2016年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x<2}，则A∩B=()A. {x|0<x<1}B. {x|0<x<2}C. {x|x<2}D. ⌀2.若0≤α<2π，且2sinα≤1，则α的取值范围是()A. [0,2π)B. [0,π3]∪[5π3,2π) C. [π6,5π6] D. [0,π6]∪[5π6,2π)3.平面向量a⃗=(x,3)与b⃗ =(2,y)平行的充分必要条件是()A. x=0，y=0B. x=−3，y=−2C. xy=6D. xy=−64.复数(1−2i)2(2+i)2的模为()A. 1B. 2C. √5D. 55.等比数列{a n}的各项都为正数，记{a n}的前n项和为S n，若S3=1，S5−S2=4，则a1=()A. 19B. 17C. 15D. 136.函数y=log21x−1(x∈(1,+∞)的反函数是()A. y=2−x+1(x∈R)B. y=−2x−1(x∈(1,+∞))C. y=21−x(x∈R)D. y=2 1x−1(x∈R,x≠1)7.设直线y=2x−4与双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线平行，则C的离心率为()A. √3B. √5C. 3D. 58.若函数y=a x(x∈[−1,1])的最大值与最小值之和为3，则a2+a−2=()A. 9B. 7C. 6D. 59.从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有A. 6种B. 9种C. 10种D. 15种10.正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是()A. √33B. √36C. √26D. 1611.抛物线y2=14(x−1)的准线方程是()A. x=0B. x=1516C. x=1 D. x=171612.曲线y=1+11−x的对称轴的方程是()A. y=−x与y=x+2B. y=x与y=−x−2C. y=−x与y=x−2D. y=x与y=−x+2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[−4,0]时，f(x)=x+1，则f(25)=______．14.若tan(θ+π4)=√33，则tan(θ−π4)=______．15.在空间直角坐标系中，若直线x−13=y−12=z−1c与平面x−2y+z=5平行，则c=______．16.设函数f(x)=(ax+b)4(b>a>0).若f(1)=16f(−1)，则ab=______．17.多项式p(x)除以x−1的余式为1，p(x)除以x+1的余式为3，则p(x)除以x2−1的余式为______．18.已知B−AC−D为直二面角，Rt△ABC≌Rt△ADC，且AB=BC，则异面直线AB与CD所成角的大小为______．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.已知平面向量a⃗=(√2sinx,1)，b⃗ =(1,√2cosx)．(1)当a⃗⊥b⃗ 时，求|a⃗−b⃗ |；(2)求|a⃗+b⃗ |的最大值．20.已知数列{a n}的前n项和S n=n2．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)记b n=a+a，求数列{b n}的前n项和．21.某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立．(Ⅰ)求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；(Ⅱ)若该同学在10次投篮中恰好命中k次(k=0,1，2，…，10)的概率为P k，k为何值时，P k最大？22.过椭圆C：x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且A不在x轴上．(Ⅰ)求|y1y2|的最大值；(Ⅱ)若|AF||FB|=14，求直线l的方程．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x||x−1|<1}={x|0<x<2}，B={x|2x<2}={x|x<1}，则A∩B=}={x|0<x<2}∩{x{x|x<1}={x|0<x<1}．故选：A．解绝对值不等式化简集合A，解指数不等式化简集合B，再由交集运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查角的取值范围的求法，考查正弦函数的性质，属于基础题．由0≤α<2π，且2sinα≤1，得sinα≤12，由此能求出α的取值范围．【解答】解：∵0≤α<2π，且2sinα≤1，∴sinα≤12，作出图象：结合图象得：0≤α≤π6或5π6≤α<2π．∴α的取值范围是[0,π6]∪[5π6,2π)．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量共线(平行)的坐标表示，考查了充要条件的判断，是基础题．由向量共线(平行)的坐标表示，求出xy，再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：由向量a⃗=(x,3)与b⃗ =(2,y)平行，得xy=6．∴平面向量a⃗=(x,3)与b⃗ =(2,y)平行的充分必要条件是xy=6．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】直接由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．解：∵(1−2i)2(2+i)=1−4i+4i 24+4i+i =−3−4i 3+4i=−1，∴|(1−2i)2(2+i)2|=1． 故选：A ． 5.【答案】B【解析】解：等比数列{a n }的公比设为q ，各项都为正数，记{a n }的前n 项和为S n ， 若S 3=1，S 5−S 2=4，可得a 1+a 2+a 3=1，a 3+a 4+a 5=4， 即有a 1(1+q +q 2)=1， a 1q 2(1+q +q 2)=4， 相除可得q =2(−2舍去)， 且a 1=17，故选：B ．设等比数列{a n }的公比为q ，运用等比数列的通项公式可得首项和公比的方程组，解方程即可得到首项．本题考查等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 6.