2.2.3待定系数法学案
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一、基本知识:待定系数法的定义一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的,可先把所求函数写为一般形式,其中,然后再根据题设条件求出这些.这种通过求来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.二、例题讲解:考点一:求一次函数的解析式例1 若函数y=kx+b的图象经过点P(3,-2)和Q(-1,2),则这个函数的解析式为( ) A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=-x-1 D.y=-x+1[小结] 用待定系数法求函数解析式的步骤:(1)根据题设条件,设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式.(2)把已知条件代入解析式,列出关于待定系数的方程(组).(3)解方程(组),求出待定系数的值(或消去待定系数,从而使问题得到解决).(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式.练习:1、已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,则f(x)=________.考点二:求二次函数的解析式ax+bx+c的解析式.例2、根据下列条件,求二次函数y=2(1)图象过点(2,0),(4,0),(0,3);(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4);(3)过点(1,1),(0,2),(3,5).练习:2、若二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x =2,最小值是-1,则它的解析式为________考点三:待定系数法的综合应用例3、(12分)如果函数f (x )=x 2+a bx -c (b ,c ∈N *)满足f (0)=0,f (2)=2,且f (-2)<21 ,求f (x )的解析式.练习:3.已知函数f (x )=ax +b x +c (a ,b ,c 是常数)是奇函数,且满足f (1)=52,f (2)=174.求f (x )的解析式.方法总结:运用待定系数法的常见设法:(1)正比例函数,设解析式为y =kx (k ≠0).(2)一次函数,设解析式为y =kx +b (k ≠0).(3)反比例函数,设解析式为y =k x (k ≠0).(4)对于二次函数,①若已知顶点坐标为(h ,k ),则可设顶点式y =2)(h x a -+k (a ≠0).②若已知对称轴方程为x =h ,则可设顶点式y =2)(h x a -+c (a ≠0).③若已知函数的最大值或最小值为k ,则可设顶点式y =2)(h x a -+k (a ≠0). ④若已知函数与x 轴只有一个交点(h,0),则可设交点式y =2)(h x a - (a ≠0). ⑤若已知函数与x 轴有两个交点(1x ,0),(2x ,0),则可设交点式y =a (x -1x )(x -2x )(a ≠0).⑥若已知函数图象上两对称点(1x ,m ),(2x ,m ),则可设对称点式y =a (x -1x )(x -2x )+m (a ≠0).⑦若已知函数图象上的三点,则可设一般式y =a 2x +bx +c (a ≠0).三、课后练习:1.反比例函数y =12x的图象和一次函数y =kx -7的图象都经过点P (m,2),求一次函数的解析式.2.已知y =2x -4x +h 的顶点A 在直线y =-4x -1上,函求数解析式为.。
2.2.3 待定系数法【学习要求】1.了解待定系数法的概念,会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式;2.掌握待定系数法的特征,会用待定系数法求解综合问题.【学法指导】通过待定系数法的学习,培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力;通过在旧知识的基础上产生新知识,激发求知欲;通过合作学习,培养团结协作的品质.填一填:知识要点、记下疑难点1.待定系数法:一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为 y=kx(k≠0),反比例函数的一般形式为y(k≠0),一次函数的一般形式为y=kx+b(k≠0) ,二次函数的一般形式为 y=ax2+bx+c(a≠0).研一研:问题探究、课堂更高效[问题情境] 对于一次函数y=kx+b(k≠0),如果知道了k与b的值,函数关系式就确定了,那么如果已知一次函数的图象过两个已知点,用怎样的方法来求一次函数的关系式?本节就来学习求函数解析式的一种常用方法——待定系数法.探究点一待定系数法的概念问题1 已知一个正比例函数的图象通过点(-3,4),如何求这个函数的解析式?问题2 在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法,那么你能给待定系数法下个定义吗?问题3 正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么?各有几个需要确定的系数?问题4对于两个按降幂顺序排列的一元多项式,当满足什么条件时,它们才相等?探究点二用待定系数法求一次函数问题1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时,通常需要几个条件?问题2我们要确定一次函数的关系式时,通常需要几个独立的条件?为什么?例1 已知f(x)是一次函数,且有2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,求这个函数的解析式.跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数,且有f[f(x)]=9x+8,求此一次函数的解析式.