[原创]2017年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第九章 第6讲 离散型随机变量的均值与方差[配套课件]

专题三 数列与不等式n＝ 7n ＋ 45 n 1．已知等差数列 { a n } ，{ b n } 的前 n 项和分别为 S n，T ，且S，则使得 a为整数 nT n n － 3 b n的正整数 n 的个数是 ( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62．已知等差数列 { a n } 的公差 d ≠ 0，且 a 1 ，a 3，a 13 成等比数列，若 a 1＝1，S n 为数列 { a n }2S n ＋ 16的前 n 项和，则a n ＋ 3 的最小值为 ()9A ． 4B ． 3C ． 2 3－ 2 D.23． (2015 年新课标Ⅱ )设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1＝－ 1， a n ＋1＝ S n S n ＋ 1，则 S n ＝ ________.4．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a n ＋ S n ＝ 1，则 S n 的取值范围是 ( )A ． (0,1)B ． (0，＋∞ )1， 1 D. 1，＋∞C. 225．(2017 年广东调研 )设 R n 是等比数列 { a n } 的前 n 项的积，若 25(a 1＋ a 3)＝ 1，a 5＝ 27a 2，则当 R n 取最小值时， n ＝ ______.6．(2017 年新课标Ⅰ)几名大学生响应国家的创业呼吁，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获得软件激活码”的活动． 这款软件的激活码为下边数学识题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ， ，此中第一项为哪一项 20，接下来 的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推．求知足以下条件的最小整数 N ：N>100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ． 330C ． 220D ． 1107． (2016 年新课标Ⅲ )已知各项都为正数的数列{ a n } 知足 a 1＝ 1， a 2n － (2a n ＋ 1－1)a n － 2a n ＋1＝ 0.(1)求 a 2， a 3；(2)求 { a n } 的通项公式．8． (2017 年广东揭阳一模 )设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 4 ＝4S 2， a 2n ＝ 2a n ＋ 1－3.(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)设数列 { b n } 知足 a 1b 1＋a 2b 2＋ ＋ a n b n ＝ 3－ 2n ＋ 3，求 { b n } 的前 n 项和 T n .2 n9． (2017 年广东汕头一模)已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n， a1＝2， a n＋1＝S n＋ 2.(1)求数列 { a n} 的通项公式；1(2)已知 b n＝ log2a n，求数列的前 n 项和 T n.b n b n＋110．(2017 年天津 ) 已知 { a n} 为等差数列，前n 项和为 S n(n∈N 数列，且公比大于0， b2＋ b3＝ 12， b3＝ a4－2a1， S11＝ 11b4.(1)求 { a n} 和 { b n} 的通项公式；*(2)求数列 { a2n b2n－1 } 的前 n 项和 (n∈N )．*)，{ b n} 是首项为 2 的等比专题三 数列与不等式aS14n ＋ 38 7n ＋ 191．Ba n ＝ 2a n ＝1＋ a 2n －12n － 1＝ 7＋33，∴n － 2＝－ 1 或b 1＋ b 2n －1 ＝＝＝ n －2 分析： b n 2b nT 2n －12n － 4n － 21 或 3 或 11 或 33，∴n ＝ 1 或 3 或 5 或 13S n ＝ T n ＋45中分母为零，所以舍 或 35.当 n ＝3 时， T nn －3去．2． A分析： 由 a 1， a 3， a 13 成等比数列，得 a 32＝ a 1a 13? (a 1＋ 2d)2＝ a 1(a 1 ＋12d)? 4d 2＝2S n ＋ 16 n 2＋ 8 ＝ (n ＋1) ＋ 9－ 8a 1 d.由于 d ≠ 0，所以 d ＝2a 1＝ 2，S n ＝ n 2，a n ＝ 2n －1，进而＝ n ＋1a n ＋ 3 n ＋ 12≥ 2n ＋ 1 × 9 －2＝ 4，当且仅当 n ＝ 2 时取等号．应选 A.n ＋ 13．－1分析： 由已知，得 a n ＋1 ＝S n ＋1－ S n ＝ S n ＋ 1·S n ，两边同时除以－ S n ＋ 1·S n ，得1nS n ＋1 － 1＝－ 1，故数列 1 是以－ 1 为首项，－ 1为公差的等差数列．则1＝－ 1－( n － 1)＝－ n. S n S nS n1 所以 S n ＝－ n .4． C 分析： 当 n ＝ 1 时， a 1＝1.当 n ≥ 2 时， a n －1＋ S n －1＝1，得 a n － a n － 1＋ a n ＝ 0，即2n ＝a n －12a.∴数列{ a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．2212× 1－ ∴S n ＝11－ 21∴S n ∈ 2，1.12n1 n＝1－2.5． 6 分析： 设公比为 q ，则 q 3＝a 5＝ 27.所以 q ＝3.由 25(a 1＋ a 3)＝ 1，得 25(a 1＋ a 1·32) a 23n －1 3n － 1＝1，解得 a 1＝ 1.则 a n ＝ a n ≤ 1， ≤ 1， 250 .