2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题

第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.三、自主热身、归纳总结1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为()A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 位置不确定2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或23、若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [－3，－1]B. [－1，3]C. [－3，1]D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．5、直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________．6、(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A. 6B.5C．－ 6 D．－57、(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝()A．2 B．48、(2019·湖南长沙月考)设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离变式1、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)变式2、已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长之比为1∶3的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．考点二圆的弦长问题例2、已知直线ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为32，求实数a的值．变式1、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线3x－y＋1－3＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．变式2、（1）过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为25，则直线l的方程为_（2）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.考点三 圆的切线问题例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程．变式1、已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1) 求过点P 的圆C 的切线方程；(2) 求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．变式2、已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．2、【2020年浙江卷】.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A. B. C. D.4、【2020年全国3卷】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12 C. y =12x +1 D. y =12x +125、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．2C D 6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．5+D ．3+7、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

考点30 排列、组合1、掌握分布计数原理和分类计数原理；2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题；1、从2020年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为5分；2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；1、从2020年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决概率有关的问题；1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）5、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．5、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)题型一 排列组合的简单运用1、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ）A ．54B ．44C ．32D ．222、（2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A ．24B ．12C ．8D ．63、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种4、（2020届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个A ．120B ．132C ．144D ．1566、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，若,,A B C 均互不相邻且,A B 在C 的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）8、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）题型二、排列组合的综合运用1、（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85 B ．95 C ．2040 D ．22802、（2020届北京市陈经纶高三上学期开学）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．403、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.5、（2020届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.6、（2019年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为______.7、（2019年清华大学附属中学高三月考）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）题型三、运用排列组合解决概率问题1、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．5112、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3203、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc def +是偶数的概率为______4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______.5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.6、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）。

2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答卷上．1．123lim 221-+-→x x x x 等于 ( A ) A ．21- B ．21 C ．1 D ．0 2．已知命题p 、q ，则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的 ( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a < 0，b < -1，则下列不等式成立的是 ( C )A ．a >b a >2b a B ．2ba >b a > a C ．b a >2b a > a D ．b a > a >2b a 4．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列四个命题： ① 若m ⊥ α，m ⊥ β，则α //β ② 若m ⊂ α，n ⊂ β，m // n ，则α //β ③ 若m // n ，m ⊥ α，则n ⊥ α ④ 若m ⊥ α，m ⊂ β，则α ⊥ β其中正确命题的个数是 ( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数y = cos(2x -4π)的一条对称轴的方程是 ( B ) A ．x = -2π B ．x =8π C ．x = -8π D ．x = π 6．已知a r 、b r 是非零向量且满足条件：(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥r rr ，则a r 与b r 的夹角是 ( B )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π7．将函数cos y x x =+的图象沿x 轴向左平移a 个单位(a > 0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为 ( D )A ．76πB ．2πC ．6πD ．3π 8．在123(2)na a --(n ∈ N *)的展开式中 ( D )A ．一定没有常数项B ．当且仅当n = 5时，展开式中有常数项C ．当且仅当n = 4k (k ∈ N *)时，展开式中有常数项D ．当且仅当n = 7k (k ∈ N *)时，展开式中有常数项B MF ED B A C C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答卷相应题号的横线上．9．不等式21x x+-< 0的解集为________________． {x | x < - 2或x > 1} 10．设函数f (x ) = x a log (a > 0，a ≠ 1)满足f (9) = 2，则f -1 (2log 9)等于______11．已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125π，则x =_____10_____．(球的表面积公式S = 4πR 2，其中R 表示球的半径) 12．