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测度论简要介绍测度论是数学中的一个重要分支，主要研究测度空间及其上的可测集合和测度函数。
测度论在实分析、概率论、数学物理等领域有着广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础理论之一。
本文将简要介绍测度论的基本概念、性质和应用。
一、测度的基本概念1.1 测度空间在测度论中，我们首先要定义测度空间。
测度空间是一个三元组$(X, \Sigma, \mu)$，其中$X$是一个集合，$\Sigma$是$X$上的一个$\sigma$代数，$\mu$是定义在$\Sigma$上的测度。
测度通常用来度量集合的大小，类似于长度、面积和体积等概念。
1.2 可测集合在测度空间中，$\Sigma$中的元素称为可测集合。
对于一个给定的测度空间，我们可以定义一个测度函数$\mu$，用来度量可测集合的大小。
常见的测度包括勒贝格测度、勒贝格-史蒂尔捷斯测度等。
1.3 测度的性质测度函数$\mu$通常具有以下性质：（1）非负性：对于任意可测集合$E$，$\mu(E) \geq 0$；（2）空集的测度为零：$\mu(\emptyset) = 0$；（3）可数可加性：对于任意可数个两两不相交的可测集合$\{E_n\}$，有$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$。
二、测度论的应用2.1 实分析中的应用在实分析中，测度论被广泛应用于研究函数的性质、积分的定义和性质等问题。
勒贝格积分就是建立在测度论的基础上，通过对可测函数的积分来定义积分运算，为实分析提供了坚实的理论基础。
2.2 概率论中的应用在概率论中，测度论也扮演着重要角色。
概率空间可以看作是一个测度空间，样本空间是全集，事件是可测集合，概率测度则是定义在事件上的测度函数。
通过测度论的方法，我们可以建立概率论的基本理论，研究随机变量、随机过程等概率模型。
2.3 数学物理中的应用在数学物理领域，测度论也有着重要的应用。
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}·元素与集合的关系：x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B={x| x A且x B}并：A B={x| x A或x B}差：A\B（或写成A-B）={x| x A且x∉B}补：=U\A（U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={(x,y)| x A且y B }（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，I称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】={x| x>}，A={x| x>0}，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{}，定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=；若为递减列，则有=。
1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。
像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)| x A}记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x| x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
测度论简要介绍测度论（Measure theory）是数学中的一个分支领域，主要研究集合的大小、度量和测度的概念。
它是现代数学分析的基础之一，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。
本文将对测度论的基本概念和主要结果进行简要介绍。
一、集合的测度在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。
测度是一种将集合映射到实数的函数，用来度量集合的大小。
常见的测度有长度、面积、体积等。
在测度论中，我们希望能够给出一个满足一定性质的测度函数。
1. 外测度外测度是测度论中最基本的概念之一。
给定一个集合，我们可以通过一系列简单的操作来定义它的外测度。
首先，我们将集合划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的长度之和。
最后，我们取所有可能的划分方式中的最小值作为集合的外测度。
2. 测度空间测度空间是指一个集合和一个在该集合上定义的测度构成的数学结构。
在测度空间中，我们可以对集合进行测度运算，比较集合的大小。
测度空间的定义需要满足一定的公理，如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
二、测度的性质测度论中的测度具有一些重要的性质，这些性质对于研究集合的大小和度量具有重要的意义。
1. 可测集在测度论中，我们将满足一定条件的集合称为可测集。
可测集是测度论中的基本对象，它们具有良好的性质和结构。
可测集的定义需要满足一定的条件，如可数可加性、闭性等。
2. 测度的可数可加性测度的可数可加性是测度论中的一个重要性质。
它表示对于可数个互不相交的集合，它们的测度等于各个集合测度的和。
这个性质在测度论中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中。
3. 测度的完备性测度的完备性是指测度空间中的任意一个零测集的任意子集也是零测集。
这个性质保证了测度的一致性和完整性，使得我们可以对集合进行更精确的度量。
三、测度论的应用测度论在数学和其他学科中有着广泛的应用。
以下是测度论在一些领域的应用举例：1. 概率论测度论为概率论提供了坚实的基础。
概率论中的概率可以看作是一种特殊的测度，它度量了事件发生的可能性。
《测度论》教学大纲课程编号：120502B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2适用对象：经济统计学、统计学先修课程：数学分析、概率论毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题；2.可以建立统计模型，获得有效结论；3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；4.关注国际统计应用的新进展；5.基于数据结论，提出决策咨询建议；6.具有不断学习的意识；7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；8.计算机编程技能与经济学基本常识。
一、教学目标测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。
