超市收银员合理排班数学模型

数学建模作业超市付款系统的评价与优化一．问题的提出在超市购物时收银台前排长队的现象始终困扰着购物者，而过多的收银窗口导致成本增加又困扰着商场经营者。

假设超市已提供的收银窗口数量是在该系统下最优的方案（即资源有限时的最佳方案），而超市应该采取什么措施才能兼顾消费者满意与商场经营者成本最低？这是商场超市值得研究的问题。

下面是已有的数据调查结果：现有一小超市有四台付款机，所有款台有两种结算方式，即现金结算和支票或银行卡结算，每个款台为一位顾客计算货款的时间与顾客所购的商品件数成正比（大约每件费时2秒），约有20%的顾客用支票或银行卡等手段支付，这个过程需要1.5分钟，付现金则仅需要0.5分钟；为了使顾客的的总体满意程度达到最大，有人倡议设其中一个为快速服务台，专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为现金支付台，只结算现金结算业务；假设顾客到达的平均时间间隔是0.5分钟，顾客购买商品的件数按以下频率表分布：利用计算机的仿真功能建立一个模拟模型，对现有的系统和倡议的系统的运转进行比较，针对超市的款台结算结构，对超市经营者提供一种合理的建议。

二。

问题分析此问题是基于已知的两种款台结算方式对其进行比较，在合理的假设和简化下，分别建立数学模型。

两种模型下，服务窗口数是一定且相等的，各窗口的工作是相互独立的；顾客的到达间隔是固定的，且服务窗口的排队有如下的规律：1）先到先服务。

顾客按先后到达顺序，接受服务。

2）等待制系统。

假设两种系统都是完美的，则顾客不会因等待时间过长没有耐心等待而损失。

当顾客到达服务窗口时，如果所有的服务台都被顾客占用无空闲，这是该顾客就会自动加入队列排队等待服务，服务完才离开。

3）顾客泊松流来到服务系统。

泊松流有如下的特点：①平稳性。

在任意一段长度为t的时间区间内，出现任意商品件数的概率只与t有关，而与t所处的位置无关。

②无后效性。

在互不相交的两时间区间T1.T2内所出现的事件数是相互独立的。

库存周转
一、商品库存管理 库存分类： 商品库存：供销售用 行政库存：耗材、办公用品、总务用品、零配件 （不在讨论范围） 二、库存天数： 商 品 ＝ 单品库存数量/日均销售（DMS） 小 分 类 ＝ 小分类库存成本/日均销售成本 大 分 类 ＝ 大分类库存成本/日均销售成本 采购部门 ＝ 楼面部门库存成本/日均销售成本 门 店 ＝ 门店库存成本/日均销售成本
四、订货公式说明
一、公司订货公式说明
1.8在途订货量： a.直送商品(02)：除状态为'登录/作废/终止/全部入库'外的, 且未入过库的订单数量(入过库的不计算)； b.配送商品(01)：状态为'审核/已传总部/已处理'的、前3天 的(且包含当天的)、20100201后的补货数量，需减去已配送或 短配数量； 如今天是5号，则取2,3,4,5这四天的数据； c.一步二步周转商品(03/04)：状态为'审核/已传总部/已处理 '的、前7天的(且包含当天的)、20100201后的补货数量，需减 去已配送或短配数量； 如今天是8号，则取1,2,3,4,5,6,7,8这八天的数据； 1.9 在途退货量：索赔仓的库存(指库位属性为‘07-副品库位’ 的所有库位的数量);
15 30 15 15 30 30 30 30 60 90 60 45 60 60 30 60 17 45 60 30 45 45 42 20 45 45 45 60 35 45 45 45 0
各类商品参考库存天数指标
视讯家电 大 家 电 音响家电 大家电 合 计 小家电 煤气炉具 季节性家电 合 计 DIY 15 30 15 15 30 30 30 30 60
各类商品参考库存天数指标
日常保健品 家用纸制品 20 15

顾 客 就 留下 来 排 队 等 待 ， 而且 如 果 超 市 布 局 合 理 ， 间 充 足 ， 出现 堵 空 不 员 的疲 劳 问题 ． 果 超 市 收 银 服 务 系 统 的 服 务 强 度 过 大会 导 致 收 银 员 塞 难 以换 队 的 情 况 ，顾 客 一 般 都 会 选 择 队 长 最 短 的 队 列 排 队 等 候 服 如 服务 率 的下 降 ， 因此 服 务 强 度 应 该在 一 个合 理 的范 围 内 。 于 此 ， 文 基 本 务 ， 且 在 等 待 过 程 中 ， 果 其 他 的 队 列 变 短 ， 马 上更 换 队 伍 ， 以 而 如 会 所 建立 了 同 时 考 虑 到 顾 客 、 银 员 、 市 三 方 面 利 益 的超 市 收银 服 务 系 收 超 超 市 收 银 服 务 系统 的排 队规 则 是 等 待 制 中的 先 到 先 服务 规 则 。 统排 队优 化 模 型 。 ２３ 服 务 机 构 ． 超 市 中的 收 银 台共 有 Ｃ台 ， 此 之 间 相 互 独 立 并 行 工 作 ， 据 顾 彼 依 客 的 排 队顺 序 为 顾 客 提供 服务 ， 次 只服 务 一 个 顾 客 。 由于 顾 客 所 购 每 对 于一 个 超 市 收 银 服 务 系 统 来 说 ． 客 的 到 达 间 隔 时 间 以 及 收 银 买 商 品 的种 类 、 目都 不 尽 相 同 ， 此 超 市 收 银 台 的 服 务 时 间 也 是 随 顾 数 因 员 对顾 客 的服 务 时 间都 是 随 机 的 ， 此超 市 收 银 服 务 系 统 是 一 个 典 型 机 的 ， 此 假 设 超 市 收银 台 的 服 务 时 间 满 足 参 数 为 的 负 指 数 分 布 。 因 在 的 随机 服务 系统 。 过 对 超 市 收 银 服 务 系 统 的 观察 与研 究 可 以对 该 系 虽 然 各 个 收 银 员 的 服 务 率 细 微 差 别 ， 虑 到 降 低 建 模 难 度 ， 设 各 个 经 考 假