正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图所示)，M 是矩形AEFD 内一点，如果∠MBE = ∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为12，那么点M 到直线EF 的距离为 ．13．设函数f (x )是定义域为R 的函数，且f (x + 2)[1 - f (x )] = 1 + f (x )，又f则f (2020) =___________________ ． 提示：可推得f (x + 4) = -1()f x ，f (x + 8) = f (x )，从而f (2020) = f (6) = -1(2)f． 14．定义运算符号：“∏”，这个符号表示若干个数相乘．如：可将1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ … ⨯ n记作1ni i =P ，(n ∈ N *)．已知T n =1n i i a =P ，(n ∈ N *)，其中a i 为数列{a n }(n ∈ N *)中的第i 项． ① 若a n = 2n - 1，则T 5 = _________. 945② 若T n = n 2 (n ∈ N *)，则a n =_________. 21,1(),21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 在ΔABC 中，A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．设a 、b 、c 满足条件b 2 + c 2 - bc = a 2和12c b =A 和tan B 的值． 解法一：由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，………………………3分因此，A = 60︒，……………………………………………………………5分 在△ABC 中，C = 180︒ - A - B = 120︒ - B ．……………………………6分 由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+sin120cos cos120sin 1sin 2B B B B ︒-︒==+，……………………………11分 解得cot B = 2，从而1tan 2B =．…………………………………………13分解法二：由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，………………………3分 因此，A = 60︒，……………………………………………………………5分由b 2 + c 2 - bc = a 2，得221115()1()13424a c cb b b =+-=+-， 所以.215=b a ①…………………………………………………8分由正弦定理sin sin b B A a ===．……………………10分 由①式知a > b ，故B < A ，因此，B 为锐角，于是cos B =，……………………………………11分 从而sin 1tan cos 2B B B ==．………………………………………………13分16．(本小题满分12分)中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是23． (Ⅰ) 若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；(Ⅱ) 若5人中恰有r 人合格的概率为80243，求r 的值； (Ⅲ) 记测试合格的人数为ξ，求ξ 的期望和方差．解：(Ⅰ) 体育教师不坐后排记为事件A ，则13161()2C P A C ==．………… 4分 (Ⅱ) 每位考生测试合格的概率23p =，测试不合格的概率为113p -=，ξ ～2(5,)3B ， 则55580()(1)243r r r P r C p p -=-=，即555522180()()332433r r r r r C C -==， ∴5280r r C =，r = 3或r = 4．……………………………………………… 8分(Ⅲ) ∵ξ ～2(5,)3B ， ∴ ,310325=⨯=ξE 91031325=⨯⨯=ξD ………………………………12分 17．(本小题满分14分) 已知1||1e =u r ，2||2e =u u r ，1e u r 与2e u u r 的夹角为90︒，122a ke e =+r u r u u r ，122b e ke =+r u r u u r ． (1) 若a b ⊥r r ，求实数k 的值； (2) 若a r 与b r 共线同向，求实数k 的值．解：(1) ∵12e e ⊥u r u u r ，∴120e e ⋅=u r u u r ，………………………………………… 2分 ∵a b ⊥r r ， ∴0a b ⋅=r r ， ∴1212(2)(2)0ke e e ke +⋅+=u r u u r u r u u r ， 即：222121222(4)0ke ke k e e +++⋅=u r u u r u r u u r ，………………………………… 4分 121,2e e ==u r u u r Q ，∴k = 0． ……………………………………………… 6分 (2) ∵a r 与b r 共线同向，∴(0)a b λλ=>r r ，………………………………… 8分 ∵122a ke e =+r u r u u r ，122b e ke =+r u r u u r ，∴12122(2)ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r ，又12,e e u r u u r 为不共线向量，∴22k k λλ=⎧⎨=⎩，∴12k λ=⎧⎨=⎩或12k λ=-⎧⎨=-⎩，…………… 12分 又λ > 0，∴k = 2．……………………………………………………… 14分18．(本小题满分14分)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是AC 的中点，∠C 1DC = 60°．(Ⅰ) 求证：AB 1∥平面BC 1D ；(Ⅱ) 求二面角D －BC 1－C 的大小．解法一：(Ⅰ) 连结B 1C 交BC 1于O ，则O 是B 1C 的中点，连结DO ．∵在△AB 1C 中，O 、D 均为所在边的中点，∴AB 1∥DO …………………………3分∵AB 1 ⊄平面BC 1D ，DO ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．…………………6分(Ⅱ) 设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1．∵∠C 1DC = 60°，∴CC 1 =3．作DE ⊥BC 于E ．∵平面BCC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面BCC 1B 1，作EF ⊥BC 1于F ，连结DF ，则 DF ⊥BC 1，∴∠DFE 是二面角D - BC 1 - C 的平面角………10分在Rt △DEC 中，DE =31,2EC =， 在Rt △BFE 中，EF = BE ·sin ∠C 1BC =33332727⨯=， ∴在Rt △DEF 中，tan ∠DFE =327733DE EF =⋅=， ∴二面角D - BC 1 - C 的大小为arctan 7………14分 解法二：以AC 的中点D 为原点建立空间直角坐标系如图，设| AD | = 1，∵∠C 1DC = 60°，∴| CC 1| =3．则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (- 1，0，0)，A 1(1，0，3)，B 1(0，3，3)，C 1(- 1，0，3)，(Ⅰ) 连结B 1C 交BC 1于O ，则O 是B 1C 的中点，连结DO ，则O 1(2-，1AB u u u u r =2DO u u u r ， ∵AB 1与DO 不重合，∴AB 1∥DO ．又AB 1 ⊄平面BC 1D ，DO ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．……………………………8分 (Ⅱ)1DC u u u u r = (- 1，0)，1C B u u u u r = (1，， 设平面BC 1D 的法向量为n r = (x ，y ，z )，则1100n DC n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r r ，即00x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，则有y = 0，令z = 1， 则n r，0，1)…………………………………………………………10分 设平面BCC 1B 1的法向量为m r = (x '，y '，z ')， 则1100m CC m C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即00x '='''=⎪⎩， ∴z ′ = 0， 令y = -1，解得m r，-1，0)，二面角D - BC 1 -C 的余弦值为cos ＜n r ，m r ＞= 34n m n m ⋅=⋅， ∴二面角D - BC 1- C 的大小为arc cos 34………………………………………14分19．(本小题满分14分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对于所有的正整数n ，有2n a =． (Ⅰ) 写出数列{a n }的前三项；(Ⅱ) 求数列{a n }的通项公式，并写出推证过程；(Ⅲ) 令14n n n b a a +=⋅，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与12的大小． 解：(Ⅰ) 由题意，当n = 1时，有a 1= 2，S 1 = a 1，∴a 1= 2，解得a 1 = 2，当n = 2时，有2a= 2 ，S 2 = 1a +2a ，将a 1 = 2代入，整理得(a 2 - 2)2 = 16，由a 2 > 0，解得a 2 = 6，当n = 3时，有a 3= 2 ，S 1 = a 1 + a 2 + a 3，将a 1 = 2，a 2 = 6代入，整理得(a 3 - 2)2 = 64，由a 3 > 0，解得a 3 = 10，所以该数列的前三项分别为2，6，10．………………………………4分(Ⅱ) 由a n= 2 (n ∈N *)， 整理，得S n =18(a n + 2)2， 则S n + 1 =18(a n + 1 + 2)2， ∴a n + 1 = S n + 1 - S n =18[(a n + 1 + 2)2 - (a n + 2)2]， 整理，得(a n + 1 + a n )( a n + 1 - a n - 4) = 0，由题意知a n + 1 + a n ≠ 0，∴a n + 1 - a n = 4，∴即数列{a n }为等差数列，其中首项a 1 = 2，公差d = 4， ……………9分∴a n = a 1 + (n – 1)d = 2 + 4(n – 1)，即{a n }的通项公式为a n = 4n – 2，n ∈N *．