港澳台联考数学二轮复习试卷(含答案)——13直线

港澳台第二学期综合练习二(答案)姓名______________ 成绩 ___________一、本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列命题中，真命题的个数 B ①．存在四边相等的四边形不．是菱形 ②．1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数 ③．若,x y ∈R ，且2,x y +>则,x y 至少有一个大于1④．对于任意01,n n n n n N C C C ∈+++ 都是偶数A 4B 3C 2D 1 【答案】B【命题立意】本题考查命题的真假判断。

【解析】对于B,若21,z z 为共轭复数，不妨设bi a z bi a z -=+=21,，则a z z 221=+，为实数。

设di c z bi a z +=+=21,，则i d b c a z z )()(21+++=+，若21z z +为实数，则有0=+d b ，当c a ,没有关系，所以B 为假命题，选B. （2）已知a 是实数，i 1ia z +=-是纯虚数，(32)z i -对应的点在复平面中的位置 B（A ） 虚轴 （B ）第一象限 （C ）第四象限 （D ）实轴 （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 D（A ）1 （B ）53（C ） 3 （D ）2（4）42lim4x x →-=- A（A ）14（B ）14- （C ）4 （D ）4-（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 C （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）如图：在空间直角坐标系中有直三棱柱111A B C A B C -，12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1A B 夹角为（ A ）A. arccos5B.arccos(5- C. arccos 5π- D. arccos 5【答案】A.【解析】设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ， ),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴，55,cos 111111=>=<∴BC AB ，故选(7)设65432()1250279031257071004562f x x x x x x x =--+++- 则(3)f = B（A ） 230 （B ） 217 （C ） 214 （D ） 211(8) 点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为 （ C ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈答案C 2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标(9) 已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上，A B C ∆是边长为1的正三角形，S C 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ A ）()A 6()B6()C3()D 2【答案】A【解析】A B C ∆的外接圆的半径3r =，点O 到面ABC的距离3d ==,S C 为球O 的直径⇒点S 到面ABC的距离为23d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=另：1236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.(10) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100【答案】A【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以nn a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1100111011101312121111110110021=-=-++-+-=+a a a a ，选A.（11）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179xy-=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△A F K 的面积为 D（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（12）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 C（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年华侨、港澳、台联考高考数学模拟试卷（含解析）题号一二三总分得分一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合且，则( )A. B. C. D.2.已知复数，则的共轭复数( )A. B. C. D.3.已知向量，若，则( )A. B. C. D.4.不等式的解集为( )A. B.C. D.5.以为焦点，轴为准线的抛物线的方程是( )A. B. C. D.6.底面积为，侧面积为的圆锥的体积是( )A. B. C. D.7.设与是函数的两个极值点，则常数的值为( )A. B. C. D.8.已知函数若，则( )A. B. C. D.9.函数的反函数是( )A. B.C. D.10.设等比数列的首项为，公比为，前项和为令，若也是等比数列，则( )A. B. C. D.11.若双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为( )A. B. C. D.12.在，，，，，，，，中任取个不同的数，则这个数的和能被整除的概率是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.曲线在点处的切线的方程为．14.直线被圆所截得的弦长为．15.若，则______．16.设函数，且是增函数，若，则______．17.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．18.设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数．若，则______．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.本小题分记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．求；求．20.本小题分设是首项为，公差不为的等差数列，且，，成等比数列．求的通项公式；令，求数列的前项和．21.本小题分甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．求甲获胜的概率；设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．22.本小题分已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交于，两点，，四边形的面积为．求；求的方程．答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．化简集合，然后根据即可求出的值．