基于排队论的超市收银员的优化随着超市业务的不断发展，节约时间和提高效率变得越来越重要。

超市收银员是超市业务的核心环节之一，因此优化超市收银员的排队系统可以提高整体的效率。

本文将基于排队论的理论和方法，探讨如何优化超市收银员的排队系统。

首先，我们需要了解排队论的基本概念。

排队论是研究排队系统的数学理论，它可以帮助我们分析和优化排队系统的运营效率。

在超市收银员的排队系统中，顾客到达超市的时间间隔和找零的时间是两个重要的因素。

顾客到达超市的时间间隔可以用到达率来表示，找零的时间可以用服务率来表示。

到达率和服务率决定了排队系统的稳定性和效率。

为了优化超市收银员的排队系统，我们可以进行以下几个方面的优化：1.提高服务效率。

收银员的服务效率直接影响到顾客等待时间的长短。

因此，提高收银员的服务效率是优化排队系统的一个重要途径。

可以通过培训收银员技术，采用更高效的收银设备等方式来提高服务效率。

2.降低等待时间。

等待时间是顾客在排队系统中最关心的因素之一、为了降低等待时间，可以考虑增加收银员的数量，或者根据需求合理调整收银员的工作时间。

此外，还可以采用多个排队线程，避免出现单一排队线程导致的拥堵。

3.预测和调整到达率。

了解到达率的变化规律，可以帮助我们更好地调整收银员的数量和工作时间。

例如，在早晚高峰期，到达率通常较高，此时可以增加收银员的数量，以满足市场需求。

4.利用技术手段优化排队系统。

随着技术的发展，可以借助科技手段来优化排队系统。

例如，可以引入自助结账机，让顾客可以自行操作结账，提高服务效率。

同时，可以利用数据分析和预测技术，根据历史数据和趋势来合理安排收银员数量和工作时间。

总之，基于排队论的超市收银员的优化需要综合考虑到达率、服务率和系统容量等因素。

通过提高服务效率、降低等待时间、合理调整人员数量和工作时间以及利用技术手段等措施，可以有效地优化超市收银员的排队系统，提高超市的运营效率，为顾客提供更好的购物体验。

基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型一、本文概述随着银行业务的日益发展和客户需求的多样化，银行柜员排班问题成为了银行业务运营中的关键环节。

传统的固定排班模式已难以满足现代银行业务的需求，因此，开发一种基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型显得尤为重要。

本文旨在探讨如何运用排队论和整数规划的理论和方法，构建一个既能满足客户需求，又能保证柜员工作效率和满意度的弹性排班模型。

排队论作为一种研究服务系统中排队现象的数学工具，可以分析客户到达和服务的统计规律，为银行柜员排班提供理论基础。

整数规划则是一种求解最优化问题的数学方法，通过约束条件和目标函数的设置，可以求得满足实际需求的柜员排班方案。

本文将首先介绍排队论和整数规划的基本原理及其在银行柜员排班中的应用背景，然后详细阐述基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型的构建过程，包括模型的假设、参数设定、约束条件构建以及目标函数的确定。

通过实例分析验证模型的有效性和实用性，并提出模型的改进方向和应用前景。

本文的研究不仅有助于提升银行柜员排班的科学性和合理性，还可以为银行业务的持续优化和客户服务质量的提升提供有力支持。

也为其他服务行业在弹性排班模型的构建和应用方面提供有益的参考和借鉴。

二、理论基础本研究所构建的银行柜员弹性排班模型主要基于两个理论基础：排队论和整数规划。

这两个理论在运筹学、管理科学和工程领域具有广泛的应用，尤其在处理资源优化配置和服务系统效率提升的问题上表现出色。

排队论，又称为随机服务系统理论，主要研究服务系统中等待队列的形成、发展和变化规律，以及系统的性能特征。

在银行柜员排班问题中，客户到达银行办理业务的过程就是一个典型的排队过程。

排队论中的关键概念包括顾客到达率、服务率等待时间、队列长度等，这些指标直接影响到银行的服务质量和顾客满意度。

通过排队论，我们可以对银行柜员的工作强度、服务效率以及顾客等待时间进行数学建模，为合理的排班安排提供理论支持。

2012南昌大学第九届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：A .报名序号是 ______53__________.参赛队员(打印并签名) ：所属院系（请填写完整的全名）：1._ XXX__签名:_________________院系: ____XXX2.___ XXX___签名:_________________院系: ____XXX3.__XXX__签名:_________________院系: ___XXX______________日期： 2012/5/292012南昌大学第九届数学建模竞赛编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人备注A超市收银员合理排班摘要：超市的顾客数和收银员数量是相互影响的，如果收银员数量偏少，会使等待排队交费的人数偏多，顾客看到收银处排队人数很多就会放弃进入超市的意愿，甚至在超市内只购买一两件商品的顾客也会放弃购买意愿，而超市收银员的数量增多将增加超市的支出。