………………………………10分 (Ⅲ) b n =14n n a a +⋅=411(42)(42)4242n n n n =--+-+， T n = b 1 + b 2 + … + b n=111111()()()266104242n n -+-++--+L =24121+-n <12．………14分 20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x ) = ax 3 - 2bx 2 + cx + 4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图象关于原点对称，且x = 1时，f (x )取极小值25-． (Ⅰ) 求f (x )的解析式；(Ⅱ) 当x ∈[- 1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(Ⅲ) 若x 1，x 2∈[- 1，1]时，求证：| f (x 1) - f (x 2)| ≤45． 解：(Ⅰ) ∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴f (0) = 0，即4d = 0，∴d = 0，又f (-1) = - f (1)，即 - a - 2b - c = - a + 2b – c ，∴b = 0，∴f (x ) = ax 3 + cx ，f ′(x ) = 3ax 2 + c ．∵x = 1时，f (x )取极小值25-，∴ 3a + c = 0，且 a + c =25-， 解得a =15，c =35-，∴f (x ) =31355x x -．……………………… 5分 (Ⅱ) 当x ∈[- 1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．假设图象上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x ) =35(x 2 - 1)知两点处的切线斜率分别为k 1 =213(1)5x -， k 2 =223(1)5x -，且22129(1)(1)25x x --= - 1 (*) ∵x 1，x 2∈[- 1，1]，∴21x -1 ≤ 0，22x -1 ≤ 0，∴(21x - 1)(22x - 1) ≥ 0，此与(*)矛盾，故假设不成立，即当x ∈[- 1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．……… 9分(Ⅲ) 证明：f ′(x ) =35(x 2 - 1)，令f ′(x ) = 0，得x = ± 1， ∴x ∈(- ∞，- 1)或x ∈(1，+ ∞)时，f ′(x ) > 0，x ∈(- 1，1)时，f ′(x ) < 0，∴f (x )在[- 1，1]上是减函数，且f max (x ) = f (- 1) =25，f min (x ) = f (1) =25-. ∴在[- 1，1]上| f (x )| ≤25，于是x 1，x 2∈[- 1，1]时， | f (x 1) - f (x 2)| ≤ | f (x 1) | + | f (x 2)| ≤224555+= …………………………13分。

北大附中2020届高三阶段性检测一、选择题共9小题，共40分.第1～5题每题4分，第6～9题每题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅2.已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（）A.-1B.1C.2D.-23.已知0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.22a b <B.11a b>C.a b< D.22a b>4.已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=（）A .-1B.C.1D.6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（）A .B.C.12+ D.17.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里8.已知函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A.()00f = B.0a =时，()f x 的值域为R C.()f x 在R 上单调递增时，0a =或1a ≥ D.方程()2f x =有解时，a <9.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（）A.1Q ，1P B.1Q ，2P C.2Q ，1P D.2Q ，2P 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10.抛物线216x y =的准线方程为______.11.已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）12.在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______.13.方程sin cos 2x x =在区间[],ππ-上的解集为______.14.设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．15.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义α 和β 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅.若非零的平面向量a ，b 满足：a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合3|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥ .设a 与b 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=______.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.18.已知M 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点.（1）求M 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）.19.已知函数()22xf x e x ax=-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21.已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.。

北大附中2021届高三阶段性检测数学 2020.12.18本试卷150分，考试时间120分钟。

请考生务必将试题的答案填涂、作答在答题卡规定区域内，在试卷上作答无效。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若(1)2z i i +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上存在零点的是（ ） A. 1y x =+ B. 1y x x=+C. 3y x x =-D. sin y x x =-3. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点36(,)-， 则cos()πα-=（ ） A. 3-B. 3C. 6-D. 6 4. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=. 若12l l ∥，则实数a 的值是（ ） A. 0 B. 3- C. 0或3- D. 2或1-5. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D. 侧面四个三角形都是直角三角形6. 已知a ，b 是非零向量，则“a ，b 不是共线向量”是“a b a b -<+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知O 为坐标原点，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线W 于两点P ， Q ，则POQ ∆的面积（ ）A. 有最大值且有最小值B. 有最大值且无最小值C. 无最大值且有最小值D. 无最大值且无最小值8. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为（ ）A. 4800元B. 4900元C. 5000元D. 5200元 9. 已知圆22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A. (1,1)-B. [1,1]-C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1][1,)-∞-+∞ 10. 已知2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，其中,,a b c R ∈. 记集合{}()0S x R f x =∈=，{}()0T x R g x =∈=，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A. 1S =且0T =B. 1S =且1T =C. 2S =且2T =D. 2S =且3T = 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

