考研辅导讲义_07

第七章常微分方程0 / 93第一节基本概念微分方程:含有未知函数、未知函数的导函数与自变量之间关系的方程阶:未知函数导函数的最高阶数称为该微分方程的阶1 / 932 / 93 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程n 阶方程的一般形式为()(,,,,)0n F x y y y '= ①标准形式为()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=②3 / 93解：若函数()y x ϕ=代入①或②，使之成为恒等式，则称函数()y x ϕ=为微分方程①或②的解通解：如果解的表达式含有个数与方程阶数相等．．．．．．．．．．．．．．．．的独立常数．．．．．，则称其为通解或一般解4 / 93特解：如果解的表达式中不含有独立常数，则称其为特解初始条件：可以确定通解中任意常数的条件称为定解条件。

最常见的定解条件是初始条件。

n 阶方程①或②的初始条件一般为000(1)011,,n x x x x x x n y k y k y k -===-'===，其中0x ，0k ，1k ，……，1n k -是事先给定的。

5 / 93初值问题：n 阶方程和它的初始条件组成一个定解问题：()(1)000101(,,,,)0(),(),,()n n n F x y y y y x y y x y y x y --'⎧=⎪⎨'===⎪⎩称为n 阶微分方程的初值问题。

6 / 93第二节 一阶微分方程的解法一、变量可分离方程 形式：()().d d yg x f y x =解法：两边同除以()f y ，将变量分离，再求积分()()dyg x dx f y =⎰⎰7 / 93【例1】（94二）微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为 .【答案】4(4)x y Cx -=（C 为任意常数）8 / 93【例2】（06一二）微分方程(1)y x y x -'=的通解是 .【答案】x y Cxe -=（C 为任意常数）.9 / 93 二、齐次微分方程 形式：.y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭d d 解法：令y u x=，则y ux =， y u xu ''=+或dy du u x dx dx=+ ()du u x f u dx +=⇒()du dx u f u x=-（变量可分离方程）10 / 93【例3】（93一）求微分方程22x y xy y '+=满足初始条件(1)1y =的特解.【答案】22y x Cx y -=【例4】（87二）求微分方程dyx x y dx=-满足条件0y=的特解【答案】12xyx=-11 / 9312 / 93三、一阶线性微分方程 形式：()()y p x y q x '+=通解公式：()()()d d e e d p x x p x x y q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰，其中C 是任意常数， 不定积分只选一个原函数。

正保远程教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司(NYSE:DL)考研教育网考研人的网上家园考研政治辅导《政治习题精讲班》第四章讲义07政治习题精讲班第四章人类社会及其发展规律11.下列事物中，属于历史唯物主义“社会存在”范畴的有（）（2001年文科多选题第17题）A.人们的物质生产实践活动B.人们实践活动中所利用的自然资源C.人们在实践活动中所形成的各种社会关系D.人们实践活动所创造的生产力E.规范人们实践活动的法律制度[答疑编号2002040223]『正确答案』ABD『答案解析』本题考点：历史唯物主义的社会存在范畴。

马克思和恩格斯在创立自己的哲学的时候指出：“意识在任何时候都只能是被意识到了的存在，而人们的存在就是他们的现实生活过程。

”又说：“不是从观念出发来解释实践，而是从实践出发解释观念的形成。

”社会存在和社会意识是相对应的哲学范畴。

社会存在是社会生活的物质方面，包括人们的物质实践活动及社会物质生活条件，其中包括人类赖以生存的地理环境、人口和物质资料生产方式（生产力和生产关系的统一）。

社会意识是社会生活的精神方面，是社会全部精神现象的总和，包括各种社会意识形式和社会心理现象。

马克思主义哲学认为，社会存在决定社会意识，社会意识是社会存在的反映。

显然，选项A、B、D属于社会存在的范畴，是正确选项。

选项C把“各种社会关系”都列入社会存在中，扩大了社会存在范畴的外延；人们的社会关系包括生产关系、政治关系、思想关系及其他关系，其中生产关系体现人们的物质利益关系，固然属于社会存在范畴，政治关系、思想关系则是社会存在的反映，属于社会意识范畴。

至于E项中讲的法律制度，属于社会的政治上层建筑，它是在一定经济基础（生产关系）之上建立起来的，由经济基础决定，是经济基础的反映，它体现统治阶级的意志和一定的法律思想，同样不属于社会存在的范畴。