【答案】A【解析】解：∵函数y =log 21x−1(x ∈(1,+∞)， ∴1x−1=2y ，∴x −1=12y=2−y ，∴x =2−y +1，x ，y 互换，得函数y =log 21x−1(x ∈(1,+∞)的反函数是：y =2−x +1，x ∈R ．故选：A ．求出1x−1=2y ，从而x =2−y +1，x ，y 互换，能求出函数y =log 21x−1(x ∈(1,+∞)的反函数．本题考查函数的反函数的求法，考查反函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题． 7.【答案】B【解析】解：直线y =2x −4与双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的一条渐近线平行，可得一条渐近线的斜率为2，设b >0， 即y =bx 的斜率为2，即有b =2， 又a =1，可得c =√1+4=√5， e =ca =√5，故选：B ．由两直线平行的条件：斜率相等，可得一条渐近线的斜率为2，设b >0，即有b =2，求得c ，再由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．【解析】解：∵函数y=a x(a>0且a≠1)在[−1,1]上单调，∴当x=−1时，y=a−1；当x=1时，y=a.则a−1+a=3，两边同时平方得：a−2+2+a2=9，∴a−2+a2=7．故选：B．因为函数y=a x在[−1,1]上单调，所以它在−1和1上分别取得最值，a−1+a=3，对其两边平方即可求出结果．本题考查了指数函数的单调性的应用及指数函数在闭区间上的最值问题，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，所得的最小值为1+2+3=6，最大值为4+5+6=15，1+2+3=6，1+2+4=7，1+2+5=1+3+4=8，1+2+6=1+3+5=2+ 3+4=9，1+3+6=1+4+5=2+3+5=10，1+4+6=2+3+6=2+4+5=11，1+5+6=2+4+6=3+4+5=12，3+ 4+6=13，3+5+6=14，4+5+6=15共有：10种不同结果．故选：C．利用组合数和列举法能求出结果．本题考查三个数相加的不同的和的求法，考查排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了四棱锥体积的求法，属于中档题．【解答】解：设正四棱锥的底面中心为O，连结OP，则PO⊥底面ABCD，∵底面四边形ABCD是正方形，AB=1，∴AO=√22．∴OP=√PA2−AO2=√22．∴正四棱锥的体积V=13S正方形ABCD⋅PO=13×1×√22=√26．故选：C．11.【答案】B【解析】解：y2=14(x−1)的图象可以看成是y2=14x向右平移了一个单位，因为y2=14x的准线方程为x=−182=−116，所以y2=14(x−1)的准线方程为：x=1516．故选：B．抛物线y2=14(x−1)的图象可看成是y2=14x向右平移了一个单位，所以准线也就向右平移了一个单位，所以求出y2=14x的准线方程即可．本题主要考查抛物线的性质，主要是准线方程求法，要注意图象移动的规律．12.【答案】D【解析】解：y=−1x的对称轴的方程是y=x与y=−x曲线y=1+11−x 是由y=−1x向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，对称轴的方程是y=x与y=−x+2，故选：D．y=−1x 的对称轴的方程是y=x与y=−x，曲线y=1+11−x是由y=−1x向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，可得对称轴的方程．本题考查函数的图象，考查图象变换，属于中档题．13.【答案】0【解析】解：∵定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[−4,0]时，f(x)=x+1，∴f(25)=f(8×3+1)=f(1)=f(−1)=−1+1=0．故答案为：0．推导出f(25)=f(8×3+1)=f(1)=f(−1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的周期性、奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.【答案】−√3【解析】解：∵tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=√33，则tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=−√33=−√3，故答案为：−√3．由题意利用两角和差的正切公式，求得要求式子的值．本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：∵直线x−13=y−12=z−1c的方向向量为(3,2，c)，平面x−2y=z+5的法向量为(1,−2,1)，∴(3,2，c)⋅(1，−2，1)=3−4+c=0，解得c=1．故答案为：1．求出直线x−13=y−12=z−1c的方向向量和平面x−2y+z=5的法向量，由二者乘积为0，能求出c．本题考查实数值的求法，考查直线与平面平行的性质等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题．16.【答案】13【解析】解：∵函数f(x)=(ax+b)4(b>a>0)．f(1)=16f(−1)，∴(a+b)4=16(−a+b)4，∴a+b=2(−a+b)或a+b=−2(−a+b)，∴3a=b或a=3b(舍)，∴ab =13．故答案为：13．由f(1)=16f(−1)，得(a+b)4=16(−a+b)4，推导出3a=b或a=3b(舍)，由此能求出ab．本题考查两数比值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】−x+2【解析】解：设p(x)=(x−1)f(x)+1，p(x)=(x+1)g(x)+3，即有p(1)=1，p(−1)=3，设p(x)=(x2−1)ℎ(x)+k(x)，可设k(x)=mx+n，可得m+n=1，−m+n=3，解得m=−1，n=2，即余式为−x+2，故答案为：−x+2．设p(x)=(x−1)f(x)+1，p(x)=(x+1)g(x)+3，即有p(1)=1，p(−1)=3，设p(x)= (x2−1)ℎ(x)+k(x)，可设k(x)=mx+n，解方程可得余式．