绝密★启用前北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩ðU B ＝（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2} 2．1x <是12log 0x >的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2x y －＝ 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)4．△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A ．x 225+y 29=1 B ．y 225+x 29=1（y≠0） C ．x 216+y 29=1(y ≠0)D ．x 225+y 29=1（y≠0）5．(2016高考新课标III ，理3)已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32) ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√32,12), 则∠ABC = A ．30∘B ．45∘C ．60∘D ．120∘6．若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（ ） A ．(x −2)2+(y ±2)2=3 B ．(x −2)2+(y ±√3)2=3线…………线…………C．(x−2)2+(y±2)2=4D．(x−2)2+(y±√3)2=47．向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b与c共线,则实数λ=A．2-B．1-C．1D．28．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是（）A．S7<S8B．S15<S16C．S13>0D．S15>09．在ABC∆中，,,a b c分别为,,A B C的对边，如果,,a b c成等差数列，30B=︒，ABC∆的面积为32，那么b=（）A B．1+C D．210．若1a>，设函数()4xf x a x=+-的零点为(),log4am g x x x=+-的零点为n，则11m n+的取值范围是( )A．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．[)1,+∞C．()4,+∞D．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．设向量,a b是互相垂直的单位向量，向量a bλ+r r与2a b+r r垂直，则实数λ=_______12．已知点(2,0),(0,2)A B-，若点C是圆222x x y-+＝0上的动点，ABC∆的面积的最大值为．13．在等比数列{}n a中，14a=，公比为q，前n项和为nS，若数列{}2nS+也是等比数列，则q等于14．若圆()()22229x y-+-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b+-=>>对称，则19a b+的最小值为__________.○……○……15．已知点,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.16．已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=u u u r u u u u rg ，则λ的取值范围是__________. 三、解答题17．已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+= (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12?··f f f n +++19．已知点() 4,0C ，点 A B 、是圆22:20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC =u u u r u u u rg ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ，求k 的值20．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21．已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m:x =1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点．判断直线MB,MC是否关于直线m对称，并说明理由．22．对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S （A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．参考答案1．A【解析】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故ðU B ＝{x|x ＜1} 所以A∩ðU B ＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算 2．B 【解析】 【分析】 解对数不等式12log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.【详解】 ∵111222log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <， ∴1x <是12log 0x >必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题. 3．B 【解析】2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B ． 点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2xy =是单调递增的． 4．D 【解析】∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2a =10,c =4∴b 2=9∴ x 225+y 29=1(y ≠0)，选D.5．A【解析】试题分析：由题意，得cos∠ABC =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=12×√32+√32×121×1=√32，所以∠ABC =30°，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为a ⋅b ＝|a||b|cosθ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0∘≤θ≤180∘；（2）由向量的数量积的性质知|a|=√a ·a ，，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 6．D 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±√3，选D. 7．D 【解析】 【分析】由图中可知2+=a b c ，即可得到答案． 【详解】由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=. 答案为D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题． 8．C【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7>0,S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0，故选C.考点：1. 等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.9．B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--24b =+，解得1b =+B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式． 10．B 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果． 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标， 函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m n m n m n m n n m+=++=++…， 当2m n ==等号成立， 而4m n +=，故111m n+…， 故所求的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ．本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 11．2- 【解析】 【分析】根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值. 【详解】∵向量,a b r r是互相垂直的单位向量，∴0,||||1a b a b ⋅===r r r r，∵a b λ+r r 与2a b +r r垂直，∴22()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=-r r r r r r r r . 故答案为：2-. 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1. 12．32+ 【解析】试题分析：圆2220x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为1141222C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．考点：直线与圆的位置关系． 13．3解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s 2+2）2=（S 1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可得 q=3 14．16 【解析】 【分析】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19a b+的最小值． 【详解】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=． 所以119()()101061699b aa b a b a b a b+=++=+++=…， 当且仅当9b aa b=，即3a b =时取等号.故答案为：16. 【点睛】本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 15．4 【解析】 【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论． 【详解】① 若只有,,164A B ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin()6πω=g ，sin()14πω=g ，sin 02πω≠g ，则22,2,6332,42,2k k k Z k k Z k k Z πππωπωπππωππωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=+∈⎨⎪≠∈⎩或，求得ω无解．②若只有点,,,0622A C ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=g ，sin()02πω=g ，sin()14πω≠g ，故有22,2,6363,22,42k k k Z k k Z k k Z ππππωπωππωπππωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+∈⎪⎩或，即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+∈⎩或，求得ω的最小值为4． ③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin 62πω≠g，sin 14πω=，sin 02πω=，故有2,42,222,2,6363k k Z k k Z k k k Z ππωππωπππππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩且，即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩且，求得ω的最小正值为10， 综上可得，ω的最小正值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论. 16．