循循善诱炉火纯青B.兴尽悲来娓娓道来炉火纯青B.兴之所至循循善诱登峰造极 D.兴之所至娓娓道来登峰造极答案：A2.下列诗句中，没有使用比拟手法的一项是（2分）（）A.取次花丛懒回顾，半缘修道半缘君。

B.当年不肯嫁春风，无端却被秋风误。

C.宁可枝头抱香死，何曾吹落北风中。

D.人面不知何处去，桃花依旧笑春风。

答案：A3.下面四首古诗所表现的传统节日对应顺序正确的一项是（2分）（）①正怜火树千春妍，忽见清辉映月阑。

出海鲛珠犹带水，满堂罗袖欲生寒。

②竞渡深悲千载冤，忠魂一去讵能还。

国亡身殒今何有，只留离骚在世间。

③十轮霜影转庭梧，此夕羁人独向隅。

未必素娥无怅恨，玉蟾清冷桂花孤。

④欲强登高无力去，篱边黄菊为谁开。

共知不是浔阳郡，那得王弘送酒来。

A.元宵清明重阳春节B.春节中秋端阳除夕B.元宵端午中秋重阳 D.元宵七夕重阳元宵答案：C4.对下面一段文字主要意思的提炼，最准确的一项是（2分）（）欣赏中国书法，意义存在于忘言之境。

它的笔画,它的结构只有在不可言传的意境中体会其真味。

在这种纯粹线条美与结构美的魔力的教养领悟中,中国人可有绝对自由贯注全神于形式美而无庸顾及其内容。

A.中国书法的忘言之境，主要由笔画、线条等要件营造产生。

B.不能领悟中国书法纯粹的线条美与结构美就难获欣赏自由。

C.中国人欣赏书法多喜欢关注全神于形式而无暇顾及其内容。

江苏省常州高级中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题说明：1. 以下题目的答案做在答卷纸上.2. 本卷总分160分，考试时间120分钟.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．1.数列中，，则= ▲．2.在△ABC中，已知，则A为▲．3.在函数①,②,③,④中，最小值为2的函数的序号是▲．4.设是等差数列{a n}的前项的和．若，，则的值为▲．5.在中，若，则▲．6.已知数列满足，则的值为▲．7.设正项等比数列{a n}满足．若存在两项a n、a m，使得，则的值为▲．8.在△ABC中，若，，，则△ABC的面积是▲．9.已知数列的通项公式则= ▲．10.在中, ,若该三角形有两解,则的取值范围为▲．11.在△ABC中，已知，则的最小值为▲．12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为▲．13.已知数列为公比不为1的等比数列，满足对任意正整数都成立，且对任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，则的值为▲．14.已知则的最大值是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)在等比数列中，，公比，，且是与的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，当最大时，求的值．16．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1)求角；(2)若，求的值．17．(本小题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）18．(本小题满分16分)已知，，.(1)当时，求的最小值；(2)当时，求的最小值.19．(本小题满分16分)设数列的前n项和为，已知，（）．(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和．20．(本小题满分16分)已知数列的首项（），其前项和为，设（）．(1)若，，且数列是公差为3的等差数列，求；(2)设数列的前项和为，满足．①求数列的通项公式；② 若对且，不等式恒成立，求a的取值范围．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数学试卷(附加)命题人：徐惠杰 2018.4 说明：1. 以下题目均为必做题，请将答案写在答卷纸上.2. 本卷总分40分，考试时间30分钟.一、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．1.等比数列中，若对任意正整数都有，则▲ ．2.在△ABC中, ,则的取值范围是▲ ．3.等差数列的前项和为，已知，且数列也为等差数列，则= ▲ ．4.正数满足，则的最小值是▲ ．二、解答题：本大题共16分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．5.在数列中，，，，为常数，．（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）是否存在正整数（），使得与都为等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数学试卷答案1. 2. 3.④ 4. 13 5.6.-37.68.9.10.11. 12.8 13.14.二、解答题15.解：⑴由得.................2分,得因为得, 求得, ...................5分所以 ...........................................7分⑵．...........................................9分因为对任意，，所以是以4为首项，为公差的等差数列．所以．..........................................12分所以最大为． ...................14分16．解：（1）由正弦定理得，中，，所以，................................................3分所以，，，所以；........................6分（2）因为，由正弦定理得，........................8分.............................................................................. .................................12分所以，..................................14分17(1)时，利润．................................................................................ ........3分令得，，从而，即．.................6分（2）当时，由（1）知，所以当时，（万元）． .....................................8分当时，利润．...10分因为（当且仅当即时，取“=”），所以（万元）． .......................................................... 13分综上，当时，（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为万元． .......14分18.（1）当时，，.................3分即，，，，.......................................6分当且仅当时，等号成立。