则要使 R n 获得最小值， 必有 即 250 所250 a n ＋ 1 3n>1 ， 250>1，以 250<3 n ≤ 750，解得 n ＝ 6.6． A 分析： 由题意，得数列以下：1， 1,2， 1,2,4，1＋ 2＋ ＋k ＝ k k ＋ 1则该数列的前 项和为2k k ＋ 1＝ 1＋ (1＋ 2)＋ ＋ (1＋2＋ ＋2 k k 1 － k － 2.S)＝2＋2k k ＋ 11,2， ，2k要使 >100，有 k ≥ 14，此时 k ＋ 2<2k ＋1.所以 k ＋ 2 是以后的等比数列2＋1的部分和，即 k ＋ 2＝ 1＋2＋ ＋ 2t－1＝ 2t －1.所以 k ＝2t － 3≥ 14，则 t ≥ 5，此时 k ＝ 25 － 3＝ 29.对应知足的最小条件为 N ＝ 29× 30440.应选 A.＋ 5＝ 21 17． 解： (1) 由题意，得 a 2＝ 2， a 3＝ 4.(2)由 a 2n － (2a n ＋ 1－ 1)a n － 2a n ＋1＝ 0，得2a n ＋ 1(a n ＋ 1)＝ a n (a n ＋ 1)． 由于 { a n } 的各项都为正数，所以a n ＋ 1 1 a n＝ .2故 { a n } 是首项为 1，公比为 1的等比数列．21所以a n＝2n － 1.8． 解： (1) 设{ a n } 的公差为 d ，则有4a 1＋ 6d ＝ 4 2a 1＋ d ，a 1＋ 2n －1 d ＝ 2 a 1＋ nd － 3，a 1＝ 1， 解得d ＝ 2.故 a n ＝ a 1＋ (n －1)d ＝2n － 1.1 1 ＋ a2 b 2＋ ＋ a n n ＝ 3－ 2n ＋3， ①(2)a b b 2 n当 n ＝1 时， a 1b 1＝ 1，所以 b 1＝ 1 .2 2当 n ≥2 时， a 1 1＋ a 2 2＋ ＋a n －1 n － 1＝ 3－b b b①式减去②式，得 a nn ＝ 2n － 1. b2 n2n ＋ 1 2n －1 .②1求得 b n ＝2n ，易知当 n ＝ 1 时也建立， 所以数列 { b n } 为等比数列．11 n21－21 n其前 n 项和 T n ＝ b 1＋ b 2 ＋ ＋ b n ＝1 ＝1－2 .1－ 29． 解： (1) ∵a n ＋1＝ S n ＋ 2，∴a n ＝ S n － 1＋ 2(n ≥ 2)．两式作差，得 a n ＋1 －a n ＝ S n － S n － 1＝ a n .a n ＋ 1∴a n ＋1＝2a n ，即 a n ＝ 2(n ≥2)．a 2又当 n ＝ 1 时， a 2＝S 1＋2＝ 4，∴ ＝ 2 建立．a 1∴数列{ a n } 是公比为 2，首项为 2 的等比数列． ∴a n ＝ a 1qn － 1＝ 2n (n ∈N * )．(2)由 (1) ，可得 b n ＝ log 2a n ＝ n. ∴1＝1 ＝ 1－ 1 . b n b n ＋ 1 n n ＋ 1 n n ＋ 11 1 1 1 1 1 ∴T n ＝ 1－2 ＋2－ 3 ＋ ＋ n －n ＋ 1 ＝ 1－ 1 ＝ n . n＋ 1 n ＋110． 解： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q. 由已知 b 2＋ b 3＝ 12，得 b 1( q ＋q 2)＝ 12. 由于 b 1＝2，所以 q 2 ＋ q － 6＝ 0. 又由于 q>0，解得 q ＝ 2.所以 b n ＝ 2n .由 b 3＝ a 4－ 2a 1，可得 3d － a 1＝ 8.①由 S 11＝11b 4，可得 a 1＋ 5d ＝16.②联立①②，解得 a 1 ＝1， d ＝ 3.由此可得 a n ＝ 3n － 2. n ＝ 2n所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n － 2，数列 { b nb } 的通项公式为 . (2)设数列 { a 2n b 2n －1 } 的前 n 项和为 T n ， 由于 a 2n ＝ 6n －2， b 2n － 1＝ 2×4n －1，所以 a 2n 2n － 1＝ (3n － 1)×4n.b故 T n ＝ 2× 4＋ 5×42＋8× 43＋ ＋ (3n － 1)× 4n ，4T n ＝ 2×42＋5× 43＋ 8×44＋ ＋ (3n － 4)× 4n＋ (3n － 1)× 4n ＋ 1，上 述 两 式 相 减 ， 得 － 3T n ＝ 2× 4 ＋ 3×42 ＋ 3× 43 ＋ ＋ 3× 4n － (3n － 1)×4n ＋1 ＝12× 1－ 4n－ 4－ (3n － 1)×4n ＋1＝－ (3n － 2)×4n ＋ 1－ 8.1－ 4得 T n ＝3n － 2× 4n ＋1＋8. 33所以数列 { a 2n b 2n － 1} 的前 n 项和为3n － 2× 4n ＋1＋ 8. 33。

专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六 立体几何第 1课时1．D 分析： 由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析： 几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析： 由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析： 如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析： 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析： 如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析： 由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析： 设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析： 依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半 径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析： 