(],1-∞- 【解析】 【分析】用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围． 【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，∴2220000003(,1)(,1)122o MP MQ x y x y x y x λ==----=--+=-+u u u r u u u u r g g ．Q 0||x max 32212λ=-⋅+=-，λ∴的取值范围是(],1-∞-．故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题. 17．(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x取到最小值- 【解析】 【分析】（1）a b ∥即3sin x x =，即可求出56x π=．（2）将()f x 表达式表示出来，注意使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值． 【详解】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 6x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x取到最小值-【点睛】此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目． 18．(1)121,3n n n a n b -=-=;(2) ()11312n m -=+，3214n n +-【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)， 则121,3n n n a n b -=-=.(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()11312n m -=+； ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭ 3214n n +-=. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.19．(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =- 【解析】 【分析】（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程：（2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】(1)设点P 坐标为(),x y ，因为P 为弦AB 的中点，则 OP AB ⊥， 因为0AC BC =u u u r u u u rg ，则AC BC ⊥，所以222OP PC OB +=，即()()2222420x y x y ⎡⎤++-+=⎣⎦，整理得()2226x y -+=，点P 的轨迹Γ是以点()2,0的圆， 方程为22( 2) 6x y -+=. (2)Γ的圆心()2,0到1l的距离1|20|2d == Γ被1l截得的弦长为=； Γ的圆心()2,0到2l的距离2d =，Γ被2l截得的弦长为=由题可知=:2k =-.【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用. 20．（1）3e 2e 0x y ++=. （2）1a ≤-或a 2e 4≥-. 【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2xfx x e -=⋅，则()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x '=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.试题解析：(1)当0a =时，因为()2xf x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题. 方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 21．(1)x 24+y 23=1；(2)对称.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，ca =12，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，32)，设直线l:y =12x +n ，n≠1．设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），由{x 24+y 23=1y =12x +n，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB ，MC 关于直线m 对称． 试题解析： (Ⅰ)由题意得c ＝1, 由＝可得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，)， 所以由题意可设直线l ：y ＝x ＋n ，n ≠1. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝＋＝＋＝1＋＋＝1＋ ＝1－＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.22．（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8 【解析】 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}． （2）令{}12,,n A x x x =L ．不妨设12n x x x <<<L ． 充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n +剟．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1． 因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-L ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等． 又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-L ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20， 而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3． 假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<…，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7， （i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ． 此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．（ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T （T （A ）），若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26， 解得2a =5或2a =2．当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T （T （A ））．不满足题意． 当A ={1，2，8}时，T （T （A ））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。

2020届北京市北京大学附属中学高三上学期月考（12月）数学试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2【答案】B【解析】化简复数z ,求出其实部,虚部,列式求解即可. 【详解】1(1)()()bi bi i z b i i i i --⋅-===--⋅-, 因为复数z 的实部和虚部相等, 所以1b -=-,即1b =, 故选:B. 【点睛】本题考查复数,属于简单题.3．已知0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b> C ．a b < D ．22a b >【答案】D【解析】根据不等式的性质逐一判断选项正误即可. 【详解】若0a b >>,则22a b >,11a b<,a b >,故A,B,C 选项错误; 因为2xy =在R 上递增,所以22a b >,故D 选项正确; 故选:D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题. 4．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，可得“04πθ<≤”等价于“01k <≤”,再判断充要性即可. 【详解】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则04πθ<≤等价于“01k <≤.故“04πθ<≤”是“1k ≤”的充分不必要条件,故选:A. 【点睛】本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大.5．已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．-1B ．C ．1 D【答案】C【解析】运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可. 【详解】在正方形ABCD ,有AC =,()()cos 14OC OB AB AD BC AC AD AC AD AC π∴-⋅+=⋅=⋅=⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选:C. 【点睛】本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题.6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A BC D 1【答案】A【解析】根据题意求出渐近线的斜率,从而得到,a b 之间的等量关系,进而求出离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=垂直, 所以该渐近线的斜率为12, 所以12b a =,即12b a =,所以ce a===,故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率,难度不大.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．96里 B ．48里 C ．192里 D ．