第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型

arma模型的数学表达式摘要：一、arma模型的简介- 自回归滑动平均模型(ARMA)的概念- ARMA模型在时间序列分析中的应用二、arma模型的数学表达式- ARMA模型的数学定义- 典型ARMA模型的数学表达式三、arma模型的性质与特点- ARMA模型的稳定性- ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数四、arma模型的参数估计与预测- 矩估计方法- 极大似然估计方法- ARMA模型的预测方法正文：一、ARMA模型的简介自回归滑动平均模型，简称ARMA模型，是一种常用的时间序列分析模型。

它由自回归模型(AR)和滑动平均模型(MA)组合而成，能够同时考虑时间序列的自相关性和滑动平均性。

ARMA模型广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域，用于预测和分析具有线性趋势的时间序列数据。

二、ARMA模型的数学表达式ARMA模型的数学定义如下：Y_t = c + Φ1Y_(t-1) + Φ2Y_(t-2) + ...+ Φpy_(t-p) + θ1X_(t-1) +θ2X_(t-2) + ...+ θqx_(t-q) + ε_t其中，Y_t表示需要分析的时间序列数据，c为常数项，Φi和θj为自回归和滑动平均系数，p和q分别为自回归和滑动平均的阶数，X_t为解释变量，ε_t为误差项。

典型的ARMA模型有：- AR(p)模型：当q=0时，ARMA模型退化为自回归模型。

- MA(q)模型：当p=0时，ARMA模型退化为滑动平均模型。

- ARMA(p,q)模型：当p≠0且q≠0时，为一般ARMA模型。

三、ARMA模型的性质与特点ARMA模型的稳定性主要取决于其系数Φ和θ的取值。

当|Φ(1+jω)|<1和|θ(1+jω)|<1时，ARMA模型是稳定的。

此外，ARMA模型的自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)可以用来分析时间序列的序列相关性和平均相关性。

四、ARMA模型的参数估计与预测ARMA模型的参数估计方法有矩估计和极大似然估计。

（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）原⽂链接：https:///qq_39521554/article/details/79028012什么是移动平均法? 移动平均法是⽤⼀组最近的实际数据值来预测未来⼀期或⼏期内公司产品的需求量、公司产能等的⼀种常⽤⽅法。

移动平均法适⽤于即期预测。

当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是⾮常有⽤的。

移动平均法根据预测时使⽤的各元素的权重不同 移动平均法是⼀种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含⼀定项数的序时平均值，以反映长期趋势的⽅法。

因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出事件的发展趋势时，使⽤移动平均法可以消除这些因素的影响，显⽰出事件的发展⽅向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。

移动平均法的种类 移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。

⼀、简单移动平均法 简单移动平均的各元素的权重都相等。

简单的移动平均的计算公式如下： Ft＝（At-1＋At-2＋At-3＋…＋At-n）/n式中， ·Ft–对下⼀期的预测值； ·n–移动平均的时期个数； ·At-1–前期实际值； ·At-2，At-3和At-n分别表⽰前两期、前三期直⾄前n期的实际值。

⼆、加权移动平均法 加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不同的权重。

其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作⽤是不⼀样的。

除了以n为周期的周期性变化外，远离⽬标期的变量值的影响⼒相对较低，故应给予较低的权重。

加权移动平均法的计算公式如下： Ft＝w1At-1＋w2At-2＋w3At-3＋…＋wnAt-n式中， ·w1–第t-1期实际销售额的权重； ·w2–第t-2期实际销售额的权重； ·wn–第t-n期实际销售额的权 ·n–预测的时期数；w1＋ w2＋…＋ wn＝1 在运⽤加权平均法时，权重的选择是⼀个应该注意的问题。

arfima模型定义
ARFIMA模型是一种时间序列模型，也称为自回归分数积分滑动平均模型。

该模型用于描述具有长期记忆性的时间序列数据，其特点是能够同时考虑时间序列的长期依赖性和短期波动性。

ARFIMA模型的名称由自回归项(AR)、分数积分项(FI)和滑动平均项(MA)三个部分组成。

其中，自回归项用于描述时间序列的短期依赖性，即时间序列的当前值与其过去值之间的关系；分数积分项用于描述时间序列的长期记忆性，即时间序列的当前值与其过去长期状态之间的关系；滑动平均项用于描述时间序列的噪声成分，即时间序列中的随机波动。

