2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用教学案文含解析

平面向量及其应用1．在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A.13a ＋512bB.13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C. 【答案】 C2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 【解析】由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a－2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选C. 【答案】 C3．已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B.【答案】 B4．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4【解析】依题意得a ·b ＝12，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C. 【答案】 C5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB →－2BC →)·(3BC →＋4CA →)＝( )A ．－132B ．－112C ．－6－32D ．－6＋326．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516【解析】DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.【答案】 A。

第11章 平面向量考纲展示考情汇总备考指导(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示.本章的重点是平面向量的数量积及其应用，难点是平面向量的线性运算，平面向量基本定理及其应用，解决与向量有关的问题，要始终把握向量的两个根本特征：方向和大小，透彻地理解向量数量积的意义和相关公式的应用. (2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义.2018年1月T102019年1月T13(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．2017年1月T72019年1月T42020年1月T16④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2018年1月T6(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量的线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量两向量只有相等或不等，不能比较相等向量长度相等且方向相同的向量大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.[学考真题对练]1.(2018·1月某某学考)如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，那么以下等式正确的是( )A ．DA →－DC →＝AC →B ．DA →＋DC →＝DO → C ．OA →－OB →＋AD →＝DB →D ．AO →＋OB →＋BC →＝AC →D [对于A 项，DA →－DC →＝CA →，错误；对于B 项，DA →＋DC →＝2DO →，错误； 对于C 项，OA →－OB →＋AD →＝BA →＋AD →＝BD →，错误；对于D 项，AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →，正确．应选D ．]2．(2019·1月某某学考)如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，用a ，b 表示AD →，正确的是( )A ．AD →＝14a ＋34bB ．AD →＝54a ＋14bC ．AD →＝34a ＋14bD ．AD →＝54a －14bC [AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝14AC →＋34AB →＝34a ＋14b .]3．(2020·1月某某月考)设向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，假设b ∥a ，那么m ＝. －6 [根据题意，向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )， 假设b ∥a ，那么有1×m ＝3×(－2)，即m ＝－6.]平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法那么．(2)求向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相连向量的和用三角形法那么．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．[最新模拟快练]1．(2019·某某高一期中)化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝( ) A ．AD → B ．DA → C ．BC →D ．0D [AB →＋BD →－AC →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.]2.(2019·某某市学考模拟)如下图，D 是△ABC 的边AB 的中点，那么向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →A [CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.]3.(2018·某某市高一期中)如下图，在三角形ABC 中，BD ＝2CD ．假设AB →＝a ，AC →＝b ，那么AD →＝( )A ．13a ＋23bB ．23a ＋13bC ．23a －13b D ．23a －23b A [∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ， ∴BD →＝23BC →＝23b －23a ，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23b －23a ＝13a ＋23b .]4.(2019·某某高一月考)如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，那么DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋cA [DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .]5．(2019·某某市学考模拟)平面内有四边形ABCD 和点O ，假设OA →＋OC →＝OB →＋OD →，那么四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形B [因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，所以AB 綊CD ，故四边形ABCD 是平行四边形．]6．(2020·某某学考模拟)假设a ＝(2,3)与b ＝(－4，y )共线，那么y ＝. －6 [假设a ＝(2,3)与b ＝(－4，y )共线，那么2y －3×(－4)＝0. 解得y ＝－6.]平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)向量坐标的求法①假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[学考真题对练]1．(2019·1月某某学考)向量a ＝(2，－2)，b ＝(2，－1)，那么|a ＋b |＝( ) A ．1 B ． 5 C ．5D ．25C [a ＋b ＝(4，－3)，|a ＋b |＝42＋－32＝5.]2．(2017·1月某某学考)三点A (－3,3)，B (0,1)，C (1,0)，那么|AB →＋BC →|＝( ) A ．5 B ．4 C ．13＋ 2D ．13－ 2A [∵AB →＝(3，－2)，BC →＝(1，－1)， ∴AB →＋BC →＝(4，－3)， ∴|AB →＋BC →|＝42＋－32＝5.]平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果两向量共线，求某些参数的取值时，利用“假设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题，A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．[最新模拟快练]1．(2018·某某市高一月考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，那么a －2b ＝( ) A ．(6,3) B ．(7,3) C ．(2,1)D ．(7,2)B [a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．]2．(2019·某某高一期末) AB →＝(1，－1)，C (0,1)，假设CD →＝2AB →，那么点D 的坐标为( ) A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(－2,1)D ．(2，－1)D [设D (x ，y )，那么CD →＝(x ，y －1)，2AB →＝(2，－2)，根据CD →＝2AB →得(x ，y －1)＝(2，－2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝－2，解得D (2，－1)．]3．(2019·某某市学考模拟)向量a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，假设a ∥b ，那么实数x 的值为( )A ．8B ．2C ．－2D ．－8B [∵a ∥b ，∴4－2x ＝0，得x ＝2.]4．(2019·某某市高一月考)向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，那么λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2D [由⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.]5．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，假设a ∥b ，那么tan θ＝( )A ．33 B ． 3C ．－33D ．－ 3B [∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.] 6．(2019·某某市学考模拟)点A (1,3)，B (4，－1)，那么与向量AB →同方向的单位向量为． ⎝⎛⎭⎪⎫35，－45 [∵AB→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.]平面向量的数量积1．向量的夹角两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的X 围是[0，π]．2．平面向量的数量积 定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，那么数量|a ||b |cos θ叫作a 与b的数量积，记作a·b投影|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的投影，|b |cos θ叫作向量b 在a方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，那么 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)cos θ＝a·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，那么 (1)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[学考真题对练](2018·1月某某学考)向量a ＝(1,1)，b ＝(0,2)，那么以下结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．(2a －b )⊥b C ．|a |＝|b |D ．a·b ＝3B [对于A 项，1×2－0×1≠0，错误；对于B 项，2a －b ＝(2,0)，b ＝(0,2)， 那么2×0＋0×2＝0⇒(2a －b )⊥b ，正确；对于C 项，|a |＝2，|b |＝2，错误；对于D 项，a·b ＝1×0＋1×2＝2，错误．应选B ．]求两个向量的数量积的三种方法 (1)利用定义，a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)利用向量的坐标运算，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义．[最新模拟快练]1．(2019·某某高一期中)向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，假设a ⊥b ，那么实数x 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2.]2．(2019·某某市学考模拟)向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，假设(k a ＋b )⊥(3a －b )，那么实数k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13D [因为a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，(k a ＋b )⊥(3a －b )，所以(k a ＋b )(3a －b )＝0，即3k －1＝0，k ＝13.]3．(2019·某某高一期末)a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，那么a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2B [∵|a|＝10，|b|＝5，a·b ＝5.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角X 围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.]4．(2019·某某市学考模拟)|a |＝32，|b |＝6，且a ＋b 与a 垂直，那么a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．90°C ．45°D ．135°D [设a 与b 的夹角为θ，那么由题意可得a ·b ＝32×6cos θ＝182cos θ，又因为(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝18＋182cos θ＝0，可得cos θ＝－22，∴θ＝135°.] 5．(2019·某某高一月考)|a|＝3，|b|＝32，a·b ＝34，那么向量a 与b 的夹角为() A ．60°B ．30°C ．120°D ．150° A [由|a·b|＝|a||b |cos θ＝3×32 cos θ＝34，得cos θ＝12，又θ∈[0°，180°]，∴向量a 与b 的夹角θ＝60°.] 6．(2018·某某市高一期末)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，那么AB →·BC →＝()A ．18B ．36C ．－18D ．－36C [易得cos B ＝35，那么AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝5×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－18.] 7．(2018·某某市学考模拟)向量a ＝(3，1)，b ＝(m,1)．假设向量a ，b 的夹角为2π3，那么实数m ＝( ) A ．－ 3 B ． 3 C ．－3或0 D ．2A [cos 2π3＝3m ＋12m 2＋1＝－12，解得m ＝－ 3.] 8．(2018·某某市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4A [|a －3b |2＝|a |2＋9|b |2－6|a ||b |cos 60°＝1＋9－6×1×1×12＝7，故|a －3b |＝7.]9.(2018·揭阳学考模拟题)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，D 在斜边BC 上，且CD ＝2DB ，那么AB →·AD →的值为()A ．3B ．5C ．6D ．9C [AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝AB →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13AC →－AB →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →＝23|AB →|2＝6.] 10．(2019·蛇口市学考模拟)向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，－2)，假设a ⊥b ，那么|a |＝. 52[由于a ⊥b ，故a ·b ＝－1－2x ＝0，x ＝－12，故|a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋12＝52.]。

