正切函数的图像与性质教案

正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质。

2. 能够绘制正切函数的图象，理解正切函数图象的特点。

3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。

二、教学重点：1. 正切函数的定义。

2. 正切函数的性质。

3. 正切函数图象的特点。

三、教学难点：1. 正切函数的性质的理解与运用。

2. 正切函数图象的绘制与分析。

四、教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：利用正切函数的实际应用情境，引导学生思考正切函数的定义，激发学生的学习兴趣。

2. 新课：讲解正切函数的定义，通过示例让学生理解正切函数的概念。

讲解正切函数的性质，让学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质。

讲解正切函数图象的特点，让学生通过观察、实验、探究等方式，掌握正切函数图象的特点。

3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。

六、教学反思：本节课通过引导学生思考正切函数的定义，讲解正切函数的性质与图象，让学生掌握了正切函数的基本知识。

在教学过程中，注意调动学生的积极性，引导学生通过观察、实验、探究等方式，理解正切函数的性质与图象。

但在教学中也存在一些问题，如部分学生对正切函数的理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。

六、教学拓展：1. 讲解正切函数的周期性，引导学生理解正切函数周期性的含义。

2. 讲解正切函数的奇偶性，引导学生理解正切函数奇偶性的含义。

3. 讲解正切函数的单调性，引导学生理解正切函数单调性的含义。

七、课堂小结：2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。

八、课后作业：1. 巩固正切函数的性质与图象，完成课后练习题。

2. 搜集正切函数在实际应用中的例子，加深对正切函数的理解。

1. 课后对学生进行提问，了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。

2. 分析学生的练习作业，评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。

《正切函数的图像与性质》教学案一、教学目标：1、知识与技能(1)了解任意角的正切函数概念；(2)理解正切函数中的自变量取值范围；(3)掌握正切线的画法；(4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；(5)熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；(6)能熟练掌握正切函数的图像与性质；(7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。

【探究新知】 1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋kπ(k ∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a ，b)，唯一确定比值ab .根据函数定义，比值ab 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠2π＋kπ，k ∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋kπ，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

学过程及方法一、复习引入：问题：正弦曲线是怎样画的？正切线?练习正切线，画出以下各角的正切线：．下面我们来作正切函数和余切函数的图象．二、讲解新课：1．正切函数tany x=的定义域是什么？⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠zkkxx,2|ππ2．正切函数是不是周期函数？()tan tan,,2x x x R x k k zπππ⎛⎫+=∈≠+∈⎪⎝⎭且，∴π是tan,,2y x x R x k k zππ⎛⎫=∈≠+∈⎪⎝⎭且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

学生答复河北武中·宏达教育集团老师课时教案教问题与情境及老师活动学生活动学过程及方法3．作tany x=，x∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象说明：〔1〕正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；〔2〕根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rxxy∈=tan，且()zkkx∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线〔3〕(看课本44页图1.4—10)由图象可以看出，正切曲线是由被互相平行的直线()2x k k Zππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质引导学生观察，共同获得：〔1〕定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠zkkxx,2|ππ；〔2〕值域：R观察：当x从小于()zkk∈+2ππ，2π+π−→−kx时，tan x−−→+∞当x从大于()zkk∈+ππ2，ππkx+−→−2时，-∞−→−xtan。

学生完成教问题与情境及老师活动学生活动。

§1.4.3正切函数的图像与性质【教学目标】1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x 的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课时安排】1课时 【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？大家怎么知道正切函数的值域是R? 通过单位圆中的正切线可以得到。

那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问） 问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2 ]内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。

问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。

方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象； 第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 第三步：根据图象总结性质。

正切函数的图像与性质教案张振坤一.教材分析1.地位与作用本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（北师大版）数学必修四《第一章三角函数第7节 正切函数》。

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。

它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

2.教材处理正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

设计中首先得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图像的方式，利用正切线画正切函数)2,2(,tan ππ-∈=x x y的图像，根据图像，研究正切函数的性质。

体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。

在画图像之前引导学生思考分析区为什么选定间（2,2ππ-），这样既不限制学生的思维，又把空间留给学生，让学生明白由周期性也可自己选择其它区间作图，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了“问题6”帮助学生理解该性质，并启发学生从代数和几何两种角度看问题。

