(逻辑学课程课件)第六章模态逻辑

7 模态逻辑马克斯韦尔·约翰·克雷斯韦尔（Maxwell John Cresswell）刘新文译模态逻辑是关于必然性和可能性的逻辑，或者说，是关于“一定是”和“可能是”的逻辑。

当然，必然性和可能性有不同的解释。

真势模态逻辑把必然解释为必然真；道义逻辑（见第8章）则把必然解释为道义必然性或规范必然性。

必然也可以指知道或相信为真，这是认知逻辑（见第9章）的解释；如果指总是为真或从此总是为真，则是时态逻辑（见第10章）的解释。

另外也可以把“必然p”解释为“p是可证的”。

本章以真势模态逻辑为重点概述适用于所有这些咯机的模态逻辑的一般框架。

本章的符号“L”表示必然性算子，“L p”读作“必然p”。

与此相关的是可能性算子M，“M p”读作“可能p”。

（“L”常以“□”代替，有时也以“N”代替，“M”则常以“◇”代替。

）两个算子可以互相定义。

这样，如果一个模态语言以“L”为初始算子，那么对于任意公式α，“Mα”可以定义为“~L~α”。

类似地，不可能性可以表示为“~M”（或“L~”）；偶然命题是既非必然也非不可能的命题。

7.1. 模态命题逻辑本节讲述由经典逻辑（见第1章）扩张而得的那些模态命题逻辑，而由直觉主义逻辑（见第11章）和相干逻辑（见第13章）等经过扩张也可以得到非经典模态逻辑。

下一节则考察模态算子在一阶谓词逻辑中的位置。

经典命题演算的语言PC由命题变元p，q，r，…，以及表示否定的~和表示析取的∨组成，其它真值函项算子按通常方式定义。

模态命题逻辑的语言在PC的基础上加一个新的一元算子L扩充而得；PC公式的形成规则适用于扩充后的语言，另加一条新的形成规则：如果α是公式，那么Lα也是公式。

（命题的）模态逻辑系统可以定义成一个公式类S。

一个公式α是S的定理（或├Sα）当且仅当α∈S。

这里研究的逻辑都是从极小的正规系统K经过扩充而得的正规模态逻辑。

K被公理化定义成由如下五条公理及变形规则得到的所有公式的类：PC 如果α是一个PC有效公式，则α是K的一个公理K L(p⊃q)⊃(L p⊃L q)US（联立置换规则）把一个定理中的变元p1，…，p n中的一个或多个都分别联立置换成任意的公式β1，…，βn的结果仍是一个定理。

第六章模态命题药恩情一、模态命题的概念二、模态命题的种类一、模态命题重庆市的汽车都是靠右行驶的。

（性质命题）重庆市的汽车必须是靠右行驶。

（规范命题）重庆市的汽车可以是靠右行驶。

（规范命题）模态命题模态命题是一切包括可能、必然、必须、禁止等模态词的命题。

二、模态命题的种类（一）真值模态命题必然命题可能命题（二）规范模态命题必须命题允许命题（一）真值模态命题1.真值模态命题的概念2.真值模态命题的种类3.真值模态命题的对当关系1.真值模态命题的概念真值模态命题，是陈述事物情况的必然性或可能性的命题。

凡包含着“必然”、“可能”等词的命题，就叫真值模态命题。

由模态词和基础命题组成。

模态词：必然、可能。

真值模态命题例：事物必然是运动的。

??地球以外的天体可能存在生物。

今天一定有同学逃课。

今天可能要耽误吃饭。

2.真值模态命题的种类必然命题可能命题（或然命题）1.必然命题必然命题是陈述事物情况的必然性的命题。

必然命题分为必然肯定命题和必然否定命题。

必然肯定命题是陈述事物情况必然存在的命题。

表达式为必然p。

□p必然否定命题陈述事物情况必然不存在的命题。

表达式为必然不p。

□- p2.可能命题（或然命题）是陈述事物情况的可能性的命题。

分为可能肯定命题和可能否定命题。

可能肯定命题陈述事物情况可能存在的命题。

表达式可能p。

◇p可能否定命题是陈述事物情况可能不存在的命题。

表达式可能不p。

◇-- p符号其中：“必然”用□表示；“可能”用◇表示；而p表示基础判断：如即事物是运动的；必然p???或写成：□p地球以外的天体存在生物。

可能p???或写成：◇p3.真值模态命题的对当关系反对关系（张三一定是作案人）必然P 必然非P（张三一定不是作案人）差等关系差等关系（张三可能是作案人）可能P 可能非P（张三可能不是作案人）下反对关系反对关系必然P 与必然非P为反对关系，二者不可同真，可同假。