24里【答案】A【解析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,设该数列为{}n a,其前n项和为n S则有6161(1())2378112aS-==-,解得1192a=,故2196a a q==,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键. 8．已知函数()2,,x x af xx x a≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A．()00f=B．0a=时，()f x的值域为R C．()f x在R上单调递增时，0a=或1a≥ D．方程()2f x=有解时，2a<【答案】D【解析】作出2(),()g x x h x x==的图像,结合图像一一分析选项正误即可.【详解】作出2(),()g x x h x x==的图像如下图所示:当0x=时,(0)0,(0)0g h==,故不论a取何值,()00f=,故A选项正确;当0a=时,()2,0,0x xf xx x≤⎧=⎨>⎩,其值域为R,故B选项正确;若()f x 在R 上单调递增,结合上图可知0a =或1a ≥,故C 选项正确; 若方程()2f x =有解,结合上图可知2a ≥或2a <,故D 选项错误;故选:D. 【点睛】本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力.9．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（ ）A ．1Q ，1PB ．1Q ，2PC ．2Q ，1PD ．2Q ，2P【答案】A【解析】根据题意可知:i i Q A =的纵坐标i B +的纵坐标,i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论. 【详解】①因为i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则11Q A =的纵坐标1B +的纵坐标;22Q A =的纵坐标2B +的纵坐标; 33Q A =的纵坐标3B +的纵坐标;结合图像可知:1Q ,2Q ,3Q 中的最大值为1Q ;②因为i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数, 则i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,结合上图可知:1P ,2P ,3P 中的最大值是1P ; 故选:A. 【点睛】本题考查函数的图像,能明确i Q ,i P 的几何意义是解题关键.二、填空题10．抛物线216x y =的准线方程为______. 【答案】4y =-【解析】利用抛物线方程确定p ,即可求出准线方程. 【详解】抛物线216x y =的焦点在y 轴上,且42p=, 故其准线方程为:4y =-, 故答案为:4y =-. 【点睛】本题考查抛物线方程,属于基础题.11．已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）【答案】①③(或①④)【解析】作出函数的图像,分别判断交点个数即可.作出函数图像如下图所示:结合图像可知:①y x =-与③3y x =,④12y x =均只有一个交点,故答案为:①③(或①④) 【点睛】本题考查函数的图像及其交点个数问题,属于简单题. 12．在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______. 27+【解析】根据等差中项的性质,列出等式求解q ,进而得出结论. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q , 由1a ,12,3a ,22a 成等差数列, 可得21311223111111222222a a a a q a a a q a q +=⎧+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩, 解得273q +=或273q =(舍), 所以4327a q a +==, 故答案为27+本题考查等差中项的性质应用,结合等比数列的相关知识,需要一定的计算能力. 13．方程sin cos2x x =在区间[],ππ-上的解集为______. 【答案】5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】利用二倍角公式将原方程化为关于sin x 的二次方程求解,再结合x 的范围求解sin x 即可.【详解】2sin cos212sin x x x ==-,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 因为[],x ππ∈-, 所以6x π=或56x π=或2x π=-, 故答案为:5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查解三角函数相关的方程,需要一定的计算能力,属于简单题.14．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．【考点】方程组的思想以及基本不等式的应用．15．对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义αu r 和βur 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅u r u ru r u r u r u r .若非零的平面向量a r ，b r 满足：a b ⊗r r 和b a ⊗r r都在集合|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥r r .设a r 与b r 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=r r ______.【答案】23【解析】化简1cos a a b b θ⋅⊗==r r r r,2cos b b a aθ⋅⊗==rr r r ,则2121()()cos 3a b b a k k θ⊗⋅⊗==r r r r ,因此依据θ的范围即可求出12k k 的范围,进而确定其值,求出()sin a b θ⊗r r.【详解】11cos cos ()3a b a a b a b k k Z b b b b bθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 22cos cos ()3b a b b a b a k k Z a aa a aθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 2121()()cos 3a b b a k k θ∴⊗⋅⊗==r r r r ,,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,213cos (,)24θ∴∈,1239(,)24k k ∴∈,12,k k Z ∈Q ,122k k ∴=,22cos 3θ=,sin θ=, a b ≥r rQ ,12k k ∴>,即122,1k k ==,()2sin 3a b θ∴⊗=r r ,故答案为:23.【点睛】本题以新定义为背景考查向量数量积的应用,结合了三角函数的相关知识,需要学生有一定的分析计算能力.三、解答题16．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈;（2）[1,)-+∞ 【解析】(1)化简()f x ,再用整体法求出其单调减区间即可; (2)根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即可求出()f x 的值域,再令min ()0f x ≥即可求解. 【详解】(1)()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos cos cos 22x x x x x a =+-++cos x x a =++2sin()6x a π=++,令322()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 解得422()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 因此()f x 的单调递减区间为4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈, (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2[,]663x πππ+∈, 1sin()[,1]62x π∴+∈,()[1,2]f x a a ∴∈++,又()0f x ≥恒成立, 所以10a +≥,即1a ≥-, 所以a 的取值范围为:[1,)-+∞. 【点睛】本题考查复合型三角函数求单调区间及其相关的恒成立问题,难度不大.解决此类恒成立问题的关键是将其转化为最值问题.17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（23【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan 3A =- 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果.试题解析：（1）sin 30,tan 3A A A +=∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 72cos 77AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=132ABD ABC S S ∆∆∴==18．已知M e 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点. （1）求M e 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M e 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）. 【答案】(1)22(1)(2)25x y ++-=;(2)72【解析】(1)根据题意设出圆的一般方程,再代点求解,最后化为标准式即可;(2)先求出圆心M 到直线l 的距离,再利用垂径定理求出弦长DE ,进而可求MDE ∆的面积. 【详解】(1)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=, 因为M e 过()1,7A -,()2,6B ,()1,3C --三点,所以1+497024362604193020D E F D D E F E D E F F -++==⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+--+==-⎩⎩,所以圆M 的方程为2224200xy x y ++--=,所以圆M 的标准方程为22(1)(2)25x y ++-=; (2)圆心2()1,M -到直线l的距离为2d ==,则DE ===所以MDE ∆的面积为1172222S DE d =⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查求圆的方程,考查直线与圆相交的相关性质,难度不大.