二．学情分析在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。

高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。

能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

三．教学目标确定及依据正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

高中数学正切函数图像教案一、教学目标：1. 掌握正切函数的定义和性质；2. 理解正切函数的图像及其特点；3. 能够求解正切函数的相关问题。

二、教学重点：1. 正切函数的定义和性质；2. 正切函数的图像及特点。

三、教学内容：1. 正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)2. 正切函数的性质：- 周期性：tan(x + π) = tan(x)- 奇函数性质：tan(-x) = -tan(x)- 定义域：x ≠ kπ + π/2，k为整数- 值域：(-∞, +∞)3. 正切函数的图像分析：- 对称轴：x = kπ，k为整数- 渐近线：y = π/2 + kπ，k为整数四、教学步骤：1. 引入：通过实际问题引入正切函数的概念，引导学生思考正切函数的定义和性质；2. 讲解：介绍正切函数的定义和性质，并解释其图像特点；3. 分析：分析正切函数的图像，特别是对称轴和渐近线的位置；4. 计算：让学生通过实例计算正切函数的相关数值；5. 练习：布置练习题，让学生巩固和提高对正切函数的理解和运用能力；6. 总结：总结正切函数的特点和性质，强调重点。

五、课堂讨论：1. 你认为正切函数的图像有什么特点？2. 如何求解正切函数的相关问题？3. 你觉得学习正切函数有什么实际意义？六、作业布置：1. 完成课堂练习题；2. 总结正切函数的概念和性质；3. 思考如何应用正切函数解决实际问题。

七、延伸拓展：1. 对于正切函数的极限性质进行深入研究；2. 探讨正切函数在实际问题中的应用。

八、教学反馈：1. 收集学生的作业，并及时给予反馈；2. 回顾本节课的重点，强化学生对正切函数的理解。

6.2正切函数的图像与性质（2）（教案）教学目的：1、熟练掌握正切函数的图像和性质2、掌握正切函数的图像与性质的简单应用教学重点：正切函数的图像和性质的应用教学过程：（一）、引入一、双基回顾：1、正切函数的图像与性质：2、余切函数的图像与性质：（二）、新课 一、典型例题 例1、求函数xy tan 11+=的定义域解：由⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠-≠)(21tan Z k k x x ππ 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠-≠)(24Z k k x k x ππππ 所以定义域为},2,4|{Z k k x k x x ∈+≠-≠ππππ例2、求下列函数的最小正周期（1）2tan 12tan22x x y +=；（2）2tan 12tan22xxy -= 解：（1）x y sin =，定义域},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，所以周期π2 （2）x y tan =，定义域},2,2|{Z k k x k x x ∈+≠+≠ππππ，所以周期π2例3、已知函数)3tan(2)(π-=nx x f 的最小正周期T 满足231<<T ，其中*∈N n , （1） 求n 的值；（2）判断函数的奇偶性并说明理由；（3）求函数的单调区间 解： （1）3=n ，)33tan(2)(π-=x x f（2）定义域},1853|{Z k k x x ∈+≠ππ不关于原点对称，为非奇非偶函数 （3）函数在Z k k k ∈+-)1853,183(ππππ上单调递增 例4、设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）解：如图6-12，AB=7米，由球场宽65米，可知AC =29米，BC =36米。

设足球运动员在边线上的点M 处射球门，βα=∠=∠AMC AMB ,，显然α越大，越有利于射门。

设点M 与底线AC 的距离为x 米，则xx 36)tan(,29tan =+=βαβ。

正切函数的性质与图像教案第一篇：正切函数的性质与图像教案1．4．3 正切函数的性质和图像一、教学目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；二、课时 1课时三、教学重点正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具多媒体、实物投影仪六、教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z 2可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(kπ,0)k∈Z.2(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-ππ22,)内是增函数,π2+kπ,π+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域根据正切函数的定义tanα=y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+π,k∈Z,所以正切函2ππ,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(-π2且无限接近-π2时,正ππ且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方22ππ22,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1 问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-ππ,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22ππ,)的图象为好.22π+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-ππ22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-π4,-1),(0,0),（π,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-x=-π4,-1),(0,0),（π,1),再画两条平行线4π2,x=π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=π+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性π+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称22kπ的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(-+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例略课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.第二篇：正切函数的图像与性质教案高中数学正切函数的图像与性质昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案试讲科目：高中数学学校：云南师范大学姓名：何会芳2013年5月3日制高中数学正切函数的图像与性质一.教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。

