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第十章Mathematica数学实验在学习了一系列的数学知识以后，如果我们能学会如何用计算机处理各类数学问题，则无疑使我们的数学应用能力有一个质的飞跃.用计算机处理各类数学问题，必须要有理想的数学软件. 在众多的数学软件中，Mathematica 以它的功能强大、应用面广、易学易用等优点得到了各国科研人员和工程技术人员的高度认同.Mathematica是由美国科学家Stephen Wolfram主持的一个科研小组开发的. 它的语法规则简单，操作语言与人们的日常语言非常相近. 在功能方面，除数值计算外，强大的符号运算功能和制图功能使得它一直享有盛名。
由于Mathematica能给出问题的解析符号解，从而使得用户能用该软件方便地处理微积分、微分方程、线性代数和规划优化等各类问题. 现在，Mathematica软件已在工程、科研、教学等各个领域被广泛使用。
在大学生的数学建模活动中，Mathematica也是非常得力的工具.本章将通过与本书配套的22个精编的数学实验问题，介绍Mathematica的各种基本命令以及相应的需要注意问题。
对于每个实验问题，书中都列出了供参考的求解命令及其计算结果.初学Mathematica，建议不妨先将本书中的各个问题的求解命令一一模仿输入，看看能否在计算机上顺利通过，能否得到正确的计算结果；遇有问题时再查阅本书中的“实验须知”及“说明”栏等处的文字，或直接向指导老师请教. 及早开展人机对话是迅速掌握Mathematica的捷径。
预期学会本章基本内容只需4至6学时.Mathematica系统从1.2版开始，经过多次升级换代，目前最新的版本为5.1版本. 各种版本都未见有中文版本。
本书将依照Mathematica英文5.1 版介绍Mathematica的语句.这些语句绝大多数也适用于Mathematica较为早期的版本.§10-1Mathematica实验一基本运算、函数与作图一实验内容四则运算、基本初等函数的求值、代数式的化简、函数的作图.二实验目的能熟练地使用Mathematica进行四则运算；并能熟练地对初等函数进行求值计算和作图操作；会用“Simplify”语句对函数或代数式进行化简；了解分段函数的定义和作图命令；了解三维作图的命令.三实验须知1.Mathematica的启动：在Windows环境下，点击“开始—程序—Mathematica 5.1—Mathematica 5.1”，即可启动Mathematica，此时计算机的屏幕将出现如图10-1的窗口。
Mathematica4.0使用方法数学实验课教材首钢工学院Mathematica数学实验Mathematica 是一个交互式的计算系统．这里说的交互是指：在使用Mathematica 系统的时候，计算是在使用者（用户）和Mathematica 互相交换、转递信息数据的过程中完成的．用户通过输入设备（一般指计算机键盘）给系统发出计算的指令（命令），Mathematica 完成给定的计算工作后把计算结果告诉用户（一般通过计算机显示器）．Mathematica 是一个集成化的计算机软件系统．它的主要功能包括三个方面：符号演算、数值计算和图形绘制．例如，它可以完成多项式的各种计算（四则运算、展开、因式分解）；可以求多项式方程、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；做数值的或一般表达式的向量和矩阵的各种计算；求一般函数表达式的极限、导函数、积分、幂级数展开，求解微分方程等等．根据教学大纲的要求及学校的课时安排（共12课时，内含2课时考试），我们将Mathematica数学软件的学习缩编成下面的四个实验，以期在短时间内使同学们掌握该软件的基本使用方法，学会用它解决高等数学中的一些常见问题．目录第一篇微积分 (1)实验一……………………………………………………实验二……………………………………………………实验三……………………………………………………实验四……………………………………………………第二篇线性代数……………………………………………………实验一……………………………………………………实验二……………………………………………………第三篇概率统计……………………………………………………第四篇复数与积分变换……………………………………………附录Mathematiac一部分函数及意义……………………第一篇微积分实验一一、实验目的1.学习在Windows下Mathematica 4.0软件的启动与退出，并熟悉其界面；2.建立文件与保存文件；3.学习用基本运算符号和模板进行加、减、乘、除、乘方、开方等常用的算术运算；4.学习表示计算结果的近似结果；5.会用符号或模板进行常见函数的输入及多项式的变换；6.会给变量赋值．二、内容与步骤1.Mathematica 4.0的启动与退出启动计算机，屏幕上显示Windows界面，单击“开始”进入主菜单，将鼠标移向“程序”，找到包含Mathematica 4.0的程序组，单击可执行程序Mathematica 4.0就进入了该系统，此时系统已进入交互状态，在等待用户输入命令．