2018-2019学年江苏省常州“教学研究合作联盟”高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题1．若复数满足（为虚数单位），则复数的实部是_____．【答案】1【解析】利用复数除法化简复数，结合实部定义求解.【详解】，所以实部为1.【点睛】本题主要考查复数的除法和实部的概念,属于容易题.2．已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么______．【答案】【解析】先求，再求解.【详解】,所以.【点睛】本题主要考查空间向量模长的求解，模长求解一般是求解模的平方，转化为向量数量积问题.3．若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第_____象限.【答案】四【解析】利用待定系数法求出复数，再进行判定.【详解】设，则，代入可得，由复数相等的定义可得，即，故在复平面内对应的在第四象限.【点睛】本题主要考查共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.4．设,是两个不共线的空间向量，若，，，且三点共线，则实数的值为_______．【答案】4或-1【解析】利用三点共线，可得可求k的值.【详解】因为三点共线，所以存在实数使得，所以，解得或.【点睛】本题主要考查空间向量的应用,三点共线问题转化为向量平行问题求解.5．若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】夹角为钝角可得且不反向.【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不同向.，整理得.当反向时，，所以. 【点睛】本题主要考查空间向量的夹角问题, 夹角为钝角可得且不反向；夹角为锐角可得且不同向；夹角为直角可得.6．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.7．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．【答案】【解析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.【详解】所以，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.8．我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式_______．【答案】【解析】利用类比方法和等比数列的性质可求.【详解】，所以，所以.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，下标和相等则项积相等.属于容易题.9．用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为_______．【答案】【解析】通过式子变化的规律和目标式，可以求解【详解】当时，左边= ；当时，左边= ；所以左边应添加的项为.【点睛】本题主要考查数学归纳法步骤，添加项的多少取决于起始项和步长及终了项.10．如图，在直三棱柱中，，，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为_______．【答案】1【解析】利用基向量表示出,结合异面直线所成角，确定点E的位置，从而可求的长，也可以建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解.【详解】设，则，，，，.,因为异面直线与所成角的余弦值为，所以.解得，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，注意向量夹角与异面直线所成角的范围的不同.11．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第行的左起第个数为______．【答案】【解析】观察数表可以发现呈现的规律，从而可得结果.【详解】从数表可以得出，每一行的第一个数的分母就是行数，所以第七行第一个数为；每一个数是它下方相邻两个数的和，所以第七行第二个数为，第三个数为.【点睛】本题主要考查归纳推理，从目标数据提炼呈现的规律是求解这类问题的关键.12．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．【答案】【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面法向量，再求点面距.【详解】以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图，则,由为的中点可得;, .设为平面的一个法向量，则,即，令，可得，点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解点到平面的距离，一般是先求解平面的法向量及所求点P和平面内一点A组成的向量，利用公式可得. 13．如图，已知正三棱柱中，，分别为的中点，点在直线上且满足若平面与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为______．【答案】【解析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N为坐标原点，NC,NA所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图则,由可得,,设为平面的一个法向量，则,即，令，可得，易知平面ABC的一个法向量为.