2011年江西省专升本考试高等数学模拟试卷

高等数学（专升本）-学习指南一、选择题1．函数2222ln 24z xyxy 的定义域为【D 】A ．222xyB ．224x yC ．222x yD ．2224xy解：z 的定义域为：420402222222yxyxy x ，故而选D 。

2．设)(x f 在0x x 处间断，则有【D 】A ．)(x f 在0x x 处一定没有意义；B ．)0()0(0xf x f ; (即)(lim )(lim 0x f x f x x xx )；C ．)(lim 0x f x x 不存在，或)(lim 0x f xx ；D ．若)(x f 在0x x 处有定义，则0x x时，)()(0x f x f 不是无穷小3．极限2222123lim n n nnnn【B 】A ．14B ．12C ．1 D． 0解：有题意，设通项为：222212112121122n Sn nnnn nnn n n原极限等价于：22212111lim lim222nnn nnnn4．设2tan y x ，则dy【A 】A ．22tan sec x xdxB ．22sin cos x xdx C ．22sec tan x xdx D．22cos sin x xdx解：对原式关于x 求导，并用导数乘以dx 项即可，注意三角函数求导规则。

22'tan tan 2tan 2tan sec y x d x xdxx x 所以，22tan sec dy x x dx，即22tan sec dyx xdx5．函数2(2)yx 在区间[0,4]上极小值是【D 】A ．-1B ．1 C．2D ．0解：对y 关于x 求一阶导，并令其为0，得到220x ；解得x 有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。

6．对于函数,f x y 的每一个驻点00,x y ，令00,xx A f x y ，00,xy B f x y ，00,yy Cf x y ，若20ACB，则函数【C 】A ．有极大值B ．有极小值C ．没有极值D ．不定7．多元函数,f x y 在点00,x y 处关于y 的偏导数00,y f x y 【C 】A ．000,,limx f x x y f x y xB．000,,limx f x x y y f x y xC ．00000,,limy f x y y f x y yD．0000,,limy f x x y yf x y y8．向量a 与向量b 平行，则条件：其向量积0a b 是【B 】A ．充分非必要条件B ．充分且必要条件C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件9．向量a 、b 垂直，则条件：向量a 、b 的数量积0a b 是【B 】A ．充分非必要条件B ．充分且必要条件C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件10．已知向量a 、b 、c 两两相互垂直，且1a ，2b ，3c ，求a b a b【C 】A ．1 B．2 C ．4 D．8解：因为向量a 与b 垂直，所以sin ,1a b ，故而有：22sin ,22114a a ba ba a -a b+b a -b b b ab a b 11．下列函数中，不是基本初等函数的是【B 】A ．1xyeB ．2ln yxC ．sin cos x yxD ．35yx解：因为2ln x y 是由u yln ，2x u复合组成的，所以它不是基本初等函数。

模拟试卷（一）参考答案一、单项选择题（每题1分，共20分）1-5 CBBBD2主要性能指标：字长：计算机一次所处理的位数，CPU字长越长，表示他的功能越强。

主频：CPU工作的节拍是由主时钟控制的，主频越高，CPU的工作节拍越快主存容量：主存容量越大，处理问题能力越强。

存取周期：是指CPU进行一次读或写所需的时间。

运算速度：是指每秒钟所执行的指令。

常用百万条指令/秒作单位（MIPS）软硬件配置性能价格比外设扩展能力3、与110000000比较6-10 ACCCC7 800*600*7位 128需要7为二进制存储11-15 DAABD11、PowerPoint提供了普通视图、幻灯片视图、大纲视图、幻灯片浏览视图、备注页视图和幻灯片放映视图等6种视图模式。

普通视图采用三框式画面显示大纲、幻灯片和备注，以方便浏览与编辑。

幻灯片视图含有大纲窗格和幻灯片窗格，每个窗格的功用与普通视图相同。

在幻灯片窗格中只显示一张当前的幻灯片，主要用来对演示文稿中的每一张幻灯片进行详细的设计和编辑。

在此视图下，可以直接看到幻灯片的静态设计效果。

大纲视图含有大纲窗格、幻灯片缩图窗格和幻灯片备注页窗格。

在大纲窗格中显示演示文稿的文本内容和组织结构，不显示图形、图像、图表等对象。

在大纲视图下编辑演示文稿，可以调整各幻灯片的前后顺序；在一张幻灯片内可以调整标题的层次级别和前后次序；可以将某幻灯片的文本复制或移动到其他幻灯片中。

在幻灯片浏览视图中，按幻灯片序号顺序显示演示文稿中全部幻灯片的缩图。

在幻灯片浏览视图下，可以复制、删除幻灯片，调整幻灯片的顺序，但不能对个别幻灯片的内容进行编辑、修改。

双击某一选定的幻灯片缩图可以切换到显示此幻灯片的幻灯片视图模式。

12、计算指的是算数计算，就是考察优先级14、搜索引擎，通常指的是收集了因特网上几千万到几十亿个网页并对网页中的每一个词（即关键词）进行索引，建立索引数据库的全文搜索引擎。

