1.1.1集合的概念

1．1 集合与集合的表示方法1．1．1 集合的概念1．了解集合的概念． 2．理解元素与集合的关系． 3．掌握集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A ，B ，C ，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a ，b ，c ，…表示．2．元素与集合的关系 知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于Aa ∈A“a 属于A ” 不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于Aa ∉A“a 不属于A ”元素 意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性 集合中的元素互不相同，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b无序性集合中的元素可以任意排列顺序4集合⎩⎨⎧空集：不含任何元素，记作∅非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内排除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2016届本科生D．满足3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是所有偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011≤x≤2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．判断一组对象构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的所有员工； ②我国的大河流； ③不大于3的所有自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点； ⑤未来世界的高科技产品； ⑥所有的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3扫一扫 进入91导学网(www ．91daoxue ．com )元素与集合的关系【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C ．【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可． 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2解析：选D ．因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0即－4<a ≤－2．集合中元素的特性已知集合P 中有三个元素a －3，2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 【解】 因为－3∈P ，a 2＋4≥4， 所以a －3＝－3或2a －1＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1．经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1，4，满足集合中元素的互异性； a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3，5，也满足集合中元素的互异性． 综上可知，a 的值为0或－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 即a ＝±1． 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合互异性， 所以a ≠1； 当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1， 符合互异性． 所以a ＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以判断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a ∈A 与a ∉A 取决于a 是不是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性，对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而容易忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是( ) A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点 B ．平面内两边之和小于第三边的三角形 C ．新华书店中有意义的小说 D ．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B ．选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉∅；③0∈N ＋；④－3∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．①②④正确，③错误，故选C ．3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．“book 中的字母”构成的集合中有b ，o ，k 共3个元素．4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时， 满足题意，故m ＝3． 答案：3[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( ) A ．2017年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目 B ．某学校高一年级高个子的学生 C ．2的近似值D ．2016年全国经济百强县解析：选D ．由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数， (4)正确．故选B ．3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D ．因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D ．4．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：选C ．因为－1＝3×0－1∈A ，故A 错； －11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A ，故B 错； －34＝3×(－11)－1∈A ，故D 错； 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A ，故C 正确．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A ．x 2＝|x |，－3x 3＝－x ． 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x ．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 含有三个元素3，4，6，且当a ∈A ，有8－a ∈A ，那么a ＝________． 解析：若a ＝3，则8－a ＝5∉A ，故a ≠3； 若a ＝4，则8－4＝4∈A ，故a ＝4合适； 若a ＝6，则8－6＝2∉A ，故a ≠6． 答案：48．