圆》的定理、公式的知识点

圆的知识点概念公式大全半径相等的圆叫做等圆.弦和弧连结圆上任意两点的线段叫做 弦.经过圆心的弦叫做 直径，并且直径是同一圆中最 长的弦，直径等于半径的 2倍.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A 、B 为端点的弧记作A B ，读作弧在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 半圆.在一个圆中大于半圆的弧叫做 优弧，小于半圆的弧叫做 劣弧.由弦及其所对的弧组成的图形叫做 弓形.顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的圆心角, 我们也称这样的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的1. 2. 3. 1. 2. 圆的定义在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点 A 所形成的 图形叫圆.这个固定的端点0叫做圆心，线段0A 叫做半径.以0点为圆心的圆记 作O 0,读作圆0圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.同圆、同心圆、等圆圆心相同且半径相等的圆叫做 同圆; 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆;1. 2. AB4. 从圆心到弦的距离叫做 弦心距.四. 与圆有关的角及相关定理1.2.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.一半.推论1:在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。

的圆周角所对的弦是直径.（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3.顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角.圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半.4.顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角.圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半.5 .圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角.6.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.7.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.五.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;2.其它正确结论:⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等.3.知二推三:⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧.以上五个条件知二推三•注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径.4.常见辅助线做法:⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT A，用勾股，求长度;⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.相关题目:1.平面内有一点到圆上的最大距离是6,最小距离是2,求该圆的半径2. （08郴州）已知在O O中，半径r=5 , AB , CD是两条平行弦，且AB =8, CD =6 ,则弦AC的长为______________ .解：湮,5^2, A/2 .六.点与圆的位置关系1.点与圆的位置有三种:⑴点在圆外二d >r ;⑵点在圆上 u d =r ;⑶点在圆内 u d <r.2.过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点0为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.⑵经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点0作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点 A B的圆，这样的圆也有无数个.⑶过三点的圆：若这三点A B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点0是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.⑷过n（n > 4 ）个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.3 .定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定” 一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”.4.三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.⑵三角形外心的性质:①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）;直角三角形外接圆的圆心在斜边中占I八、、处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）;钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.五.直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O O的半径为r，圆心0到直线I的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表:定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长. ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角.五.三角形内切圆1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆, 的外切多边形.六•圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设OO i 、OO 2的半径分别为R 、r （其中R>r ），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如 F 表：1. 切线的性质:2. 切线的判定3. 切线长和切线长定理:该多边形叫做圆说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公 共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种 情况.七. 正多边形与圆1.正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.2.正多边形的相关概念:中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.3. 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成2n 个全等的直角三角形;正多边形的正多边形的 半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的⑵正多边形都是轴对称图形，正 n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴; ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心.八、圆中计算的相关公式设O O 的半径为R ，n 。

圆的知识点归纳总结详细一、圆的定义和基本概念1. 圆的概念圆是一个平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。