探究点三用待定系数法求二次函数问题1 二次函数解析式有哪几种表达式?问题2我们要确定二次函数的解析式,需要几个条件?为什么?问题3 如何根据题设条件来设二次函数的解析式?例2 已知一个二次函数f(x),f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=5,求这个函数.跟踪训练2 已知二次函数图象的顶点为(-1,-3),图象与y轴交点为(0,-5),求函数的解析式.例3.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6,若函数的值域是[0, +∞),求函数的解析式.跟踪训练3 二次函数的图象与x轴交于A(-2, 0),B(3, 0)两点,与y轴交于点C(0,-3),求此二次函数的解析式.练一练:当堂检测、目标达成落实处1.二次函数y=-x2-6x+k的图象的顶点在x轴上,则k的值为 ( )A.-9 B.9 C.3 D.-32.已知y+5与3x+4成正比例,且当x=1时,y=2.则y与x的函数关系式为______________.3.若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b=________.课堂小结:1.求二次函数解析式时,已知函数图象上三点的坐标,通常选择一般式;已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式;已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,通常选择两根式.2.一般地,函数关系式中有几个待定的系数,就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。
2.2.3 两条直线的位置关系第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程.知识点 两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1:2x +3y -6=0与直线l 2:3x +2y +6=0的位置关系是怎样的?思考2 直线l 3:2x +3y -2=0与直线l 4:4x +6y +3=0的位置关系是怎样的?梳理 两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系,可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解进行判断(如表所示):(2)几何法设直线l 1:y =k 1x +b 1;l 2:y =k 2x +b 2,则: ①l 1与l 2相交⇔____________; ②l 1∥l 2⇔________________; ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一 两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系. (1)l 1:y =3x +4,l 2:2x -6y +1=0; (2)l 1:2x -6y +4=0,l 2:y =x 3+23;(3)l 1:(2-1)x +y =3,l 2:x +(2+1)y =2; (4)l 1:x =5,l 2:x =6.反思与感悟 两条直线位置关系的判定方法 设两条直线的方程分别为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.(1)若A 1B 2-A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0),则两直线相交.(2)若A 1A 2+B 1B 2=0,则两直线相互垂直.(3)若A 1B 2-A 2B 1=0且A 1C 2-A 2C 1≠0或(B 1C 2-B 2C 1≠0)或A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0),则两直线平行.跟踪训练1 已知两直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,当m 为何值时,直线l 1与l 2:(1)相交?(2)平行?(3)重合?类型二 两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1,-4)且与直线2x +3y +5=0平行的直线方程; (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1),B (-2,-1)的直线平行的直线方程.反思与感悟 (1)求与直线y =kx +b 平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可巧设为y =kx +m (m ≠b ),然后通过待定系数法,求参数m 的值.(2)求与直线Ax +By +C =0平行的直线方程时,可设方程为Ax +By +m =0(m ≠C ),代入已知条件求出m 即可.其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论.跟踪训练2 若直线l 与直线2x +3y +5=0平行,且在两坐标轴上的截距之和为56,求直线l的方程.类型三 两条直线的交点问题例3 求经过原点,且经过直线2x +3y +8=0和x -y -1=0的交点的直线l 的方程.反思与感悟 利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题.跟踪训练3 三条直线x +y +1=0,2x -y +8=0,ax +3y -5=0只有两个不同的交点,则a =________.1.直线Ax +4y -1=0与直线3x -y -C =0重合的条件是( ) A .A =12,C ≠0 B .A =-12,C =14C .A =-12,C ≠-14D .A =-12,C =-142.