方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点， 球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析： 延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析： 由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析： 直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体 ＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析： 取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得 ＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝ ＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明： 在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解： 以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0， 故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。

阶段检测卷 (四)(不等式 )时间： 50 分钟 满分： 100 分一、选择题：本大题共 6 小题，每题 6 分，共 36 分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．x ＋ 3y ≤ 3，1． (2017 年新课标Ⅰ)设 x ， y 知足拘束条件 x － y ≥1，则 z ＝ x ＋ y 的最大值为 ( )y ≥ 0，A ．0B ．1C ．2D ． 32x ＋ 3y － 3≤ 0，2． (2017 年新课标Ⅱ )设 x ， y 知足拘束条件 2x － 3y ＋ 3≥ 0， 则 z ＝2x ＋ y 的最小值是y ＋ 3≥0，()A ．－ 15B ．－ 9C ．1D ．91 ≥ a 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()3．当 x>1 时，不等式 x ＋x － 1A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ )C ．[3，＋∞ )D ． (－∞， 3] 4．某辆汽车购买时的花费是 15 万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5万元． 年维修养护花费第一年 3000 元，此后逐年递加 3000 元，则这辆汽车报废的最正确年限 (即便用多少年的年均匀花费最少)是 ()A ．8 年B ．10 年C ．12 年D ．15 年x ＋ y －3≥ 0，5．若平面地区 2x － y － 3≤ 0， 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直x － 2y ＋ 3≥ 0线间的距离的最小值是()3 5 A.B.2 532C. 2D. 56． (2017 年山东 )若 a>b>0 ，且 ab ＝ 1，则以下不等式建立的是( )1 bA ． a ＋ < a <log 2(a ＋ b) b 2b1 B. a <log 2(a ＋ b)<a ＋b21 <log 2(a ＋ b)< bC ．a ＋ ab 2 1 bD ． log 2(a ＋ b)< a ＋ b <2a二、填空题：本大题共4 小题，每题 6 分，共 24 分，把答案填在题中横线上．x≥0，7．(2013 年纲领 )记不等式组x＋3y≥ 4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)3x＋ y≤ 4与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 ________．8．定义运算“ ?”： x?y＝x2－ y2(x， y∈R， xy≠ 0)．当 x>0， y>0 时， x?y＋ (2y)?x 的最xy小值是 ________．9．已知 x， y∈R且知足 x2＋ 2xy＋ 4y2＝ 6，则 z＝ x2＋ 4y2的取值范围为 ________．n 是数列n n *恒建立，则n－ 1 n＋ n－ 1对全部n∈N10．已知 S 2 的前 n 项和，若不等式 |λ＋1|<S 2λ的取值范围是__________ ．三、解答题：本大题共 3 小题，共 40 分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(12 分 )桑基鱼塘是某地一种独具地方特点的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购买一块1800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(暗影部分X6- 5-2)栽种桑树，池塘四周的基围宽均为2 米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用 x 表示 S；(2)当 x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．图 X6- 5-212．(12 分 )某玩具生产企业每日计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时．若生产一个卫兵可获收益 5 元，生产一个骑兵可获收益 6 元，生产一个伞兵可获收益 3 元．(1)试用每日生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每日的收益ω(单位：元)；(2)如何分派生产任务才能使每日的收益最大，最大收益是多少？