2019-2020学年重庆外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={−1,0，1}，N ={x|x =a 2,a ∈M}，则集合M ∩N( )A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {−1,0，1}2. 设函数f(x)={(12)x −7(x <0)√x(x ≥0),若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−3)B. (1,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)3. 下列函数在区间(−∞,0)上是增函数的是( )A. f(x)=x 2−4xB. g(x)=3x +1C. ℎ(x)=3−xD. t(x)=tanx 4. 3√2=( )A. 2 56B. 2 32C. 2 16D. 2 (12)135. 已知a =log 0.60.5，b =ln0.5，c =0.60.5，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a 6. 函数f(x)=lg(−x 2+x +6)的单调递减区间为( )A. (−∞,12) B. (12,+∞) C. (−2,12) D. (12,3) 7. 已知函数f(x)=log a (4−ax)在(−2,2)上是减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,2)B. (1,2)C. (1,2]D. [2,+∞)8. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g(0)=0，当x ≥0时，f(x)+g(x)=x 2+2x +x −b(b 为常数)，则f(−1)−g(−1)=( )A. 3B. 1C. −3D. −19. 已知f(x)={x 2−4ax +3,x <1log a x +2a,x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，那么a 的取值范围是( )A. (0,12]B. [12,1)C. [12,23]D. [23,1)10. 已知偶函数f(x)在(−∞,−2)上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A. f(−72)<f(−3)<f(4) B. f(−3)<f(−72)<f(4) C. f(4)<f(−3)<f(−72) D. f(4)<f(72)<f(−3) 11. 已知函数f(x)=|ln(x −1)||，若f(a)>f(4−a)，则a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,3)C. (1,3)D. (2,4)12. 已知函数f(x)=12(a −x)e x (a >0)，存在x ∈[0,2]，使得f(x)≥e ，则实数a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. [2+ln2,+∞)C. [2e,+∞)D. [2+2e ,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =1+2a x−1(a >0且a ≠1)必过定点______ ．14. 已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1，则f(27)=__________．15. 已知奇函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，若当x ∈(−1,1)时，f(x)=lg 1+x1−x 且f(2019−a)=−1,(0<a <1)，则实数a =______．16. 已知函数f (x )={x 2+(4a −3)x +3a,x <0log a (x +1)+1,x ≥0在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 3恰有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是_________ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)计算23lg8+lg 25+lg2⋅lg50+lg25的值；(2)已知a +a −1=5，求a 2+a −2和a 12+a −12的值．18. 已知函数f(x)=√x∈R)的定义域为集合A ，函数g(x)=2x +1的值域为集合B ．(1)当a =3时，求A ∪B ；(2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f(x)=lg 1+x1−x ，(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)在定义域上的单调性．20.