12.历史经验表明经济危机往往孕育着新的科技革命，1857年世界经济危机引发了电气革命，推动人类社会从蒸汽时代进入电气时代。

I. Use of English (Cloze) Television is different from other media in some important ways. The television set is 1 in the average American home more than six and a half hours a day. Children are born into a new symbolic environment and grow up 2 thousands of stories told by television each year. There is no longer any need to go 3 of the home—to church, to school—or to learn to read in order to encounter the broader culture. The ritualistic 4 of the activity and the quantity of time children and adolescents spend watching television makes it a historically unprecedented phenomenon. We assume that there might be 5 unprecedented consequences. Some claim that television has created a brighter, more 6 generation, with greater knowledge of the people and the cultures of the world. Some 7 television can stimulate reading, increase vocabulary, expand general knowledge, and help 8 critical faculties. Many who view the medium’s effects as 9 tend to be far more vocal, outspoken, and adamant（坚定不移的） about their position. To support their case, they are likely to 10 research studies or reports of those studies, which often exaggerate or sensationalize the data. Some of these critics point to 11 social developments, such as the steady decline in school performance and the 12 of millions of functionally illiterate adults. Critics note that the longer we live with television, the 13 these situations become. Similarly, veteran teachers complain about pupils with short attention spans, 14 frames of reference seem entirely determined by television. There is no potential source of these ills as easy to 15 for the blame as television. (267 words) 1. A. nearby B. open C. up D. on 2. A. watching B. digesting C. absorbing D. hearing 3. A. outdoor B. exterior C. outside D. external 4. A. essence B. nature C. character D. feature 5. A. fairly B. equally C. similarly D. evenly 6. A. aware B. awake C. conscious D. knowing 7. A. debate B. indicate C. quarrel D. argue 8. A. learn B. progress C. develop D. acquire 9. A. different B. opposing C. contrary D. negative 10. A. quote B. take C. cite D. extract 11. A. frightening B. bothering C. changing D. troubling 12. A. existence B. exertion C. expansion D. endurance 13. A. better B. worse C. more serious D. weaker 14. A. which B. whose C. whom D. of which 15. A. target B. aim C. look D. findII. 选择搭配题 Directions: You are going to read a text about the tips on resume writing, followed by a list of examples. Choose the best example from the list A—F for each numbered subheading (41—45). There is one extra example which you do not need to use. Mark your answers on ANSWER SHEET 1. (10 points) The main purpose of a resume is to convince an employer to grant you an interview. There are two kinds. One is the familiar“tombstone”that lists where you went to school and where you’ve worked in chronological order. The other is what I call the“functional”resume — descriptive, fun to read, unique to you and much more likely to land you an interview. It’s handy to have a“tombstone”for certain occasions. But prospective employers throw away most of those unrequested“tombstone”lists, preferring to interview the quick rather than the dead. What follows are tips on writing a functional resume that will get read — a resume that makes you come alive and look interesting to employers. 41. Put yourself first: In order to write a resume others will read with enthusiasm, you have to feel important about yourself. 42. Sell what you can do, not who you are: Practice translating your personality traits, character, accomplishments and achievements into skill areas. There are at least five thousand skill areas in the world of work. Toot your own horn! Many people clutch when asked to think about their abilities. Some think they have none at all! But everyone does, and one of yours may just be the ticket an employer would be glad to punch — if only you show it. 43. Be specific, be concrete, and be brief! Remember that “brevity is the best policy.” 44. Turn bad news into good: Everybody has had disappointments in work. If you have to mention yours, look for the positive side. 45. Never apologize: If you’re returning to the work force after fifteen years as a parent, simply write a short paragraph (summary of background) in place of a chronology of experience. Don’t apologize for working at being a mother; it’s the hardest job of a11. If you have no special training or higher education, just don’t mention education. The secret is to think about the self before you start writing about yourself. Take four or five hours off, not necessarily consecutive, and simply write down every accomplishment in your life, on or off the job, that made you feel effective. Don’t worry at first about what it all means. Study the list and try to spot patterns. As you study your list, you will come closer to the meaning: identifying your marketable skills. Once you discover patterns, give names to your cluster of accomplishments (leadership skills, budget management skills, child development skills etc.) Try to list at least three accomplishments under the same skills heading. Now start writing your resume as if you mattered. It may take four drafts or more, and several weeks, before you’re ready to show it to a stranger (friends are usually too kind) for a reaction. When you’re satisfied, send it to a printer; a printed resume is far superior to photocopies. It shows an employer that you regard job hunting as serious work, worth doing right. Isn’t that the kind of person you’d want working for you? [A] A woman who lost her job as a teacher’s aide due to a cutback in government funding wrote: “Principal of elementary school cited me as the only teacher’s aide she would rehire if government funds became available.” [B] One resume I received included the following: “invited by my superior to straighten out our organization’s accounts receivable. Set up orderly repayment schedule, reconciled accounts weekly, and improved cash flow 100 per cent. Rewarded with raise and promotion.” Notice how this woman focuses on results, specifies how she accomplished them, and mentions her reward -- all in 34 words. [C] For example, if you have a flair for saving, managing and investing money, you have money management skills. [D] An acquaintance complained of being biased when losing an opportunity due to the statement “Ready to learn though not so well educated.” [E] One of my former colleagues, for example, wrote three resumes in three different styles in order to find out which was more preferred. The result is, of course, the one that highlights skills and education background. [F] A woman once told me about a cash-flow crisis her employer had faced. She’d agreed to work without pay for three months until business improved. Her reward was her back pay plus a 20 percent bonus. I asked why that marvelous story wasn’t in her resume. She answered, “It wasn’t important.” What she was