mx13． (14 分)已知函数f(x)＝x2＋n(m，n∈R) 在 x＝ 1 处取到极值 2.(1) 求 f(x)的分析式；a 7(2) 设函数 g(x)＝ ln x＋x.若对随意的x1∈R，总存在 x2∈ [1，e]，使得 g(x2) ≤ f(x1) ＋2，求实数 a 的取值范围．阶段检测卷 (四)1．D分析：可行域如图D190，目标函数z＝ x＋ y 经过 A(3， 0)时最大，故z max＝ 3＋ 0 ＝3.应选 D.图D1902． A 分析：绘制不等式组表示的可行域 (如图 D191)，目标函数即 y＝－ 2x＋z，此中 z 表示斜率为 k＝－ 2 的直线系与可行域有交点时直线的截距，数形联合可得目标函数在点B(－ 6，－ 3)处获得最小值 z＝－ 12－ 3＝－ 15.应选 A.图 D1913． D15＋ 1.5n＋ 0.3n＋n n－ 1× 0.34．B 分析：汽车使用 n 年均匀花费为 2 3n＋ 1.65≥ 2n ＝15＋15× 3nn 20 15 3n 2 2n 20＋ 1.65＝ 4.65(万元 ) ，当且仅当n ＝20， 3n ＝300， n ＝ 100， n＝ 10，即 n＝ 10 时“＝” 建立，故这辆汽车报废的最正确年限为10 年．x－ 2y＋3＝ 0，5． B 分析：画出不等式的平面地区如图D192 ，则得 A(1,2) ．则x＋ y－ 3＝ 0.2x－ y－ 3＝ 0，得 B(2,1)．x＋ y－ 3＝ 0.由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即|AB|1 2 2＋ 2 1 2＝ 2. B.图 D192b6．B 分析：方法一，由于 a>b>0，且 ab ＝ 1，因此 a>1，0<b<1. 则2a <1 ，log 2 (a ＋ b)>log 22 ab1 1 1＝ 1,2a ＋ b >a ＋ b >a ＋ b? a ＋ b >log 2(a ＋ b)．应选 B.1 b 15 1方法二，取 a ＝2， b ＝ 2，2a＝ 8， log 2( a ＋ b)＝ log 22∈(1,2) ， a ＋ b ＝ 4.应选 B.1 7. 2，4 分析： 如图 D193 ，将点 A(0,4)， C(1,1)分别与点 B(－ 1,0)求斜率，得最小值为12，最大值为4.图 D193x 2－ y 22y 2－ x 24y 2－ x 28. 2 分析： 由新定义运算知， x?y ＝ xy ， (2y)?x ＝ 2yx ＝ 2xy .2 － y 2 2 2 2 ＋2y 2 2 2x4y －xx ≥ 2 x ·2y2 2xy由于 x>0，y>0 ，因此 x?y ＋(2y)?x ＝ ＋2xy ＝＝ ＝ 2.xy 2xy 2xy 2xy 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号．因此 x?y ＋ (2y)?x 的最小值是2.x 2＋ 4y2x 2＋ 4y2.∴x 2＋ 9． [4,12] 分析： ∵2xy ＝ 6－ (x 2＋ 4y 2)，而 2xy ≤2 ，∴6－ (x 2＋ 4y 2)≤ 24y 2 ≥ 4(当且仅当x ＝ 2y 时取等号 )．又∵(x ＋ 2y)2＝ 6＋2xy ≥ 0，即 2xy ≥ － 6.∴z ＝ x 2＋ 4y 2＝ 6－2xy ≤ 12.综上所述， 4≤x 2＋ 4y 2≤ 12.10．－3<λ<11 1 1 11 1＋分析： 由 S n ＝ 1＋ 2× ＋ 3×2＋ ＋ (n － 1) · ＋ n ·， S n ＝1×222n－ 22n－ 1222× 11111 1 ＋ ＋ 1 1n ＋ 22＋＋ (n － 1)· 1＋ n ·n ，两式相减，得S n ＝ 1＋ ＋ 2 n－ n ·n ＝ 2－n .所2n222 21222－2 －以 S n ＝ 4－n ＋2.于是由不等式 |λ＋1|<4－ 2 对全部 n ∈N * 恒建立，得 |λ＋ 1|<2.解得－ 3<λ<1.n1n 12 －2－x － 611． 解： (1)由题图知， 3a ＋ 6＝ x ，∴a ＝3.1800 1800则总面积 S ＝x － 4 ·a ＋ 2ax － 65400x － 65400＝ ax － 16 ＝3x－1610 80016x＝ 1832－x ＋ 3 ，10 800 16x即 S ＝1832－x ＋ 3 (x ＞ 0)． (2)由 S ＝ 1832－ 10 800＋ 16x ，x 3 10 800 16x 得 S ≤1832－ 2 x·3 ＝ 1832－ 2×240 ＝ 1352.10 800 16x当且仅当 x ＝ 3 ，此时， x ＝ 45.即当 x 为 45 米时， S 最大，且 S 最大值为 1352 平方米．12． 解： (1) 依题意每日生产的伞兵个数为 100－ x －y ，因此收益 ω＝ 5x ＋ 6y ＋ 3(100 － x －y)＝ 2x ＋ 3y ＋ 300(x ，y ∈N )．5x ＋7y ＋ 4 100－ x － y ≤ 600，(2)拘束条件为100－ x － y ≥ 0，x ≥ 0，y ≥ 0， x ，y ∈N ，x ＋ 3y ≤ 200，整理，得x ＋y ≤ 100，x ≥0， y ≥ 0，x ， y ∈N .目标函数为 ω＝ 2x ＋3y ＋ 300，作出可行域如图 D194 ，图 D194作初始直线 l 0： 2x ＋ 3y ＝0，平移 l 0，当 l 0 经过点 A 时， ω有最大值，x ＋ 3y ＝ 200， x ＝ 50， 由得x ＋ y ＝100 y ＝ 50.因此最优解为 A(50,50) ，此时 ωmax ＝ 550 元．故每日生产卫兵50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时收益最大，且最大收益为550 元．222m x ＋ n － 2mx－ mx ＋ mn13． 解： (1) f ′ (x)＝2＋ n 2 ＝22.xx ＋ n由 f(x) 在 x ＝ 1 处取到极值 2，得 f ′ (1) ＝0， f(1) ＝ 2.mn － m1＋ n 2＝ 0， m ＝4， 即解得m＝ 2， n ＝ 1.1＋ n经查验，当 m ＝ 4， n ＝1 时， f(x)在 x ＝ 1 处获得极值． 