关于专升本高等数学测试
题答案
This manuscript was revised on November 28, 2020
专升本高等数学测试题
1.函数x y sin 1+=是（ D ）．
（A ） 奇函数； （B ） 偶函数； （C ） 单调增加函数； （D ） 有界函数．
解析 因为1sin 1≤≤-x ，即2sin 10≤+≤x , 所以函数x y sin 1+=为有界函数． 2.若)(u f 可导，且)e (x f y =，则有（ B ）；
（A ）x f y x d )e ('d =； （B ）x f y x x d e )e ('d =； （C ）x f y x x d e )e (d =； （D ）x f y x x d e )]'e ([d =．
解析 )e (x f y =可以看作由)(u f y =和x u e =复合而成的复合函数 由复合函数求导法 ()x
x
u f u f y e
)(e )(?'=''='，
所以 x f x y y x x d e )e ('d d =?'=． 3.?
∞+-0
d e x x =( B );
(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0.
解析 ?
∞
+-0
d e x x
∞+--=0
e x
110=+=．
4.2(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；
(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；
(C) ()e x ax b +； (D) 2)(x b ax +．
解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e x p y x ax b =+．
5.=+??y x y x D
d d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；
(A) 2π4
2
01
d d r r θ??； (B) 2π4
01
d d r r θ?
?；
(C) 2π2
20
1
d d r r θ?
?； (D) 2π2
1
d d r r θ?
?．
解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．
当???==θ
θsin cos r y r x 时，d d d d x y r r θ=，由于1≤22y x +≤4，D 表示为 21≤≤r ，02πθ≤≤，故=
+??y x y x D
d d 2
2d d D
r r r θ?=??2π2
20
1
d d r r θ?
?．
6.函数y =
)12arcsin(31
2
-+-x
x 的定义域
解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正
弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即
???
???
?<->-≠-,112
,03,
032x
x x 推得??
?≤≤<<-,40,
33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[. 7. 求极限x
x x -+-→22
2lim
2 =
解：原式=)
22)(2()
22)(22(lim
2++-+++-→x x x x x
=2
21
lim
2++→x x
=
4
1
. （恒等变换之后“能代就代”） 8.求极限x
t
t x x πcos 1d πsin lim
1
1
+?→=
解：此极限是“00
”型未定型，由洛必达法则，得
x t
t x x πcos 1d πsin lim
1
1
+?
→=)πcos 1()d πsin (lim
1
1
'
+'
?→x t t x
x =π
1
)π1(lim πsin ππsin lim
11-=-=-→→x x x x
9.曲线???==,,
3
t y t x 在点（1，1）处切线的斜率 解：由题意知：
?
??==,1,
13
t t 1=?t ,
∴ 33)()(d d 1
2
1
31
=='
'====t t t t t t x
y ,
∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为3
10. 方程0'2''=+-y y y , 的通解为 解： 特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为x x C C y e )(21+=. 11. 交错级数)
1(1
)1(11
+-∑∞
=-n n n n 的敛散性为
（4） ∑∞
=-+-1
1
)1(1
)
1(n n n n =∑∞
=+1)
1(1n n n ,
而级数∑
∞
=+1)
1(1
n n n 收敛，故原级数绝对收敛.
12.x
x x
)11(lim 2-
∞→. （第二个重要极限） 解一 原式=10])1
1[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-?+=-+x x x x x x x x
x x x =1ee 1=-，
解二 原式=)1
()(2])1
1[(lim 2x x x x
--∞→-=1e 0=．
13.)]1ln(1
1[lim 20x x
x x +-→
解 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成
00或∞
∞
型. )]1ln(11[lim 20x x x x +-→x
x x
x x x x 211
1lim )1ln(lim 020+-
=+-=→→ 2
1
)1(21lim )1(211lim
00=+=+-+=→→x x x x x x .
14.设x
x x f e )(=，求)('x f .
解：令x
x y e =, 两边取对数得：x y x ln e ln =, 两边关于x 求导数得：
即 )e ln e ('e x
x x y x
x
x
+=.
15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,
66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,
∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .
∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：
)(x f 最大值为200， 最小值为50-.
16.求不定积分?
++x x
d 111.
解： 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是
原式=?
+t t t d 12=?+-+t t t d 1112=]1d d [2??+-t
t t =C t t ++-1ln 22 =C x x +++-+11ln 212. 17.求定积分?
+-4
d 11x x
x
.
解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．
令 x t =
，x 2t = ，t t x d 2d = ，
当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是
?+-4
0d 11x x x
=?+-2
0d 211t t t t =?+--20d ]14
24[t t
t 18. 求方程 (e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=的通解；
解 整理得 e (e 1)d e (e 1)d x y y x x y -=-+，
用分离变量法，得 e e d d e 1e 1
y x
y
x y x =--+， 两边求不定积分，得 ln(e 1)ln(e 1)ln y x C -=-++，
于是所求方程的通解为 e 1e 1
y x
C
-=+， 即 e 1e 1
y x
C
=++． 19.xy u x sin e =, 求)
0,1()
1,0(,
y
u x
u ????.
解：因
)cos (sin e cos e sin e xy y xy y xy xy x
u
x x x +=?+=??, x xy y
u
x ?=??cos e , ∴
1)0cos 0(sin e 0)
1,0(=+=??x
u ,
e )10(cos e )
0,1(=?=??y
u .
20.画出二次积分()x y x f y y y d ,d 22
424220
?
?-+--的积分区域D 并交换积分次序.
解：D ：?????-+≤≤--≤≤242242,20y
x y y
的图形如右图，由图可知，D 也可表为????
?-≤≤≤≤,
40,402
x x y x
所以交换积分次序后，得()y y x f x x x d ,d 2
404
??-. 21.求平行于y 轴，且过点)1,5,1(-A 与)3,2,3(-B 的平面方程.
解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n .因为平面平行于y 轴，所以j n ⊥.又因为平面过点A 与B ，所以必有n ⊥.于是，取n =?j ,
而AB ={2，7，4} ，所以 n =4
72010-k
j
i
=k i 24--，
因此，由平面的点法式方程，得0)1(2)5(0)1(4=--++--z y x ，即 032=-+z x .
解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 0=+++D Cz By Ax ,
由于平面平行于y 轴，所以 0=B ，原方程变为0=++D Cz Ax ，又所求平面过点
A (1, 5, 1)与
B (3 , 2, 3)，将B A ,的坐标代入上述方程，得??
?=+-=++,033,
0D C A D C A 解之得 C A 2=, C D 3-=,代入所设方程，故所求平面方程为 032=-+z x .