当软件使用完毕后，需要退出Mathematica系统时，只须单击工作窗口右上方的“File”菜单中选用命令“Exit”，或者按“Alt+F4”键均可退出系统，回到操作系统状态．例如：输入2+3后，按Enter+Shift组合键或右边小键盘上的Enter键运行，屏幕上就显示出In[1]:=2+3Out[1]=5其中In[1]：= 表示第一个输入，Out[1] = 表示第一个输出，它们是在运行后由系统自动显示的，用户不必输入．注意：若直接按左边的Enter键，只是在输入的组合命令中起换行的作用．2.建立文件与保存文件在工作窗口做好的某些内容，如果想要保留以供今后多次使用，通常是建立一个文件，将做好的内容保存在文件中．单击File/ Save as，在文件名N一栏内键入一个文件名,然后左击保存S．3.算术运算与模板的使用a)：输入基本运算符号加+减-乘*（或用一个空格表示相乘）除/幂乘yx^优先运算：用圆括号，并可重复多次使用．b)：模板的调出与运用方法一：在Mathematica 3.0以上版本的输入中，可以使用工具按钮输入各种运算，其步骤如下：①单击菜单栏中的文件File选项；②在下拉菜单中选择调色板Palettes选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations选项，将会另外出现一个工具窗口；④在其窗口中单击计算与数值Arithmetic and Numbers选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将出现加、减、乘、除、乘方、开方等工具按钮；⑤单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式．方法二：在第③步，在下一级菜单中单击基本计算BasicInput 选项，出现一个常用的含有多种运算的模板（加、减可以直接从键盘输入+、-号） 4. 近似与精确 a ） 命令输入：N[表达式，n] 精确到n 位有效数字；N[表达式] 近似值按计算机默认的数位（6位）处理； [表达式]// N 同上；% 表示最近一次计算机运行后的输出结果；注意：1）当输出结果是610以下的数字，近似值按计算机默认的6位有效数字处理；610及610以上的近似值计算机按科学计数法处理．2）N[表达式，n] 表示精确到n 位有效数字（注：当n=1~16时，结果都按计算机默认的6位处理）． b) 模板调出：与上述算术运算模板调出的方法一相同． 例1 1）输入： N310,结果显示：0.0141592653589792）输入：N ,结果显示： 3.1（按计算机默认的6位处理） 3）输入：N %, 表示对当前结果取18位有效数字近似 4）输入：4566000.66777777777777结果显示：4.5665.Mathematica中的常数、数学函数与常见的多项式变换a)直接从键盘输入（在英文状态下）Mathematica的常数：Pi 表示πE 表示eDegree （π/180）表示度I 表示虚数iInfinity 表示无穷大∞Mathematica中常用的数学函数：幂函数Sqrt[x] (求平方根) ；指数函数Exp[x] (以e为底的指数函数)；对数函数Log[x] (以e为底的对数函数)；Log[a，x] (以a为底的对数函数)；三角函数Sin[x]，Cos[x]，Tan[x]，Cot[x]，Sec[x]，Csc[x]；反三角函数ArcSin[x]，ArcCos [x]，……；双曲函数Sinh[x]，Cosh[x]，Tanh[x]，Coth[x]，……；反双曲函数ArcSinh[x]，……．Mathematica中常见的多项式变换：Factor[表达式] 将表达式分解因式Expand[表达式] 将表达式展开成多项式和的形式Simplify[表达式] 将表达式化简成最简形式Apart[表达式] 将表达式分解为部分分式之和函数表达式的运算规则有：1）.它们都以大写字母开头，后面用小写字母．当函数名可以分成几段时，每一个段的头一个字母用大写，后面的字母用小写．例如，ArcSin[x]．2）.函数的名字是一个字符串，其中不能有空格．3）.函数的自变量表用方括号括起来，不能用圆括号．4）.多元函数的自变量之间用逗号分隔．b）模板介绍在Mathematica3.0以上版本的输入中，可以使用工具按钮输入各种函数，其步骤如下：①击菜单栏中的文件File选项；②在下拉菜单中选择调色板Palettes选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations选项，将会另外出现一个工具窗口；在其窗口中单击三角与指数函数Trigonometric and Exponential