2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：解答题的八个答题模板

方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人方达教育学科教师指导教学设计学员姓名年级指导科目数学高三讲课老师翟嘉课时数2h第次课讲课日期实时段2015年月日：—：解答题的八个答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，往常是高考的把关题和压轴题，具有好较的区分次层和选拔功能．当前的高考解答题已经由纯真的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题考考场上，可否做好解答题，是高考成败的要点，所以，在高考备考取学会如何解题，是一项重要的内．容“答题模板”就是第一把高考试题归入某一种类，把数学解题的思想过程区分为一个个小题，按一照定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．重申停题程序化，答题格式化，在最短的时间内定拟解决问题的最正确方案，实现答题效率的最优化．．在高模板 1三角变换与三角函数的性责问题已知函数 f (x) ＝ 2cos x ·sin x＋π2x＋sin xcos x＋1.－3sin3(1) 求函数f(x) 的最小正周期；(2) 求函数 f(x) 的最大值及最小值；(3) 写出函数f(x) 的单一递加区．间审题路线不图同角化同角→降幂扩角→化 f(x) ＝ Asin( ωx＋φ)＋ h→联合性质求解．规范解答示例建立答题模板13第一步化简：三角函数式的化简，一般化成y＝ A sin(ωx＋φ)＋ h 的形式，解 f( x)2cos x＝2sin x x)＋ 1 ＝ sin 2x ＋3cos 2x ＋ 1即化为“一角、一次、一函数”的形式．2＋cosx3sin－22＝ 2sin xcos x ＋ 3(cosx － sinπ＝ 2sin 2x ＋ ＋ 1.3(1) 函数 f(x) 的最小正周期为2 π＝ π.2ππ(2) ∵－ 1 ≤ sin 2x ＋＋1≤ 3. ≤ 1， ∴－ 1≤ 2sin 2x ＋ 33∴当 2x ＋ π ππ ＝ ＋ 2k π， k ∈Z ，即 x ＝ ＋ k π，k ∈Z 时， f( x)取3 212 得最大值 3；第二步整体代换：将 ωx ＋ φ看作一个整体，利用y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的性质确立条件．第三步求解： 利用 ωx ＋ φ的范围求条件解得函数y ＝ A sin(ωx ＋ φ) ＋ h的性质，写出结果．ππ5 π第四步反省：反省回首，查察要点点，当 2x ＋ ＝－＋ 2k π， k ∈Z ，即 x ＝－ ＋ k π，k ∈Z 时， f(x) 易错点，对结果进行估，算 检查规范性 .3212方达教育指导教学设计第 1 页（共16 页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人获得最小值－ 1.(3) 由－ππ π 5 ππ＋ 2k π≤ 2x ＋3≤＋ 2k π，k∈Z ，得－＋ kπ≤ x≤＋221212kπ，k∈Z .∴函数 f (x) 的单一递加区间为－(2014 福·建 )已知函数－π2，且 sin α＝，求(1) 若 0< α<225ππ＋ kπ，＋ kπ (k ∈Z ).12121f(x) ＝ cos x(sin x＋ cos x) 2.f( α)的值；(2) 求函数f(x) 的最小正周期及单一递加区间．π2222211解方法一(1) 因为 0<α<， sin α＝，所以 cos α＝.所以 f( α)＝×(＋)－＝222222.(2) 因为 f(x) ＝ sin xcos x ＋ cos11＋ cos 2x111222π2x－ 12x－ 12sin 2x ＋－＝ 2sin 2x ＋ 2cos 2x ＝2 sin(2 x＋ 4) ，22＝22π所以 T＝＝π.2由 2kπ－πππ3ππ≤ 2x ＋≤ 2k π＋， k∈Z ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋， k∈Z .2423 π88所以 f (x) 的单一递加区为间[k π－π， kπ＋]， k∈Z .88π1 11＋ cos 2x 1 1122x－－＝22sin(2 x＋)．方法二f(x) ＝ sin xcos x ＋ cos22sin 2x ＋cos 2x ＝24＝sin 2x ＋22π2 3 π 1π2π2， sin α＝，所以α＝，进而f( α)＝ 2 sin(2 α＋4)＝ 2 sin 2.(1) 因为 0< α<2244＝2π(2)T ＝＝π.2由 2kπ－πππ3ππ≤ 2x ＋≤ 2k π＋， k∈Z ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋， k∈Z . 