综合考虑，我们对一超市的收银员排班进行了一下分析。

本文主要进行了以下工作：1、综合考虑影响超市收银员排班的各种因素，对各种影响因素之间的相互关系根据题目所需值以及常识进行定性分析，然后根据题目中所提供的相关信息以及所调查的相关资料，踢出次要的影响因素得到影响收银员排班的主要因素。

2、由题目所提供的排班表及顾客情况知：工作日(星期一到星期五）与双休日各个时刻的顾客数目以及排班情况显然不同，所以本文对带该题目分为两部分处理。

剖析超市排队的仿真模型应用论文论文关键词：动态模拟；蒙特卡洛模拟；排队论论文内容摘要：综合考虑顾客等待成本和商场的成本效益，进而得出超市为满足一定服务水平应该开设的服务器个数。

本文根据超市顾客到达的随机性和服务时间的随机性，用蒙特卡洛方法模拟不同的顾客到达和服务水平，在MATLAB/Simulink上对超市单队列多收银台的服务系统进行了动态模拟仿真，得到不同顾客到达率和不同服务水平下，顾客的排队等待时间，服务器的空闲率等要素。

在超市收银排队系统中，顾客希望排队等待的时间越短越好，这就需要服务机构设置较多的收银台，这样可以减少排队等待时间，但会增加商场的运营成本。

而收银台过少，会使服务质量降低，甚至造成顾客流失。

如何科学合理地设置收银台的数量，以降低成本和提高效益，是商场管理人员需要解决的一个重要问题。

蒙特卡洛方法简介蒙特卡洛方法又称随机模拟方法，它以随机模拟和统计试验为手段，从符合某种概率分布的随机变量中，通过随机选择数字的方法，产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解（杜比，2007）。

在应用该方法时，步骤1：建立概率模型，即将所研究的问题变为概率问题，构造一个符合其特点的概率模型；步骤2：产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列；步骤3：以随机数值序列作为系统的抽样输入进行大量的数字模拟试验，以得到模拟试验值；步骤4：对模拟试验结果进行统计处理（如计算频率、均值等），进而对研究问题做出解释。

基于排队理论的仿真模型建立（一）超市服务排队模型（M/M/C）超市收款台服务是一个随机服务系统（唐应辉，2006），该系统具有如下特征：服务的对象是已经选购好商品的顾客，顾客源是无限的，顾客之间相互独立，顾客相继到达的时间间隔是随机的。

系统有多个服务员且对每个顾客的服务时间是相互独立的。

服务规则遵从先到后服务（FCFS）的原则。

每个收款台前都有排队队列，顾客选择较短的队列排队等候，这样形成单队列多服务员（M/M/C）的排队系统。

天津经济TIANJIN ECONOMY一、问题的提出经常看到超市收银台处排队严重，每个队伍二十几人，买瓶矿泉水也要排半个小时，淡季时，超市门可罗雀，可是仍开有很多的收银口，导致人力资源的浪费。

因此，希望能找到根据顾客数量（到达密度），以及顾客购物数量和顾客支付方式的最适宜的超市收银口的安排。

由于该问题涉及的变量很多，而且又有随机变量的参与，用一般的方法很难给出数学模型，因此这里采用随机模拟的方式，找到最优的方案。

排队的方式主要有以下两种：（一）一般排队方式：每个人在选择队伍时，选择队伍最短的队伍。

（二）过度排队方式：每个人在选择队伍时，会出现先到者后接受服务的情况的出现。

通过观察分析顾客的真实付款情况发现，造成先到者后接受服务的情况的根本原因在于，顾客倾向于选择人数少的队伍，然而实际上，由于顾客支付方式不同（银行卡支付的时间较长），顾客购买商品的件数也不同（件数多的，算钱的时间要长）,故可能出现，长的队伍由于其中顾客的购物件数少，用现金付款的多，于是长的队伍反而更快速的结算完毕。

因此为了避免先到者错误的选择人少却耗时的队伍，可以使用为购物件数少的人和为使用现金付款的人设计快速通道，使超市排队方式更接近于银行排队方式。

同时，这样的快速通道从心理上，也能让购物少、用现金支付的顾客，早一些结算完毕，而这些人，恰好是在排队中最没有耐性的人群，达到了更好的顾客满意度。

解决顾客超市排队的问题可以通过数学模型，分析各个变量的影响程度，从而找出解决问题的方案。

二、模型的假设：（一）顾客的平均到达时间间隔是随机的，依据指数分布（二）顾客在选择某个队伍后，不能再改变选择。

（三）收银员服务的水平是一致的，顾客接受服务的时间等于收银员计算货物价钱的时间与顾客交费的时间。

其中计算货物价钱的时间，与货物的数量成正比。

（四）顾客购物数量的分布，如下表所示：g1：平均等待时间（s ）；g2：平均服务时间（s ）三、模型的建立与改进方案一：一般超市排队方式，即每个顾客按各队人数选择队伍这种方案的缺点是，会出现先到的人后接受服务的现象。