直线2x -y +k =0和直线4x -2y +1=0的位置关系是( ) A .平行 B .不平行C .平行或重合D .既不平行也不重合3.已知过点A (-2,m )和B (m,4)的直线与直线2x +y -1=0平行,则m 的值为( ) A .-8 B .0 C .2D .104.过点(-1,-3)且与直线2x +y -1=0平行的直线方程为________________________. 5.已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1),B (1,0),C (4,3),求顶点D 的坐标.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系,可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下:答案精析问题导学 知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +3y -6=0,3x +2y +6=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-6,y =6.∴l 1与l 2相交.思考2 24=36≠-23,∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1=k 2且b 1≠b 2 ③k 1=k 2且b 1=b 2 题型探究例1 解 (1)A 1=3,B 1=-1,C 1=4; A 2=2,B 2=-6,C 2=1. 因为A 1A 2≠B 1B 2,所以l 1与l 2相交.(2)A 1=2,B 1=-6,C 1=4; 把l 2化为x -3y +2=0, 所以A 2=1,B 2=-3,C 2=2. 因为A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2,所以l 1与l 2重合.(3)A 1=2-1,B 1=1,C 1=-3; A 2=1,B 2=2+1,C 2=-2. 因为A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2,所以l 1与l 2平行.(4)A 1=1,B 1=0,C 1=-5; A 2=1,B 2=0,C 2=-6, 因为A 1B 2-A 2B 1=0,而A 2C 1-A 1C 2≠0,所以l 1与l 2平行. 跟踪训练1 解 因为直线l 1:x +my +6=0, 直线l 2:(m -2)x +3y +2m =0, 所以A 1=1,B 1=m ,C 1=6, A 2=m -2,B 2=3,C 2=2m .(1)若l 1与 l 2相交,则A 1B 2-A 2B 1≠0, 即1×3-m (m -2)≠0, 即m 2-2m -3≠0, 所以(m -3)(m +1)≠0, 解得m ≠3且m ≠-1.故当m ≠3且m ≠-1时,直线l 1与l 2相交.(2)若l 1∥l 2,则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2-A 2B 1=0,B 1C 2-B 2C 1≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧3-m (m -2)=0,2m 2-18≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2-2m -3=0,m 2≠9,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3或m =-1,m ≠3且m ≠-3,所以m =-1.故当m =-1时,直线l 1与l 2平行.(3)若l 1与l 2重合,则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2-A 2B 1=0,B 1C 2-B 2C 1=0,即⎩⎪⎨⎪⎧3-m (m -2)=0,2m 2-18=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3或m =-1,m =3或m =-3.所以m =3.故当m =3时,直线l 1与l 2重合.例2 解 (1)方法一 已知直线的斜率为-23,∵所求直线与已知直线平行,∴所求直线方程的斜率为-23.由点斜式,得所求直线的方程为y +4=-23(x -1),即2x +3y +10=0.方法二 设与直线2x +3y +5=0平行的直线l 的方程为2x +3y +λ=0(λ≠5). ∵l 经过点A (1,-4),∴2×1+3×(-4)+λ=0,解得λ=10, ∴所求直线方程为2x +3y +10=0.(2)经过点A (0,1),B (-2,-1)的直线的斜率为k =1-(-1)0-(-2)=1.∵所求直线经过点P (3,2), ∴所求直线方程为y -2=x -3 即x -y -1=0.跟踪训练2 解 设直线l 的方程为 2x +3y +C =0, 令x =0,得y =-C3,令y =0,得x =-C2.由题意,得-C 3-C 2=56,解得C =-1.所以直线的方程为2x +3y -1=0.例3 解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y +8=0,x -y -1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-2,∴直线2x +3y +8=0和x -y -1=0的交点坐标为(-1,-2). 又直线l 经过原点, ∴直线l 的方程为y -0-2-0=x -0-1-0,即2x -y =0. 方法二 设所求直线方程为2x +3y +8+λ(x -y -1)=0, ∵直线过原点(0,0), ∴8-λ=0,∴λ=8,∴直线方程为2x +3y +8+8x -8y -8=0, 即2x -y =0. 跟踪训练3 3或-6解析 当直线ax +3y -5=0与x +y +1=0平行时,a =3. 当直线ax +3y -5=0与2x -y +8=0平行时, a 2=3-1≠-58,得a =-6, ∴a =3或a =-6. 当堂训练 1.D 2.C 3.A 4.2x +y +5=0解析 设所求直线方程为2x +y +C =0, 将点(-1,-3)代入方程, 2×(-1)-3+C =0,得C =5. ∴直线方程为2x +y +5=0.5.解 设D (m ,n ),由题意,得AB ∥DC ,AD ∥BC , 则有k AB =k DC ,k AD =k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0-11-0=3-n4-m,n -1m -0=3-04-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3,n =4.所以点D 的坐标为(3,4).。