24288所以 f (x) 的单一递加区为间3 π[k π－π， kπ＋]， k∈Z .88模板2解三角形问题在△ABC 中，若 acos2C2 A3＋ ccos＝22 2b.(1) 求证：a ， b ， c 成等差数列； (2) 求角 B 的取值范围．审题路线图 (1)化简变形―→ 用余弦定理转变为边的关系 ―→ 变形证明(2) 用余弦定理表示角―→ 用基本不等式求范围―→ 确立角的取值范围方达教育指导教学设计第 2 页（共16 页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人规范解答示例构建答题模板2C2A1＋ cos C第一步定条件：即确立三角形中的已知和(1) 证明因为 acos＋＋ccos ＝ a·2221 ＋ cos A3所求，在图形中标明出来，而后确立转变的c·＝ b ，22所以 a＋ c＋ ( acos C ＋ ccos A) ＝ 3b ，方向．2＋ b2－ c22＋ c2－ a2第二步定工具：即依据条件和所求，合理a b＝ 3b ，故 a＋ c＋ a·选择转变的工具，实行边角之间的互化．＋c·2ab2bc整理，得 a ＋ c＝ 2b ，故 a ， b， c 成等差数列．第三步求结果．2＋ c2－ a ＋ c 2第四步再反省：在实行边角互化的时应候(2) 解cos B ＝2＋ c2－ b2a2注意转变的方向，一般有两种思路：一是全a＝2ac2ac3 a 2＋ c2－ 2ac1部转变为边之间的关系；二是所有转变为角26ac － 2ac，之间的关系，而后进行恒等变形.＝8acπ.3＝≥8ac因为 0< B<π，所以 0<B ≤(2014 )宁·辽在△ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分为别→ →＝ 2， cos B a， b ， c，且 a>c ，已知 BA ·BC＝13，b＝ 3.求： (1) a 和 c 的值；(2)cos( B－ C) 的值．→ →1解 (1) 由 BA＝2得c·acos B＝ 2.又cos B＝3·BC，所以 ac ＝ 6. 由余弦定理，得a2＋ c 2＝ b 2＋ 2accos B. 又 b ＝ 3， 2 ＋ c 2 ＝ b 2＋ 2accos B. 又 b ＝ac ＝ 6，a ＝ 2， a ＝ 3， 3，所以 a＝ 13.解2＋ c 2＝ 9 ＋ 2 ×6×12＋ c 2＝ 13，得或c ＝ 3c ＝ 2.2＋ c 2＝ 9＋ 2 ×6×1a3因为 a>c ，所以a ＝ 3 ， c ＝ 2.(2) 在 △ABC 中， sin B ＝ 1 － cos1 2＝22B ＝ 1－322B ＝1－，，c2 2 24 2 3由正弦定理，得sin C ＝3 × ＝ 9.因为 a ＝ b> c ，所以 C 为锐角，3bsin B ＝24 22＝7172242 所以 cos C ＝ 1－ sin99.于是 cos(B － C) ＝ cos Bcos C ＋ sin Bsin C ＝ × ＋ 39C ＝1－3 9 ×＝23.27模板 3数列的通项、乞降问题*)知足a b nn已知首项都是 1 的两个数列{ a n} ， {b n}( b n≠0 ， n∈N＋1－a n＋1 b n＋2b n＋1b n＝0.a n(1) 令 c n＝，求数列 { a n} 的通项公式；b nn－1，求数列{ a (2) 若 bn＝ 3方达教育指导教学设计第 3 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人审题路图线(1)＋＋＋1 b n ＝ 0 →a n＋ 1 ana nb n1－ a n1b n ＋ 2b n＋ 1－bn1 nn＝ 2 → c n ＋ ＝ 2 － 1b n ＋－ c → c ＝ 2n错位相减法得 S n1n － 1――→(2) c n ＝ 2n － 1 → a n ＝ 2n － 1 ·3规范解答示例建立答题模板解＋＋2b ＋，(1)因为a n bn1－ a n 1b n ＋n 1b n ＝ 0(b n ≠0n ∈N *) ，第一步找递推：依据已知条件确立数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．所以a n ＋a n1＝ 2 ，即 c n ＋1n＝ 2，第二步求通项：依据数列递推公式转 化为－ b n － c＋b n ＋ 11所以数列 {c n } 是以首项c 1＝ 1，公差d ＝2 的等差数等差或等比数列求通项公式，或利用累加法列，故 c n ＝ 2n － 1.n －1 知an－1，(2) 由 b n ＝ 3 n ＝ c n b n ＝ (2n － 1)3 于是数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ 1·3＋ 3·31＋ 5·32＋ ,＋ 3·31＋ 5·32＋,n －1，＋ (2n － 1) ·31 2＋ , ＋ (2n － 3) n －1n3S n ＝ 1·3 ＋ 3·3 ·3 ＋ (2n － 1) 3·，2S n ＝ 1 ＋ 2·(31＋ 32＋ 相减得－n －1)－ (2n －＋ 312 ＋ , n －1 )－ (2n－＋ 3＋ 31) 3·＝－ 2－ (2n － 2)3 ，nn所以S n ＝ (n － 1)3n＋ 1.n＋ 1.