高中数学备课教案向量的平面向量几何应用高中数学备课教案：向量的平面向量几何应用一、引言在高中数学中，向量是一个重要的概念，它具有广泛的应用。

其中，平面向量几何应用是向量的一个重要应用领域。

本篇教案将重点介绍向量的平面向量几何应用，并针对备课内容进行详细讲解。

二、向量的概念回顾在开始讲解向量的平面向量几何应用之前，我们首先回顾一下向量的概念。

向量是由大小和方向共同决定的有向线段，通常用有向线段的起点和终点表示。

向量的大小可以通过向量的模、长度或大小来表示，向量的方向可以用角度、单位向量或方向角来表示。

三、平面向量几何应用1. 向量的共线与共面判定向量的平面向量几何应用中，一个重要的问题是如何判断向量的共线与共面关系。

对于两个向量，如果它们的方向相同或相反，则称这两个向量共线；如果三个向量在同一个平面内，则称这三个向量共面。

2. 向量的数量积向量的数量积是向量的一种重要运算。

通过计算两个向量的数量积，我们可以求得它们的夹角、判定两个向量是否垂直、求解平面向量的几何问题等。

通过具体的例题，我们将详细介绍向量的数量积的计算方法及其应用。

3. 平面向量的线性组合平面向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加得到的向量。

线性组合在平面向量几何中具有重要的意义，可以用来表示平面上的任意向量。

4. 平面向量与几何图形的关系在平面向量几何中，向量和几何图形之间有着密切的联系。

例如，可以通过向量的平移、旋转、反射等操作来描述几何图形的变换关系。

通过分析几何图形的性质，我们可以通过向量解决一些与几何图形相关的问题。

5. 平面向量的共面条件在平面向量几何应用中，我们常常需要判断若干个向量是否共面。

通过理论推导和实例演示，我们将介绍平面向量的共面条件以及解决问题的方法。

四、结语通过本教案的学习和讲解，我们详细介绍了向量的平面向量几何应用。

平面向量几何应用是高中数学中一个重要的应用领域，它为我们解决几何问题提供了强有力的工具和方法。

教学设计课题向量的应用课型新授课一、内容及其解析1.内容运用向量方法解决平面几何、物理中的问题.2.内容解析学生已经学习了平面向量的概念、运算、基本定理以及坐标表示，借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用，同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤.向量具有明确的几何背景，向量的加法、减法的几何意义是平行四边形和三角形法则，向量的数乘的几何意义是平行（或共线），由此可以自然而然的利用向量来解决有关三角形、平行四边形、平面内两条直线平行或垂直关系及夹角的几何问题.向量有丰富的物理背景，即力、速度、加速度和位移，自然而然可以利用向量解决物理力学现象，最短航程或最短时间等问题.通过解决平面几何和物理中的问题，最终归结为平面几何问题.向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想.对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法学习解析几何做好准备.本课时研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分的体现向量的工具性、方法性和思想性.进一步让学生体会向量是代数和几何的完美结合，解决问题的一把利器.因而本课时的内容蕴含了数形结合、类比、化归与转化等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养的极好载体.二、目标及其解析1.目标⑴经历几何元素转化的过程，能应用向量解决平面几何中的位置关系、长度和夹角等问题，纳出方法和步骤，体会化归与转化、数形结合的数学思想；⑵通过对实例的转化与建模，会应用向量解释物理现象或解决物理最优问题，归纳向量法解决物理问题的方法和步骤，提升数学建模、数学运算的核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：⑴学生能从应用向量解决平面几何中的具体实例中，总结出向量的运算与相关的问题的对应关系.比如利用共线可以解决平行，利用数量积可以解决垂直和夹角问题，利用向量的模可以解决长度问题.从而进一步体会数形结合在解决问题的简洁性.并能够在教师的引导下，归纳向量法解决平面几何问题的“三步曲”；⑵学生能把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系转化成数学模型，同时能利用数学模型的解来解释问题中所反映的物理现象.并归纳总结出向量法解决物理问题的方法和步骤.三、教学问题诊断分析学生已经学习了平面向量的概念、运算以及平面向量的基本定理，初步体会到向量有其丰富的几何和物理背景，再从向量的运算中进一步认识到向量的几何意义，自然而然可以利用向量解决平面几何和生活中物理现象的相关问题.在平面几何中，有很多问题已经运用综合法给与解决，可现在又用向量方法再解决一次，学生会有一些困惑，通过教师采取比较法，让学生深刻感受向量法解决数学问题的简捷性.对于物理中的应用举例，如何将物理问题转化为数学模型，并利用数学模型的解来解释问题中反映的物理现象是学生可能会忽略的环节.