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2． 即元素的个数为3． 答案：39．由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 017＋b 2 017的值．解：由a ，ba ，1组成一个集合，可知a ≠0，且a ≠1．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)， 所以a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋0＝－1．10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R ． (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1．若－3＝a －3，则a ＝0．此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1．此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1． (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1． 当a ＝a －3时， 有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1， 此时A 中有两个元素－2，1， 符合题意．综上知a ＝1．[B 能力提升]11．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C ．集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．12．已知集合A 中的元素满足ax 2－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，则实数a ＋b 的值为________．解析：当a ≠0时，由题意可知方程ax 2－bx ＋1＝0有两个相等的实数根， 故⎩⎨⎧1＋1＝－－ba，1×1＝1a，解得a ＝1，b ＝2．故a ＋b ＝3．当a ＝0时，b ＝1，此时也满足条件， 所以a ＋b ＝1， 故a ＋b 的值为1或3． 答案：1或313．已知集合A 中含有1，0，x 这三个元素． (1)求实数x 的取值范围； (2)若x 2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x 的取值范围为x ≠1，x ≠0的实数．(2)若x 2＝0，则x ＝0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1．当x ＝1时，集合中元素为1，0，1，舍去； 当x ＝－1时，集合中元素为1，0，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合元素的互异性， 所以x ＝－1．14．(选做题)某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1，2，3，…，8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8－x 号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？ (2)若有两个名额，则有多少种分派方法？解：(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M ，则有x ∈M ，8－x ∈M ． 若只有一个名额，即M 中只有一个元素，必须满足x ＝8－x ，故x ＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M 中有且仅有两个不同的元素x 和8－x ，从而全部含有两个元素的集合M 应含有1，7或2，6或3，5．也就是两个名额的分派方法有3种．。

1.1.1 集合的含义与表示1．集合的含义(1)元素与集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．示例：小于5的自然数组成集合，可以记为B，它的元素是0,1,2,3,4；方程x2－x＝0的实数解组成集合，可以记为A，它的元素是0,1．谈重点对集合的理解(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象．(3)集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．(2)集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．【例1－1】下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有正三角形；(2)新课标人教A版数学必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；(6)参加伦敦奥运会的年轻运动员；(7)a，b，a，c．点技巧 一组对象能否构成集合的判断技巧 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的．．．判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．(3)∈∉(1)由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立．(2)符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．(3)“∈”和“∉”具有方向性．．．，左边是元素，右边是集合． 【例1－2】设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( )A ．0∈M,2∈MB ．0∉M,2∈MC ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M解析：本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M．答案：B(4)相等集合只要构成两个集合的元素是一样的，也就是说它们的元素是完全相同的，我们就称这两个集合是相等的．【例1－3】若方程(x－1)2(x＋1)＝0的解集为A，方程x2－1＝0的解集为B，那么A与B是否相等？解：由题意知集合A中的元素为1，－1；集合B中的元素为1，－1．由定义可知A＝B．2．常用数集谈重点＋)不包括元素0．(2)通常情况下，大写英文字母N，N*，Z，Q，R不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”；虽然正整数集有两种字母表示：N*或N＋，但是本书中主要用N*表示正整数集．【例2】用符号∈或∉填空：(1)3____N；3____Z；3____N*；3____Q；3____R．(2)3.1____N；3.1____Z；3.1____N*；3.1____Q；3.1____R．解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断．(1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：3∈N；3∈Z；3∈N*；3∈Q；3∈R．(2)因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N*；3.1∈Q；3.1∈R．答案：(1)∈∈∈∈∈(2)∉∉∉∈∈3．集合的表示法(1)自然语言法用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的，不能叙述成“正方形”．