其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。
本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。
通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。
（二）教学方法和手段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。
（三）考核方式开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。
（四）学习要求课上听讲，并独立完成课后作业。
三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一节集类1.集合代数2.集合代数的结构第二节可测空间1.西格玛代数2.可测空间的结构第三节单调类定理1.单调类2.单调类定理教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。
课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。
测度论的知识要点与复习自测测度论（Measure theory）是数学分析中的一个重要分支，它研究的是如何用一种衡量的方法来度量集合的大小。
测度论的基本概念是测度（Measure），它是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质，可以用来度量集合的大小或者说容量。
1.集合理论基础：测度论的起点是集合理论的基础知识，包括集合的包含关系、交、并、补、差等运算。
此外，还需要了解基本的记号和符号，如A∪B代表集合A和集合B的并集，A∩B代表集合A和集合B的交集，A\B代表集合A和集合B的差集等。
2.可测集与测度：在测度论中，我们关注的是可测集。
可测集的定义是指它满足一定的性质，使得我们可以为其赋予一个测度值。
测度是一个函数，将一些集合映射到实数，并满足一定的性质。
常见的测度有长度、面积、体积等。
3.测度的性质与运算：测度具有一些基本的性质和运算规则。
比如，互不相交的可测集的并的测度等于它们各自测度的和；任意一个可测集可以表示为一个有限个或可列个互不相交的可测集的并。
此外，测度还满足可列可加性、单调性等性质。
4.测度空间与可测函数：通过引入测度的概念，我们可以定义测度空间。
测度空间是一个包含一个可测集类的集合，其中的每个可测集都与一个测度相对应。
可测函数是一个定义在测度空间上的函数，它可以在其中一种意义上保持测度的性质。
5. Lebesgue测度与Lebesgue积分：Lebesgue测度是测度论中的一个重要概念，它扩展了传统的长度、面积、体积等概念，并能够应用于更广泛的情况。
Lebesgue积分是一种基于Lebesgue测度的积分方法，相较于传统的黎曼积分，Lebesgue积分具有更广泛的适用性和更强的理论基础。
除了以上的知识要点，复习时还可以通过做一些相关的习题来深化理解和掌握测度论的知识。
以下是一些复习自测题目，供参考：1.证明测度的次可列可加性。
（提示：可以通过构造互不相交的可测集序列来证明次可列可加性。
测度论基础知识汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x （集合元素x ）|x 应该有的性质}·元素与集合的关系：x ∈A ，x ∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x ∈A ，x ∈B 则A 包含于B （证明就用这个方法），A 是B 的子集（A ≠B 则为B 的真子集）包含的特殊情况相等：A=B 就是A 包含于B 同时B 包含于A真子集：A 包含于B 但A ≠B·集合的运算①单个元素的幂集2X对于一个集合X ，它的幂集2X 表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A ∩B={x| x ∈A 且x ∈B}并：A ∪B={x| x ∈A 或x ∈B}差：A\B （或写成A-B ）={x| x ∈A 且x ∉B}补：A C =U\A （U 是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A ∩B C积：（直积）A ×B={(x,y)| x ∈A 且y ∈B }（把A 、B 中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交⋃A λλ∈I 表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ∈I ，I 称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】A n ={x| x>1n}，A={x| x>0}，则A=⋃A n ∞n=1 ·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{A n }，定义上限集为⋂⋃A k ∞k=n ∞n=1。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{A n }，定义下限集为⋃⋂A k ∞k=n ∞n=1。
第二章测度论的知识要点与复习自测第二章测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue 外测度的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述nR 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设n n Q R ?为有理点集，计算*nm Q 0=；（2）设n R E ?为至多可数集，计算*m 0E =；（3）设n ,R E F ?，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ?==。
2、据理说明下面的结论是否成立：设nR E ?，（1）若E 为有界集，则*m E <+∞；（2）若*m E <+∞，则E 为有界集；（3）若*m E =+∞，则E 为无界集；（4）若E 为无界集，则*m E =+∞。
3、设nR I ?为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设1[0,1]R P ??为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ?上的黎曼可积函数，{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈?，()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设nR E ?有内点，则*m 0E >；（4）（外侧度的介值性）设1R E ?为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ?，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =。
