高一数学教案：2.2.3待定系数法

2.2.3 待定系数法学习目标：1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)2.掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．思考：待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？[提示] (1)根据题设条件，设出含有待定系数的该函数解析式的恰当形式． (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)． (4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．[基础自测]1．思考辨析(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y ＝－16x .( ) (3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y ＝12x ＋52.( ) [解析] (1)√ 确定一次函数的解析式，即确定k ，b 的值，因此需要列关于k ，b 的两个二元一次方程求解．(2)× 反比例函数图象过点(2,8)则其解析式为y ＝16x .(3)√ 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(1,3)，(3,4)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝33k ＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，所以解析式为y ＝12x ＋52.[答案] (1)√ (2)× (3)√2．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1D [把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝1.所以y ＝－x ＋1，故选D.]3．已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )【导学号：60462146】A ．y ＝14x 2＋1 B ．y ＝14x 2＋4 C ．y ＝4x 2＋1D ．y ＝x 2＋4D [设该二次函数的解析式为y ＝a (x －0)2＋4，即y ＝ax 2＋4，(1,5)代入，得a ＋4＝5，所以a ＝1，故解析式为y ＝x 2＋4.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为________． 5 [∵f (3)－f (－1)＝8a ＋4b ＝0， ∴4a ＋2b ＝0， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋5＝5.][合 作 探 究·攻 重 难]待定系数法求一次函数的解析式【导学号：60462147】(2)已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为______．[解析] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－3.所以函数的解析式为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0和(1,5)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝－32k ＋b ，5＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝3，所以y ＝2x ＋3.[答案] (1)2x ＋1或－2x －3 (2)y ＝2x ＋3[规律方法] 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可． [跟踪训练]1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________． y ＝－14x ＋12 [设函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，得⎩⎨⎧0＝2k ＋b ，1＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.所以函数的解析式为y ＝－14x ＋12.]待定系数法求二次函数的解析式2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．[思路探究] 设二次函数的解析式→列出含参数的方程(组)→解方程(组)→写出解析式[解] (1)由题意设二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)(x －4)，整理，得y ＝ax 2－6ax ＋8a .又∵图象过点(0,3) ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 又∵图象过点(0,4) ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2. (3)设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题设知⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.[规律方法] 求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0.(2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，a ≠0.(3)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，a 为常数，且a ≠0.)[跟踪训练]2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式.【导学号：60462148】[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)由f (0)＝1得，c ＝1 ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x 即2ax ＋a ＋b ＝2x∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1待定系数法的综合应用[1．根据函数图象求函数解析式的关键是什么？ 提示：观察函数图象的形状．图2-2-32．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-2-3所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．提示：设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2－1，(a ＞0)． 又函数过点(0,0)，故a ＝1，所以所求函数的解析式为y ＝(x －1)2－1(0≤x ＜3)． 由图可知该函数的取值满足－1＝f (1)≤f (x )＜f (3)＝3， 即该函数的值域为[－1,3)．如图2-2-4，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．图2-2-4[解] 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎨⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)， 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)； 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：(顶点式)设抛物线的方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 法二：(一般式)设抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2，所以抛物线对应的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，(x <1)，－x 2＋4x －2，(1≤x <3)，x －2，(x ≥3).[规律方法] 1.由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后再在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值． [跟踪训练]3．已知二次函数图象与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)，求二次函数解析式. 【导学号：60462149】[解] 法一：(一般式)设二次函数的表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 因为函数f (x )经过点(－2,0)，(3,0)和(－1,8)，所以⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0a －b ＋c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝2c ＝12.所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.法二：(两根式)设二次函数解析式为f (x )＝a (x ＋2)(x －3)，又因为二次函数图象经过(－1,8)，所以－4a ＝8，即a ＝－2，所以二次函数解析式为f (x )＝－2(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2A [2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b ，根据恒等式⎩⎨⎧a ＝2，b －a ＝1，－3＝－b ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.] 2．已知函数f (x )＝ax 2＋k 的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝3x 2＋4B ．f (x )＝2x 2＋5C ．f (x )＝3x 2＋2D ．f (x )＝5x 2＋4A [将(1,7)与(0,4)代入函数f (x )＝ax 2＋k 可得a ＝3，k ＝4.]3．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________.【导学号：60462150】y ＝－4x 2＋16x －13 [由题意设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋3， 则－1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－4.]4．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.2 [f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3， 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎨⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－7.∴5a －b ＝2.]5．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．[解] 法一：(一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．将三个点的坐标代入，得⎩⎨⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：(两根式)∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)． ∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)， 把顶点(4，－3)代入得－3＝a (4－1)×(4－7)， 解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.。