四、教学重点与难点教学重点：用向量法解决平面几何问题、物理问题的方法和步骤.教学难点：如何把平面几何问题、物理问题转化为向量问题.五、教学支持条件分析问题驱动式，启发式，合作交流式，信息技术工具，多媒体技术支持.六、学习评价设计评价目标：1. 能将几何元素用向量元素来表示；2. 能将几何关系用向量运算来表示；3. 能用规范的数学语言叙述用向量法解决平面几何问题、物理问题的步骤.评价方式：1. 过程性评价：通过课堂教师提问、追问及求解相关问题，了解学生对用向量法解决平面几何、物理问题的理解情况；2. 作业、测试反馈：通过课后作业的完成情况及测试的正答率情况，判断学生的学习效果；3. 访谈反馈：通过面对面的交流，了解学生的困惑与问题.七、学习活动设计本课时教学流程图：旧知引入——对比感悟——解决问题——明确方法步骤——强化应用. （一）旧知引入（学习任务1）教师活动：1. 问题情境：我们可以发现前面学习过的向量线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景，这就说明在平面几何图形中，如平行、垂直、长度、夹角等可以由向量相关知识表示出来.2. 驱动问题：大家回忆下怎么用向量及其运算表示表格中的平面几何元素？几何特性几何元素及其表示向量元素及运算表示平行ab垂直ba长度a角度ba学生活动：利用向量的线性运算和数量积运算公式及变形来表示. 预设： 几何特性 几何元素及其表示 向量元素及运算表示 平行 a b12210x y x y λ=⇔-=a b垂直 ba121200x x y y ⋅=⇔+=a b 长度 a22211||x y ==+a a角度 ba121222221122cos ,||||.x x y y x y x y +⋅<>==++a b a b a b 教师点评：⑴引导用向量形式和坐标形式表示不同几何元素.（二）探究新知（学习任务2） 教师活动： 1. 问题情境：之前我们研究平面几何常用的方法是综合法，它依据基本的逻辑原理，从公理、定理、性质等出发，通过演绎推理解决几何问题. 2. 驱动问题：已知平行四边形ABCD ，你能发现对角线AC 和BD 的长度与两条邻边AB 和AD 的长度之间的关系吗？学生活动： 1. 分析问题：提取材料中几何元素：直角三角形、直角边、对角线、斜边，思考这些元素间的联系. 2. 解决问题：应用勾股定理建立元素间的关系. 预设：2222()2AC DB AB AD +=+ 教师点评：分析提取数学知识时的准确性，建立联系，为下面做准备.设计意图：本环节旨在通过复习前几节所学知识，建立平面几何与向量间的联系，为向量在平面几何中的应用提供理论依据.教师活动： 1. 问题情境：矩形中存在直角，可以应用勾股定理进行逻辑推 理，一般地，将上述问题从矩形推广到平行四边形， 用综合法进行逻辑推理难度将加大. 2. 驱动问题：上述问题从矩形推广到平行四边形，这个结论还 成立吗？若成立，结论如何证明？ 学生活动： 1. 分析问题：⑴提取材料发现几何元素较少，利用综合法建立联系思维量较大； ⑵可否利用其他方法将几何元素转化为其他表示形式寻求联系. 2. 解决问题：用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 预设：⑴2222()2AC DB AB AD +=+结论仍然成立；⑵归纳小结向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；转 用向量表示问题中的几何元素，几何问题转化为向量问题运 通过向量运算研究几何元素之间的关系翻 把运算结果“翻译”成几何关系 ⑶教师点评：⑴对比感悟综合法与向量法在解决平面几何问题中的优劣； ⑵引导用规范语言概括总结用向量法解决平面几何问题的步骤.几何图形到向量恰当的向量运算 向量到几何关系 基底法 坐标法（三）运用新知（学习任务3） 教师活动： 1. 问题情境：通过课前填写的表格我们发现向量法也可以探究平面几何中的夹角问题，下面大家按照刚才我们总结的“三步曲”尝试解决下练习1. 2. 驱动问题：如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=，3AB AC ==，点D 在线段BC 上，且12BD DC =,求：（1）AD 的长；（2）DAC ∠的大小. 学生活动： 1. 分析问题：⑴理解本任务与上一个学习任务的关系；⑵找到几何问题中长度、角与向量对应关系表示. 2. 解决问题：⑴选好基底向量表示AD ；⑵利用数形结合思想，用向量法按“三步曲”求解. 预设：⑴采用综合法解题会计算复杂；⑵明确长度、角与向量数量积的关系. 教师点评：⑴引导学生对比综合法与向量法，突出向量的强大工具性； ⑵按“三步曲”书写过程的逻辑性.（四）类比迁移（学习任务4） 教师活动： 1. 问题情境：通过章引言的学习，我们了解向量理论具有丰富的物理背景，同时通过本章的学习，我们可以用向量的语言、方法表述和解决现实生活、物理中的一些问题.向量加法的三角形法则的物理模型是位移的合成，向量加法的平行四边形的物理模型是力（速度）的合成与分解，向量的数量积的物理模型是力对物体所做的功. 2. 驱动问题：两位同学共提一桶水，两人拉力夹角越大越费 力，还是越小越费力？为什么？你能从数学的角度 解释吗？