(2)列举法(1)当集合的元素较少时，可以采用列举法表示；(2)元素间用“，”分隔开；(3)元素不能重复，不考虑顺序；(4)集合元素个数较多或无限时(无限集)，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号，如正整数集可表示为{1,2,3,4，…}．【例3－1】用列举法表示下列集合：(1)15以内质数的集合；(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点组成的集合．分析：(1)质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此数自身外，不能被其他自然数整除的数；(2)中要明确方程x(x2－1)＝0的实数根有哪些；(3)中要明确一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点有哪些，应怎样表示．解：(1){2,3,5,7,11, 13}；(2)解方程x(x2－1)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，故方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,0,1}；(3)解方程组,21,y xy x=⎧⎨=-⎩得1,1,xy=⎧⎨=⎩因此一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点为(1,1)，故所求的集合为{(1,1)}．(3)谈重点用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系；(5)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如：{直角三角形}，{正方形}等．【例3－2】用描述法表示下列集合：(1)所有的偶数组成的集合；(2)不等式2x－4＞0的解集．解：(1)偶数是能被2整除的数，即2的倍数，所以所有偶数组成的集合用描述法表示为{x|x＝2n，n∈Z}．(2)设不等式2x－4＞0的解集记为A，x为集合A中元素的代表符号，其共同特征是2x－4＞0，则A＝{x|2x－4＞0}；解不等式2x－4＞0，得x＞2，则也可以表示为A＝{x|x＞2}．【例3－3】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解：(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1＜x＜7，因此，用描述法表示为{x∈Z|－1＜x＜7}；大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．4．集合元素的特征的应用(1)集合元素的确定性是指给定一个集合，集合中的元素就确定了，即给定一个集合，任一元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一．考查一组对象的全体能否构成一个集合，需看这组对象是否具有确定无疑的具体特征(或标准)．(2)集合元素的互异性是指集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素．例如：方程x 2＝0的两个根x 1＝x 2＝0，用集合记为{0}，而不能记为{0,0}．【例4】下列说法正确的是( )A ．数学成绩较好的同学可以组成一个集合B ．所有绝对值接近于零的数组成一个集合C ．集合{1,2,3}与集合{3,2,1}表示同一个集合D ．1,0.5，12，23，46组成一个含有5个元素的集合解析：对于A 项，“成绩较好”没有标准，不符合元素的确定性，故不正确；对于B 项，“绝对值接近于零的数”标准不明确，不构成集合，故不正确；对于C 项，集合{1,2,3}与{3,2,1}元素相同，是相等集合，因此正确；对于D 项，1,0.5，12，23，46组成一个含有3个元素的集合121,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故不正确． 答案：C5．元素与集合的关系及应用元素与集合的关系仅有两种：属于和不属于．用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A ．用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时相对比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？……其次要清楚元素的共同特征是什么；最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．描述法表示的集合形式为{x |x ∈P (x )}，其中P (x )为该集合元素的共同特征．例如，集合B ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }，则该集合元素的一般符号是x ，其共同特征是x ＝3n －1，n ∈Z ，即集合B 中的元素是整数，并且这个整数等于3的整数倍减去1，因此判断某个元素与集合B 的关系时，只需判断所给的元素是否等于3的整数倍减去1即可．设3n －1＝16，解得n ＝173，则16不能等于3的整数倍减去1，所以16∉B ．设3n －1＝17，解得n ＝6，则17等于3的6倍减去1，所以17∈B ．【例5－1】设集合6|2B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭N N ． (1)试判断元素1,2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B ．分析：判断集合B 与元素1,2的关系，只要代入验证即可．解：(1)当x ＝1时，621+＝2∈N ． 当x ＝2时，62＋2＝63222=∈+N ．因此1∈B,2∉B ． (2)∵62x+∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6． ∴x 只能取0,1,4．∴B ＝{0,1,4}．【例5－2】若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}且－3∈A ，求实数a 的值．错解：若a －3＝－3，则a ＝0；若2a －1＝－3，则a ＝－1；若a 2－4＝－3，则a ＝±1．综上可知，a ＝0或a ＝±1．错因分析：由于－3∈A ，故应分a －3＝－3,2a －1＝－3，a 2－4＝－3三种情况讨论，这是正确的，但求出a 值后，应验证其是否满足集合的互异性，错解在于没有验证，导致出现增解．正解：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意；(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足题意；(3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意，当a ＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a ＝0或a ＝1．6．集合的表示方法及应用(1)用列举法表示集合时，既要注意将自然语言与集合语言描述的集合中的元素一一确定出来，又要善于把列举法表示的集合用自然语言表述出来．如方程x 2＝1组成的集合是{－1,1}，而该集合可描述为x 2＝1的解集，或绝对值为1的数等．(2)使用描述法时，需注意以下几点：①写清楚该集合中的代表元素．例如，集合{x ∈R |x ＜1}不能写成{x ＜1}．②集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与集合中元素的共同特征有关．例如，集合{x ∈R |x ＜1}也可以写成{y ∈R |y ＜1}．