2.2.3 待定系数法学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．知识点待定系数法思考1 若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？思考2 在思考1中，求解析式的方法有什么特点？梳理 1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道________________，先把所求函数写为__________，其中系数待定，然后再根据__________求出这些待定系数．这种通过求________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是________________．(2)一次函数的一般形式是________________．(3)反比例函数的一般形式是________________．(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式________________，这是二次函数的标准形式；②顶点式________________，其中________是抛物线的顶点；③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．类型一待定系数法求解析式命题角度1 待定系数法求一次函数解析式例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．反思与感悟在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．命题角度2 待定系数法求二次函数解析式例2 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．引申探究若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值．反思与感悟二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可设函数的两根式．跟踪训练2 求下列二次函数的解析式．(1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；(3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)．类型二 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，求 (1)f (x )的解析式；(2)求证f (x )在(12，＋∞)上为增函数．1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝4xB ．y ＝－4xC ．y ＝14xD ．y ＝－14x 2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －52 3．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2＋2x ＋3 D ．y ＝x 2－2x ＋6 4．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________．5．如图是二次函数y ＝f (x )的图象，若x ∈[－2,1]，则函数f (x )的值域为________．1．求待定系数的方法——列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组)；(2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)；(3)利用定义本身的属性列方程(组)．2．待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．答案精析问题导学知识点思考1 ∵函数y ＝kx 过点(2,3)，∴3＝k ·2，即k ＝32， ∴函数为y ＝32x . 思考 2 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数．梳理1．这个函数的一般形式 一般形式 题设条件 待定系数 2.(1)y ＝kx (k ≠0，k 是常数)(2)y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 是常数) (3)y ＝k x (k ≠0，k 是常数)(4)①y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k )题型探究例1 解 设所求的一次函数是f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，其中k ，b 待定.根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 22k ＋b －3k ＋b ＝5，2b －－k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，解此方程组，得k ＝3，b ＝－2.因此所求的函数是y ＝3x －2.跟踪训练1 解 设该一次函数是y ＝ax ＋b ，由题意得f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，ab ＋b ＝8， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝－4.所以一次函数为f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4.例2 解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，方法一 则顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b2a ＝2， ①4ac －b24a ＝3， ②又二次函数过点(3,1)，∴1＝9a ＋3b ＋c .③联立方程①②③解方程组，得：a ＝－2，b ＝8，c ＝－5，∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.方法二 设二次函数顶点式方程为y ＝a (x －2)2＋3，∵二次函数图象过点(3,1)，∴1＝a ×1＋3，∴a ＝－2，∴y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5.引申探究 解 设二次函数的两根式为y ＝a (x －2)(x －4)，∴6＝a ×(－2)×(－4)，∴a ＝34，∴y ＝34x 2－92x ＋6.当x ＝3时，函数的最小值为－34，无最大值．跟踪训练2 解 (1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2－2b ＋c ＝20，a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－5，c ＝6，∴y ＝x 2－5x ＋6.(2)设y ＝a (x ＋1)2－2，∴25＝a ×32－2，∴a ＝3，∴y ＝3x 2＋6x ＋1.(3)设y ＝a (x ＋2)(x －3)，∴a ×1×(－4)＝8，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋2x ＋12.例3 解 设左侧的射线对应的解析式为 y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数． 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2 x ＜1，－x 2＋4x －2 1≤x ≤3，x －2 x >3，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞)．跟踪训练3 (1)解 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x －c ，∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x .又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，∴a ＝2，b ＝12.∴f (x )＝2x ＋12x. (2)证明 设x 1，x 2∈(12，＋∞)且x 1＜x 2. 则f (x 2)－f (x 1)＝(2x 2＋12x 2)－(2x 1＋12x 1)＝2(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)4x 1x 2－12x 1x 2.∵x 2＞x 1＞12，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞14，∴4x 1x 2＞1，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(12，＋∞)上是增函数． 当堂训练1．A 2.B 3.A 4.y ＝－2x 2＋4x5．[0,4]。

人教版高中必修1(B版) 2.2.3 待定系数法课程设计一、课程设计背景待定系数法是高中数学中的重要内容，其在二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等章节中都有应用。

本课程设计旨在帮助学生全面理解待定系数法的概念和应用，掌握其运用方法，并能熟练应用待定系数法解决实际问题。

二、课程设计目标1.理解待定系数法的概念和特点；2.掌握待定系数法的求解方法；3.熟练掌握待定系数法在实际问题中的应用；4.能够独立运用待定系数法解决相关的数学问题。

