中考数学几何模型能力 共顶点模型(解析版)

专题06相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型．模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。

“母子”模型（斜射影）双垂直（射影定理）“母子型”的变形斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA .1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ，:1:2AC AB ，则ADC 与ACB △的周长比是（）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ，则可得12AC AD CD AB AC BC ，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC，∵12AC AB ，∴12AC AD CD AB AC BC ，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF 绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ．(1)如图1，若CE CF ，求证：DE DF ；(2)如图2，若CE CF ，求证：2CD CE CF ；(3)如图2，过D 作DG BC 于点G ，若2CD，CF DN的长．∵DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∴∠DGN =∠ECN =90°，∠当CD =2，CF =2时，由CD 在Rt △DCG 中，CG DG ∵∠ECN =∠DGN ，∠ENC 3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（）A ．2B ．12C ．2或12（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，2,AB AD ADE B ．求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．AG DG ，4．（2022.浙江中考模拟）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3， ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3．∵△ABC 的面积＝12AB•CD ＝12AC•BC ，∴CD ＝AC BC AB ＝125．（3）存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，理由如下：在△BOC 中，∵∠COB ＝90°，BC ＝3，OC ＝125，∴OB ＝95．分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t ，解得t ＝98，即98BQ CP ，∴915388BP BC CP ．在△BPQ中，由勾股定理，得32PQ ，∴点P 的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB ，∴335t t ，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB ，即1581255PE ，∴PE ＝910．在△BPE中，2740BE ，∴92795408OE OB BE ，∴点P 的坐标为99(,810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．模型2.“A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC ，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC 所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABCS DE S BC ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在 ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4．(1)若8AB ，求线段AD 的长．(2)若ADE 的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB即可求出；（2）利用平行条件证明ADE EFC ∽ ，分别求出ADE EFC 与、ADE ABC 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S V 、ABC S ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S 求出．(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴DE AD BC AB ，∵DE 1BC 4 ，∴AD 1AB 4，∴118244AD AB ；(2)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，EF AB ，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ，∴ADE EFC ∽ ∴2ADE EFC S DE S FC，∵DE 1BC 4，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE ，∴133DE DE FC DE ，∴221139ADE EFC S DE S FC ，∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4 ，∴2211416ADE ABC S DE S BC ，∵1ADE S △，∴9,16EFC ABC S S ，∴16916BFED ABC EFC ADE S S S S ．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF ∥交DE 于点G ，求证：DG EG ．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3 CG DE CD AE ，求DE BC的值．(3)如图3，在ABCD 中，45, ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ， EF EG 交BC 于点F ．若40, EGF FG 平分,10 EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG ，CG DE ，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DE BC 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，∴, DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF．∵BF CF ，∴DG EG ．(2)解：由（1）得DG EG ，∵CG DE ，∴6CE CD ．∵3AE ，∴9AC AE CE ．∵DE BC ∥，∴ADE ABC ．∴13DE AE BC AC ．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．在ABCD 中，,45 BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得 ME GE ，∵ EF EG ，∴10 FM FG ，∴ EFM EFG ．∵40 EGF ，∴40EMF ，∴50EFG ．∵FG 平分EFC ，∴50 EFG CFG ，∴18030 BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN 中，sin 305,cos30 MN FM FN FM ∵45, MBN MN BN ，∴5 BN MN ，∴5 BF BN FN 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：52DF DE ；(2)如图2，将EDF 绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB 时，求DN 的长．【答案】(1)见解析(2)2FN ，理由见解析(3)103【分析】（1）连接AF ，可得AF BC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12DF AC根据中位线定理可得122DE BC ，即可得证；（2）证明DNF DME ∽，根据（1）的结论即可得FN；（3）连接AF ，过点C 作CH AB 于H ，证明AGD AHC ∽，可得125GD HC ，勾股定理求得,GE AG ，根据3tan 4AG ADG GD ，EMG ADG ，可得3tan 4EG EMG MG ，进而求得MG ，根据MD MG GD求得MD ，根据（2）的结论2DN DM，即可求解．(1)证明：如图，连接AF ，∵4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，122DE BC ，AF BC ， 12DF AC ， DF ，(2)2FN，理由如下，连接AF ，如图，∵4AB AC BC ，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，1,2EF AC CD EF DC∥， 四边形CDEF 是平行四边形，DEF C ，∵12DF AC DC ，DFC C ，DEF DFC ，180180DEF DFC ， DEM DFN ，∵将EDF 绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ， EDF PDQ ，FDN NDE EDM NDE ∵，FDN EDM ，DNF DME ∽，NF DF EM DE，FN ，(3)如图，连接AF ，过点C 作CH AB 于H ，Rt AFC △中，122FC BC ,4AF ，1122ABC S BC AF AB CH∵，5BC AF HC AB ，∵DP AB ，AGD AHC ∽，12GD AD HC AC，12GD HC Rt GED中，255GE Rt AGD中，355AG，3535tan 44AG ADG GD ，EF AD ∥∵，EMG ADG ，3tan 4EG EMGMG，4433515MG GE，1553MD MG GD，∵DNF DME ∽，DN DF DMDE103DN DM ．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．模型3.“X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X ”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．【答案】是5【分析】（1）证明△ACG ≌△CFD ，推出∠CAG =∠FCD ，证明∠CEA =90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB 的长，证明△AEC ∽△BED ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC =CF =2，CG =DF =1，∠ACG =∠CFD =90°，∴△ACG ≌△CFD ，∴∠CAG =∠FCD ，∵∠ACE +∠FCD =90°，∴∠ACE +∠CAG =90°，∴∠CEA =90°，∴AB 与CD 是垂直的，故答案为：是；（2）AB ∵AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ，∴AC AE BD BE ，即23AE BE ，∴25AE BE ，∴AE =25BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求ANND 的值．【答案】(1)见解析(2)2737(3)27【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌△ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的中点，即可证明结论；(2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AMBM BC，求出AN 的长，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF ＝∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BCBC BM，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．(1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ，∴AM BM ，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ，∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC，∴92342AN ，∴7162AN ，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ；(3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，∴CE BC BC BM ，∴344BM ，∴163BM ，∴162633AM AB BM ，由（2）同理得，AN AMBM BC，∴231643AN ，解得：AN ＝89，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣89＝289，∴8292879AN ND ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键．3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC ，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AOAD的值为______；(2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC，求OE 的长；②如图3，当60ACB 时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE ②见解析【分析】（1）过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E 作EF AD 于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得//AC BD ，根据等边三角形的性质可得30BAD ，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据//AC BD ，得60CBD ACB ，即BCD △是等边三角形，把ABD △旋转得90ECD ABD ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到13AF AO AB AD ，则可得AOF ADB △∽△，根据三角形相似的性质即可求证结论．(1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ，又∵BD =2AC ，∴AC=BH=DH ，且CH ⊥BD ，∴BCD △的形状为等腰三角形，∵AC 、BD 都垂直于l ，∴△AOC ∽△BOD ，122AO AC AC DO DB AC ，即2DO AO ，133AO AO AD AO DO A AO O，故答案为：等腰三角形，13．(2)①过点E 作EF AD 于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴//AC BD ，∵ADE 是等边三角形，且AE 与AC 重合，∴∠EAD =60°，∴60ADB EAD ，∴30BAD ，∴在Rt ADB 中，2AD BD ， AB ，又∵2BD AC ，32AC，∴6,AD AB ∴132AH DH AD ，又Rt ADB ，∴EH又由（1）知13AO AD =，∴123AO AD ，则1OH ，∴在Rt EOH △中，由勾股定理得：OE ②连接CD ，如图3所示：∵//AC BD ，∴60CBD ACB ，∵BCD △是等腰三角形，∴BCD △是等边三角形，又∵ADE 是等边三角形，∴ABD △绕点D 顺时针旋转60 后与ECD 重合，∴90ECD ABD ，又∵60BCD ACB ，∴30ACF FCB FBC ，∴2FC FB AF ，∴13AF AO AB AD ，又OAF DAB ，∴AOF ADB △∽△，∴90AFO ABD ，∴OF AB ．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CEFB DC EA．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD ，CE CDEA AG ，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AYXC ZA YB．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF ，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC ，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．代入∴YBX YAE YXB E ZCX ，；故可知△YBX ∽△YAE ，△ZCX ∽△课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE 和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE 和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，顺；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由见解析；△AOC和△BOD互为顺相似；（3）3．【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；②先判断出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；③先判断出∠ABD=∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由△AOB∽△COD，判断出AO OBCO OD，∠AOB=∠COD，进而得出∠AOC=∠BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互为逆相似，故答案为：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互为逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互为逆相似；故答案为：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互为顺相似；故答案为：△BCE，顺；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为顺相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴AOCO＝OBOD，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵AO CO＝OB OD，∴OA OB＝OC OD，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互为顺相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如图1，①过点P 作PG ⊥BC 于G ，∴∠BGP ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBG ，∴AB BC BP BG ，∴25159BG，∴BG ＝15925＝275＜BC ，∴点G 在线段BC （不包括端点）上，②过点P 作PG ''⊥AC 于G ''，∴∠AG ''P ＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△APG ''，∴AB AC AP AG ，∴252016AG，∴AG ''＝201625 ＝645＜AC ，∴点G ''在线段AC （不包括端点）上，③过点P 作PG '⊥AB ，交直线BC 与G '，交直线AC 于H ，∵∠APG '＝∠APH ＝90°＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△G 'BP ，∴AB BC BG BP ，∴25159BG ，∴BG '＝25915＝15＝BC ，∴点G '和点H 都和点C 重合（注：为了说明问题，有意将点G '和点H 没画在点C 处），故答案为：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC hV ，12DBC S BC h △．∴ABC DBC S S ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ，则ABC DBC S hS h△△．证明：∵ABCS (2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM△△．证明：过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，则90AEM DFM ，∴AE ∥．∴AEM △∽．∴AE AM DF DM．由【探究】（1）可知ABC DBC S S △△，∴ABC DBC S AM S DM△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC 于点M ，过点D 作DN BC 于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE V V ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM ，12DBC S BC DN ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h ∵，12DBC BC h S ，ABC DBC S h S h ．(2)证明：过点A 作AE BM ，垂足为E ，过点D 作DF BM ，垂足为F ，则90AEM DFM，AE DF ∥．AEM DFM ．AE AM DF DM．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF V V ，ABC DBC S AM S DMV V ．(3)解：过点A 作AM BC 于点M ，过点D 作DN BC 于点N ，则90AME DNE，AM DN P ，AME DNE V V ，AM AE DN DE，∵点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ， 1.5DE ， 3.571.53AM DN ，又12ABC S BC AM ∵，12DBC S BC DN ，73ABC DBC S AM S DN V V ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，60BAC ，6AC ，AD 平分BAC ，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【答案】（1）4；（2）23【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA ∽，根据相似性质即可求解；（2）先证明DF AG ，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ，60BAC ，∴30DAC ．在Rt ACD 中，90ACD ，30DAC ，6AC ，∴CD 在Rt ACB 中，90ACB ，60BAC ，6AC ，∴BC∴BD BC CD ．∵//DE CA ，∴BDE BCA ∽∴23DE BD CA BC ．∴4DE．（2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM ．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DM AG AM ．∴DF AG ．∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ∴23EF DF ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN ∥OE ，∴△DMN ∽△DOE ，∴，∴，∴MN ＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S △ADE ，S △ABC 和a ，b ，c ，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a c a b c d而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得 22ADE ABC S a S a b ．根据上述这两个式子，可以推出：22ADE ABC S a a a a c ac S a b a b a b c d a b c d a b ．（2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：ADE ABC S ac S a b c d ？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABD ADC BD AH S BD S DC DC AH ．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABC S S ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABC S S ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用：32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S ,根据题意，进而得出152ADE S ,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S．【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB ∽,∴a c c d a b，∴ 22()()ADE ABC S b a S c a c ac c d a b c d a d ；探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN a b,121()()2ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADE ABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ;结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S 平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ,∵AM =DM ,MN AF ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12 S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC ，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2 OG GH ，若56OE OA ，求12S S值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ，，则66OA m OM n ，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ，32n BN MN ON OM ，则9OB ON BN n ，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠，211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ；∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠；。

中考数学几何模型：共顶点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC ＝∠DAE ＝90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．【解答】解：连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CD＝BE；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案为：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案为：BC＝CE+CD．例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝2或6．【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；如图②中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ADF＝180°，∴∠AEF+∠ADF＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝120°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴FB＝FC，∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，综上所述，CF＝2或6．故答案为2或6．。

专题14共顶点模型破解策略1．等边三角形共顶点等边△ABC 与等边△DCE ，B 、C 、E 三点共线．H GFED C B A 连结BD 、AE 交于点F ，BD 交AC 于点G ，AE 交DC 于点H ，连结CF 、GH ，则：（1）△BCD ≌△ACE ；（2）AE ＝BD ；（3）∠AFB ＝∠DFE ＝60°；（4）FC 平分∠BFE ；（5）BF ＝AF ＋FC ，EF ＝DF ＋FC ；（6）△CGH 为等边三角形．证明（1）由已知条件可得CACB ACE BCD ECDC ∠∠，则△BCD ≌△ACE ．（2）由（1）得AE ＝BD ；（3）由（1）得∠GAF ＝∠GBC ，而∠AGF ＝∠BGC ，所以∠DFE ＝∠AFB ＝∠ACB ＝60°．（4）方法一如图1，过点C 分别作BD 、AE 的垂线，垂足分别为M 、N ．由（1）知S △ACE ＝S △BCD ，即12BD ·CM ＝12AE·CN ，所以CM ＝CN ，故FC 平分∠BFE ．图1M NAB C DEF 方法二由∠CAF ＝∠CBF ，可得A 、B 、C 、F 四点共圆，所以∠BFC ＝∠BAC ＝60°．同理可得∠CFE ＝∠CDE ＝60°．所以FC 平分∠BFE ．（5）如图2，作∠FCI ＝60°，交BD 于点I ，则△CFI 为等边三角形．易证△BCI ≌△ACF ，所以BI ＝AF ，IF ＝CI ＝F C ．从而BF ＝BI ＋IF ＝AF ＋CF ．同理可得EF ＝DF ＋F C ．。

