小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版 13页-精品

小升初专练-数论问题-带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【常考题型】例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【解题思路】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．一．选择题1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。

小升初专项练习题数论1.【★】连续7个偶数的和是196．这7个数中最大的一个偶数是多少?【分析】 2468101242+++++=(19642)722-÷=这七个数分别是22,24,26,28,30,32,34最大是342.【★★】一个三位数除以43，商是a ，余数是b （a 、b 都是正数)．求a +b 的最大值．【分析】 999432310÷= 那么一个三位数÷43=2242为余数最大．这个数432242988=⨯+= 最大值224264=+=．3.【★★】（1）把17分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把17分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？【分析】 (1)8和9(2)3,3,3,3,3,24.【★★】有四个不同的自然数，它们的和是1111，则它们的最大公约数最大是（ ）．【分析】 111111101=⨯， 111235=+++∴四个数分别1011101,⨯= 1012202,⨯=1013303,⨯= 1015505⨯=最大公约数为101．5.【★★】(2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第7题)一个整数m (m ≠1)，除219，270，338得到的余数相同，则这个整数m ＝__________。

【分析】 219，270，338除以m 得到的余数相同，那么他们两两的差就能被m 整除。

270-219=51，33827068-=，338219119-=，m =[51，68，119]=17。

6.【★★】(北京市一零一中学计算机培训班六年级04～05学年一学期第三次随堂测试第10题)① 222(101)(1011)(11011)⨯-=___________② 852567(((=== ） ） ）；③ 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；④ 473021605+=（）（） ( )10；⑤若(1030)140n =，则n ＝____________。

小升初专练-数论问题-数的整除特征【知识点归纳】整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b 的倍数数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．【经典题型】例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）A、AAABAAB、ABABABC、ABBABBD、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除解：B=0，ABABAB能被2和5整除，A+A+A的和一定是3的倍数，ABABAB也一定能被3整除，故选：B．点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．【常考题型】例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是（）．分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．解：根据题意可得：四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；所以，A代表7，这个四位数是3771．答：A是7，故答案为：7．点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．一．选择题1．下面四个数都是六位数，N是比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是（ ）A．NNNSNN B．NSNSNS C．NSSNSS D．NSSNSN2．某班有一个小图书馆，共有300多本，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，3…，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有（ ）本图书．A．381B．382C．383D．3843．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填（ ）A．9B．8C．7D．64．用0，3，4，5四个数字组成的所有四位数都能被（ ）整除．A．2B．3C．55．用1～8八个数字组成两个四位数，每个数字只用1次．已知两个四位数都是9的整数倍，则两个四位数的差的最大值为（ ）A．5286B．4184C．7531D．70656．下列各数中是11的倍数的是（ ）A．75087B．117208C．632599D．4563517．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是（ ）A．1235B．1245C．2415二．填空题8．有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位忘记了，但是这个六位数能被11和13整除，那么这个号码是 。