三、教学内容1. 待定系数法的概念和基本思想1.待定系数法的定义；2.待定系数法的基本思想；3.待定系数法在数学中的应用。

2. 待定系数法的具体操作1.一般式Ax² + Bx + C的展开式；2.齐次方程Ax² + Bx + C = 0的求解方法；3.非齐次方程Ax² + Bx + C = D的求解方法。

3. 待定系数法的应用实例1.二次函数的相关问题；2.三角函数的相关问题；3.指数函数和对数函数的相关问题。

四、教学方法1. 案例教学法通过实际问题的案例，引导学生理解待定系数法的基本思想和运用方法。

2. 归纳总结法通过对待定系数法的多个应用实例的总结归纳，让学生理解其运用规律。

3. 自主探究法让学生在教师的指导下，自行探究待定系数法的应用方法，并通过练习题提高解题能力。

五、教学评估1. 课堂小测在课堂上设置小测验，检验学生对于待定系数法的理解程度。

2. 作业答辩通过学生的作业答辩，检验学生的解题能力和应用能力。

3. 期末考试期末考试主要测试学生对于待定系数法的掌握程度和应用能力。

六、教学内容的具体实施1. 教材选用人教版高中数学必修1(B版)。

2. 教学时间安排共需12学时，每学时45分钟。

3. 教学资料准备1.教师精心准备的教案，提前打印发给学生；2.与教学内容紧密相关的练习题。

七、教学反思本课程设计在教学过程中，针对学生的理解能力、解题能力和应用能力进行了全方位的提高和训练，取得了较好的教学效果。

2.2.3 待定系数法【学习要求】1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式；2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题． 【学法指导】通过待定系数法的学习，培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力；通过在旧知识的基础上产生新知识，激发求知欲；通过合作学习，培养团结协作的品质. 填一填：知识要点、记下疑难点1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定 ，然后再根据题设条件求出这些 待定系数 ．这种通过求 待定系数 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2.正比例函数的一般形式为 y ＝kx(k ≠0) ，反比例函数的一般形式为y ＝ kx(k ≠0) ，一次函数的一般形式为y ＝kx ＋b(k ≠0) ，二次函数的一般形式为 y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0) . 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 对于一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数关系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法来求一次函数的关系式？本节就来学习求函数解析式的一种常用方法——待定系数法．探究点一 待定系数法的概念问题1 已知一个正比例函数的图象通过点(－3,4)，如何求这个函数的解析式？答：我们可设所求的正比例函数为y ＝kx ，其中k 待定，根据已知条件，将点(－3,4)代入可得k ＝－43.所以所求的正比例函数是y ＝－43x.问题2 在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数法下个定义吗？答：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法． 问题3 正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？各有几个需要确定的系数？答： 解析式分别为y ＝kx(k≠0)，y ＝kx ＋b(k≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，它们的解析式中待定系数各有1个，2个，3个．问题4 对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件时，它们才相等？ 答： 当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等． 探究点二 用待定系数法求一次函数问题1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？ 答： 只需要一个条件．问题2 我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？ 答： 需要2个独立的条件．因为一次函数的解析式中有2个待定的系数．例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解： 设所求的一次函数是f(x)＝kx ＋b(k≠0)，其中k ，b 待定. 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧22k ＋b －3k ＋b ＝52b －－k ＋b ＝1 即⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5k ＋b ＝1解此方程组，得k ＝3，b ＝－2. 因此所求的函数是y ＝3x －2. 小结： 在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式． 跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x ＋8，求此一次函数的解析式．解： 设该一次函数是y ＝ax ＋b ， 由题意得f[f(x)]＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8. 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9ab ＋b ＝8， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4. 所以一次函数为f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －4.探究点三 用待定系数法求二次函数问题1 二次函数解析式有哪几种表达式？答： 二次函数解析式有三种形式：一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ； 两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ；顶点式：y ＝a(x －h)2＋k.问题2 我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？为什么？ 答： 需要三个条件，因为二次函数解析式中有三个待定的系数． 问题3 如何根据题设条件来设二次函数的解析式？答： (1)已知二次函数图象过三个已知点，可设解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ；(2)已知二次函数图象的顶点坐标(m ，n)，可设解析式为y ＝a(x －m)2＋n ； (3)已知二次函数图象与x 轴有两个交点，可设解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．例2 已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝5，求这个函数．解： 设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，其中a ，b ，c 待定， 根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＋c ＝－5a －b ＋c ＝－44a ＋2b ＋c ＝5，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此，所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5.小结: 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.跟踪训练2 已知二次函数图象的顶点为(－1，－3)，图象与y 轴交点为(0，－5)，求函数的解析式．解: 设所求的二次函数为y ＝a(x ＋1)2－3, 由条件得：点(0，－5)在抛物线上，所以有a －3＝－5，得a ＝－2. 故所求的抛物线解析式为y ＝－2(x ＋1)2－3. 即y ＝－2x 2－4x －5.例3.已知函数f(x)＝x 2－4ax ＋2a ＋6，若函数的值域是[0, ＋∞)，求函数的解析式．解: 因为函数的值域是[0, ＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，解得a ＝－1或a ＝32.所以f(x)＝x 2＋4x ＋4或f(x)＝x 2－6x ＋9.小结: 用待定系数法求函数解析式是常用的方法，其步骤为：先设出含有待定系数的函数解析式，再根据条件列出含有待定系数的方程或方程组，最后求出方程或方程组的解，从而写出所求的解析式．其步骤可简记为四个字“设、列、求、写．”跟踪训练3 二次函数的图象与x 轴交于A(－2, 0)，B(3, 0)两点，与y 轴交于点C(0，－3)，求此二次函数的解析式．解: 因为二次函数的图象与x 轴交于A(－2, 0), B(3, 0)两点， 所以可设二次函数为f(x)＝a(x ＋2)(x －3)，将C 点坐标(0，－3)代入f(x)的表达式，得－6a ＝－3， 解得a ＝12.所以二次函数是f(x)＝12(x ＋2)(x －3)， 即f(x)＝12x 2－12x －3.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.二次函数y ＝－x 2－6x ＋k 的图象的顶点在x 轴上，则k 的值为 ( ) A ．－9 B ．9 C ．3 D ．－3解析: ∵y＝－(x ＋3)2＋k ＋9，∴k＋9＝0，k ＝－9.2.已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2.则y 与x 的函数关系式为______________． 解析: 设y ＋5＝k(3x ＋4)，由x ＝1时，y ＝2， 得2＋5＝k(3＋4)，所以k ＝1， 所求函数关系式为y ＝3x －1.3.若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x∈[a ，b]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.解析: 对称轴x ＝－a ＋22＝1， 又a ＋b2＝1， ∴b＝6.课堂小结：1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，通常选择两根式．2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。