6.2正切函数的图像与性质（1）（教案）教学目的：1、建立正切函数的概念2、掌握正切函数的图像特征3、掌握正切函数x y tan =的奇偶性、周期性、单调性和值域教学重点：正切函数的图像和性质 教学过程： （一）、引入 一、双基回顾：1、三角函数线：正切线αtan ==xyAT ，AT 是α的 正切线。

2、αtan 有意义，α应满足的条件为Z k k ∈+≠,2ππα（二）、新课一、定义 对于任意一个实数x （Z k k x ∈+≠,2ππ）都有唯一确定的值x tan 与它对应，按照这个对应法则建立的函数，表示为x y tan =，叫做正切函数二、正切函数的性质1、正切函数的定义域为 },2|{Z k k x x ∈+≠ππ, 用区间表示为 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ2、正切函数的值域为 R3、由=-)tan(x x tan -可知，正切函数是奇函数 4、由=+)tan(x πx tan 可知，正切函数是周期 函数，最小正周期为 πx y 21t a n =的最小正周期是π2 ； )43tan(π+=x y 的最小正周期是3π一般地，)tan(ϕω+=x y （)0(≠ω的最小正周期为 ||ωπ5、观察上图中的正切线，当角x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π内递增时，y tan =递增，由正切函数奇偶性可知x y tan =在区间)2,2(ππ-上单调递增，又由正切函数是以π为周期的周期函数，所以正切函数x y t a n =在 Z k k k ∈+-)2,2(ππππ 内都是增函数证明：在)2,0[π内任取21x x 、，其中21x x <，有112212cos sin cos sin tan tan x x x x x x -=- 2112211212cos cos )sin(cos cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x -=-=，因为2021π<<<x x ，所以2012π<-<x x ，于是0)s i n (,0c o s ,0c o s 1221>->>x x x x ，从而正切函数x y tan =在区间)2,0[π内是增函数。

正切函数的性质与图象教案一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，能够运用正切函数的性质解决问题。

2. 让学生通过观察正切函数的图象，加深对正切函数性质的理解。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。

二、教学重点：1. 正切函数的性质。

2. 正切函数的图象特征。

三、教学难点：1. 正切函数性质的推导。

2. 正切函数图象的绘制。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正切函数的性质。

2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解正切函数的图象特征。

3. 通过小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学准备：1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。

2. 学生准备笔记本和文具。

教案内容：一、导入（5分钟）1. 复习正切函数的定义：正切函数是指在直角三角形中，对边与邻边的比值。

2. 提问：正切函数有什么性质呢？它的图象又是怎样的呢？二、探究正切函数的性质（15分钟）1. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的周期性。

2. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的奇偶性。

3. 引导学生观察正切函数的图象，发现正切函数的单调性。

三、总结正切函数的性质（5分钟）1. 总结正切函数的周期性。

2. 总结正切函数的奇偶性。

3. 总结正切函数的单调性。

四、绘制正切函数的图象（15分钟）1. 引导学生利用函数图象绘制工具，绘制正切函数的图象。

2. 引导学生观察正切函数的图象，验证正切函数的性质。

五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成正切函数性质的练习题。

2. 让学生绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。

六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结正切函数的性质。

2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。

七、作业布置（5分钟）1. 完成正切函数性质的相关练习题。

2. 绘制正切函数的图象，并分析图象的性质。

八、课后反思（教师）1. 反思本节课的教学效果，调整教学方法。

第五章三角函数 5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象[目标]1.能够作出y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质．[难点]正切函数的图象、性质及其应用．知识点一正切函数y ＝tan x 的图象[填一填]正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线.[答一答]1.正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2，k ∈Z 有公共点吗？提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的．2.直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为．{x |x ＝k π，k ∈Z }(2)满足tan x <0的集合为．{x |k π－π2<x <k π，k ∈Z } (3)满足tan x >0的集合为．{x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z }知识点二正切函数y ＝tan x 的性质[填一填](1)定义域是．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }(2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是.奇函数(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(k π2，0)(k ∈Z )[答一答]4.y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性．5.正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π2＋k π，0)(k ∈Z )对称，因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z )．类型一利用正切函数图象求定义域及值域[例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，然后求出x 的范围.(2)求值域要用换元的思想，把tan x 看作可取任意实数的自变量. [变式训练1] (1)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． (2)求函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.∵在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，∴所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4，k ∈Z ，即为此函数的定义域． (2)y 1＝sin x ，y 2＝tan x 均满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增，∴函数y ＝sin x ＋tan x 也满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增， ∴此函数在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1. 类型二正切函数的周期性[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4与函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期． [解] 函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的最小正周期为T ＝π4； f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨⎧0，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，2tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，作出f (x )＝tan x ＋|tan x |的简图，如图所示，易得函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期T ＝π.一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)＋B (A ≠0，ω>0)的最小正周期为T ＝πω，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.[变式训练2] 若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝. ±23 解析：T ＝π|3a |＝π2，所以a ＝±23.类型三正切函数的单调性及应用[例3] (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z 得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z .所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，无单调递减区间．(2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，所以－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5.(1)求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调性时可将ωx ＋φ看成一个整体，利用y ＝tan x 的单调性求解，但需注意A 、ω的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，再利用正切函数的单调性比较.[变式训练3] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调区间是.递减;⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z(2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4tan ⎝⎛⎭⎫－95π.>解析：(1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，k ∈Z . 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z . (2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5<tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π>tan ⎝⎛⎭⎫－95π. 类型四正切函数图象与性质的综合应用[例4] 设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．[解] (1)由题意，知函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称，所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z .即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z .所以函数的单调递增区间为⎝⎛ －3π8＋k π2，⎭⎫π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间．(3)由(1)，知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z .即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .(1)正切函数y ＝tan x 与x 轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，不但包含y ＝tan x 的零点，而且包括直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )与x 轴的交点.[变式训练4] 已知函数y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．解：因为函数y ＝tan x 图象的对称中心为点⎝⎛⎭⎫k π2，0，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，令x ＝π3，得θ＝k π2－2π3，k ∈Z .又－π2<θ<π2，当k ＝1时，θ＝－π6，当k ＝2时，θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.1.若tan x ≥0，则( D ) A ．2k π－π2<x <2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．2k π－π2<x ≤k π(k ∈Z )D ．k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )2.函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一个对称中心是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12，令k ＝－2得x ＝－π4.故选C ．3.函数y ＝1tan (π－x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数4.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是.⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )． 5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域． 解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．——本课须掌握的两大问题1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．第五章5.4.3正切函数的性质与图象A 组·素养自测一、选择题1．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( A )A ．{x ∈R |x ≠k π＋π4，k ∈Z }B ．{x ∈R |x ≠k π－π4，k ∈Z }C ．{x ∈R |x ≠2k π＋π6，k ∈Z }D ．{x ∈R |x ≠2k π－π6，k ∈Z }[解析] 由正切函数的定义域可得，x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，∴x ≠π4＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x ∈R |x ≠π4＋k π，k ∈Z }．2.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( A )A.－π6B.π6 C.－π12D.π12[解析] ∵函数的图象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6，故选A ． 3．函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( A )A ．±1B ．1C ．±2D ．2[解析]π|ω|＝2π|－2|，ω＝±1. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( A )[解析] 由f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3， 知f (x ＋2π)＝tan[12(x ＋2π)－π3]＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝f (x )．∴f (x )的周期为2π，排除B ，D ． 令tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＝0，得x 2－π3＝k π(k ∈Z )． ∴x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，若k ＝0，则x ＝2π3，即图象过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，故选A ．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 的定义域为⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，则函数的值域为( C ) A ．(3，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－33，＋∞C ．(－3，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫33，＋∞ [解析] 由2π3<x <3π2，即－3π2<－x <－2π3，得π6－3π2<π6－x <π6－2π3，即－4π3<π6－x <－π2，从而tan ⎝⎛⎭⎫π6－x >tan ⎝⎛⎭⎫－4π3＝－ 3.故函数的值域为(－3，＋∞)． 6．在区间[－2π，2π]内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( B ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B ．二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为__(k π4－π6，0)(k ∈Z )__.[解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是__(2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z )__.[解析] y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .9．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π3所得线段长为2，则a 的值为__π2__.[解析] 由题意可得T ＝2，所以πa ＝2，a ＝π2.三、解答题10．求下列函数的周期及单调区间． (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4； (2)y ＝|tan x |.[解析] (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6， ∴T ＝π|ω|＝4π，∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的周期为4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )，∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增，无单调递增区间． ∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递减． (2)由于y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z ).∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )．11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．[解析] ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.B 组·素养提升一、选择题1．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则( D )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[解析] ∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°， ∴log 12sin25°>log 12cos25°>log 12tan70°.即a <c <b .2．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，若f (π3)＝1，则f (－π3)＝( C )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] ∵f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，f (π3)＝1，∴f (π3)＝m tan π3－k sin π3＋2＝3m －32k ＋2＝1，∴3m －32k ＝－1， ∴f (－π3)＝m tan(－π3)－k sin(－π3)＋2＝－3m ＋32k ＋2＝3.3．(多选题)下列说法正确的是( BD ) A ．tan 8π7>tan 2π7B ．sin 145°<tan 47°C ．函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πωD ．函数y ＝2tan x (π4≤x <π2)的值域是[2，＋∞)[解析] A 错误，tan 8π7＝tan(π＋π7)＝tan π7，因为0<π7<2π7<π2，函数y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，所以tan π7<tan 2π7，即tan 8π7<tan 2π7；B 正确，sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，故sin145°<tan47°；C 错误，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；D 正确，∵π4≤x <π2，∴由函数的单调性可知y ＝2tan x ≥2，故选BD ．4．(多选题)已知函数f (x )＝tan x ，对任意x 1，x 2∈(－π2，π2)(x 1≠x 2)，给出下列结论，正确的是( AD )A ．f (x 1＋π)＝f (x 1)B ．f (－x 1)＝f (x 1)C ．f (0)＝1D ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0[解析] 由于f (x )＝tan x 的周期为π，故A 正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故B 不正确；f (0)＝tan0＝0，故C 不正确；D 表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间(－π2，π2)上的增函数，故D 正确．二、填空题5．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.[解析] 若ω使函数在(－π2，π2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.6．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数； (2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数； (3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是偶函数． 其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对．因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．7．若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )__. [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z .三、解答题8．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围． [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3. 又y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π3内单调递增， ∴0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3， ∴0≤2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2 3. 由题意知a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3>0对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立， 即a >2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)．9．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎨⎧0，x ∈(k π－π2，k π]，2tan x ，x ∈(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z .。