一般遇见直线与圆相交的题时,常用上垂径定理.19．已知函数()22xf x e x ax =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【答案】(1)(12)10a x y +-+=;(2)证明见详解 【解析】(1)求出()f x ',再根据切点求切线方程即可; (2)分别对其充分性和必要性进行分析即可. 【详解】(1)()22xf x e x a '=-+,所以(0)1,(0)12f f a '==+,所以()f x 在点()0,1处的切线方程为:1(12)y a x -=+, 即(12)10a x y +-+=;(2)当0x >时,()22xf x e x a '=-+,()2xf x e ''=-,令()0ln 2f x x ''>⇒>,则()f x '在(ln 2,)+∞上单调递增;令()00ln 2f x x ''<⇒<<,则()f x '在(0,ln 2)上单调递减;所以min ()(ln 2)22ln 22f x f a ''==-+ ①若0a >,则min ()22ln 220f x a '=-+>, 故()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以()(0)1f x f >=, 即“0a >”⇒“()1f x >”;②由①可知,只要min ()22ln 220f x a '=-+>,即ln 21a >-时,()f x 即在(0,)+∞上单调递增,即有()1f x >,因此“()1f x >”⇒“0a >”;故“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程,还结合了充要性考查导数的相关性质,属于中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=;（2）(4,0)-,证明见详解【解析】(1)由题意可得11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,1b =,进而得到椭圆方程;(2)设出直线PQ 的方程和P ,Q 的坐标,则可知1P 的坐标,进而表示出1PQ 的直线方程,再联立PQ 方程与椭圆方程,即可把0y =代入1PQ 求得x ,结合韦达定理进行化简,进而得出直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【详解】(1)由题意可得1(0,)B b ,2(0,)B b -,1(,0)F c -, 11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,22b =,即1b =,则椭圆的方程为2214x y +=;(2)由题可知直线PQ 的斜率不为0,故设直线PQ 的方程为:1x my =-,联立22144x my x y =-⎧⎨+=⎩, 得22(1)44my y -+=,即22(4)230m y my -+-=(0m ≠), 设1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y ,则11(P x ,1)y -, 又12224m y y m +=+,12234y y m =-+, 经过点11(P x ,1)y -,2(Q x ,2)y 的直线方程为121121y y y y x x x x ++=--, 令0y =,则211221112112x x x y x y x y x y y y y -+=+=++g , 又111x my =-,221x my =-.当0y =时,1221121212(1)(1)21my y my y my y x y y y y +==-++--2264131424mm m m -+=-=--=-+. 故直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题,属于中档题.21．已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.【答案】(1)4,1,3,2或4,2,1,3;(2)证明见详解;(3)7n =时不存在,8n =时存在,理由见详解 【解析】(1)根据题意直接写数列即可;(2)假设11a =,则110a -=,那么i a i -最多有1n -个结果,无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P ,题设得证;(3)根据两组1,2,3,…,n 中的奇偶个数,可以推导i a i -的结果中,奇数与偶数的个数组合,从而得出结论. 【详解】(1)若4n =,且14a =,则具有性质P 的数列A 有两个, 分别是4,1,3,2或4,2,1,3;(2)数列A :1a ,2a ,3a ,…,()4n a n ≥为1,2,3,…,n 的一个排列, 则i a i -最多有n 个结果,分别是0,1,2,,1n -L , 若11a =,则110a -=,2i ≥时,i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L ,因此,若11a =,则i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L , 无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P , 因此,若数列A 具有性质P ,则11a ≠; (3)当7n =时,不存在具有性质P 的数列A ; 当8n =时,存在具有性质P 的数列A . 证明如下:当7n =时,A :1a ,2a ,3a ,…,7a 为1,2,3,…,7的一个排列, 若其具有性质P ,则i a i -的结果应该分别是0,1,2,,6L , 包含3个奇数,4个偶数,而两组1,2,3,…,7中,包含8个奇数,6个偶数,其中,3个奇数与3个偶数相减能得到结果中的3个奇数,但剩下的5个奇数和3个偶数组合无法减出4个偶数,n=时,不存在具有性质P的数列A;因此7n=,则两组1,2,3,…,8中包含8个奇数,8个偶数,若8L,这4个偶数,4个奇数,可以组合相减得到0,1,2,,7n=时,存在具有性质P的数列A.因此8【点睛】本题以新定义为背景考查数列,结合了排列组合的相关知识,需要学生有一定的分析推理能力.。

清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答卷上.X 2 3x 22x 1 22. 已知命题p 、q ，贝UA .充分不必要条件 C .充要条件A 一定没有常数项B 当且仅当 n = =5时， 展开式中有常数项C 当且仅当 n = =4k (k N*)时，展开式中有常数项D 当且仅当 n : =7k (kN*)时，展开式中有常数项 N*)的展开式中1. lim x 1C . 11 B.—2"命题p 或q 为真”是"命题p 且q 为真”的B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件3. 已知a < 0 , b < 1,则下列不等式成立的是a aA . a >> ~2b b a aC . —> -2 > a b b 24. 已知m , n 是不重合的直线， ①若m , m ，则〃 ③若m // n , m ，贝U n 其中正确命题的个数是 A . 1个a a 2 > > ab b a a bb 2是不重合的平面，给出下列四个命题: ②若m ④若m,m // n ,则 ，则// 函数 y = cos(2x ―)的一条对称轴的方程是46. 角是A . x =2已知a 、b 是非零向量且满足条件: C . (a 2b)8r (b2a) A .—67.将函数y. 3sinx轴对称，则a 的最小值为A .乙 6B .—3cosx 的图象沿C .— 3x 轴向左平移a 个单位 b ，贝U a 与b 的夹(B )D .6 (a > 0)，所得图象关于y(D )C. 6等于1& 在(a 2 2a 3)n (n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答卷相应题号的横线上.9 .不等式£二< 0的解集为 ___________________ . {x | x < 2或x > 1}1 x10. _________________________________________________________________ 设函数f(x) = log a x (a > 0, a 工1)满足f(9) = 2，则 f 1 (log9 2)等于 ____________________ .迈11. 已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3,4, x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125，则x = ______ 10 ___ .(球的表面积公式S = 4 R2,其中R表示球的半径)12. 正方形ABCD的边长为2, E、F分别是AB和CD 的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形AEFD内一点，如果MBE =MBC , MB和平面BCF所成角的正切值为丄，那么点M至煩线EF的距离为.2 --------------------------------------------------------------_2~213. 设函数f(x)是定义域为R的函数，且f(x + 2)[1 f(x)]= 1 + f(x),又f(2) = 2 + 2 ,则f(2020) = _________________ .提示：可推得f(x + 4) = 1, f(x + 8) = f(x),从而f(2020) =f(6) = - = ―2.f(x) f(2) 214•定义运算符号：“ ”，这个符号表示若干个数相乘•如：可将 1 2 3 … n n记作P i ,(nN*).n已知T n = P a i, (ni = 1N*)，其中a i为数列{ a n}( n N*)中的第i项①若a n=2n 1,贝U T5= .9451, n 1②若T =n2(n N*)，贝U a n = a n n nn()2, n 2n 1三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解得cotB = 2，从而tan B2bc15. (本小题满分13分)在c满足条件b2 + c2 bc = a2和- b 解法一：由余弦定理cosA A ABC中，A、B、C所对的边长分别为1 2 b2因此，A = 60 , ...................................... 在厶ABC 中，C = 180 A B = 120A由已知条件，应用正弦定理-• 32sin120 cosB cos120 sin Bsin B 2otB2 11分13分3, 求A和tanB的值.a、b、c.设a、b、B.……sin Csin Bsin (120 B)sin B因此，A = 60，b b b 424a V15所以① ................................................................ 