超市收款服务系统的仿真与优化一、排队论概述排队论是运筹学的一个分支，又称随机服务系统理论或等待理论。

排队系统的基本组成部分主要是输入过程、排队规则、服务机构。

1．输入过程：是指顾客到达排队系统的过程。

它主要包括两方面的内容：顾客源，即顾客总体的数量，可以是有限的，也可以是无限的。

顾客到达的规律，主要是指顾客到达系统的时间间隔的分布，其类型可能是确定的，但跟多的情形是随机的。

2．排队规则：是指顾客到达系统后排队等候服务的方式和规则。

可分为三种类型：(1)损失制：指顾客到达系统时，如所有服务设施均被占用，则顾客自动离去，不再回来；(2)等待制：指顾客到达系统时，如所有的服务设施均被占用，则留下来排队等待，直至被服务完毕后离去；(3)混合制：这是损失制和等待制的混合，这种排队规则，准许排队，但又不准许队列无限长，即系统只准许有限个顾客排队。

3．服务机构：研究内容主要是服务台的数量和服务的规律。

服务台的数量C可以等于1和大于1两种类型。

对于大于1的情况，服务台的排列方式可以是平行并列或是依次串列，顾客的队列形式可以是单队或并列多队。

服务规律是指服务台对顾客服务时间的分布，与顾客到达时间的分布一样，服务时间的分布也可以是确定的。

一般情况下，顾客到达的时间间隔是不确定的，从而在一定时间内到达的顾客数目也是一个随机变量；另一方面．顾客接受服务的时间总是不确定的，从而造成队列的长短也是随机的。

顾客到达的模式一般用泊松分布来描述，即在固定的时间内到达系统的顾客数目服从泊松分布。

这个模式的特点：(1)在一定时间间隔内到达顾客的数目仅与时间间隔的长短有关，而与这段时间间隔的起始时刻无关。

(2)在某个时间间隔内到达的顾客数目，与在此之前到达的顾客数目无关．也不影响在此之后顾客的到达。

(3)不存在两个或两个以上顾客同时达到的情况。

(4)若在一定时间内到达系统的顾客数目x服从参数为A的泊松分布，则相邻到达的两个顾客之问的到达时间间隔T服从参数为入的指数分布。

T2-大型超市的最佳收银策略问题九院一大队十队叶少华杨光欣梅钊队号97222009年5月8日星期五大型超市的最佳收银策略问题摘要基于对题意的理解，我们建立了M/M/C排队论模型。

确立了综合效益为衡量策略好坏的标准，它主要由收银效率（平均队长）和顾客体验（平均相对等待时间）组成。

对于四种方案，我们比较了他们综合效益的大小，得出方案优劣的比较方法。

与传统排队论问题所不同的是，本问题考虑了相对等待时间，且服务通道数目为定值。

对于方案一，根据传统排队论模型，我们求出了平均对长，平均绝对等待时间。

购买商品数量服从负指数分布，观察统计得到期望值，则平均绝对等待时间与购买商品数期望值之比即得到相对等待时间。

由平均对长，平均相对等待时间最终得到综合效益。

对于方案二，分别求出刷卡和现金支付的综合效益，按人数比例分配求期望得到了最终效益。

由于两种方式分布的参数都发生变化，最终结果应该该比方案一优。

对于方案三，分别求快速通道和普通通道的综合效益，按各自人数期望比例分配求期望得到了最终效益。

由于两种方式分布的参数都发生变化，且两部分人数期望不同，最终求得结果应该比方案一优。

我们根据前三个方案，给出了一个更优的综合方案：现金支付5件以上通道，现金支付5件以下通道，刷卡支付通道三种通道。

开设通道数目之比为按观察的到的各自人数比确定。

由于缺乏数据，我们未能对模型求解，但已建立了评价准，不同商家可根据自己超市统计得到数据，代入我们给出的式子中，找出适合自己的方案。

关键词M/M/C排队论模型综合效益收银效率顾客体验平均绝对长商品数期望平均相对等待时间负指数分布一、问题重述与分析一、问题重述诸如沃尔玛、家乐福之类的大型超市在客流高峰时，即使所有的收银通道全开，等待付费的顾客仍然排起了长队。

长时间的等待，影看响了顾客的购物体验，进而有可能影响到客流量和营业额。

超市经理希望能够提高收银效率，改善顾客购物体验，从而达到稳定客源，增加营业额的目的。

超市收费排队系统的性能比较及其进一步优化摘要：详细统计了超市顾客的到达速率和顾客能接受的最大排队队长及最长等待时间，并了解了超市针对时间市场竞争采取的排队规定和措施，利用排队论的有关知识分析超市收银系统的特点，建立超市收银系统的数学模型，通过求解数学模型，得到模型的最优解决方案，最后针对超市收银系统的不足，对超市收银系统进行了改进。

关键词:收费排队系统；M/M/C/∞/FCFS ；排队系统；平均对长；平均等待时间 正文：在超市营销系统中有一个很重要的直接影响超市营销售量的因素是超市内收费排队系统的合理性问题。

具体而言就是超市如何设置收银员的数目，这个文图实际上是一个最优化问题，可以把顾客的等待费用和超设置收银员所花费的费用之和作为目标函数，把顾客可接受的最长等待队列和最长等待时间以及超市的盈利大于消耗等作为约束函数来实现目标函数的最优化。