第五章 三角函数5.4.3 正切函数的性质与图像教学设计一、教学目标1.掌握利用单位圆中正切函数定义得到图像的方法.2.能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.二、教学重难点教学重点能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.教学难点掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图像.三、教学过程（一）情景引入教师：三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.学生：思考.（二）探究一：正切函数的图像教师提问：正切函数图像是怎样的？类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？学生：思考 正切函数tan , ?()2y x x R x k k z ππ=∈≠+∈且图象：观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域： ()2x k k z ππ≠+∈ 值域： (,)R ∞∞-+最值： 无最值 渐近线：()2x k k Z ππ=+∈周期性：最小正周期是π奇偶性: 奇函数 单调性：增区间,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭图像特征：无对称轴，对称中心：,0Z 2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 例1 求函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调递增区间． 【答案】定义域：12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；最小正周期为2；单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . 【解析】由232x k ππππ+≠+，得12()3x k k ≠+∈Z ．所以函数()f x 的定义域是12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣； 由于22ππ=，因此函数f (x )的最小正周期为2. 由,2232k x k k ππππππ-+<+<+∈Z ，解得5122,33k x k k -+<<+∈Z .因此，函数的单调递增区间是512,2,33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z . （三）课堂练习1.与函数πtan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相交的一条直线是( ) A.π2x = B.π2y = C.π8x = D.π8y = .答案：C 解析：令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，得ππ()28k x k =+∈Z ，令0k =，则π8x =. 2.函数1πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像是( ) A. B.C. D. 答案：A解析：当2π3x =时，0y =，排除C,D ；当0x =时，πtan 3y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，排除B.故选A.3.已知函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则( ) A.增区间为(65,61)k k -+,k ∈ZB.增区间为(61,65)k k -+,k ∈ZC.减区间为(65,61)k k -+,k ∈ZD.减区间为(61,65)k k -+,k ∈Z答案：C 解析：令ππππππ()2632k x k k -+<+<+∈Z ，解得6561()k x k k -<<+∈Z ， 故函数ππ2tan 63y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为(65,61)()k k k -+∈Z .故选C. 4.函数πtan 4y x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的定义域是( ) A.π,4x x x ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭R ∣ B.π,4x x x ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭R ∣ C.ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ D.3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣ 答案：D解析：函数的解析式即πtan 4y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,要使函数有意义,则πππ()42k x k ≠+∈-Z ,解得3ππ()4x k k ≠+∈Z ,据此可得函数πtan 4=x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是3ππ,,4x x k k x ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R ∣.故选D.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.正切函数的图像2.正切函数的性质四、板书设计5.4.3 正切函数的性质与图像1.正切函数的图像2.正切函数的性质。

