第四章 模态、规范推理

模态逻辑的推理规则和证明方法模态逻辑是一种专门研究命题含有模态词的推理规则和证明方法的逻辑系统。

模态逻辑主要研究命题的可能性、必然性、推断和推理等问题，以及与经典逻辑的关系。

本文将介绍模态逻辑的基本概念和常用的推理规则和证明方法。

一、模态逻辑的基本概念1. 模态词模态词是指用于表示可能性、必然性、可能真或必然真等概念的词语，如“可能”，“必然”，“或许”等。

模态词可以分为“必然性”和“可能性”两大类别。

2. 推理规则推理规则是指用于进行命题推理的基本规则，它们描述了命题在逻辑上的相互关系和推导转换的合法性。

在模态逻辑中，常用的推理规则有必然推理规则、可能推理规则、非必然推理规则等。

3. 证明方法证明方法是指用于证明模态逻辑命题成立或推导出结论的方法。

常见的证明方法包括形式证明、条件证明、反证法等。

二、模态逻辑的推理规则1. 必然推理规则必然推理规则描述了命题在必然性逻辑上的推导关系。

其中包括必然条件推理规则和必然蕴含推理规则。

- 必然条件推理规则：如果P必然蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q成立。

- 必然蕴含推理规则：如果P必然蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P成立。

2. 可能推理规则可能推理规则描述了命题在可能性逻辑上的推导关系。

其中包括可能条件推理规则和可能蕴含推理规则。

- 可能条件推理规则：如果P可能蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q可能成立。

- 可能蕴含推理规则：如果P可能蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P可能成立。

3. 非必然推理规则非必然推理规则描述了命题在非必然性逻辑上的推导关系。

其中包括非必然条件推理规则和非必然蕴含推理规则。

- 非必然条件推理规则：如果P非必然蕴含Q，且P成立，则可以推导出Q可能成立。

- 非必然蕴含推理规则：如果P非必然蕴含Q，且Q成立，则可以推导出P可能成立。

三、模态逻辑的证明方法1. 形式证明形式证明是一种使用推理规则和逻辑步骤来证明模态逻辑命题的方法。

它通常基于公理系统或证明系统进行推导，以确定给定命题的正确性。

在逻辑中，“必然”、“可能”、“不可能”等叫做“模态词”，包含模态词的命题叫做“模态命题”。

“必然p”、“不可能p”（必然⾮p）、“可能p”和“可能⾮p”之间的真假关系，类似于直⾔命题A、E、I、O之间的真假关系。

根据四种模态命题之间的逻辑关系(真假关系)，便可构成⼀系列简单的模态命题的直接推理。

Ⅰ、根据模态命题⽭盾关系的直接推理1.必然p,推出并⾮可能⾮p；2.并⾮必然p，推出可能⾮p；3.可能⾮p，推出并⾮必然p；4.并⾮可能⾮p，推出必然p；5.必然⾮p，推出并⾮可能p；6.并⾮必然⾮p，推出可能p；7.可能p，推出并⾮必然⾮p；8.并⾮可能p，推出必然⾮p；上述1式，可举例如下：正义必然战胜邪恶，所以，并⾮正义可能不能战胜邪恶(即：正义不可能不能战胜邪恶)。