但在超市收银台数目的实际设置过程中根本没那么复杂，超市的管理部门经理在对超市收银台的数目进行安排时，考虑的仅是由超市方对大量顾客做的调查统计数据的结果。

本文通过对南京市某大型超市的数据调查，利用排队论的有关知识对系统提出了优化，所得结果满足超市的上述规定，并且比拆散原排队系统更节约成本，更符合顾客的需求，达到了双赢的目的。

1 系统模型的建立及分析大型超市的收银服务系统是一个随机服务系统，当系统运行较长时间达到稳态后，系统的情况按实际情况总结如下：(1)顾客的到达时间符合非时间齐次泊松过程（Nonhomogeneous Poisson Process ），达到速率λ（t ）。

顾客在不同时间段的到达速率不同，但在某一时间段内到达速率是固定的，即在某一时间段内顾客的达到时间服从参数为λ的泊松过程。

(2)系统有c 个平行的收银员，每个收银员的服务时间是一个随机变量，服从参数为μ的负指数分布。

(3)系统中如果顾客数大于收银员数，则不会有空闲的收银员，进入系统的顾客可随时改变其队列。

2.1 输入过程 输入过程的假设主要是对顾客到达超市收银服务系统的假设，首
先，在上节的系统特征描述中已经了解，顾客源是无限的。 其次，对于 顾客的到达规律，特征描述中也了解到顾客的到达是随机的，并且是 相互独立的，除此之外常识可以得出以下特点，任何时间段到达的顾 客数与到达时刻无关，而只与时间段有关；两个顾客在同一时刻到达 的概率几乎为 0。 经过以上分析，可以假设超市收银服务系统的输入 过程是一个泊松过程，并且假设单位时间内到达系统的顾客数满足参 数为 λ 的泊松分布。 2.2 排队规则
（2）另 外 还 可 以 看 出 某 些 时 段 的 超 市 收 银 服 务 系 统 的 服 务 强 度 过 低，比如，上午的 9~10，服务强度 ρ 只有 0.5843，这 与 实 际 情 况 非 常 符 合，在早上刚上班的时候，顾客人数比较少，而开设的收银台数就相对 过多，因此会出现好多收银员无事可做的情况，在具体的调研阶段也 看到收银员在这一时间段甚至出现聊天说笑的情况，这就造成企业资 源的浪费，这种情况同样应该改善。
经过上面三方面的假设，结合有关排队论的基础知识，所研究的 超市收银服务系统是一个典型 M/M/C/∞/∞ 的排队系统。
3 模型建立
下面对模型中用到的所有变量罗列如下：
λ： 顾 客 到 达 率 ；μ： 服 务 员 的 服 务 率 ；C： 服 务 台 数 ；ρ： 服 务 强 度 ；
ρmax：服 务 员 能 忍 受 的 最 大 服 务 强 度 ；Ws max：顾 客 能 忍 受 的 最 长 逗 留 时
0.8441 15.7618 2.2559 1.6108 0.2305
8
0.8847 12.1501 5.0722 2.3694 0.9891
时间段 9~10 10~11 11~12 12~13 13~14