或累乘法求通项公式．第三步定方法：依据数列表达式的构造特征确立乞降方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等) ．第四步写步骤： 规范写出乞降步骤．, 第五步 再反省： 反省回首，查察要点点、易错点及解题规范 .已知点 1， 1 是函数f( x)＝ a x(a>0 ，且 a ≠1) 的图象上的一点．等比数列{a n } 的前 n 项和为f(n)3－ c.数列 { b n } ( b n >0) 的首项为c ，且前n 项和－＝S n ＋ S nS n 知足S n － S n1－(n ≥ 2) ．1(1) 求数列 { a n } 和 {b n } 的通项公式；(2) 若数列1 的前 n 项和为T n ，问知足T n >1 001n 是多少？b n b n ＋ 的最小正整数112 012解 (1) ∵f(1) ＝ a ＝1 x. ， ∴f( x)＝ 33122由题意知，a 1＝ f(1) － c ＝ － c ， a 2＝ [ f(2) － c]－ [f(1) － c] ＝－ 93.3， a 3＝ [f (3) － c] － [f(2) － c]＝－4 2 1a 2 12 3 － c ， ∴c ＝ 1. 又公比 q ＝ ＝ ，23 a 1 3又数列 { a n } 是等比数列，a81＝∴a 1＝＝ ＝－a 32－2721n1＝－ 2·1n*∴a n＝－－33(n ∈N )．3·∵S n－ S n－1＝ ( S n－ S n－1)(S n＋ S n－1 )＝ S n＋ S n－1(n ≥ 2) ．方达教育指导教学设计第 4 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人－＝ 1.又 b n >0， S n >0 ，∴ S n－ S n 12. ∴数列 { Sn} 组成一个首项为1、公差为 1的等差数列，S n＝ 1＋ (n － 1) ×1＝ n ，即 S n＝ n当 n≥ 2时， b n＝ S n－ S n－1＝ n1＝ 1 也合适此通项公式．2－ (n － 1)2＝ 2n－ 1，当 n＝ 1 时， b*∴b n＝ 2n－ 1 (n ∈N) ．(2)T n＝111＋ ,1＋＋＋n n b1b 2b2b 3b3b 4 b b＋1＝111＋ ,1＋＋＋2n － 1 × 2n ＋ 1 1×3 3 ×55×7＝11＋1× 1 1＋11 1＋,＋11111n－2n ＋ 1＝232－2－22× 1 － 3 5× 5 7× 2n－ 1 2n ＋ 1 ＝.× 1－2n＋ 1 n 1 001 1 001由 T n＝，得 n>2n ＋ 1 2 01210>，1 001∴满 T足n>n 的值为 101.的最小正整数2 012模板 4利用空间向量求角问题(2014 ·山东)如图，在四棱柱ABCD － A1B1 C 1D 1中，底面 ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝ 60°，AB＝ 2CD ＝ 2， M 是线段AB 的中点．(1)求证： C 1 M∥平面 A1ADD 1；(2) 若 CD 1垂直于平面ABCD 且 CD 1＝ 3 ，求平面 C 1D 1M 和平面 ABCD所成的角 ( 锐角 )的余弦值．AB＝ 2CDCD∥AMCD ＝ AM ? ?AMC 1D 1审题路线图(1) M 是 AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→→C 1M ∥平面 A1 ADD 1(2) CA ， CB ， CD 1两两垂直→ 成立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面 ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转变为两个向量的夹角规范解答示例建立答题模板第一步找垂直：找出 (或(1) 证明因为四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AB ＝ 2CD ，所以 AB ∥DC.作出 )拥有公共交点的三又由 M 是 AB 的中点，所以CD ∥MA 且 CD ＝ MA.条两两垂直的直线．连结AD1，如图 (1) ．第二步写坐标：成立空在四棱柱ABCD － A1B1C 1D1中，间直角坐标系，写出特点因为 CD ∥C1 D 1，CD＝ C1D 1，可得 C1 D 1∥MA ，C 1D 1＝ MA ，所以四边形 AMC 1D 1点坐标．第三步求向量：求直线为平行四边形，因为 C 1M ∥D 1A.方达教育指导教学设计第 5 页（共 16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人又 C1平面11，1平面1 1 ，所以1∥ 平面11的方向向量或平面的法M? A ADD A ADD AADD .D A? C M(2)解方法一如图(2)，连结AC ， MC .