三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。

直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

1.如图，△ABC为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．(1)如图1，若AB＝2√3+2，∠ABD＝45°，求△AMD的面积；(2)如图2，过点M作MN⊥AM与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(3)如图3，在（2）的条件下，将△ABM沿AM翻折得△AB′M，连接B'N，当B'N取得最小的值．值时，直接写出BN−DEMN【答案】(1)3+√3；(2)证明见解析；(3)3√2114【分析】（1）过点D作DH⊥AB，根据∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出HD=√3AH=2√3，可得S△ABD=6+2√3再结合三角形中学性质即可解得；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，又中位线性质和∠ACB=60°，得∠AGM= 30°，再通过四点共圆证明∠ANM=∠AGM=30°，进而可得∠MAN=60°，从而可证明△APN为等边三角形，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，构造△PMB≅△AMD，得AD=BP，继而证明△BAP≅△CAN（SAS），从而可得BP=CN，由此即可得出结论；（3）取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，通过构造△AMQ∼△ANB′，得出即D为AC的中点时，B′N取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解．(1)解：如解图1，过点D作DH⊥AB，∵∠ABD＝45°，∴BH=HD，∵在△ABC为等边三角形中，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC=HDAH=√3，∴HD=√3AH，∴AB=BH+AH=√3AH+AH，又∵AB＝2√3+2，∴√3AH+AH=2√3+2，∴AH=2，∴HD=√3AH=2√3，∴S△ABD=12AB·HD=12(2√3+2)×2√3=6+2√3，∵M为BD的中点，∴S△AMD=12S△ABD12(6+2√3)=3+√3；(2)如解图2，过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接MG，∵△ABC为等边三角形，∴BG=GC，∵BM=DM，∴MG//AC，∴∠BGM=∠ACB=60°，∴∠AGM=∠AGB−∠BGM=90°−60°=30°，又∵AM⊥MN，AG⊥BC，∴∠AMN=∠AGN=90°，∴A、M、G、N四点共圆，∴∠ANM=∠AGM=30°，∴∠MAN=90°−∠ANM=60°，又∵MP=AM，AM⊥MN，∴AN=PN，又∵∠MAN=60°，∴△APN为等边三角形，AP=AN，∵∠BAC=∠PAN=60°，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAN，∴∠BAP=∠CAN，如解图2，延长AM到P，使MP=AM，连接PN，∵BM=DM，∠AMD=∠PMB，∴△AMD≅△PMB（SAS）∴AD=BP，在△BAP和△CAN中，{AB=AC∠BAP=∠CANAP=AN，∴△BAP≅△CAN（SAS）∴BP=CN，∴AD=CN；(3)取AC的中点Q，连接BQ，取BQ的中点K，连接KM，∵将△ABM沿AM翻折得△AB'M，，∴∠BAM=∠MAB′，AB′=AB=AC，又∵∠BAM=∠CAN，∴∠MAB′=∠CAN，∴∠MAN−∠CAN=∠MAN−∠MAB′，即：∠MAC=∠NAB′，又∵∠ANM=30°，AQ=12AC=12AB′，∴AMAN =AQAB′=12，∴△AMQ∼△ANB′，∴B′N=2MQ，又∵BM=MD，BK=KQ，∴KM//QD，又∵AB=BC，∴BQ⊥AC，∴BQ⊥KM，∴KQ≤MQ，当M点与K点重合时，MQ取最小值，此时B′N=2MQ取最小值，∴D点与Q点重合，即D为AC的中点时，B′N取最小值，如解图3-2；设AD=a，∵△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，∴∠ADM=∠MDE=90°，∠ABD=30°∴BD=√3a，AB=BC=2a，∴MD=12BD=√32a，∴AM=√MD2+AD2=√(√32a)2+a2=√72a，∴MN=AMtan∠MAN=√72a×√3=√212a，∵∠MAE=∠DAM，∠AME=∠ADM=90°，∴△AME∼△ADM，∵MDAD =DEMD，∴DE=34a，∵CN=AD=a，∴BN−DEMN =BC+CN−DEMN=2a+a−34a√212a=3√2114【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练．解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线构造适当的三角形转化线段和角的关系．【例2】（2022·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E在同一条直线上，则∠AEB的度数为__________，线段AD、BE之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E不在一条直线上，请判断线段AD、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，则直线AD和BE的夹角为__________．（请用含α的式子表示）【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）α【分析】（1）由已知条件可得AC＝BC，CD＝CE，进而根据∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°；（2）延长AD交BE于点F，同理可得△ACD≌△BCE，设∠F AB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α，根据∠ABE=45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB=180°-∠F AB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；（3）延长BE交AD于点G，方法同（2）证明△ACD≌△BCE，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线AD和BE的夹角．【详解】（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠CDE=45°∴∠CDA=135°∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，{AC＝BC∠ACD＝∠BCECD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE ∴∠AEB=90°故答案为：90°，AD＝BE（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，同理可得△ACD≌△BCE，则AD=BE，延长AD交BE于点F，设∠F AB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α∴∠AFB=180°-∠F AB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°∴AD⊥BE（3）如图，延长BE交AD于点G，∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB=∠DCE=α，∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，{AC＝BC∠ACD＝∠BCECD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD∵∠ACB=∠DCE=α∴∠CBA=∠CAB =12(180°−α)=90°−12α∴∠GAB+∠GBA=(∠CAD+∠CAB)+(∠ABC−∠CBE)，=∠ABC+∠CAB=180°−α，∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA)=α，即直线AD和BE的夹角为α．故答案为：α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．【例3】（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D 是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．【答案】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析；（2）不变，理由见解析；（3）①BD＝AC，理由见解析；②能，60°或120°．【分析】（1）延长BD交AC于F，根据“SAS”判定△BED≌△AEC，根据全等三角形的性质，即可求证；（2）根据“SAS”判定△BED≌△AEC，根据全等三角形的性质，即可求证；（3）①根据“SAS”判定△BED≌△AEC，根据全等三角形的性质，即可求证；②设AC与BD 交于点F，根据全等三角形的性质，即可求证．【详解】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中{BE=AE ∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不发生变化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，{BE=AE ∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，{BE=AE ∠BED=∠AEC DE=EC∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，②能．设AC与BD交于点F，如下图：理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，{BE=AE∠BED=∠AECDE=EC，∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴∠DFC=180°−(∠BDE+∠EDC+∠DCF)＝180°−(∠ACE+∠EDC+∠DCF)＝180°−(60°+60°)=60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．【例4】（2021·福建·闽江学院附中九年级期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中△BDF的面积最大值；（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．【答案】（1）BE=DG，BE⊥DG；（2）7.5；（3）12√34+12√2或12√34−12√2【分析】（1）利用正方形的性质证明△BAE≌△DAG即可证得结论；（2）连接BD，BF，DF，AF，AC，设AC交BD于点K．利用勾股定理求出AF，AK，由AF=√2推出当点F，A，K在同一直线上时，点F到BD的最大距离=√2+32√2=52√2，由此可得结论；（3）分两种情形：如图2−1中，当D，E，G共线时，连接AF交DG于T．如图2−2中，当D，E，G共线时，连接AF交DE于T．利用勾股定理求出DT，可得结论．【详解】解：（1）BE=DG，BE⊥DG，理由如下：如图1中，设BE交AD于点O，交DG于点J．∵∴四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，∴∠BAD=∠EAG=90°，AB=AD，AG=AE，∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，∴∠BAE=∠DAG，在△BAE和△DAG中，{AB=AD∠BAE=∠DAGAE=AG，∴△BAE≌△DAG，∴BE=AG，∠ABE=∠ADG，∵∠BOD=∠ABE+∠BAD=∠ADG+∠DJO，∴∠BAO=∠DJO=90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）如图1中，连接BD，BF，DF，AF，AC，设AC交BD于点K．∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，∴AB=AD=3，∠BAD=90°，EA=EF=1，∠AEF=90°，∴BD=AC=√32+32=3√2，AF=√12+12=√2，∴AK=CK=32√2，∵AF=√2，∴当点F，A，K在同一直线上时，点F到BD的最大距离=√2+32√2=52√2，∴△BDF的面积的最大值为12×3√2×52√2=7.5；（3）如图2−1中，当D，E，G共线时，连接AF交DG于T．∵四边形AEFG是正方形，∴AF⊥EG，AF=EG=√2，∴AT=FT=TG=TE=12√2，∴DT=√AD2−AT2=√32−(12√2)2=12√34，∴DG=GT+DT=12√2+12√34，∵BE=DG，∴BE=12√2+12√34；如图2−2中，当D，E，G共线时，连接AF交DE于T．∵四边形AEFG是正方形，∴AF⊥EG，AF=EG=√2，∴AT=FT=TG=TE=12√2，∴DT=√AD2−AT2=√32−(12√2)2=12√34，∴DG=DT−GT=12√34−12√2，∵BE=DG，∴BE=12√34−12√2；综上所述，满足条件的DG的长为12√34+12√2或12√34−12√2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

专题1共顶点模型【例1】把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当DE ⊥AC 时，AD 与BC 的位置关系是，AE 与BC 的位置关系是．（2）如图2，当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数；（3）若△ABD 的外心在边BD 上，直接写出旋转角α的值．【例2】已知Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为边作Rt ADE △，AD AE =，连接CE ．（1）发现问题：如图①，当点D 在边BC 上时，①请写出BD 和CE 之间的数量关系________，位置关系________；②线段CE 、CD 、BC 之间的关系是_________；（2）尝试探究：如图②，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE 、CD 、BC 之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，若6BC =，1CE =，则线段AD 的长为________．经典例题【例3】有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．求证：△BCE≌△DCF．（1）请你完成这道题的证明：（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．①求证：∠BFC＝45°．②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF．【例4】已知等边ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM绕点D逆时针旋转120 得到线段DF，连接BF．①依题意补全图1；②此时EM 与BF 的数量关系为：，DBF ∠=°．（2）如图2，若2DM MC =，在边AB 上有一点N ，使得120NDM ∠=︒．直接用等式表示线段BN ，ND ，CD 之间的数量关系，并证明．【例5】如图1，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，点M ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点D 在边AC 上，且CD ＝2AD ，点N 为CD 的中点，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，点G 为DE 的中点．将△DCE 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α，连接MG ，FN ．（1）问题发现当α＝0°时，F G =32；直线MG 与直线FN 相交所成的较小夹角的度数为30°．（2）类比探究当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用若AB ＝4，直线MG 和直线FN 交于点O ，在旋转的过程中，当点O 与点N 重合时，请直接写出线段FN 的长．培优训练1．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接G I ，当HI 最小时，直接写出G I 的长度．2．在 ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作 ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．3．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点（观察猜想）（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．(3)若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH 的最小值4．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是；（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD 的长为5．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．6．如图，点A ，M ，B 在同一直线上，以AB 为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC 和等边三角形ABD ，连接CM ，DM ，过点M 作MN ＝DM ，交BC 边于点G ，交DB 的延长线于点N ．（1）求证：∠BCM ＝∠BDM ；（2）求∠CMN 的度数；（3）求证：AM ＝BN ．7．问题发现（1）如图①，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外分别作等边△ABD 和等边△ACE ，连接CD ，BE ．试探究CD 与BE 的数量关系，并说明理由．问题探究（2）如图②，四边形ABCD 中，∠ABC ＝45°，∠CAD ＝90°，AC ＝AD ，AB ＝2BC ＝60．求BD 的长．问题解决（3）如图③，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠ACB 是一个变化的角，以AB 为边向△ABC 外作等边△ABD ，连接CD ，试探究，随着∠ACB 的变化，CD 的长是否存在最大值，若存在求出CD 长的最大值及此时∠ACB 的大小；若不存在，请说明理由．8．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：（1）如图1，两个等腰三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，BAC DAE ∠=∠，连接BD 、CE ，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和ADB △全等的三角形是______，此线BD 和CE 的数量关系是______．（2）如图2，两个等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和CE 的关系，并说明理由．9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1．在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =40°（AB ＞AD ），连接BD ，CE ，当点E 落在AB 边上，且D ，E ，C 三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD 全等的三角形是，∠BDC 的度数为．（2）如图2．在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD ，CE ，当点B ，D ，E 在同一条直线上时，请判断线段BD 和CE 的关系，并说明理由．（3）如图3，已知△ABC ，请画出图形：以AB ，AC 为边分别向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE （等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE ，CD ，交于点P ，请直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠BPD 的度数．10．如图1，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°．点D 是AC 中点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ．（1）求证：∠EAD ＝∠CBD ；（2）求证：BF ＝2AE ；（3）如图2，将△BCF 沿BC 翻折得到△BCG ，连接AG ，请猜想并证明线段AG 和AB 的数量关系．11．如图，在四边形ABCD 中，90,12cm,10cm A ABC AB BC AD ∠=∠=︒===．点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速运动设运动时间为(s)t ．（1）如图①，连接BD CP、，当BD CP⊥时，求t的值；（2）如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以cm/sa的速度沿CB向点B匀速运动，当P Q、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当ADP△与BQP全等时，求a和t的值；（3）如图③，当（2）中的点Q开始运动时，点M同时从点D出发，以1.5cm/s的速度沿DA向点A运动，连接CM，交DQ于点E．连接AE当920MD AD=时，ADE CDES S=，请求出此时a的值．12．（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是．（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；②图2中∠AFB的度数是．（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC=6，请直接写出BQ的长．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，求DE与BC的数量关系是DE=3BC．（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF＝60°，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请猜测DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．15．（1）观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．（2）理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝50；（3）类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝8．（4）拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E 沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．（画出示意图）16．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如图1，当点D在AC上，点E在BC延长线时，连接AE、BD，找出AE与DB的关系，并说明理由；（2）材料：材料：图2，当点D不在AC上，点E不在BC延长线上时，连接AD、BE，点M为AD中点，连接MC，并延长MC交BE与N，我们可以证明MN⊥BE：辅助线和证明方法为：过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，易证△AMC≌△DMG（AAS），再证明△GDC≌△BCE（SAS），从而得到∠CNE ＝90°，MN⊥BE；问题：把等腰Rt△DCE绕点C转至如图3位置，点M是线段AD的中点，问MN与BE的位置关系是否发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由．17．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC ＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为CF⊥BC；②CF，DC，BC之间的数量关系为BC＝DC+CF（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，请求出线段CE的长．18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC，CD，CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝22，CD＝1，请求出GE的长．19．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF＝BC﹣CD．（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF ＝CD﹣BC．（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB＝22，CD=14BC，请求出DG的长（写出求解过程）．20．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF．②BC，DC，CF之间的数量关系为：BC＝DC+CF；（2）类比探究如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，（1）中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．①BC、DC、CF三条线段之间的数量关系为：BC＝DC﹣CF．②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF相交于点O，连结OC，则OC21．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝42．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t＝4时，点D经过点A：当t=163时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t≤163时S的最大值．22．【问题情境】如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜OC+PC，即OP﹣OC＜PC，由OA＝OC得OP﹣OA＜PC，即PA＜PC，从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由【直接运用】上的一如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是C个动点，连接AP，则AP−1【构造运用】如图4，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值解：由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H（请继续完成本题的后续解题过程）【深度运用】如图6，△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，则线段BM−2和+2．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD﹣DE﹣EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE﹣EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为（t﹣2）cm（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M﹣N ﹣M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H 始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．24．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．25．综合与实践：如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与QM的数量关系是PM＝MQ；（2）探究证明当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；（3）拓展延伸当∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由；②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．26．【问题提出】如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是FG＝FH（直接写出结论）．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点E在BC上，且BE=61，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE与AC垂直时，线段DF的长度为（直接写出结果）．。