③所有描述的内容都要写在集合符号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表述方式不符合要求，需将k ∈Z 也写进大括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．④在不致引起混淆的情况下，所有的非负数组成的集合可记为{x |x ≥0}．当集合是数集时，在没有标明x 范围的前提下，我们认为x 的值是使式子有意义的所有值．如⎭⎬⎫⎩⎨⎧=x y y 1，此时我们认为x ∈R 且x ≠0．由反比例函数的性质，可知该集合可化为{y |y ∈R ，且y ≠0}．当用文字语言来描述集合中元素的特征或性质时，分隔号及前面的部分常常省去，如“所有四边形组成的集合”记为{x |x 是四边形}．在不致混淆的情况下，可以省去“|”及其左边的部分，直接写成{四边形}．“所有四边形组成的集合”不能写成{所有四边形}，因为花括号本身就有全部的意思，故用文字描述集合时，应去掉含有“整体”“全部”等意义的词．(3)对某一个具体的集合而言，其表示方法并不是唯一的，如{x |x 是自然数中三个最小的完全平方数}，还可以表示为{0,1,4}．方法的选择要因题而异．【例6(1)绝对值不大于2的所有整数；(2)方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解． 解：(1)由于|x |≤2且x ∈Z ，所以x 值为－2，－1,0,1,2．故绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{－2，－1,0,1,2}．另外本题用描述法可表示为{x ∈Z ||x |≤2}．(2)解方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩得0,1.x y =⎧⎨=⎩因此用列举法表示方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{(0,1)}． 【例6－2】用描述法表示下列图象中阴影部分(含边界)的点的集合．分析：由于是坐标平面内的点集，所以代表元素可以用有序实数对(x ，y )，x ，y 的范围可结合图形写出．解：(1)设阴影部分的所有点构成集合A ，则集合A 中的元素是点，设为(x ，y )．由图形知－1≤x ≤1，－1≤y ≤1，所以A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}．(2)设阴影部分的所有点构成集合B ，则集合B 中的元素是点，设为(x ，y )．由图形知：－1≤x ≤1，y ∈R ，所以B ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，y ∈R }．【例6－3】下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？分析：对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．解：(1)它们是互不相同的集合．(2)∵集合①{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ，∴{x |y ＝x 2＋1}＝R ；∵集合②{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，∴{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}；∵集合③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y )的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1，∴{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．点技巧 对用描述法表示的集合的理解 用描述法表示的集合，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件．数集和点集常常会混淆．7．集合相等的应用两个集合相等，是指构成这两个集合的元素完全相同．也就是说，若两个集合相等，则这两个集合中的元素个数相同，并且对于其中一个集合中的任一元素，在另一个集合中都能找到这个元素．例如：若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b ． 解：因为A ＝B ，所以方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集是{－1,3}，那么－1,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，则13,13,a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩解得2,3.a b =-⎧⎨=-⎩【例7】若含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a 2 012＋b 2 013的值．分析：由题意知，集合,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与集合{a 2，a ＋b,0}相等，由集合相等的定义，列出关于a ，b 的方程组，解出a ，b ，进而求a 2 012＋b 2 013的值．解：由已知集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得a ≠1且a ≠0． 由题意得21,,0a a a b b a ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩或21,,0,a b a a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩解得1,0a b =-⎧⎨=⎩或1,0.a b =⎧⎨=⎩ 经检验知1,0,a b =⎧⎨=⎩不满足集合中元素的互异性，应舍去． 因此1,0a b =-⎧⎨=⎩故a 2 012＋b 2 013＝1． 点技巧 由集合相等求参数的技巧 应从集合相等的定义入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，则需分类讨论．．．．，同时要注意利用集合中元素的互异性．．．对求得的结果进行检验．．．．8．方程、不等式等知识与集合交会问题的处理集合语言是表述数学问题的重要语言，以集合为载体的方程、不等式的问题是本节的常见问题之一，解决此类问题应注意：(1)首先是准确理解集合中的元素，明确元素的共同特征，如果不理解集合中的元素，那么就会出现思维受阻的现象，感到无从下手．例如，集合A ＝{x |ax －1＜0}的元素是关于x 的不等式ax －1＜0的解，当a ＝0时，这个不等式化为－1＜0，此时不等式的解集为实数集R ，当a ≠0时，这个不等式是关于x 的一元一次不等式．如果忽视a ＝0，那么就会导致出现错解．(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及数学思想(转化思想、分类讨论思想)的综合应用．【例8】已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．分析：本题将集合中元素个数问题转化为方程根的问题．(1)A 是单元素集合，说明方程有唯一根或有两个相等的实数根．(2)A 中至少有一个元素，说明方程有一根或两根．解：(1)当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝0，即9－8a ＝0，解得98a =，此时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意．