由 (1) 知向量．CD∥AM 且 CD＝AM，第四步求夹角：计算向所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC ＝ AD ＝量的夹角．MC ，第五步得结论：获得所由题意得∠ ABC＝∠ DAB＝60°，所以△ MBC为正三求两个平面所成的角或角形，所以AB ＝ 2BC＝ 2，CA ＝3，所以CA⊥ CB.直线和平面所成的角.以 C 为坐标原点，成立如图(2) 所示的空间直角坐标系 C － xyz，所以A( 3，0,0) ， B (0,1,0)， D 1(0,0 ，3) ，所以M3131＝，2，－22→2→→， 0，所以 MD 1＝－， 3 ，D1C1＝ MB3 1－，，0 .22设平面 C 1D 1M 的一个法向量为n＝ (x ， y， z)，→3x－ y＝ 0，C1D 1M 的一个法向量 n由＝0 ，得可得平面3x ＋ y－ 2 3z ＝ 0 ，n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→→＝ (1 ， 3，1) ．又 CD 1＝ (0,0 ， 3) 为平面 ABCD 的一个法向量，所以 cos 〈 CD 1，→5CD 1·n 5 . 所以平面 C 1D 1M 和平面 ABCD所成的角 (锐角 )的余弦值为n〉＝＝→|CD1||n|5.5方法二由 (1) 知平面 D 1C1M∩平面ABCD＝AB，过点 C 向 AB 引垂线交AB 于点 N，连结 D 1N，如图(3) ．由 CD 1⊥平面 ABCD ，可得 D 1N⊥ AB，所以∠ D 1NC 为二面角C1－ AB－ C 的平面角．在 Rt △ BNC 中， BC ＝ 1，∠ NBC ＝ 60°，可得 CN ＝ 3.所以ND 1＝22＝15CD 21＋CN.23所以 Rt△ D 1CN 中， cos∠ D 1NC ＝CN25＝＝，D 1N1552方达教育指导教学设计第6页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人所以平面 C1D 1M 和平面ABCD 所成的角( 锐角 )的余弦值为5 . 5以下图，在直三棱柱A1B1C1－ ABC 中， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC＝ 2， A1A＝ 4，点 D 是 BC 的中点．(1)求异面直线 A 1B 与 C 1 D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC 1与平面 ABA 1所成二面角的正弦值．→→→解(1) 以 A 为坐标原点，分别以AB ， AC ， AA 1为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向成立空间直角坐标系A－ xyz ，则 A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C (0,2,0) ， A 1(0,0,4) ， D (1,1,0) ， C 1(0,2,4) ．→→所以 A1B＝ (2,0 ，－ 4) ， C1D＝ (1，－ 1，－ 4)．→→→→18 3 10 A 1B·C1D＝所以 cos 〈 A 1B ， C 1D＝.〉＝→→10|A1B|× |C 1 D|20×18所以异面直线A1 B 与 C 1D 所成角的余弦值为310. 10→＝(0,2,0) 是平面 ABA 1的一个法向量．(2) 由题意，知AC→→设平面 ADC 1的法向量为m ＝ (x ， y， z)，因为 AD ＝ (1,1,0) ， AC 1＝ (0,2,4) ，→→x＋ y＝ 0，由 m⊥ AD ， m ⊥ AC12y ＋ 4z＝ 0.，得取 z＝ 1，得 y＝－ 2， x＝ 2，所以平面ADC 1的一个法向量为设平面 ADC 1与平面ABA 1所成二面角为θ，→－ 4→AC ·m2所以 |cos θ|＝ |cos 〈 AC ， m〉 |＝ |，得→|＝ ||＝m＝ (2 ，－ 2,1) ．5.3sin θ＝2×3 3|AC |× |m|5所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为.3模板 5圆锥曲线中的范围问题方达教育指导教学设计第7页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人椭圆 C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为2l 与 y 轴交于点 ，直线2→ →＝ 3PB P(0 ， m) ，与椭圆 C 交于相异两点A ，B ，且AP .(1) 求椭圆 C 的方程； (2) 求 m 的取值范围．