小升初真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。

2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。

3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。

2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。

2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。

5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。

数论难点一、数的整除特征1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（）A．323532 B．38380 C．9787682．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是．3．（2014•长沙县）一个四位数11 既能被25整除，又能被9整除．4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？难点二、带余除法5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（）个．A．13 B．19 C．61 D．1216．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（）A．1200 B．1208 C．1210 D．1224E．12297．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是．8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是页．9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是．10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是．11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．难点三、数字问题12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名．A．19 B．20 C．18 D．2113．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（）A．13 B．14 C．15 D．1614．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= ．15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了次．16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？难点四、同余定理17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78 B．88 C．98 D．90难点五、约数个数与约数和定理18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．．（判断对错）20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有个因数．难点六、位值原则21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原小27，则满足条件的两位数共有（）A．3 B．4 C．5 D．622．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原这个两位数个位与十位上数字的和是（）A．12 B．10 C．8 D．2123．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原的两位数是．24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原的数大27，这样的两位数是．25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是12，如果这个两位数减去54，则这个两位数的数字交换了位置，求原的两位数．难点七、数字和问题28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）A．360 B．340 C．350 D．无法求出29．（2014•岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？30．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？难点八、整除性质31．（2011•广东校级自主招生）米平均分成（）份，每份是米．A．18 B．54 C．632．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍数．．（判断对错）难点九、奇偶性问题33．（2011•成都）已知m是奇数，n是偶数，=p，y=q，能使﹣1998y=n和199+3y=m同时成立，则（）A．p，q都是偶数B．p，q都是奇数C．p是奇数，q是偶数D．p是偶数，q是奇数34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是色．35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是（填奇数或偶数）．36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．难点十、质数与合数问题37．（2014•长沙）从1﹣9九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是．38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出．39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？难点十一、公约数与公倍数问题40．（2014•长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个班有男生人，女生人．41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在60～100本之间，其中是连环画，是故事书，书架上存书本．（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电千瓦时，那么他家6月份需付电费元．（用含有的式子表示）42．（2006•沙县）一排路灯，原每两盏之间的距离是40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔米又有一盏不必移动．43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长厘米，一共能截成段．44．（2012•仙游县）幼儿园买一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都恰好分完．已知苹果总数在40～50之间，一共买个苹果．45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？难点十二、整数的裂项与拆分46．（2013•长沙）11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是．47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比座位号数大6．小红的电影票是排．难点十三、数的整除特征48．（2014•长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A．难点十四、二元一次方程组的求解49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重390千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几个儿子？有多少遗产？难点十五、等量关系与方程52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个砝码，每个20克．在右边第5格处必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．参考答案与试题解析难点一、数的整除特征1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（）A．323532 B．38380 C．978768考点：数的整除特征．专题：数的整除．分析：能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除．由此方法判定即可．解答：解：A．（3+3+3）﹣（2+5+2）=0，能被11整除，故A正确；B．（8+8）﹣（3+3+0）=10，不能被11整除，故B错误；C．（9+8+6）﹣（7+7+8）=2，不能被11整除，故C错误．故选：A．点评：掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决问题的根本．