由一真可推出另一假。

下反对关系可能P与可能非P为下反对关系，二者不可同假，但可同真。

模态逻辑概述Ps：本文整理编辑---论文文库工作室（QQ1548927986）：毕业论文写作与发表模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如“可能”、“或许”、“可以”、“一定”、“必然”等限定的句子的逻辑。

模态逻辑可以用语义的“内涵性”来描述其特征: 复杂公式的真值不能由子公式的真值来决定的。

允许这种决定性的逻辑是“外延性的”，经典逻辑就是外延性的例子。

模态算子不能使用外延语义来形式化: “乔治·布什是美国总统”和“2 + 2 = 4”是真的，但是“乔治·布什必然是美国总统”是假的，而“2 + 2 = 4 是必然的”是真的。

形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。

基本的模态算子是和。

(有时分别使用“L”和“M”)。

它们的意义依赖于特定的模态逻辑，但它们总是以相互定义的方式来定义:真势模态在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中表示必然性，而表示可能性。

所以Jones 有兄弟是“可能的”，当且仅当Jones “没”有兄弟是“非必然的”。

句子被认定为∙可能的如果它“可能”为真(不管实际上是真是假);∙必然的如果它“不可能”为假;∙偶然的如果它“不是”必然为真，就是说，可能为真可能为假。

偶然的真理是“实际上”为真，但“可能曾经不是”的真理。

其他模态认识模态逻辑最经常用来谈论所谓的“真势模态”: “...是必然的”或者“....是可能的”，这些模态(包括形而上学模态和逻辑模态)最容易混淆于认识模态(来自希腊语episteme, 知识):“...确实是真的” 和“...(对给定的可获得的信息)或许是真的”。

在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助:一个人Jones 可以合理的“同时”说出: (1)“我确信大脚怪不可能存在”，还有(2)“大脚怪存在的确是可能的”。

Jones 通过(1)表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，大脚怪存在与否是没有疑问的。

7 模态逻辑马克斯韦尔·约翰·克雷斯韦尔（Maxwell John Cresswell）刘新文译模态逻辑是关于必然性和可能性的逻辑，或者说，是关于“一定是”和“可能是”的逻辑。

当然，必然性和可能性有不同的解释。

真势模态逻辑把必然解释为必然真；道义逻辑（见第8章）则把必然解释为道义必然性或规范必然性。

必然也可以指知道或相信为真，这是认知逻辑（见第9章）的解释；如果指总是为真或从此总是为真，则是时态逻辑（见第10章）的解释。

另外也可以把“必然p”解释为“p是可证的”。

本章以真势模态逻辑为重点概述适用于所有这些咯机的模态逻辑的一般框架。

本章的符号“L”表示必然性算子，“L p”读作“必然p”。

与此相关的是可能性算子M，“M p”读作“可能p”。

（“L”常以“□”代替，有时也以“N”代替，“M”则常以“◇”代替。

）两个算子可以互相定义。

这样，如果一个模态语言以“L”为初始算子，那么对于任意公式α，“Mα”可以定义为“∼L∼α”。

类似地，不可能性可以表示为“∼M”（或“L∼”）；偶然命题是既非必然也非不可能的命题。

7.1. 模态命题逻辑本节讲述由经典逻辑（见第1章）扩张而得的那些模态命题逻辑，而由直觉主义逻辑（见第11章）和相干逻辑（见第13章）等经过扩张也可以得到非经典模态逻辑。

下一节则考察模态算子在一阶谓词逻辑中的位置。

经典命题演算的语言PC由命题变元p，q，r，…，以及表示否定的∼和表示析取的∨组成，其它真值函项算子按通常方式定义。

模态命题逻辑的语言在PC的基础上加一个新的一元算子L扩充而得；PC公式的形成规则适用于扩充后的语言，另加一条新的形成规则：如果α是公式，那么Lα也是公式。

（命题的）模态逻辑系统可以定义成一个公式类S。

一个公式α是S的定理（或├Sα）当且仅当α∈S。

这里研究的逻辑都是从极小的正规系统K经过扩充而得的正规模态逻辑。

K被公理化定义成由如下五条公理及变形规则得到的所有公式的类：PC如果α是一个PC有效公式，则α是K的一个公理K L(p⊃q)⊃(L p⊃L q)US（联立置换规则）把一个定理中的变元p1，…，p n中的一个或多个都分别联立置换成任意的公式β1，…，βn的结果仍是一个定理。