在ARFIMA模型中，自回归项、分数积分项和滑动平均项的阶数可以自由设定，并且可以通过参数估计来确定这些阶数。

模型的参数估计通常采用最大似然估计法或最小二乘法等统计方法。

ARFIMA模型的应用非常广泛，它可以用于描述股票市场指数、汇率、债券价格等金融时间序列数据，也可以用于描述气温、降水等自然时间序列数据。

通过ARFIMA模型，可以对时间序列数据进行预测、分析和建模，从而为决策提供依据和支持。

需要注意的是，ARFIMA模型是一种比较复杂的模型，需要一定的统计和编程知识才能正确应用。

同时，由于模型的参数估计涉及到大量的计算和优化，因此也需要较高的计算能力和技术水平。

自回归滑动平均模型（ARMA 模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。

在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

定义ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。

这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法，适用于很大一类实际问题。

它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。

ARMA模型参数估计的方法很多：如果模型的输入序列{u(n)}与输出序列{a(n)}均能被测量时，则可以用最小二乘法估计其模型参数，这种估计是线性估计，模型参数能以足够的精度估计出来；许多谱估计中，仅能得到模型的输出序列{x(n）}，这时，参数估计是非线性的，难以求得ARMA 模型参数的准确估值。

从理论上推出了一些ARMA模型参数的最佳估计方法，但它们存在计算量大和不能保证收敛的缺点。

因此工程上提出次最佳方法，即分别估计AR和MA参数，而不像最佳参数估计中那样同时估计AR和MA参数，从而使计算量大大减少。

基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。

一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，Z为误差。

作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，由此，获得ARMA模型表达式：基本形式ARMA模型分为以下三种：自回归模型（AR：Auto-regressive）如果时间序列满足其中是独立同分布的随机变量序列，且满足：以及E() = 0则称时间序列为服从p阶的自回归模型。