第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (11)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (21)【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点C 是AB 上一点，ACM △、CBN △都是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．(1)求证：NAC BMC(2)连接EF ，判断CEF △的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CEF △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明 SAS ACN MCB ≌，即可得证；（2）由（1）可得EAC FMC ，继而得到ACE MCF ，证明 ASA ACE MCF ≌，得CE CF ，根据等边三角形的判定即可得出结论；掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵ACM △与CBN △为等边三角形，∴60ACM BCN ，AC MC ，NC BC ，∴ACM MCN BCN NCM ，即ACN MCB ，在ACN △和MCB △中，AC MC ACN MCB NC BC，∴ SAS ACN MCB ≌；∴NAC BMC ；（2）CEF △为等边三角形．理由：∵180ACB ，60ACM BCN ，∴180606060MCF ACE ，∵NAC BMC ，即EAC FMC ，在ACE △和MCF △中，EACFMC AC MC ACE MCF，∴ASA ACE MCF ≌∴CE CF，∵60MCF ，∴CEF △是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE ，其中AC BC ．(1)求证：AD BE ；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF ；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH ，5CH ，直接写出BH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8BH 【分析】（1）由“SAS ”可证ACD ECB △≌△，可得AD BE ；（2）由“ASA ”可证BCG D CF ≌，可得BG DF ；（3）如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，由面积法可求CP CN ，可证60BH C CH A ，由直角三角形的性质可求 2.5PH HN ，由“AAS ”可证BCP D CN ≌，可得 5.5D N BP ，即可求解．【详解】（1）证明：BCD ∵ 和ACE △是等边三角形，BC CD ，AC CE ，60BCD ACE ，BCE DCA ，在ACD 和ECB 中，AC CE ACD ECB CD BC，()ACD ECB ≌SAS ，AD BE ；（2）证明：AC D EC B ∵ ≌，EBC ADC ，∵点C 在线段AB 上，60BCD ACE ，60DCE BCD ，在BCG 和DCF 中，90EBC ADC BC CD BCG DCF，()BCG DCF ≌ASA ，BG DF ；（3）解：如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，EBC ADC∵，DBH EBC，60DHB DCB，120BHA2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，ABD △，AEC △都是等边三角形．求证：BE DC ．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若CD 与BE 交于点O ，AB 与CD 交于点M ，AC 与BE 交于点N ，连接AO ，求证：AO 平分DOE ；(3)在（2）的条件下再探索OA ，OC ，OE 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)OE OA OC ，理由见解析．【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB AD ，AE AC ，60BAD BDA DBA CAE ，求出BAE DAC ，根据SAS 证ABE ADC △≌△即可；（2）过点A 分别作AG BE ，AH DC ，垂足为点G ，H ，由得到ABE ADC △≌△，从而ABE ADC S S ，故有AM AN ，根据角平分线判定即可求证；（3）在OE 上截取一点Q ，使得OQ OA ，证明AOQ △是等边三角形，即可证明 SAS OAC QAE ≌，从而得证．由（1）知：ABE ADC △≌△，BE ∴ABE ADC S S ，∴11··22BE AM DC AN ，∴AM AN ，由（1）知：ABE ADC△≌△， ，∴ADC ABE∴ADC BDO ABE BDO 在BOD中，为边在直线AD 右侧作等边三角形ADE ．(1)如图1，当点D 在BC 边上时，连接CE ，此时AB ，CD ，CE 之间的数量关系为______，ACE ______；(2)如图2，当点D 在BC 的延长线上时，连接CE ，（1）中AB ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 的中点F ，连接EF ，当EF 的值最小时，请直接写出CFE 的度数．【答案】(1)CE CD AB ；60(2)不成立，CE CD AB ，证明见解析(3)30【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明ABD ACE ≌△△，可得ACE B ，CE BD ，即可得到AB ，CD ，CE 之间的数量关系；（2）同（1）中原理证明ABD ACE ≌△△，可得AB ，CD ，CE 之间新的数量关系；（3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，根据ABD ACE ≌△△，证明BDG CFE ≌，则可得EF DG ，当GD BC 时，取最小值，则EF 此时也去最小值，即可求得此时CFE 的值，见手拉手模型则考虑证全等，将EF 转换到ABD △中等量的中线看最小值，是解题的关键．【详解】（1）解：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，,60AB BC B ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，60ACE B ，CE DC BD DC BC AB ，即CE CD AB ，故答案为：CE CD AB ；60 ；（2）不成立，CE CD AB ，证明如下：证明：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，AB BC ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，CE CD BD CD BC AB ，即CE CD AB ；（3）解：如图，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC 内部，点E 在ABC 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE ，BD CE(2)BD CE ，BD CE ，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∴AB AD AC AE ，即BD CE ，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ，∴BD CE ；（2）BD CE ，BD CE ，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∵BAD BAC DAC ，CAE DAE DAC ，∴BAD CAE ，在ABC 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE ，ABD ACE ，∵A F B G F C ，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF ，∴90CGF BAF ，即BD CE ；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB 的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD ，AE BD ；（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明 SAS ACE BCD ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴AC BC ，CD CE ，∴90ACE ECB BCD ECB ，∴ACE BCD ，∴ SAS ACE BCD ≌，∴AE BD ，CAE CBD ，∵90CAE AOC ，AOC BOH ，∴90BOH CBD ，∴90AHB ，∴AE BD ．故答案为：AE BD ，AE BD ．（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由如下：如图2中，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴45CDE CED ，∴180135AEC CED ，由（1）可知：ACE BCD ≌，∴AE BD ，135BDC AEC ，∴1354590ADB BDC CDE ；在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM DM ME ，∴2DE CM ，∴2AD DE AE CM BD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B ，C 重合），连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC =CE +CD ；（2）在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，结论BC =CE +CD 是否还成立？若不成立，请猜想BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系及直线CE 与直线BC 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由见解析；（3）BC CD CE ；CE BC ，理由见解析【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC =BD +CD =CE +CD 成立；（2）同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC BD CD CE CD 成立，故BC =CE +CD 不成立；（3）补全图形，同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），利用全等三角形的性质即可作出结论：BC CD CE ；CE BC ．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB =AC ，AD =AE ，90BAC DAE∴90BAD DAC CAE DAC∴BAD CAE∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴BD =CE∴BC =BD +CD =CE +CD（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由如下：∵90BAC DAEBAC CAD DAE CADBAD CAE又∵AB =AC ，AD =AEBAD CAE SAS BD CEBC BD CD CE CD（3）BC CD CE ；CE BC ；理由如下：补全图形如图3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD EAC AD AE，(1)如图1，若30CAD ，10DCB ，求DEB 的度数；(2)如图2，若A 、D 、E 三点共线，AE 与BC 交于点F ，且CF BF ，AD (3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ，延长CD 与AB 交于点△BNM≌△BNT （SAS ），利用全等三角形的性质，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，90ACB DCE Q ，ACB BCD DCE BCD ，ACD BCE ，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE，ACD ≌ SAS BCE ，30CAD CBE ，10DCB ∵，901080ECB ，180803070CEB ，45CED ∵，704525DEB ；（2）如图2中，过点C 作CQ DE 于Q ．∵，AD CD90ADC ，同理：ACD ≌BCE ，90ADC BEC ，90BCT ECB ∵，90ECB CBG ，BCT CBG ，在CBT 和BCG 中，90BCT CBG CB BC CBT BCG，CBT ≌ ASA BCG ，BT CG ，CT BG ，BM CG ∵，BM BT ，在BNM 和BNT 中，45BM BT NBM NBT BN BN，BNM ≌ SAS BNT ，MN NT ，CN MN CN NT CT BG ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若ABC 和ADE V 均为等腰三角形，且AB AC AD AE ，当ABC 和ADE 互余时，称ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，ABC 的边BC 上的高AH 叫做ADE V 的“余高”．(1)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，若连接BD ，CE ，判断ABD △与ACE △是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，当0180BAC 时，若ADE V 的“余高”是AH ．①请用直尺和圆规作出AH ；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求证：2DE AH ．(3)如图2，当90BAC 时，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，连接BD 、CE ，若6BD ，8CE ，请直接写出AB 的长．【答案】(1)是(2)见详解(3)5【分析】（1）根据题意可得90ABC ADE ，90ACB AED ，四边形内角和为360 ，求出【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE 时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC ．(2)若60BAD CAE ，①如图2，当AB AD AC AE ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，∵DAC DAB BAC ，BAE CAE BAC ，∴DAC BAE ，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC，∴ SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC ．（2）①当AB AD ，AE AC 时，成立．理由：如图，∵AB AD ，BAE DAC ，AE AC ，∴ SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC ；②当AB DB ，AC EC 时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ，∴AB DB AD ，AC EC AE ，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC ，CD CE ，ACB 与DCE 为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ，则 EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE ，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE 可求出45DCE ACB ，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ，然后根据“8”子三角形即可求出EMD 的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ，BE AD ．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP ，ACQ BCP ，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE ．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ，所以ACD BCE ．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE所以 SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE ．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ．∵90ACE ，∴45DCE ACB ．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ．∵MOE COD ，∴45EMD DCE ．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ，BE AD ．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP ．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP所以 SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP ，ACQ BCP ．又因为90BCP PCA ，所以90ACQ PCA ．所以90PCQ ，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①，在ABC 与ADE V 中，AB AC ，当BAC BAD BAE 、、、满足条件____时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”；(2)如图②，在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，BE CD 、相交于点M ，连AM ，求证：MA 平分BMD(3)如图③，在四边形ABCD 中，180BAD BCD ，AD AB ，AC BC DC ，求BAD 的度数．【答案】(1)BAE BAC BAD ；(2)见解析(3)60BAD【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出BAC BAD BAE 、、的关系便可；（2）过点A 作AM BE 于点M ，作AN CD 于点N ，再证明ABE ACD ≌得AM AN ，再根据角平分线的判定定理得结论；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，连接AE ，证明ABC ADE △≌△，进而得ACE △是等边三角形，便可得60BAD CAE ．【详解】（1）∵在ABC 与ADE V 中，AB AC ，∴当BAC DAE 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，∵BAE DAE BAD ，∴BAE BAC BAD ，故当BAE BAC BAD 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，故答案为BAE BAC BAD ；（2）过点A 作AH BE 于点H ，作AN CD 于点N ，∵在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，∴BAC DAE ，AD AE ，∴BAE CAD ，∴ SAS ABE ACD ≌，∴AH AN （全等三角形的对应高相等），∴MA 平分BMD ；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，如图③，∵180BAD BCD ，∴360180180 ABC ADC ，∵180ADC ADE ，∴ABC ADE ，∵AB AD ，∴ SAS ABC ADE ≌，∴AC AE BAC DAE ，，∴BAD CAE ，∵AC BC DC DE DC CE ，∴AC CE AE ，∴60CAE ，∴60BAD ．【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键．。

专题14 共顶点模型破解策略1．等边三角形共顶点等边△ABC 与等边△DCE ，B 、C 、E 三点共线．H GF ED CBA连结BD 、AE 交于点F ，BD 交AC 于点G ，AE 交DC 于点H ，连结CF 、GH ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ；（3）∠AFB ＝∠DFE ＝60°； （4）FC 平分∠BFE ；（5）BF ＝AF ＋FC ，EF ＝DF ＋FC ； （6）△CGH 为等边三角形．证明 （1）由已知条件可得CA CB ACE BCD EC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，则△BCD ≌△ACE ．（2）由（1）得AE ＝BD ；（3）由（1）得∠GAF ＝∠GBC ，而∠AGF ＝∠BGC ，所以∠DFE ＝∠AFB ＝∠ACB ＝60°． （4）方法一 如图1，过点C 分别作BD 、AE 的垂线，垂足分别为M 、N ． 由（1）知S △ACE ＝S △BCD ，即12BD ·CM ＝12AE ·CN ，所以CM ＝CN ，故FC 平分∠BFE ．图1方法二 由∠CAF ＝∠CBF ，可得A 、B 、C 、F 四点共圆，所以∠BFC ＝∠BAC ＝60°．同理可得∠CFE ＝∠CDE ＝60°．所以FC 平分∠BFE ．（5）如图2，作∠FCI ＝60°，交BD 于点I ，则△CFI 为等边三角形． 易证△BCI ≌△ACF ，所以BI ＝AF ，IF ＝CI ＝F C ． 从而BF ＝BI ＋IF ＝AF ＋CF ．同理可得EF ＝DF ＋F C ．图1（6）易证△ACH ≌△BCG （ASA ） 可得CG ＝CH ，而∠GCH ＝60°，所以△CGH 为等边三角形．2．等腰直角三角形共顶点等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DCE 中，∠ACB ＝∠DCE ＝90°．图1ABCD EFJI图2ABCD EGH如图1，连结BD 、AE 交于点F ，连结FC 、AD 、BE ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ； （3）AE ⊥BD ；（4）FC 平分∠BFE ；（5）AB 2＋DE 2＝AD 2＋BE 2（6）BF ＝AF ＋FC ，EF ＝DF ＋FC ；（7）如图2，若G 、I 分别为BE 、AD 的中点，则GC ⊥AD 、IC ⊥BE （反之亦然）； （8）S △ACD ＝S △BCE 证明（1）（2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”；（5）因为AE ⊥BD ，由勾股定理可得AB 2＋DE 2＝（AF 2＋BF 2）＋（DF 2＋EF 2）， AD 2＋BE 2＝（AF 2＋DF 2）＋（BF 2＋EF 2）所以AB 2＋DE 2＝AD 2＋BE 2（6）如图3，过点C 作CK ⊥FC ，交BD 于点K ，则△CFK 为等腰直角三角形． 易证△BCK ≌△ACF ，所以BK ＝AF ．从而BF ＝BK ＋KF ＝AF ＋FC ， 同理可得EF ＝DF ＋F C ．。