年级高一课题 2.2.3待定系数法设计者高一数学组学习目标掌握待定系数法的应用学习重点待定系数法知识再现1.一次函数的解析式形式：，其中正比例函数的解析式：2.反比例函数的解析式形式：；3、二次函数解析式形式有：（1）、；（2）、；（3）、。

自主学习1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做。

2.待定系数法步骤：自学检测1、已知一个一次函数的图像过点)4,3(),3,1(，在这个函数的解析式为（）Ａ．2521-=xyＢ．2521+=xyＣ．2521+-=xyＤ．2521--=xy2、已知一个二次函数经过)3,2(),0,1(),0,1(-点，则这个函数的解析式为（）Ａ．12-=xyＢ．21xy-=Ｃ．1212+-=xyＤ．1212-=xy 3合作探究：核心突破导与练例1已知二次函数的图象过点（1，4）,且与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），求函数的解析式。

变式训练：教材62页第1、3、5题例2已知)(xfy=是一次函数，且有1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-ffff，求这个函数的解析式。

变式训练：教材62页第2、4题。

课题： 2.2.3 待定系数法执笔人： 审核人： 2010 年 10月 12 日 编号 09【学习目标】1. 了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。

2. 通过待定系数法求函数的解析式，掌握待定系数法的特征及应用。

3. 小组成员积极讨论、踊跃展示、大胆质疑、大声点评、注重总结数学方法和规律， 以极度的热情投入学习不浪费分秒，充分享受学习成功的欢乐。

【重点难点】重点：待定系数法求函数的解析式。

难点：充分理解待定系数法，使用时先判断函数的类型。

【自主学习】温馨提示：自学课本61页至62页，完成下列问题待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一般形式，其中______________________，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求________________ 来确定______________________的方法，叫待定系数法。

练习（1）正比例函数的一般形式为_____________________,一次函数的一般形式为___________________________，二次函数的一般形式为__________________________.（2）正比例函数的图象经过（1，4）点，则此函数的解析式为________________.（3）已知点A(1,3),B 都是正比例函数y kx =的图像上的点,点B 的横坐标为3，则点B 的纵坐标y =__________.(4) 已知一个一次函数()f x ,(2)0,f -=(1)3,f =则此函数的解析式为________________.(5)已知一个二次函数()f x ,(0)5,f =-(1)4,f -=-(2)5f =,则此函数的解析式为________________.小结：利用待定系数法函数解析式的步骤是：（1）先判定函数的类型并设出函数的________,（2）根据题设条件列出含______________的方程（或方程组），（3）解方程（或方程组）求出待定系数，写出所求函数的解析式.疑难反馈：【合作探究】例1 已知二次函数的图象过点（1，4）,且与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），求函数的解析式。