really saying of course was “I’m not important.” Directions: You are going to read a text about For better or Worse but Not for Lunch l, followed by a list of statements. Choose the best statement from the list A-F for each numbered subheading (41-45). There is one extra statement which you do not need to use. Mark your answers on ANSWER SHEET 1. (10 points) “For better or worse but not for lunch” is not a laughing matter for our friend Sue. “When Elliot retired, he spent the first week reorganizing my kitchen and putting all my canned goods and spices in alphabetical order,” Sue said. “This wasn’t the kind of togetherness I wanted!” One challenge of retirement is managing all that extra time together. If you have just retired—or are contemplating retirement—here are some tips to start out right. (41) Make a plan. (42) Talk it out. (43) Balance times together and times apart. (44) Learn to wo r k t o g e t h e r a n d s h a r e r e s p o n s i b i l i t y . / p > p b d s f i d = " 1 3 1 " > 0 0 ( 4 5 ) S e r v e o t he r s . / p > p b d sf i d = " 1 3 2 " > 0 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ / p > p b d s f i d = " 1 3 3 " > 0 0 [ A ] T o o m u c h t og e th e r n e s s c a n b e t o o m u c h . Y o u n e e d s o m e p e r s o n a l s p a c e . B u t y o u a l s o n e e d t o r e c o n n e c t . / p > p b d s fi d = " 1 3 4 " > 0 0 [ B ] S h a r e y o u r e x p e c t a t i o n s w i t h e a c h o t h e r . L e t g o o f u n r e a l i s t i c e x p e c t a t i o n s a n d a c c e p t e a c h o t h e r a s a p a c k a g e d d e a l . I f y o u k e e p t h e c o m m u n i c a t i o n l i n e s o p e n a n d p o s i t i v e , y o u c a n f o s t e r a l o v i n g s p i r i t o f c o o p e r a t i o n . / p > p b d s f i d = " 1 3 5 " > 0 0 [ C ] D i v i d e u p t h e w o r k s o y o u a r e b o t h c o n t r i b u t i n g . F o r i n s t a n c e , a t t h e A r p s . D a v e d o e s t h e d i s h e s a n d i s a f f e c t i o n a t e l y c a l l e d t h e k i t c h e n e l f . I n t h e m o r n i n g , C l a u d i a g e t s u p a n d h a s a h o t p o t o f c o f f e e r e a d y f o r D a v e , w h o i s n t t h e m o r n i n g p e r s o n . / p > p b d s f i d = " 1 3 6 " > 0 0 [ D ] R e a l i z e t h a t c h a n g e i s c o m i n g a n d g r e e t i t w i t h a s p i r i t o f a d v e n t u r e . B e w i l l i n g t o t r y n e w t h i n g s . / p > p b d s f i d = " 1 3 7 " > 0 0 [ E ] I t s t i m e t o c e l e b r a t e ! A n y t h i n g g o e s , f r o m d i n n e r a t y o u r f a v o r i t e r e s t a u r a n t t o c l i m b i n g a m o u n t a i n t o g e t h e r o r t a k i n g a c r u i s e . / p > p b d s f i d = " 1 3 8 " > 0 0 [ F ] R e t i r e m e n t o f f e r s y o u t h e o p p o r t u n i t y t o m a k e a d i f f e r e n c e i n y o u r w o r l d b y s e r v i n g o t h e r s . C o n s i d e r v o l u n t e e r i n g a t y o u r c h u r c h o r l o c a l m i n i s t r y , o r b e c o m i n g m a r r i a g e m e n t o r s f o r y o u n g e r c o u p l e s . b r b d s f i d = " 1 3 9 " > I I I . E n g l i s h - C h i n e s e T r a n s l a t i o n / p > p b d s f i d = " 1 4 0 " > 0 0 I n t h e t w o d e c a d e s b e t w e e n 1 9 2 9 a n d 1 9 4 9 , s c u l p t u r e i n t h e U n i t e d S t a t e s s u s t a i n e d w h a t w a s p r o b a b l y t h e g r e a t e s t e x p a n s i o n i n s h e e r t e c h n i q u e t o o c c u r i n m a n y c e n t u r i e s . T h e r e w a s , f i r s t o f a l l , t h e i n c o r p o r a t i o n o f w e l d i n g i n t o s c u l p t u r a l p r a c t i c e , w i t h t h e r e s u l t t h a t i t w a s p o s s i b l e t o f o r m a n e w k i n d o f m e t a l o bj e c t . 1 ) F o r s c u l p t o r s w o rk i n g w i t h m e t al , e a r l i e r r e s t r i c t e d t o t h e d e n s e s o l i d i t y o f t h e b r o n z e c a s t , i t w a s p o s s i b l e t o a d d a t y p e o f w o r k a s s em b l e d f r o m p a p e r - t h in m e t a l s h e e t so r s i n u o u s l y c u r v e d r o d s . S c u lp t u r e c o u l d t a k e t h e f o r m o f a l i n e a r , t w o - d i m e n s i o n a l f r a m e a n d s t i l l r e m a i n p h y s i c a l l y s e l f - s u p p o r t i n g . A l o n g w i t h t h e i n n o v a t i o n o f w e l d i n g c a m e a c o r r e l a t i v e d e p a r t u r e : f r e e s t a n d i n g s c u l p t u r e t h a t w a s s h o c k i n g l y f l a t . / p > p b d s f i d = " 1 4 1 " > 0 0 Y e t a n o t h e r t e c h n i c a l e x p a n s i o n o f t h e o p t i o n s f o r s c u l p t u r e a p p e a r e d i n t h e g u i s e o f m o t i o n . 2 ) T h e i n d i v i d u a l p a r t s o f a s c u l p t u r e w e r e n o l o n g e r u n d e r s t o o d a s n e c e s s a r i l y f i x e d i n r e l a t i o n t o o n e a n o t h e r , b u t c o u l d b e m a d e t o c h a n g e p o s i t i o n w i t h i n a w o r k c o n s t r u c t e d a s a m o v i n g o b j e c t ; m o t o r i z i n g t h e s c u l p t u r e w a s o n l y o n e o f m a n y p o s s i b i l i t i e s t a k e n u p i n t h e 1 9 3 0 s . O t h e r s t r a t e g i e s f o r g e t t i n g t h e w o r k t o m o v e i n v o l v e d s t r u c t u r i n g i t i n s u c h a w a y t h a t e x t e r n a l f o r c e s , l i k e a i r m o v e m e n t s o r t h e t o u c h o f a v i e w e r , c o u l d i n i t i a t e m o t i o n . 3 ) M o v e m e n t b r o u g h t w i t h i t a n e w a t t i t u d e t o w a r d s t h e i s s u e o f s c u l p t u r a l u n i t y : a w o r k m i g h t b e m a d e o f w i d e l y d i v e r s e a n d e v e n d i s c o r d a n t e l e m e n t s ; t h e i r f o r m a l u n i t y w o u l d b e a c h i e v e d t h r o u g h t h e a r c o f a p a r t i c u l a r m o t i o n c o m p l e t i n g i t s e l f t h r o u g h t i m e . / p > p b d s f i d = " 1 4 2 " > 0 0 L i k e t h e u s e o f w e l d i n g a n d m o v e m e n t , t h e t h i r d o f t h e s e m a j o r t e c h n i c a l e x p a n s i o n s t o d e v e l o p i n t h e 1 9 3 0 s a n d 1 9 4 0 s a d d r e s s e d t h e i s s u e s o f s c u l p t u r a l m a t e r i a l s a n d s c u l p t u r a l u n i t y . 4 ) B u t i t s m e d i u m f o r d o i n g s o w a s t h e f o u n d o b j e c t a n d i t e m n o t i n t e n d e d f o r u s e i n a p i e c e o f a r t w o r k , s u c h a s a n e w s p a p e r o r m e t a l p i p e . T o c r e a t e a s c u l p t u r e b y a s s e m b l i n g p a r t s t h a t h a d b e e n f a b r i c a t e d o r i g i n a l l y f o r aq u i t e d i f f er e n t c o n t e x t d i d n o t n e c es s a r i l y i n v o l v e a n e wt e c h n o l o g y . 5 ) Bu t i t d i d m e a n a c h a n g e i n s c u l p t u r a l p r a c t i c e , f o r i t r a i s e d t h e p o s s i b i l i t y t h a t m a k i n g s c u l p t u r e m i g h t i nv o l v e m o r e a c o n c e p t u a l s h i f t t h a n a p h y s i c a l t r a n s f o r m a t i o n o f t h e m a t e r i a l f r o mw h i c h i t i s c o m p o s e d . ( 3 7 7 w o r d s ) / p >。