2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是285714 ．考点：数的整除特征．专题：数的整除．分析：先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．，将小数去掉，在整数上加1，（不论小数多大，均加1，而非四捨五入）得1998，再将1998乘143，得出答案．解答：解：先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714．故答案为：285714．点评：此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间．3．（2014•长沙县）一个四位数11 25 既能被25整除，又能被9整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，据此求出9、25的最小公倍数是：9×25=225；然后求出是225的倍数的四位数，判断出满足题意的四位数是多少即可．解答：解：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，9、25的最小公倍数是：9×25=225，因为225×2=450，225×3=675，225×4=900，225×5=1125，所以一个四位数1125既能被25整除，又能被9整除，故答案为：25．点评：此题主要考查了数的整除特征，解答此题的关键是判断出满足题意的四位数是225的倍数．4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答．解答：解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，可得26≤m≤53，因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7，在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52，又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数，19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1，所以m=37或52，所以38×37+3=1409，38×52+3=1979，经检验正好满足题意，答：所求的四位数是1409或1979．点评：根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答．难点二、带余除法5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（）个．A．13 B．19 C．61 D．121考点：带余除法．专题：余数问题．分析：2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．解答：解：所以2、3、4三个数的最小公倍数是2×3×2=12，12×1+1=13，13不满足5个5个地数却少4个；12×2+1=25，25不满足5个5个的数却少4个；12×3+1=37，37不满足5个5个的数却少4个；12×4+1=49，49不满足5个5个的数却少4个；12×5+1=61，61满足5个5个的数却少4个．答：这堆苹果最少有61个．故选：C．点评：此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．6．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（）A．1200 B．1208 C．1210 D．1224E．1229考点：带余除法；等差数列．专题：数的整除．分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97﹣13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解答：解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．7．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是52 ．考点：带余除法．分析：由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．解答：解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105﹣1）÷2=52，答：这个自然数最小是52．故答案为：52．点评：此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是324 页．考点：带余除法．分析：设页数为，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜＜360；③由①②得320＜＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解答：解：设页数为，①320＜＜400；②270＜＜360；③由①②得：320＜＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是23或46 ．考点：带余除法．专题：数的整除．分析：根据题意，可设除数是A，商是B，那么根据被除数=商×除数+余数，可得到AB+21=251，然后再将AB的积分解质因数，然后确定除数的个数即可．解答：解：设除数是A，商是B，AB+21=251，AB=230，230=2×5×23，因为余数小于除数，所以这个两位数的除数可能为：23或2×23=46；即这个两位数的除数可能为：23或46；故答案为：23或46．点评：此题主要考查的知识点如下：1、在有余数的除数算式中，余数小于除数；2、被除数=商×除数+余数；3、分解质因数．10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是6a+5 ．考点：带余除法．专题：余数问题．分析：根据被除数=除数×商+余数，即可求出这个数．解答：解：依题意可知，这个数是a×6+5=6a+5．故答案为：6a+5．点评：考查了带余除法，关键是熟悉被除数=除数×商+余数的知识点．11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．考点：带余除法．专题：余数问题．分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为，则根据甲数除以乙数商2 余17，得甲数=2+17．又根据乙数的10 倍除以甲数商3余45得10=3（2+17）+45，列出方程并解方程，即可得解．解答：解：设乙数为，则甲数为2+1710=3（2+17）+4510=6+51+454=96=242+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24．点评：灵活应用余数的性质“被除数=除数×商+余数”解决实际问题．难点三、数字问题12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名．A．19 B．20 C．18 D．21考点：数字问题．专题：整数的分解与分拆．分析：分别找出个位上是7的数字个数，和十位上是7的数字个数，相加，再减去个位十位都是数字7的个数即可求解．解答：解：个位上是数字7的有：7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，一共有10个；十位上有7的数字有：70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，一共是10；其中77重复，所以一共有：10+10﹣1=19（个）答：号码布上有数字7的运动员有19名．故选：A．点评：解决本题关键是找出个位和十位数字是7的可能，注意减去十位个个位都是7的数字．13．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（）A．13 B．14 C．15 D．16考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：根据等差数列的求和公式可知，1、2、3、4、5、…、n的和为，然后通过试探，确定n的取值，进而解决问题．解答：解：1、2、3、4、5、…、n的和为，当n=16时，==136＜149当n=17时，==153＞149，因为多加了一个数，所以n=16，多加的数就是：149﹣136=13．故选：A．点评：本题的关键在于讨论自然数的个数n所处的范围，从而求解．14．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= 2856 ．考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：一个四位数扩大到3倍后，变成了，通过分析，设abc是，则3（2000+）=10+8，据此解答即可．解答：解：设abc是，则有3（2000+）=10+86000+3=10+85992=7=856所以这个四位数是2856．故答案为：2856．点评：找出题目突破口：设abc是，找出等量关系式3（2000+）=10+8是解题的关键．15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180 次．考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：此题应通过分类解决：当百位为2时；当十位为2时；当个位为2，其他各数位各有几种情况，进而解决问题．解答：解：由于0和400都没有出现2，可理解为0到399一共有多少个2．