上述3式，可举例如下：⽕星上可能没有⽣物，所以，并⾮⽕星上必然有⽣物(即⽕星上不必然有⽣物)。

Ⅱ、根据模态命题反对关系的直接推理1.必然p，推出并⾮必然⾮p。

例如：蔑视辩证法是必然要受到惩罚的，所以，蔑视辩证法并⾮必然不受到惩罚的。

2.必然⾮p，推出并⾮必然p。

例如：侵略战争必然是⾮正义战争，所以，侵略战争并⾮必然是正义战争。

Ⅲ、根据模态命题下反对关系的直接推理1.并⾮可能p，推出可能⾮p。

例如：某君不可能吸烟，所以，某君可能不吸烟。

2.并⾮可能⾮p，推出可能p。

例如：⼩王不可能不会游泳，所以，⼩王可能会游泳。

Ⅳ、根据模态命题差等关系的直接推理1.必然p，推出可能p；例如：甲队必然得冠军，所以，甲队可能得冠军。

2.并⾮可能p，推出并⾮必然p；例如⼄队不可能得冠军，所以，⼄队不必然得冠军。

3.必然⾮p，推出可能⾮p；4.并⾮可能⾮p，推出并⾮必然⾮p。

■最近⼀段时期，有关要发⽣地震的传⾔很多。

⼀天傍晚，⼩明问在院⾥乘凉的爷爷：“爷爷，他们都说明天要地震了。

”爷爷说：“根据我的观察，明天不必然地震”。

⼩明说，“那您的意思是明天肯定不会地震了。

模态逻辑公理系统在形式逻辑中，模态逻辑是一种对于命题逻辑进行扩展的方法，它能够处理命题的可能性、必然性、可能性和不可实现性等概念。

模态逻辑公理系统是用来推导模态逻辑命题的一组规则和原则。

本文将探讨模态逻辑公理系统的基本原理和应用。

模态逻辑公理系统是多个公理和推理规则的集合，用于推导命题逻辑中的模态命题。

其中，公理是模态逻辑中的基本命题，而推理规则是用来推导新的命题的规则。

在模态逻辑中，有许多不同的公理系统，它们基于不同的原则和规则。

其中最著名的是K系统、T系统和S系统。

K系统是最基本的模态逻辑公理系统，它包含了几个基本的公理和推理规则。

它的基本公理包括命题的可重述性、命题的蕴含性和命题的传递性。

基于这些公理，K系统可以推导出许多模态命题的有效性。

T系统是对K系统的扩展，它引入了命题的必然性概念。

T系统的基本公理包括命题的可重述性、命题的蕴含性、命题的传递性和必然性的可重述性。

基于这些公理，T系统可以推导出更多关于必然性的命题。

S系统是对K系统和T系统的更进一步扩展，它引入了命题的可能性概念。

S系统的基本公理包括命题的可重述性、命题的蕴含性、命题的传递性、必然性的可重述性和可能性的可重述性。

基于这些公理，S系统可以推导出更多关于可能性和必然性的命题。

模态逻辑公理系统的应用非常广泛。

在人工智能领域，模态逻辑被用于描述不确定性和推理过程。

在哲学中，模态逻辑被用于研究命题的可能性和必然性。

在计算机科学中，模态逻辑被用于推理系统和形式验证。

模态逻辑公理系统是一种用于推导模态命题的规则和原则的集合。

它能够处理命题的可能性、必然性、可能性和不可实现性等概念。

模态逻辑公理系统在人工智能、哲学和计算机科学等领域都有广泛的应用。

通过研究和应用模态逻辑公理系统，我们可以更好地理解和处理命题的复杂性和不确定性。

逻辑学名词解释单独概念：是指仅反映一个特定对象的概念，它的外延是一个独一无二的事物。

普遍概念：是指由若干个分子所组成的类的概念。

它的外延包括许多的对象。

集合概念：把一类对象作为一个集合体来反映的概念。

非集合概念：不把一类对象作为一个集合体来放映的概念。

正概念：反映对象具有某种属性的概念。

负概念：反映对象不具有某种属性的概念。

只有带否定词并使用其含义的，才是负概念。

论域：指一个正概念与其相对的负概念所反映的对象组成的类。

定义：就是揭示概念内涵的逻辑方法。

揭示概念所反映的事物的特有属性的方法。

划分：揭示概念外延的逻辑方法。

就是将外延较大的属概念根据一定的标准，划分出若干个外延较小的概念，从而明确概念全部外延的逻辑方法。

概念的限制：通过增加概念的内涵，以减少概念的外延的逻辑方法。

即概念的限制就是从属概念过渡到种概念的逻辑方法。

概念的概括：通过减少概念的内涵，以扩大其外延的逻辑方法。

逻辑学不研究具体命题内容上真假，只研究命题形式真假性质和命题形式之间的真假关系。

模态命题：就是包含“必然”等模态词的命题。

复合命题：就是包含其他命题的命题，包括联言命题、选言命题、假言命题和负命题。

简单命题：就是没有包含其他命题的命题，主要包括直言命题和关系命题。

推理：就是由一或若干个命题推出另一个命题的思维形态。

直言命题：就是陈述事物具有或不具有某种性质的命题。

（性质命题）肯定命题：就是陈述事物具有某种性质的命题。

联项一般用“是”表示。

单称命题：就是陈述一个特定事物具有或不具有某种性质的命题。

主项专有名词，不需量词。

全称命题：陈述一类事物的全部分子都具有或不具有某种性质的命题。

主项普遍概念，量省。

特称命题：就是陈述一类事物中至少存在着一事物具有或不具有某种性质的命题。

主项普遍概念，量项不可省为“有的、有些”（其逻辑含义就是“有”即至少有一个，不排斥全部）周延性：是直言命题主项与谓项在量的方面的逻辑特征，是直言命题形式中对主项或谓项的全部外延的陈述情况。