2.2.3 待定系数法 教案教学目标：1．掌握用待定系数法求解析式的方法；了解待定系数法及其应用；2．设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解；3．培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．4．通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；5．通过合作学习，培养学生团结协作的品质．重点：用待定系数法求函数解析式；难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式．教学过程：1．知识再现：正比例函数、一次函数、二次函数的解析式？ 正比例函数、一次函数、二次函数的解析式中各有几个需要确定的系数？2．概念探究阅读课本61页到例1的上方，完成下列问题1、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一般形式，其中______________________，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过____________求___________来确定_____________的方法，叫待定系数法．2、正比例函数的一般形式为_____________________,一次函数的一般形式为___________________________，二次函数的一般形式为__________________________.3、________________4、二次函数的图象的顶点坐标为（1，2），且过（0，0）点，则函数解析式为_____________3．例题解析阅读课本例1与例2，独立完成下列问题例 1．已知)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f例2． 正比例函数的图象经过（1，4）点，则此函数的解析式为？例 3．已知二次函数f(x ），f （0）=-5,f(-1)=-4,f(2)=5,求这个函数.练习：求下列二次函数的解析式①经过三点（3，0），（0，-3），（-2，5）②顶点(4,2),(2,0)在图像上③h x x y +-=42的顶点在14--=x y 上4．归纳总结运用待定系数法解题步骤：第一步：设出适当含有待定系数的解析式；第二步：根据已知条件，列出含有待定系数的方程组；第三步：解方程组，或消去待定系数，进而解决问题.给定哪些条件，才能求出一个具体的二次函数.概念深化 二次函数在待定系数法中的设法：设法1：已知顶点坐标（m,n ）,可设y=a 22)(n m x +-,再利用一个独立条件，求a. 设法2：已知对称轴x=m,设.)(2b m x a y +-=利用两个独立条件求a,b.设法3：二次函数图像与x 轴有两个交点时，设),)((21x x x x y --=再利用一个独立条件求a.5．课堂检测1.已知)(x f 为一次函数，且78)))(((+=x x f f f ，则=)(x f （ ）A.2x+1B.x+2C.－2x+1D.8x+72.已知二次函数12++=bx ax y 的图像的对称轴是x=1，并且通过点A （－1，7），则a ，b 的值分别是（ ）A.2，4B.2，－4C.－2，4D.－2，－43.已知))(1(322b ax x x x +-=-+，则a,b 的值分别为（ ）A.2，3B.2，－3C.－2，3D.－2，－34.已知))()((65223c x b x a x x x x +++=--+，则a,b,c 的值分别为5.已知72)1(2+-=-x x x f ，则)(x f ＝____________________；6.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f参考答案：1. A ；2 .B ；3. A ；4. 1 -2 3 ；5 .62-x ；6. y=362+-x x 或y=51514512+-x x ．。

人教版高中必修1(B版)2.2.3待定系数法教学设计一、教学目标1.了解待定系数法的基本概念及其解题思路；2.掌握通过待定系数法解决一元二次方程组的方法；3.能够在题目中运用待定系数法进行求解。

二、教学重点与难点1.教学重点•学生掌握待定系数法的基本思路；•学生掌握待定系数法解决一元二次方程组的方法；•学生加深对待定系数法的理解。

2.教学难点•学生理解待定系数法的概念；•学生能否独立运用待定系数法解决问题。

三、教学内容及进度安排1. 待定系数法概念及解题思路（1课时）1.待定系数法的基本概念；2.待定系数法的解题思路；3.示例分析及练习。

2. 用待定系数法求解一元二次方程组（3课时）1.一元二次方程组的解法；2.用待定系数法解决一元二次方程组的方法；3.示例分析及练习。

3. 总结与拓展（1课时）1.梳理待定系数法的思路；2.拓展待定系数法在其他问题解决中的应用。

四、教学方法1.归纳法：通过案例讲解待定系数法的应用及求解方法；2.诱导法：通过启发式教学，巧妙引发学生对待定系数法的思考和探索；3.讨论法：在分析解题思路及例题中，鼓励学生提出自己的解法，并讨论其可行性。

