高等数学测试（第二章）
一．选择题（每小题２分，共20分）
1
．设函数0()10
2
x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微
2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2
e
C ．2e
D ．e
3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x
→+--等于（ ）
A ．0
B ．()f a '
C ．2()f a '
D ．(2)f a '
4．设x
x x f +=
⎪⎭⎫ ⎝⎛11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ）
A ．
2)
1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22
)1(x x +- 5．设函数
)(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ）
A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数
B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数
C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数
D ．若
)(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数
6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ）
A ．)0()0()(lim 0
f x
f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0
a f h
a f h a f h '=-+→
C ．)()()(lim 0
000
x f x
x x f x f x '=∆∆--→∆ D ．)(2)()(lim 0000
x f x
x x f x x f x '=∆∆--∆+→∆
7．若)(x f 可导，)(cos ln )(x f x F =，则()F x '= （ ）
A ．
)(cos sin )(cos x f x x f ' B ．)(cos sin )(cos x f x x f '- C ．)
(sin cos )(sin x f x x f ' D ．)(sin cos )(sin x f x x f '- 8．设函数)()()(x g a x x f -=，3)(lim =→x g a
x ，则 （ ） A ．0)(='a f B ．2)(='a f C ．3)(='a f D ．
)(a f '不存在
9．设0()f x x x =在连续，且0
()lim x x f x A x x →=-(A 为常数)，则0()f x '=（ ）A ．A ；B ．2A ； C ．3A ； D ．4A
10． 31log d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）A ．3ln 12x B ．xdx x 32log 1- C ．3ln 1x D ．dx x x 3ln ln 12- 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）设方程332
e y xy x
=++确定y 为x 的函数，则==0x dy ________________．
12．（3分）设函数()x f x xe =，则(0)f ''=________________.
13．（3分）设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01
lim ()n nf x n
→∞
+=________________.
14．（3分）曲线4
ln x t
y t
=⎧⎨
=⎩在点（0,1）处法线方程为________________. 15．（3分）33,x y x =+，则(4)
___________x y ==．
三．计算题（共55分）
16.（5分）若sin 1,0,()4,
0,a x x f x x b x +≥⎧=⎨+<⎩且
(0)f '存在，求,.a b
17. （5
分）设y =y '.
18. （5分）设
1
(1)x
y x
=+，求dy.
19.（5分）设()()x f x e
e
f
y=，其中()x
f'存在，求
y'.
20. （5
分）设ln(
y x
=+y''. 21. （5分）
设arctan.
y
x
=求dy
22.（5分）求曲线
sin
cos2
x t
y t
=
⎧
⎨
=
⎩
在
6
t
π
=处的
切线方程和法线方程. 23.（5分）求由方程
1
sin0
2
x y y
-+=所确定的隐函数y的二阶导数
2
2
d y
dx
.
24.（7分）设函数21
2()1
2
x x f x ax b x ⎧≤
⎪⎪=⎨
⎪+>⎪⎩
，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导.
25.（8分）若22)()(x x xf x f y =+，其中 ()f x 为可微函数，求dy .
四.证明题（共10分）
26.（10分）设()x f 在点0=x 处连续，且()A x
x f x =→0
lim
(A 为常数)，证明()x f 在点0=x 处可导.