规范模态逻辑知识
1. 模态逻辑的定义
模态逻辑是一种表达彩虹语言的方式，它定义了逻辑模式的各种逻
辑定理，以描述基本的非常规论证的过程。

模态逻辑从语言学的角度
出发，将逻辑模式的不同断言连根接地形成一个整体，用来表示人们
在认识和思考时使用的语言。

2. 模态逻辑的性质
模态逻辑具有许多性质，其中包括广义性，可数性，统一性，可改
变性，稳定性，蒙太奇性，非一步节点可完备性等。

3. 模态逻辑的分类
模态逻辑可以分为两类，它们分别是基本模态逻辑和系统模态逻辑。

前者包括克拉斯特模态逻辑、布尔模态逻辑、阿基米德模态逻辑和拉
斯维加斯模态逻辑；后者包括折中模态逻辑、忠诚模态逻辑、张量逻
辑等，其中忠诚模态逻辑是许多系统模态逻辑中最重要的一种。

4. 模态逻辑的应用
模态逻辑在各个领域、特别是计算机科学领域中都有广泛的应用，
像知识表示、系统分析、有理推理和程序正确性分析。

此外，模态逻
辑还应用于在自然语言处理、离散数学、时序和单线程编程等领域，
以表示信息和思考模式，帮助解决特定问题。

模态逻辑公理系统1. 引言模态逻辑（Modal Logic）是一种对关于可能性和必然性的陈述进行推理的形式系统。

它是数理逻辑的一个分支，被广泛应用于人工智能、计算机科学、认知科学、形式语言学等领域。

模态逻辑公理系统是一种用来推导和验证模态逻辑命题的形式系统，由一组公理和推理规则组成。

2. 模态逻辑的基本概念•模态词：模态逻辑中的核心概念是模态词，用来表示命题的可能性和必然性。

常见的模态词包括”必须”、“可能”、“不一定”等。

•可模态世界：可模态世界用来描述一种可能的情况或状态。

它是模态逻辑中的一个基本概念，用来表达命题在不同情境下的真值。

•语义模型：模态逻辑公理系统的语义基础是语义模型。

语义模型是一个由可模态世界和命题构成的集合，用来描述命题在各个可模态世界的真值情况。

•符号化：为了能够使用模态逻辑公理系统进行推理，需要将自然语言的命题转化为形式化的逻辑符号。

这个过程称为符号化。

3. 模态逻辑公理系统的基本要素•公理集：模态逻辑公理系统的基础是一组公理。

公理是一些基本命题，被认为是真的，用来作为推理的起点。

•推理规则：在模态逻辑公理系统中，推理规则是用来推导新命题的规则。

常见的推理规则有假言推理、再言式推理、归谬引入等。

4. 模态逻辑公理系统的形式化模态逻辑公理系统通常通过一组形式化的规则来定义，其中包括公理集和推理规则。

下面以一个基本的模态逻辑公理系统为例进行介绍。

4.1 公理集以下是一个简单的模态逻辑公理集的例子： 1. (A → B) → (□A → □B) （必然性推理规则）2. A → ◇A （可可能性推理规则）4.2 推理规则以下是一些常见的推理规则： 1. 假言推理：如果有A蕴含B的命题，同时有A成立，那么可以推导出B成立。

2. 归谬引入：如果能够推导出A和非A，那么可以推导出任意命题。

3. 再言式推理：如果有A成立，那么可以推导出A蕴含A的命题。

4.3 推理过程示例下面通过一个示例来演示模态逻辑公理系统的推理过程：已知公理集：(A → B) → (□A → □B) 和 A → ◇A，求证：□A → ◇B。