五、教学手段1.演示PPT：辅助讲解示范；2.黑板教学：对于关键概念进行强调和梳理；3.练习题：巩固学生对于待定系数法的理解。

六、教学评估方式1.课堂练习：通过对教学内容的练习巩固学生对于待定系数法的掌握情况；2.作业及考核：在教学过程中设置针对性的作业及考核，以全面了解学生对于待定系数法的掌握情况。

七、教学思路与策略待定系数法作为一种高中数学中较为重要的解题方法，需要通过丰富的教学手段和策略，实现教学目标的达成。

在教学过程中，采用诱导和讨论等启发式教学方法，引导学生逐步掌握待定系数法的应用及其解决问题的思路。

进一步通过练习题的巩固，帮助学生深入理解和掌握该方法的本质，同时能够在实际情况中灵活运用。

2.2.3 待定系数法[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.[预习导引]1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为y ＝kx (k ≠0)，反比例函数的一般形式为y ＝kx(k ≠0)，一次函数的一般形式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，二次函数的一般形式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).要点一 求一次函数的解析式例1 设一次函数f (x )满足f [f (x )]＝4x ＋9，求f (x )的解析式. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a ·f (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .由f [f (x )]＝4x ＋9，得a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－9.∴f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x ). 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则有3f (x ＋1)－2f (x －1) ＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，即f (x )＝2x ＋7. 要点二 求二次函数的解析式例2 已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式.解 方法一 设二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，－b2a＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2－4x －5.方法二 设二次函数f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 将(0，－5)，(5,0)，代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－9，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9， 即f (x )＝x 2－4x －5.方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x ＝2， ∴二次函数与x 轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f (x )＝a (x －5)(x ＋1)(a ≠0)， 将(0，－5)代入得a ＝1， ∴f (x )＝x 2－4x －5.规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A (3,0)，B (0，－3)，C (－2,5)三点； (2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； (3)已知y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上.解 (1)设所求函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 待定.根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，4a －2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.因此所求函数为y ＝x 2－2x －3.(2)设所求函数y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，其中a 待定. 根据已知条件得a (2－4)2＋2＝0，解得a ＝－12，因此所求函数为y ＝－12(x －4)2＋2＝－12x 2＋4x －6.(3)∵y ＝x 2－4x ＋h ＝(x －2)2＋h －4， ∴顶点A (2，h －4)，由已知得(－4)×2－1＝h －4，h ＝－5， ∴所求函数为y ＝x 2－4x －5. 要点三 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3). 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3).综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜1，－x 2＋4x －x，x －x ，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞).规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3 已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f (6)＝2，又当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3， 求f (x )的解析式.解 因为f (x )在[3,6]上是二次函数，f (x )≤f (5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f (x )＝a (x －5)2＋3(a ≠0)， 又因为f (6)＝2，代入f (x )得a ＝－1， 所以x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3.当x ＝3时，f (3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上. 又因为f (x )为奇函数，且x ∈[－6,6]，所以f (0)＝0，故可设一次函数式为f (x )＝kx (k ≠0)， 将(3，－1)代入f (x )得k ＝－13.所以一次函数式为f (x )＝－13x .当x ∈[－6，－3]时，－x ∈[3,6]， 所以f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－3，x ∈[－6，－，－13x ，x ∈[－3，3]，－x －2＋3，x ，6].1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A.y ＝x 2＋2x －3B.y ＝x 2－2x －3 C.y ＝x 2＋2x ＋3 D.y ＝x 2－2x ＋6 答案 A解析 将(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，①4＋2b ＋c ＝5. ②由①②解得b ＝2，c ＝－3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝12x －52B.y ＝12x ＋52C.y ＝－12x ＋52D.y ＝－12x －52答案 B解析 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b ，4＝3k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝52.3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝1－x 2C.y ＝12x 2＋1D.y ＝12x 2－1答案 A解析 设y ＝a (x ＋1)(x －1)(a ≠0)， 将点(2,3)代入得3＝3a ， ∴a ＝1.∴y ＝x 2－1.4.已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A.y ＝2(x －1)2＋3 B.y ＝2(x ＋1)2＋3 C.y ＝－2(x －1)2＋3 D.y ＝－2(x ＋1)2＋3答案 D解析 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5.已知二次函数f (x )的图象顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________.答案6x2－12x＋4解析设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。