2.2.3 待定系数法[学习目标] 1.了解待定系数法的概念,会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.[预习导引]1.待定系数法:一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为y =kx (k ≠0),反比例函数的一般形式为y =kx(k ≠0),一次函数的一般形式为y =kx +b (k ≠0),二次函数的一般形式为y =ax 2+bx +c (a ≠0).要点一 求一次函数的解析式例1 设一次函数f (x )满足f [f (x )]=4x +9,求f (x )的解析式. 解 设f (x )=ax +b (a ≠0),则f [f (x )]=a ·f (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b .由f [f (x )]=4x +9,得a 2x +ab +b =4x +9,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,ab +b =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =3,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =-9.∴f (x )=2x +3或f (x )=-2x -9.规律方法 设出一次函数解析式,由等量关系列式求解.跟踪演练1 已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x ). 解 设f (x )=ax +b (a ≠0), 则有3f (x +1)-2f (x -1) =3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +5a +b =2x +17,则⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b +5a =17,∴a =2,b =7,即f (x )=2x +7. 要点二 求二次函数的解析式例2 已知二次函数y =f (x )的图象过A (0,-5),B (5,0)两点,它的对称轴为直线x =2,求这个二次函数的解析式.解 方法一 设二次函数为f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-5=c ,0=25a +5b +c ,-b2a=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-4,c =-5.∴所求函数解析式为f (x )=x 2-4x -5.方法二 设二次函数f (x )=a (x -2)2+k (a ≠0), 将(0,-5),(5,0),代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧-5=4a +k ,0=9a +k ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,k =-9,∴所求函数的解析式为f (x )=(x -2)2-9, 即f (x )=x 2-4x -5.方法三 ∵二次函数过点(5,0),且对称轴为x =2, ∴二次函数与x 轴另一交点为(-1,0), 设二次函数为f (x )=a (x -5)(x +1)(a ≠0), 将(0,-5)代入得a =1, ∴f (x )=x 2-4x -5.规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时,要注意其设法的多样性,由条件选择适当的形式.跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A (3,0),B (0,-3),C (-2,5)三点; (2)已知顶点坐标为(4,2),点(2,0)在函数图象上; (3)已知y =x 2-4x +h 的顶点A 在直线y =-4x -1上.解 (1)设所求函数为y =ax 2+bx +c (a ≠0),其中a ,b ,c 待定.根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧9a +3b +c =0,c =-3,4a -2b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-2,c =-3.因此所求函数为y =x 2-2x -3.(2)设所求函数y =a (x -4)2+2(a ≠0),其中a 待定. 根据已知条件得a (2-4)2+2=0,解得a =-12,因此所求函数为y =-12(x -4)2+2=-12x 2+4x -6.(3)∵y =x 2-4x +h =(x -2)2+h -4, ∴顶点A (2,h -4),由已知得(-4)×2-1=h -4,h =-5, ∴所求函数为y =x 2-4x -5. 要点三 待定系数法的综合应用例3 如图,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式,并求该函数的值域.