本题考查多项式除法的余数定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】π3【解析】【分析】本题考查立体几何中异面直线所成角的求法，二面角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力．分别取AD、BD、AC的中点E、F、G，连结EF、EG、BG、DG，推导出△EFG是等边三角形，由EF//AB，EG//DC，得∠FEG是异面直线AB与CD所成的角，由此能求出异面直线AB与CD所成的角．【解答】解：如图，分别取AD、BD、AC的中点E、F、G，连结EF、EG、BG、DG，设AB=BC=2，则AD=CD=2，EF=12AB=1，EG=12CD=1，BG⊥AC，DG⊥AC，∴∠BGD是二面角B−AC−D的平面角，∵B−AC−D为直二面角，∴∠BGD=π2，BG=DG=√2，∴BD=√2+2=2，∴FG=1，∴△EFG是等边三角形，∵EF//AB，EG//DC，∴∠FEG是异面直线AB与CD所成角，∵∠FEG=π3，∴异面直线AB与CD所成角为π3．故答案为π3．19.【答案】解：(1)平面向量a⃗=(√2sinx,1)，b⃗ =(1,√2cosx)．当a⃗⊥b⃗ 时，a⃗⋅b⃗ =√2sinx+√2cosx=0，∴sinx+cosx=0，∴a⃗−b⃗ =(√2sinx−1,1−√2cosx)，∴|a⃗−b⃗ |=√(√2sinx−1)2+(1−√2cosx)2=√2sin2x−2√2sinx+1+1−2√2cosx+2cos2x=√4=2．(2)a⃗+b⃗ =(√2sinx+1,1+√2cosx)，|a⃗+b⃗ |=√(√2sinx+1)2+(1+√2cosx)2=√2sin2x+2√2sinx+1+1+2cos2x+2√2cosx=√4sin(x+π4)+4，∴当x=π4时，|a⃗+b⃗ |取最大值2√2．【解析】(1)当a⃗⊥b⃗ 时，a⃗⋅b⃗ =√2sinx+√2cosx=0，由a⃗−b⃗ =(√2sinx−1,1−√2cosx)，能求出|a⃗−b⃗ |的值．(2)a⃗+b⃗ =(√2sinx+1,1+√2cosx)，|a⃗+b⃗ |=√(√2sinx+1)2+(1+√2cosx)2=√4sin(x+π4)+4，由此能求出当x=π4时，|a⃗+b⃗ |取最大值2√2．本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、平面向量坐标运算法则、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n}的前n项和S n=n2，可得a1=S1=1；n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，上式对n =1也成立，则a n =2n −1，n ∈N ∗；(Ⅱ)b n =a +a =√2n−1+√2n+1=12(√2n +1−√2n −1)，则数列{b n }的前n 项和为12(√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1−√2n −1) =12((√2n +1−1)．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式：a 1=S 1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项；(Ⅱ)化简b n =√a +√a =√2n−1+√2n+1=12(√2n +1−√2n −1)，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立．∴该同学在三次投篮中至少命中2次的概率：p =1−C 30(34)0(14)3−C 31(34)(14)2=2732．(Ⅱ)∵该同学在10次投篮中恰好命中k 次(k =0,1，2，…，10)的概率为P k ，∴P k =C 10k (34)k (14)10−k =C 10k (14)10⋅3k+1，当P k 最大时，{P k≥P k+1P k ≥P k−1, ∴{C 10k (14)10⋅3k ≥C 10k+1(14)10⋅3k+1C 10k (14)10⋅3k ≥C 10k−1(14)10⋅3k−1, ∴{10!k!(10−k)!≥3⋅10!(k+1)!(9−k)!3⋅10!k!(10−k)!≥10!(k−1)!(11−k)!，即{k +1≥3(10−k)3(11−k)≥k, 解得294≤k ≤334，∵k ∈Z ，∴k =8． 故k 为8时，P k 最大．【解析】(Ⅰ)利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式和对立事件概率计算公式能求出该同学在三次投篮中至少命中2次的概率．(Ⅱ)P k =C 10k (34)k (14)10−k =C 10k (14)10⋅3k+1，当P k 最大时，{P k ≥P k+1P k ≥P k−1，由此能求出k 为8时，P k 最大．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 为(4,0)，第11页，共11页 设AB 的直线方程为x =ky +4，由{x 225+y 29=1x =ky +4，消x 可得(9k 2+25)y 2+72ky −81=0， ∴|y 1y 2|=819k 2+25，当k =0时，|y 1y 2|有最大值，最大值为8125，(Ⅱ)∵|AF||FB|=14，∴|FB|=4|AF|，∴FB⃗⃗⃗⃗⃗ =4AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴y 2=−4y 1，由(Ⅰ)可得y 1y 2=−819k 2+25=−4y 12，y 1+y 2=−72k 9k +25=−3y 1， ∴(24k)2(9k 2+25)2=814(9k 2+25)，解得k =±3√77， ∴直线方程为x =±3√77y +4，∴√7x ±3y −4√7=0．【解析】(Ⅰ)设AB 的直线方程为x =ky +4，联立方程组，根据根与系数的关系即可求出|y 1y 2|=819k 2+25，即可求出．(Ⅱ)根据向量可得FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到y 2=−4y 1，根据根与系数的关系即可求出即可求出k 的值本题考查了椭圆的简单性质和直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题。