当用户查找某个关键词的时候，所有在页面内容中包含了该关键词的网页都将作为搜索结果被搜出来。

江西省专升本高数模拟试题（一）一、选择题:本题共10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1,0)(()1,0()()1,1)(()1,1)(()(,.1D C B A e x y x l x ---=则切点的坐标为相切轴平行且与曲线与设直线偶函数为为奇函数偶函数为为奇函数上在则上可导的奇函数为上可导的偶函数为设)()()()()()()()()()()()()(),(,),()(,),()(.2x g x f D x g x f C x g x f B x g x f A x g x f ''''+''+∞-∞+∞-∞+∞-∞同阶但不等价无穷小量等价无穷小量低阶无穷小量高阶无穷小量的是时当)()()()()()21ln(,0.32D C B A x x x x -+→]1,)((]2,1[)(),1)[(]1,0[)()(.4-∞+∞=-D C B A xe y x 区间为的单调增加且图形为凸函数有两条水平渐近线只有一条铅直渐近线　只有一条水平渐近线　直渐近线　既有水平渐近线又有铅的图形函数)()()()()(11.5D C B A e e y x x +-= 既非必要又非充分条件充要条件充分条件必要条件处连续的在点处左连续是在点函数)()()()()()()(.600D C B A x x f x x f无法确定等于等于等于的值则存在极限处连续在设)(2)(1)(0)()()0(')0(,1)(lim ,0)(.70D C B A f f x x f x x f x +==→为反对称矩阵为对称矩阵都为反对称矩阵都为对称矩阵为对称矩阵为反对称矩阵则阶矩阵为设C B D C B C C B B C B A A A C A A B n A T T ,)(,)(,)(,)()(,,,.8-=+=?ID IC IB A AB n I I B I A n T T T --+=-==ααααααα)()()(0)()(,,2,),21,0,,0,21(.9等于则矩阵阶单位为其中矩阵维行向量设 10.设A ,B ,C 是三个随机事件,在下述各式中,不成立的是 ( ))()()()()()())(()()(C B C A C B A D BA B A AB B A C AB B A B B A B B A A -+-=-++=-+=-++=+-二、填空题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.把答案填在题中横线上.____1)1('.14的特解是初值问题⎩⎨⎧==+y e y xy x .__________3)12()1(.151的收敛区间为幂级数的∑∞=--n nnn x .__________,.16|)0,1(22=∂∂∂=+yx zxez yx 则设二元函数 .__________,110111*********.17的秩为则矩阵A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=.__________|3|,21||,.181*=-=-A A A A 则且为四阶矩阵设.__________)(,4.0)(,4.0)(,,.19===B P A P B A P B A 则为相互独立的事件设.__________51,]1,1[.20的概率为过则该点到原点距离不超上任取一点在X -三、解答题:本大题共12小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1(cos 1lim.210xx e x x-→--求极限.（6分） .__________,.13.__________),,(,32lim .12.__________)(lim ,2008)41ln()(lim.11|023020==+==-+-==+=→→→x y x x x dx dyx y e xy e bab a b x a x x x f xxx x f 则的函数是确定设则为常数如果则已知}).(,)1()(.222x f x x x f x '++=求设（6分）·.1.232⎰-dx xx 求不积分.（6分）..240dx xe x ⎰∞+-求不积分.（7分）、.],0[)(,cos sin )(.25上最大值与最小值在求设πx f x x x x f +=.（7分）、.,,)(.26dz x y xf z u f 求可导设⎪⎭⎫⎝⎛=（7分）..,.2722的区域所包围为其中求二重积分x y x D dxdy x D=+⎰⎰（7分）{分）并求出该面积夹平面图形的面积最大坐标轴所使过该点的切线与两个在此曲线上求一点设曲线方程8.(,,),0(.28≥=-x e y x.,01234123121112.29的值求设行列式a a a a =（8分）:)10(.,200021021,,42,3,.301分求矩阵是三阶单位矩阵其中且满足阶矩阵为已知A B E E B B A B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-￥31.两台车床加工同样零件,甲车床出废品的概率为,乙车床出废品的概率为,加工出来的零件放在一起,且知甲乙车床产量之比是3:2,现从中任取一件是合格品的概率为多少(8分)32.设连续型随机变量X 的概率密度为，其它⎩⎨⎧<<+=,010,)(x b ax x f 已知E (X )=31. 试求:(1)常数a ,b 的值;(2)随机变量X 的方差;(3)概率P{X>}.(10分)。