Finctions选项前的符号“”，使其符号变成“▽”并列出子选项的清单；在此清单中单击三角Trigonometric选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将会出现一些三角函数和反三角函数工具按钮；单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应三角函数或反三角函数输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式；在此清单中单击指数与对数Exponential and Logarithmic选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将会出现一些指数与对数函数工具按钮；单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应指数或对数函数输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式；在此清单中单击双曲函数Hyperbolic选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将会出现一些双曲函数和反双曲函数工具按钮；单击需要的按钮，在原Notebook窗口中将会出现相应双曲函数和反双曲函数输入格式，将光标移到标有“□”的位置上，输入数值或表达式，就可以完成输入格式． 在其窗口中单击计算与数值Algebra 选项前的符号“”，使其符号变成“▽”，将出现Polynomial Manipulation ，Simplifyication 等工具按钮进行相关选择即可完成多项式的变换； 例2In[13]：＝Log[2，3.256] Out[13]：＝1.7031 例3：已知1 ,1232221-=-+=x p x x p ，计算2121 ,p p p p ⨯+，21p p ÷并将2121 ,p p p p ⨯+的结果分解因式、展开多项式，将21p p ÷的结果分解为部分分式 输入：p1 3x^22 结果显示： 12xp2 x^1P122x p11x212xp1Factor p11x1x21Expand p1p212x 4x 22x3Apart p 136. 变量赋值：命令格式：x= a 将值a 赋给变量xu=v=a 将值a 赋给变量u 、v （给多个变量赋值）f[x]/. x->a 变量x 赋值为a （求函数f[x]在x=a 时的值） u := 延迟赋值，按Shift+Enter 键没有结果输出，待给变量赋值运行后才有结果u= 直接赋值，按Shift+Enter 键后有结果输出 u=. 清除变量u 的值Clear[x] 清除变量x 的值，多用作清除函数注意：应随时将以后不再使用的变量的值清除掉，以免影响后面某些计算结果的正确性．习题一１． 计算1)62456log 3e -+并保留15位有效数字.2) sin(30)+tan(6π)并精确到小数点后7位.3)7lg 21arctan 1arcsin ++2. 给变量赋值并计算1) 若x=6,y=e,z=x+3y ，计算3z-5y 2+6(x-7)52)x=3,y=5π,计算（lgx ）⨯arcos(2y)- 9并保留18位有效数字.3．设p1=2x-1, p2=3x-7, 求 p1×p2, 并展开它，再分解因式，最后将 1／（p1×p2）分解为部分分式. 练习过程及答案N 34Log 2,566,316．8．1.0z x 3y . x 6,y3z 5y 26 x 75. x 6,y ,z 665 23 69.000000000000000000.33490675722196522x 1 3x 12x 73Expandy9．实 验 二一、实验目的1、学习使用自定义函数，会求函数值；2、学习用绘图语句作函数图形；3、学习用解方程的语句解方程、方程组；4、会建立表，进行表的基本运算. 二、内容与步骤 1、自定义函数:一般函数： f[x_]= 表达式 定义的规则x 可以被替代 f[x_]：= 表达式 延迟赋值 f[x_]=. 清除f[x_]的定义Clear[f] 清除所有以f 为函数名的函数定义 分段函数：Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…条件n ，表达式n]Which 语句是表示分段函数的常用语句． 例1：定义函数：x x x x f cos )(2++=，并求f (2)的值输入命令：显示输出： 4.9输入显示结果注意：f[2.]表示求自变量为2时函数的近似值；f[2]表示为精确值．．10．例2:定义函数....0()0.. 0....0x x g x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩并求：)0(),3(),1(g g g -的值 输入命令g x_: Which x 0,x,x 0,0,x0,（将分段函数自定义成一个函数）显示结果 1 输入显示结果 3 输入显示结果 0注意：中括号内的等号要输成双等号 2．作图：1）基本作图命令格式（a ）只规定自变量范围的作图命令：Plot[f(x),{x,x1,x2}](b) 不仅规定自变量范围，还规定因变量范围的作图命令Plot[f(x),{x,x1,x2}，PlotRange->{y1,y2}](c) 不仅规定自变量范围，还可以加标注（函数名称，坐标轴） Plot[f(x),{x,x1,x2}，PlotLabel->“表达式 ”，AxesLabel ->{“x ”,“y ”}11．