超市收银台最优数量的设置第34 卷第2 期数学理论与应⽤V o l． 34 N o． 2 2014 年6 ⽉MA T H EMA T I C A L THEOＲY AND A PP L I C A T I O N S J un． 2014超市收银台最优数量的设置李⾦慧袁欣桐胡玥李梅刘晨辉郭云飞( 延边⼤学理学院数学系，延吉，133002)摘要本⽂运⽤排队论理论对超市多个M /M /1 /∞/∞的排队系统进⾏研究，将 M /M/s/∞/∞与多个M / M /1 /∞/∞进⾏对⽐，然后通过对结果进⾏对⽐分析、参赛的灵敏度分析，确定出收银台的最佳数量．关键词排队论多个M /M /1 M /M/s收银台The B e s t Amount of C as h i e r Desks in S up e r m ar k e t sLi J i nhui Yuan X i nt ong Hu Y ue Li M ei Liu C henhui Guo Y unf ei( M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t，C o ll e g e of s c i e n ce，Y a n b i a n U n i v e r s i t y，Y a n j i 133002，C h i n a) A b s t r ac t In t h i s paper the mu l t i p l e M /M/1 /∞/∞q u e u i n g systems in supermarkets are a n a l y s e d w i t h the q u e u i n g theory and compared w i t h the M /M/s/∞/∞q u e u i n g s y s t e m s．Upon the a n a l y s i s the best amount of c a s h i e r desks i s then d e t e r m i n e d by f i n d i n g out the parameters of the q u e u i n g s y s t e m s，co m p a r i n g the r e s u l t s and m a k i n g s e n s i t i v i t y a-n a l y s i s on the p a r a m e t e r s．K e y w o r d s Q u e u i n g theory M u l t i p l e M /M /1 M /M/s Ca s h i e r desk1引⾔排队论是研究系统由于随机因素的⼲扰⽽出现排队或拥塞现象的规律性的⼀门学科．凡事具有公共服务性质的事业，就会出现拥挤现象，此为排队论的⽤武之地，利⽤排队论知识，⼈们便可以找出其中规律，从⽽对此进⾏科学化管理．⼆⼗世纪初，丹麦⼯程师爱尔朗(E r l ang)⽤概率论⽅法研究了电话通话问题，从⽽开创了排队论这门学科［1］．张建航等⽤蒙特卡罗模拟的⽅法初步解决了排队理论M / M /1 模型［2］宋振峰等研究了M /M /s 模型的仿真⽅法［3］．以往的论⽂都将超市服务模型看成M /M /s，即多服务台单队列模型，这是不符合实际的，⽽本⽂将其看成实际中的多服务台多队列，即多个M /M /1 的超市服务模型，区别于以往的多服务台单队列(M /M /s)模型，并将它们对⽐分析．通过对某⼤型超市的实地调查，并调查顾客收稿⽇期:2014 年5 ⽉9 ⽇超市收银台最优数量的设置125的可接受等待时间，从⽽确定出了其收银台的最佳数量．M / M / s / ∞ / ∞ 和 s 个 M / M /1 / ∞ / ∞ 的对⽐2 例［4］某售票处有三个窗⼝，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为λ = 0． 9 ⼈ / m i n ; 服务( 售票) 时间服从负指数分布，平均服务率 µ = 0． 4 ⼈ / m i n ．现设顾客到达后排成⼀个队列，λ⼀次向空闲的窗⼝购票，这⼀排队系统可看成是⼀个 M / M / s / ∞ 系统，其中 s = 3，ρ = = 2． µ λ 25，ρs = = 0． 75． s µ在本例中，如果顾客的排队⽅式变为到达售票处后可到任意窗⼝前排队，且⼊队后不再换队，即可形成三个队列．这时，原来的 M / M /3 / ∞ 系统实际上变成了由三个 M / M /1 / ∞ ⼦系统组成的排队系统，且每个系统的平均到达率为: = λ3 = 0． 3 ( ⼈1 项⽬ M / M /3 3 个 M / M /1 空闲概率 P 0 顾客必须等待的概率平均队长 L 平均排队长 L q 平均逗留时间 W 平均等待时间 W q0． 25( 每个⼦系统)0． 75 9( 整个系统) 2． 25( 每个⼦系统)10( m i n ) 7． 5( m i n )0． 0748 0． 57 3． 95 1． 7 4． 39( m i n ) 1． 89( m i n )M / M /3 / ∞ 的情况在［4］中已经给出了详细的解答，我们需要的是三个 M / M /1 / ∞ 的算法，这对下⾯的收银台数⽬的确定帮助很⼤．根据排队理论可得各参数的计算公式如下:( 1) 售票处空闲的概率λ 2 ． 25 P 0 = 1 －s µ = 1 － = 0． 25． 3( 2) 每个⼦系统平均排队长2( λ )sλ2 = 2． 25( ⼈) ． L q== µ ( µ －λ ) s ( s µ －λµ) 2s( 3) 每个⼦系统的平均队长2 ． 25 λ= 3( ⼈) ; L = L q +s µ= 2． 25 +3 整个系统的平均队长L ' = sL = 3 × 3 = 9( ⼈) ．126数学理论与应⽤( 4) 每个顾客平均的等待时间λs0 ． 9λ = 7． 5( m i n ) ． W q =2 3 × 0． 16 － 0． 4 × 0． 9s µ － µλ s( 5) 每个顾客的平均逗留时间L Ls = 3 × 3 = 10( m i n ) ． W ==λλ0． 9 s( 6) 每个顾客到达时必须排队等待的概率λλp 0 c ( 1，λ )= s µ0． 9 × 0． 25 p = = = 0． 75． 1! ( 1 －λ )s µ －λ 3 × 0． 4 － 0． 9 s µ s µ不难看出，⼀个 M / M /3 / ∞ 系统⽐三个 M / M /1 / ∞ 系统组成的排队系统具有显著的优越性，尽管单队排队⽅式⽐多队排队⽅式要优越，但⽬前超市多采⽤多队排队⽅式( 多个 M / M / 1 / ∞ ) ，因为⼀个 M / M /3 / ∞ 系统难以实现．超市收银台数⽬的确定3 1．基本假设设某超市排队系统运⾏较长时间达到稳态，进⼊系统的顾客可随时改变其队列，顾客的到达时间间隔和收银台服务时间均服从负指数分布，即该超市排队系统是多个 M / M /1 / ∞ / ∞ 的排队系统．2．实验数据经对该超市的调查，得λ = 4． 91( ⼈ / m i n ) ，µ = 0． 87( ⼈ / m i n ) ．计算后，可得下表:表2 平均等待时间 W q ( 分钟)平均排队长 L q ( ⼈)收银台数量 S ( 个)空闲的概率 P 0顾客必须等待的概率 P6 7 8 91018． 21 4． 78 2． 75 1． 93 1． 4914． 9 3． 35 1． 69 1． 05 0． 730． 18 0． 3 0． 39 0． 45 0． 512． 85 1． 24 0． 93 0． 76 0． 66由表可知，s = 7 时各因素变化最⼤，s 由 6 个变为 7 个时，对顾客利处⼤．同时也发现 s = 6，s = 7 时，P ＞ 1，原因是此时收银台数⽬较少，顾客⼏乎必须等待．因为可接受的平均排队长不好调查，⽽可接受的等待时间可调查为 6 分钟，所以把平图1 平均等待时间与收银台数量的关系由图1 可知收银台个数由6 个变为7 个时，平均等待时间下降最快，降为4． 78m i n ＜6m i n，根据可接受的等待时间，7 个已经满⾜，所以选7 个收银台较好．灵敏度分析4(1)参数λ的灵敏度分析:λ变化，µ表3= 0． 87(⼈/m i n)固定．λ的灵敏度分析Sλ 6 7 8 W q4． 89 4． 895 4． 9 4． 905 4． 91 4． 915 4． 92 4． 925 4． 93 4． 935 4． 94 S^217． 0317． 3117． 617． 918． 2118． 5218． 8519． 1919． 5419． 920． 281． 15774． 684． 714． 734． 764． 784． 814． 834． 864． 894． 914． 940． 00732． 762． 772． 782． 792． 82． 810． 001由表可知，收银台由6 个变为7 个时，λ的灵敏度变化较⼤．s 化很⼩时W q 变化也很⼩．所以7 个较好．= 7 时，s^2 很⼩;s = 7，λ变128 数学理论与应⽤(2)µ的灵敏度分析:µ变化，λ = 4． 91(⼈/m i n)固定．表4 µ的灵敏度分析SW q 6 7 8 µ0． 85 0． 855 0． 86 0． 865 0． 87 0． 875 0． 88 0． 885 0． 89 0． 895 0． 9 S^230． 426． 122． 8420． 2718． 2116． 515． 0813． 8712． 8311． 9311． 1338． 64745． 555． 345． 144． 184． 053． 920． 28963． 062． 982． 92． 822． 752． 682． 622． 562． 52． 442． 380． 0501由表可知，收银台由6 个变为7 个时，µ的灵敏度变化较⼤．s化很⼩时W q 变化也很⼩．所以7 个较好．= 7 时，s^2 很⼩;s = 7，λ变因此，分析表1 和表2 可得，对λ，µ进⾏少量变化，则最佳服务台数量不变，且⽅差较⼩，可知λ，µ不灵敏．这样实验数据⽐较可靠，从⽽确定出了最佳收银台数量为7 个．结论5应⽤排队论，对排队系统进⾏模拟分析，能够对超市排队情况进⾏预见估计，根据客流量情况来动态控制收银台数⽬，从⽽帮助超市有效的利⽤资源，节约成本，提⾼顾客的满意度．本⽂对超市收银台数⽬是否满⾜顾客需求做了模拟仿真，从⽽给出该时段准确的收银台需求量，协助超市根据客流量实际情况来合理部署，开放7 个收银台，为顾客提供优质的服务．参考⽂献［1］Agner Krarup E r l a n g．”T h e Theory of P r o b a b ili t i e s and T e l e p h o n e C o n v e r s a t i o n s”，1909．［2］张建航，李宗成，宋晓峰．服务员队列模型及其蒙特卡罗模拟［J］．现在电⼦技术，2006．［3］宋振峰，席志红，刘飞．关于M a t l a b的M /M/s排队模型的仿真［J］．现在电⼦技术，2005．［4］胡运权．运筹学教程［M］． 2003．。