故 f(x) ＝4x.x 2 ＋1(2)由 (1) 知， f(x)的定义域为 R ，且 f(－ x)＝－ f(x)． 故 f(x) 为奇函数，且 f(0)＝ 0.当 x ＞ 0 时， f(x)＞ 0,0<f(x)＝4≤ 2，1x ＋ x当且仅当 x ＝ 1 时取 “ ＝ ”；41 <0，当 x<0 时，－ 2≤ f(x)＝－－ x ＋－ x当且仅当 x ＝－ 1 时，取 “＝ ”．故 f(x) 的值域为 [ － 2,2] ．进而 f(x 1 )＋ 7≥ 3.2 2依题意有 g(x)最小值 ≤ 32.a函数 g(x)＝ ln x ＋ x 的定义域为 (0 ，＋ ∞)，1 a x －ag ′ (x)＝ x －x 2＝ x 2 .3①当 a ≤ 1 时， g ′ (x)＞ 0，函数 g(x)在 [1，e]上单一递加，其最小值为 g(1) ＝ a ≤ 1<2， 切合题意；②当 1< a<e 时，函数 g(x)在 [1， a)上有 g ′ (x)<0 ，单一递减，在 (a ， e]上有 g ′ (x)>0 ，单一递加，因此函数g(x)的最小值为g(a)＝ ln a ＋ 1.由3ln a ＋1≤ 2，得 0<a ≤ e.进而知 1<a ≤e 切合题意；③当a ≥ e 时，明显函数g(x)在 [1， e]上单一递减，其最小值为a3g(e)＝1＋e ≥2>2，不符合题意．综上所述，实数 a 的取值范围为 a ≤ e.。

阶段检测卷 (二)(三角函数、平面向量与解三角形)时间： 50 分钟 满分： 100 分一、选择题：本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．以下函数中，既是偶函数又在区间 (0， π)上单一递减的是 ()A ． y ＝ sin xB ．y ＝ cos xC ．y ＝ sin 2xD ． y ＝ cos 2x2．已知倾斜角为 θ的直线与直线 x － 3y ＋ 1＝ 0 垂直，则2＝ ()2 23sin θ－ cos θ 10 10A.3 B ．－31010C.13 D ．－ 133．已知 O ，A ，B 是平面上的三个点，直线 → → →AB 上有一点 C ，知足 2AC ＋ CB ＝ 0，则 OC＝()→ →→ → A ．2OA － OB B ．－ OA ＋ 2OB 2 → 1 → D ．－ 1 → 2 →C. OA － OB 3 OA ＋ OB3 3 34．如图 N2- 1，点 P 是函数 y ＝ 2sin(ωx＋ φ)(x ∈ R ，ω>0)的图象的最高点， M ，N 是图象→ →与 x 轴的交点，若 PM ·PN ＝ 0，则 ω＝ ( )图 N2-1πππA ．8 B.8C.4D.25．设函数 f( x)＝ sin 2x － π的图象为 C ，下边结论中正确的选项是 ()3A ．函数 f(x) 的最小正周期是 2ππ 对称 B ．图象 C 对于点 ， 06π C ．图象 C 可由函数 g(x)＝sin 2x 的图象向右平移 个单位获得3D ．函数 f(x) 在区间 －π， π上是增函数 12 26．如图 N2- 2，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，海上救生艇在 A 处获悉后，立刻 测出该船在方向角 45°方向，相距 10 海里的 C 处，还测得该船正沿方向角 105°的方向以 9 海里 /时的速度行驶．若救生艇立刻以 21 海里 /时的速度前去救援，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为 ()图 N2-2A. 1小时 B.1小时5 3C. 2小时D.2小时537．函数 f(x) ＝Asin(ωx＋φ) 此中 A>0， |φ|<π的图象如图 N2-3，为了获得 g(x)＝ cos 2x － π22 的图象，只要将 f(x)的图象 ( )图 N2-3πA ．向左平移 3个长度单位π B ．向右平移 3个长度单位π C ．向左平移 6个长度单位πD ．向右平移 6个长度单位8． (2017 年新课标Ⅱ )已知△ ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则→ → → ) PA ·(PB ＋PC)的最小值是 (3A ．－ 2B ．－ 24C ．－ 3D ．－ 13 小题，每题 6 分，共 18 分，把答案填在题中横线上．二、填空题：本大题共 sin 47 －°sin 17 cos ° 30 ° 9. cos 17 ° ＝ ________.10．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为 315，1，则 a 的值为 ____________ ．b －c ＝ 2， cos A ＝－ 4ACAB BC 211．已知在△ ABC 中， BC 边上的高与 BC 边长相等，则 AB ＋AC ＋AB ·AC 的最大值是________． 2 小题，共 34 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共12． (14 分 )(2017 年广东肇庆一模 )△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，已知a(sin A－ sin B)＝ (c－ b)(sin C＋ sin B)．(1)求角 C；(2)若 c＝ 7，△ ABC 的面积为 33，求△ ABC 的周长．213． (20 分)(2017 年广东调研 )已知在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c，且 2acos2C＋ 2ccos Acos C＋ b＝ 0.(1)求角 C 的大小；(2)若 b＝ 4sin B，求△ ABC 面积的最大值．阶段检测卷 (二)1．B 分析：A ，C 均为奇函数； y ＝cos 2x 在 0， π 上单一递减， 在 π2 ，π上单一递加． 故2选 B.2． C 分析： 直线 x －3y ＋ 1＝ 0 的斜率为 1，所以与此直线垂直的直线的斜率 k ＝－ 3.∴3 tan θ＝－ 3.∴ 2 22 sin 2θ＋ cos 2θ 2 tan 2θ＋ 12 ＝2 2 ＝2.