2）观察函数图形的叠加情况设)...(),(21x f y x f y==，若在一个坐标系里观察这几个函数图像命令格式为：Plot[{ )(),(21x f x f },{x,x1,x2}]注意：不要将“ )(),(21x f x f ”写成“ )(),(21x f y x f y ==”例3：做出y=sinx 在[-4π4π]之间的图像Plot S in x , x ,4Pi,4例4：做出y=tanx 在[0,4π]，y ∈[-5,5]之间的图像PlotT an x , x ,0,4 ,PlotRange 5,．12．例5：做出y=sinx,sin2x,sin3x 在[0,2π]内的标出坐标轴的且用三种不同颜色标示的图像．3) 分段函数的作图先利用条件语句Which 自定义分段函数，然后用Plot 语句画出分段函数的图形格式步骤：首先输入 f [x _]：= Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…条件n ，表达式n]再输入 Plot[f(x),{x,x1,x2}] 例6 作出....0()0.. 0....0x x g x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩的图像g x _ : Which x 0,x,x 0,0,x0, Plot g x , x ,2,13 ．4）参数方程作图使用 ParametricPlot 函数可以画参数形式的图形，格式如下： ParametricPlot[{x(t)，y(t)}，{t ，a ，b}，可选项]ParametricPlot[{{x1(t)，y1(t)，{x2(t)，y2(t)}，...}，{t ，a ，b}，可选项]例7 画出圆的参数方程的⎩⎨⎧==ty tx sin cos ，0＜t ＜2π曲线图形解 In[5]：＝ParametricPlot[{Sin[t]，Cos[t]}，{t ，0，2Pi}，AspectRatio －>Automatic] Out[5]：＝AspectRatio ：指定作图的纵横比例．系统默认值约0.618：1．可以为 AspectRatio 指定任何一个其他数值．如果希望系统按实际情况作图即纵横比例为1：1，则需要将这个可选项设置为Automatic ． 5）二元函数的图像命令格式：首先定义二元函数: z[x_,y_]：=表达式 然后作图Plot3D[z[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]．14．例8 做出222y x z +=的图像输入： 输出：上述命令大多可以通过模板调出 ① 左击菜单栏中的文件File 选项； ②在下拉菜单中选择调色板Palettes 选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations 选项，将会另外出现一个工具窗口；④ 在其窗口中单击图形Graphics 选项前的符号“”，使其符号变成“▽”并列出子选项的清单进行选择3．解方程： 1）解方程命令格式：Solve[f(x)= =0，x] 2) 解方程组命令格式：Solve[{f (x)= =0，g (y)= =0,…},{x,y,…}]15．上述命令可以通过模板调出 ①左击菜单栏中的文件File 选项； ②在下拉菜单中选择调色板Palettes 选项；③在下一级菜单中单击基本计算BasicaCalculations 选项，将会另外出现一个工具窗口；④在其窗口中单击图形Algebra 选项前的符号“”，使其符号变成“▽”并列出Solving Equations 选项的清单进行选择 例9 求方程063523=++-x x x 的根． 解： 输入Solve x 35x 23x 60 输出：例10 求方程组⎩⎨⎧=+=-ny x m y x 2的根 解： 输入Solvex 2y m,x y n , x ,输出：例11求解方程b x x =++-11 解： 输入输出：4．表的操作 1）表的生成．16．一维表：{a,b,c…}二维表(表中表)：{{一维表1},{一维表2},{一维表n}…} 如：一维表{1，2，3}，二维表{{1，2}，{5，2}，{6}}2）表中元素的提取一维表b 的第i 个元素: b[[i]] 或Part[[b,i]] 二维表b 的第i 个分表：b[[i]] 或Part[[b,i]] 二维表b 的第i 个分表中的第j 个元素: b[[i,j]] 如：b={{1，2}，{5，2}，{6}} b[[2]]-----显示 {5，2} b[[2,1]]----- -显示53）表的运算设b1，b2表示结构完全相同的两个表，表b1，b2的和、差、积、商等于对应元素的相应运算（分母不为零）b1={{1，2}，{5，2}，{6}}，b2={{3，1}，{0，2}，{2}} b1+ b2={{4，3}，{5，4}，{8}}习题21． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=342y x x y 2．f(x)=2x 2+5x-8, 求f （1) f （3）f( 2)作出图像3．作出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<=2 (22)0........20................sin )(32x x x x x x x x f 的图像，并求f(0.3)17．4．作出y=cosx,cos2x,cos3x 在[0,2π],标出坐标轴并带有三种不同颜色的图像 答案：Solvey 2 4x,x y 3 , x ,yx 1,y 2 , x 9,y 6f x _2x^25x 85x 2fPlot f x , x ,5,5Graphicsg 0.0.79895Plot g x , x ,5,5GraphicsPlot C os x ,Cos 2x ,Cos 3x , x ,0,2Pi ,AxesLabel "x","y" PlotStyle R GBColor 1,0,1 ,RGBColor 0,1,0 ,RGBColor 0,0,1GraphicsSurfaceGraphics实 验 三一、 实验目的1．学习用软件计算极限，判断函数的连续性；2．学习用软件计算一元函数的导数、多元函数的偏导数；3．学习用软件计算隐函数、参数式函数的导数及函数的微分、全微分； 4．学习用软件计算微分方程的解； 5．导数的简单应用． 二、 内容与步骤 1． 极限、连续：1）求一元函数的极限的命令格式是：Limit[f[x]，x －>x 0] 表示求函数x →x 0 的极限；Limit[f[x]，x －>x 0，Direction －>1] 表示求函数x →x 0-的极限（左极限）； Limit[f[x],x －>x 0，Direction －>-1] 表示求函数x →x 0+的极限（右极限）．2）若x 趋于无穷，即 x → ∞,则格式为Limit[f[x],x → ∞] x 趋于负无穷或正无穷格式为：Limit[f[x],x → - ∞] , Limit[f[x],x → + ∞]3）注：->∞ 也可由File → Palettes → BasicInput 中的符号输入 例1 求下列函数的极限：（1）443lim 24---→x x x x输入： Limit[4 ,4432→---x x x x ]输出：5 （2）xxx 3arctan lim+∞→输入：Limit[ArcTan[x]3x,x→+∞]输出：0 （3）x x x 2)4751(lim -+∞→ 输入：Limit[x x 2)4751(-+,x→∞] 输出：例2 求 x x e --→133lim 及x x e +-→133lim输入：Limit[，x→3,Direction→1]Limit[，x→3,Direction→-1] （e 为BasicInput 符号栏中的 ）输出：0 输出：∞还有一些函数没有极限,此时系统会进行相应的处理,返回一些特殊的结果.例3 求当x →0时，y ＝sinx1的极限． 解：输入：Limit[Sin[1/x]，x→0]输出：Interval[{－1，1}]上面这个例子表示当x →0时，函数sin x1在－1与1之间无穷震荡，所以没有确定的极限．例4 判定函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=02302sin )(x x x xxx f 在 x=0点是否连续．解：输入：Limit[Sin[2x]x，x →0，Direction→-1] 右极限 输出：2输入： Limit[3x +2, x →0, Direction→1]] 左极限 输出：2输入：3x+2/.x→0 计算函数值 输出：2∴ 函数在x =0这一点连续． 2． 导数、偏导数1）一阶导数)(x f '的命令格式为： D[f ，x] （f 为函数表达式，x 为自变量） 2）n 阶导数)()(x f n 的命令格式为： D[f,{x,n}] （n 为导数的阶数） 3）用BasicInput 工具栏输入： （函数表达式变量∂ 此时的函数表达式可以是一元或多元函数，变量可有一个或多个，使用灵活．如输入： x x 3（求一元函数x 3对x 的一阶导数） 输出：8x输入： x,x x 3（求一元函数x 3对x 的二阶导数） 输出：输入： x x 3y 4x （求二元函数x 3y 4对x 的一阶偏导数）输出：3x 2y 8输入： y x 3y 4x （求二元函数x 3y 4对y 的一阶偏导数）输出：x 38输入： x,x x 3y 4x （求二元函数x 3y 4对x 的二阶偏导数）输出：6x y输入：x,y x 3y 4x （求二元函数x 3y 4先对x 后对y 的二阶偏导数）输出：3x 21输入： y,y x 3y 4x（求二元函数x 3y 4对y 的二阶偏导数）输出：例1 求下列显函数的导数：（1）3532x x y += （2）x e x y 2= （3）12ln +=x x y 解:（1）输入： D[2 x 5+3 x 3，x]输出： 9x 2+10x 4（2）输入：x x输出：2 xx（3）输入：x Log x2x输出：例2 求函数22ln ),(y x y x f +=的偏导数x f ∂∂，y f∂∂，y x f ∂∂∂2解： 输入：输出：x输入： 输出：x输入：输出：例3 求函数5-202Q Q R =，当Q=15和Q=20时的()20)15(R R ''及 解：求函数在一点x 0处的导数值,只需在输入表达式后面再继续输入“/.x→x 0”即可.