已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=x2−x+1(1)求函数f(x)的解析式(2)记函数g(x)=f(x)−mx+1，若函数g(x)有3个零点，求实数m的取值范围21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=−bx，其中a,b,c∈R且满足a>b>c，f(1)=0(1)证明：方程f(x)=g(x)有两个不同实根；(2)若函数F(x)=f(x)−g(x)在[2,3]上的最小值为9，最大值为21，试求a,b的值．22.已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)．(Ⅰ)当a=2时，若关于x的方程|f(x)|−2=0有且只有两个不同的实根，求实数b的取值范围；(Ⅱ)对任意x∈[1,5]时，不等式−2≤f(x)≤2恒成立，求a+b的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：N={0,1}；∴M∩N={0,1}．故选：C．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，元素与集合的关系．2.答案：C)a−7<1，解得a>−3，所以−3<a<0；解析：解：a<0时，f(a)<1即(12a≥0时，√a<1，解得0≤a<1综上可得：−3<a<1故选：C．)a−7<1，a≥0时，√a<1，分别求解即可．a<0时，f(a)<1即(12本题考查分段函数、解不等式等问题，属基本题，难度不大．3.答案：B解析：解：对于A，f(x)=x2−4x=(x−2)2−4，在(−∞,0)上是单调减函数，不满足题意；对于B，g(x)=3x+1在(−∞,0)上是单调增函数，满足题意；)x是(−∞,0)上的单调减函数，不满足题意；对于C，ℎ(x)=3−x=(13对于D，t(x)=tanx在区间(−∞,0)上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．分别判断选项中的函数在区间(−∞,0)上的单调性即可．本题考查了常见的基本初等函数的单调性问题，是基础题目．4.答案：C解析：解：3√2=(212) 13=216，故选：C．根据指数式与根式的互化即可求出答案．本题考查指数式与根式的互化，是基础的计算题5.答案：B解析： 【分析】本题考查实数大小的比较，难度一般． 【解答】解：a =log 0.60.5>1，b =ln0.5<0，c =0.60.5∈(0,1)，故a >c >b ． 故选B ．6.答案：D解析： 【分析】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，令t =−x 2+x +6>0，求得函数的定义域，根据f(x)=g(t)=lgt ，本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．属于中档题． 【解答】解：令t =−x 2+x +6>0，求得−2<x <3，可得函数的定义域为{x|−2<x <3}， f(x)=g(t)=lgt ，本题即求函数t 在定义域内的减区间．∵y =lgt 在定义域上为增函数，t =−x 2+x +6在(−2,12)上单调递增，在(12,3)上单调递减， 利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为(12,3)， 故选D ．7.答案：C解析：解：∵函数f(x)=log a (4−ax)在(−2,2)上是减函数， ∴y =log a t 为增函数，且当x =2时，t =4−ax ≥0， 即{a >14−2a ≥0， 解得：a ∈(1,2]， 故选：C ．若函数f(x)=log a (4−ax)在(−2,2)上是减函数，则y =log a t 为增函数，且当x =2时，t =4−ax ≥0，解得a 的取值范围．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．8.答案：C解析：解：∵f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g(0)=0， ∴f(0)+g(0)=+20−b =1−b =0，得b =1，则f(1)+g(1)=1+2+1−1=3，f(−1)−g(−1)=−f(1)−g(1)=−[f(1)+g(1)]=−3， 故选：C ．根据函数奇偶性的性质下先求出b 的值，利用奇偶性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质，进行转化是解决本题的关键．9.答案：C解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力，属于一般题．判断函数的单调性．利用分段函数，结合单调性，得到不等式组求解即可． 解析：解：f(x)={x 2−4ax +3,x <1log a x +2a,x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立， 分段函数是减函数，所以：{0<a <12a ≥14−4a ≥2a ，解得a ∈[12,23].故选：C ．10.答案：D解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,−2)上是增函数， ∴函数f(x)在(2,+∞)上是减函数， 则f(4)<f(72)<f(3)， 即f(4)<f(72)<f(−3)， 故选：D根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．