当百位为2时，十位有10种选择，个位也有10种选择，共有10×10=100种；当十位为2时，百位有4种选择，个位有10种选择，共有4×10=40种；当个位为2时，百位有4种选择，十位有10种选择，共有4×10=40种；所以共有100+40+40=180次．答：在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180次．故答案为：180．点评：本题通过分类，分别找出2在百位、十位和个位上出现的次数，再相加即可．16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：设中间为，前面的数为：﹣2，﹣4，后面的数为：+2，+4，五个连续自然数的和是：（﹣2）+（﹣4）++（+2）+（+4），然后根据题意列方程解答即可．解答：解：设中间为，前面的数为：﹣2，﹣4，后面的数为：+2，+4，﹣[（﹣4）+（+4）]×=18﹣=18=36=36（﹣2）+（﹣4）++（+2）+（+4）=5=36×5=180答：这五个偶数的和是180．点评：根据题意列方程求出中间的数是解答此题的关键．难点四、同余定理17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78 B．88 C．98 D．90考点：同余定理．专题：余数问题．分析：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．解答：解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．88÷3=29…1；98÷3=32…2；88除以3余1，所以88符合要求．故选：B．点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．难点五、约数个数与约数和定理18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个考点：约数个数与约数和定理．专题：整除性问题．分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．解答：解：105=3×5×7，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，答：它的约数共有8个．故选：C．点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r 是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．×．（判断对错）考点：约数个数与约数和定理．专题：整除性问题．分析：根据找一个数的因数的方法进行解答即可．解答：解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；故答案为：×．点评：解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有 6 个因数．考点：约数个数与约数和定理．专题：压轴题．分析：因为N最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的两个因数之和=4，则组成加法算式的另一个因数是4﹣1=3；这说明N是3的整倍数．196=N+另一个因数，196不能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数．又另一个因数是除N外最大的因数，那么另一个因数是，由此得出N+=196，求出N的值即可解决问题．解答：解：因为N最小的因数是1，且最小的两个因数之和是4，所以除了1之外最小的因数是：4﹣1=3，由此可知：N是3的倍数，因为N最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是196，因为196不是3的倍数，所以除了N本身之外的最大的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：，所以：N+=196，N=196，N=147，147=3×7×7，所以147的因数有1、3、7、21、49、147，共有6个．故答案为：6．点评：根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数之和是4，得出N是3的倍数，从而根据能被3整除的特点，判断出除了它本身以外的最大的因数是，是解决本题的关键．难点六、位值原则21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原小27，则满足条件的两位数共有（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：位值原则．专题：整数的认识．分析：设：原两位数的十位数为，个位数为y，则原两位数值为（10+y），交换后两位数的个位数为，十位数为y，数值为（10y+），、y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原小27，所以：（10+y）﹣（10y+）=27，进而得出﹣y=3．然后对、y进行取值，解决问题．解答：解：设原两位数的十位数为，个位数为y，由题意得：（10+y）﹣（10y+）=2710+y﹣10y﹣=279﹣9y=27﹣y=3，则﹣3=y，y+3=，因为、y为小于10的正整数，所以=9，8，7，6，5，4；对应的y=6，5，4，3，2，1所以10+y=96，85，74，63，52，41共有6个．答：满足条件的两位数共有6个．故选：D．点评：对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原这个两位数个位与十位上数字的和是（）A．12 B．10 C．8 D．21考点：位值原则．专题：压轴题；综合填空题．分析：设原数字个位上的数是，那么十位上数字是，原的数是：×10+=，把十位上的数字与个位上的数字交换后，十位上数字是，个位上数字是，交换位置后这个数是：10+，然后根据新数﹣原数=18列方程解答．解答：解：设原数字个位上的数是，那么十位上数字是，则：（10+）﹣（×10+）=18，﹣=18，3=18，=6，十位是：6×=4，则原这个两位数个位与十位上数字的和是：6+4=10；故选：B．点评：根据十位上的数字是个位上数字的，设原数字个位上的数是，用未知数表示出十位上的数，进而表示出这个数是解答本题的关键．23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原的两位数是85 ．考点：位值原则．专题：探索数的规律．分析：设这个两位数是，这两个三位数的差是666，可知较大的三位数大于666，因此将1放在该两位数后面得到的三位数较大．则有（10+1）﹣（100+）=666，解方程即可．解答：解：设原的两位数是，由题意得：（10+1）﹣（100+）=666，9=765，=85．答：原的两位数是85．故答案为：85．点评：此题属于数字问题，对于这类问题，一般用字母表示数字，通过列出等式解决．24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原的数大27，这样的两位数是14、25、36、47、58、69 ．考点：位值原则．专题：传统应用题专题．分析：此题可以设原数为AB，新数则为BA，A、B≥1，根据题意，得：BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=127；推得B﹣A=3．即原个位比十位大2的数均符合题意，据此即可推出答案．解答：解：设原数为AB，新数为BA，A、B≥1，有BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=27；推得B﹣A=3．即原个位比十位大3的数均符合题意，有：14、25、36、47、58、69 这6个．故答案为：14、25、36、47、58、69．点评：此题解答的关键是由后的两位数，推出：个位数字﹣十位数字=27÷9=3．25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．考点：位值原则．分析：设个位是a，十位a+1，百位17﹣a﹣a﹣1=16﹣2a．根据题意列出方程：100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，解这个方程，求出个位数字，然后再求十位与百位数字，解决问题．解答：解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16﹣2a，根据题意列方程100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，解得a=6，则a+1=7，16﹣2a=4；答：原数为476．点评：解决位值问题，一般要用字母表示各位数字，通过解方程求得．26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．考点：位值原则．专题：压轴题．分析：设这个六位数为，因为它的6倍还是6位数，所以其左边第一位一定为1；由于的1～6倍的数的数字原的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，所以1肯定也在个位出现过，而只有个位为7的时候，其个位才能出现1，所以的个位为7，又7分别乘以1～6，其个位数分别为7、4、1、8、5、2．则这几个数在的1～6倍数中个位肯定出现，则在其它位数也定出现，即这个六位数及其它1～6倍的数都是由7、4、1、8、5、2这六个数字组成，只是顺序不一样．由此可得这六个数字在这六个六位数中每位数上都出现过．1+2+4+5+7+8=27，根。