中考数学几何模型 对角互补模型共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。

主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。

解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线. 类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，则有以下结论：CD CE =①； =2OD OE OC +②；21+=2OCD OCE S S OC V V ③作法1 作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以下结论：CD CE =①； -=2OE OD OC ②；21-=2OCE OCD S S OC V V ③作法1 作法2类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB ，则有以下结论：CD CE =①； =OD OE OC +②； 23+=4OCD OCE S S OC V V ③ 作法1 作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以下结论：CD CE =①； -=2OE OD OC ②；21-=2OCE OCD S S OC V V ③作法1 作法2例题1. 如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．变式练习>>>1. 角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．例题2. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．变式练习>>>2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM 交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．变式练习>>>3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．变式练习>>>4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B 运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：PA＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.3. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.答案例题1. 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．变式练习>>>1. 角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；例题2. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．【解答】解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点，则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形，又因为AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，在△ABC和△ADC′中∴△ABC≌△ADC′（SAS），∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积，所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．变式练习>>>2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.答案：43例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM 交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 3 ．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．故答案为3．变式练习>>>3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故选：B．【本题两种方法解答，过E作两垂线亦可】例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）BE＝CF．证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（3）能．△AEC的CE边上的高为等边△ABC的高，为2，∵△AEC的面积等于，∴底边CE＝2，∴BE＝6或2．变式练习>>>4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B 运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．【解答】解（1）∵点A（x，y）是“完美点”∴x＝y∵x+y＝4∴x＝2，y＝2∴A点坐标（2，2）（2）①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），∴AO＝AB＝BC＝4∴B（4，4）设直线OB解析式y＝kx过B点∴4＝4kk＝1∴直线OB解析式y＝x设点E坐标（x，y）∵点E在直线OB上移动∴x＝y∴不管t为何值，E点总是“完美点”．例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：PA＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【解答】解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，∴∠EPA＝∠FPB，由角平分线的性质，得PE＝PF，∴△EPA≌△FPB，即PA＝PB；（2）∵S△POB＝3S△PCB，∴PO＝3PC，由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），∴△PBC∽△POB，∴＝，即PB2＝PO•PC＝3PC2，∴＝达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.答案：①②③2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.答案：223. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．【解答】解：（1）如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC＝∠ECF，∵∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCF，在△OBG与△OCF中，，∴△OBG≌△OCF（SAS），∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，∴EC＝2，∴BE＝＝＝2，∵BC2＝BF•BE，则62＝BF•2解得：BF＝，∴EF＝BE﹣BF＝，∵CF2＝BF•EF，∴CF＝；4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF＝AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，∴∠APE＝∠DPF，在△APE和△DPF中∴△APE≌△DPF（ASA），∴AE＝DF，∴DE+DF＝AD；（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，∴△MDP是等边三角形，∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，∵∠PAM＝30°，∴∠MPD＝60°，∵∠QPN＝60°，∴∠MPE＝∠FPD，在△MPE和△DPF中，∴△MPE≌△DPF（ASA）∴ME＝DF，∴DE+DF＝AD；5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ 1 ；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝1，∴＝1，故答案为1．（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝，∴＝，故答案为．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝＝，∴＝＝＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝＝＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.。

中考数学共顶点旋转模型一、题源分析（人教版八年级上册第55页）如图，,12CA CD BC EC =∠=∠=， ,求证AB DE =（人教版九年级上册第63页）如图，,ABD AEC 都是等边三角形，BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？二、共顶点旋转模型简要概述共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

例如上题中的三角形ADC 和三角形ABE 。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

典例分析1：（2014年）（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE 填空：（1）∠AEB 的度数为 ；（2）线段AD 、BE 之间的数量关系是 。

（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE。

请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

思路点拨：（1）第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点C，在点C处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：CA CBCD CE=⎧⎨=⎩，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：CAD CBE∆≅∆.（2）类比第一问，可以得到CA CBCD CE=⎧⎨=⎩，故而全等的三角形为CAD CBE∆≅∆，之后再做计算即可。

典例分析2：（2015年）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BG C．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值．思路点拨：（1）第一问，结合共顶点旋转全等模型即可（2）类比第一问，全等模型的延伸，相似模型。

中考数学几何模型 共顶点模型共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC =∠DAE =90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）求证：BD=AE．（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．例题5. 如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3. 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD的最大值．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF=CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，则CF= ．答案例题1. 以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．【解答】解：连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CD＝BE；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案为：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案为：BC＝CE+CD．例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3. 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝2或6 ．【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；如图②中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ADF＝180°，∴∠AEF+∠ADF＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝120°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴FB＝FC，∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，综上所述，CF＝2或6．故答案为2或6．。

模型介绍共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形*常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：（1）BCD ACE≅△△（2）AE BD=（3）AFB DFE∠=∠（4）FC BFE∠平分【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1图2图3图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图4手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

手拉手模型特点：“两等腰，共顶点”模型探究：例题精讲考点一：等边三角形中的手拉手模型【例1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．有下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ为正三角形．其中正确的结论有_____________.解：∵△ABC和△DCE是正三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°＝∠ACB，在△ACP和△BCQ中∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，∴②正确；PC＝QC，∴△CPQ为正三角形∴⑤正确∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝60°＝∠CAD+∠ADC，∴∠CAD+∠BEC＝60°，∴∠AOB＝∠CAD+∠BEC＝60°，∴③正确；∵△DCE是正三角形，∴DE＝DC，∵∠AOB＝60°，∠DCP＝60°，∠DPC＞∠AOB，∴∠DPC＞∠DCP，∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④错误；所以正确的有①②③⑤变式训练【变式1-1】．如图，ABD∆，AEC∆都是等边三角形，则BOC∠的度数是()A．135︒B．125︒C．120︒D．110︒解：ABD，AEC∆∆都是等边三角形，∴=，AE ACAD AB∠=∠=︒，60∠==︒，ADB DBADAB CAE=，60∴∠=∠，DAB BAC CAE BAC∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE∴∆≅∆，ADC ABE()DAC BAE SAS∴∠=∠，∴∠=∠+∠+∠BOC BDO DBA ABE=∠+∠BDO DBA ADC=∠+∠+∠ADB DBA∴∠的度数是120︒=︒，BOC=︒+︒1206060故选：C．【变式1-2】．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有（）A．②④B．①②③C．①②④D．①②③④解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误；∵∠DBC+∠CDB＝60°∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确，∴正确答案①②④故选：C．【变式1-3】．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝．解：连接CE，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CE于点N，∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，∵AB＝BC＝5，∴DC＝2，∵∠ACB＝∠ACE＝60°，FM⊥BC，FN⊥CE，∴FM＝FN，＝DC•FM，S△FCE＝CE•FN，∵S△DFC∴，∴，故答案为：．考点二：等腰直角三角形中的手拉手模型【例2】．如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，D 为AB 边上一点，若5AD =，12BD =，则DE 的长为__________解：ACB ∆ 和ECD ∆都是等腰直角三角形，CD CE ∴=，AC BC =，90ECD ACB ∠=∠=︒，ACE BCD ∴∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆，12BD AE ∴==，45CAE CBD ∠=∠=︒，90EAD ∴∠=︒，222212513DE AE AD ∴=+=+=．变式训练【变式2-1】．如图，3AB =，2AC =，连结BC ，分别以AC 、BC 为直角边作等腰Rt ACD ∆和等腰Rt BCE ∆，连结AE 、BD ，当AE 最长时，BC 的长为()A ．22B ．3C ．11D ．17解：90ACD BCE ∠=∠=︒ ，ACD ACB BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠，即ACE DCB ∠=∠，在ACE ∆和DCB ∆中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，AC CD == ，90ACD ∠=︒，2AD ∴==，3AB = ，∴当点A 在BD 上时，BD 最大，最大值为325+=，如图，过C 作CE AD ⊥于E ，由等腰三角形“三线合一”得1DE AE ==，314BE AB AE ∴=+=+=，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得1DE =，BC ∴=．故选：D ．【变式2-2】．如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，点D 为BC 中点，点E 在AB 边上，连接DE ，过点D 作DE 的垂线，交AC 于点F ．下列结论：①AED CFD ∆≅∆；②EF AD =；③BE CF AC +=；④212AEDF S AD =四边形，其中正确的结论是（填序号）．