正保远程教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司(NYSE:DL)考研教育网考研人的网上家园考研政治辅导《当代世界经济与政治》讲义07当代世界经济与政治五、综合国力竞争（2001年考查过）所谓综合国力，一般是指在一定历史时期内一个主权国家在政治、经济、军事、科技、教育、文化、资源等方面实力和影响力的总和，是主权国家生存和发展所拥有的全部实力及其国际影响力的合力。

综合国力，既包括物质实力和精神实力，也包括国家实力和国际影响力。

在国际关系研究领域，综合国力概念全面地反映国家的国情和实力，比较准确地反映国家强弱、兴衰的状况和发展趋势。

过去，大国之间也进行综合国力的较量，其中军事力量起着最重要的作用。

冷战结束后，几乎所有国家都认识到：一个国家的强盛衰落，最终起作用的是综合国力，核心是经济与科技发展水平，而不单纯是军事力量。

一个国家是否在21世纪多极化格局中处于有利地位，也主要取决于它能否占有经济上的优势。

因此愈来愈多的国家重视经济与科技的发展，把经济安全置于国家安全的首位。

经济竞争其实就是科学技术的竞争。

科技对经济具有决定性的作用。

随着现代科技的发展，科学技术创造的价值在产品价值中的比例愈来愈大。

它将决定各国在21世纪中的国际经济地位。

科学技术将直接影响到生产、贸易、投资、金融的发展，影响到各国综合国力的增长，最终将影响世界格局的变化。

当今以美、日、欧为主的国际科技竞争已全面展开并日趋激烈，它对21世纪各种力量的消长与组合将带来不可估量的影响。

当然这丝毫不意味着可以忽视国家的军事安全。

军事安全和军备完善，用高科技来装备国防力量仍是摆在各国面前的重大问题。

具体说来，当今世界各国综合国力的竞争主要表现在以下几个方面：第一，各国把经济安全确定为对外战略的重点。

第二，各国积极调整经济政策和经济结构。

第三，各国竞相调整科技战略和政策。

克林顿就任美国总统后始创了“国家科学技术委员会”，制定了以优先发展高科技、政府积极协调、加强军民两用、注重成果转化为特点的科技政策。

/chess956601《文学理论教程》考研辅导第一章 文学理论的性质和形态一、考点综述：1、基本概念：文艺学 文学理论 文学哲学 文学社会学 文学心理学 文学符号学 文学价值学 文学信息学 文学文化学2、基本原理：文学理论的学科归属 文学活动四要素互动 文学理论的品格 文学理论形态分类依据二、识记：1、文学理论是文艺学中文学史、文学批评、文学理论3个分支中的一种。