【解答】解：，且，，解得．故选：．2.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：，则．故选：．3.【答案】【解析】解：，，．，，．故选：．由已知可得，计算即可．本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．4.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，属于基础题．根据绝对值的性质去掉绝对值，然后求解即可．【解答】解：，或，即或解得：或或，不等式的解集为．故选D．5.【答案】【解析】解：以为焦点，轴为准线的抛物线中，所以顶点坐标为焦点与准线与轴的交点的中点的横坐标为，即该抛物线的方程为：，故选：．由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．6.【答案】【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意可得，解得，，圆锥的高．圆锥的体积是．故选：．设圆锥的底面半径为，母线长为，由已知列式求得与，再由勾股定理求圆锥的高，然后代入圆锥体积公式求解．本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．由题意知和是导函数的方程的两个根，解方程即可得出结果．【解答】解：，由题意，知和是方程的两个根，所以有解得，，，故选A．8.【答案】【解析】解：函数，，函数的一条对称轴为，即或，故或．不妨时，时，不成立；当时，成立，故，故选：．由题意，可得函数的一条对称轴为，即或再检验选项，可得结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】【解析】解：由可得：，因为，所以，则，所以原函数的反函数为．故选：．根据的范围求出的范围，再反解出，然后根据反函数的定义即可求解．本题考查了求解函数的反函数的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由题意可知，，，，，若也是等比数列，，即，即，解得或舍去．故选：．由题意可知，，，，再结合等比数列的性质，即可求解．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由双曲线：的方程可得渐近线方程为，由题意可得，所以双曲线的离心率，故选：．由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出，的关系，再求离心率的值．本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．12.【答案】【解析】在，，，，，，，，中任取个不同的数，基本事件总数，，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，若要使选取的三个数字和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，这个数的和能被整除的不同情况有：，这个数的和能被整除的概率为．故选：．基本事件总数，，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，若要使选取的三个数字和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究在曲线上某点的切线方程，是基础题．求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线的点斜式方程得答案．【解答】解：由，得，，即曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，整理得：．故答案为：．14.【答案】【解析】【分析】本题考查弦长的求法，考查圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解，是基础题．圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，直线被圆所截得的弦长为．【解答】解：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离：，直线被圆所截得的弦长为：．故答案为：．15.【答案】【解析】解：由，得．故答案为：．由已知直接利用二倍角的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．16.【答案】【解析】解：函数，且，，，或，函数，且是增函数，，故答案为：．先利用指数幂的运算化简求出，再利用指数函数的单调性求解即可．本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算，属于基础题．17.【答案】【解析】解：如图所示，分别取、的中点、，由正三棱柱的性质可得、、，两两垂直，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，异面直线与所成角的大小为．故答案为：．通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，属中档题．18.【答案】【解析】解：由是定义域为的奇函数，可得；由是定义域为的偶函数，可得．若，则，又可得，即有．故答案为：．由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，属于基础题．19.【答案】解：，由正弦定理可得，，由余弦定理可得，，即，解得，．，，，．【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．根据的结论，以及正弦定理，即可求解．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．20.【答案】解：已知是首项为，公差不为的等差数列，又，，成等比数列，则，即，又，即，则；由可得：，则，则当为偶数时，，当为奇数时，，即．【解析】由已知条件可得：，求得，然后求通项公式即可；由可得：，则，然后分两种情况讨论：当为偶数时，当为奇数时，然后求和即可．本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了捆绑求和法，属基础题．21.【答案】解：由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，比赛四局且甲获胜的概率为，比赛五局且甲获胜的概率为，所以甲获胜的概率为．随机变量的取值为，，，则，，，所以随机变量的分布列为：则随机变量的数学期望为．【解析】由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；由题意可知的取值为，，，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．22.【答案】解：由对称性知，，不妨取点在第一象限，设，则，解得，，因为四边形的面积为，所以，所以．设椭圆的方程为，由知，，代入椭圆方程有，又，所以，，故椭圆的方程为．【解析】由对称性知，不妨取点在第一象限，先求得点的坐标，再利用四边形的面积为，可得的值；设椭圆的方程为，代入点的坐标，并结合，求得，的值，即可．本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

绝密★启用前2013年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选出的字母填在题后的括号内。