2011年普通专升本高等数学真题一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. ()A ()()0101f f dxdf dxdf x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf()D ()()101==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）.()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面 ()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ----------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰xdt t f dx d7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f . 6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解. 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. 10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.__报考专业：______________________姓名： 准考证号------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2011年普通专升本高等数学真题二一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.当0→x 时,1sec -x 是22x 的（ ）..A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小2.下列四个命题中成立的是（ ）..A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()⎰dx x f dx d等于( ). .A ()C x f + .B ()x f.C ()dx x dfD .()C dxx df + 4.函数()x x x f sin 3=是（ ）..A 偶函数 .B 奇函数.C 周期函数 D .有界函数5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)__________=a .2.()()().___________________311sin lim221=+--→x x x x3..___________________________1lim 2=++--∞→xx x x x 4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11==x dx x df ，则()()._______121lim=-+→xf x f x5设函数()x x f ln 2=，则().____________________=dxx df6.设xe 为()xf 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 8.._________________________0=⎰∞+-dx e x9.().________________________2=+⎰-ππdx x x10.幂级数()∑∞=-022n nnx 的收敛半径为.________________三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim.2.求极限()nnnn n n 75732lim+-++∞→.3.设()b ax ey +=sin ，求dy .4.设函数xxe y =，求22=x dx yd .5.设y 是由方程()11sin =--xy xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).=x dx dy .6.计算不定积分⎰+dx x x132.7.设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,2x x x x x f ，求定积分()⎰20dx x f .8.计算()xdte ex t tx cos 12lim--+⎰-→.9.求微分方程022=+dxdydx y d 的通解. 10.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.四．综合题：（每小题10分，共30分）1. 设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成, (1)求此平面图形的面积;(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2.求过曲线xxey -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程。