课程代码：0024 第⼀章引论 考核要求 （⼀）思维 1、识记：思维的基本特征。

2、理解：思维⼀语⾔的关系。

（⼆）普通逻辑形容的对象 1、识记： （1）普通逻辑的定义。

（2）思维的逻辑形式。

（3）逻辑常项和变项。

2、理解： （1）普通逻辑不研究思维的具体内容，只研究各种不同类型的思维的逻辑形式。

（2）逻辑常项在逻辑形式中的地位。

3、简单应⽤： （1）从各种不同的具体判断和推理中，抽象、概括它拉的逻辑形式。

（2）识别各种逻辑形式中的逻辑常项和变项。

（3）根据判断和推理的不同逻辑形式列举出具体的判断和推理。

（三）普通逻辑的性质和意义 1、识记：普通逻辑的性质：⼯具性和全⼈类性。

2、理解： （1）学习普通逻辑的意义。

（2）学习普通逻辑的⽅法。

第⼆章概念 考核要求 （⼀）概念的内涵和外延 1、识记： （1）概念。

（2）概念的内涵。

（3）概念的外延。

2、理解和应⽤：在具体的语⾔环境中正确识别某个概念的内涵和外延。

（⼆）概念的种类 1、识记： （1）对概念进⾏三种分类的分类根据。

（2）集合概念。

2、理解和应⽤：在具体的语⾔环境中正确识别某个概念属于何种概念。

（三）概念间的关系 1、识记： （1）概念间的五种基本关系（包括⽭盾关系和反对关系）。

（2）属种关系。

2、理解和应⽤：识别若⼲概念之间的关系。

（四）欧拉图 1、识记：表⽰概念间五种基本关系（包括⽭盾关系和反对关系）的欧拉图。

2、理解：判定表⽰若⼲概念之间关系的欧拉图是否正确。

3、简单应⽤：⽤欧拉图表⽰若⼲概念之间的关系。

4、综合应⽤：从给定的条件出发，推出指定的概念之间的关系，并⽤欧拉图 表⽰它们的关系。

（五）定义 1、识记：（1）定义。

（2）定义的结构。

（3）划分的⽅法。

2、理解：定义的三条规则及违反规则所犯的逻辑错误。

3、简单应⽤：运⽤有关定义的知识分析具体的定义是否正确。

（六）划分 1、识记：（1）划分。

规范模态逻辑规范逻辑亦称“义务逻辑”、“道义逻辑”、“伦理逻辑"。

被称为广义模态逻辑的--神。

研究含有必须、允许等规范词的规范命题以及规范演绎系统的现代逻辑分支。

14世纪的罗伯特·霍尔科特已讨论过模态逻辑和义务逻辑之间的相似之处。

莱布尼沃提出过必须履行的、允许的、禁止的和可选择的等义务概念。

康德提出过义务世界的思想。

在20世纪50年代以前.也有人提出过规范逻辑，但没有引起人们的注意。

只是由于芬兰逻辑学家冯·赖特著作的发表才引起人们对规范逻辑的兴趣和重视。

继刘易斯1910年创立现代模态逻辑之后，冯·赖特于1951年在他的《规范模态》和《模态S辑论》中，提出了两种新的模态，即规范模态逻辑和认知槿态逻辑，从而开创了现代规范逻辑。

他构造的规范逻辑系统是最早出现的一个规范模态系统。

规范逻辑要研究规范命题形式。

规范命题是陈述行为规范的命理。

基本形式有三种:一是必须命题，是陈述必须履行某神行为的命题;二是禁止命题，是陈述禁止某种行为的命题;三是允许命题.是陈述允许某种行为的命题。

由于禁止P与必须非P、禁止非P与必须P是等值的，因而也可分为必须命题和允许命题两种。

借助联结词，则可结合成各种复合命题。

规范逻辑还要研究并建立规范逻辑的演绎系统。

它在标准命演算的基础上，加上规范算子，增加有关的公理、形成规则和变形规则而建立…采用不同的公理和推理规则可以建立不同的规范逻辑系统。

规范系统与真值模态系统之间有密切关系、规范词(X必须>P(允许>与真值模态的模态词U必然(可能)相似，起着类似的作用，因而有的逻辑学家根据两者的这种关系去建立规范系统。