设计意图：本环节通过练习及时巩固、反馈，掌握用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积，同时也为之后运用正、余弦定理解决问题埋下伏笔，进一步体会向量方法解决几何问题的的优越性.设计意图：本环节通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低思维难度，体验特殊到一般的数学思想，感悟向量法较综合法的强大作用，经历解题过程学生归纳总结，由此体会向量解决几何问题可以按一定的运算程序进行操作，进而使学生明确用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，使学生对所学知识系统化、条理化.学生活动： 1. 分析问题：⑴理解本任务与上一个学习任务的关系，类比向量法解决平面几何问题，尝试用向量法解决物理问题；⑵找到物理问题中分力、合力与向量对应关系表示. 2. 解决问题：通过直观想象将物理问题抽象为数学模型，用向量表示物理问题中的元素，数据分析建模、解模. 预设：⑴该物理问题是力的合成问题，可以用向量加法的平行四边形解决.设作用在水桶上的两个拉力分别为1F 、2F 其夹角为θ，不妨设2||||=1F F ，水桶所受的重力为G .由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识知1||||2cos2θ=G F ⑵因为[0,]θπ∈，所以[0,]22θπ∈，由余弦曲线可知，当2θ由2π逐渐变小到0，cos 2θ的值由小逐渐变大，此时1||F 由大逐渐变小，这就说明，1F 、2F 之间的夹角越大越费力.⑶归纳向量法解决物理问题的步骤.①问题的转化：把物理问题转化为数学问题； ②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型； ③参数的获得：求出数学模型的有关解；④问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象. 教师点评：⑴引导学生类比法来研究问题，总结归纳；⑵用信息技术工具GGB 验证结果，直观体现结论的准确性.（五）应用提升（学习任务5） 教师活动： 1. 问题情境：借助向量法解决物理问题的步骤小组研究速度合成的最优问题. 2. 驱动问题：一条河两岸平行，河的宽度500d m =，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行.已知船的速度1v 的大小为||10/km h =1v ，水流速度2v 的大小为||2=2v /km h ，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间？ 学生活动：设计意图：本环节从学生身边的熟悉例子切入，学生更有切身体会，通过问题串让学生体会如何将物理问题转化为数学模型，通过向量运算求解模型的解解释物理现象，培养数学建模的核心素养，让学生总结解题方法和过程，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．1. 分析问题：找到物理问题中合速度、船的速度、水流的速度与向量对应关系. 2. 解决问题：按照向量法解决物理问题的步骤求解. 预设：⑴船只要取垂直于河岸的方向行驶航程将最短；⑵行进方向是垂直对岸的，分清楚是合速度v 的方向还是1v 的方向； ⑶利用向量的平行四边形法则作出速度的合成； ⑷①问题的转化：“航程最短”问题 转化为向量问题；②模型的建立：建立以向量加法平行四边形法则为主体的数学模型； ③参数的获得：利用勾股定理求出直角三角形中直角边的长度，即合速度v 大小；22||||||46(/)km h =-=12v v v④问题的答案：回到问题的初始状态，通过河宽度求得航行最短时间，解决相关物理问题.0.56()||4846d t h ===v 教师点评：⑴向量表示分速度、合速度的准确性；⑵按向量知识解决物理问题的逻辑是否严谨.（六）课堂小结，总结提升 教师活动：根据本节课的学习，明确的研究平面几何问题和物理问题的方法，回顾归纳总结的步骤，并引导学生对向量法的工具性的作用加以评价. 学生活动：对自己本节课所有学习活动加以反思、评价和总结.九、板书设计1.向量法解决几何问题的“三步曲”2.向量法解决物理的步骤课题学习任务1、2、3 产生的问题解答学习任务4、5 产生的问题解答设计意图：引导学生梳理本节课所学内容，明确本节课内容的来龙去脉，形成对本节课内容的整体认识．设计意图：本环节通过练习及时巩固、反馈，让学生体会向量在解决物理问题中的工具性特点，用向量方法解决物理中运动学有关“速度的合成”等问题，加强数学的应用意识和逻辑推理及数学运算等核心素养．十.作业与拓展学习设计必做题：教材P40第3题，P41第1题，P52第2题. 拓展题：探索下列四个问题的过程.⑴O 为ABC ∆的重心(中线交点)OA OB OC ⇔++=0;⑵O 为ABC ∆的垂心(高线交点)OA OB OA OC OB OC ⇔⋅=⋅=⋅;⑶O 为ABC ∆的外心(中垂线交点)||||||OA OB OC ⇔==（或222OA OB OC ==）; ⑷O 为ABC ∆的内心(角分线交点)aOA bOB cOC ⇔++=0.设计意图：因材施教、分层教学，让不同的学生得到不同的发展.。