8分b 2由①式知a > b ,故B < A ,因此，B 为锐角,16. （本小题满分12分） 中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已17.（本小题满分uri 14分）ir unrur nn IT unr已知lei 1， 61 2 , e 与e ,的夹角为90 , a(n )2B(5,3)，则 P 5(r)C 5rP r(1 Pl竺，即 C 5r (-)r (-)5 r 洱243 3 33580243，80 , T = 3 或 T = 4 .2（川厂〜B(5,；),32 10 ••• E5 ,D3 35r r二 C 5 210解法由余弦定理cosA,2 2 2b c a2bc222 a 2c 2 c 1115由 b + c bc = a ，得()1(—)13 33 由正弦定理bsinA 2 虫1 ..............................................a 15 2 .510分于是 cos B . 1 _sin 2 B2 .15，11分从而tan Bsin B cosB13分知每位考生测试合格的概率都是3. 3若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各 3个座位，求体育教师不坐后排的概率;80 若5人中恰有T 人合格的概率为 一一，求T 的值；243 记测试合格的人数为，求的期望和方差.C 31（I ）体育教师不坐后排记为事件 A ,则P （A ） 〒 C6(I )(n )(川) 解:2r bLnek（1）若a b，求实数k的值；r r（2）若a与b共线同向，求实数k的值.ur uu 解：⑴••• e , e,,r r r r ■/ a b , ••• a b U 2 UU 2即：2ke 2ke 21,e 2r r(2) ••• a 与b 共线同向，•r ur uu r ur T a ke , 2e 2， b 2e ur uu又e 1,e 2为不共线向量，•又 > 0 , • k = 2 ....... ............................................................ 18. (本小题满分14分)如图，已知正三棱柱 ABC — A I B I C I , D 是AC 的中点, / C i DC = 60 /(I )求证：AB i //平面 BC i D ; (n )求二面角 D — BC i — C 的大小.解法一：(I )连结B i C 交BC i 于O,则O 是B i C 的中点，连结DO . •••在△ AB i C 中，O 、D 均为所在边的中点， •- AB i / DO ....................................... 3 分T AB i 平面 BC i D , DO 平面 BC i D ,• AB i / 平面 BC i D. ............................. 6 分 (n )设正三棱柱底面边长为 2，则DC = i .•••/ C i DC = 60 ° • CC i = 3 . 作DE 丄BC 于E . •••平面BCC i 丄平面ABC ,• DE 丄平面BCC i B i , 作EF 丄BC i 于F ，连结DF ，贝U DF 丄BC i ,• / DFE 是二面角D BC i C 的平面角 ........... i0分 在Rt A DEC 中，DE =亟 EC 丄2' 2 '解法二：以AC 的中点D 为原点建立空间直角坐标系如图， 设| AD | = 1,V Z C i DC = 60 ,° • | CC i | =73 .ur ur•- q e ,0, ..........................................ur ur ur ur0 , • (ke , 2e 2) (2q ke 2) 0, ur uu(k 2 4)e e 2 0, .......................... r r a b(0) ° ..........uu ir uu ur ur ke 2 ° • ke i 2e 2 (2e i ke 2)k 2 1亠1•或k 2k 2k 22分4分 6分 8分12分•••在 Rt A DEF 中，tan DFE = C i B C3— ____23_73、32、・7 'DE 3 2、7 7 EF 2 3 3 3 °•二面角D BCi C 的大小为a 「如于14分在 Rt A BFEi4分则A(1 ° 0° 0)° B(0° 3 ° 0)° C( 1° 0° 0)°A i(1 ° 0 ° .3) °B i(0 ° 3 ° .3) °C i( 1° 0 ° . 3) °(I )连结B i C交BC i于O°则O是B i C 的中点°19. （本小题满分14分）设｛a n ｝是正数组成的数列，其前 （I ）写出数列｛ a n ｝的前三项；（n ）求数列｛a n ｝的通项公式，并写出推证过程；41（川）令h，数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,试比较T n 与 的大小.a n a n 12解：（I ）由题意，当 n = 1 时，有 a 1 = 2 2S 1 2, Si = a 1,•- a 1 =2 2a / 2,解得 a 1 = 2,当 n = 2 时，有 a 2 = 2 2S 2 2 , S 2 = a 1 + a 2,将a 1 = 2代入，整理得（a 2 2）2 = 16，由a 2 > 0,解得a 2 = 6, 当 n = 3 时，有 a 3 = 2 2S 3 2 , S 1 = a 1 + a 2 + a 3,将 a 1 = 2, a 2 = 6 代入，整理得（a 3 2）2 = 64，由 a 3 > 0，解得 a 3 = 10, 所以该数列的前三项分别为2, 6, 10. ....................................... • (4)分 (n )由 a n = 2.2S n 「2 (n € N*),整理， 得 S n = — (a n + 2) 2,81 则 S n + 1 = (a n + 1 + 2) 2,…a n +1 : 12 =S n + 1 S n = [(a n + 1 + 2) 8 (a n + 2)2], 整理，得(a n + 1 + a n )( a n + 1 a n 4) =0,由题意知 a n + 1 + a n 0,二 a n + 1 a n = 4,uuuc uur,AB 1 = 2DO ,连结 DO ,则 0 (T AB 1 与 DO 不重合，• AB 1// DO .又AB 1 平面BC 1D , DO 平面BC 1D ,•- AB 1/平面 UUUU (n ) DC 1 = ( 1,BC 1D. .................................UULU0 , ■3) , C 1B = (1 , 3 ,设平面BC i D 的法向量为n =（X , y , z ），则 •- 8分3),r UUUir n DC 1 0r UULU, n GB 0即 x [3z，则有 y = 0 ,令 z = 1,x J 3y .3z 0则 n =(3, 0 , 1) ..................... , .............设平面 ’10分BCC 1B 1 的法向量为 m = (x , y , z),UULUlCC 1 0 UUUrC 1B 01，解得 '3z 0 x J 3y m = ( .3 ,1, ，即0),••• z'= 0,.面角D BC iC 的余弦值为cos v n , •二面角D BC i C 的大小为 3 arc cos-414分n 项和为3,且对于所有的正整数 n ,有a n 2 2S^2•即数列｛a n｝为等差数列，其中首项a1 = 2，公差d = 4, ........................ 9分二 a n = a i + (n -1)d = 2 + 4(n T), 即｛a n ｝的通项公式为 a n = 4n -2, n € N* . ................................................................................................... 10分4 4⑴)bn = a n a n 1 = (4n 2)(4n 2)20. (本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f(x) = ax 3 2bx 2 + ex + 4d (a , b , c , d € R)的图象关于原点 对称，且x = 1时，f(x)取极小值-.5(I )求f(x)的解析式；(n )当x € [ 1, 1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证 明你的结论；4(川)若 X 1, x 2 € [ 1 , 1]时，求证：I f (X 1)f (X 2)| W-5解：(I 厂•函数f(x)的图象关于原点对称，••• f(0) = 0,即4d = 0,二d = 0,又 f( 1) = f(1), 即卩 a 2bc = a + 2b —c ,「. b = 0,• f(x) = ax 3 + cx , f ' x) = 3ax 2 + c .••• x = 1 时，f(x)取极小值 -,•••3a + c = 0,且 a + c =-, (n )当x € [ 1, 1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立. 假设图象上存在两点 A (X 1, y 1), B(x 2, y 2),使得过此两点处的切线互相垂直,则由f 'x ( = 3(x 21)知两点处的切线斜率分别为 k 1 = -(x' 1),553 29 22k 2 = ：(x 2 1)，且丁(人 1)(X 21)= 1 (*)5 252 2T X 1, X2€ ［ 1, 1］,.・・ X 1 1 <0, X 2 1 <0,2 2•- ( X 11)( X 2 1) >0,此与(*)矛盾，故假设不成立，即当x € ［ 1, 1］时，图象上不存在这样的两点使得结论成立. ... 9分 (川)证明：f z x) = 3 (x 2 1),令 f'x) = 0 ,得 x = ±,5• x € ( s, 1)或 x € (1 , + s 时，f'x (> 0 , x € ( 1, 1)时，f'x)< 0 ,221 14n 2 4n 2 T n = b 1 + b 2 + …+ b n1 1 1 1 =( )( )L2 6 6 10(4n 21 1< .4n 2 214分55解得a =5,c =3 ,•f(x)=5x3 |x .............................. ................................ 5分•- f(X)在［1 , 1］上是减函数，且f max (x) = f( 1) = , f min(x) = f(1)= .5 52•••在［1, 1］上I f(x)| <—,于是X1 , X2€ ［ 1, 1］时，52 2 4I f (X1) f (X2)| <(X 1) | + | f (X2)| < ................................. 13 分5 5 52每位考生测试合格的概率P 3，测试不合格的概率为。