河北武中·宏达教育集团教师课时教案备课人授课时间课题 1.4.3正切函数的性质与图象课标要求引导学生用数形结合思想处理有关问题教学目标知识目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象2.用正切函数图象解决函数有关的性质；技能目标1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法情感态度价值观培养认真学习的精神；重点用单位圆中的正切线作正切函数图象难点正切函数的性质教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法一、复习引入：问题：正弦曲线是怎样画的？正切线?练习正切线，画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数和余切函数的图象．二、讲解新课：1．正切函数tany x=的定义域是什么？⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠zkkxx,2|ππ2．正切函数是不是周期函数？()tan tan,,2x x x R x k k zπππ⎛⎫+=∈≠+∈⎪⎝⎭且，∴π是tan,,2y x x R x k k zππ⎛⎫=∈≠+∈⎪⎝⎭且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

学生回答1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法3．作tany x=，x∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rxxy∈=tan，且()zkkx∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线（3）(看课本44页图1.4—10)由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Zππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质引导学生观察，共同获得：（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠zkkxx,2|ππ；（2）值域：R观察：当x从小于()zkk∈+2ππ，2π+π−→−kx时，tan x−−→+∞当x从大于()zkk∈+ππ2，ππkx+−→−2时，-∞−→−xtan。

正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质；（2）学会运用正切函数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察正切函数的图像，探索正切函数的性质；（2）利用数形结合思想，研究正切函数的单调性、周期性等性质。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学审美观，感受数学的对称美；（2）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的图像与性质。

2. 教学难点：（1）正切函数的单调性；（2）正切函数的周期性。

三、教学准备1. 教师准备：（1）正切函数的图像与性质的相关知识；（2）教学课件或黑板。

2. 学生准备：（1）掌握锐角三角函数的基本概念；（2）了解正切函数的定义。

四、教学过程1. 导入新课（1）复习锐角三角函数的基本概念，引导学生回顾正切函数的定义；（2）提问：你们认为正切函数的图像会是什么样的呢？2. 探究正切函数的图像与性质（1）教师展示正切函数的图像，引导学生观察并描述正切函数的图像特点；（2）学生分组讨论，探索正切函数的单调性和周期性；3. 应用拓展（1）教师提出实际问题，引导学生运用正切函数解决问题；（2）学生独立解答，分享解题思路和方法。

五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质，通过观察图像、探索性质，我们了解了正切函数的特点。

我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。

希望同学们在课后继续深入学习和思考，掌握更多的数学知识。

六、教学反馈与评价1. 课堂提问：在教学过程中，教师应根据学生的回答情况，及时给予评价和反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。

2. 课后作业：布置有关正切函数图像与性质的练习题，要求学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。

3. 学习评价：通过课堂表现、课后作业和小组讨论，评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。

七、教学改进1. 针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度，以便更好地满足学生的学习需求；2. 在教学中，注重引导学生运用数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 加强与学生的互动，鼓励学生提问、发表见解，提高课堂氛围。

一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质和图象。

2. 培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。

二、教学内容：1. 正切函数的定义：正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值，用符号tan 表示。

2. 正切函数的性质：（1）正切函数是周期函数，周期为π。

（2）正切函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。

（3）正切函数在区间(-π/2, π/2)上单调递增。

（4）正切函数的图象是一条连续的曲线。

3. 正切函数的图象：正切函数的图象是一条从第二象限到第四象限的曲线，经过点(π/4, 1)和(-π/4, -1)。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：正切函数的定义、性质和图象。

2. 教学难点：正切函数的性质和图象的深入理解与应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。

2. 利用多媒体课件，展示正切函数的图象，帮助学生直观地理解正切函数的性质。

3. 结合具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。

五、教学步骤：1. 引入：通过讲解正切函数的定义，引导学生理解正切函数的概念。

2. 探索正切函数的性质：让学生观察正切函数的图象，引导学生发现正切函数的周期性、奇偶性和单调性。

4. 应用正切函数解决实际问题：给出具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。

六、教学评估：1. 课堂练习：设计一些有关正切函数性质和图象的练习题，让学生在课堂上完成，以检验他们对知识的掌握程度。

2. 课后作业：布置一些有关正切函数的应用题，让学生课后思考和解答，以巩固所学知识。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让他们分享自己在学习正切函数性质和图象过程中的心得体会，以培养他们的合作能力和交流能力。