超市排队的模拟
作者：范方兵 指导教师：黄海洋
问题提出：
◆ 超级市场有五个收款台，每个顾客的货款 计算时间与顾客所购的商品数成正比（每件 1秒钟），20%的顾客用支票或信用卡支付， 每人需要1.5分钟；现金则仅需要0.5分钟。有 人提议设一个快速通道专为购买15件或15件 以下的顾客服务，并指定两个收款台为现金 支付柜台。试建模比较现有的收款方式和建 议的方式运行效果。假设顾客到达的平均间 隔是0.5分钟。顾客购买的商品数服从均值为 30，方差为150的正态分布。 ◆ 问题来源于 刘来福 曾文艺《数学模型与 数学建模》北京师范大学出版社 中关于仿 真的题目。（部分数据有所改动）
现金窗口2现金窗口1快速通道convert子系统number子系统快速通道服务时间现金窗口建议的设置方案主要模块介绍仿真结果对于每个收款台除了在第一个顾客到来之前有空闲时间外当第一个顾客到来后到最后一个顾客服务完其空闲时间均为0对于100位顾客各收款台接待的顾客数平均为31842889282每个顾客平均等待时间为839分钟顾客到来时间和离开时间的平均值为单位
结果分析
◆虽然增加了一个快速服务通道，并且也指定了现金 收款台，但是对于每个收款台，除了在第一个顾客到 来，之前有空闲时间外，当第一个顾客到来后到最后 一个顾客服务完，其空闲时间均为0。这说明相对于收 款台的工作效率来看，顾客数量还是相当庞大的，增 加的快速通道，指定的现金收款台对收款员的服务时 间影响不大。 ◆按现有的收款方式，各收款台接待的顾客数分别为 19.6，21，19.8，19.4，20.2,分布比较均匀，这是因为 顾客选择哪个收款台是随即的；而按建议的收款方式， 各收款台接待的顾客数分别为31.8，42.8，8，9.2，8.2。 较多的顾客集中到第一和第二个收款台即现金收款台。 由数据可以看出，现金收款台接待的顾客所占的比重为 （31.8+42.8）/100≈74%，与实际大致相符。

超市员工分时段排班模型2010-08-18 12:29摘要：本文阐述的超市员工分时段排班模型借鉴了公交车调度模型，通过对超市人流量的分析将超市的营业时间平均分为几个时间段，然后根据每个时段的顾客需要的服务时长确定各时段需要的服务人员数量，再根据每名服务员需要提供服务的时段数量确定每个时段开始工作的服务员的数量。