数论难点一、数的整除特征1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（）A．323532 B．38380 C．9787682．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是．3．（2014•长沙县）一个四位数11 既能被25整除，又能被9整除．4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？难点二、带余除法5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（）个．A．13 B．19 C．61 D．1216．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（）A．1200 B．1208 C．1210 D．1224E．12297．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是．8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是页．9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是．10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是．11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．难点三、数字问题12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名．A．19 B．20 C．18 D．2113．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（）A．13 B．14 C．15 D．1614．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= ．15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了次．16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？难点四、同余定理17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78 B．88 C．98 D．90难点五、约数个数与约数和定理18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．．（判断对错）20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有个因数．难点六、位值原则21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原小27，则满足条件的两位数共有（）A．3 B．4 C．5 D．622．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原这个两位数个位与十位上数字的和是（）A．12 B．10 C．8 D．2123．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原的两位数是．24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原的数大27，这样的两位数是．25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是12，如果这个两位数减去54，则这个两位数的数字交换了位置，求原的两位数．难点七、数字和问题28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）A．360 B．340 C．350 D．无法求出29．（2014•岳麓区）将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？30．（2011•温江区）从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？难点八、整除性质31．（2011•广东校级自主招生）米平均分成（）份，每份是米．A．18 B．54 C．632．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是3的倍数．．（判断对错）难点九、奇偶性问题33．（2011•成都）已知m是奇数，n是偶数，=p，y=q，能使﹣1998y=n和199+3y=m同时成立，则（）A．p，q都是偶数B．p，q都是奇数C．p是奇数，q是偶数D．p是偶数，q是奇数34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是色．35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是（填奇数或偶数）．36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由．难点十、质数与合数问题37．（2014•长沙）从1﹣9九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是．38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出．39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？难点十一、公约数与公倍数问题40．（2014•长沙）某班学生人数在40人到50人之间，男生和女生人数的比是5：6，这个班有男生人，女生人．41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在60～100本之间，其中是连环画，是故事书，书架上存书本．（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61元，用电低谷时段的电费单价为每千瓦时0.30元，他家6月份的用电量为100千瓦时，如果用电高峰时段用电千瓦时，那么他家6月份需付电费元．（用含有的式子表示）42．（2006•沙县）一排路灯，原每两盏之间的距离是40米，现在改为60米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔米又有一盏不必移动．43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长厘米，一共能截成段．44．（2012•仙游县）幼儿园买一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都恰好分完．已知苹果总数在40～50之间，一共买个苹果．45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？难点十二、整数的裂项与拆分46．（2013•长沙）11个连续的自然数的和是154，最小的一个自然数是．47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比座位号数大6．小红的电影票是排．难点十三、数的整除特征48．（2014•长沙县）有一个6位数112AA4能被9整除，求A．难点十四、二元一次方程组的求解49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360千米，一艘船从A港开往B港顺水12小时到达，从B港返回A港，逆水18小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和3袋面粉，共重330千克；第二次买同样的5袋面粉和6袋大米，共重390千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取100克朗（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取200克朗和剩下的十分之一，三儿子取300克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：这位父亲有几个儿子？有多少遗产？难点十五、等量关系与方程52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了4个砝码，每个20克．在右边第5格处必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．参考答案与试题解析难点一、数的整除特征1．（2014•长沙县）下面哪些数能被11整除（）A．323532 B．38380 C．978768考点：数的整除特征．专题：数的整除．分析：能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除．由此方法判定即可．解答：解：A．（3+3+3）﹣（2+5+2）=0，能被11整除，故A正确；B．（8+8）﹣（3+3+0）=10，不能被11整除，故B错误；C．（9+8+6）﹣（7+7+8）=2，不能被11整除，故C错误．故选：A．点评：掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决问题的根本．2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位记不清，即2857□□．但是我记得，它能被11和13整除，那么这个号码是285714 ．考点：数的整除特征．专题：数的整除．分析：先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．，将小数去掉，在整数上加1，（不论小数多大，均加1，而非四捨五入）得1998，再将1998乘143，得出答案．解答：解：先设后二位数为00（最小值），即285700，被11与13的最小公倍143除，得商1997.90209．