2、美国当代文论家M.H.艾布拉姆斯在《镜与灯――浪漫主义文论及批评传统》中提出了文学活动四要素说：世界、作家、作品、读者。

3、19世纪法国文论家丹纳在《艺术哲学》中，提出文学创作决定于种族、环境、时代三大因素。

4、几个重要的文论家与其理论：亚里士多德－净化论、布洛－心理距离说、立普斯－移情说、克罗齐－直觉说、弗洛伊德－无意识升华说、荣格－原型说。

三、解释：1、文艺学：研究文学的发展过程、相关知识、文学的基本规律、文学活动中的个案的学科。

2、文学活动：由文学创作活动、文学接受活动组成的一个循环运动，它包括世界、作家、作品、读者四个要素。

3、文学理论：研究文学活动的基本规律、基本原理、范畴、文学研究的方法的一门学科。

4、文学批评：以文学作品为中心，对作家、作品、读者、文学思潮作理性的分析、研究的一门学科。

5、文学史：以历时方法，记载文学活动的过程，并对重要的现象作必要的阐释的一门学科。

6、文学哲学：用哲学中主体与客体的关系原理、认识论、方法论来指导研究文学活动与社会生活关系、作家的创作、读者的阅读性质、机制的一种文学理论形态。

7、文学心理学：文学活动中的基本环节文学创作、作品、接受过程，是作者心理、读者心理不断转换过程，采用心理学的视角（精神分析学、投射理论）如研究文学活动的一种文学理论形态。

8、文学符号学：运用语言学、符号学的研究原理，对文学文本进行信息译码的一种文学理论形态。

9、文学社会学：把文学活动作为子系统放在社会大系统中研究，从社会文化、政治、经济、道德、伦理、宗教等多重角度，研究作家、作品、读者与社会生活的关系，重点是作品与社会历史的对应关系的一种文学理论形态。

正保远程教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司(NYSE:DL)考研教育网考研人的网上家园考研政治辅导《政治习题精讲班》第二章讲义07政治习题精讲班第二章世界的物质性及其发展规律二辩证法部分历年真题一、单选题：下列给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.在哲学史中我们可以看到，各种唯心主义派别之间的差异和矛盾，常常有利于唯物主义的发展，这一事实说明（）（1999年理科单选题第2题）A.矛盾一方克服另一方促使事物发展B.矛盾一方的发展可以为另一方的发展提供条件C.矛盾双方中每一方的自身矛盾，可以为另一方的发展所利用D.矛盾双方的融合促使事物发展[答疑编号2002020301]『正确答案』C『答案解析』本题考点：矛盾同一性在事物发展中的作用。

矛盾同一性在事物发展中的作用有三个主要表现：使对立面相互联结，保持事物相对稳定，提供矛盾存在和发展的条件；使对立面在相互吸取、相互利用、相互促进中各自得到发展；规定事物发展的基本趋势。

“各种唯心主义派别之间的差异和矛盾，常常有利于唯物主义的发展”，这一事实说明了矛盾同一性的第二个方面的作用，即通过相互利用推动矛盾双方各自得到发展。

因此，选项C是正确答案。

选项A“矛盾一方克服另一方”和D“矛盾双方的融合”讲的是矛盾解决的不同形式或结果，不是讲矛盾同一性的作用，因此，与题意不合。

选项B指的是矛盾双方相互促进的作用，也与题意不合。

这里的关键内容是试题中“各种唯心主义派别之间的差异和矛盾”，即唯心主义派别的“自身矛盾”，有利于唯物主义的发展，因此，选项C最合题意。

2.事物内部的肯定方面和否定方面的对立统一运动，从表现形式上看（）（1998年理科单选题第3题）A.是事物自我完善和发展的过程B.是新事物战胜旧事物的过程C.是螺旋式上升或波浪式前进的过程D.是不断周而复始的循环过程[答疑编号2002020302]『正确答案』C『答案解析』本题考点：否定之否定运动的表现形式。

目录第一讲行列式与矩阵----------------------------------1—21 第二讲向量的线性相关性，矩阵的秩------------22—34第三讲线性方程组------------------------------------35—49 第四讲相似矩阵与二次型---------------------------50—68第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D21221111211+++=，则nnn n in i nnn n n in i na a ab b b a a a a a a a a a a a a D21121112112112111211+=7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(,2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij ki ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

2007凯程心理学基础强化班辅导讲义(教育心理学部分)第一章 教育心理学概述前 言第一部分：教心的核心教心只有一条线：就是理论及其应用！！学习共3类9个理论﹡﹡﹡﹡动机共3类6个理论﹡﹡﹡迁移共2类10个理论﹡﹡每个理论都包括4个方面：●提出者 ●基本观点 ●优缺点 ●如何应用到教学中第二部分：如何复习依然是那句话：思路清晰可以让你的每一滴汗水都发挥作用！！！第一遍：展开学习各种理论原理目标：能复述各种理论的基本观点、能讲出理论间的差异第二遍：提高到运用的层次目标：能从更高层次上领会各个理论的精髓，优势及不足，掌握理论的应用通过我们的串讲再加上大家大概一周的复习，相信可以达到这样的层次。

第一章 教育心理学概述第一节 教育心理学的研究对象：教育系统中学生的学习及其规律与应用第二节 教育心理学的研究任务一、作为一门心理科学，教育心理学的任务在于研究、揭示教育系统中学生学习的性质、特点及类型以及各种学习的过程和条件，使心理科学在教育领域中得以向纵向发展。

二、作为一门教育科学，教育心理学的任务在于研究如何应用学生的学习及其规律去设计教育、改革教育体制、优化教育系统，以提高教育效能、加速人才培养。

第三节 教育心理学的历史发展一、教育心理学的起源1.背景19世纪资本主义经济政治的迅猛发展，迫切要求普及文化教育，以提供大量适应资本主义大生产的统治人才和熟练工人。