解：AB AC = ，90BAC ∠=︒，点D 为BC 中点，12BD CD AD BC ∴===，45BAD CAD C ∠=∠=∠=︒，AD BC ⊥，BC =，DF DE ⊥ ，90EDF ADC ∴∠=∠=︒，ADE CDF ∴∠=∠，AD CD = ，BAD C ∠=∠，()AED CFD ASA ∴∆≅∆，故①正确；当E 、F 分别为AB 、AC 中点时，12EF BC AD ==，故②不一定正确；ADE CDF ∆≅∆ ，AE CF ∴=，BE AE AB += ，BE CF AC ∴+=，故③正确；ADE CDF ∆≅∆ ，ADE CDF S S ∆∆∴=，212ADF CDF ADC AEDF S S S S AD ∆∆∆∴=+==⨯四边形，故④正确；故答案为：①③④．【变式2-3】．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ．（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴＝＝，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；（2）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，又∵＝＝，AE＝2∴＝，∴BF＝，又∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2+BF2＝12+（）2＝3，∴EF＝，∵CE2＝2EF2＝6，∴CE＝．考点三：任意等腰三角形中的手拉手模型【例3】．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD ＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是_____．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴A、B、M、O四点共圆，∴∠AMO＝∠ABO＝72°，同理可得：D、C、M、O四点共圆，∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故③错误；变式训练【变式3-1】．如图，等腰ABC ∆中，120ACB ∠=︒，4AC =，点D 为直线AB 上一动点，以线段CD 为腰在右侧作等腰CDE ∆，且120DCE ∠=︒，连接AE ，则AE 的最小值为()A ．23B ．4C ．6D ．8解：连接BE 并延长交AC 延长线于F ，120ACB ∠=︒ ，AC BC =，30CAB CBA ∴∠=∠=︒，120DCE ACB ∠=︒=∠ ，ACD BCE ∴∠=∠，AC BC = ，CD CE =，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，CB 为定直线，30CBE ∠=︒为定值，∴当D 在直线AB 上运动时，E 也在定直线上运动，当AE BE ⊥时，AE 最小，30CAB ABC CBE ∠=︒=∠=∠ ，90AFB ∴∠=︒，∴当E 与F 重合时，AE 最小，在Rt CBF ∆中，90CFB ∠=︒，30CBF ∠=︒，122CF CB ∴==，6AF AC CF ∴=+=，AE ∴的最小值为6AF =，故选：C ．【变式3-2】．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，∠BAC ＝120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM ＝∠ACB ，点D 为边BC （不含端点）上的任意一点，在射线CM 上截取CE ＝BD ，连接AD ，DE ，AE ．设AC 与DE 交于点F ，则线段CF 的最大值为．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°；∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD．∴＝．∴AD2＝AF•AC．∴AD2＝5AF．∴AF＝．∴当AD最短时，AF最短、CF最长．∵当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD＝AB＝．∴AF最短＝＝．∴CF最长＝AC﹣AF最短＝5﹣＝．故答案为：．【变式3-3】.【问题背景】（1）如图1，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AQ BC ⊥于点Q ，则BC AB =；【知识应用】（2）如图2，ABC ∆和ADE ∆都是等腰三角形，120BAC DAE ∠=∠=︒，D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．求证：ADB AEC ∆≅∆．（3）请写出线段AD ，BD ，CD之间的等量关系，并说明理由．（1）解：AB AC = ，120BAC ∠=︒，AQ BC ⊥，30B C ∴∠=∠=︒，BQ QC =，12AQ AB ∴=，由勾股定理得：2BQ AB ===，BC ∴=，∴BC AB ==（2）证明：BAC DAE ∠=∠ ，BAC BAE DAE BAE ∴∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠，在ADB ∆和AEC ∆中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴∆≅∆；（3）解：CD BD =+，理由如下：由（1）可知：DE =，ADB AEC ∆≅∆ ，EC BD ∴=，CD DE EC BD ∴=+=+．实战演练1.风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB AD =，B D ∠=∠，BAE DAC ∠=∠，那么AC 与AE 相等．小飞直接证明ABC ADE ∆≅∆，他的证明依据是()A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS证明：BAE DAC ∠=∠ ，BAE EAC DAC EAC ∴∠+∠=∠+∠，BAC DAE ∴∠=∠，AB AD = ，B D ∠=∠，()ABC ADE ASA ∴∆≅∆，AC AE ∴=，故选：C ．2．如图，ABD ∆，AEC ∆都是等边三角形，则BOC ∠的度数是()A ．135︒B ．125︒C ．120︒D ．110︒解：ABD ∆ ，AEC ∆都是等边三角形，AD AB ∴=，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，60ADB DBA ∠==︒，DAB BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE ∴∠=∠，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，ADC ABE ∴∠=∠，BOC BDO DBA ABE∴∠=∠+∠+∠BDO DBA ADC =∠+∠+∠ADB DBA=∠+∠6060=︒+︒120=︒，BOC ∴∠的度数是120︒，故选：C ．3．如图，点A 是x 轴上一个定点，点B 从原点O 出发沿y 轴的正方向移动，以线段OB 为边在y 轴右侧作等边三角形，以线段AB 为边在AB 上方作等边三角形，连接CD ，随点B 的移动，下列说法错误的是()A ．BOA BDC∆≅∆B ．150ODC ∠=︒C ．直线CD 与x 轴所夹的锐角恒为60︒D ．随点B 的移动，线段CD 的值逐渐增大解：A ．OBD ∆ 和ABC ∆都是等边三角形，60ABC OBD ODB BOD ∴∠=∠=∠=∠=︒，BO BD =，BC AB =，ABC DBA OBD DBA ∴∠-∠=∠-∠，CBD ABO ∴∠=∠，()BOA BDC SAS ∴∆≅∆，故A 不符合题意；B ．BOA BDC ∆≅∆ ，90BDC BOA ∴∠=∠=︒，6090150ODC BDO BDC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故B 不符合题意；C ．延长CD 交x 轴于点E ，150ODC ∠=︒ ，18030ODE ODC ∴∠=︒-∠=︒，90BOA ∠=︒ ，60BOD ∠=︒，30DOA BOA BOD ∴∠=∠-∠=︒，60DEA DOA ODE ∴∠=∠+∠=︒，∴直线CD 与x 轴所夹的锐角恒为60︒，故C 不符合题意；D ．BOA BDC ∆≅∆ ，CD OA ∴=，点A 是x 轴上一个定点，OA ∴的值是一个定值，∴随点B 的移动，线段CD 的值不变，故D 符合题意；故选：D ．4．如图，3AB =，2AC =BC ，分别以AC 、BC 为直角边作等腰Rt ACD ∆和等腰Rt BCE ∆，连结AE 、BD ，当AE 最长时，BC 的长为()A ．22B ．3C ．11D ．17解：90ACD BCE ∠=∠=︒ ，ACD ACB BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠，即ACE DCB ∠=∠，在ACE ∆和DCB ∆中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，2AC CD == ，90ACD ∠=︒，222AD AC CD ∴=+=，3AB = ，∴当点A 在BD 上时，BD 最大，最大值为325+=，如图，过C 作CE AD ⊥于E ，由等腰三角形“三线合一”得1DE AE ==，314BE AB AE ∴=+=+=，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得1DE =，2217BC CE BE ∴=+=．故选：D ．5．如图，线段OA 绕点O 旋转，线段OB 的位置保持不变，在AB 的上方作等边PAB ∆，若1OA =，3OB =，则在线段OA 旋转过程中，线段OP 的最大值是()A 10B ．4C ．5D ．5解：如图，以AO 为边，在AO 的左侧作等边AOH ∆，连接BH ，AOH ∆ ，ABP ∆是等边三角形，1AO AH OH ∴===，AB AP =，60OAH BAP ∠=∠=︒，OAP HAB ∴∠=∠，在OAP ∆和HAB ∆中，AO AH OAP HAB AP AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OAP HAB SAS ∴∆≅∆，OP BH ∴=，在OPH ∆中，BH OH OB <+，∴当点H 在BO 的延长线上时，BH 的最大值4OH OB =+=，OP ∴的最大值为4，故选：B ．6．如图，O 是等边△ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，则∠AOB ＝150°．解：连接OO ′，如图，∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，∴BO ′＝BO ＝4，∠O ′BO ＝60°，∴△BOO ′为等边三角形，∴∠BOO ′＝60°，∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠O ′BO ﹣∠ABO ＝∠ABC ﹣∠ABO ，即∠O ′BA ＝∠OBC ，在△O ′BA 和△OBC中，∴△O ′BA ≌△OBC （SAS ），∴O ′A ＝OC ＝5，在△AOO ′中，∵OA ′＝5，OO ′＝4，OA ＝3，∴OA 2+OO ′2＝O ′A 2，∴∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝60°+90°＝150°，故答案为：150°．7．如图，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，则CD＝﹣．解：∵AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴BC＝AB＝2，DE＝AE＝3，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝45°＝∠ACB，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ECB＝∠ECD＝90°，∴DE2＝EC2+CD2，∴18＝（2+CD）2+CD2，解得：CD＝﹣，CD＝﹣﹣（不合题意舍去），故答案为：﹣．8．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，连接CD、BE，点F、G分别为DE、BE 的中点，连接FG．在△ADE旋转的过程中，当D、E、C三点共线时，若AB＝3，AD＝2，则线段FG的长为．解：连接BD，∠BAD＝90°﹣∠BAE，∠CAE＝90°﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE．又AD＝AE，AB＝AC，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°﹣45°＝90°．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝3，AD＝2，∴DE＝2，BC＝3．设BD＝x，则DC＝2+x，在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2＝BC2，所以x2+（2+x）2＝18，解得x1＝﹣﹣（舍去），x2＝﹣+．∵点F、G分别为DE、BE的中点，∴FG＝BD＝．故答案为．9．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．解：猜测AE＝BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；∵∠AFC＝∠DFH，∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．10．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．11．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．解：（1）BD＝CE，理由如下：∵△ABC和△ADE是都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝120°；+S△CDE＝S△ADE，理由如下：（3）S△ABE∵△ABC和△ADE是都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），＝S△ACE，∠ABC＝∠ACE＝60°，∴S△ABD∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，∴∠ABC＝∠ECD，∴AB∥CE，＝S△ABC，∴S△ABE+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∵S△ACE+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABD+S△ACD+S△CDE＝S△ADE+S△ACD，∴S△ABC+S△CDE＝S△ADE．∴S△ABE12．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．（1）求证：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求的值．②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠EAB＝∠CAD，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠BAD＝90°，∴∠DOB＝90°，即BE⊥DC；（2）解：①取DE的中点H，连接GH、FH，∵点G是BD的中点，∴GH∥BE，GH＝BE，同理，FH∥CD，FH＝CD，∵BE＝CD．BE⊥DC，∴GH＝FH，GH⊥FH，∴△HGF为等腰直角三角形，∴GF＝GH，∵GH＝BE，∴GF＝BE，∵BE＝BC，∴＝；②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，在△BAE和△BAC中，，∴△BAE≌△BAC（SSS），∴∠BAE＝∠BAC＝135°，∴∠DAE＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD+∠OAE＝45°，∵△BAE≌△DAC，∴AM＝AN，又AM⊥BE，AN⊥CD，∴OA平分∠BOC，∴∠BOA＝∠COA＝45°，∴∠DOA＝∠EOA＝135°，∴∠ODA+∠OAD＝45°，∴∠OAE＝∠ODA，∴△ODA∽△OAE，∴＝，即OD•OE＝OA2＝4，∴△DOE的面积＝×OD•OE＝2．13．如图（1），在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD 为一边在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°，AD＝AE，解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图（2），线段CE、BD之间的数量关系为CE＝BD；位置关系为CE⊥BD；（不用证明）②当点D在线段BC的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述CE⊥BD成立的理由．解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．理由：如图（2），∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：CE＝BD；CE⊥BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．如图（3），∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，且∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）如图（4）所示，当∠BCA＝45°时，CE⊥BD．理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG，∠AGC＝45°，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．14．（注意：本题中的说理过程中的每一步必须注明理由，否则不得分）如图1，在△ABC 中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°；①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为CF⊥BD，线段CF、BD的数量关系为CF＝BD；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．理由如下：由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD．理由如下：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．15．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，由题意知，AE＝4，AB＝8，∵＝，∴AG＝6，AD＝12，∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，∵，AE＝4，AB＝8∴AG＝6，AD＝12．∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，∵，∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA＝∠AGD，∴A，E，G，Q四点共圆，∴∠GQP＝∠PAE＝90°，∴GD⊥EB，连接EG，BD，∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．。