将小数去掉，在整数上加1（不论小数多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再将1998乘143，得285714．故答案为：285714．点评：此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700到285799之间．3．（2014•长沙县）一个四位数11 25 既能被25整除，又能被9整除．考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，据此求出9、25的最小公倍数是：9×25=225；然后求出是225的倍数的四位数，判断出满足题意的四位数是多少即可．解答：解：根据题意，可得这个数是9、25的公倍数，9、25的最小公倍数是：9×25=225，因为225×2=450，225×3=675，225×4=900，225×5=1125，所以一个四位数1125既能被25整除，又能被9整除，故答案为：25．点评：此题主要考查了数的整除特征，解答此题的关键是判断出满足题意的四位数是225的倍数．4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？考点：数的整除特征．专题：整除性问题．分析：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答．解答：解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，可得26≤m≤53，因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7，在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52，又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数，19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1，所以m=37或52，所以38×37+3=1409，38×52+3=1979，经检验正好满足题意，答：所求的四位数是1409或1979．点评：根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答．难点二、带余除法5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（）个．A．13 B．19 C．61 D．121考点：带余除法．专题：余数问题．分析：2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．解答：解：所以2、3、4三个数的最小公倍数是2×3×2=12，12×1+1=13，13不满足5个5个地数却少4个；12×2+1=25，25不满足5个5个的数却少4个；12×3+1=37，37不满足5个5个的数却少4个；12×4+1=49，49不满足5个5个的数却少4个；12×5+1=61，61满足5个5个的数却少4个．答：这堆苹果最少有61个．故选：C．点评：此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．6．（2013•广州）所有被4除余1的两位数的和为（）A．1200 B．1208 C．1210 D．1224E．1229考点：带余除法；等差数列．专题：数的整除．分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97﹣13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解答：解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．7．（2014•济南）一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是52 ．考点：带余除法．分析：由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．解答：解：由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105﹣1）÷2=52，答：这个自然数最小是52．故答案为：52．点评：此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是324 页．考点：带余除法．分析：设页数为，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜＜360；③由①②得320＜＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解答：解：设页数为，①320＜＜400；②270＜＜360；③由①②得：320＜＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．9．一个两位数去除251，得到余数是21，这个两位数是23或46 ．考点：带余除法．专题：数的整除．分析：根据题意，可设除数是A，商是B，那么根据被除数=商×除数+余数，可得到AB+21=251，然后再将AB的积分解质因数，然后确定除数的个数即可．解答：解：设除数是A，商是B，AB+21=251，AB=230，230=2×5×23，因为余数小于除数，所以这个两位数的除数可能为：23或2×23=46；即这个两位数的除数可能为：23或46；故答案为：23或46．点评：此题主要考查的知识点如下：1、在有余数的除数算式中，余数小于除数；2、被除数=商×除数+余数；3、分解质因数．10．（2013•长沙）一个数被a除，商是6余5，这个数是6a+5 ．考点：带余除法．专题：余数问题．分析：根据被除数=除数×商+余数，即可求出这个数．解答：解：依题意可知，这个数是a×6+5=6a+5．故答案为：6a+5．点评：考查了带余除法，关键是熟悉被除数=除数×商+余数的知识点．11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．考点：带余除法．专题：余数问题．分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为，则根据甲数除以乙数商2 余17，得甲数=2+17．又根据乙数的10 倍除以甲数商3余45得10=3（2+17）+45，列出方程并解方程，即可得解．解答：解：设乙数为，则甲数为2+1710=3（2+17）+4510=6+51+454=96=242+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24．点评：灵活应用余数的性质“被除数=除数×商+余数”解决实际问题．难点三、数字问题12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有100个运动员．分别给他们1～100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名．A．19 B．20 C．18 D．21考点：数字问题．专题：整数的分解与分拆．分析：分别找出个位上是7的数字个数，和十位上是7的数字个数，相加，再减去个位十位都是数字7的个数即可求解．解答：解：个位上是数字7的有：7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，一共有10个；十位上有7的数字有：70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，一共是10；其中77重复，所以一共有：10+10﹣1=19（个）答：号码布上有数字7的运动员有19名．故选：A．点评：解决本题关键是找出个位和十位数字是7的可能，注意减去十位个个位都是7的数字．13．（2013•长沙）小明在做连续自然数1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，结果和为149，那么多加的这个数是（）A．13 B．14 C．15 D．16考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：根据等差数列的求和公式可知，1、2、3、4、5、…、n的和为，然后通过试探，确定n的取值，进而解决问题．解答：解：1、2、3、4、5、…、n的和为，当n=16时，==136＜149当n=17时，==153＞149，因为多加了一个数，所以n=16，多加的数就是：149﹣136=13．故选：A．点评：本题的关键在于讨论自然数的个数n所处的范围，从而求解．14．（2014•长沙）把四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，求= 2856 ．考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：一个四位数扩大到3倍后，变成了，通过分析，设abc是，则3（2000+）=10+8，据此解答即可．解答：解：设abc是，则有3（2000+）=10+86000+3=10+85992=7=856所以这个四位数是2856．故答案为：2856．点评：找出题目突破口：设abc是，找出等量关系式3（2000+）=10+8是解题的关键．15．（2014•岳麓区）在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180 次．考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：此题应通过分类解决：当百位为2时；当十位为2时；当个位为2，其他各数位各有几种情况，进而解决问题．解答：解：由于0和400都没有出现2，可理解为0到399一共有多少个2．当百位为2时，十位有10种选择，个位也有10种选择，共有10×10=100种；当十位为2时，百位有4种选择，个位有10种选择，共有4×10=40种；当个位为2时，百位有4种选择，十位有10种选择，共有4×10=40种；所以共有100+40+40=180次．