于是，19世纪后半叶，许多资本主义 国家的教育界相继实行了初等教育的义务教育制度。

教育事业的蓬勃发展使得教育工作者们认识到心理学知识的重要性，如裴斯泰洛奇曾主张“教学要心理学化”。

19世纪后期，心理学作为一门科学从哲学中独立出来，并相继出现了大量用自然科学方法研究心理学的实践，包括心理测验的发展，为教育心理学的产生奠定了基础。

2.产生（1）一批早期著作：1867年，俄罗斯著名教育家乌申斯基发表了《教育人类学》第一卷，它是教育和心理知识的必要源泉。

1988年，第一本以教育心理学命名的书问世，这就 是俄国教育家与心理学家卡普捷烈夫的《教育心理学》。

正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL)考研教育网 考研人的网上家园 考研政治辅导《强化阶段测试深度讲解班》2012年全国硕士研究生入学统一考试讲义07强化阶段测试深度讲解班2012年全国硕士研究生入学统一考试24. 从1949年10月中华人民共和国成立，到1956年底社会主义改造基本完成，是我国从新民主主义到社会主义过渡的时期。

过渡时期中国社会的基本特征有（ ）A.在经济上，新民主主义存在五种经济成分，即国营经济、合作社经济、个体经济、私人资本主义经济和国家资本主义经济B.在阶级构成上，民族资产阶级仍然存在C.个体经济占国民经济总量的极少比例D.国营经济代表着新民主主义经济的发展方向，是社会经济的领导力量[答疑编号2003010208]『正确答案』ABD『答案解析』过渡时期中国社会的性质是新民主主义。

其基本特征是：在经济上，新民主主义存在五种经济成分，这就是：国营经济、合作社经济、个体经济、私人资本主义经济和国家资本主义经济。

国营经济是新民主主义国家所经营的、以全民所有制为基础的社会主义性质的经济，它代表着新民主主义经济的发展方向，是整个新民主主义政权的主要物质基础，是整个社会经济的领导力量。

个体经济占国民经济总量的80%以上。

在阶级构成上，工人阶级、农民阶级、城市小资产阶级和民族资产阶级等是新民主主义社会基本的阶级力量。

民族资产阶级作为一个阶级还存在，并在国家政权中占有一定地位。

新民主主义社会不是一个独立的社会形态，而是属于社会主义体系的和逐步过渡到社会主义社会去的过渡性质的社会，是中国由半殖民地半封建社会走向社会主义社会的中介与桥梁。

因此，选项ABD 符合题意，选项C 的说法是错误的。

25. 邓小平对社会主义本质所作的概括，一方面强调必须集中力量解放和发展生产力，另一方面指出了解放和发展生产力的手段和目的。

对社会主义本质理论，正确的理解是（ ）A.把解放和发展生产力纳入社会主义的本质，这是社会主义本质理论的一个突出特点B.在社会主义条件下发展生产力还有一个解放生产力的问题C.消灭剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕，这是社会主义社会发展的目标D.把实现共同富裕作为社会主义的根本目标，体现了马克思主义同当代中国实际的结合[答疑编号2003010209]『正确答案』ABCD『答案解析』邓小平对社会主义本质所作的概括，一方面强调必须集中力量解放和发展生产力，另一方面指出了解放和发展生产力的手段和目的。

目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1A= a21 a22… a2n 和(A|β)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,⋯ ,a n的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n矩阵,右边是n⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(α1, α2,⋯ ,αn).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时, α T表示行向量, 当α是行向量时,α T表示列向量.向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c1α1+c2α2+…+c sαs为α1, α2,…,αs的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项. 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:002323215634, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑n j j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A ||B |.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A|β)→(E|η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 11 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 ,γ3),B=(β, γ1, γ2 ,γ3),|A|=2, |B|=3 ,求|A+B| .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n ni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n 0 0 … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n nn i i i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22... a2n B= b21 b22... b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1 a m2… a mn ,b n1 b n2… b ns ,c m1 c m2… c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质: |AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A 的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:① A k A h = A k+h.② (A k )h = A kh.但是一般地(AB )k 和A k B k不一定相等! n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A+a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0… … … 0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B1 0 0AB = 0 A2B2 … 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵.A的列向量组为α1,α2,…,αn,B的列向量组为β1, β2,…,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,…,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,…,s.即A(β1, β2,…,βs)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβs).②β=(b1,b2,…,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+…+b nαn.应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i 个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)→(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 A11 A21… A n1A*= A12 A22… A n2 =(A ij)T.………A1n A2n… A mn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 α=(1,-2,3) T,β=(1,-1/2,1/3)T, A=αβ T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=αβ T,则A k=(βTα)k-1A=(tr(A ))k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如βTα的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1ααT= -1 1 -1 ，求αTα.（2003一）1 -1 1②设α=(1,0,-1)T, A=ααT,求|a E-A n|.③ n维向量α=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-ααT, A-1=E+a-1αα T,求a. (03三,四)④ n维向量α=(1/2,0,⋯,0,1/2)T, A=E-αα T, B=E+2αα T,求AB. (95四)⑤ A=E-αβ T,其中α,β都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求αTβ.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)1 0 1例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.0 1 0例4 设A为3阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=α1+α2+α3, Aα2=2α2+ α3, Aα3=2α2+3α3.求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),|A|=1,B=(α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3),求|B|.(05)例6 3维向量α1, α2, α3, β1, β2, β3满足α1+α3+2β1-β2=0, 3α1-α2+β1-β3=0, -α2+α3-β2+β3=0,已知|α1, α2, α3|=a,求| β1, β2, β3|.例7设A是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P=(α,Aα,A2α)可逆,并且A3α=3Aα-2A2α.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设α1=(5,1,-5)T, α2=(1,-3,2)T, α3=(1,-2,1)T,矩阵A满足Aα1=(4,3) T, Aα2=(7,-8) T, Aα3=(5,-5) T,求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则 |A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3⨯3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设α是n维非零列向量,记A=E-ααT.证明(1) A2=A⇔αTα =1.(2) αTα =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔ A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19 E(i,j).例22 提示:用克莱姆法则.例如证明⇒,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设α1,α2,…,αs是一个n维向量组.如果n维向量β等于α1,α2,…,αs的一个线性组合，就说β可以用α1,α2,…,αs线性表示.如果n维向量组β1, β2,…,βt 中的每一个都可以可以用α1,α2,…,αs线性表示,就说向量β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示.判别“β是否可以用α1, α2,…,αs线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x1α1+ x2α2+…+x sαs=β是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以(α1, α2,…,αs |β)为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以(A|β)为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“β是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,则矩阵(β1,β2,…,βt)等于矩阵(α1,α2,…,αs)和一个s⨯t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是βi对α1,α2,…,αs的分解系数(C不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,而α1,α2,…,αs 可以用γ1,γ2,…,γr线性表示,则β1,β2,…,βt可以用γ1,γ2,…,γr线性表示.当向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt互相都可以表示时,就说它们等价,并记作{α1,α2,…,αs }≅{β1,β2,…,βt}.等价关系也有传递性.2. 向量组的线性相关性(1) 定义(从三个方面看线性相关性)。