方法一：输入：D[Q ,5Q -Q 202]/．Q →15 输出：14 （即 (15)14R '=）输入：D[Q ,5Q -Q 202]/．Q →20 输出：12． （即 (20)12R '=）方法二：（函数表达式）变量∂/.x->a输入：输出：输入：输出：12例4 求函数f （x ）＝sin ax cos bx 的一阶导数dx df ，并求ba x dxdf+=1．解: 输入：x S in a x Cos b x.x a输出：例5 求下列函数的高阶导数：（1）5x y = 求：y ''' （2）x xe y 3= 求：y '' （3）xx xy cos sin sin += 求：y ''解：（1）输入：D[x ^5，{x ，3}]输出：60x 2（2）输入：D[x Exp[3 x]，{x ，2}]输出：6 3x9输入：Simplify[D[Sin[x]/(Sin[x]+Cos[x]),{x,2}]] 输出：Cos[x]-Sin[x]Cos[x]+Sin[x]-22()()3． ㈠求隐函数的导数由方程F (x , y )=0 确定的函数)(x f y =，称为隐函数．方法：1）自定义一个导函数G[x_]对F (x ,y ）求导，但必须将变量y 输入成y[x],即y 是x 的函数．2）用Solve 函数将y [x]'解出即可．即先求导再解方程．例6 求由方程12222=+by a x 所确定的隐函数的导数．解：方法一输入：D[2222x y[x]+a b-1，x ]（先自定义一个导函数G[x]，这里表达式中的y 应写成y[x]）输出：22b [x]2y[x]y'a 2x + 输入：Solve[G[x]＝＝0，y'[x]]（用解方程Solve 命令，从导函数的方程G[x ]＝0 中解出y'[x]，这里方程必须使用双等号“＝＝” ）输出：{{y'[x] → －y[x]a xb 22}}方法二：利用工具栏与解方程语句：输入：输出：例7 已知方程0=-y xe xy 确定一个y 是x 的函数)(x f ，求 )(x f '． 解: 输入：Solve x xx y xy x0,y'输出：例8.设函数满足方程sin x x y ye +=0，求 ()y x '. 解：输入：Solve x x Sin y xy xx 0,y'输出：㈡ 求函数的微分、全微分求函数的微分dy ，其形式为Dt[f(x)].输出的表达式中所含的Dt[x],这里可以视为dx .求函数f (x, y )的全微分dz , 其形式为 Dt[f[x ，y]] 例9 求y ＝sin2x 的微分dy . 解: 输入：Dt[Sin[2x]]输出：2 Cos[2 x] Dt[x]例10 求函数x e x x y 23ln +=的微分dy . 解: 输入：Dt[x ∧ 3 Log[x]+Exp[2 x]]输出：2 e 2 x Dt[x]+x 2Dt[x]+3x 2Dt[x]Log[x] 再化简一下输入：Simplify[%]输出：Dt[x](2 e 2 x +x 2+3x 2 Log[x]) 即 dx x x x e dy x )ln 32(222++= 例11 求函数u xy z =23的全微分． 解: 输入：Dt[x y^2 z^3]输出：y 2 z 3 Dt[x] ＋ 2 x y z 3 Dt[y] ＋ 3 x y 2 z 2 Dt[z] ㈢ 参数式函数的求导形如 ⎩⎨⎧==)()(t x t y ψϕ 的函数为参数式函数，其导数 t t x x y y ''='． 其输入方式为：例12．设 ⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos ，求 dx dy解： 输入： 输出：Ta例13.求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 在 4π=t 处的导数解： 输入：输出：4．用 Mathematica 解微分方程其格式为： DSolve[微分方程，y[x]，x] 注意要将y 输入成y[x] 例14 解微分方程 ()()y x y x '+=1解: 输入：DSolve[y'[x]＋y[x]＝＝1，y[x]，x]输出：{{y[x]－>1＋xE C[1]}} 例15 求微分方程（x 2＋y 2）dx －xydy ＝0的通解．解: 输入：DSolve[(x^2＋y[x]^2)Dt[x]－x y[x] Dt[y[x]]＝＝0，y[x]，x]输出：{{y[x]－>－Sqrt[x 2 (C[1]＋2 Log[x])]}，y[x]－> Sqrt[x 2 (C[1]＋2 Log[x])]}}例16 求微分方程 ()x y xy '''+=212满足初始条件10==x y ，3'0==x y 的特解． 