1.若多项式32x x c -+有因式1,x -则c =______A.–3B.–1C.1D.32.z=-i 22设，z=-i 22设，则│z │=_____A.2B.1C.D.3.斜率为k (k >0)的直线沿x 轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则k=____A.53 B.43 C.34 D.354.设f （x ）=x 2–2x –3在(a,+∞)上为增函数.则a 的取值范围为_____A.[1,+∞)B.(–∞,3]C.[–1,+∞)D.(–∞,–3]5.已知tan x =221aa -，其中常数()0,,cos =___a x π∈则A ．221a a -+ B.221a a + C.2211a a -+ D.2211a a -++6.3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有______A.48种B.36种C.24种D.18种7.已知向量,OA OB 不共线，1,3BM BA = 则向量OM =_____A.1433OA OB -B.2133OA OB +C.1233OA OB -D.1233OA OB+8.焦点为(2，0)，准线为x=–1的抛物线方程为_____A.263y x =-+B.263y x =+C.263y x =--D.263y x =-9.等比数列的前n 项和,,,nn s ab c a b c =+其中为常数，则______A.a+b=0B.b+c=0C.a+c=0D.a+b+c=010.3种颇色的卡片各5张，从中随机抽取3张，则3张卡片颜色相同的概率为____A.691 B.1291 C.8273 D.1627311.设函数f （x ）=cos(sin x ).则下列结论正确的是_____A.f （x ）的定义域是[–1,1]B.f （x ）的值域是[–1,1]C.f （x ）是奇函数D.f （x ）是周期为π的函数12.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A,B,C,D 为项点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的大小为_____A.30。

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，√312√32π3π3A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，→→→→→A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．C．-D．-1对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）121212答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2A．2B．1C．D．A．2B．（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．12√2√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x答案：B 解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC故答案为：．√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→4√24（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．（1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；（2）记X为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求E（X）．答案：（1）0.1；（2）50．解析：（1）利用概率的性质求解；（2）利用二项分布的期望公式求解．解答：解：（1）设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，则P（A）=0.6+0.5-1=0.1；（2）因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6-0.1=0.5，A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2则X～B（100，0.5），所以E（X）=100×0.5=50．（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．√312√32π3π3π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．D．-1解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）1212C．-A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．12答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4A．2B．1C．D．A．2B．解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，12√2A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）答案：B解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→44（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）记数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1=4，=（-1）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．a n +14（n +1）2n -1S n -1S n 2n -1答案：（1）证明见解答；（2）a n =4n•3n-1，n∈N *．解析：（1）根据数列的和与项的转化关系，等比数列的定义，即可证明；（2）根据数列的和与项的转化关系，分类讨论，即可求解．解答：解：（1）证明：∵=（-1），∴-=（-1），∴（2n-1）S n+1-（2n-1）S n =4（n+1）S n -4（n+1），∴（2n-1）S n+1=（6n+3）S n -4（n+1），∴（2n-1）（S n+1-1）=（6n+3）S n -（6n+3），∴（2n-1）（S n+1-1）=3（2n+1）（S n -1），∴=3（），又=a 1-1=3，∴数列{}是以首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得=，∴-1=（2n -1）×①，当n≥2时，-1=（2n -3）×②，①-②可得=（2n -1）×-（2n -3）×=4n•3n-1（n≥2），又a 1=4，也满足上式，∴a n =4n•3n-1，n∈N *．a n +14（n +1）2n -1S n S n +1S n 4（n +1）2n -1S n -1S n +12n +1-1S n 2n -1-1S 12×1-1-1S n 2n -1-1S n 2n -13n S n 3n S n -13n -1a n 3n 3n -1（2024•香港）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F，点A（-a,0），B（0，b），过F的直线x-y+1=0交C于B，P两点．（1）求P的坐标；（2）若点R（-2，y 0）在直线AB上，证明：FR是∠PFA的角平分线．x 2a 2y 2b 2答案：（1）P（-，-）．（2）证明详情见解答．4313解析：（1）直线方程中x-y+1=0，分别令y,x为0，解得b,c,由a 2=b 2+c 2，解得a,即可得出椭圆的方程，联立直线x-y+1=0与椭圆的方程，即可得出答案．（2）由（1）知A（-，0），B（0，1），写出直线AB的方程，进而可得Q点坐标，推出tan2∠RFA=tan∠RFA，即可得出答案．√2解答：解：（1）因为直线x-y+1=0过焦点F和点B，所以令y=0，得x=-1，即-c=-1，则c=1，令x=0，得y=1，即b=1，又a 2=b 2+c 2=2，所以椭圆的方程为+y 2=1，联立，解得x=0或x=-，所以x P =-，y P =x P +1=（-）+1=-，所以P（-，-）．（2）证明：由（1）知A（-，0），B（0，1），令x=-2，得y=1-，所以R（-2，1-），tan∠RFA==-1，tan2∠RFA==因为直线x-y+1=0的斜率为1，所以tan∠RFA=1，所以tan2∠RFA=tan∠RFA，所以FR是∠PFA的角平分线．x 22{x -y +1=0+=1x 22y 2434343134313√2√2√2|1-|√2-1-（-2）√22tan ∠RFA 1-ta ∠n 2√2。