第三部分 表象1. 波函数的归一化粒子存在于整个空间内，故粒子在整个空间内出现的几率和等于1，为了满足这个要求，我们需要将波函数归一化，即2(,,)1C x y z d ψτ∞=⎰。

但是并不是所有的波函数都可以按照这个式子的要求进行归一化的，因为上述归一化过程要求2(,,)x y z d ψτ∞⎰必须是有限的，这样的话如果这一要求得不满足，即2(,,)x y z d ψτ∞⎰是发散的，这样求得的归一化系数就是零，显然没有意义。

这样的粒子是有的，如自由粒子的波函数（平面波）()(,)ip r Et p r t Aeψ⋅-=。

我们假设粒子在一维方向的运动，/()ipx p x Ce ϕ=，此时p 可以取(,)-∞+∞中连续变化的一切实数值，所以只要0C ≠，则22()p x dx Cdx ϕ+∞+∞-∞-∞==∞⎰⎰。

所以为了处理这一连续谱本征函数的“归一化”问题，我们引用Dirac 的δ函数定义为0000, (), x x x x x x δ≠⎧-=⎨∞=⎩0000()() 1 (0)x x x x dx x x dx εεδδε++∞--∞-=-=>⎰⎰δ函数还可以表示成0()01()2ik x x x x dke δπ+∞--∞-=⎰所以若取/()ipx p x ϕ=，则(')/'(,)(')i p p x p p dxe p p ϕϕδ+∞--∞==-⎰动量算符的本征函数为就是/()ipx p x ϕ=，故其“归一化”也满足上式！同样的道理，坐标算符的本征态也是不能归一化的，也可以类似处理，利用δ函数的性质()0x x δ=有(')(')0x x x x δ--=即 (')'(')x x x x x x δδ-=-所以(')x x δ-正是坐标算符的本征态，本征值为'x ，记为'()(')x x x x ϕδ=-再利用δ函数的性质，有'''()(')('')(''')x x x x x x dx x x ϕϕδδδ=--=-⎰。

2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析一、概述2024年考研数学高等数学一直是考研学子备战考试的焦点。

为帮助考生更好地掌握数学知识，提高解题能力，李林老师精心编写了高等数学辅导讲义。

本文将对李林老师的辅导讲义进行解析，帮助考生更好地理解和应用这些知识。

二、讲义内容概述李林老师的高等数学辅导讲义分为多个章节，涵盖了高等数学的各个知识点，包括微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。

讲义内容扎实，逻辑严谨，既包括基础知识的讲解，也包括典型例题的分析和解答，适合考生系统复习和巩固知识点。

三、微积分部分1.极限与连续讲义对极限与连续的概念进行了详细介绍，从基本概念到极限存在的条件，再到连续性的定义和性质，帮助考生理解和掌握这一重要知识点。

讲义中还包括了大量例题分析，帮助考生加深对极限与连续的理解，提高解题能力。

2.微分与微分中值定理针对微分的定义和微分中值定理等内容，讲义中提供了详细的公式推导和典型例题讲解，帮助考生掌握微分的概念和性质，熟练运用微分中值定理解决实际问题。

3.不定积分与定积分在不定积分与定积分部分，讲义重点讲解了换元积分法、分部积分法等解题技巧，并结合典型例题进行深入分析，帮助考生掌握积分的计算方法和技巧，提高解题效率。

四、多元函数部分1.多元函数的概念与性质讲义对多元函数的概念、多元函数的极限、连续性、偏导数等内容进行了系统介绍，并结合实际问题进行讲解，帮助考生理解多元函数的重要性及其在实际问题中的应用。