时间序列的7种预测模型适用条件时间序列分析是一种重要的预测方法，它可以用来分析时间序列数据的趋势、季节性、周期性等特征，并预测未来的值。

时间序列的预测模型有许多种，不同的模型适用于不同的情况。

接下来，本文将介绍时间序列的7种预测模型适用条件。

1. 移动平均模型移动平均模型是最简单的时间序列预测模型，它适用于平稳的时间序列。

平稳时间序列是指在时间上的均值和方差都不会发生明显的变化。

在使用移动平均模型时，需要选取合适的平滑因子，通常选择3、5、7等奇数个周期进行平滑。

2. 简单指数平滑模型简单指数平滑模型是一种基于加权移动平均的方法，通过对历史数据进行指数加权平均，预测未来数据的变化趋势。

该模型适用于趋势比较平稳的时间序列，且最好不要出现季节性变化。

3. Holt-Winters 模型Holt-Winters 模型既考虑了时间序列的趋势，又考虑了季节性因素。

该模型适用于具有季节性变化的时间序列，可以通过调整相应的平滑系数和季节系数，获得更准确的预测结果。

4. 季节性自回归移动平均模型 SARIMASARIMA 模型是一种拓展的自回归移动平均模型，可以用于处理具有明显季节变化的时间序列。

该模型适用于具有季节性变化和趋势变化的时间序列，可以通过选择合适的 p、d 和 q 参数以及 P、D 和 Q 参数，拟合不同的模型结构进行预测。

5. 自回归积分滑动平均模型 ARIMAARIMA 模型是一种用于处理时间序列数据的常用模型，可以进行平稳性检验、自相关性和部分自相关性分析等。

该模型适用于没有季节性变化、存在趋势变化的时间序列。

6. 神经网络模型神经网络模型是另一种常用的时间序列预测方法，它可以利用网络的非线性映射能力对时间序列进行建模和预测。

该模型适用于复杂的时间序列，但需要大量的数据进行训练，同时参数设置比较复杂。

7. 非参数回归模型非参数回归模型是一种不依赖于某种特定的函数形式的回归方法。

它适用于数据量较小或者数据分布较为杂乱，无法使用传统的回归模型进行拟合的情况。

ARMAX（自回归移动平均模型）是一种时间序列预测模型，用于描述时间序列数据的特性。

它结合了自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）的特点，通过使用过去的输入和输出数据来预测未来的输出。

ARMAX模型的辨识原理基于以下步骤：
1.差分：首先，对非平稳时间序列数据进行差分处理，使其转化为平稳序列。

这是因为自回归模型
通常用于描述平稳过程，而差分可以消除时间序列中的趋势和季节性因素，使其变为平稳序列。

2.模型定阶：确定ARMAX模型的阶数。

阶数决定了模型中自回归和滑动平均的项数。

常用的方法
包括AIC准则、BIC准则、FPE准则等，这些准则可以帮助我们选择最优的阶数。

3.参数估计：使用最小二乘法、最大似然估计等方法对ARMAX模型的参数进行估计。

这些参数描
述了模型中自回归和滑动平均的强度和滞后时间等。

4.模型检验：通过残差分析、诊断图等方法对模型的拟合效果进行检验。

如果模型的拟合效果不佳，
可能需要重新调整模型的阶数或参数。

5.预测：使用训练好的ARMAX模型对未来数据进行预测。

根据已知的输入数据和模型参数，计算
未来的输出值。

总之，ARMAX模型的辨识原理是通过对非平稳时间序列数据进行差分处理，选择合适的阶数和参数进行模型估计和检验，并使用训练好的模型进行预测。

时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。

时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。

1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。

它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。

该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。

2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。

自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。

3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。

自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。

4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。

自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型（ARMA）是一种经济时间序列分析方法，用于预测未来的观测值。

它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的特点，具有很好的预测性能。

ARMA模型的数学表达式为：
y_t = c + φ₁*y_(t-1) + φ₂*y_(t-2) + ... + φ_p*y_(t-p) + ε_t + θ₁*ε_(t-1) +
θ₂*ε_(t-2) + ... + θ_q*ε_(t-q)
其中，y_t 是时间 t 的观测值，c 是常数项，φ₁, φ₂, ..., φ_p 是自回归系数，表示 t-1, t-2, ..., t-p 时刻 y 值对 t 时刻 y 值的线性影响；ε_t 是时间 t 的误差项，θ₁, θ₂, ..., θ_q 是移动平均系数，表示 t-1, t-2, ..., t-q 时刻的误差对 t 时刻 y 值的影响。

ARMA模型的参数估计可以利用最大似然估计或最小二乘法等方法进行。

根据观测数据的特征，选择合适的 AR 和 MA 阶数是模型建立的关键。

ARMA模型的预测能力在实际应用中被广泛认可。

通过估计模型参数，可以利用过去的观测值来预测未来的观测值。

预测结果可以帮助决策者制定相应的策略和措施。

需要注意的是，ARMA模型在实际应用中可能面临一些限制。

例如，如果数据存在非平稳性或季节性等特征，需要对数据进行预处理或使用其他模型进行分析。

总之，自回归移动平均模型是一种常用的时间序列分析工具，通过结合自回归和移动平均的特点，提供了对未来观测值的预测能力。

在实际应用中，应根据数据特征选择合适的阶数，并结合其他方法进行验证和优化，以达到更好的预测效果。