解: 输入：DSolve[{(x^2＋1)y''[x]＝＝2x y'[x], y[0]＝＝1, y'[0]＝＝3}, y[x]，x]输出：{{y[x]－> 1＋3 x ＋x 3}}5．导数的简单应用 （1）求函数的单调区间例17 求函数123+-=x x y 的单调区间解：函数的单调区间需要用到一阶导函数的图像、一阶导函数为零的驻点．输入:f x _ : x 32（建立函数） Plotf x ,f' x, x ,3,3 ,PlotStyle G rayLevel 0.01 ,Dashing0.01（画函数与导函数图像，其中虚线为导函数图像）输出：输入：Solve f ' x（求函数的驻点） 输出：观察图像，两个驻点将定义域分成三个区间，可看出函数在 ),32,(--∞),32(+∞内为增函数，在)32,32(-内为减函数．（2）求函数的极值例18 求函数21xxy +=的极值 解： 输入：g x _ : 1 Plotg x ,g' x, x ,3,3 ,PlotStyle G rayLevel 0.01 ,Dashing0.01输出：输入：Solve g ' x输出： x 1 , x（从图中可看出两驻点分别是极小值点和极大值点）输入： g输出：2（3）求极值的近似值 例19 求函数)2(cos 25)2(sin 222xx x y +=位于),0(π内的极值的近似值． 解：输入：Plot f x , x ,0,输出：观察图形，函数约在x=0.8、x=2.3处有极大值，在x=1.6处有极小值，可用命令FindMinimum 直接求极值的近似值，其格式为：FindMinimum[f[x]，{x ，x 0}]，求以x 0为初始点的局部极小值．FindMinimum 只可求极小值的近似值，欲求极大值的近似值，须将函数换成相反函数．输入： FindMinimum f x , x ,1 输出：1.94461, x 1.623即同时得到极小值1.94461和极小值点1.62391 输入：FindMinimum f x , x ,0输出： 3.73233,x 0.8641输入： FindMinimum f x , x ,2输出：2.95708,x 2.244即函数-y 的两个极小值和两个极小值点，从而得到函数y 的两个极大值和极大值点．（4）最大、最小值的应用例20 要制造一个容积为2,上端为半球形，下端为圆柱的粮仓，问：当圆柱的高和底半径为何值时，粮仓的表面积最小？ 解: 设粮仓的表面积为S ，圆柱的高为h>0, 底半径为r>0.由题意，粮仓的容积2=323421 r h r ππ⋅+，则 )31 1(2 322223r r r r h -=-=πππ ∴粮仓的表面积S=⋅r 2π)31 1(22r r -π+324 42122r r r ππ+=⋅. 输入： FindMinimum[4/r+2πr 2/3,{r,10}] 输出：{6.09295,{r →0.984745}}.（5）微分方程的应用例21 一质量为m 千克的物体从高处下落，所受空气阻力与速度成正比，设物体开始下落时（t=0）的速度为零，求物体下落速度与时间的函数关系v (t). 解：设物体所受空气阻力为f ，由题得 kv f =（k 为比例系数），下落时所受重力为mg ，根据牛顿第二定律有 v m ma kv mg f mg '==-=- 输入：DSolvem v' t m g k v t ,v 0 0 ,v t输出： 输入：Simplif输出：习题3 （每小题中括号内为该题答案）1. 求导数：（1）tan )2xy =[（2）1124=y （3）sin cos cos x y y y -+=220 求 .y '（4）cos()sin ,y xy x =223求 .y ' 326s i n [3x ]c o s [3x ]+y s i n [x y ][]2ycos[xy]-xy sin[xy]（5）,6x e y x ⋅= 求 )1()5(y [4051e] （6）x y z cos = ， 求 y x z z '' , [y Si ，Co]（7）xy e z =，求 y x z z '' , [，]（8）求 y e z x cos sin = 的二阶偏导数 [SinxCos x2Cos ySin xCos y Si，SinxCos x Si，Sin xCo] （9） 求函数 ⎪⎩⎪⎨⎧==-tt ey tex 的导数[（10）求函数 ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的导数[2．求微分及全微分：（1）674335+-+=x x x y [7Dt x 12x 2Dt x 15x 4D] （2）32cot(ln )=x y ex[（3）xxx y ++=1sin ln [（4）y e z x sin = [ xCos y Dt yxDt x Si] （5）)cos(y x x z += [Cos x y Dt x x Dt x Dt ySinx] 3．