解 设左侧的射线对应的解析式为y =kx +b (k ≠0,x ≤1),因为点(1,1),(0,2)在此射线上,故⎩⎪⎨⎪⎧k +b =1,b =2,解得k =-1,b =2,所以左侧射线对应的函数的解析式为y =-x +2(x <1),同理可求x ≥3时,函数的解析式为y =x -2(x >3). 当1≤x ≤3时,抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y =a (x -2)2+2(1≤x ≤3,a <0), 由点(1,1)在抛物线上可知a +2=1,所以a =-1, 所以抛物线对应的函数解析式为y =-x 2+4x -2(1≤x ≤3).综上,函数的解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧-x +2 x <1,-x 2+4x - 2 1≤x ≤3,x - 2 x >3,由图象可知函数的最小值为1,无最大值, 所以,值域为[1,+∞).规律方法 由函数图象求函数的解析式,关键观察函数图象的形状,分析图象由哪几种函数组成,然后根据不同区间上的函数类型,利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3 已知f (x )是定义在[-6,6]上的奇函数,且f (x )在[-3,3]上是一次函数,在[3,6]上是二次函数,f (6)=2,又当3≤x ≤6时,f (x )≤f (5)=3, 求f (x )的解析式.解 因为f (x )在[3,6]上是二次函数,f (x )≤f (5)=3, 则(5,3)为抛物线的顶点, 所以设f (x )=a (x -5)2+3(a ≠0), 又因为f (6)=2,代入f (x )得a =-1, 所以x ∈[3,6]时,f (x )=-(x -5)2+3.当x =3时,f (3)=-1,所以点(3,-1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上. 又因为f (x )为奇函数,且x ∈[-6,6],所以f (0)=0,故可设一次函数式为f (x )=kx (k ≠0), 将(3,-1)代入f (x )得k =-13.所以一次函数式为f (x )=-13x .当x∈[-6,-3]时,-x ∈[3,6], 所以f (x )=-f (-x )=(x +5)2-3.所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +52-3,x ∈[-6,-3,-13x ,x ∈[-3,3],-x -52+3,x ∈3,6].1.已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1,0)(2,5)两点,则二次函数的解析式为( ) A.y =x 2+2x -3B.y =x 2-2x -3 C.y =x 2+2x +3 D.y =x 2-2x +6 答案 A解析 将(1,0),(2,5)代入y =x 2+bx +c 可得⎩⎪⎨⎪⎧1+b +c =0,①4+2b +c =5. ②由①②解得b =2,c =-3.2.已知一次函数的图象过点(1,3),(3,4),则这个函数的解析式为( ) A.y =12x -52B.y =12x +52C.y =-12x +52D.y =-12x -52答案 B解析 设一次函数解析式为y =kx +b (k ≠0),把点(1,3),(3,4)代入易知⎩⎪⎨⎪⎧3=k +b ,4=3k +b ,得⎩⎪⎨⎪⎧k =12,b =52.3.已知二次函数的图象经过(-1,0),(1,0),(2,3)三点,则这个函数的解析式为( ) A.y =x 2-1 B.y =1-x 2C.y =12x 2+1D.y =12x 2-1答案 A解析 设y =a (x +1)(x -1)(a ≠0), 将点(2,3)代入得3=3a , ∴a =1.∴y =x 2-1.4.已知某二次函数的图象与函数y =2x 2的图象形状一样,开口方向相反,且其顶点为(-1,3),则此函数的解析式为( ) A.y =2(x -1)2+3 B.y =2(x +1)2+3 C.y =-2(x -1)2+3 D.y =-2(x +1)2+3答案 D解析 设所求函数的解析式为y =a (x +h )2+k (a ≠0),由题意可知a =-2,h =1,k =3,故y =-2(x +1)2+3.5.已知二次函数f (x )的图象顶点坐标为(1,-2),且过点(2,4),则f (x )=________.答案6x2-12x+4解析设f(x)=a(x-1)2-2(a≠0),因为过点(2,4),所以有a(2-1)2-2=4,得a=6.所以f(x)=6(x-1)2-2=6x2-12x+4.1.求二次函数解析式时,已知函数图象上三点的坐标,通常选择一般式;已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式;已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,通常选择两根式.2.一般地,函数关系式中有几个待定的系数,就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。
年级高一课题 2.2.3待定系数法设计者高一数学组学习目标掌握待定系数法的应用学习重点待定系数法知识再现1.一次函数的解析式形式:,其中正比例函数的解析式:2.反比例函数的解析式形式:;3、二次函数解析式形式有:(1)、;(2)、;(3)、。
自主学习1.待定系数法定义一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做。
2.待定系数法步骤:自学检测1、已知一个一次函数的图像过点)4,3(),3,1(,在这个函数的解析式为()A.2521-=xyB.2521+=xyC.2521+-=xyD.2521--=xy2、已知一个二次函数经过)3,2(),0,1(),0,1(-点,则这个函数的解析式为()A.12-=xyB.21xy-=C.1212+-=xyD.1212-=xy 3合作探究:核心突破导与练例1已知二次函数的图象过点(1,4),且与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),求函数的解析式。