11.答案：A解析： 【分析】根据分段函数和对数函数的单调性求解即可得结果． 【解答】解：由题得f(x)的定义域为(1,+∞)， 所以{a >1,4−a >1,解得1<a <3．当a ∈(1,2)时，f(a)>f(4−a)，即|ln(a −1)|>|ln(3−a)|， 所以−ln(a −1)>ln(3−a)， 故ln(−a 2+4a −3)<0，所以−a 2+4a −3<1，即(a −2)2>0， 故a ∈(1,2)．当a ∈[2,3)时，即|ln(a −1)|>|ln(3−a)|， 所以ln(a −1)>−ln(3−a)， 故ln(−a 2+4a −3)>0， 所以−a 2+4a −3>1， 即(a −2)2<0，无解． 综上，a 的取值范围为(1,2)． 故选A ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．存在x ∈[0,2]，使得f(x)≥e ，⇔a ≥(2e 1−x +x)min ，x ∈[0,2].令g(x)=2e 1−x +x ，x ∈[0,2].利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：存在x ∈[0,2]，使得f(x)≥e ，⇔a ≥(2e 1−x +x)min ，x ∈[0,2]． 令g(x)=2e 1−x +x ，x ∈[0,2]．g′(x)=−2e 1−x +1，令g′(x)=−2e 1−x +1=0，解得x =ln2+1∈[0,2]， 当x ∈[0,ln2+1]时，g′(x)<0，当x ∈[ln2+1,2]时，g′(x)>0 可知：当x =ln2+1时，函数g(x)取得极小值，即最小值． ∴a ≥2e −ln2+ln2+1=2+ln2． ∴实数a 的取值范围是[2+ln2,+∞)． 故选B ．13.答案：(1,3)解析：本题考查指数函数的性质：定点问题，属基础题．由a0=1可得x值和此时的y值，进而可得定点．【解答】解：∵当x−1=0即x=1时，a x−1=1，∴y=1+2a x−1=3，∴函数的图象必过定点(1,3);故答案为(1,3)．14.答案：3解析：因为f(9)=f(3)+f(3)=2，所以f(27)=f(3)+f(9)=1+2=315.答案：211解析：【分析】本题考查函数值的求法，对数函数的性质、运算性质，及函数的周期性、奇函数的性质的综合应用，属于中档题．利用条件求出函数的周期、以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键．【解答】解：因为奇函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，所以f(−x)=f(x+2)=−f(x)，则f(x)=f(x+4)，所以函数周期为4，则f(2019−a)=f(3−a)=f[1−(a−2)]=f[1+(a−2)]=f(a−1)，又因为0<a<1，所以a−1∈(−1,1)，则f(a−1)=lg1+a−11−a+1=lg a2−a=−1=lg110，解得a=211，故答案为211．16.答案：[13,2 3 )解析：由减函数可知f(x)在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f(x)|和y=2−x3的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．【解答】解：∵f(x)是R上的单调递减函数，∴y=x2+(4a−3)x+3a在(−∞,0)上单调递减，且y=log a(x+1)+1在(0,+∞)上单调递减，且f(x)在(−∞,0)上的最小值大于或等于f(0)．∴{3−4a2≥00<a<13a≥1，解得13≤a≤34．作出y=|f(x)|和y=2−x3的函数草图如图所示：∵|f(x)|=2−x3恰有两个不相等的实数解，∴3a<2，即a<23．综上，13≤a<23．故答案为[13,2 3 ).17.答案：解：(1)原式=2lg2+lg25+lg2⋅(1+lg5)+2lg5=2(lg2+lg5)+lg5(lg5+lg2)+ lg2=2+lg5+lg2=3．(2)∵a+a−1=5，∴a2+a−2=(a+a−1)2−2=23，∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=7．再由a12+a−12>0，可得a12+a−12=√7．解析：(1)直接利用对数的运算性质，把要求的式子化为2lg2+lg25+lg2⋅(1+lg5)+2lg5，即2(lg2+lg5)+lg5(lg5+lg2)+lg2，进一步化简求得结果．(2)由a +a −1=5，求得a 2+a −2=(a +a −1)2−2=23，求得(a 12+a −12)2=a +a −1+2=7.再由a 12+a −12>0，求得a 12+a −12的值．本题主要考查对数的运算性质的应用，有理指数幂的化简求值，属于基础题．18.答案：解：∵{a −x >0x >0，∴0<x <a ，∴A =(0,a)∵2x >0，∴2x +1>1，∴B =(1,+∞) (1)当a =3时，A =(0,3)，A ∪B =(0,+∞)； (2)A ≠⌀时，{a >0a ≤1，∴0<a ≤1，综上可知：实数a 的取值范围为(0,1]．