把 tan θ＝－ 3 代入，得原式＝ 3sin θ－ cos θ 3sin θ－ cos θ 3tan θ－ 122×[ －3 ＋1]103． A→ → → → → → → → →分析： 由 2AC ＋ CB ＝ 0，得 2OC －2OA ＋ OB － OC ＝ 0.故OC ＝ 2OA － OB.4． C 分析： 由题意，可得点 P 到 MN 的距离为2， PM ⊥PN ，所以△PMN 为等腰直角π三角形．所以 MN ＝2× 2＝ 4.所以函数的周期为8，即 ω＝ 4.应选 C.2πππ5．B分析： f(x)的最小正周期 T ＝ 2＝ π.故 A 错；∵f 6 ＝0，∴图象 C 对于点 6，0 对称．故 B 对；∴图象 C 可由函数 g(x)＝ sin2x 的图象向右平移 π C6个单位获得．故 错；函数π 5ππ 5π π π f(x)的单一递加区间是－ 12＋ k π，12＋ k π(k ∈Z )，当 k ＝ 0 时， x ∈－ 12，12 － 12，2 ，∴函数 f( x)在区间 － π，π上是先增后减．故 D 错．12 26． D 分析： 设在点 B 处相遇，所需时间为 t 小时．在△ ABC 中，∠ACB ＝ 120 °， AC ＝10，AB ＝ 21t ，BC ＝ 9t.由余弦定理， 得(21t)2＝ 102＋ (9t)2 －2× 10× 9t × cos 120 .°整理， 得 36t 22 52 －9t －10＝ 0.解得 t ＝ 3或－ 12(舍去 )．故救生艇与呼救船在 B 处相遇所需的最短时间为 3小时．T 7π π T ＝π， 2π 7π7π 7．D 分析： 由图象知 A ＝ 1，4＝? ω＝ π? ω＝ 2，f 12 ＝－ 1 ? 2×12＋ 12－3 3π π π π πφ＝ 2 ＋ 2k π，|φ|<2，得 φ＝ 3.∴f(x)＝sin 2x ＋3 .为了获得 g(x)＝ cos 2x － 2 ＝sin 2x 的图象，所以只要将 f(x)的图象向右平移 π D. 6个长度单位即可．应选8．B 分析： 以 BC 的中点 D 为原点， BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直均分线 AD 为 y轴，成立平面直角坐标系如图D189 ，图 D189则 A(0， 3)，B(－ 1,0)， C(1,0)．设 P(x ， y)．→ → →所以 PA ＝ (－ x ， 3－ y)，PB ＝ (－1－ x ，－ y)，PC ＝(1 －x ，－ y)，→ → → 2 23 2 3 3 则 PA ·(PB ＋ PC)＝ 2x － 2y( 3－ y)＝ 2x ＋ 2 y － 2 －2≥ － 2.3 3 当点P0，2 时，所求最小值为－ 2.应选 B.1 分析： sin 47 －°sin 17 cos ° 30 °9.2 cos 17 °＝ sin 30°＋ 17°－ sin 17 cos ° 30 °cos 17 °＝ sin 30 cos ° 17 ＋°cos 30 sin ° 17 －°sin 17 cos ° 30 °cos 17 °sin 30 cos ° 17 °1 ＝cos 17 ° ＝ 2.215 △＝ 1 1510． 8 分析： 由于 0<A<π，所以 sin A ＝ 1－ cos A ＝ 4 .又 S ABC 2bcsin A ＝ 8 bcb －c ＝2， b ＝ 6，＝3 15，∴bc ＝ 24.解方程组 得由余弦定理， 得 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A bc ＝ 24 c ＝ 4.＝ 62＋ 42－ 2× 6×4× －14 ＝ 64.所以 a ＝ 8.11． 2 2 分析： BC 边上的高与 BC 边长相等，依据面积公式，2 1得 2BC ＝ 2AB ·AC ·sin A ，1即 BC 2＝ AB ·AC ·sin A.222 2AC ＋AB ＋BCAC ＋ AB ＋ BC＝AB ·ACAB AC AB ·ACBC 2＋ 2AB ·AC ·cos A ＋ BC 2＝AB ·AC2AB ·AC ·sin A ＋2AB ·AC ·cos A＝AB ·ACπ≤2 2. ＝ 2sin A ＋2cos A ＝ 2 2sin A ＋4 12． 解： (1) 由已知以及正弦定理，得 a(a － b)＝ (c － b)(c ＋ b)， 即 a 2＋ b 2－ c 2＝ ab.所以 cos C ＝a 2＋b 2－c 2 12ab＝2.π又 C ∈(0， π)，所以 C ＝3. (2)由 (1) 知 a 2＋ b 2－ c 2＝ ab ， 所以 (a ＋ b)2－ 3ab ＝ c 2＝ 7.13 3 3又 S ＝ 2ab ·sin C ＝ 4 ab ＝ 2 ，所以 ab ＝ 6.2所以 (a ＋ b) ＝ 7＋ 3ab ＝ 25.即 a ＋ b ＝ 5.13．解： (1) ∵2acos2C＋ 2ccos Acos C＋b＝ 0，∴2sin Acos2C＋2sin Ccos Acos C＋ sin B＝0.∴2cos Csin(A＋C)＋ sin B＝0.∴2cos Csin B＋ sin B＝ 0.∵0°<B<180°，∴sin B≠ 0.∴cos C＝－12.∴C＝ 120 °. bsin C＝2 3.(2)依据 (1) 并由正弦定理，得c＝sin B由余弦定理，得(23)2＝ a2＋ b2－ 2abcos 120 ＝° a2＋ b2＋ ab≥3ab.1∴ab≤ 4.∴S△ABC＝2absin C≤3.∴△ABC 面积的最大值为 3.。