变式训练:教材62页第1、3、5题例2已知)(xfy=是一次函数,且有1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-ffff,求这个函数的解析式。
变式训练:教材62页第2、4题。
用“待定系数法”求二次函数解析式一、 待定系数法解题的一般步骤待定系的数法是数学中的一个重要方法,其一般步骤是:1. 确定所求问题的解析式;2. 根据所给条件,列出方程或方程组; 3. 解方程或方程组二、 用待定系数法求二次函数解析式例 根据所给条件求二次函数解析式 (1) 已知抛物线与y 轴交于50,2⎛⎫-⎪⎝⎭,且经过()1,6-,()1,0-两点,求抛物线解析式.(2) 已知二次函数的图像过点()2,0P ,且顶点坐标为()3,1,求这个二次函数的解析式.(3) 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为-1和3,且经过点(-3,6),确定抛物线的解析式.三、 综合应用解决问题1. 二次函数c bx ax y ++=2的最大值等于a 3-,且它的图像经过()2,1--,()6,1两点,求二次函数的解析式.2. 已知函数c bx ax y ++=21,它的顶点坐标为()2,3--,1y 与m x y +=22交于点()6,1,求:(1)1y 与 2y 的函数解析式(2)画出1y 、2y 的图像,根据图像指出当x 取何 值时1y >2y3. 如图,在直角坐标系中,AOB Rt △的顶点坐标分别为)2,0(A ,()0,0O ,()0,4B ,把A O B △绕点O 按逆时针方向旋转90°得到COD △.(1) 求C 、D 两点坐标;(2) 求经过C 、D 、B 三点的抛物线的解析式.4.y 轴交于点,AB ,以线段AB 为直角边在第一象限内做等腰直角三角形CD x ⊥轴,D (1)点A ,B (2) 过,,A B C如图,抛物线23y ax bx a =+-经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求抛物线的解析式;(2)已知点D (m ,-m -1)在第四象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点'D 的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD ,问在x 轴上是否存在点P ,使∠PCB =∠CBD .若存在,请求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.。
《待定系数法(2)》学案一,复习:根据图象信息求下列抛物线的解析式归纳:一般地,知道抛物线的顶点坐标,应将解析式设为 。
2,抛物线c bx ax y ++=2交y 轴于( )。
对称轴是 ,顶点坐标是 。
3,1422-+-=x x y 交y 轴于( )。
对称轴是 ,顶点坐标是 。
二,例题1:抛物线交y 轴于(0,3),经过点(-3,0)、(1,0)。
求其解析式。
分析:若设解析式为c bx ax y ++=2,根据“抛物线交y 轴于(0,3)”易知c 值为3。
不妨直接将解析式设为32++=bx ax y ,再代入另两点坐标,得方程组,求出a ,b ,写出解析式。
解:练习:抛物线交y 轴于(0,-5),经过点(1,0)、(-1,-8)。
求其解析式三,探究:观察322++-=x x y 与x 轴的交点为 。
计算检验:x 取值为 时,函数值为0。
理解:把322++-=x x y 的右边分解因式,得)3)(1(-+-=x x y ,可以直接看出x=-1时,y=0;x=3时,y=0 试一试:)5)(2(21+-=x x y 与x 轴的交点坐标为 。
抛物线)4)(3(-+=x x a y 与x 轴的交点坐标为四,例题2:抛物线交y 轴于(0,5),交x 轴于(-2,0)、(5,0)。
求其解析式。
合作交流:你想如何设解析式?你有几种方法设解析式?解:(注意:最后需要把解析式写成一般式)五,提高把2x y -=平移后,交坐标轴于A 、B 、C ,如图。
且AO :BO :CO=1:4:4。
求解析式。
六,巩固与作业:1, 抛物线交y 轴于(0,2),经过点(3,8)、(-3,2)。
求解析式。
2, 抛物线交y 轴于(0,4),经过点(3,0)、(-2,0)。
求解析式。
3, 在“五,提高”中的抛物线上,点P 是第二象限的抛物线上的点,作PD ⊥x 轴于D ,交BC 于E 。
设PE 的长为L 。
求L 关于x 的函数解析式,并写出x 的取值范围。
2.2.3待定系数法学案
出题人:王国伟 2008-11-6
【学习目标】
1、 会求一些简单的系数;
2、 会用待定系数法求函数的函数的解析式。
【自主学习】
1、一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的 ,可先把所求函数写为一般形式,其中 ,然后再根据 求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来 的方法叫做 。
2、两个一元多项是分别整理成标准式之后,当且仅当它们对应同类项的系数相等,则称这两个多项是相等,如:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⇔++=++'''22c x b x a c bx ax
3、二次函数解析式形式有哪几种? (1)、 ;
(2)、 ;
(3)、 。
跟踪1、已知一个二次函数5)2(,4)1(,5)0(),(=-=--=f f f x f ,求这个函数。
跟踪2、已知)(x f y =是一次函数,且有1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-f f f f ,求这个函数的解析式。
总结:待定系数法解题的基本步骤是什么?