解析：(1)确定出A 与B ，利用并集定义可求A ∪B ； (2)根据当A ≠⌀得a 的范围即可．本题考查了集合间的基本运算及应用，集合中的参数问题，考查了函数定义域和值域的求法，难度中档．19.答案：解：(1)由1+x1−x >0，可得函数的定义域为(−1,1)，∵f(−x)=lg 1−x1+x =−lg 1+x1−x =−f(x)， ∴函数f(x)是奇函数； (2)1+x 1−x=−1+21−x 在(−1,1)上单调递增，∴f(x)在定义域上单调递增．解析：(1)求出函数的定义域，利用奇函数的定义进行判断； (2))1+x 1−x=−1+21−x在(−1,1)上单调递增，即可判断f(x)在定义域上的单调性．本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：( I )因为函数f(x)为奇函数，且x ∈R ，故f(0)= 0;当x ∈(−∞,0)时，−x ∈(0,+∞)，f(−x)=(−x)2−(−x)+1=x 2+x +1=− f(x)， 则f(x)=−x 2−x −1; 故f(x)={x 2−x +1,x >00,x =0−x 2−x −1,x <0, (II)令g(x)= f(x)− mx +1=0， 解得f(x)=mx − 1．由图所示，要使曲线y = f(x)与直线y =mx −1有3个交点，则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立{y =x 2−x +1y =mx −1故x 2−(1+m)x +2=0，令△=0，解得(m +1)2−8=0，故m =2√2− 1(m =−2√2−1舍去)，故实数m 的范围为(2√2−1,+∞)．解析：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查根的存在性及根的个数判断，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．(1)设x ∈(−∞,0)，则−x ∈(0,+∞)，结合x ∈[0,+∞)的解析式及y =f(x)是定义域为R 的奇函数即可求得答案；(2)画出函数图象，数形结合得答案．21.答案：证明：(1)由已知f(1)=0，得：a +b +c =0，而a >b >c ，∴a >0，c <0，∴ac <0，∴Δ=4b 2−4ac >0；因此函数f(x)=g(x)有两个不同实根．(2)解：由题意知，F(x)=ax 2+2bx +c∴函数F(x)的图象的对称轴方程为x =−ba ，又∵a +b +c =0∴x =a +c a =1+c a <1 又a >0∴F(x)在[2,3]单增∴{F(2)=9F(3)=21, 即{3a +3b =98a +5b =21,∴{a=2b=1．解析：本题考查的知识点是二次函数图象与性质，二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．(1)由已知中二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=−bx，分别求出a>0，c<0，易根据二次方程根的个数及△的关系，得到答案．(2)由题意可得F(x)=ax2+2bx+c，我们可根据二次函数在闭区间上的最值求法，结合函数F(x)在[2,3]上的最小值是9，最大值为21，构造关于a，b的方程，解方程即可求出答案．22.答案：解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=x2+2x+b=(x+1)2+b−1，∵关于x的方程|f(x)|−2=0有且只有两个不同的实根，∴−2<b−1<2，∴−1<b<3．∴实数b的取值范围为(−1,3)．(Ⅱ)①当−a2<1，即a>−2时，函数f(x)在区间[1,5]上单调递增，∵不等式−2⩽f(x)⩽2恒成立，∴{f(1)=1+a+b⩾−2f(5)=25+5a+b⩽2，可得−3−a⩽b⩽−23−5a，∴解得a⩽−5，与a>−2矛盾，不合题意．②当−a2>5，即a<−10时，函数f(x)在区间[1,5]上单调递减，∵不等式−2⩽f(x)⩽2恒成立，∴{f(1)=1+a+b⩽2f(5)=25+5a+b⩾−2，可得∴解得a⩾−7，这与a<−10矛盾，不合题意．③当1⩽−a 2⩽5，即−10⩽a ⩽−2时，∵不等式−2⩽f(x)⩽2恒成立，∴，整理得{b ⩽1−a b ⩽−23−5a a 24−2⩽b ， 即{a 24−2⩽1−aa 24−2⩽−23−5a ，即{a 2+4a −12⩽0a 2+20a +84⩽0, ∴{−6⩽a ⩽2−14⩽a ⩽−6，解得a =−6． 当a =−6时，则{b ⩽7b ⩽7b ⩾7，故b =7．∴a +b =1．综上可得a +b =1．解析：本题考查一元二次函数的图象和性质．(Ⅰ)当a =2时， f(x)=x 2+2x +b =(x +1)2+b −1，结合图象可得若方程|f(x)|−2=0有且只有两个不同的实根，只需|b −1|<2即可．(Ⅱ)由题意得只需满足{f(x)min ⩾−2f(x)max ⩽2即可，根据函数f(x)图象的对称轴x =−a 2与区间[1,5]的关系及抛物线的开口方向求得函数的最值，然后解不等式可得所求．。