因为平面与平面所成的二面角的平面角的大小为所以，即，所以，解得.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．【答案】【解析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标的表达式，从而可得最小值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则,设,,.,.,当且时，取到最小值，所以线段长度的最小值为.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.二、解答题15．已知为虚数单位，复数,.（1）若为实数，求的值；（2）若为纯虚数，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）为实数可以求出a的值，再计算的值；（2）利用为纯虚数，求出a的值，再求.【详解】（1）因为，若为实数，则.此时，所以（2）因为，若为纯虚数，则，得，所以【点睛】本题主要考查复数的四则运算及相关概念，明确纯虚数，实数成立的条件，模长的求解方法.16．已知矩阵，.（1）求；（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用矩阵的求解法则进行求解；（2）利用变换规则求出新变量和原来变量之间的关系，再进行代入.【详解】（1）=；（2）设曲线上任一点坐标为在矩阵对应的变换作用下得到点则=，即，解得.因为所以整理得，所以的方程为【点睛】本题主要考查矩阵变换和矩阵运算，明确运算规则是求解关键.17．已知数列满足，，，（1）求的值并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）利用首项和递推关系，逐个代入可求；（2）利用数学归纳法证明.【详解】（1）由①得解得或又所以将代入①，可得或又所以将代入①，可得或又所以故猜想数列的通项公式为（2）①当时，，猜想成立.②假设当时，猜想成立，即则当时，由①得即即即即即解得或又所以故当时，猜想成立. 综上：由①②得.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，利用数学归纳法证明等式时，注意利用条件和假设进行代换.18．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.（1）求证：平面；（2）若点为棱上一点，且平面平面，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）利用平面法向量和直线的方向向量垂直可得；（2）先利用平面平面，确定M的位置，再证明垂直.【详解】平面，平面平面，平面又因为所以，则两两垂直，则以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系则各点的坐标为因为点分别是，的中点，所以（1）证明：设平面的一个法向量为因为由得，令所以则因为所以又平面所以平面.（2）证明：因为为棱上一点，所以设则，所以即所以设平面的一个法向量为则所以消去可得令则所以平面平面则所以从而因为所以则即【点睛】本题主要考查利用空间向量证明位置关系，线面平行可以转化为平面法向量和直线方向向量垂直来实现，线线垂直可以转化为两直线的方向向量垂直.19．如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.（1）当点是的中点时，①求异面直线和所成角的余弦值；②求二面角的正弦值；（2）当点在线段上（包括两个端点．．．．．．）运动时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角和二面角的求解方法求解；（2）设出M的坐标，利用空间向量求出线面角的目标式，结合目标式的特征求解范围. 【详解】（1）取的中点为建立空间直角坐标系，则当是的中点时，则①设异面直线和所成角为则=②设平面的一个法向量为则所以令则设平面的一个法向量为则令设二面角的平面角为，则所以（2）当在上运动时，设设则设直线与平面所成的角为则设设所以设直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解异面直线所成角转化为两条直线方向向量的夹角问题；二面角和线面角转化为平面法向量和直线方向向量的夹角问题. 20．（1）是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.（2）求证：对任意的，.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）对n进行赋值，代入，求解方程组可求,证明使用数学归纳法；（2）利用数学归纳法的步骤证明.【详解】（1）在等式中令得①；令得②；令得③；由①②③解得对于都有成立.下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.①当时，由上所述知式成立；②假设当时式成立，即，那么当时，综上：由①②得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等式对于一切正整数都成立.（2）证明：①当时，左式，右式，所以左式<右式，则时不等式成立；②假设当时不等式成立，即，那么当时，下面证明当时，.设，则所以在上单调增，所以即时，.因为，所以则因为所以由得那么时不等式也成立.综上：由①②可得对任意.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，利用数学归纳法证明等式时注意利用假设条件，利用数学归纳法证明不等式时注意放缩.。