在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。

高中新教材对解决这类问题引入了向量这个强大的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。

同时也进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法。

本文拟就向量在立体几何中的应用作初步的总结和探讨。

专题一空间各种距离的计算一、空间两点间的距离方法：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离 d=||例1：已知二面角α-l-β的大小是120o ,A、C l,Bα,且CD⊥l,AB=CD=a,AC=2a。

求BD的长。

解：∵ CD⊥l,AB⊥l,α-l-β=120o∴<,>=120o⇒<, >=60o∵∴||2=BACDACBA+=++2)(2=a2+4a2+a2+0+0+2a⋅acos60o=7a2 ∴||=例2：正方体正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别是AA1、D1C1的中点。

求M、N两点间的距离。

解：建立空间直角坐标系D-xyz则M（1，0，），N（0，，1）∴26)21()21()1(222=++-=故M、N两点间的距离为二、两条异面直线间的距离方法：设a、b是两条异面直线，是a、b a,B 则异面直线a、b间的距离d=即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。

例3：如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。

1) 求异面直线A1C1与B1C的距离。

2）求异面直线A1A1与BD1的距离解：1）建立空间直角坐标系D-xyz（如图）则A1（1,0,1），C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0)∴)1,0,1(),0,1,1(111=-=CBCA设111,),,(CAzyx⊥⊥=且则：得：z y x z x y x -==⇒⎩⎨⎧=+=+-00 取又 ∴∴3331==故异面直线。