专升本高等数学(一)模拟154一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、当x→0时，无穷小x+sinx是比x______．A．高阶无穷小 B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小 D．等价无穷小2、设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的—个极小值，则等于______．A．-2 B．0 C．1 D．23、设函数f(x)=e-x2，则f'(x)等于______．A．-2e-x2 B．2e-x2 C．-2xe-x2 D．2xe-x24、函数y=x-arctanx在(-∞，+∞)内______．A．单调增加 B．单调减少 C．不单调 D．不连续5、设，则为______． A．xe1-x2+CB．C．D．6、设，则Φ'(x)等于______．A．tanx2 B．tanx C．sec2x2 D．2xtanx27、下列反常积分收敛的______．A．B．C．D．8、级数是______．A．绝对收敛 B．条件收敛C．发散 D．无法确定敛散性9、方程x2+y2=R2表示的二次曲面是______．A．椭球面 B．圆柱面 C．圆锥面 D．旋转抛物面10、曲线______．A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线二、填空题11、设，问当k=______时，函数f(x)在其定义域内连续．12、求=______．13、设y=22arccosx，则dy=______．14、设，则f y(1，1)=______．15、幂级数的收敛半径R为______．16、过点P(4，1，-1)，且与点P和原点的连线垂直的平面方程为______．17、设,则______．18、=______．19、将改变积分次序后，则I=______．20、方程y"+y'+y=0的通解为______．三、解答题(解答应写出推理、演算步骤)21、设y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数，求dy．22、已知曲线y=ax4+bx3+x2+3在点(1，6)处与直线y=11x-5相切，求a，b．23、设，求24、求25、求方程y'=e3x-2y满足初始条件的特解．26、设z=e x(x2+y2)，求dz．27、求，其中D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围的区域．28、一艘轮船以20海里/小时的速度向东行驶，同一时间一艘轮船在其正北82海里处以16海里/小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?答案:一、选择题1、C[解析] 本题考查了无穷小量阶的比较的知识点．因，所以选C．2、B[解析] 本题考查了函数的极值的知识点．因f(x)在x=x0处取得极值，且可导，于是f'(x0)=0．又3、C[解析] 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．因f(x)=e-x2，则f'(x)=e-x2(-2x)=-2xe-x2．4、A[解析] 本题考查了函数的单调性的知识点．因y=x-arctanx，则，于是函数在(-∞,+∞)内单调增加．5、D[解析] 本题考查了换元积分法求不定积分的知识点．另解：将两边对x求导得f(x)=e x，则6、D[解析] 本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点．因是复合函数，于是Φ'(x)=tanx2·2x=2xtanx2．7、D[解析] 本题考查了反常积分的敛散性的知识点．由当p≤1时发散，p≥1时收敛，可知应选D．注：本题容易看出A选项发散．而B选项中相当于，故此积分发散．对。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式(理科)：样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性相关系数()()()()niii nni ii i x x y y r x x y y 2=12=1=1--=--∑∑∑其中,n nx x x y y y x y n n1212++++==L L锥体体积公式 V Sh 1=3，其中S 为底面积，h 为高参考公式(文科)：样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程ˆya bx =+ 其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==锥体体积公式 13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若1+2iiz =，则复数z = ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i2．若集合{},{}x A x x B x x-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}3．若()log ()f x x 121=2+1，则f (x )的定义域为 …( )A ．(,)1-02 B ．(,]1-02C ．(,)1-+∞2D ．(0，＋∞)4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为 …( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)5．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．556．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则() A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r17．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为() A．3125 B．5625 C．0625 D．81258．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A．(33-，33) B．(33-，0)∪(0，33)C．[33-，33] D．(－∞，33-)∪(33，＋∞)10．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．14．若椭圆22221x ya b+=的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．本题共5分．15．(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______________．(2)(不等式选做题)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos sinC C C +=1-2. (1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．18．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．19．设()f x x x ax 3211=-++232. (1)若f (x )在(,2+∞3）上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1，4]上的最小值为16-3，求f (x )在该区间上的最大值． 20．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是()2222:10,0x y E a b a b-=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．21．(1)如图，对于任一给定的四面体A 1A 2A 3A 4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得A i ∈αi (i ＝1，2，3，4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A 1A 2A 3A 4的四个顶点满足：A i ∈αi (i ＝1，2，3，4)，求该正四面体A 1A 2A 3A 4的体积．参考答案1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．B 10．A11．答案：π312．答案：131613．答案：1014．答案：22=154x y + 15．(1)答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0(2)答案：516．解：(1)X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4，14-4445C C ()(0,1,2,3,4)C i P X i i ===， 即X 01234P170 1670 3670 1670 170(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800，3 500，1(3500)(4)708(2800)(3)3553(2100)(2)70116533500280021002280.707070P Y P X P Y P X P Y P X EY ==========≤==⨯+⨯+⨯=则所以新录用员工月工资的期望为2 280元． 17．解：(1)由已知得sin sin 1cos ,2CC C +=- 即2sin(2cos 1)2sin 222C C C +=， 由1sin 02cos 12sin ,sin cos 222222C C C C C ≠+=-=得即，两边平方得3sin 4C =.(2)由1ππsin cos 0222422C C C -=><<得，即π37π,sin cos 244C C C <<==-则由,得. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2.由余弦定理得2222cos 827,7 1.c a b ab C c =+-=+=+所以.18．解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2. 由b 1，b 2，b 3成等比数列，得(2＋q )2＝2(3＋q 2)， 即212420,22,22q q q q -+==+=-解得.所以{a n }的通项公式为11(22)(22).n n n n a a --=+=-或.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)． 由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得1.3a =19．解：(1)由2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++，当222[,),()()2;339x f x f a ''∈+∞=+时的最大值为；令2120,99a a +>>-得， 所以，当12,()(,)93a f x >-+∞时在上存在单调递增区间．(2)令12118118()0,,.22a af x x x -+++'===得两根.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1，4]上的最大值为f (x 2)．又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即， 所以f (x )在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =-=-， 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1，4]上的最大值为10(2).3f =. 20．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线22221x y a b -=上，有2200221x y a b-=，由题意又有00001,5y y x a x a ⋅=-+可得222222305,6,5c a b c a b b e a ==+===则. (2)联立2222255,410350,x y b x cx b y x c ⎧-=-+=⎨=-⎩得设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则122125,2354c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩① 设31211312(,),,x x x OC x y OC OA OB y y y λλλ=+⎧==+⎨=+⎩ 即又C 为双曲线上一点，即2223355,x y b -=，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得22222211221212(5)(5)2(5)5x y x y x x y y b λλ-+-+-=.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以222222112255,55x y b x y b -=-=. 由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4. 21．解：(1)如图所示，取A 1A 4的三等分点P 2，P 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4的中点N ，过三点A 2，P 2，M 作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2∥NP 3，A 3P 3∥MP 2，所以平面α2∥平面α3，再过点A 1，A 4分别作平面α1，α4与平面α2平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次相互平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．(2)解法一：当(1)中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为z 轴建立如(1)中图的右手直角坐标系，则12346333(0,0,),(,,0),(,,0),(0,,0)326263a a A a A a A a A a --则． 令P 2，P 3为A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有33342363(0,,),(,,0)9941253633,(,,),(,,0)43694413(,,0)44a P a a N a a P N a a NA a a A N a a ---=--==- 所以．设平面A 3P 3N 的法向量n ＝(x ，y ，z )，有330953460,0330P N x y z NA x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩即n n 所以(1,3,6).=--n 因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，所以点A 4到平面A 3P 3N 的距离为223|()1(3)0(6)|4411(3)(6)a a -⨯+⨯-+⨯-=+-+-，解得10a =.由此可得，边长为10的正四面体A 1A 2A 3A 4满足条件． 所以所求正四面体的体积23113625 5.3343123V Sh a a a ==⨯⨯==. 解法二：如图，现将此正四面体A 1A 2A 3A 4置于一个正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中(或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体)，E 1，F 1分别是A 1B 1，C 1D 1的中点，EE 1D 1D 和BB 1F 1F 是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A 1A 2A 3A 4即为满足条件的正四面体．如图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a ，若A 1M ＝MN ＝1，则有1122111111,252a A E D E A D A E a ==+=.据A 1D 1×A 1E 1＝A 1M ×D 1E 1，得5a =， 于是正四面体的棱长210,d a ==，其体积33311554.633V a a a =-⨯==.(即等于一个棱长为a 的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积)。