测度论基础期末总结一、引言测度论是数学分析的重要分支之一，它研究的是如何度量集合的大小。
在测度论中，通过引入测度的概念，将集合的大小抽象化为实数，并且通过一定的公理体系对测度进行研究。
本次期末考试中，我们学习了测度论的基本理论和相关的性质，掌握了测度的计算方法和测度论在实际问题中的应用。
下面将对本次期末考试的内容进行总结。
二、测度的基本概念1. 可测集和测度可测集是测度论中的基本概念，我们通过引入可测集的概念，可以对集合的大小进行度量。
而测度则是将可测集映射到实数上的函数，它满足一定的公理，如非负性、零集的测度为零、可列可加性等。
测度的引入使得我们可以将集合的大小进行比较和计算。
2. 测度空间测度空间是指一个集合和其中的一个测度构成的二元组。
在测度空间中，我们可以对集合的测度进行运算和计算，从而研究集合的大小和属性。
测度空间常用来描述实数上的测度以及概率空间等。
三、测度论的进一步研究1. Lebesgue测度Lebesgue测度是最常见的测度之一，它以法国数学家Henri Lebesgue的名字命名，用来度量实数集合的大小。
Lebesgue测度具有很多重要的性质，如可列可加性、外测度等，使得我们可以更加准确地描述和计算实数集合的大小。
2. Borel集和Borel测度Borel集是指由实数的开区间和闭区间构成的集合，它是测度论中的重要概念。
Borel测度则是在Borel集上定义的一类测度，它可以被用来度量实数集合的大小，特别是在实际问题中，我们经常需要用Borel测度来描述和计算集合的大小。
四、测度的计算方法在测度论中，我们通过一些计算方法和技巧可以对集合的测度进行计算。
常用的计算方法有：1. 单调序列和极限通过构造单调递增或递减的序列，通过取极限来计算集合的测度。
2. 概率论的方法借助概率论的方法，可以对集合的测度进行计算。
这种方法常用于计算概率空间中的测度。
3. 几何方法几何方法是指通过几何特征和形状来计算集合的测度。
数学中的测度论测度论是数学中的一个重要分支，它研究了如何对集合进行度量和测量。
在数学中，我们常常需要衡量集合的大小、长度、面积或体积，而测度论提供了一套严谨而精确的方法来解决这些问题。
一、引言测度是度量集合大小的一种数学概念。
在测度论中，我们关注的是如何定义并研究一种满足一定条件的测度。
测度通常具有以下性质：非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
二、基本概念在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。
常见的测度包括长度测度、面积测度和体积测度等。
对于一维空间，我们可以使用实数轴上的长度来度量集合的大小；对于二维空间，我们可以使用平面上的面积；对于三维空间，我们可以使用立体的体积。
测度可以是有限的，也可以是无限的。
三、测度的性质在测度论中，我们希望测度具有一些良好的性质。
常见的性质包括非负性、空集的测度为0、单调性、可数可加性等。
这些性质使得测度在数学中有着广泛的应用。
四、测度的构造方法在实际问题中，我们常常需要构造满足一定条件的测度。
测度的构造方法有很多种，常见的方法包括外测度、内测度、Lebesgue测度等。
这些方法可以帮助我们精确地计算出集合的测度。
五、测度的应用测度论在数学中有着广泛的应用。
在几何学中，测度论可以帮助我们计算图形的面积和体积；在概率论中，测度论可以帮助我们定义概率测度；在函数分析中，测度论可以帮助我们研究函数的积分等。
测度论在数学的许多分支中都起到了重要的作用。
六、总结测度论作为数学中的一个重要分支，研究了如何对集合进行度量和测量。
通过定义测度并研究其性质，我们可以精确地计算集合的大小、长度、面积或体积等。
测度论在数学中有着广泛的应用，对数学的发展起到了重要的推动作用。
这就是关于数学中的测度论的文章内容。
通过测度论，我们可以对集合进行精确的度量和测量，解决了许多实际问题。
希望本文对您对测度论有了更深入的了解。
第二章测度论引言实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。
在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积. 所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进. Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积. 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数.本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合E}为一列互不相交的为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{i有测度的集合时， ∞=1i i E 的测度恰好为每个集的测度之和）.§1 外测度一、外测度的定义记 n R 中的开区间{}n i b x a x x x x I i i i n ,,2,1,),,,(21 =<<==其中i i b a ≤为有限数.若上述记号中等号可能出现，则称I 为区间，显然1R R n =时，I 即为1R 上的区间.另外还规定∏=-=ni i i a b I 1)(为区间I 的体积.定义1 设E ⊂nR ，{}i I 是nR 中覆盖E 的任一列开区间，即 ∞=⊂1i i I E ，记∑∞==1i i I μ（μ可以取+∞），显然所有这样的μ构成一个有下界的数集，则它的下确界称为E 的Lebesgue 外测度，记为.,inf **11∞=∞=⊂=∑i i i i I E I E m E m 即注 定义中覆盖E 的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意n R E ⊂，E m *均存在，且可以取+∞.二、外测度的基本性质定理 外测度具有如下性质：（1）对任意n R E ⊂都有0*0*=≥φm E m 且 （非负性）,（2）设n R A B ⊂⊂，则A m B m **≤（单调性）,（3）设ni R A ⊂，则∑∞=∞=≤11*)(*i i i i A m A m （次可加性）,（4）设n R B A ⊂,，若0),(>B A ρ，则B m A m B A m **)(*+= （隔离性）.证明 （1）显然成立。
测度论基础知识总结测度论是一门数学分支，研究的是如何给一组集合赋予大小和结构的测量。
本文章将对测度论的基础知识进行总结。
1.测度的概念在测度论中，测度是一种数值函数，用来描述一个集合的大小。
测度的数值通常是非负实数，并且满足一些特定的性质。
常见的测度包括长度、面积、体积等。
2.测度的性质测度具有一些基本性质，如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
具体来说，对于一个集合的测度，必须满足以下条件：-非负性：对于任意集合E，测度m(E)大于等于0。
-空集的测度为0：空集的测度等于0，即m(∅)=0。