2.方向导数与梯度在方向导数与梯度的部分，讲义对方向导数的定义、计算方法和梯度的概念进行了详细讲解，并提供了大量例题进行分析，帮助考生掌握这一知识点的计算方法和应用技巧。

五、级数部分1.数项级数的收敛性与敛散性讲义对数项级数的收敛性与敛散性进行了全面介绍，包括正项级数的收敛判别法、一般项级数的审敛法等内容，帮助考生系统掌握级数收敛性的判别方法，提高解题能力。

2.幂级数与傅立叶级数在幂级数与傅立叶级数部分，讲义介绍了幂级数的收敛半径、函数展开成幂级数的方法，以及傅立叶级数的基本概念和性质，帮助考生理解级数在实际问题中的应用。

2007考研英语翻译高分要略——翻译基础能力培养前言考研英语翻译普遍得分率低下，要想取得高分，必须在目前这个阶段打好基础。

本基础课程强调翻译基本技巧的培养，提供的往年真题及译文主要供同学们体会、模仿和修改。

课上不会花大量时间讲解真题。

后者将在强化班上重点练习。

本课程分为五部分：第一部分大纲要求。

第二部分解题步骤。

第三部分技巧详解第四部分基本技能综合训练。

两篇文章，基本涉及到所有常见常考的翻译技能。

第五部分少量真题体验，不做重点，提供参考译文，自己回去模仿、修改译文。

第六部分长难句课程中的练习部分参考翻译（有部分句子为往年翻译真题）第一部分大纲要求翻译在考研英语的阅读板块，属于C节。

大纲明确指出：主要考查考生准确理解概念或结构较复杂的英语文字材料的能力。

要求考生阅读一篇约400词的文章，并将其中5个划线部分（约150词）翻译成汉语，要求译文准确、完整、通顺。

考生在答题卡2上作答。

每句2分，共10分。

文章的题材近几年偏重人文社科类。

一、考研英语翻译的标准概括来说，传统翻译标准的“信、达、雅”，考研英语只要具备前两者即可。

“信”就是“忠实”，“达”就是“通顺”。

忠实：译者首先要忠实于原文的内容，不可歪曲、遗漏英语原文所表达的内容。

通顺：这里指翻译汉语后，译文要流畅、易懂。

语言必须符合汉语的习惯和规范：用词要准确，文字不晦涩、不生硬、没有很重的翻译腔；结构必须合理，不能混乱。

总的来说，考研英语翻译要忠于原文，但一定要为汉语服务，翻译出来的句子不能有假洋鬼子的味道。

我们做翻译时，译文处理必须上升到语言上的爱国主义这个高度。

阅卷时的卷面分也很重要，在后面的分步练习中，我们必须学会打草稿，保证不出现非智力性因素失分。

第二部分翻译解题步骤与思路--四步走考研翻译，我推荐大家分四步来走。

平时训练大家要严格，切勿偷工减料。

否则就会造成翻译的“豆腐渣工程”。

第一步通读理解原文英译汉的第一步是准确、完整、透彻地理解英语原文。

第六章多元函数微积分（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。

同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。

第一节多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。

复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。

【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。

【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。

在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。

在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。

【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。

另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。

一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。

定义2 如果连续。

如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。

定理1 最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

2007年考研英语应用文应对策略2007年写作将继续考查两篇文章。

两篇文章各有侧重。

主要变化来自于增加一篇应用文，其实，2003和2004年的大纲都强调了要会写应用文，如书信、简历摘要和备忘录，只不过在05年才开考，考生已经应有心理准备。

从其它考试中看，四六级考试、雅思、全国MBA联考、BEC一直都在考查书信写作，也就是说，写作方面并没有出现新题型。

所谓的大纲变化在写作部分只是增加了篇目调整了分数而已。

考查两篇文章的形式类似于雅思考试，已经不是什么新鲜事。

根据大纲要求，A节可能考查一篇简短的书信，要求的字数为100词，长度低于四六级要求的120词和150词，我们不必太感惊慌，可以泰然处之。

从形式上看应该侧重考查事务信函，也只有事务信函才能用到书面语的正式语体。

大纲已经强调对信函的格式不会过于苛求，所以考生不用花很多时间研究信封地址写法和信体格式，不用考虑书写属于齐头式还是缩进式。

但最基本的Dear XXX,以及Yours sincerely还是需要一步到位。

到了这个层次，事务信函已经基本等同于一篇普通的提纲作文，我们还是按照提纲要求的若干内容发挥，把每一点扩充成一段。

新赠作文要求写100字左右应用性短文,应用性短文通常包括各种信函、简历、便条、备忘录等，笔者认为考生准备重点在各种信函。

信函主要有：求职信、投诉信、邀请信、订购信、询问信、感谢信、道歉信、推荐信等八种，而在这八种信函中前五种是重点的重点。

由于这是一篇小作文所以要求100字左右，难度相对于六级还低。

考生只要熟悉一些常用‘经典’句型，便可在短时间一挥而就。

比如求职信开篇的一个‘黄金’句型：I am responding to your advertisement in China Daily on January 10th, 2003, which invites applications for interpreters. Enclosed with this letter is my resume which details my background. 又如此类信件结束的一个‘钻石’句型：I shall be much obliged if you will afford me an opportunity for an interview, and I appreciate a response from at your earliest convenience.考生再少加发挥，在二段设置几个‘亮点’，一篇高分文章就由此‘诞生’了。