综上所述，当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当a ≠0时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． (2)由(1)知，当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有实数根，则Δ≥0，即9－8a ≥0，解得a ≤98．综上所述，若A 中至少有一个元素，则a ≤98．辨误区 对方程ax 2＋bx ＋c ＝0的错误认识 “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2－3x ＋2＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在一元二次方程这种情况下，才能用判别式Δ来解决．因此解决二次项系数含参数．．．．．．．．的方程或不等式问题时，应分二次项系数为．．．．．．0．和．不为．．0．两种情况进行讨论． 9．与集合有关的创新题(1)能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用是新课标对本节课的要求．因此高考更多地将集合作为一种语言来考查．其中不乏一些创新题．(2)与集合有关的创新题主要以集合的表示法和元素与集合的关系为背景，常常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题．(3)解决这类问题时，要紧扣所给的新背景或新定义．其所用到的集合知识往往是比较基础的，主要是集合的含义和表示法、集合的性质、元素与集合的关系等．【例9－1】定义集合运算A B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：根据A B 的定义，当x ＝0时z ＝0；当x ＝1时，若y ＝2，则z ＝6，若y ＝3，则z ＝12．因此集合A B 的所有元素和为18． 答案：D【例9－2】已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：先分析“孤立元”的含义，再根据不含“孤立元”的条件写出所有不含“孤立元”的集合，最后确定个数．依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合包括：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个，应填6． 答案：6。

1．1 集合与集合的表示方法1．1.1 集合的概念1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)基础·初探]教材整理1元素与集合的相关概念阅读教材P3～P4“第7行”的部分，完成下列问题．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．2．元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)本班的“帅哥”组成集合．()(2)漂亮的花组成集合．()(3)联合国常任理事国组成集合．( )【解析】 (1)不正确．因为“帅哥”没有统一标准，即元素不确定，不能组成集合．(2)不正确．因为什么样的花是漂亮的花不确定，不能组成集合．(3)正确．因为联合国常任理事国是确定的，所以能组成集合．【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理2 元素与集合的关系阅读教材P 3“最后一行”～P 4“第6行”以上的内容，完成下列问题．1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2．不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A .用符号“∈”或“∉”填空：0__________∅，－12________Z ，π __________Q ，4________Q ，|－4|________N *.【解析】 根据常见数集及其记法进行判断．【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈教材整理3 集合的特性及分类 阅读教材P 4“思考与讨论”以下～P 4“练习A ”以上的内容，完成下列问题．1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合的分类(1)有限集：含有有限个元素的集合．(2)无限集：含有无限个元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R已知集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为() A．0B．1C．－1 D．1或－1【解析】当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.【答案】 C小组合作型]集合的概念．①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2016年里约热内卢奥运会的年轻运动员；⑥2的近似值的全体.【导学号：60210000】【精彩点拨】判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”．【自主解答】①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”未明确精确到什么程度，因此很难断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．【答案】①③④判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性.再练一题]1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．佛冈中学高一班的全体男生B．佛冈中学全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【解析】A中，佛冈中学高一班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；B中，佛冈中学全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构成集合．故选D.【答案】 D元素与集合的关系给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2D．1【精彩点拨】首先明确字母R、Q、N、Z的意义，再判断所给的数与集合的关系是否正确．【自主解答】R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，3，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．【答案】 C1．判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性．2．解决本例及类似问题要准确记忆数集Q，N，R及Z的含义，防止因混淆其含义而出现失误．再练一题]2．用符号“∈”或“∉”填空．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)________A，(－1,1)________A.【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x 表示，显然(0,0)、(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A.【答案】∈∈∉探究共研型]集合中元素的特性探究1100米的楼能否组成一个集合？集合的定义中“某些确定的”含义是什么？【提示】“北京市的高楼”不能组成一个集合，因为“高楼”没有明确的标准，而“北京市高于100米的楼能组成一个集合，因为标准是确定的．集合的定义中“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．