高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.3待定系数法教案新人教B 版必修1整体设计教学分析 在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力． 重点难点教学重点：待定系数法及其应用． 教学难点：待定系数法的应用． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.已知一次函数y ＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y ＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．思路 2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．推进新课 新知探究 提出问题①两个关于x 的一元多项式ax 2－x ＋4与2x 2＋bx ＋c 相等，即任意x ∈R ，总有ax 2－x ＋4＝2x 2＋bx ＋c ，求a ，b ，c 的值.②两个一元多项式相等的条件是什么？③已知一次函数y ＝f x 的图象经过点1，2和2，－1，求一次函数y ＝f x 的解析式即前面导入中的问题.④这种求函数解析式的方法称为什么？ ⑤待定系数法有什么优点？讨论结果：①a＝2，b ＝－1，c ＝4.②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．③设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－1，解得k ＝－3，b ＝5.即f(x)＝－3x ＋5. ④待定系数法．⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．应用示例思路1例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．解：设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 待定．根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝5，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5.点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y＝a(x －m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)比例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)， 其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1，解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是： (1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组． (3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.思路2例1已知f(x)＝ax ＋7，g(x)＝x 2＋2x ＋b ，且f(x)＋g(x)＝x 2＋22x ＋9，试求a 、b 的值．解：f(x)＋g(x)＝ax ＋7＋x 2＋2x ＋b ＝x 2＋(2＋a)x ＋(7＋b)，则⎩⎨⎧2＋a ＝22，7＋b ＝9，解得a ＝2，b ＝2.点评：对任意x∈R ，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a′x 2＋b′x＋c′⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a′，b ＝b′，c ＝c′.已知函数f(x)＝kx ＋b ，g(x)＝2x －1，f(x)－g(x)＝x ＋3，求k ，b 的值． 解：f(x)－g(x)＝kx ＋b －2x ＋1＝(k －2)x ＋b ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧k －2＝1，b ＋1＝3，解得k ＝3，b ＝2.例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15 kg ，并且每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．(1)求y 与x 的函数解析式； (2)写出函数的定义域； (3)画出这个函数的图象． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)．由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b ＝12， 每挂重量1kg 就伸长0.5厘米，则k ＝0.5， 所以y 与x 的函数解析式是y ＝0.5x ＋12. (2)[0,15]．(3)图象如下图所示．点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x ＝0时，y ＝12；每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，是指斜率k ＝0.5.知能训练1．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －c xC ．y ＝c －b c －a xD ．y ＝b －c c －a x解析：由题意得xa%＋yb%x ＋y ＝c%，解得y ＝c －a b －cx.答案：B2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝3，求这个二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x ＝3，∴设抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(x 1,0)，则对称轴：x ＝x 1＋x 22， 即5＋x 12＝3，∴x 1＝1.∴C 点的坐标为(1,0)． 设二次函数解析式为y ＝a(x －1)(x －5)，又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.∴a＝－1.∴y＝－(x－1)(x－5)＝－x2＋6x－5.拓展提升二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．解法一：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)，∴a＋b＋c＝4，①a－b＋c＝0，②9a＋3b＋c＝0，③解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.解法二：∵抛物线与x轴相交两点(－1,0)和(3,0)，∴1＝－1＋32.∴点(1,4)为抛物线的顶点．设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∴y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.解法三：由题意可知两根为x1＝－1、x2＝3，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．备课资料待定系数法1．要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y＝a(x－h)2＋k 会使求解比较方便，具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再利用一个独立条件求a；(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再利用两个独立的条件求a与k；(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x＋h)2＋n，再利用两个独立条件求a与h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x＋h)2，再利用两个独立条件求a与h.对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．。