七、教学反思：在课后，对本次教学进行反思，分析学生在学习正切函数性质和图象过程中遇到的问题，以及自己的教学方法和策略是否得当。

《正切函数的图象与性质》教学设计◆教学目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．◆教学重难点◆教学重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用．教学难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象．◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习正切函数的图象与性质.（板书：7.3.2.3 正切函数的图象与性质）设计意图：情境导入，引入新课。

【探究新知】问题1：（1）正切函数y＝tan x的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：（1）π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ．（2）周期性．tan (kπ＋x )＝tan _x (k ∈Z )． （3）正切函数是奇函数．追问：如何画出正切函数的图象？正切函数的图象特征是什么？ 预设的答案：利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）．作法如下： (1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆．(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．在每个开区间 ππ(,)()22k k k Z ππ-++∈上都是增函数。

7.3.4正切函数的性质与图像【教学目标】1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质．2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题. 【教学重点】正切函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）. 【教学难点】对正切函数周期性的理解. 【教学过程】 一、课前预习预习课本，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？ 二、课前小测1．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案：C解析：A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上递减，故选C.2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z 解析：因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________．答案：π3解析：函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是________． 答案：⎝⎛⎭⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z 解析：令k π－π2＜x －π5＜k π＋π2，k ∈Z得k π－3π10＜x ＜k π＋7π10，k ∈Z即函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是⎝⎛⎭⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z .三、新知探究正切函数的图像与性质解析式 y ＝tan x图像定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数对称中心 ⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z单调性 在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数四、题型突破题型一 有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．(3)函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为________．[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．答案：(1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－4k π－4π3，k ∈Z (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z 解析：(1)当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ≤－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x≥1.即当x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0∪⎝⎛⎭⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)要使函数有意义应满足π6－x 4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠－4k π－4π3，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z . (3)要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1. 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z .【反思感悟】1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．【跟踪训练】1．函数y ＝12log tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z 答案：B解析：由题意tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＞0， 即tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＜0， ∴k π－π2＜x －π4＜k π，∴k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，故选B.2．求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． 解：由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18(k ∈Z ). 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.题型二 正切函数奇偶性、周期性和图像的对称性 【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期为________． (2)已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3，则该函数图像的对称中心坐标为________． (3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x .[思路点拨] (1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． 答案：(1)π2 (2)⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z 解析：(1)法一：(定义法) ∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π2. (2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图像的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .](3)①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．【反思感悟】1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法： (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . 【跟踪训练】3．判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝tan 2 x －tan x tan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2) 函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．题型三 正切函数单调性的应用 [探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图像被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝⎛⎭⎫－4π3与tan ⎝⎛⎭⎫－11π5的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．(2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． [思路点拨] (1)利用y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)． (2)先将原函数化为y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，再由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z ，求出单调减区间．(1) 答案：tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1解析：y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)， 又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜3π2， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.(2)解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的减区间为(－π8＋k 2π，3π8＋k2π)，k ∈Z .【多维探究】1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4”，结果又如何？ 解：由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是(2k π－π2，2k π＋32π) (k ∈Z )．2．将本例(2)中的函数改为“y ＝lgtan x ”结果又如何？ 解：因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数． 所以函数y ＝lgtan x 的单调递增区间 就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的递增区间， 即⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π，k ∈Z .【反思感悟】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．五、达标检测 1．思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R .( )(2)正切函数图像是中心对称图形，有无数个对称中心．( ) (3)正切函数图像有无数条对称轴，其对称轴是x ＝k π±π2，k ∈Z .( )(4)正切函数是增函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．若tan x ≥1，则( ) A ．2k π－π4＜x ＜2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．k π－π4＜x ≤k π(k ∈Z )D ．k π＋π4≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )答案：D解析：因为tan x ≥1＝tan π4.所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .3．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域为________． 答案：(－3，1)解析：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数， 所以值域为(－3，1)．4．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图像的对称中心． 解：①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图像的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .六、本课小结1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图像，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．2．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．七、课后作业1.复习回顾本节内容.2.完成本节配套课后练习《高一必修三7.3.4正切函数的性质与图像课时精练（配套）》.。