探究2“小于4的自然数”构成的集合中有哪些元素？甲同学的答案是0,1,2,3；乙同学的答案是3,2,1,0，他们的回答都正确吗？由此说明什么？【提示】两个同学的回答都是正确的．由此说明集合中的元素是没有先后顺序的，这就是集合中元素的无序性．探究3若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？【提示】因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.若集合A中的三个元素分别是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求实数a的值．【精彩点拨】按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．【自主解答】(1)若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中的三个元素分别是－3，－1，－4，满足题意；(2)若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中的三个元素分别是－4，－3，－3，不满足题意；(3)若－3＝a2－4，则a＝±1.当a＝1时，集合A中的三个元素分别是－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a＝0或a＝1.1．本题按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4为标准分类，从而做到“不重不漏”；在解含字母的问题中，常常采用分类讨论的思想，注意分类标准的统一和明确．2．本题在求解的过程中，常因忽视检验集合中元素的互异性，导致产生增解－1.再练一题]3．若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．【解】∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，解得a＝1，此时集合A中有三个元素－2,1，－3，符合题意．故所求a的值为1.1．下列对象不能构成集合的是()①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．A．①②B．②③C．①②③D．①③【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.【答案】 D2．下列三个关系式：①5∈R ；②14∉Q ；③0∈Z .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0【解析】 ①正确；②因为14∈Q ，错误；③0∈Z ，正确．【答案】 B3．已知集合A 中只有一个元素1，若|b |∈A ，则b 等于( )【导学号：60210001】A ．1B ．－1C ．±1D ．0【解析】 由题意可知|b |＝1，∴b ＝±1.【答案】 C4．a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，那么以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”，故a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.【答案】 D5．关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集，当a ，b 满足什么条件时，方程的解集含有一个元素？含有两个元素？【解】 当a 2－4b ＝0时，方程的解集含一个元素；当a2－4b>0时，方程的解集含两个元素．。

1.1.1 集合的概念教材知识检索考点知识清单1．集合、元素 （1）集合：一般地'把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的 构成的集合（或集），通常用____表示．(2)元素：构成集合的 叫做这个集合的元素（或成员），通常用 表示． 2. 元素与集合的关系(1)如果 ，就说a 属于“A ”，记作 ．(2)如果 ，就说a 不属 于A ，读作“a 不属于A ”，记作 。

3.集合中元素的性质特征 (1) ;(2)____ ;(3)____ . 4.集合的分类5.常见的数集的专用符号自然数集 ，正整数集 ，有理数集 ，实数集 .要点核心解读1．集合集合是一个原始概念，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合．集合一般用英语大写字母表示，集合中的元素一般用英语小写字母表示． 2．元素与集合之间的从属关系如果a 是集合A 的元素，称a 属于A ，记作,A a ∈否则.A a ∉ 3．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(1)确定性：对于集合A 和某一对象x ，有一个明确的判断标准可以鉴定,A x ∈还是,A x ∉二者必居其一，而且只居其一．(2)互异性：集合中没有相同的元素．如方程0122=+-x x 的解集用集合记为{1}，丽不能记作{1，l}．(3)无序性：集合中的元素是不排序的．如集合{l ，2}与{2，1}是同一个集合，4．集合的类型含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集；不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅．5．特定集合的记法N(自然数集),N *或N+（正整数集） ，z （整数集），Q （有理数集），R(实数集)． 6．需要注意的几个问题．(1)符号””““∉∈只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系，如.*0,0N N ∉∈ 除此之外，””““∉∈没有其他用途． (2)无论何时何地，“∅∈x ”的写法都是错误的，∅∉x 是永恒的真理．(3)a 与{a}是不同的，a 表示一个元素，{a}表示 由一个元素a 构成的集合，一般称{a}为单元素集，特别地；O 与{0}是不同的．(4){O}与∅是不同韵，{0}表示由一个 元素O 构成的集合，∅是不含任何元素的集合.典例分类剖析考点1 集合的有关概念问题【例1】考查下列每组对象： (1)著名的数学家；， (2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程092=-x 在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．其中能构成集合的是( )．)3)(1.(A )3)(2.(B )4)(3.(C )5)(2)(1.(D[试解]： ．（做后再看答案，发挥母~功能）[解析] (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家？不能构成一个集合，类似地，(2)也不能构成集合．(3)任给一个实数x ， 可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“20200>≤≤x x ”与“或,0”<x 两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合，类似地，(4)也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“ 一些点”中无法确定，因此“ 直角坐标平面内第一象限的一些点” 不能构成集合. [答案] C[点拨] 由一些元素构成的集合必须具有以下两个特点：一是整体性，二是确定性其中“整体” 一语说明 集合是指某些对象的整体，而不是指其中的个别对象，这就是集合的整体性．一个对象要么是集合的元素，要么不是集合的元素二者必居其一，这就是集合的确定性．母体迁移 1．下面各组对象能否构成集合： (1)所有漂亮的人；。