待定系数法教学分析:在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知根底．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标:1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力．教学重点：待定系数法及其应用．教学难点：待定系数法的应用．课时安排：1课时一、待定系数法的概念【问题思考】1.如果反比例函数的图象过(1,-1)点,那么你能求出满足此条件的函数解析式吗?2.填空:一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,那么可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.二、常见函数的一般形式【问题思考】1.填空:(1)正比例函数:y=kx(k≠0);(2)反比例函数:__________;(3)一次函数:y=kx+b(k≠0);(4)二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)或y=a(x-h)2+k(a≠0)或y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.做一做:假设函数y=kx+b的图象经过点P(3,-2)和Q(-1,2),那么这个函数的解析式为()A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x-1D.y=-x+1解析:把点P(3,-2)和Q(-1,2)的坐标分别代入y=kx+b,思考辨析判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√〞,错误的打“×〞.(1)用待定系数法求函数解析式的前提条件是该函数图象上一个定点. ()(2)二次函数图象的对称轴及顶点坐标,设出二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)是无法求解此类问题的. ()(3)用待定系数法求函数解析式,当条件确定时,所设的函数形式不是唯一的. ()答案:(1)×(2)×(3)√用待定系数法求一次函数的解析式【例1】一次函数的图象与x轴交点的横坐标为,并且当x=1时,y=5,那么这个一次函数的解析式为.反思感悟用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤1.设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0);2.根据题意列出关于k 和b 的方程组;3.求出k ,b 的值,代入即可.变式训练1f (x )是一次函数,且f [f (x )]=4x+3,求f (x ).用待定系数法求二次函数的解析式【例2】二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值为8,试求二次函数的解析式.反思感悟求二次函数解析式常见情形如下表: 函数图象求函数解析式 【例3】如图,函数的图象由两条射线及抛物线的一局部组成,求函数的解析式. 分析:由图象可知:(1)函数图象由两条射线及抛物线的一局部组成; (2)当x ≤1或x ≥3时,函数解析式可设为y=kx+b (k ≠0);(3)当1≤x ≤3时,函数解析式可设为y=a (x-2)2+2(a<0)或y=ax 2+bx+c (a<0).解:设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b (k ≠0,x ≤1).解得k=-1,b=2,所以左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x ≤1). 同理可得,当x ≥3时,函数的解析式为y=x-2(x ≥3).已知条件 形式 要确定的系数 不同的三个点的坐标y=ax 2+bx+c (a ≠0) a ,b ,c 顶点坐标(h ,k )y=a (x-h )2+k (a ≠0) a 与x 轴的两个交点 (x 1,0),(x 2,0)y=a (x-x 1)(x-x 2) (a ≠0) a 已知对称轴x=hy=a (x-h )2+k (a ≠0) a ,k当1≤x ≤3时,抛物线对应的函数为二次函数.方法一:设函数解析式为y=a (x-2)2+2(1≤x ≤3,a<0).由点(1,1)在抛物线上,可知a+2=1,所以a=-1.所以抛物线对应的函数解析式为y=-x 2+4x-2(1≤x ≤3).反思感悟1.由函数图象求函数的解析式,关键观察函数图象的形状,分析图象由哪几种函数的图象组成,然后就在不同区间上,利用待定系数法求出相应的解析式. 2.分段函数的表达式要注意端点值. 变式训练：f (x )=x 2+ax+3-a ,假设x ∈[-2,2],f (x )>0恒成立,求a 的取值范围. 1)是一次函数,且有2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,那么这个函数的解()A.f (x )=-3x+2B.f (x )=3x-2C.f (x )=4x+9D.f (x )=2x-9 解析:设f (x )=kx+b (k ≠0), 即这个函数的解析式为f (x )=3x-2.答案:B 2.抛物线经过点(-3,2),顶点是(-2,3),那么抛物线的解析式为() A.y=-x 2-4x-1 B.y=x 2-4x-1C.y=x 2+4x-1D.y=-x 2-4x+1解析:设所求解析式为y=a (x+2)2+3(a ≠0).∵抛物线过点(-3,2),∴2=a+3.∴a=-1.∴y=-(x+2)2+3=-x 2-4x-1.答案:A4.二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,那么这个二次函数的解析方法二:设函数解析式为y=ax 2+bx+c (a<0,1≤x ≤3). 因为其图象过点(1,1),(2,2),(3,1), 所以有 a +b +c =1,4a +2b +c =2,9a +3b +c =1,解得 a =-1,b =4,c =-2. 所以抛物线对应的解析式为y=-x 2+4x-2(1≤x ≤3).综上,函数的解析式为y= -x +2,-x 2+4x -2,x -2, x <1,1≤x ≤3,x >3.f (x )在[-2,2]上的最小值为g (a ),则只需g (a )>0. 当-2<-2,即a>4时,g (a )=f (-2)=7-3a>0,得a<73. 又a>4,故此时a 不存在. 当-2≤-a 2≤2,即a ∈[-4,4]时, g (a )=f -a 2 =3-a-a 24>0,得-6<a<2. 因为-4≤a ≤4,所以-4≤a<2. 当-a 2>2,即a<-4时,g (a )=f (2)=7+a>0,得a>-7. 因为a<-4,所以-7<a<-4. 综上所述,a 的取值范围是(-7,2). 由题意得 2(2k +b )-3(k +b )=5,2b -(-k +b )=1. 解得 k =3,b =-2,式为.5.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上,g(x)=f(x)-2x-m,且g(x)min>0,试确定实数m的取值范围.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1,故f(x)=ax2+bx+1(a≠0).∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,∴f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.(2)g(x)=f(x)-2x-m=x2-3x+1-m.这个二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,∴g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上是减函数.故g(x)min=g(1)=-m-1>0,解得m<-1.即实数m的取值范围是(-∞,-1).。