相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4)共边模型条件:如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；1(2022·贵州贵阳·中考真题)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC:AB=1:2，则△ADC与△ACB的周长比是()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有AC AB =AD AC =CD BC =12，则可得AC +AD +CD AB +AC +BC =12，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB =AD AC =CD BC ，∵AC AB =12，∴AC AB =AD AC =CD BC =12，∴AC AB =AD AC =CD BC =AC +AD +CD AB +AC +BC=12，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2(2022春·江苏·九年级专题练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD AC =AC AB．(1)求证△ACD ∽△ABC ；(2)若AD =3，BD =2，求CD 的长．【答案】(1)见解析；(2)6【分析】(1)根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出△ACD ∼△ABC(2)由△ACD ∼△ABC 得∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，推出△ACD ∼△CBD ，由相似三角形的性质得CD AD =BD CD ，即可求出CD 的长．【详解】(1)∵AD AC =AC AB，∠A =∠A ，∴△ACD ∼△ABC ；(2)∵△ACD ∼△ABC ，∴∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，∴∠CDB =180°-90°=90°=∠ACD ，∴△ACD ∼△CBD ，∴CD AD=BD CD ，即CD 2=AD ⋅BD =3×2=6，∴CD =6．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．3(2022.山西九年级期中)如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB =120°，求证：(1)△ACP ∽△PDB ，(2)CD 2=AC •BD ．证明：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD =∠PDC =∠CPD =60°，∴∠ACP =∠PDB =120°，∵∠APB =120°，∴∠APC +∠BPD =60°，∵∠CAP +∠APC =60°∴∠BPD =∠CAP ，∴△ACP ∽△PDB ；(2)由(1)得△ACP ∽△PDB ，∴AC PD =PC BD ，∵△PCD 是等边三角形，∴PC =PD =CD ，∴AC CD=CD BD ，∴CD 2=AC •BD ．4(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB =3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．5(2023.浙江中考模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ．(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为(不需证明)：(2)已知AB =5，AC =4，请你求出CD 的长：(3)在(2)的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系(如图2)，若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD ；(2)125；(3)存在，2740，32，98，910【分析】(1)根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC ∽△ACD ，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．(2)先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD=12AC•BC，即可求出CD的长．(3)由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：(1)图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．(2)如图2中，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，∴BC=AB2-AC2=52-42=3．∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，∴CD=AC⋅BCAB=125．(3)存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=3，OC=125，∴OB=95．分两种情况：①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴BP AB =BQBC，∴3-t5=t3，解得t=98，即BQ=CP=98，∴BP=BC-CP=3-98=158．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ=BP2-BQ2=1582-98 2=32，∴点P的坐标为2740,32；②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴BPBC=BQAB，∴3-t3=t5，解得t=158，即BQ=cP=158,BP=BC-CP=3-158=98，过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴⋅PECO=BQAB，即PE125=1585，∴PE=910．在△BPE中，BE=PB2-PE2=982-910 2=2740，∴OE=OB-BE=95-2740=98，∴点P的坐标为98,910，综上可得，点P的坐标为2740，32；98，910．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6(2022·陕西汉中·九年级期末)如图，CD是等腰直角△ABC斜边AB的中线，以点D为顶点的∠EDF绕点D旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC 交于点N，且∠EDF=45°．(1)如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；(2)如图2，若CE≠CF，求证：CD2=CE ⋅CF ；(3)如图2，过D 作DG ⊥BC 于点G ，若CD =2，CF =2，求DN 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)253．【分析】(1)由题意可得∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，从而可得∠DCE =∠DCF =135°，于是可证得△DCE ≌△DCF ，则有DE =DF ；(2)结合(1)可求得∠CDF +∠F =45°从而可得∠F =∠CDE ，则△CDF ∽△CED ，利用相似三角形的性质即可求解；(3)由DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∠BCD =∠ACD =45°，结合(2)可求得CE =22，从而可求得CG =DG =2，可证得△CEN ∽△GDN ，从而可求得GN =23，再利用勾股定理即可求得DN ．(1)证明∶∵∠ACB =90°，AC =BC ，CD 是中线，∴∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，∴∠DCE =∠DCF =135°∵在△DCE 与△DCF 中，CE =CF∠DCE =∠DCF CD =CD，∴△DCE ≌△DCF ，∴DE =DF ；(2)证明∶∵∠DCE =∠DCF =135°∴∠CDF +∠F =180°-135°=45°，∵∠CDF +∠CDE =45°，∴∠F =∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE =CF CD，即CD 2=CE ⋅CF ；(3)解：如图，∵DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∠BCD =∠ACD =45°，∴∠DGN =∠ECN =90°，∠GCD =∠CDG =45°，∴CG =DG当CD =2，CF =2时，由CD 2=CE ⋅CF 可得，CE =22，在Rt △DCG 中，CG =DG =CD ∙sin ∠DCG =2×sin45°=2∵∠ECN =∠DGN ，∠ENC =∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN ，∴CN GN =CE DG =222=2，∴GN =13CG =23，∴DN =GN 2+DG 2=23 2+(2)2=253．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．7(2023·浙江·九年级期末)(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2=AD⋅AB．求证：∠ACD=∠B．(2)如图2，在▱ABCD中，E是AB上一点，连接AC，EC．已知AE=4，AC=6，CD=9．求证：2AD =3EC．(3)如图3，四边形ABCD内接于O，AC、BD相交于点E．已知O的半径为2，AE=CE，AB=2AE，BD=23，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)23【分析】(1)由AC2=AD⋅AB化比例，与∠A=∠A，可证△ACD∽△ABC即可；(2)由▱ABCD，可得AB=CD，AD=BC，根据线段比值计算AEAC =23，ACAB=23，可得AEAC=ACAB，由∠EAC=∠CAB，可证△ACE∽△ABC即可；(3)连接OA交BD于点F，连接OB，根据AE=CE，AB=2AE，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得ABAC=AEAB，由∠BAC=∠EAB，可证△ABE∽△ACB，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=1，可求S△ABD=3，可证S△ABE=S△CBE，S△ADE=S△CDE，可得S△BCD=SΔABD即可．【详解】(1)证明：如图1，∵AC2=AD⋅AB，∴ACAB=ADAC，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B．(2)证明：如图2，∵▱ABCD，∴AB=CD，AD=BC，∵AE=4，AC=6，CD=9，∴AB=CD=9，∴AE AC =46=23，ACAB=69=23，∴AEAC=ACAB，∵∠EAC=∠CAB，∴△ACE∽△ABC，∴AE AC =ECBC，即46=ECBC=23，∴2BC=3EC．∴2AD=3EC；(3)解：如图3，连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，∵AE =CE ，AB =2AE ，∴AC =2AE ，∴AB AC =2AE 2AE =22，AE AB =AE 2AE=22，∴AB AC =AE AB ，∵∠BAC =∠EAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴∠ABD =∠ACB ，∵∠ADB =∠ACB ，∴∠ABD =∠ADB ，∴点A 是弧BD 的中点，BD 为弦，OA 为半径，∴OA ⊥BD ，BF =DF ，∵OA =OB =2，BD =23，∴BF =DF =3，在Rt △OBF 中，根据勾股定理OF =OB 2-BF 2=4-3=1，∴AF =OF =1，∴S △ABD =12×BD ×AF =3，∵AE =CE ，∴S △ABE =S △CBE ，S △ADE =S △CDE ，∴S △BCD =S △BCE +S △DCE =S △ABE +S △CDE =S ΔABD ，∴S 四边形ABCD =S ΔABD +S ΔBCD =2S △ABD =23．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键．8(2022春·广东深圳·九年级校考期中)【基础巩固】(1)如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠ADB =∠DCB ，求证：BD 2=BA ⋅BC ；【尝试应用】(2)如图2，四边形ABCD 为平行四边形，F 在AD 边上，AB =AF ，点E 在BA 延长线上，连结EF ，BF ，CF ，若∠EFB =∠DFC ，BE =4，BF =5，求AD 的长；【拓展提高】(3)如图3，在△ABC 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在AD ，AC 上，连结BE ，CE ，EF ，若DE =DC ，∠BEC =∠AEF ，BE =16，EF =7，CE BC =34，求AF FC 的值．【答案】(1)见解析；(2)254；(3)75【分析】(1)据角平分线的定义及相似三角形的判定可知△ABD ∽△DBC ，再根据相似三角形的性质即可解答；(2)据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知△EBF ∽△FBC ，再根据相似三角形的性质即可解答；(3)据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知△ECM ∽△BCE ，再根据相似三角形的性质即可解答．【详解】(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∵∠ADB =∠DCB ，∴△ABD ∽△DBC ，∴AB BD =BD BC，∴BD 2=BA ⋅BC ；(2)解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠AFB =∠FBC ，∠DFC =∠FCB ，∵AB =AF ，∴∠AFB =∠ABF ，∴∠ABF =∠FBC ，∵∠DFC =∠FCB ，∠EFB =∠DFC ，∴∠EFB =∠FCB ，∴△EBF ∽△FBC ，∴BE BF =BF BC ，即45=5BC，解得：BC =254，∴AD =254；(3)过点C 作CM ∥AD 交EF 的延长线于点M ，∵∠AEF +∠CEF +∠DEC =180°，∠BEC +∠CBE +∠BCE =180°，∴∠CEF =180°-∠AEF -∠DEC ，∠CBE =180°-∠BEC -∠BCE ，∵DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，∴∠CEF =∠CBE ，∵CM ∥AD ，∴∠DEC =∠ECM ，∵∠DEC =∠DCE ，∴∠ECM =∠DCE ，∴△ECM ∽△BCE ，∴EM BE =EC BC =34，∵BE =16，∴EM =12，∵EF =7，∴FM =12-7=5，∵CM ∥AD ，∴∠ACM =∠EAC ，∵∠AFE =∠CFM ，∴△AEF ∽△CMF ，∴AF FC=EF FM =75．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．课后专项训练1(2023成都市九年级期中)如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于()A.116B.15C.14D.125【解答】解：∵AD AB=12，∴设AD =BC =a ，则AB =CD =2a ，∴AC =5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2=CE •CA ，AB 2=AE •AC∴a 2=CE •5a ，4a 2=AE •5a ，∴CE =5a 5，AE =45a 5，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=CE AE2=116，故选：A ．2(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠B =36°．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG,AH．则下列说法错误的是()A.AG=CGB.∠B=2∠HABC.△CAH≅△BAGD.BG2=CG⋅CB【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得∠CAG=∠C =36°，从而可得∠AGB=72°，再根据等腰三角形的性质可得∠AHG=∠GAH=54°，然后根据三角形的外角性质可得∠HAB=18°，由此即可判断选项B；先假设△CAH≅△BAG可得∠CAH=∠BAG，再根据角的和差可得∠CAH=90°,∠BAG=72°，从而可得∠CAH≠∠BAG，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得BG=AB=AC，再根据相似三角形的判定可得△ABC∼△GAC，然后根据相似三角形的性质可得AC2=CG⋅CB，最后根据等量代换即可判断选项D．【详解】解：由题意可知，DE垂直平分AC，CG=HG，∴AG=CG，则选项A正确；∵AB=AC,∠B=36°，∴∠C=∠B=36°，∵AG=CG，CG=HG，∴∠CAG=∠C=36°，AG=HG，∴∠AGB=∠CAG+∠C=72°，∠AHG=∠GAH=180°-∠AGB2=54°，∴∠HAB=∠AHG-∠B=18°，∴∠B=2∠HAB，则选项B正确；假设△CAH≅△BAG，∴∠CAH=∠BAG，又∵∠CAH=∠CAG+∠GAH=36°+54°=90°，∠BAG=∠HAB+∠GAH=18°+54°=72°，∴∠CAH≠∠BAG，与∠CAH=∠BAG矛盾，则假设不成立，选项C错误；∵∠BAG=72°=∠AGB，AB=AC，∴BG=AB=AC，在△ABC和△GAC中，∠B=∠CAG=36°∠C=∠C，∴△ABC∼△GAC，∴AC CG =CBAC，即AC2=CG⋅CB，∴BG2=CG⋅CB，则选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．3(2023·湖北恩施·校考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，下列关系中不正确的是()A.BC2=BD⋅ABB.CD2=AD⋅BDC.AC2=CD⋅ABD.AC2-BC2=AD2-BD2【答案】C【分析】求证△CDB∽△ACB，△DAC∽DCB，△ADC∽△ACB，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得Rt△DAC中，AC2=CD2+AD2，Rt△DBC中，BC2=CD2+BD2，于是AC2-BC2=AD2-BD2，从而可得出结论．【详解】解：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△CDB∽△ACB∴BCAB=BDBC∴BC2=BD⋅AB，故A正确，不符合题意；∵∠ACD+∠BCD=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠DAC又∠ADC=∠BDC=90°∴△DAC∽DCB∴DCDB=DADC∴CD2=AD⋅BD，故B正确，不符合题意；Rt△DAC中，AC2=CD2+AD2，Rt△DBC中，BC2=CD2+BD2，∴AC2-BC2=AD2-BD2，故D正确，不符合题意．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ADC∽△ACB∴ACAB =AD AC∵AC2=AD⋅AB，故C错误，符合题意；故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键．4(2023·山东济南·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是()A.∠BCE=36°B.BC=AEC.BEAC =5-12D.S△AECS△BEC=5+12【答案】C【分析】由题意得，BC=DC，CE平分∠ABC，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出∠ACE=36°=∠A，得到AE=CE，根据三角形内角和求出∠BEC=72°=∠B，得到CE=BC，即可判断B；证明△ABC∽△CBE，得到ABBC=BCBE，设AB=1,BC=x，则BE=1-x，求出x，即可判断C；过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，由角平分线的性质定理推出EG=EH，即可根据三角形面积公式判断D．【详解】解：由题意得，BC=DC，CE平分∠ABC，∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵CE平分∠ABC，∴∠BCE=36°，故A正确；∵CE平分∠ABC，∠ACB=72°∴∠ACE=36°=∠A，∴AE=CE，∵∠ABC=72°，∠BCE=36°，∴∠BEC=72°=∠B，∴CE=BC，∴BC=AE，故B正确；∵∠A =∠BCE ,∠ABC =∠CBE ，∴△ABC ∽△CBE ，∴AB BC=BCBE ，设AB =1,BC =x ，则BE =1-x ，∴1x =x 1-x ，∴x 2=1-x ，解得x =5-12，∴BE =1-5-12=3-52，∴BE AC=3-52，故C 错误；过点E 作EG ⊥BC 于G ，EH ⊥AC 于H ，∵CE 平分∠ACB ，EG ⊥BC ，EH ⊥AC ，∴EG =EH∴S △AEC S △BEC =12⋅AC ⋅EH 12⋅BC ⋅EG =AC BC =5+12，故D 正确；故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．