【典例示范】
例:抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点)0,3(-A ,对称轴1-=x ,顶点C 到x 轴的距离为2,求此抛物线的解析式。
(至少用两种方法解出)
探索与研究:请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能确定一个具体的二次函数?
【稳扎马步】
1、已知一次函数过点(10,a)与(
29,23),且其对应直线的斜率为3,则a 的值为( ) A.2
3 B.30 C.10 D.15 2、已知一个一次函数的图像过点)4,3(),3,1(,在这个函数的解析式为( )
A.2521-=x y B.2521+=x y C.2521+-=x y D.2
521--=x y 3、已知一个二次函数经过)3,2(),0,1(),0,1(-点,则这个函数的解析式为( )
A.12-=x y B.21x y -= C.1212+-=x y D.12
12-=x y
4、已知函数f (x)=c bx ax ++2(0≠a )是偶函数,那么cx bx ax x g ++=23)(是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
5、二次函数1422+-=x x a y 有最小值-1,则a的值为( )
A.2 B.-2 C.2± D.2±
6、如果二次函数12++=bx ax y 的图像的对称轴是1=x ,且通过点)7,1(-A ,则a ,b 的值分别是( )
A.2,4 B.2,-4 C.—2,4 D.—2,—4
【重拳出击】
7、函数132++-=x ax ax y 的图像与x 轴有且只有一个交点,那么a 的值为( ) A.0 B.0或1 C.0或1或9 D.0或1或9或12
8、已知)(,2))(()(b a b x a x x f <---=,并且βα,是方程0)(=x f 的两根,则实数βα,,,b a 的大小关系可能是( )
A.βα<<<b a B.b a <<<βα C.βα<<<b a D.b a <<<βα
9、若不等式22++bx ax >0的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<<-3121|x x ,则a-b的值是( ) A.10 B.14 C.-10 D.-14
10、二次函数c bx x y ++=2
的图像向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的二次函数为122+-=x x y ,则b= ,c= 。
11、已知c bx ax x f ++=2)(,若0)0(=f ,且1)()1(++=+x x f x f ,则=)(x f 。
12、已知偶函数)(x f 的定义域为R ,且在)0,(-∞上是增函数,试比较)4
3
(-f 与)(),1(2R a a a f ∈+-的大小。
【登峰揽月】
13、已知A={}0|2≤++q px x x ,B=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>--013|x x x ,且R B A =⋃,{}43|≤<=⋂x x B A ,则p,q的值分别为( )
A.p=-3,q=4 B.p=3,q=-4
C.p=-5,q=4 D.p=5,q=4
14、若函数3)2(2+++=x a x y ,x[]b a ,∈的图象关于x=1对称,则a= ,b= .
15、已知二次函数bx ax x f +=2)((a,b是常数,且a≠0)满足条件:)2(f =0,
方程)(x f =x有两个相等的实根.
(1)求)(x f 的解析式;
(2)问是否存在实数m,n()n m <,使)(x f 的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2,
如果存在,求出m,n的值,如果不存在,说明理由.。