-可数可加性：对于可数个不相交的集合E_n，测度m(∪E_n)等于这些集合测度的和。
3.可测集给定一个集合空间，我们称一些集合为可测集当且仅当我们能够合理地定义一个测度来测量它。
例如，欧式空间中的开集和闭集都是可测集。
在测度论中，我们希望尽可能多地定义可测集，以便可以进行更加广泛的测量。
4.测度空间在测度论中，测度空间是指一个集合空间和一个在该空间上的测度构成的有序对。
测度空间常用符号(X,Σ,m)表示，其中X是集合空间，Σ是X的子集族，m是定义在Σ上的测度。
5.完备测度空间完备测度空间是指对于任意一个零测集，它的任意子集也都是零测集。
零测集是指测度为0的集合。
完备测度空间的概念在分析学中非常重要，因为我们希望能够处理具有“几乎处处”性质的函数。
6.测度的扩张在定义测度时，我们常常会面临有限可测集和无限可测集的问题。
有时，我们需要对一些不可测集或者无穷集进行测量。
在这种情况下，我们需要进行测度的扩张。
测度的扩张是指将原有的测度函数扩展到更大的集合类上。
7.可测函数在测度论中，可测函数是指从一个测度空间到实数空间的映射。
可测函数按照其始终恒大于0或者始终恒小于0的方式分类为正函数和负函数。
可测函数的概念在测度论中具有重要作用，并且与积分、收敛性等概念密切相关。
总结起来，测度论是数学中研究如何给一组集合赋予大小和结构的测量的分支学科。
高二期中考试数学章节复习要点：第二章数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编预备了高二期中考试数学章节复习要点，具体请看以下内容。
1：简单随机抽样(1)总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体.②把每个研究对象叫做个体.③把总体中个体的总数叫做总体容量.④为了研究总体的有关性质，一样从总体中随机抽取一部分：x1，x2 ，....，xx 研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.(2)简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
确实是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采纳这种方法。
(3)简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③运算机模拟法③使用统计软件直截了当抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，要紧考虑：①总体变异情形;②承诺误差范畴;③概率保证程度。
(4)抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号;②预备抽签的工具，实施抽签;③对样本中的每一个个体进行测量或调查(5)随机数表法：2：系统抽样(1)系统抽样(等距抽样或机械抽样)：把总体的单位进行排序，再运算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采纳简单随机抽样的方法抽取。
K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)前提条件：总体中个体的排列关于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
能够在调查承诺的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
假如有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
(2)系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，假如有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样能够大大提高估量精度。
第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue 外测度的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设n n Q R ⊂为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ⊂为至多可数集，计算*m 0E =；（3）设n ,R E F ⊂，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ⋃==。
2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ⊂， （1）若E 为有界集，则*m E <+∞； （2）若*m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则*m E =+∞。
3、设n R I ⊂为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ⊂上的黎曼可积函数，{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈⊂，()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设n R E ⊂有内点，则*m 0E >；（4）（外侧度的介值性）设1R E ⊂为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ⊂，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =。
（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue 可测集的知识要点：◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E ⊂和c B E ⊂，总有()***m A B m A m B ⋃=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；◇ 记{}R n E E ℑ=⊂是可测集，则2c c ℑ=>，其中c 为连续基数；◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是n R 中的可测集） （1）设1E ，2E ，，m E 为互不相交的可测集，则11m m mmi i i i E E ==⋃=∑（有限可加性）；设1E ，2E ，，m E 为可测集（注意没有互不相交的要求），则11m m mmi i i i E E ==⋃≤∑（次有限可加性）。
（2）设1E ，2E ，，k E ，为互不相交的可测集，则11m m k k k k E E ∞∞==⋃=∑（可数可加性）；设1E ，2E ，，k E ，为可测集列（注意没有互不相交的要求），则11m m k k k k E E ∞∞==⋃≤∑（次可数可加性）。