高中数学平面向量教案主题：平面向量教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。

2. 掌握平面向量的加法、减法和数量积的计算方法。

3. 能够应用平面向量解决几何问题。

教学重点：1. 平面向量的定义和表示方法。

2. 平面向量的加法、减法和数量积。

3. 平面向量在几何问题中的应用。

教学难点：1. 数量积的计算方法和应用。

2. 题目分析和解题能力的培养。

教学内容：一、平面向量的定义和表示方法1. 什么是平面向量？2. 平面向量的表示方法：用坐标表示和以有向线段表示。

二、平面向量的加法和减法1. 平面向量的加法规则：三角形法则和平行四边形法则。

2. 平面向量的减法：减去一个向量等于加上其相反向量。

三、平面向量的数量积1. 数量积的定义和性质。

2. 数量积的计算方法：内积和外积。

3. 数量积的应用：平面向量的夹角、垂直和平行性等问题。

教学步骤：一、导入通过一个几何问题引入平面向量的概念，并与学生讨论问题的解决方法。

二、讲解1. 介绍平面向量的定义和表示方法。

2. 讲解平面向量的加法和减法规则。

3. 解释平面向量的数量积及其计算方法。

三、示范通过几个例题演示平面向量的加法、减法和数量积的计算过程。

四、练习让学生进行练习，巩固所学知识，培养解题能力。

五、拓展引导学生思考平面向量在实际问题中的应用，并引入相关拓展知识点。

六、总结对本节课所学内容进行总结，并布置相关练习作业。

七、作业1. 完成课堂练习题。

2. 阅读相关教材，预习下节课内容。

教学手段：1. 讲解与示范。

2. 练习与检查。

3. 互动与讨论。

教学资源：1. 课本和教学课件。

2. 讲义和练习题。

评价与反思：通过本节课的学习，学生应掌握平面向量的基本概念和运算方法，能够灵活应用平面向量解决几何问题。

在教学过程中要注重引导学生思考和讨论，培养其解决问题的能力和创新思维。

同时，要及时对学生的学习情况进行评价和反馈，以促进其学习效果的提升。

平面向量及其应用1．在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( ) A.13a ＋512b B.13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b【解析】DE →＝DC →＋CE → ＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.【答案】 C2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 【解析】由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选C.【答案】 C3．已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B. 【答案】 B4．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4【解析】依题意得a ·b ＝12，|a ＋3b |＝a2＋9b2＋6a·b＝13，故选C.【答案】 C5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB →－2BC →)·(3BC →＋4CA →)＝( ) A ．－132B ．－112C ．－6－32D ．－6＋326．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516【解析】DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 【答案】 A7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD → C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →【解析】解法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG 、CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB→＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C.解法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.【答案】 C8．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋b )·(2b －c )的最小值为( )A ．－2B ．3－ 3C ．－1D ．0【解析】由|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得〈a ，b 〉＝π3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1,0)，b ＝OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设c ＝OC →＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a ·b －a ·c ＋2b 2－b ·c ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋12cos θ＋32sin θ＝3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，则(a ＋b )·(2b －c )的最小值为3－3，故选B.【答案】 B9．已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，N 是边BC 上的点，且BN →＝2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →·AO →的值为( ) A ．8 B ．10 C ．18 D ．910．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( )A ．6B ．－6C ．2 3D ．－2 3 【解析】由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF . 连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4，∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin60°×2＝4 3. ∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos〈EF →，FD →〉＝43cos150°＝－6，故选B. 【答案】 B11．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为( )A ．0 B. 3 C. 2 D.7【解析】∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝0，即a 2＝2a ·b ，又|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝(1,0)．设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)，c －b ＝(x －1，y )． 又∵(c －2a )·(c －b )＝0，∴(x －1)2＋y (y －3)＝0. 即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝34， ∴点C 的轨迹是以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为圆心，32为半径的圆． 又|c |＝x2＋y2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32， ∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝2× 12＋⎝⎛⎭⎪⎫32 2 ＝7，故选D. 【答案】 D12．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B (0,0)，A (0,2)，C (2,0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a,2－a )，N (a ＋1,1－a )(由题意可知0<a <1)，∴BM →＝(a,2－a )，BN →＝(a ＋1,1－a )，∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32，∵0<a <1，∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.【答案】 C13．在△ABC 中，G 为重心，记a ＝AB →，b ＝AC →，则CG →＝( ) A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，∴CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，故选A.答案：A14．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(3，－6)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数m 的值是( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4解析：由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方整理得a ·b ＝0，即3m －12＝0，故m ＝4.故选D. 答案：D15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，E 是CD 的中点，DC ＝1，AB ＝2，则EA →·AB →＝( )A ．5B ．－5C ．1D ．－1解析：过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，则AF ＝DE ＝12CD ＝12，∴EA →·AB →＝－AE →·AB →＝－|AE →|·|AB →|·cos∠EAF ＝－|AB →|·|AF →|＝－2×12＝－1.故选D.答案：D16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD →＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解析：∵BD →＝12DA →，∴BD →＝13BA →，∴CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋13BA →＝CB →＋13(CA →－CB →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b ，故选B.答案：B17．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6解析：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a ·b ＝0.又|a ＋b |＝2|b |，∴|a ＋b |2＝4|b |2，|a |2＝3|b |2，∴|a |＝3|b |，cos 〈a ＋b ，a 〉＝错误!＝错误!＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6.答案：A18． P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8解析：∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，∴PA →∥CB →，且方向相同．∴S△ABC S△PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，∴S △PAB ＝S△ABC 3＝2. 故选A. 答案：A·9．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的关系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT ＝5－12.下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →解析：由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，所以SE →＝5＋12RS →，故A 正确；CQ →＋TP →＝PA →－PT→＝TA →＝5＋12ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →成立，则SD →＝0，不合题意，故D 错误．故选A.答案：A20．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( ) A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos ∠ABC ＝1×cos60°＝12.故选A.答案：A21．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则给出下列结论：①HD →·BF →＝0，②OA →·OD →＝－22；③OB →＋OH →＝－2OE →；④|AH →－FH →|＝2－ 2.其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．122．若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( )A ．2B ．－152 C.152D ．－2【解析】如图所示，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，点B ⎝⎛⎭⎪⎫0，332，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，∴CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，CA →＝(3,0)．∴CM →＝13CB →＋12CA →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332＋12(3,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，32， ∴OM →＝OC →＋CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AM →＝OM →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，MB →＝OB →－OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴AM →·MB →＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32×3＝2.故选A. 【答案】 A23．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是________．解析：因为a ＋b ＝(1,1)＋(2，x )＝(3,1＋x )，3a －b ＝3(1,1)－(2，x )＝(1,3－x )，a ＋b 与3a －b 平行，所以3(3－x )＝1＋x ，解得x ＝2. 答案：224．若非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，若(a ＋2b )⊥(3a －t b )，a 与b 的夹角等于π4，则实数t 的值为________．解析：由a 与b 的夹角等于π4可得cos π4＝a·b |a||b|＝a·b 2|a|2，故a ·b ＝|a |2.由(a ＋2b )⊥(3a －t b )可得3a2－t a ·b ＋6a ·b －2t b 2＝0，即3|a |2＋(6－t )|a |2－4t |a |2＝0，又a 为非零向量，所以|a |2≠0，则有3＋6－t －4t ＝0，解得t ＝95.答案：9525．已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a ＋b |＝t |a |，若a ＋b 与a －b 的夹角为π3，则t 的值为________．解析：因为a ·b ＝0，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即|a ＋b |＝|a －b |.又|a ＋b |＝t |a |，所以|a －b |＝|a ＋b |＝t |a |.因为a ＋b 与a －b 的夹角为π3，所以错误!＝cos 错误!，整理得错误!＝错误!，即(2－t 2)|a |2＝2|b |2.又|a ＋b |＝t |a |，平方得|a |2＋|b |2＝t 2|a |2，所以|a |2＋错误!＝t 2|a |2，解得t 2＝错误!.因为t >0，所以t ＝233. 答案：23326．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________. 解析：∵AB →＝DC →，CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，∴AD →·AB →＝8×5×1120＝22，∴AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2. 答案：227．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝x AB→＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．【解析】依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有 AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 28．已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的最小值为________．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)，故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)，则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)，|MB →＋MD →|＝错误!＝错误!，当λ＝错误!时，|错误!＋MD →|取得最小值为255. 【答案】255。