常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查语文试卷2024年4月24日注意事项：1.答题前，考生务必将含有自己姓名、学号信息的条形码粘贴在答题卡指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，统一上交答题卡。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成下面小题。

①自发明相机以来，世界上便盛行一种特别的英雄主义：视域的英雄主义。

摄影打开一种全新的自由职业活动模式——允许每个人展示某种独特、热忱的感受力。

摄影师们出门去作文化、阶级和科学考察，寻找夺人心魄的影像。

不管花费多大的耐性和忍受多大的不适，他们都要以这种积极的、渴求吸取的、评价性的、不计酬劳的视域形式，来诱捕世界。

阿尔弗雷德·施蒂格利茨自豪地报告说，在1893年2月20日，他曾在一场暴风雪中站立三小时，“等待恰当时刻”,拍摄他那张著名的照片《第五大街，冬天》。

这种追求，已成为大众心目中摄影师的商标。

到20世纪20年代，摄影师已像飞行员和人类学家一样，成为现代英雄。

大众报纸的读者被邀请去与“我们的摄影师”一道，作“发现之旅”,参观各种新领域，诸如“从上面看世界”“放大镜下的世界”“每日之美”“未见过的宇宙”“光的奇迹”“机器之美”以及可在“街上找到”的画面。

②日常生活的神化，以及只有相机才能揭示的那种美——眼睛完全看不到或通常不能孤立起来看的物质世界的一角，譬如从飞机上俯瞰——这些是摄影师的主要征服目标。

有一阵子，特写似乎是摄影最具独创性的观看方法。

摄影师发现随着他们更窄小地裁切现实，便出现了宏大的形式。

在19世纪40年代初，多才多艺、心灵手巧的福克斯·塔尔博特不仅制作传统绘画中常见题材的照片，而且把相机对准贝壳、蝴蝶翅膀，对准他书房里两排书的一部分。

江苏省常州市2019-2020高二下学期期中联盟考试数学试卷单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数z 满足i 211)i 21(--=+z ，则复数z 为A ．i 43--B ．i 43+-C ．3i 4+-D ．3i 4--2. 函数x x f 2sin )(=的导数是A ．x x f 2cos )(='B ．x x f 2cos )(-='C ．x x f 2cos 2)(='D ．x x f 2cos 2)(-='3. 从5名男生和4名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女的概率是A ．94B ．95C ．96D ．974. 523)3(xx -展开式中的常数项为A ．80B ．-80C ．270D ．-2705. 已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若2.0)3(=>ξP ，则=-≥)1(ξPA ．0.8B ．0.7C ．0.6D ．0.56. 若函数x kx x f ln )(-=在区间),2(+∞上单调递减，则实数k 的取值范围A ．0≤kB ．0<kC ．21≤k D ．21<k 7. 用0，1，2，…，8这九个数字组成无重复数字的三位数的个数是A ．39AB ．288AC ．3839A A -D ．38A8. 若函数)(43)(23R a ax x x f ∈+-=在区间),0(+∞内有且仅有一个零点，则)(x f 在区间]4,1[- 上的最大值为 A ．4B ．10C ．16D ．20一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. 若1()nx x+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项10. 下列等式中，正确的是A ．mn m n m n m 11A A A +-=+ B ．11C C --=r n r n n rC ．111111C C C C ----++++=m n m n m n m nD ．1C 1C +-+=m n mn mn m 11. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线)0(1>+=x x x y 上，则点P 到直线0243=--y x 的距离可以为A ．54B ．1C ．56D ．5712. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是12.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是A .恰有四支球队并列第一名为不可能事件B .有可能出现恰有三支球队并列第一名C .恰有两支球队并列第一名的概率为41D .只有一支球队名列第一名的概率为21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.2． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）=⎰dx x f 1)(（ ）3． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则A ．67-B ．67C ．65D ．65-【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.4． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e5． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ）A B ．2 C D ．26． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 7． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）A ．(]0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,20178． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤<9． 在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）A ．直线1AAB ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11B C10．已知，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．132C ．12D ．15 11．函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）A.32- B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 12．函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a . 14．已知函数22tan ()1tan x f x x =-，则()3f π的值是_______，()f x 的最小正周期是______.【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．15．已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21xg x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 16．设全集______.三、解答题（本大共6小题，共70分。

江苏省常州市“教学研究合作联盟” 2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 注意事项1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。