答：在1、2、3、…、399、400中，数字2一共出现了180次．故答案为：180．点评：本题通过分类，分别找出2在百位、十位和个位上出现的次数，再相加即可．16．（2013•长沙）有五个连续的偶数A、B、C、D、E，已知C比A、E的和的四分之一多18，这五个偶数的和是多少？考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：设中间为，前面的数为：﹣2，﹣4，后面的数为：+2，+4，五个连续自然数的和是：（﹣2）+（﹣4）++（+2）+（+4），然后根据题意列方程解答即可．解答：解：设中间为，前面的数为：﹣2，﹣4，后面的数为：+2，+4，﹣[（﹣4）+（+4）]×=18﹣=18=36=36（﹣2）+（﹣4）++（+2）+（+4）=5=36×5=180答：这五个偶数的和是180．点评：根据题意列方程求出中间的数是解答此题的关键．难点四、同余定理17．（2013•郑州）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78 B．88 C．98 D．90考点：同余定理．专题：余数问题．分析：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．解答：解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．88÷3=29…1；98÷3=32…2；88除以3余1，所以88符合要求．故选：B．点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．难点五、约数个数与约数和定理18．（2013•黎平县）105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个考点：约数个数与约数和定理．专题：整除性问题．分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．解答：解：105=3×5×7，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，答：它的约数共有8个．故选：C．点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．19．（2014•东莞）自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．×．（判断对错）考点：约数个数与约数和定理．专题：整除性问题．分析：根据找一个数的因数的方法进行解答即可．解答：解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；故答案为：×．点评：解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．20．（2013•湖北模拟）自然数N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，N有 6 个因数．考点：约数个数与约数和定理．专题：压轴题．分析：因为N最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的两个因数之和=4，则组成加法算式的另一个因数是4﹣1=3；这说明N是3的整倍数．196=N+另一个因数，196不能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数．又另一个因数是除N外最大的因数，那么另一个因数是，由此得出N+=196，求出N的值即可解决问题．解答：解：因为N最小的因数是1，且最小的两个因数之和是4，所以除了1之外最小的因数是：4﹣1=3，由此可知：N是3的倍数，因为N最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是196，因为196不是3的倍数，所以除了N本身之外的最大的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：，所以：N+=196，N=196，N=147，147=3×7×7，所以147的因数有1、3、7、21、49、147，共有6个．故答案为：6．点评：根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数之和是4，得出N是3的倍数，从而根据能被3整除的特点，判断出除了它本身以外的最大的因数是，是解决本题的关键．难点六、位值原则21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原小27，则满足条件的两位数共有（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：位值原则．专题：整数的认识．分析：设：原两位数的十位数为，个位数为y，则原两位数值为（10+y），交换后两位数的个位数为，十位数为y，数值为（10y+），、y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原小27，所以：（10+y）﹣（10y+）=27，进而得出﹣y=3．然后对、y进行取值，解决问题．解答：解：设原两位数的十位数为，个位数为y，由题意得：（10+y）﹣（10y+）=2710+y﹣10y﹣=279﹣9y=27﹣y=3，则﹣3=y，y+3=，因为、y为小于10的正整数，所以=9，8，7，6，5，4；对应的y=6，5，4，3，2，1所以10+y=96，85，74，63，52，41共有6个．答：满足条件的两位数共有6个．故选：D．点评：对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18．则原这个两位数个位与十位上数字的和是（）A．12 B．10 C．8 D．21考点：位值原则．专题：压轴题；综合填空题．分析：设原数字个位上的数是，那么十位上数字是，原的数是：×10+=，把十位上的数字与个位上的数字交换后，十位上数字是，个位上数字是，交换位置后这个数是：10+，然后根据新数﹣原数=18列方程解答．解答：解：设原数字个位上的数是，那么十位上数字是，则：（10+）﹣（×10+）=18，﹣=18，3=18，=6，十位是：6×=4，则原这个两位数个位与十位上数字的和是：6+4=10；故选：B．点评：根据十位上的数字是个位上数字的，设原数字个位上的数是，用未知数表示出十位上的数，进而表示出这个数是解答本题的关键．23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666．原的两位数是85 ．考点：位值原则．专题：探索数的规律．分析：设这个两位数是，这两个三位数的差是666，可知较大的三位数大于666，因此将1放在该两位数后面得到的三位数较大．则有（10+1）﹣（100+）=666，解方程即可．解答：解：设原的两位数是，由题意得：（10+1）﹣（100+）=666，9=765，=85．答：原的两位数是85．故答案为：85．点评：此题属于数字问题，对于这类问题，一般用字母表示数字，通过列出等式解决．24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原的数大27，这样的两位数是14、25、36、47、58、69 ．考点：位值原则．专题：传统应用题专题．分析：此题可以设原数为AB，新数则为BA，A、B≥1，根据题意，得：BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=127；推得B﹣A=3．即原个位比十位大2的数均符合题意，据此即可推出答案．解答：解：设原数为AB，新数为BA，A、B≥1，有BA﹣AB=10B+A﹣（10A+B）=9B﹣9A=9（B﹣A）=27；推得B﹣A=3．即原个位比十位大3的数均符合题意，有：14、25、36、47、58、69 这6个．故答案为：14、25、36、47、58、69．点评：此题解答的关键是由后的两位数，推出：个位数字﹣十位数字=27÷9=3．25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是17．其中十位数字比个位数字大1．如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数．考点：位值原则．分析：设个位是a，十位a+1，百位17﹣a﹣a﹣1=16﹣2a．根据题意列出方程：100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，解这个方程，求出个位数字，然后再求十位与百位数字，解决问题．解答：解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16﹣2a，根据题意列方程100a+10（a+1）+16﹣2a﹣100（16﹣2a）﹣（10a+1）﹣a=198，解得a=6，则a+1=7，16﹣2a=4；答：原数为476．点评：解决位值问题，一般要用字母表示各位数字，通过解方程求得．26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字和原的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．考点：位值原则．专题：压轴题．分析：设这个六位数为，因为它的6倍还是6位数，所以其左边第一位一定为1；由于的1～6倍的数的数字原的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，所以1肯定也在个位出现过，而只有个位为7的时候，其个位才能出现1，所以的个位为7，又7分别乘以1～6，其个位数分别为7、4、1、8、5、2．则这几个数在的1～6倍数中个位肯定出现，则在其它位数也定出现，即这个六位数及其它1～6倍的数都是由7、4、1、8、5、2这六个数字组成，只是顺序不一样．由此可得这六个数字在这六个六位数中每位数上都出现过．1+2+4+5+7+8=27，根。