平面向量及其应用ABCDK AC 为一条对角线，AB= (2,4),辰(1,3)，则 DA=()• ( - 1 , - 1) 【答案】C【解析】DA= C B= AB-辰(2,4) - (1,3) = (1,1).2.在等腰梯形 ABCDK AB= — 2CD M 为BC 的中点，贝U AM=( )1 A 1A 3A 1AA .严 2A D B• 4A 盼 2AD【答案】B 【解析】因为屁=—2CD 所以AB= 2DC 又M 是BC 的中点，所以AM= 2(A B^AC = 2(A B + 荷DC,2 ,，所以BA- 血甲+乎二均3又因为B A' BC = |B A | BC|cos / AB = 1X 1X COS / ABC 所以 cos / AB G^.又 0°w/ AB&180°,所以/ ABC= 30° .故选 A.4 .将OA= (1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到 A B 则 A B=()【解析】由题意可得创的横坐标工二迈£呃眇+ 迈;#-乎卜 f 纵坐标丁=7^sin 何+铲)=诳(乎+尊=号虫，则易=：二^,号吗 1 5.△ ABC 外接圆的半径等于 1,其圆心O 满足AO= 2(AB+ AC , |AO = |AC ，则向量 薛在Bi 方向上的投影等 于( )逅V3 A .-B .22A . (2,4)B . (3,5)1 •在平行四边形C. (1,1) C .4AEE +4A DD.1AB + 4A D3.已知向量 A . 30°C. 60°)=4AB+ 2AD 故选 B. 2, ¥，张于 2，则/ ABC=() B . 45°EBA=D. 120°【答案】AA.【答案】【解析】因为B A= 2,C. B.1-，2—1 — ,3 1 — *3 1 + *3 2 ， 2 —1+ 3 D.2 ；943 C.2D. 31【答案】C 【解析】由AO= 2(A 內AC 可知0是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA = |O B = |OC |.又因为|A0 = | AC = 1,故4 OAC 为等边三角形，即/ AOC= 60°，由圆周角定理可知/ ABG= 30°,且| AB | = 3，所以BA 在誠向上的投影为|BA • cos / ABC= 3X cos 30 ° = 2,故选C. 6 •已知A, B, C 是圆O 上的不同的三点，线段 CO 与线段AE 交于点 D,若 OC=入 OAF 卩 OB 入€ R,卩 €R),则入+卩的取值范围是( )A . (0,1) B. (1 ,+^)C. (1 , - 2]D . ( —1,0)【答案】B 【解析】由题意可得OD- k OC= k 入O AF k 卩OB 0<k <1),又AD, B 三点共线可得k 入+ k ^ = 1, 1则入+ □= “ >1，即卩入+卩的取值范围是(1 ,+^)，故选B.k17.已知非零向量 m n 满足4| m = 3| n | , cos 〈m n 〉= 3,若n 丄(t m F n )，则实数t 的值为( )A . 4 B.— 4C・42• t|m ||n| cos 〈 m n 〉+ | n | = 0. 厂3 2 12又 4|m = 3|n | , • t X 4|n | X 3+ | n | = 0 ,解得t = — 4.故选B.8. 如图3-3, BC DE 是半径为1的圆O 的两条直径, 图3-3 3A . — ； B4 1 C.— _ D【答案】B 【解析】T n 丄(tm + n ), ••• n •( t2n F n ) = 0,即 tm • n + |n | = 0 ,归2F O 则F D- FE 等于(B【答案】B【解析】T BF= 2FO圆O的半径为1,94————————————|' 1 2••• FD - FE = (FB OD •(FO+ OE = FO + F0・(0曰 OD + OD O E=々 2+ 0— 1 = -2丿9.设向量 a = (a i ,a ?) ,b = (b i , b 2)，定义一种向量积： a ?b = (a i , a 2)?(b , b 2)= (a i b i , a 2b 2).已知向量 m2| b | + 4| b | = I2,解得 |b | = 2(负舍).8 9.0，点P 在y = cos x 的图象上运动，点Q 在y = f (x )的图象上运动，且满足 0Q= n ?OP,n+ n (其中O 为坐标原点)，则y = f (x )在区间.|—, A . 4 B . 2 C. 2 2 D . 2 3【答案】A 【解析】因为点 P 在y = cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(X 。

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--平面向量及其应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