这个给定点称为圆心，到圆心距离就是半径，记作r。

圆心与圆上任意一点连线的长度称为圆的直径，记作d。

2. 圆的元素圆包括圆心、半径和直径这三个元素。

圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示，直径用小写字母d表示。

3. 圆的符号数学中通常用大写英文字母表示圆，如圆O，圆A，圆B等。

4. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr^2。

二、圆的性质1. 圆的同心圆同心圆是指圆心相同而半径不同的圆。

同心圆具有相同的圆心和不同的半径。

2. 圆的切线和切点切线是和圆相切的直线，切点是切线与圆相交的地方。

圆上不同的点可以有无数条切线，但对于同一个点只有一条切线。

3. 圆的切线和法线圆的切线和圆的法线垂直。

切线和法线垂直的点称为切点。

4. 圆的余弦定理在任意圆上，以半径为斜边和切线上一点到圆心的距离为邻接边的三角形，有余弦定理成立。

5. 圆的切线的性质切线与半径的夹角是直角，切线和切点处的切线垂直。

6. 圆的焦点圆的焦点是指在圆上一点与圆心构成的直线上两个相同的点。

7. 圆的内切四边形内切四边形是指四条边都切圆的四边形。

内切四边形的对角线相等，相邻两边之和相等。

8. 圆的外切四边形外切四边形是指四条边都与圆相切的四边形。

外切四边形的对角线相交于圆心，且对角线的交点与圆心连成的直线是四边形对边的垂直平分线。

9. 圆的相似圆的相似即两个圆的圆心和半径比相等。

在几何学中，两个图形的对应边和对应角都相等，则这两个图形相似。

10. 圆的直径与半径的关系直径是半径的两倍，即d=2r。

三、圆的基本定理和应用1. 圆的直径定理直径上任一点到圆各点的距离相等。

2. 圆内接四边形定理圆内的四边形外接于同一圆的四顶点，四个顶点连起来便可围成圆内接四边形。

3. 圆的夹角定理在圆的同弧上的两条弦对圆心的夹角相等。

4. 圆的半角定理在圆周上含有相等弧的角互为半角。

苏教版圆的知识点总结
1. 圆的定义
圆是平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。

这个给定点称为圆心，到圆心的距离
称为半径。

圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，它等于半径的两倍。

2. 圆的基本性质
（1）圆是由无数个点组成的。

这些点到圆心的距离都相等。

（2）圆心是圆的对称中心，任意一点关于圆心的对称点在圆上。

（3）圆的直径恰好有两个，它们垂直于圆的半径。

而且任意直径都是圆的极径。

3. 圆的重要定理
（1）圆的弧长和圆心角的关系：圆的弧长等于半径乘以对应的圆心角的弧度数。

（2）圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π。

（3）圆的周长公式：圆的周长等于直径乘以π。

4. 圆的相关定理
（1）圆的同弧对应的圆心角相等。

（2）在同弧上的弧长与圆心角成正比。

（3）圆周角是圆心角的一半。

（4）相对弧相等的两个圆上的圆心角相等。

（5）垂径定理：垂直的直径相交的四个点连起来成的四边形是矩形。

（6）切圆定理：切线与半径垂直。

5. 圆的常见应用
（1）在建筑学中，圆的形状常常用来设计穹顶、拱门等结构。

（2）在工程学中，圆的性质常常用来设计轮胎、齿轮等零部件。

（3）在日常生活中，圆的概念经常出现在钟表、餐具等物品中。

以上就是苏教版教材中关于圆的知识点总结。

通过学习这些内容，学生能够了解圆的定义、性质和相关定理，进而在实际问题中应用圆的知识解决问题。

希望本文能够帮助学生更好
地理解和掌握圆的知识。

【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．【答案】 ；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

高中圆公式知识点总结在高中数学中，圆是一个非常重要的几何形状，而圆的公式则是掌握圆的性质和计算圆的周长、面积等问题的关键。

本文将从圆的基本性质开始，逐步介绍圆的相关公式和知识点，方便同学们系统地掌握圆的知识。

1. 圆的基本性质(1) 圆的定义：圆是平面上所有距离等于定长的点的集合。

(2) 圆的要素：圆由圆心O和半径r决定，记为⊙O(r)。

其中，圆心是圆上所有点到圆心的距离都相等，记为r。

(3) 圆的直径：通过圆心，并且与圆相交，并且在圆上的直线叫做圆的直径，通常记为d。

(4) 圆的半径：从圆心到圆上的任一点的线段称为圆的半径，通常记为r。

(5) 圆的周长：圆的周长指的是圆的边长，通常记为L。

根据圆的性质得知，圆的周长等于直径的长度乘以π。

(6) 圆的面积：圆的面积指的是圆内的面积，通常记为S。

根据圆的性质得知，圆的面积等于半径的平方乘以π。

2. 圆的相关公式(1) 圆的周长公式：L = πd，其中d为直径的长度。

(2) 圆的面积公式：S = πr²，其中r为半径的长度。

(3) 圆的直径和半径的关系：d = 2r，即直径等于半径的两倍。

3. 圆的相关知识点(1) 弧长和弧度的关系：弧长指的是圆的一部分弧的长度，通常记为l。

弧的弧度指的是弧所对的圆心角的角度大小。

根据圆的性质得知，弧长等于弧度乘以半径的长度。

(2) 弧长公式：l = rθ，其中θ为弧所对的圆心角的角度大小。

4. 例题解析(1) 例题一：已知圆的周长为20π，求圆的直径和面积。

解：根据周长的公式L = πd，可得圆的直径d = 20。

将直径带入圆的面积公式S = πr²中，可得圆的面积S = π*10² = 100π。

(2) 例题二：已知圆的半径为3，求圆的周长和面积。

解：根据半径的长度r = 3，可得圆的周长L = 2πr = 6π，圆的面积S = πr² = π*3² = 9π。

5. 综合应用圆作为一个重要的几何形状，在日常生活中有很多实际应用，比如建筑设计中的圆形窗户、钟表表盘等。

新北师版九下《圆》知识点归纳总结(圆的三大定理：垂径定理；圆心角定理和圆周角定理)3.1圆（1）圆的有关概念：弦、直径、圆弧（简称“弧”可分为优弧和劣弧）、半圆、等圆、等弧. （2）点和圆的位置关系：点在圆外，即d————r；点在圆上，即d————r；点在圆内，即d————r.（共三种）反之也成立.3.2圆的对称性（1）轴对称性；（2）中心对称性；（3）圆心角关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的—————相等；所对的—————相等. （圆心角定理）推论：在同圆或等圆中，如果两个—————、两条—————、两条—————、两条—————中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等.3.3垂径定理（1）内容：垂直于弦的直径平分—————————，并且平分—————————————.推论：平分弦（不是———————）的直径———————，并且平分—————————————.3.4圆周角和圆心角的关系（1）圆周角的概念：顶点在——————，且两边都与圆——————，（2）圆周角定理：圆周角的度数等于——————————的圆心角度数的一半.推论1：同弧或等弧所对的———————————————。