5(2023·云南临沧·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是AB 上的点，∠B =∠ACD ，AC =1，AB =2，则△ACD 与△BCD 的面积比为()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】C【分析】证明△ACD ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵∠B =∠ACD ，∠CAD =∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC =AC AB 2=12 2=14，设S △ACD =x ，则S △ABC =4x ，∴S △BCD =S △ABC -S △ACD =3x ，∴△ACD 与△BCD 的面积比为1:3，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．6(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在△ABC 中，以点C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC ，BC 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点F ；作射线CF 交AB 于点G ，若AC =9，BC =6，△BCG 的面积为8，则△ACG 的面积为．【答案】12【分析】过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ，证明△ACG ∽△BMG ，得出AG GB =AC BM =ACBC，根据S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC=96=32，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ，∴∠ACM =∠CMB由作图可得CG 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACM =∠BCM∵∠BCM =∠CMB ∴BC =BM ∵BM ∥AC ∴△ACG ∽△BMG∴AG GB =AC BM =AC BC ∴S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC =96=32，∵△BCG 的面积为8，∴△ACG 的面积为12，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．7(2020·山西·统考中考真题)如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为．【答案】5485【分析】过点F 作FH ⊥AC 于H ，则△AFH ∽△AEC ，设FH 为x ，由已知条件可得AH =32FH =32x ，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x 的方程，解方程求出x 的值，利用S △AFC =12AC ×FH =12CF ×AD 即可得到DF 的长．【详解】如解图，过点F 作FH ⊥AC 于H ，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴FH⎳BC，∵BC=4，点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵FH⎳BC，∴△AFH∽△AEC∴AHFH =ACEC=32∴AH=32FH，设FH为x，则AH=32x，由勾股定理得AB=42+32=5，又∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，∴CD=AC⋅BCAB=125，则AD=AC2-CD2=95，∵∠FHC=∠CDA=90°且∠FCH=∠ACD，∴△CFH∽△CAD，∴FHAD =CHCD，即x95=3-32x125，解得x=1817，∴AH=1817．∵S△AFC=12AC×FH=12CF×AD∴12×3×1817=12CF×95∴CF=3017∴DF=CD-CF=125-3017=5485故答案为：5485【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．8(2022·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tan C=512，点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为．如图2，连接AP，作∠APQ，使得∠APQ=∠B，PQ交AC于Q，则当BP=11时，AQ的长为．【答案】 5 2【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长；，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证△APQ相似于△ACP，即可得到AQ长；【详解】解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵AB =AC ，AM ⊥BC ，∴BM =MC =12BC =12，又∵tan C =512∴tan B =512∴AM =BM ⋅tan B =12×512=5，根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P 与点A 的最短距离为5；∴AB =AC =AM 2+BM 2=13，如图2，过点A 作AN ⊥BC ，在Rt △APN 中，PN =PC -CN =1，又AN =5，∴AP 2=PN 2+AN 2=26，在△APQ 与△ACP 中，∵∠APQ =∠C ，∠PAQ =∠CAP ，∴△APQ ∽△ACP ，∴AP AQ =AC AP∴AP 2=AQ ⋅AC ，∴AQ =2故答案为：5；2．【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AC ,AD ,CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：①CF 平分∠ACD ； ②AF =2DF ； ③四边形ABCF 是菱形； ④AB 2=AD ⋅EF 其中正确的结论是．(填写所有正确结论的序号)【答案】①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形ABCDE ，∴∠ABC =∠BCD =∠CDE =∠DEA =180°×5-35=108°，AB =BC =CD =DE =AE ，∴∠BAC =∠BCA =∠DAE =∠ADE =∠DCE =∠CED =180°-108°2=36°，∴∠ACE =108°-∠BCA -∠DCE =36°=∠DCE ，∴CF 平分∠ACD ；正确；②∵∠ACE =∠DEC =36°，∠DFE =∠AFC ，∴△DEF ∽△ACF ，∴DF AF =DEAC，∵DE =AB ，2AB >AC ，∴DF AF≠12，即AF ≠2DF ，故②错误；③∵∠BAC =∠ACE ，∠ABC +∠BAD =108°+36°+36°=180°，∴BC ∥AD ，AB ∥CE ，∴四边形ABCF 是平行四边形，∵AB =BC ，∴四边形ABCF 是菱形；正确；④∵∠CED=∠DAE=36°，∠EDF=∠ADE，∴△DEF∽△DAE，∴DEAD=EFAE，∴ED⋅AE=AD⋅EF，即AB2=AD⋅EF，正确；故答案为：①③④．【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．10(2020·广东广州·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ，AB ，AC 分别交对角线BD于点E,F，若AE=4，则EF⋅ED的值为．【答案】16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明△AEF∼△DEA，利用相似的性质即可得出答案．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAC=∠ADB=45°，∵ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ，∴∠B AC =∠BAC=45°，∴∠EAF=∠ADE=45°，∵∠AEF=∠AED，∴△AEF∼△DEA，∴AEDE =EFAE，∴EF•ED=AE2=42=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．11(2021·四川南充·中考真题)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=3AB=3BD，则AD:AC的值为．【答案】3 3．【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】∵BC=3AB=3BD，∴ABBC=13=33，BDAB=33，∴ABBC=BDAB=33，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴ADAC =BDAB=33．故答案为：33．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．12(2022·四川宜宾·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】(1)利用三角形外角的性质及∠DEC =∠ADB 可得出∠ADE =∠C ，结合∠DAE =∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ；(2)利用相似三角形的性质可求出AD 的长，再结合AD =AB 即可得出AB 的长．【详解】解：(1)证明：∵∠DEC =∠DAE +∠ADE ，∠ADB =∠DAE +∠C ，∠DEC =∠ADB ，∴∠ADE =∠C ．又∵∠DAE =∠CAD ，∴△AED ∽△ADC ．(2)∵△AED ∽△ADC ∴AD AC =AE AD ，即AD 1+3=1AD，∴AD =2或AD =-2(舍去)．又∵AD =AB ，∴AB =2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ；(2)利用相似三角形的性质，求出AD 的长．13(2022·江苏盐城·中考真题)如图，在△ABC 与△A B C 中，点D 、D 分别在边BC 、B C 上，且△ACD ∽△A C D ，若，则△ABD ∽△A B D ．请从①BD CD =B D C D ；②AB CD =A BC D；③∠BAD =∠B A D 这三个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【详解】解：若选①BD CD =B DC D，证明：∵△ACD ∽△A C D ，∴∠ADC =∠A D C ，AD A D =CDC D，∴∠ADB =∠A D B ，∵BD CD =B DC D ，∴BD B D =CD C D ，∴AD A D =BD B D ，又∠ADB =∠A D B ，∴△ABD ∽△A B D ．选择②BA CD =B AC D，不能证明△ABD ∽△A B D ．若选③∠BAD =∠B A D ，证明：∵△ACD ∽△A C D ，∴∠ADC =A D C ，∴∠ADB =∠A D B ，又∵∠BAD =∠B A D ，∴△ABD ∽△A B D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．14(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BDAB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ．(1)操作发现：将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC 于点D ，连接DE ，DB ，则∠BDE =°，设AC =1，BC =x ，那么AE =(用含x 的式子表示)；(2)进一步探究发现：底BC 腰AC =5-12，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：底BC 腰AC=5-12；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC 是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1．求这个菱形较长对角线的长．【答案】(1)72°,1-x (2)证明见解析，拓展应用：5+12【分析】(1)利用等边对等角求出∠ABC ,∠ACB 的长，翻折得到∠ABD =∠CBD =12∠ABC ，∠BDC =∠BDE ,BC =BE ，利用三角形内角和定理求出，∠BDC ，AE =AB -BE =AB -BC ，表示出AE 即可；(2)证明△BDC ∽△ABC ，利用相似比进行求解即可得出底BC 腰AC=5-12；拓展应用：连接AC ，延长AD 至点E ，使AE =AC ，连接CE ，得到△ACE 为黄金三角形，进而得到CEAC=5-12，求出AC 的长即可．【详解】解：(1)∵∠A =36°，AB =AC ，∴∠ABC =∠C =12180°-36° =72°，∵将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =36°，∠BDC =∠BDE ,BC =BE =x ，∴∠BDC =∠BDE =180°-∠CBD -∠C =72°，AE =AB -BE =AB -BC =1-x ；故答案为：72°,1-x ；(2)证明：∵∠BDC =72°=∠C ，∴BD =BC =x ，∵∠A =∠CBD =36°,∠C =∠C ，∴△BDC ∽△ABC ，∴BC AC=CDBC ，∵∠ABD =∠CBD =∠A =36°，∴AD =BD =BC =x ，∴CD =1-x ，∴x 1=1-xx ，整理，得：x 2+x -1=0，解得：x =5-12(负值已舍掉)；经检验x =5-12是原分式方程的解．∴底BC腰AC=5-12；拓展应用：如图，连接AC ，延长AD 至点E ，使AE =AC ，连接CE ，∵在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1，∴∠CAD =∠ACD =36°,CD =AD =1，∴∠EDC =∠DAC +∠ACD =72°,∠ACE =∠AEC =12180°-∠DAC =72°，∴∠EDC =∠AEC ，∴CE =CD =1，∴△ACE 为黄金三角形，∴CE AC =5-12，∴AC =25-1=5+12．即菱形的较长的对角线的长为5+12．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为5-12．16(2023·广东·九年级专题练习)定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P 为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是△ABC 的边AB 的中点，AC =22，AB =4，试判断点D 是不是△ABC 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =4，若点D 是△ABC 的“理想点”，求CD 的长．【答案】(1)D 为△ABC 的理想点,理由见解析(2)125或94【分析】(1)由已知可得AC AD =ABAC，从而ΔACD ∽ΔABC ，∠ACD =∠B ，可证点D 是ΔABC 的“理想点”；(2)由D 是ΔABC 的“理想点”，分三种情况：当D 在AB 上时，CD 是AB 边上的高，根据面积法可求CD 长度；当D 在AC 上时，ΔBDC ∽ΔABC ，对应边成比例即可求CD 长度；D 不可能在BC 上．(1)解：点D 是ΔABC 的“理想点”，理由如下：∵D 是AB 中点，AB =4，∴AD =BD =2，AD ⋅AB =8，∵AC =22，∴AC 2=8，∴AC 2=AD ⋅AB ，∴AC AD =ABAC，∵∠A =∠A ，∴ΔACD ∽ΔABC ，∴∠ACD =∠B ，∴点D 是ΔABC 的“理想点”；(2)①D 在AB 上时，如图：∵D 是ΔABC 的“理想点”，∴∠ACD =∠B 或∠BCD =∠A ，当∠ACD =∠B 时，∵∠ACD +∠BCD =90°，∴∠BCD +∠B =90°，∴∠CDB =90°，即CD 是AB 边上的高，当∠BCD =∠A 时，同理可证∠CDB =90°，即CD 是AB 边上的高，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =4，∴BC =AB 2-AC 2=3，∵S ΔABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ，∴CD =125，②∵AC =4，BC =3，∴AC >BC 有∠B >∠A ，∴ “理想点” D 不可能在BC 边上，③D 在AC 边上时，如图：∵D 是ΔABC 的“理想点”，∴∠DBC =∠A ，又∠C =∠C ，∴ΔBDC ∽ΔABC ，∴CD BC =BC AC，即CD 3=34，∴CD =94，综上所述，点D 是ΔABC 的“理想点”，CD 的长为125或94．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．17(2022·江西·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为菱形，点E 在AC 的延长线上，∠ACD =∠ABE ．(1)求证：△ABC ∽△AEB ；(2)当AB =6,AC =4时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)AE =9【分析】(1)根据四边形ABCD 是菱形，得出CD ∥AB ，AB =CB ，根据平行线的性质和等边对等角，结合∠ACD =∠ABE ，得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，即可证明结论；(2)根据ΔABC ∽ΔAEB ，得出AB AE =ACAB，代入数据进行计算，即可得出AE 的值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ∥AB ，AB =CB ，∴∠ACD =∠CAB ，∠CAB =∠ACB ，∵∠ACD =∠ABE ，∴∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，∴ΔABC ∽ΔAEB ．(2)∵ΔABC ∽ΔAEB ，∴AB AE =AC AB ，即6AE=46，解得：AE =9．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，是解题关键．18(2022·湖北武汉·校考模拟预测)已知，点D 在△ABC 的边BC 上，连接AD ．(1)如图1，若∠BAD =∠C ．求证：BA 2=BD ⋅BC ；(2)如图2，若AD ⊥BC ，BD =5，CD =3，tan ∠BAC =43．求线段AD 的长；(3)如图3，M 、N 分别是AC 、AB 上的两点，连接MN 交AD 于点P ，当AB =AC ，BD :BA :BC =2:5:6时，若∠APN =∠C ，直接写出MPMN的值．【答案】(1)证明见解析；(2)3+26(3)5051【分析】(1)先证明△ABD ∽△CBA ，再根据相似三角形的性质，即可证明结论；(2)延长BC 至点E ，使得∠AEB =∠BAC ，连接AE ，根据三角函数值，设AD =4x ，DE =3x ，进而得到AB 2=16x 2+25，BE =5+3x ，BC =8，证明△ABC ∽△EBA ，得出AB 2=BC ⋅BE ，从而得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到线段AD 的长；(3)过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ，交AD 于点K ，过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，设BD =2a ，AB =AC =5a ，BC =6a ，利用勾股定理，得到AG =4a ，AD =17a ，证明△ACD ∽△CKD ，得出CD 2=AD ⋅DK ，进而得到DK =161717a ，AK =1717a ，再证明△AKF ∽△DKH ，△CDH ∽△CBF ，得到KH KF =16，CH CF =23，进而得出CK CF =5051，最后证明△ANM ∽△AFC ，△APM ∽△AKC ，得出MN CF =MP CK，即可求出MP MN 的值．【详解】(1)证明：∵∠BAD =∠C ，∠ABD =∠ABC ，∴△ABD ∽△CBA ，∴BA BC =BD BA，∴BA 2=BD ⋅BC ；(2)解：如图，延长BC 至点E ，使得∠AEB =∠BAC ，连接AE ，∵tan ∠BAC =43，AD ⊥BC ，∴tan ∠AEB =AD DE =43，设AD =4x ，DE =3x ，∵BD =5，CD =3，∴AB 2=AD 2+BD 2=4x 2+52=16x 2+25，BE =BD +DE =5+3x ，BC =BD +CD =8，∵∠ABC =∠ABE ，∠AEB =∠BAC ，∴△ABC ∽△EBA ，∴BC AB=AB BE ，∴AB 2=BC ⋅BE ，∴16x 2+25=85+3x ，解得：x 1=3+264，x 1=3-264(舍)，∴AD =4x =3+26；(3)解：如图，过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ，交AD 于点K ，过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，。