一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则复数z 的实部是 ▲ ． 2.已知m ，n 是空间两个单位向量，它们的夹角为60，那么2—m n = ▲ ．3.若复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 在复 平面内对应的点位于第 ▲ 象限.4.设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若2AB k =-12e e ，33CB =+12e e ，CD k =12+e e ，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为 ▲ ．5.若向量(2,1,2)=-a ,(4,2,)m =-b ，且a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取 值范围为 ▲ ．6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”， 用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ▲ ．7.如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为 ▲ ．8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列{}n a 的前n 项和公式1()2n n n a a S +=.类比得到正项等比数列{}n b 的前n 项积公式n T = ▲ ．9.用数学归纳法证明等式：633123()2n n n n *+++++=∈N ，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为 ▲ ．10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，111114AA A B A C ===，点E 是棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE ，则 1C E 的长为 ▲ ．11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子 为1﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前6行的规律，第7行的左起第3个数为 ▲ ．（第7题图） （第10题图） （第11题图） 12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称 之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为▲ ．13. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B λλ=∈R 若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为▲ ．14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111A B C D 是下底面 最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点， 则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．（第12题图） （第13题图） （第14题图）二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分）已知i 为虚数单位，复数11i z =-,23i z a =+()a ∈R . （1）若12z z +为实数，求12z z 的值； （2）若21z z 为纯虚数，求2z . 16.（本小题满分14分）已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦.（1）求MN ；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.17.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n a a +>，211()2()1n n n n a a a a ---=+-，n 2.≥（1）求234,,a a a 的值并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为 直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，122PA AB BC AD ====，点E ,F 分 别是AB ,PD 的中点.（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）若点M 为棱PC 上一点，且平面EFM ⊥平面PBC ，求证：.EM PC ⊥19.（本小题满分16分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都等于2. （1）当点M 是BC 的中点时，①求异面直线1AB 和1MC 所成角的余弦值； ②求二面角1M AB C --的正弦值；（2）当点M 在线段BC 上（包括两个端点．．．．．．）运动时，求直线1MC 与平面1AB C 所成角的正弦值的取值范围.（第18题图） （第19题图） 20.（本小题满分16分）（1）是否存在实数a ，b ，c ，使得等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++对于一切正整数n 都成立？若存在， 求出a ，b ，c 的值并给出证明；若不存在，请说明理由. （2）求证：对任意的n *∈N ，22221231ln 234(1)2n n n ++++<++.常州市“教学研究合作联盟” 2018学年度第二学期期中质量调研 高二 数学（理科）参考答案和评分标准一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.四 4. 4或-1 5. 5m <且4m ≠-6. 存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.7.238.21()nn b b9. 333(1)(2)(1)k k k ++++++ 10. 1 11. 110512.2-14.34二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为124(1)i z z a +=+-，若12z z +为实数，则1a =. ……… 3分 此时23i z =+，所以12(1i)(3i)42i.z z =-+=- ……… 7分（2）因为213i (3i)(1i)1i (1i)(1i)z a a z +++==--+33++i 22a a-=， ……… 10分 若21z z 为纯虚数，则302a -=，得3a =，……… 12分所以2z == ……… 14分 16.解：（1）01MN ⎡=⎢⎣10-⎤⎥⎦21⎡⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦=12⎡⎢⎣ 21⎤⎥⎦……… 6分 （2）设曲线1C 上任一点坐标为00(,),x y 在矩阵MN 对应的变换作用下得到点(,),x y 则12⎡⎢⎣ 0021x y ⎡⎤⎤⎢⎥⎥⎦⎣⎦=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，解得002323y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.……… 10分 因为22001,x y -=所以2222()()1,33y x x y ---=整理得223y x -=，所以2C 的方程为22 3.y x -=……… 14分17.解：（1）由11,a =211()2()1,n n n n a a a a ---=+-n 2≥①得222(1)2(1)1,a a -=+-解得20a =或2 4.a = 又1,n n a a +>所以2242.a ==将24a =代入①，可得31a =或39.a =又1,n n a a +>所以2393.a ==将39a =代入①，可得44a =或416.a =又1,n n a a +>所以24164.a ==……… 3分 故猜想数列{}n a 的通项公式为2.n a n =……… 5分 （2） ①当1n =时，2111a ==，猜想成立.