绝密★启用前2014年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数 学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{(3)(2)0}P xx x =+-≥，{2}Q x x =>，则P Q =（ ）（A ）Q （B ）∅ （C ）{2}（D ）P（2）抛物线28y x =-的准线方程为（ ）（A ）2x =-（B ）1x =-（C ）1x =（D ）2x =（3）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2r =（ ）（A ）8（B ）5（C ）（D （4）若实数,a b 满足0ab <，则 （ ）（A ）a b a b +<- （B ）a b a b +>- （C ）a b a b -<+ （D ）a b a b ->+（5）函数4sin cos2y x x =+的值域为（ ）（A ）[]5,4- （B ）[]3,7 （C ）[]5,3-（D ）[]1,3-（6）使函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数ϕ= （ ）（A ）π（B ）2π（C ）4π（D ）8π（7）等比数列4,10,20x x x +++的公比为（ ）（A ）12（B ）43（C ）32（D ）53（8）9(x 的展开式中3x 的系数是（ ）（A ）336 （B ）168（C ）168- （D ）336-（9）8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，那么从中任取2把能将该锁打开的概率为 （ ）（A ）14（B ）17（C ）18（D ）116（10）平面10ax by z +++=与230x y z +-+=互相垂直，且其交线经过点(1,1,2)-，则a b +=（A ）23（B ）13（C ）13-（D ）23- （11）有一块草地为菱形，在菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆，若该菱形面积为2240m ，周长为80m ，旗杆高8m ，则旗杆顶端到菱形边的最短距离为 （ ）（A ）6m（B ）8m（C ）10m（D ）12m（12）函数21()1x f x x -=+的最大值为（ ） （A）2（B）14（C）4（D）12- 二、填空题：本大题共6小题；每题5分． （13）函数tan(3)18y x π=+的最小正周期是_____________．（14）设双曲线经过点，且其渐近线方程为230x y ±=，则该双曲线的标准方程为________． （15）已知点A 、B 在球O 的表面上，平面AOB 截该球面所得圆上的劣弧AB 长为80，=120AOB ∠，则该球的半径为_______________．（16）若211,()1,1x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩， 是R 上的连续函数，则a =______________．（17）用1x +除多项式()P x 的余式为2，用2x +除多项式()P x 的余式为1，则用232x x ++除多项式()P x 的余式为______________．（18）设函数213()log (443)f x x ax a =-+在(0,1)是增函数，则a 的取值范围____________．三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）甲、乙、丙各自独立投篮一次.已知乙投中的概率是23，甲投中并且丙投中的概率是38，乙投不中并且丙投不中的概率是16． （I ）求甲投中的概率；（II ）求甲、乙、丙3人中恰有2人投中的概率．（20）设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，1F l ∉，求1F AB ∆重心的轨迹方程．（21）设曲线22y x ax =-与2y x x =-所围成的区域被直线1x =分成面积相等的两部分，求a ．（22）在数列{}n a 中，11a =，112(1)2n n a a n n +=+++，1,2,3,n =⋅⋅⋅． （I ）求2a ，3a ，4a ； （II ）求数列{}n a 的通项公式．2014年港澳台联考数学真题答案一、选择题1—12：BDBAC BDAAC CD 二、填空题13．3π 14．221188x y -= 15．120π 16．2 17．3x + 18．[2,4] 三、解答题19．解：（I ）设甲和丙投中的概率分别是P 甲、P 丙，则3=8P P ⋅甲丙，且21(1)(1)36P --=丙， 解得3=4P 甲，1=2P 丙． （II ）所求概率设为P ，则32132132111(1)(1)(1)43243243224P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=． 20．解：由已知条件可知，1(1,0)F -、2(1,0)F ，①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：1x =，则可得A、(1,B ，又1(1,0)F -，所以1F AB ∆重心坐标为1(,0)3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，因为1F l ∉，所以0k ≠，与椭圆的方程联立2212(1)y k x y x ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩，整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，则22412A B k x x k +=+，故22()212A B A Bky y k x x k k -+=+-=+ 所以1F AB ∆的重心坐标为222102(,)(,)1233(12)3(123)A B A B x x y y k kk k +-++--++=即222213(12)23(2))1k x k k y k ⎧-=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩重重，消去k 得，22129x y +=，因为0k ≠，所以130x y ⎧≠-⎪⎨⎪≠⎩故三角形的重心轨迹方程为22112()93x y x +=≠-．21．