以排班效率为检验标准来构建该排班模型的评价体系。

关键词：超市分时段排班效率公平数学模型随着外资零售巨头与国内超市竞争的日趋激烈，合理的分配人力资源，科学的排班，使员工满意度提高是企业要迫切关注和解决的问题。

我国本土超市在人员安排管理上还存在很大问题。

模型建立与求解4.1导购员排班模型在3.2中我们算出了总的服务需求时长B，用B除以超市的导购员总数，又因为为每个员工一天工作4个时段，再除以4即为每名导购每个时段需要提供的服务时长，设为c,然后用每个时间段所需要的服务时长除以c即为该时段需要的导购员数量。

假设从每一个时段开始时开始工作的员工数为：X1、X2、X3、X4，并设每名导购每个时段提供的单位服务时长为a，a=n*b，n∈Z。

则：Min:aX1≥1875b/aX1+X2≥2970b/aX1+X2+X3≥2319b/aX1+X2+X3+X4≥3693b/aX2+X3+X4≥3801b/aX3+X4≥2700b/aX4≥1632b/aX1+X2+X3+X4≤2002004a≥18996b计算解得 a=24b，X1= 79b，X2=42b，X3=0b，X4=68b。

这样导购排班问题就解决了,然后根据每个时段顾客的需求即顾客购买对象的不同，安排具体员工。

但是周末的也根据这一模型计算，但是每个时段的数据不同并且a值越小员工满意度越高。

4.2收银员排班模型并不是每一位顾客都会购买商品，但是每一位顾客都需要导购员服务，而对于没有购物的顾客显然不需要收银员的服务，并且不同年龄的顾客需要的服务时间也不尽相同，所以收银员的安排不能简单按照顾客流量安排。

排队论在超市收银台管理与优化设计中的应用摘要：排队论又称随机服务系统，本文介绍了排队论中处理超市收银服务的根本理论，并在此根底上应用M/M/c/∝/∝排队模型对宣威的某一便民超市排队现象进展研究。

通过收集、整理超市收银系统工作日和周末的承受收银服务的数据，根据排队论的相关理论建立模型，研究了该超市收银台的最优收费柜台数目。

关键词：排队论；M/M/c/∝/∝模型；超市；收银台；优化1 引言随着市场经济的开展，超市在中国城乡各地大量涌现，超市这一零售业已越来越受人们的欢迎。

在激烈的市场竞争中，如何提高经济效益，吸收更多的顾客是超市经营商最关心的问题。

而收银台的排队系统是超市和顾客接触的平台，排队系统的服务质量将影响到超市整个运营的水平和绩效，利用排队论优化超市收银台，为顾客提供最优服务将是超市竞争的必然选择。

收银员的形象、服务态度、职业技能固然重要，而超市收银台的管理与优化也不容无视。

收银台前排队成龙的超市显然不是人们希望购物的环境，多数人宁愿放弃或稍远一点去购物，也不愿在拥挤中排队等待。

特别是一些成功人士，宁愿多花一点钱也不愿排队，对他们来说时间就是金钱。

由于顾客的到达是随机的，假如开放的服务窗口过少，排队现象就会严重，影响服务质量造成顾客流失；但如果超市开放的收银台过多，虽然可以减少顾客等待时间，却意味着超市增加投资，有时还可能发生资源空闲浪费的现象。

因此，如何根据客流量动态的、合理的开放收银台数目，缩短顾客等待时间，同时降低超市经营本钱，提高效益，显得尤为重要。

超市最初于20世纪30年代以不提供服务的廉价零售店在美国建立，之后成为美国主要食品市场通道，50年代传播到欧洲，超市的开展是兴旺国家降低本钱，简化销售方式趋势的一局部。

20世纪60年代超市在欧洲和拉丁美洲的开展中国家出现，主要受中、上层阶级欢迎，顾客以自助式的购置方式挑选商品。

随着超市行业的迅速开展，对超市收银服务系统的研究已经受到人们的关注。

收银维度工作MAF安排
一、科学推算收银员人数。

收银员的人数不是凭感觉和经验来判断的，而是与销售额、客单价、客流量、营业时长有着密不可分的数字联系。

假设超市的营业额每天为10万元，客单价为40元，按照平均收款处理每单1.5分钟计算以下数据：
1、每款台每小时的收银40单（60，1.5）；
2、每台每天收银22400元（560，40）；
3、按照满负荷工作，共需要收银台5个（100000，22400）；
4、假设每台工作时间为13小时，则至少需要总工时13，5=45小时，才能满足日销10万的任务；
5、按照每个收银员每天工作6小时计算，每天共需45，6=8人，考虑休班倒班因素，可调整为12人。

二、推算收款台数。

每日的销售要考虑销售高峰的问题，不能平均计算，因为销售高峰决定了款台的最高使用量。

假设下午4点6点的销售额最高，为约3万元，则：
1、每小时的销售额为15000元，每个款台每小时收银1600元；
2、高峰期的开台数量为9个。

再考虑晚6点—7点为全天销售最高峰，需要18000，1600=11台（至少）。

依此，也可以推断出销售低峰时间段的开台数。

三、根据用工方式再更加合理的计算。

假设每天的销售峰值为：
8:00-10:30：高峰；10:30-16:30：低峰；
16:30-21:00：高峰；21:00-22:00：低峰。

那么，每个时间段开台工时=每个时间段的小时数*每个时间段的开台数，从而可以计算出一天总的开台工时，再根据步骤一的计算方式，就可以得出每天需要的收银员数量。

这样，就综合考虑了，销售峰值的问题，得出的收银人数更为科学、合理。