《南方新讲堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题四函数、不等式中的恒建立问题Word 含分析四 函数、不等式中的恒建立问题x 22x 5 (x ≤ 1),1．(2017 年广东揭阳二模 )已知函数 f(x)＝14 g(x)＝ |A － 2| sin · x(x ∈ R )，(x 1),log 1 x34 若对随意的 x 1，x 2∈ R ，都有 f( x 1)≤ g(x 2)，则实数 A 的取值范围为 ()A. －∞， 9B.7，＋∞447， 9D. －∞，7 9，＋∞C. 444∪42．(2016 年河北衡水调研 )设过曲线 f(x)＝－ e x － x(e 为自然对数的底数 )上随意一点处的 切线为 l 1，总存在过曲线 g(x)＝ ax ＋2cos x 上一点处的切线 l 2，使得 l 1 ⊥l 2，则实数 a 的取值 范围为 ( )A ． [－ 1,2]B ． (－ 1,2)C ． [ －2,1]D ． (－ 2,1)3． (2014 年辽宁 )当 x ∈ [ －2,1] 时，不等式 ax 3－ x 2＋ 4x ＋ 3≥ 0 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()A ．[－5，－ 3] B. －6，－98C ．[ －6，－ 2]D ． [－ 4，－ 3]24．设 0＜a ≤ 1，函数 f(x)＝ x ＋a，g(x)＝ x －ln x ，若对随意的 x 1，x 2 ∈[1，e]，都有 f(x 1)≥ g(x 2)x建立，则实数 a 的取值范围是 ________．5． (2015 年新课标Ⅰ)设函数 f(x)＝ e 2x － aln x.(1)议论 f(x)的导函数f ′ (x)零点的个数；2(2)证明：当a ＞ 0 时， f(x)≥ 2a ＋aln a .6．已知 f(x)＝ 2ax － b＋ ln x 在 x ＝1 与 x ＝1处都获得极值．x2(1)求 a ， b 的值；1， 2 ，总存在1， 2 ，使得(2) 设函数 g(x)＝ x 2－ 2mx ＋ m ，若对随意的x 1∈ x 2∈22 g(x 1)≥ f(x 2)－ ln x 2，务实数 m 的取值范围．7．已知函数f(x) ＝ax2＋ ln x(a∈R )．1时，求 f(x)在区间 [1， e]上的最大值和最小值；(1)当 a＝2(2)假如函数 g( x)，f1(x)，f2( x)，在公共定义域 D 上，知足 f1( x)<g(x)<f2 (x)，那么就称 g(x)为 f1(x)，f2(x)的“活动函数”．已知函数 f1(x)＝ a－1 2 2 1 2＋ 2ax. 2x ＋ 2ax＋ (1－ a )ln x，f2(x)＝x2若在区间 (1，＋∞ )内，函数 f(x)是 f1( x)， f2(x) 的“活动函数”，务实数 a 的取值范围．22 38． (2014 年天津 )已知函数f(x) ＝x －3ax (a＞0) ，x∈R.(1)求 f(x)的单一区间和极值；(2)若对于随意的 x1∈ (2，＋∞ )，都存在 x2∈ (1，＋∞ ) ，使得 f(x1) ·f(x2)＝ 1.务实数 a 的取值范围．．专题四 函数、不等式中的恒建立问题1．C 分析： 对随意的 x 1，x 2∈R ，都有 f(x 1)≤g(x 2)? f(x)max ≤ g(x) min .注意到 f(x)max ＝ f(1) ＝－ 1 1 1 ? 7 9 .又 g(x)＝ |A －2|sin x ≥－ |A － 2|，故－ |A － 2|≥ － ? |A － 2|≤ 4 ≤A ≤ .4 4 4 42．A 分析： 由题意，得 ? x 1∈R ， ? x 2∈R ，使得 (－ex 1－ 1)(a －2sin x 2)＝－ 1，即函数 y＝ x 1 的值域为函数 y ＝ a － 2sin x 2 的值域的子集，进而 (0,1)? [a － 2，a ＋ 2]，即 a －2≤ 0， 1 e 1 a ＋ 2≥ 1? － 1≤ a ≤ 2.应选 A.3． C 分析： 对于 x 的不等式 ax 3－x 2＋ 4x ＋ 3≥ 0 可变形为 ax 3 ≥x 2－4x － 3.当 x ＝ 0 时， 0≥ － 3，故实数 a 的取值范围是x 2－ 4x － 3 恒建立， 记 f(x)＝ x 2－ 4x － 3 R ；当 x ∈(0,1] 时，a ≥ 3 x 3， x－ x 2＋ 8x ＋ 9 x ＋ 1 x － 9f ′ (x)＝ 4 ＝－ x 4>0 建立，故函数 f(x)单一递加， f(x)max ＝ f(1) ＝－ 6，故 a ≥ x － 2 x 2－ 4x －3x 2－ 4x － 3 － x 2＋ 8x ＋ 9 － 6；当 x ∈ 时， a ≤ x 3 恒建立，记 f(x)＝ x 3 ， f ′ (x)＝ 4＝－ 0xx ＋ 1 x － 94，当 x ∈[－ 2，－ 1)时， f ′ (x)<0 ；当 x ∈(－1,0)时， f ′ (x)>0. 故 f(x)min ＝ f(－ 1)＝－ x2，故 a ≤－ 2.综上所述，实数 a 的取值范围是 [ － 6，－ 2]．4．[ e － 2，1]a 2 x 2－ a 2分析： f ′ (x)＝1－ 2＝ 2 ，当 0＜ a ≤ 1，且 x ∈[1，e]时， f ′ (x)＞ 0，x x1∴f(x)在区间 [1，e]上是增函数， f(x 1 min ＝ f(1) ＝ 1＋ a 2) .又 g ′ (x)＝ 1－ x (x ＞ 0)，易求 g ′ (x)＞ 0，∴g( x)在区间 [1， e]上是增函数， g(x 2)max ＝ g(e)＝ e － 1.由条件知只要 f(x 1)min ≥ g(x 2)max .即 1＋a 2≥ e －1.∴a 2≥ e － 2.即 e － 2≤ a ≤ 1.5． (1) 解： f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )，f ′ (x)＝2e 2x－ax (x>0)．当 a ≤0 时， f ′ (x)>0 ， f ′ (x)没有零点；当 a>0 时，设 u( x)＝ e 2x ，v(x)＝－ax ，因为 u(x)＝ e 2x在区间 (0，＋ ∞ )内单一递加，v(x)＝－ a在 (0，＋ ∞ )内单一递加， x因此 f ′ (x)在 (0，＋ ∞) 内单一递加．a 1又 f ′ (a)>0 ，当 b 知足 0<b<4且 b<4时， f ′(b)<0，故当 a>0 时， f ′ (x)存在独一零点． (2)证明：由 (1) ，可设 f ′ (x)在区间 (0，＋ ∞) 内的独一零点为 x 0，当 x ∈(0，x 0)时，f ′ (x)<0 ； 当 x ∈(x 0，＋ ∞ )时， f ′ (x)>0.故 f(x) 在(0 ，x 0)上单一递减，在区间 (x 0，＋ ∞ )内单一递加，因此当 x ＝ x 0 时， f(x)获得最小值，最小值为 f(x 0)．