②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时，猜想成立，即2.k a k =……… 7分 则当1n k =+时，由①得211()2()1,k k k k a a a a ++-=+-即22211()2()1,k k a k a k ++-=+- 即2242112(1)210,k k a k a k k ++-++-+= 即2242221[(1)]21(1)0,k a k k k k +-++-+-+= 即2221[(1)](2)0,k a k k +-+-=即2211(12)(12)0,k k a k k a k k ++-----+=解得21(1)k a k +=+或21(1).k a k +=-……… 12分又1,n n a a +>所以21(1),k a k +=+故当1n k =+时，猜想成立. 综上：由①②得2n a n =.……… 14分18.解：PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面,ABCD .PA AD ∴⊥PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面,ABCD .PA AB ∴⊥又因为,2BAD π∠=所以AB AD ⊥，则,,AB AD AP 两两垂直，则以{,,}AB AD AP 为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系.A xyz -则各点的坐标为(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2).A B C D P 因为点,E F 分别是AB ，PD 的中点，所以(1,0,0),(0,2,1).E F ……… 2分 （1）证明：设平面PBC 的一个法向量为1(,,).n x y z = 因为(2,0,2),(0,2,0),BP BC =-=由1,,n BP n BC ⊥⊥得22020x z y -+=⎧⎨=⎩，令1,x =所以0, 1.y z ==则1(1,0,1).n =……… 5分因为(1,2,1),EF =-所以10.EF n ⋅=又EF ⊄平面,PBC 所以//EF 平面PBC .……… 8分（注：EF ⊄平面PBC 没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取CD 的中点G 证明平面//EFG 平面PBC ，或者延长DE 和CB 相交于点,H 然后证明//EF PH 也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）（2）证明：因为M 为棱PC 上一点，所以,PM PC λ=0 1.λ≤≤设(,,),M x y z 则(,,2)(2,2,2),x y z λ-=-，所以2,2,22.x y z λλλ===- 即(2,2,22),M λλλ-所以(21,2,22),EM λλλ=--(1,2,1).EF =- 设平面EFM 的一个法向量为2(,,),n x y z =则22,.n EM n EF ⊥⊥ 所以(21)2(22)0,20x y z x y z λλλ-++-=⎧⎨-++=⎩消去y 可得(31)(23)0.x z λλ-+-=令32,x λ=-则131,.2z y λ=-=-所以21(32,,31).2n λλ=---……… 12分 平面EFM ⊥平面,PBC12.n n ∴⊥则32310,λλ-+-=所以1,2λ=…… 14分(1,1,1).M 从而(0,1,1),EM =因为(2,2,2),PC =-所以0,EM PC ⋅=则,EM PC ⊥即.EM PC ⊥……… 16分19. 解：（1）取AC 的中点为,O 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0),A B -(0,1,0),C 11(0,1,2).B C当M 是BC 的中点时，则1,0).22M ①1131(3,1,2),(,2),2AB MC ==-设异面直线1AB 和1MC 所成角为,θ则11cos cos ,AB MC θ=<>=1111ABMC AB MC ⋅=20……… 4分 ②33(,,0),22AM =1(3,1,2),AB =设平面1MAB 的一个法向量为1(,,),n x y z =则111,.nAM n AB ⊥⊥所以30220x y y z +=⎨++=令x =则1,1,y z =-=-1(3,1,1).n ∴=--… 5分 (0,2,0),AC =设平面1AB C 的一个法向量为2(,,),n x y z =则212,,n AB n AC ⊥⊥20,20y z y ++=∴=⎪⎩令2,x=0,y z ∴==2(2,0,n ∴=……… 6分 设二面角1M AB C --的平面角为θ， 则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>==35……… 8分 所以sin θ==……… 9分 （2）当M 在BC 上运动时，设,0 1.CM CB λλ=≤≤设(,,),(,1,)1,0),M x y z x y z λ∴-=-,1,0,xy z λ∴==-= 则,1,0),M λ-1(,,2).MC λ∴=设直线1MC 与平面1AB C 所成的角为,θ则121212sin cos ,MC n MC n MC n θ⋅=<>=[0,1].λ==∈……… 11分 设()[0,1],f λλ=∈设1[1,2],t λ=+∈所以()g t ===[1,2].t ∈设11[,1],()2u g t t=∈∴=21221[,1],()2u u g t -+∈∴∈sin 77θ∴∈ ∴直线1MC 与平面1AB C所成的角的正弦值的取值范围为[,].77……… 16分20. 解：（1）在等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++中 令1,n =得14()6a b c =++①；令2,n =得122(42)2a b c =++②； 令3,n =得7093a b c =++③；由①②③解得3,11,10.a b c === 对于1,2n =都有2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12n n n n +=++()*成立. ……… 3分 下面用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()*式都成立. ①当1n =时，由上所述知()*式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时()*式成立，即2222122334(1)k k ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12k k k k +=++， 那么当1n k =+时，22222122334(1)(1)(2)k k k k ⋅+⋅+⋅++++++22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++……… 5分 2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++ 2(1)(2)(351224)12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10].12k k k k ++=++++综上：由①②得对一切正整数n ，()*式都成立，所以存在3,11a b ==时题设的等 式对于一切正整数n 都成立.……… 8分- 11 -（2）证明：①当1n =时，左式14=，右式12=，所以左式<右式，则1n =时不等式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时不等式成立，即22221231ln 234(1)2k k k ++++<++，那么当1n k =+时，222221231234(1)(2)k k k k ++++++++21111ln ln 2(2)22k k k k k +<++<++++(**)……… 10分 下面证明当1x ≥时，1ln 1x x≥-. 设()f x =1ln 1x x -+，则'22111()0,x f x x x x-=-=≥所以()f x 在[1,)+∞ 上单调增，所以()(1)0,f x f ≥=即1x ≥时，1ln 1x x≥-. 因为1k ≥，所以1111,k k k+=+>则 111ln11111k k k k k k k+≥-=-=+++ ……… 12分 因为1111111(ln )[ln(1)]ln ln22221k k k k k k k k k++++-++=-<-+++ 110,11k k ≤-=++所以111(ln )[ln(1)]0.222k k k ++-++<+ 由(**)得2222212311ln(1).234(1)(2)2k k k k k ++++++<++++ 那么1n k =+时不等式也成立. 综上：由①②可得对任意,n N *∈22221231ln 234(1)2n n n ++++<++. ……… 16分。