（3）差集测度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）设E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
设E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）设{}k E 为单调递增的可测集列，则()1m lim m lim m kk k k k k E E E ∞→∞=→∞⎛⎫=⋃= ⎪⎝⎭；设{}k E 为单调递减的可测集列，且存在0k E ，使得0m k E <+∞，则()1m lim m lim m k k k k k k E E E ∞→∞=→∞=⋂=。
（5）一般可测集列测度的极限性设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设p A R ⊂为可测集，q B R ⊂为可测集，则A B ⨯为p+q R 上的可测集，且m(A B)=mA mB ⨯⋅。
自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用） 设n ,R E G ⊂（1）若E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则① m m(\)m G G E E =+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。
（2）若E 和G 都是可测集，则① m m(\)m G G E E ≤+；② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。
（3）若E 和G 不是可测集，则① ***m m (\)m G G E E ≤+；② 当*m E <+∞时，***m (\)m m G E G E ≥-。
2、利用1和可测集的性质证明： （1）设n ,R E G ⊂都是可测集，则()()m m m +m G E G E G E ⋃+⋂=；【注意：()()m \\G E G E G E ⋃=⋂】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设n ,R E G ⊂（不必为可测集），则()()****m m m +m G E G E G E ⋃+⋂≤。
3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明： （1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则m 0P =；【注意：三分Cantor 集的构造1211[0,1]\()n n i n i P I -∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭），其中n i I （11,2,,2n i -=）为Cantor 集的构造过程中第n 步去掉的长度均为13n 的开区间】（2）对于任意给定正数01a <<，不改变Cantor 集的构造思想，只是将在Cantor 集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为231111,,,,,3333n a a aa----的开区间（比如第n 步换为去掉12n -个长度都为13n a-的互不相交的开区间），并记这样得到的集为0P （称为类Cantor 集或一般Cantor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：0m P a =。
4、证明一般可测集列测度的极限性：设{}k E 为可测集列，则①m lim lim m()lim m k k k k i kk k E E E ∞→∞=→∞→∞=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；②若存在k 0，使得0m i i k E ∞=⋃<+∞，则mlim lim m()lim m k k k k k i kk E E E ∞→∞→∞=→∞=⋃≥；③若lim k k E E →∞=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞存在，且lim m m k k E E →∞=。
④ 若*1m k k E ∞=<+∞∑，则k lim k E →∞和k lim k E →∞都是零测集。
三、可测集的结构的知识要点：◇ n R 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F σ型集，G δ型集，Borel 集。
◇ 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）： （1）对任意n R E ⊂，E 与G δ型集的关系（等测包定理）； （2）可测集与开集的关系，可测集与G δ型集的关系； （3）可测集与闭集的关系，可测集与F σ型集的关系。
自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题： （1）如何将一个G δ型集表示成一列单调递减的开集的交集？（2）设n R E ⊂，则存在一列单调递减的开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭；（3）设n R E ⊂有界，则存在一列单调递减的有界开集列{}k G ，使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，**1m m m k E G E k ≤<+，且()*1m lim m m k k k k G G E ∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭。
注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。
2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明： 设R n k E ⊂（1,2,k =）为一列单调递增的集列，每个k E 不必为可测集，则（1）存在一列单调递增的G δ型集k G （1,2,k =），使得，对每一个1k ≥，k k E G ⊂，且*m m k k E G =；（2）()***1lim m m m lim k k k k k k E E E ∞→∞→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭（单调递增集列的外侧度的极限性质）。
3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭集的更细致的关系）：设n R E ⊂是可测集，则（1）对任意的0ε>，存在开集G ，使得E G ⊂，且()\m G E ε<；（2）存在一列单调递减的开集k G （1,2,k =），使得，对每一个1k ≥，k E G ⊂，且()1\k m G E k<； （3）存存在一列单调递增的闭集k F （1,2,k =），使得，对每一个1k ≥，k F E ⊂，且()1\k m E F k<。