1.掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用、复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视、2.在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等、会用向量解决某些简单的几何问题、1.ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，那么MN →＝________.(用a 、b 表示)2.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，那么λ＝________.3.假设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，那么|a －b |＝________.4.向量P ＝a |a|＋b|b|，其中a 、b 均为非零向量，那么|P |的取值范围是________、【例1】向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sinx ，－1sinx ，b ＝(2，cos2x)、(1)假设x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？ (2)假设x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，求函数f(x)＝a ·b 的最小值、【例2】设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)、(1)假设a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)假设tan αtan β＝16，求证：a ∥b .【例3】在△ABC 中，2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC 2，求角A ，B ，C 的大小、 【例4】△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2).(1)假设m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)假设m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.1.(2017·安徽)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，假设AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，那么BD →＝________.2.(2017·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，那么AB →·AD →＝________. 3.(2017·江苏)e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，假设a ·b ＝0，那么实数k 的值为________.4.(2017·浙江)假设平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，那么α与β的夹角θ的取值范围是________、5.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)、 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值、 6.(2017·陕西)表达并证明余弦定理、(2017·江苏泰州一模)(本小题总分值14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1)设向量x ＝(sinB ，sinC)，向量y ＝(cosB ，cosC)，向量z ＝(cosB ，－cosC)，假设z ∥(x ＋y )，求tanB ＋tanC 的值；(2)a 2－c 2＝8b ，且sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，求b.解：(1)由题意：x ＋y ＝(sinB ＋cosB ，sinC ＋cosC)，(1分) ∵z ∥(x ＋y )，∴cosB(sinC ＋cosC)＝－cosC(sinB ＋cosB)， ∴cosBsinC ＋cosCsinB ＝－2cosBcosC ，(3分)∴cosBsinC ＋cosCsinB cosBcosC＝－2， 即：tanB ＋tanC ＝－2.(6分) (2)∵sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2cosAsinC ，(8分) ∴sin(A ＋C)＝－2cosAsinC ， 即：sinB ＝－2cosAsinC.(10分) ∴b ＝－2c ·b 2＋c 2－a 22bc ，(12分) ∴－b 2＝b 2＋c 2－a 2，即：a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ， ∴2b 2＝8b ，∴b ＝0(舍去)或4.(14分)第9讲平面向量及其应用1.△ABC 外接圆的圆心为O ，BC>CA>AB ，那么OA →·OB →，OA →·OC →，OB →·OC →的大小关系为________、 【答案】OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →解析：0＜∠AOB ＜∠AOC ＜∠BOC ＜π，y ＝cosx 在(0，π)上单调减，∴cos ∠AOB ＞cos ∠AOC ＞cos ∠BOC,∴OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →.2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tanA tanB ＝2cb . (1)求角A ；(2)假设m ＝(0，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosB ，2cos 2C 2，试求|m ＋n|的最小值、 解：(1)1＋tanA tanB ＝2cb1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinC sinB ，即sinBcosA ＋sinBcosB sinBcosA ＝2sinC sinB ， ∴sin A ＋B sinBcosA ＝2sinC sinB ，∴cosA ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)m ＋n ＝(cosB,2cos 2C2－1)＝(cosB ，cosC)，∴|m ＋n|2＝cos 2B ＋cos 2C ＝cos 2B ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.∵A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 从而－π6＜2B －π6＜7π6.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1，即B ＝π3时，|m ＋n|2取得最小值12. 所以，|m ＋n|min ＝22. 基础训练1.－14a ＋14b 解析：MN →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b.2.－0.5解析：a ＋λb ＝m[－(b －2a )]，那么⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝1，λ＝－m λ＝－12.3.3解析：|a －b|＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋4－2×1×2×cos π3＝ 3.4.[0,2]解析：设a 与b 的夹角为θ，那么|P|＝1＋1＋2cos θ＝2＋2cos θ(θ∈[0，π])、例题选讲例1解：(1)假设a 与b 平行，那么有1sinx ·cos2x ＝－1sinx ·2，因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，sinx ≠0，所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a 与b 不能平行、(2)由于f(x)＝a ·b ＝2sinx ＋－cos2x sinx ＝2－cos2x sinx ＝1＋2sin 2x sinx ＝2sinx ＋1sinx ，又因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以sinx ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，于是2sinx ＋1sinx ≥22sinx ·1sinx ＝22，当2sinx＝1sinx ，即sinx ＝22，x ＝π4时取等号，故函数f(x)的最小值等于2 2.变式训练向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域、 点拨：平面向量与三角结合是高考中的一个热点，此题主要考查平面向量数量积的坐标运算、解：(1)m ·n ＝sinA －2cosA ＝0tanA ＝2.(2)f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋32， ∵x ∈R,∴sinx ∈[－1,1]，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.例2(1)解：b －2c ＝(sin β－2cos β，4cos β＋8sin β)，a 与b －2c 垂直，∴4cos α(sin β－2cos β)＋sin α(4cos β＋8sin β)＝0，sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，即tan(α＋β)＝2.(2)解：b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c|＝sin β＋cos β2＋16cos β－sin β2＝17－15sin2β≤17＋15＝42，|b ＋c|的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β， 即4cos α4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b.变式训练向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)、 (1)假设a ∥b ，求tan θ的值；(2)假设|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值、解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或3π4.例3解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bccosA ＝3bc ，所以cosA ＝32， 又A ∈(0，π)，因此A ＝π6.由3|AB →|·|AC →|＝3BC 2得bc ＝3a 2，于是sinC ·sinB ＝3sin 2A ， 所以sinC ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，sinC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosC ＋32sinC ＝34， 因此2sinC ·cosC ＋23sin 2C ＝3，sin2C －3cos2C ＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3<2C －π3＜4π3， 从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或2π3， 故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3. 例4(1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形、(2)解：由题意可知m ·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4或－1(舍去)，∴S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3. 高考回顾1.(－3，－5)解析：取A(0,0)那么B(2,4)，C(1,3)、由BC →＝AD →得D(－1，－1)、即BD →＝(－3，－5)、2.152解析：AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·AB →＋AB →·BD →＝32＋3×1×cos 2π3＝152. 3.54解析：a ·b ＝0，(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，k －52＋k ＝0，k ＝54.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6解析：|α||β|sin θ＝12，sin θ＝12|β|≥12，又θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.5.解：(1)(解法1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 那么AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)、 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ， 那么：E 为B 、C 的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)，故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210； (2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)、 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.或者：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3,5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.6.解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍、或：在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，那么有a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ； b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC. 证明：如图a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC 2→－2|AC →||AB →|cosA ＋AB →2＝b 2－2bccosA ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.同理可证b 2＝a 2＋c 2－2accosB ， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.。

平面向量及其应用1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1) D ．(－1，－1)【答案】C 【解析】DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)． 2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 【答案】B 【解析】因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 3．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A 【解析】因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC→|cos∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A. 4．将OA →＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB →，则OB →＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，－1＋32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋32，－1－325．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影等于( ) A ．－32B ．32C.32D ．3 【答案】C 【解析】由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC→|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.6．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2] D ．(－1,0)【答案】B 【解析】由题意可得OD →＝k OC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94【答案】B 【解析】∵n⊥(tm ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0， ∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.8．如图3­3，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )图3­3A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49【答案】B 【解析】∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.9．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【答案】A 【解析】因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时， 由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则|b |＝__________.【答案】2【解析】由题意得 |a |＝12＋32＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cosπ3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 且|AB →－AC →|＝23，点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB →·BD →＝________.12．在如图3­2所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与xa ＋yb (x ，y 为非零实数)共线，则xy的值为________．图3­2 【答案】65【解析】设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx －2y ＝1，λx －2y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 13．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 【答案】712【解析】∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712. 14．已知点O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则OB →·OC →＝__________. 【答案】－16【解析】∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝－16.15．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ， sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.4分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.6分(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，9分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分16．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3. 答案：23π17．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.18．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。