解：（1）令222y x ax x x =-=-可得0x =或212a x +=，故两曲线的交点为(0,0)和22114(,)24a a +-，显然由题意可得2112a +>，得12a >， 设区域被直线1x =分成左右两部分的面积分别为1S ，2S ，则122211002121=[(2)]()|236a S x x x ax dx x x a +---=-=-⎰， 21212223222112121211=[(2)]()|()23326a a a a S x x x ax dx x x a ++++---=-=-+⎰，由12S S =得，311211()6326a a a +-=-+，即328124290a a a +-+=，即2(23)(4123)0a a a -+-=，解得32a =，32a =-因为12a >，所以32a =．22．解：（1）由11a =，112(1)2n n a a n n +=+++，可得283a =，392a =，4325a =．（2）由112(1)2n n a a n n +=+++得121(1)(2)n n a a n n n n +=++++，即1112()112n n a a n n n n +-=-+++， 当2n ≥时，21112()2123a a -=-； 32112()3234a a -=-； ...；1112()11n n a a n n n n --=--+ 以上各式两边同时相加可得：11122()1211n a a n n n -=-=-++， 化简得，221n n a n =+．。

2014.11.01数学测试（含答案）1．已知集合{}0|=-=m x x A ，{}01|=-=mx x B ，若B B A = ，则m 等于（）A ．1B ．0或1C ．﹣1或1D ．0或1或﹣1【答案】D.2．已知222,0()1,0x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（）（A ）[-1,2]（B ）[-1，0]（C ）[1，2]（D ）[0,2]【答案】D3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，x x x f -=22)(，则()f 1=（）.A ．-3B ．-1C ．１D ．3【答案】A.4．已知0,1a b a b <<+=，则221,,b a b +的大小关系是A ．2212a b b <+< B.2212b a b <<+C.2212a b b +<<D.无法确定【答案】A5．已知集合0)(:},1,0,1{},,,{=→-==b f Q P f Q c b a P 满足映射的映射的个数共有个A ．2B ．4C ．6D ．9【答案】D6．设函数()cos()3),(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><，且其图像相邻的两条对称轴为0,2x x π==，则A ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)π上为减函数C ．()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2π上为增函数D ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,π上为减函数【答案】D7．在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为c b a ,,，则""b a ≤是"sin sin "B A ≤的（）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【答案】A8．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，若点D 满足BD ＝2DC ，则AD＝（）．A ．23b ＋13cB ．53c －23bC ．23b －13cD ．13b ＋23c【答案】A ．9．等边数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项的积为n T ，若201220121⎪⎭⎫⎝⎛=T ，则20112a a +的最小值为A.1B.1C.4D.2【答案】A10．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)n n +D ．(1)n n -【答案】A11．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A ．24种B ．96种C ．120种D ．144种【答案】B12．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有()A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种【答案】B13．关于x 的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3-≤m .14．数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________.【答案】222n n ++15．已知数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈，其前n 项和为n S ，则数列}{nS n的前10项的和为【答案】7516．在ABC ∆中，下列三角表达式：①()sin sin A B C ++，②()cos cos B C A ++，③tan tan 22A B C +，④cos cos 22A B C +，其中恒为定值的有_____________（请将你认为正确的式子的序号都填上）．【答案】②③17．1＋3＋32＋…＋399被4除，所得的余数为________．【答案】018．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为（用数字作答）.【答案】6.19．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.（1）求证：,,a b c 成等比数列；（2）若1,2a c ==，求△ABC 的面积S.【答案】（1）证明见解析；（2）47=S 20．从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。

北京博飞--华侨港澳台培训学校综合练习五一、选择题1．321lim 1x x x x →--（）B Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在2．下列函数中，周期为π2的是（）DＡ．sin 2x y =Ｂ．sin 2y x=Ｃ．cos 4x y =Ｄ．cos 4y x=3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（）AＡ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为（）A5Ｂ．523Ｄ．25．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题：①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥；②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥；③m n ∥，m n αα⇒∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥．其中正确命题的序号是（）C Ａ．①、③Ｂ．②、④Ｃ．①、④Ｄ．②、③6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（）C Ａ．9Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（）BＡ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（）B北京博飞--华侨港澳台培训学校Ａ．12-+Ｂ．32Ｃ．12+Ｄ．32+9．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（）AＡ．(10)-，Ｂ．(01)，Ｃ．(0)-∞，Ｄ．(0)(1)-∞+∞ ，，10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）BＡ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（）BＡ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）CＡ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能二、填空题13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．[5)+，∞14．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =115．函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是．16-16．224(1)ii ++的共轭复数是2i+17.用(2)(1)x x +-除多项式6532()23p x x x x x =++-+所得的余式为_-3x +9.18.在空间直角坐标系o xyz -中，经过点(3,1,0)p 且与直线{2224x y x y z +=-+=垂直的平面的方程为___x -2y -5z =1___.三、解答题1.已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式2()18f x >+．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =．又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1k =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩ ≤由2()18f x >+得，当102x <<时，解得2142x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以2()18f x >+的解集为2548x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．2.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若42a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦,即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin 2sin 2b A B a ==.由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(222325255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为2cos 2BA B =3.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++< 都有．【答案】（1）1211,832a a ==；（2）21n b n ∴=+；（3）详见试题解析．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2OA OB =，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+= ，解得2c =，或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--．又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ，因此，AQ 为该抛物线的切线．（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，．若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =，又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=．故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点．法二：设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得2x kx c --=．得验证：2AQ Ak x =AB C PQOxyl法三：法四：验证点Q在过A点的切线上。

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={−2,−1,2,3}，则A ∩B =( )A. {3}B. {0,l}C. {−2,−1,2}D. {−2,−1,0,1,2,3}2.计算3+4i 1−2i =( )A. 1−2iB. 1+2iC. −1−2iD. −1+2i3.函数y =sinx + 3cosx 的最大值是( )A. 1B. 6C. 2D. −24.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±3xB. y =±2xC. y =±13xD. y =±12x 5.已知平面向量a =(1,1)，b =(x +1,y)，则( )A. “x =1，y =−2”是“a //b ”的必要条件B. “x =1，y =−2”是“a //b ”的充分条件C. “x =1，y =−2”是“a ⊥b ”的必要条件D. “x =1，y =−2”是“a ⊥b ”的充分条件6.已知函数f(x)=ln( x 2+1+x)，则( )A. f(x)是奇函数，不是增函数B. f(x)是增函数，不是奇函数C. f(x)既是奇函数，也是增函数D. f(x)既不是奇函数，也不是增函数7.若(a +x )4的展开式中x 的系数是−12，则a =( )A. 1B. 12 C. −12 D. −18.圆x 2+(y +2)2=4与圆(x +2)2+(y−1)2=9交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为( )A. 2x−3y +2=0B. 3x +2y +2=0C. 3x +2y−2=0D. 2x−3y−2=09.已知x =π4和x =π2都是函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0)的极值点，则ω的最小值是( )A. 4B. 2C. 1D. 1210.抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，C 上的点到F 的距离等于到直线x =−1的距离，则p =( )A. 2B. 1C. 12D. 1411.正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为12，则该正四棱柱的体积是( )A. 22B. 2C. 22D. 2312.已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f(x)=x2+2x，则当2≤x≤3时，f(x)=( )A. x2+2xB. x2−2xC. −x2+2xD. −x2−2x二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。