名校真题 测试卷 数论篇一时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （13年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。

2 （13年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。

3 （13年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505=＿＿。

4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。

3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。

5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。

小升初专项训练数论篇（一）希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。

由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。

数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。

小升初专项练习题数论1.【★★★】从1，3，5，7，…。

97，99，101中最多可以选出n 个数，使得选出的这n 个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n =_______【分析】 1，3，5，……，101这些数中，35…101这34个数中，每个数都不是另一个数的倍数。

因为1，3，5，……，101都可以写成的形式（其中是0或自然数，是不能被3整除的自然数）由于1，3，5，……，101有17个不能被3整除的数，剩下51-17=34个数不是3的倍数。

所以的值有34种，所以342.【★★★】一个三位数等于它的各位数字之和的19倍，问这样的三位数最大是________，最小是______.【分析】 设这个三位数为，根据题意的：=19×（），因为≤29，所以114≤≤513所以19×6=114最小，19×15=285最大3.【★★★】，除以余，除以余，除以余，这个数最小是（ ）【分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：。

4.【★★★】一位现在一百多岁的老寿星，公元时的年龄为岁，则此老寿星年多少岁？【分析】 ，老寿星出生于：，所以年为：岁。

3a t •a t t n =abc abc a b c ++a b c ++abc 1A A 11597 13313032x x 20012441936=1936441892-=200120011892109-=5.【★★★】两个连续自然数的平方和等于，又有三个连续自然数的平方和等于，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______。

【分析】所以这两个连续自然数为、，，所以这三个连续自然数为、、。

6.【★★★】已知都是自然数，且=，则的最小值为_______________。

【分析】所以，最小值为。

7.【★★★】学校新买来个乒乓球，个乒乓球拍和个乒乓球网，如果将这种物品每样均平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？【分析】 ，，，利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出 所以学校有个班。

小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。

2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原的数的9倍，问这个两位数是＿＿。

3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。

2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。

2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。

5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。

名校真题 测试卷 数论篇一时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （13年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。

2 （13年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。

3 （13年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。

4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。

3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。

5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。

小升初专项训练 数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。

由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。

数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。

作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。