推论2：直径所对的—————————是直角；90°的圆周角所对的弦是——————————。

（3）圆内接四边形的概念：四边形的四个顶点都在——————————————；这个圆叫做四边形的——————————————。

推论：圆内接四边形的—————————互补。

3.5确定圆的条件（1）——————————————————————的三个点确定一个圆；（2）外接圆：外心是指——————————————————，它是三角形———————的交点。

3.6直线和圆的位置关系（1）圆的切线：直线和圆有——————————的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做——————————————，这个公共点叫做————————。

圆有关的知识点总结公式一、圆的定义圆的定义是平面上到一个定点距离恒定的点的集合。

这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

圆的边界称为圆周。

圆可以用圆心和半径来描述，也可以用圆周上的点的坐标来描述。

圆的定义在数学中是基础性的概念之一。

二、圆的性质1. 圆的直径是圆周上任意两点之间的最长线段，它恰好等于圆周的两倍。

圆的半径是圆心到圆周上任意一点的距离。

2. 圆的周长公式为：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14159。

3. 圆的面积公式为：A=πr²，其中A表示圆的面积。

4. 圆的内切和外切问题：一个图形是否能内切于圆，或外切于一个圆，是几何中一个重要的问题。

5. 圆的相关角度问题：圆周角、圆心角等概念与性质。

三、圆的公式1. 圆的周长公式：C=2πr这个公式表示了圆的周长与半径之间的关系，即周长等于半径的两倍乘以π。

2. 圆的面积公式：A=πr²这个公式表示了圆的面积与半径之间的关系，即面积等于半径的平方乘以π。

3. 圆的弧长公式：L=θr这个公式表示了圆的弧长与圆心角的大小以及半径的关系，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。

4. 圆的扇形面积公式：A=1/2θr²这个公式表示了圆的扇形面积与圆心角的大小以及半径的关系，即扇形面积等于圆心角的大小乘以半径的平方再除以2。

5. 圆的相似性公式：S₁/S₂=r₁/r₂这个公式表示了两个相似圆的面积与半径的关系，即两个相似圆的面积之比等于它们半径的平方之比。

四、圆的应用圆在生活和工作中有许多应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 圆的几何学应用：圆的几何性质是几何学中的重要内容，它们在建筑、绘图、地理等领域都有广泛的应用。

2. 圆的工程应用：在工程中，圆形轮胎、圆形齿轮、圆形管道等都是圆的应用场景。

3. 圆的数学模型应用：在数学建模中，圆常常被用来描述一些现实中的问题，如行星轨道、电子轨道等。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

九年级圆知识点的思维导图圆是几何中一种基本的图形，它在数学知识体系中起着重要的作用。

九年级的数学教学中，圆的相关知识点是重点和难点之一。

为了帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，下面我将通过思维导图的方式，对九年级圆的知识点进行归纳和总结。

一、圆的定义和性质圆是由平面上与一个定点的距离相等的所有点组成的集合。

在思维导图中，可以用一个大的圆圈来表示圆，圆心用一个点来表示。

1. 圆的半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，表示为r。

2. 圆的直径：连接圆上任意两点并通过圆心的线段，表示为d。

3. 圆的周长：圆上一周的长度，表示为C。

4. 圆的面积：圆内部所有点围成的区域的大小，表示为S。

二、圆的元素和关系1. 弧：圆上两点之间的一段曲线，可以用弧长来表示。

2. 弦：连接圆上两点的线段。

3. 切线：与圆相切的直线，切点为切线与圆相交的点。

4. 弦切定理：切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

三、圆的位置关系和相交性质1. 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。

2. 相交圆：有公共点的两个圆。

3. 内切圆和外切圆：内切圆是指一个圆恰好与多边形的所有边都相切，外切圆是指一个圆恰好与多边形的一个边相切。

4. 切割、内切和外切线：圆上两点之间的弧，分为大弧、小弧和角度。

四、圆的重要定理和公式1. 定理1：圆心角的度数等于弧上的度数。

2. 定理2：在同一个圆中，圆周角等于360度。

3. 公式1：圆的周长公式为C=2πr，其中π≈3.14。

4. 公式2：圆的面积公式为S=πr²。

五、圆的应用圆的知识点在生活和实际问题中具有广泛的应用，例如：1. 圆形道路和车轮：圆形道路和车轮可以减小摩擦力，使车辆的行驶更加平稳。

2. 圆的建筑和艺术：圆形的建筑物和艺术品常常给人以和谐和美感。

3. 圆的旋转和运动：圆的旋转和运动是物体在空间中产生的一种平衡和和谐的状态。

通过思维导图的方式整理九年级圆的知识点，可以使同学们更加清晰地认识到各个知识点之间的关系和联系。

《圆》知识点及练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。