专升本高等数学(二)真题2011年一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项。

)1、A．0 B．1 C．2 D．32、已知函数的导函数，则曲线在x=2处切线的斜率是A．3 B．5 C．9 D．113、设函数，则4、已知函数f(x)在区间(-∞，+∞)单调增加，则使f(x)＞f(2)成立的x的取值范围是A．(2，+∞) B．(-∞，0) C．(-∞，2) D．(0，2)5、设函数ycosx+1，则dy=A．(sinx+1)dx B．(cosx+1)dxC．-sinxdx D．sinxdx6、∫(x-sinx)dx=πsinxdx=7、∫-πA．0 B．1 C．2 D．π8、设函数z=x3+y3，则A．3x2 B．3x2+3y2 C． D．3y29、设函数z=x2y3A．2y3 B．6xy2 C．6y2 D．12xy10、随机事件A与B为互不相容事件，则P(AB)=A．P(A)+P(B) B．P(A)P(B)C．1 D．0二、填空题11、已知函数，则f(0)=______.12、______.13、曲线y=2x2在点(1，2)处的切线方程为)y=______.14、设函数y=sinx，则______.15、函数的单调增加区间是______．16、∫x5dx=______.17、______.18、∫1-1(x3cosx+x2)=______.19、设函数z=e x+y，则dz=______.20、设函数z=f(x，y)可微，且(x0，y)为其极值点，则______.三、解答题(解答应写出推理、演算步骤。

)21、计算.22、设函数，求y'.23、计算24、设函数z=z(x，y)由sin(x+y)+e z=025、设A，B为两个随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.3，求P(A-B)．26、求函数的单调区间、极值和曲线y=f(x)的凹凸区间．27、在抛物线y=1-x2与x轴所围成的平面区域内，做一内接矩形ABCD，其一条边AB在x轴上(如图所示)．设AB长为2x，矩形面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式．(2)求S(x)的最大值．28、设D为曲线y=1-x2，直线y=x+1及x轴所围成的平面图形(如图所示)．(1)求平面图形D的面积S．(2)求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V．X答案:一、选择题1、C2、C3、B4、A5、C6、B7、A 8、D 9、A 10、D二、填空题11、 12、 13、4x-2 14、-cosx 15、(1，+∞) 16、 17、x+arctanx 18、 19、e x dx+dy20、三、解答题21、 22、 23、 24、解法1：设F(x，y，z)=sin(x+y+)e z.解法2：等式两边对x求导得25、P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.3． 26、函数的定义域为(-∞，+∞)．函数f(x)的单调增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)，函数f(x)的单调减区间为(-2，2)，曲线的凸区间为(-∞，0)，曲线的凹区间为(0，+∞)． 27、(1)S(x)=2xy=2x(1-x2)=2x-2x3.(2)s'(x)=2-6x2.由于驻点唯一，且实际问题有最大值，所以为最大值． 28、。