中考数学几何模型2：共顶点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形*常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：（1）BCD ACE ≅△△（2）AE BD =（3）AFB DFE ∠=∠（4）FC BFE ∠平分典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC ＝∠DAE ＝90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由；（2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．【解答】解：连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CD＝BE；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案为：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案为：BC＝CE+CD．例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝2或6．【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；如图②中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ADF＝180°，∴∠AEF+∠ADF＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝120°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴FB＝FC，∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，综上所述，CF＝2或6．故答案为2或6．。

2021年中考数学常见共顶点模型【例1】如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，点M，F分别为边AB，AC的中点，点D在边AC上，且CD＝2AD，点N为CD的中点，过点D作DE∥AB交BC于点E，点G为DE的中点．将△DCE绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接MG，FN．（1）问题发现当α＝0°时，FNGM=；直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为．（2）类比探究当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用若AB＝4，直线MG和直线FN交于点O，在旋转的过程中，当点O与点N重合时，请直接写出线段FN 的长．【例2】（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB=√3，请直接写出当点A 与点O 、D 在同一条直线上时AD 的长．【例3】如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AG BE 的值为 ：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG ＝6，GH ＝2√2，则BC ＝ ．【例4】．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随着点P 的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD 的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2√3，BE＝2√19，求四边形ADPE的面积．【例5】问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC=√6，请直接写出BQ的长．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，求DE与BC的数量关系是．（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF＝60°，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请猜测DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．3．（1）观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．（2）理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝；（3）类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝．（4）拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E 沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．（画出示意图）4．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，F是DE的中点，H是AE 的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）在△DEC绕着点C按如图3方式旋转的过程中，当直线FH经过点C时，若AC＝2，CD=√2，请直接写出FG的长．5．问题情境：如图1，已知△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC=√2，CD＝CE＝1，点D在AC边上，点E在BC延长线上，将△DCE从此位置开始绕C点顺时针旋转，旋转角是α（0°＜α＜180°）操作发现：（1）如图2，当旋转角α＝45°时，连接AD．求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如图3，当0°＜α＜90°时，连接BD，AE，判断线段BD与AE的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，当0°＜α＜180°时，连接AD，点F，G，H分别是线段AB，AD，DE的中点，连接FG，GH，FH，在△CDE旋转的过程中，AE与BD的数量关系是．所以△FGH始终是一个特殊三角形，当旋转角α＝135°时，△FGH的面积是．6．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如图1，当点D在AC上，点E在BC延长线时，连接AE、BD，找出AE与DB的关系，并说明理由；（2）材料：材料：图2，当点D不在AC上，点E不在BC延长线上时，连接AD、BE，点M为AD中点，连接MC，并延长MC交BE与N，我们可以证明MN⊥BE：辅助线和证明方法为：过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，易证△AMC≌△DMG（AAS），再证明△GDC≌△BCE（SAS），从而得到∠CNE ＝90°，MN⊥BE；问题：把等腰Rt△DCE绕点C转至如图3位置，点M是线段AD的中点，问MN与BE的位置关系是否发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由．7．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为；②CF，DC，BC之间的数量关系为（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝2√2，请求出线段CE的长．8．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC，CD，CF之间的数量关系为：．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝2√2，CD＝1，请求出GE的长．9．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：．（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：．（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB＝2√2，CD=14BC，请求出DG的长（写出求解过程）．10．△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使∠DAF＝60°，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①AB与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB＝4，CD=12AB，求AG的长．11．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则，①BC与CF的位置关系为：．②BC，DC，CF之间的数量关系为：；（2）类比探究如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，（1）中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．①BC、DC、CF三条线段之间的数量关系为：．②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF相交于点O，连结OC，则OC的长度为．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4√2．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t＝4时，点D经过点A：当t=163时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t≤163时S的最大值．13．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4√2，一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t ＞0），在整个运动过程中设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S．（1）当t＝2时，求S的值；（2）在整个运动过程中，求出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；（3）当点D在线段AB上时，连结AQ、AP，是否存在这样的，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．14．【问题情境】如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B小明认为线段P A是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜OC+PC，即OP﹣OC＜PC，由OA＝OC得OP﹣OA＜PC，即P A＜PC，从而得出线段P A是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由【直接运用】̂上的一如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD个动点，连接AP，则AP的最小值是【构造运用】如图4，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值解：由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H（请继续完成本题的后续解题过程）【深度运用】如图6，△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，则线段BM长的最小值和最大值分别是和．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD﹣DE﹣EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以√5cm/s的速度运动，在折线DE﹣EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为cm（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M﹣N ﹣M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H 始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．16．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．17．如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN的周长的最大值．18．综合与实践：如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与QM的数量关系是；（2）探究证明当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；（3）拓展延伸当∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由；②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．19．【问题提出】如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是（直接写出结论）．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点E在BC上，且BE=√61，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE 与AC垂直时，线段DF的长度为（直接写出结果）．20．综合与实践在数学活动课上，老师给出如下问题，让同学们展开探究活动：问题情境：如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，点D为AB上一点（0＜AD＜12AB），将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，过点E作EF∥AB，交BC于点F．请你根据上述条件，提出恰当的数学问题并解答．解决问题：下面是学习小组提出的三个问题，请你解答这些问题：（1）“兴趣”小组提出的问题是：求证：AD＝EF．（2）“实践”小组提出的问题是：如图（2），若将△ACD沿AB的垂直平分线对折，得到△BCG，连接EG，则线段EG与EF有怎样的数量关系？请说明理由．（3）“奋进”小组在“实践”小组探究的基础上，提出了如下问题：延长EF与AC交于点H，连接HD，FG．求证：四边形DGFH是矩形．提出问题：（4）完成上述问题的探究后，老师让同学们结合图（3），提一个与四边形DGFH有关的问题．“智慧”小组提出的问题是：当AD为何值时，四边形DGFH的面积最大？请你参照智慧小组的做法，再提出一个与四边形DGFH有关的数学问题（提出问题即可，不要求进行解答，但所提问题必须有效）你提出的问题是：参考答案【例1】如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，点M，F分别为边AB，AC的中点，点D在边AC上，且CD＝2AD，点N为CD的中点，过点D作DE∥AB交BC于点E，点G为DE的中点．将△DCE绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接MG，FN．（1）问题发现当α＝0°时，FNGM=√32；直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为30°．（2）类比探究当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用若AB＝4，直线MG和直线FN交于点O，在旋转的过程中，当点O与点N重合时，请直接写出线段FN 的长．【分析】（1）首先证明点C，点G，点M三点共线，由直角三角形的性质可求GM＝CM﹣CG=12AB−12DE= 12（AB﹣DE），直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为30°，由中点的定义可得FN＝FC﹣NC=√34（AB﹣DE），即可求解；（2）通过证明△CDA∽△CGM，可得GM=√33AD，由三角形中位线定理可得FN=12AD，可得结论，由相似三角形的性质可得∠ADC＝∠MGC，由三角形的内角和定理和外角的性质可得∠FHG＝30°；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可得NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°，利用直角三角形的性质可求NG的长，由勾股定理可求MN的长，即可求解．【解析】（1）∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴sin ∠CAB =BC AB =12， ∴∠CAB ＝30°， ∴AC =√3BC ， ∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠CAB ＝30°， ∴DE ＝2CE ，CD =√3CE ， 如图1，连接CG ，CM ，∵Rt △DCE 中，点G 是DE 中点， ∴CG ＝DG ＝GE =12DE ， ∴∠CDE ＝∠DCG ＝30°， ∵Rt △ACB 中，点M 是AB 中点， ∴AM ＝BM ＝CM =12AB ， ∴∠CAB ＝∠ACM ＝30°， ∴∠ACM ＝∠DCG ，∴点C ，点G ，点M 三点共线，∴GM ＝CM ﹣CG =12AB −12DE =12（AB ﹣DE ），直线MG 与直线FN 相交所成的较小夹角的度数为30°， ∵点F 是AC 的中点，点N 是CD 的中点， ∴FC =12AC =√32BC =√34AB ，CN =12CD =√34DE ， ∴FN ＝FC ﹣NC =√34（AB ﹣DE ）， ∴FN GM=√32， 故答案为：√32，30°； （2）仍然成立，理由如下：如图，连接AD ，CM ，CG ，延长MG 交NF 于H ，设GM 与DE 交于点I ，如图1，∵CD ＝2AD ， ∴CD =23AC ， ∵DE ∥AB ， ∴CD AC=DE AB=23，∴DE =23AB ，∵CG =12DE ，CM =12AB ， ∴CG CM =23，∴CG CM=CD AC=23，如图2，∵∠ACM ＝∠DCG ， ∴∠DCA ＝∠DCM ， ∴△CDA ∽△CGM ， ∴CM AC=GM AD，∴12AB √32AB =GM AD，∴GM =√33AD ，∵点N 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，∴FN =12AD ，∴FN GM=12AD √33AD =√32， ∵△CDA ∽△CGM ， ∴∠ADC ＝∠MGC ，∵∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，∠MGC+∠GCF+∠GIC＝180°，∴∠GIC＝∠DAC+∠DCG＝∠DAC+30°，∵NF∥AD，∴∠DAC＝∠NFC，∵∠GIC＝∠CFN+∠FHG，∴∠DAC+30°＝∠CFN+∠FHG，∴∠FHG＝30°；（3）如图3，当点G在线段MN上时，连接AD，CG，CM，∵CG＝DG，DN＝CN，∴NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°，∵AB＝4，∴BC＝2，AC＝2√3，AM＝CM＝2，∴CD=23AC=4√33，∴CN=2√3 3，∵∠DCG＝30°，NG⊥CD，∴NC=√3NG，∴NG=2 3，∵MN=√CM2−CN2=√4−43=2√63，∴MG=2√63−23，∵FNGM =√32，∴FN=√32GM=√2−√33；若点N在线段GM上时，同理可求：MN=√CM2−CN2=√4−43=2√63，NG=23，∴MG=2√63+23，∵FNGM =√32，∴FN=√32GM=√2+√33；综上所述：线段FN的长为√2−√33或√2+√33．【例2】（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为1；②∠AMB的度数为40°．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB=√3，请直接写出当点A与点O、D在同一条直线上时AD的长．【分析】（1）如图1中，设BD交AD于J．证明△OAC≌△OBD（SAS），推出AC＝BD，∠CAO＝∠DBO 可得结论．（2）设AO交BM于J．证明△COA∽△DOB，推出ACBD =OCOD=√3，∠JAM＝∠JBO可得结论．（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点D在线段OA上时，如图3﹣2中，当点D在AO的延长线上时，解直角三角形求出OA即可解决问题．【解析】（1）如图1中，设BD交AD于J．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠DOB＝∠COA，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠AJM＝∠BJO，∴∠AMJ＝∠BOJ＝40°，∴AC BD=1，∠AMB ＝40°，故答案为：1，40°．（2）如图2中，结论：AC BD=√3，∠AMB ＝90°．理由：设AO 交BM 于J ．在Rt △COD 中，∵∠DOC ＝90°，∠DCO ＝30°， ∴OC OD=tan60°=√3，同理可得：AOBO=√3，∴CO OD=OA OB，∵∠COD ＝∠AOB ＝90°， ∴∠COA ＝∠DOB ， ∴△COA ∽△DOB ， ∴AC BD=OC OD=√3，∠JAM ＝∠JBO ，∵∠AJM ＝∠BJO ， ∴∠AMJ ＝∠JOB ＝90°．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段OA 上时，在Rt △AOB 中，∵∠AOB ＝90°，OB =√3，∠A ＝30°， ∴OA =√3OB ＝3， ∵OD ＝1，∴AD ＝OA ﹣OD ＝3﹣1＝2．如图3﹣2中，当点D 在AO 的延长线上时，AD ＝OA +OD ＝3+1＝4，综上所述，满足条件的AD 的值为2或4．【例3】．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AG BE的值为 √2 ：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG ＝6，GH ＝2√2，则BC ＝ 3√5 ．【分析】（1）①由GE ⊥BC 、GF ⊥CD 结合∠BCD ＝90°可得四边形CEGF 是矩形，再由∠ECG ＝45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG ＝∠B ＝90°、∠ECG ＝45°，据此可得CG CE=√2、GE ∥AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证△ACG ∽△BCE 即可得； （3）证△AHG ∽△CHA 得AG AC=GH AH=AH CH，设BC ＝CD ＝AD ＝a ，知AC =√2a ，由AG AC=GH AH得AH =23a 、DH =13a 、CH =√103a ，由AG AC =AHCH 可得a 的值．【解析】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD ＝90°，∠BCA ＝45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG ＝∠CFG ＝∠ECF ＝90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE ＝∠ECG ＝45°， ∴EG ＝EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG ＝∠B ＝90°，∠ECG ＝45°， ∴CG CE =√2，GE ∥AB ，∴AG BE=CG CE=√2，故答案为：√2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE ＝∠ACG ＝α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CECG =cos45°=√22、CBCA =cos45°=√22， ∴CG CE =CA CB=√2，∴△ACG ∽△BCE ， ∴AG BE=CA CB=√2，∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =√2BE ；（3）∵∠CEF ＝45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC ＝135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°， ∴∠AGH ＝∠CAH ＝45°， ∵∠CHA ＝∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG AC=GH AH=AH CH，设BC ＝CD ＝AD ＝a ，则AC =√2a ， 则由AG AC=GH AH得√2a=2√2AH， ∴AH =23a ，则DH ＝AD ﹣AH =13a ，CH =√CD 2+DH 2=√103a ， ∴AG AC=AH CH得√2a=23a √103a ，解得：a＝3√5，即BC＝3√5，故答案为：3√5．【例4】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE 与AD的位置关系是AD⊥CE；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2√3，BE＝2√19，求四边形ADPE的面积．【分析】（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；（2）结论仍然成立．证明方法类似；（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；【解析】（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．理由：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠P AE＝60°，∵∠BAC ＝∠P AE ， ∴∠BAP ＝∠CAE ， {AB =AC∠BAP =∠CAE AP =AE， ∴△BAP ≌△CAE ，∴BP ＝CE ，∠ABP ＝∠ACE ＝30°， 延长CE 交AD 于H ， ∵∠CAH ＝60°， ∴∠CAH +∠ACH ＝90°， ∴∠AHC ＝90°，即CE ⊥AD ． 故答案为PB ＝EC ，CE ⊥AD ．（2）结论仍然成立．理由：选图2，连接AC 交BD 于O ，设CE 交AD 于H ． ∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∵△APE 是等边三角形， ∴AP ＝AE ，∠P AE ＝60°， ∴∠BAP ＝∠CAE ． {AB =AC∠BAP =∠CAE AP =AE， ∴△BAP ≌△CAE ，∴BP ＝CE ，∠PBA ＝∠ACE ＝30°， ∵∠CAH ＝60°，∴∠CAH +∠ACH ＝90°， ∴∠AHC ＝90°，即CE ⊥AD ．选图3，连接AC 交BD 于O ，设CE 交AD 于H ． ∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∵△APE 是等边三角形， ∴AP ＝AE ，∠P AE ＝60°， ∴∠BAP ＝∠CAE ． {AB =AC∠BAP =∠CAE AP =AE， ∴△BAP ≌△CAE ，∴BP ＝CE ，∠ABP ＝∠ACE ＝30°， ∵∠CAH ＝60°， ∴∠CAH +∠ACH ＝90°， ∴∠AHC ＝90°，即CE ⊥AD ．（3）△BAP ≌△CAE ，由（2）可知EC ⊥AD ，CE ＝BP ， 在菱形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴EC ⊥BC ，∵BC ＝AB ＝2√3，BE ＝2√19，在Rt △BCE 中，EC =√(2√19)2−(2√3)2=8， ∴BP ＝CE ＝8，∵AC 与BD 是菱形的对角线，∴∠ABD=12∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO＝2AB•cos30°＝6，∴OA=12AB=√3，DP＝BP﹣BD＝8﹣6＝2，∴OP＝OD+DP＝5，在Rt△AOP中，AP=√AO2+OP2=2√7，∴S四边形ADPE＝S△ADP+S△AEP=12×2×√3+√34×（2√7）2＝8√3．【例5】问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC+EC；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝10，根据勾股定理计算即可．【解析】（1）BC＝DC+EC，理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ， 在△BAD 和△CAE 中， {AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴BD ＝CE ，∴BC ＝BD +CD ＝EC +CD ， 故答案为：BC ＝DC +EC ； （2）BD 2+CD 2＝2AD 2， 理由如下：连接CE ，由（1）得，△BAD ≌△CAE ， ∴BD ＝CE ，∠ACE ＝∠B ， ∴∠DCE ＝90°， ∴CE 2+CD 2＝ED 2，在Rt △ADE 中，AD 2+AE 2＝ED 2，又AD ＝AE ， ∴BD 2+CD 2＝2AD 2；（3）作AE ⊥AD ，使AE ＝AD ，连接CE ，DE ，∵∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ， 即∠BAD ＝∠CAE ， 在△BAD 与△CAE 中， {AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴BD ＝CE ＝10，∵∠ADC ＝45°，∠EDA ＝45°， ∴∠EDC ＝90°， ∴DE =√CE2−CD2=√100−25=5√3，∵∠DAE ＝90°， ∴AD ＝AE =√22DE =5√62．1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点（不与点B 、点C 重合），连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ ． （1）如图1，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系．（2）如图2，当点P 在CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO ＝45°，AC =√6，请直接写出BQ 的长．【分析】（1）先判断出△POQ 是等边三角形，进而判断出∠COP ＝∠BOQ ，进而判断出△COP ≌△BOQ ，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）先求出BC，进而利用三角形中位线求出CH，OH，再利用等腰直角三角形的性质得出PH，同（1）的方法得出BQ＝CP，即可得出结论．【解析】（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，{OC=OB∠COP=∠BOQ OP=OQ，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，{OC=OB∠COP=∠BOQ OP=OQ，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC=√6，∴BC＝AC•tan∠A=√2，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH=12BC=√22，OH=12AC=√62，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH=√6 2，∴CP＝PH﹣CH=√62−√22=√6−√22，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP=√6−√22．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，求DE与BC的数量关系是DE=√32BC．（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF＝60°，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请猜测DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）由∠ACB＝90°，∠A＝30°得到∠B＝60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB＝DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=√32BC；（2）根据旋转的性质得到∠PDF＝60°，DP＝DF，易得∠CDP＝∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP＝BF，利用CP＝BC﹣BP，DE=√32BC可得到BF+BP=2√33DE；（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP＝BF，而CP＝BC+BP，则BF﹣BP＝BC，所以BF﹣BP=2√33DE．【解析】（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵点D是AB的中点，∴DB＝DC，∴△DCB为等边三角形，∵DE⊥BC，∴DE＝BC；故答案为DE=√32BC；（2）BF +BP =2√33DE ．理由如下： ∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ， ∴∠PDF ＝60°，DP ＝DF ， 而∠CDB ＝60°，∴∠CDB ﹣∠PDB ＝∠PDF ﹣∠PDB ， ∴∠CDP ＝∠BDF ， 在△DCP 和△DBF 中 {DC =DB∠CDP =∠BDF DP =DF， ∴△DCP ≌△DBF （SAS ）， ∴CP ＝BF ， 而CP ＝BC ﹣BP ， ∴BF +BP ＝BC ， ∵DE =√32BC ， ∴BC =2√33DE ， ∴BF +BP =2√33DE ； （3）如图，与（2）一样可证明△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF ， 而CP ＝BC +BP ，∴BF﹣BP＝BC，∴BF﹣BP=2√33DE．3．（1）观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．（2）理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝50；（3）类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝8．（4）拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E 沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．（画出示意图）【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB；（2）利用（1）中的结论，△EF A≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC＝B′E＝4，根据面积公式可得结论；（4）由题意得：EP＝t，则PC＝t﹣3，如图4，证明△PCO≌△OBF，则PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4．【解析】（1）在△AEC和△CDB中，。