但这只能在~定范围内,两者毕竟有区别。

如在真值模态系统中，必然性蕴涵实然性(I-P-*Pi，而在规范系统中,必须却并不莲涵现实，而是必须蕴涵允许（Op—Pp)。

目前已建立的规范逻辑系统有DT等系统。

规范逻辑的建立,丰富和发展了模态逻辑并在伦理实践和司法实践中发挥着作用。

第四章模态、规范逻辑一、根据命题之间的真假关系，指出下列各组命题的真假情况。

1、已知：“某甲必然是凶手”为假，则：（1）“某甲不必然不是凶手”为（）（2）“某甲不可能不是凶手”为（）（3）“某甲不可能是凶手”为（）（4）“某甲不是凶手”为（）2、已知：“某甲可能是凶手”为真，则：（1）“某甲必然不是凶手”为（）（2）“某甲可能不是凶手”为（）（3）“某甲必然是凶手”为（）（4）“某甲是凶手”为（）3、已知：“禁止干涉婚姻自由”为真，则：（1）“不允许干涉婚姻自由”为（）（2）“允许不干涉婚姻自由”为（）（3）“禁止不干涉婚姻自由”为（）（4）“必须不干涉婚姻自由”为（）4、已知：“允许上诉”为真，则：（1）“不禁止上诉”为（）（2）“必须不上诉”为（）（3）“允许不上诉”为（）（4）“必须上诉”为（）二、写出下列推理的形式，并判定它是否有效。

1. 被告人不必然上诉，所以，被告人可能不上诉。

2. 科学技术的进步不可能不带来生产力的发展，所以，科学技术的进步可能带来生产力的发展。

3. 罪犯不必然不说谎，所以，罪犯不可能不说谎。

4. 某甲不必然考上研究生，所以，某甲必然考不上研究生。

5. 某甲生了病，所以，某甲可能生病。

6. 必须遵守劳动纪律，所以，允许遵守劳动纪律。

7. 允许遵守公共秩序，所以，不允许不遵守公共秩序。

8. 不禁止爱护公共财产，所以，必须爱护公共财产。

9. 必须尊重社会公德，所以，禁止不尊重社会公德。

10. 禁止工商企业假冒其他企业已经注册的商标，所以，不允许工商企业假冒其他企业已经注册的商标。

参考答案一、根据命题之间的真假关系，指出下列各组命题的真假情况。

1、（1）可真可假（2）假（3）可真可假（4）可真可假2、（1）假（2）可真可假（3）可真可假（4）可真可假3、（1）真（2）真（3）假（4）真4、（1）真（2）假（3）可真可假（4）可真可假二、写出下列推理的形式，并判定它是否有效。

模态命题及其推理一、模态命题（一）模态命题在逻辑中，“必然”、“可能”、“不可能”等叫做“模态词”，包含模态词的命题叫做“模态命题”。

模态词分为可能性和必然性两种，其中“可能”、“大概”、“也许”属于可能性模态词；而“一定”、“必定”、“必然”等属于模态词。

例如：明天可能会下雨。

海洋中一定有生物。

（二）模态命题分类根据模态词和命题性质的不同，可以将模态命题分为四类：１.必然肯定模态命题。

即必然P例如：这句话必然是真的。

２.必然否定模态命题。

即必然非P例如：他今天肯定不会来３.可能肯定模态命题。

即可能P例如：这个目标是可能实现的。

４.可能否定模态命题。

即可能非P例如：她可能完不成任务。

（三）模态命题对当关系“必然p”、“必然非p”、“可能p”和“可能非p”之间的真假关系，类似于直言命题A、E、I、O之间的真假关系，也可用一个对当逻辑方阵来表示：二、模态推理根据四种模态命题之间的逻辑关系(真假关系)，便可构成一系列简单的模态命题的直接推理。

（一）根据模态命题矛盾关系的直接推理1.必然p,推出并非可能非p；2.并非必然p，推出可能非p；3.可能非p，推出并非必然p；4.并非可能非p，推出必然p；5.必然非p，推出并非可能p；6.并非必然非p，推出可能p；7.可能p，推出并非必然非p；8.并非可能p，推出必然非p；上述1式，可举例如下：正义必然战胜邪恶，所以，并非正义可能不能战胜邪恶(即：正义不可能不能战胜邪恶)。

上述3式，可举例如下：火星上可能没有生物，所以，并非火星上必然有生物(即火星上不必然有生物)。

（二）根据模态命题反对关系的直接推理1.必然p，推出并非必然非p。

例如：蔑视辩证法是必然要受到惩罚的，所以，蔑视辩证法并非必然不受到惩罚的。

2.必然非p，推出并非必然p。

例如：侵略战争必然是非正义战争，所以，侵略战争并非必然是正义战争。

（三）根据模态命题下反对关系的直接推理1.并非可能p，推出可能非p。