解微分方程 （1）求微分方程yxdx dy -=的通解． [（2）求微分方程0)1(22=++dy x dx xy 的通解．[（3）求微分方程x yx y dx dy tan +=的通解． [{y xx ArcSin x}] （4）求微分方程x x x y dxdysin 2cot =-的通解．[y x x 2Sin x C 1 Sin] （5）求微分方程42x y y x =+'满足初始条件61)1(=y 的特解． [ y x]4．求下列极限 （1）1lim1-+→x xx [∞]（2）11lim31++-→x x x [31 ] （3）121lim +-∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x x [ 2e ]（4）判断函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=0,0,1)(2x x x x x f 在 0=x 处是否连续？ [ 不连续 ]实 验 四一、 实验目的1、 学习用软件计算不定积分；2、 学习用软件计算定积分、二重积分和广义积分；3、 定积分的简单应用，求平面面积和旋转体体积． 二、 内容与步骤 1．不定积分输入格式： BasicInput 符号栏中的符号注意：输出结果均不带积分常数． 例1 求下列不定积分 ⎰dx x5解：输入：x输出：6x 62． 定积分输入格式： BasicInput 符号栏中的符号例2 求下列定积分 ⎰-212 1dx x x解：输入：输出：3 例3 计算广义积分⎰+∞∞-+dx x 211解：输入：输出：例4 计算由抛物线2x y =和直线x y =所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积（表示出必要的步骤）解：（1）求交点输入：Solvey x,y x^2 , x ,输出： y 0,x 0 , y 1,x（2）作图 输入：Plotx ,x^2 , x ,2,输出：GraphClea Clea（3）定积分求面积输入：1 x x^2输出：6（4）定积分求体积输入：1x 2x输出：13．二重积分用Mathematica 计算二重积分的命令格式是：输入方法：先输入一元定积分符号，在中间积分变量的位置再输入一次定积分符号，作为累次积分的第一次积分．括号内为第一次积分，括号外为第二次积分． 例5 计算⎰⎰+1212x xxydy dx解: 输入：012xx 21x y输出：121 例6 计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22， 其中D 由2 ,21,===y x y x y 围成解：①画平面区域图输入：输出：② Y - 型区域输入： 02y2yx 2y 2输出：3习题4（每小题中括号内为该题答案）求下列积分：(1)⎰-dx x x x)11(2[x+x](2)⎰+dx xsin 11[x 2Sin[]2x x Cos[]+Sin[]22] （3）⎰+dx x x 3)cos (sin [1(-9Cos[x]-Cos[3x]+9Sin[x]-Sin[3x])6]（4）2ln(sin )sin x dx x⎰[ -x-Cot[x]-Cot[x] Log[Sin[x]]] （5）⎰xdx x arctan 2 [（6）21sin 1cos x xdx x++⎰ [(7)⎰--1145dx xx [6](8)⎰∞--02dx xex []（9）[2](10) 计算由曲线282yx =-和x 轴所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积（表示出必要的步骤）[3，（11）计算由曲线21yx =-和22y x =+所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积（表示出必要的步骤） 过程： Solvey x 21,y 2x 2 , x ,y 0,x 1 , y 8,xPlotx 21,2x 2 , x ,2,Graph132x 2 x 213132x 2 ^2 x 21 ^2（12）计算二重积分3y Ded σ-⎰⎰，其中D 由20,1,x y y x ===围成过程：①画平面区域图② Y - 型区域1y 2 y3第二篇 线性代数实验 一一、实验目的6．掌握Mathmatica 中矩阵的输入方法； 7．学习用Mathmatica 软件计算行列式；8．学习用Mathmatica 软件进行矩阵的基本运算； 9．学习用Mathmatica 求逆矩阵及矩阵的秩.二、内容与步骤1．Mathmatica 中矩阵的输入方法 (1)按表的格式输入： （一般方法）}}{},{},{{1212222111211mn ,m ,m n ,,n ,,a a a a a a a a a A ，生成m 行n 列的矩阵(2)菜单输入：(适用于大矩阵) a)打开主菜单Input 项；b)单击Create Table/Matrix 项，输入行数及列数，填数即可。