2 x 0a因为 2 e － 0＝0，xa2 2 因此 f(x 0)＝2x 0＋ 2ax 0＋ alna ≥ 2a ＋alna.2故当 a>0 时， f(x)≥2a ＋ aln a .b 6． 解： (1) ∵f(x)＝ 2ax － x ＋ ln x ，b 1∴f ′ (x)＝ 2a ＋ x 2＋ x .b1∵f(x) ＝2ax － x ＋ ln x 在 x ＝ 1 与 x ＝2处都获得极值，12a ＋ b ＋ 1＝ 0，∴f ′ (1)＝ 0， f ′ 2 ＝ 0.∴2a ＋ 4b ＋ 2＝ 0.1解得 a ＝ b ＝－ 3.当 a ＝b ＝－1时，31f ′ (x)＝－ 2 1 1－ 2 x － 1 x － 2 .3－ 3x 2＋x ＝ 13x 2∴函数 f(x)在 x ＝ 1 与 x ＝2处都获得极值．∴a ＝ b ＝－13.2 11(2)由 (1) 知，函数 y ＝f(x)－ ln x ＝－ 3x ＋ 3x 在区间 2， 2 上单一递减，∴[f(x)－ ln x]min ＝ f(2) ＝－ 7.6 又函数 g(x)＝ x 2－2mx ＋m 图象的对称轴是 x ＝ m.1 ＝ g 1 11 ≥－ 7 1 .①当 m< 时， g(x)min 2 ＝ ，依题意有 4 6 建立，∴m< 2 4 212②当 ≤ m ≤ 2 时， g(x)min ＝ g(m)＝ m － m ，∴m － m2≥ － 76，即 6m 2－ 6m － 7≤ 0.3－ 51 3＋ 51 解得 6 ≤ m ≤ .611 3＋ 51 又∵ ≤m ≤ 2，∴ ≤ m ≤6 .22 ③当 m>2 时， g(x) min ＝ g(2) ＝ 4－3m ，∴4－ 3m ≥ －76.∴m ≤ 3118.又 m>2，∴m ∈?.综上所述， m ≤3＋ 51 .611 27． 解： (1) 当 a ＝ 2时，∵f(x)＝2x＋ ln x ，1x 2＋ 1∴f ′ (x)＝ x ＋ x ＝ x .对于 x ∈[1， e]，有 f ′ (x)>0 ，∴f(x) 在区间 [1， e]上为增函数．∴f max (x)＝f(e)＝ 1＋ e 2， f min ( x)＝ f(1)＝ 1 . 2 2(2)①在区间 (1，＋ ∞ )内，函数 f(x)是 f 1(x)， f 2(x)的“ 活动函数 ” ，则 f 1(x)<f(x)<f 2(x)．1 令 p(x)＝ f( x)－ f 2(x) ＝ a －2 x 2－ 2ax ＋ ln x<0，对 x ∈(1，＋ ∞ )恒建立，1 2 2且 h(x)＝ f 1 (x)－ f(x) ＝－ 2x ＋ 2ax － a ln x<0 对 x ∈(1，＋ ∞ )恒建立，12a －1 x 2－ 2ax ＋ 1x － 1 [ 2a － 1 x － 1] ∵p ′ (x)＝ (2a － 1)x －2a ＋ x ＝x＝x， (*)ⅰ )若 a>1，令 p ′ (x)＝ 0，得极值点x 1 ＝1， x 2＝1，22a － 1当 x 2>x 1＝ 1，即 1<a<1 时，在区间 (x 2，＋ ∞ )内有 p ′ (x)>0， 2此时 p(x)在区间 (x 2 ，＋ ∞ )内是增函数，而且在该区间上有p(x)∈(p(x 2)，＋ ∞ )，不合题意；当 x 2 1＝ 1，即 a ≥ 1 时，同理可知， p(x)在区间 (1，＋ ∞ )内，有 p(x)∈(p(1) ，＋ ∞ )，也<x不合题意；ⅱ )若 a ≤12，则有 2a － 1≤ 0，此时在区间 (1，＋ ∞ )内恒有 p ′ (x)<0 ，进而 p(x)在区间 (1，＋ ∞ )内是减函数 .要使 p(x)<0 在此区间上恒建立，1 1只要知足 p(1)＝－ a －2≤ 0? a ≥ － 2，1 1∴－ ≤a ≤ .222－ x 2＋ 2ax － a 2 － x － a 2<0， h(x)在区间 (1，＋ ∞ )内为减函 又∵h ′ (x)＝－ x ＋ 2a －a＝ ＝xx x数，11∴h(x)<h(1) ＝－ 2＋ 2a ≤ 0，∴a ≤ 4.综上所述，实数 a 的范围是 －1，12 4 .8． 解： (1) 由已知，有 f ′ (x)＝ 2x －2ax 2( a ＞0)．1令 f ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 0，或 x ＝ a .当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x1 (－∞，0)0，a f ′ (x) － 0 ＋f(x)0 因此 f(x)的单一递加区间是 10， a ；单一递减区间是 当 x ＝ 0 时， f(x)有极小值，且极小值 f(0) ＝ 0； 当 x ＝1时， f(x)有极大值，且极大值 f1＝12aa3a.1 1aa ，＋ ∞0 －13a 21(－ ∞ ，0)， a ，＋ ∞ .3(2)由 f(0)＝ f 2a ＝0 及 (1)知，3当 x ∈0， 2a 时， f(x)＞ 0；3当 x ∈2a ，＋ ∞ 时， f(x) ＜ 0.设会合 A ＝ { f(x)|x ∈(2，＋ ∞ )} ，会合 B ＝ 1x ∈1，＋ ∞ ， f x ≠ 0 .f x则 “ 对于随意的 x 1 ∈(2，＋ ∞ )，都存在 x 2 ∈(1，＋ ∞ )，使得 f(x 1 2) ·f(x )＝ 1”等价于 A? B. 明显， 0?B.下边分三种状况议论：33 3①当 2a ＞ 2，即 0＜ a ＜ 4时，由f2a ＝ 0 可知，0∈A ，而 0?B ，因此 A 不是 B 的子集．②当 1≤ 3≤ 2，即 3≤ a ≤32a 4 2时，有 f(2)≤ 0，且此时 f( x)在区间 (2，＋ ∞ )内单一递减，故A ＝ (－ ∞ ，f(2)) ，因此 A? (－ ∞ ，0)；由 f(1)≥ 0，有 f(x)在区间 (1，＋ ∞ )内的取值范围包括 (－ ∞， 0)，则 (－ ∞， 0)? B.因此 A? B.3 3③当 2a ＜ 1，即 a ＞ 2时，有 f(1)＜ 0，1， 0 ，A ＝ (－ ∞ ，f(2)) ，因此 A 不 且此时 f(x)在区间 (1 ，＋ ∞ )内单一递减，故 B ＝ f 1 是 B 的子集．3 3综上所述，实数 a 的取值范围是 4，2 .。