审题路线图(1) 设方程 → 解系数 → 得结论→→＝ 3PB (2)设 l ： y ＝ kx ＋ m→l ， c 订交>0 得 m ， k 的不等式→ AP→ 代入 m ， k 的不等式消k → 得 m 范围规范解答示例2 2解 (1) 设椭圆 C 的方程为yx2＝ 1(a>b>0)2＋，a b设 c>0 ， c 2＝ a 2－ b 2，由题意，知 2b 2＝ 2， c 2＝ a 2－ b 2，由题意，知，2b ＝ 2， c 2＝a2所以 a ＝ 1， b ＝ c ＝2x2222.故椭圆C 的方程为y ＋ ＝ 1，即 y ＋ 2x ＝ 1.12(2) 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m( k ≠ 0) ， l 与椭圆 C 的交点坐标为A(x 1， y 1)，B(x 2 ， y 2 )，由y ＝ kx ＋ m ，得 (k2＋ 2) x 2＋ 2kmx ＋ (m 2－ 1) ＝ 0 ，＋ y2＝ 1，22 ＋ 2) x 2＋ 2kmx ＋ (m 2－ 1) ＝ 0，2x2－ 4( k 2＋ 2)(m 2 － 1) ＝ 4(k 2 － 2m 2＋ 2)>0 ， (*)＝(2 km)－2kmx 1＋ x 2＝2－m2＋ 2 ， xx ＝1＋k22k1 2 ＝－ 2x 2 ，所以x＋ x所以x 1x 2＝－ 3x22.－ 2km2－ 1所以3· 2＋2mk2＋ 4·2＋2＝k2m 2＋ 2m 2－ k 2－整理得 4k当 m2＝ 1 2＝ 1时，上式不可立；→得 m， k 关系式构建答题模板第一步提关系：从题设条件中提取不等关系式．第二步找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式．第三步得范围：经过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围．第四步再回首：注意目标变量的范41222－ 2m当 m42－1，≠时， k24m＝22>2 m2－ 2，又k≠ 0，所以k2＝ 2－ 2m由 (*) 式，得k2－ 1>0.4m解得－ 1< m<－1或111－1，－2∪<m<1. 即所求 m 的取值范围为222， 1 .方达教育指导教学设计第8页（共16页）围所受题中其余因素的限制.方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人22已知双曲线x y2－2 ＝1(a>1，b>0)的焦距为2c ，直线 l 过点 ( a,0) 和 (0， b)，且点 (1,0) 到直线l 的距a b4离与点 (－ 1,0) 到直线l 的距离之和s≥5c ，求双曲线的离心率 e 的取值范围．解设直线 l 的方程为x y＋＝1 ，即 bx＋ ay－ ab＝ 0.a bd1＝ b a － 1由点到直线的距离公式，且a>1 ，获得点(1,0) 到直线l 的距离，2＋b2b a ＋ 1a2ab2ab同理可得点(－ 1,0) 到直线l 的距离为d2＝，于是 s＝ d1＋ d2＝＝ c .2 ＋b 22＋b2a a42ab 42－ a2≥ 2c 2，可得 5e2－ 1≥ 2e 2，即4e 4－ 2 5e2＋ 25 ≤ 0，解得 5由s≥5c ，得≥≤ e c2≤ 5.5c ，即 5a c4因为 e>1 ，故所求 e 的取值范围是5， 5 .2模板6分析几何中的研究性问题已知定点C( － 1,0) 及椭圆x2＋ 3y 2＝ 5 ，过点 C 的动直线与椭圆相于交 A ， B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12AB 的方程；，求直线→ →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明原因．(2)在 x 轴上能否存在点M ，使 MA ·MB→→审题路线设图AB 的方程y＝ k(x ＋ 1) →待定系数法求k→写出方程；设M 存在即为(m,0) →求 MA·MB →在→ →为常数的条件下求m.MA ·MB规范解答示例建立答题模板解 (1) 依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝ k(x ＋ 1) ，将第一步 先假定：假y ＝ k(x ＋ 1) 代入 x2＋ 3y 2＝ 5，消去 y 整理得 (3k 2＋ 1)x 2＋ 6k 2x ＋ 3k 2－ 5 ＝ 0.设结论成立．4－ 4 3k 2＋ 1 3k 2－ 5 >0，①第二步 再推理：以＝ 36k设 A (x 1， y 1)， B(x 2， y 2) ，则2假定结论成立为条x 1＋ x 2＝－6k ②2＋ 1.3k件，进行推理求解．21 x 1＋ x 21 3由线段AB 中点的横坐标是－3k2＝－2，解得 k ＝ ± ，2＝－3，得 2＋ 13k第三步下结论：若合适 ①.推出合理结果，经验所以直线AB 的方程为x－3y ＋ 1＝ 0 或 x＋3y＋ 1 ＝ 0.证成立则一定假定；→→若推出矛盾则否认(2) 假定在 x 轴上存在点M (m,0) ，使 MA22－5·MB6k3k假定．为常数．， x1x2＝3k2＋12＋ 1.3k( ⅰ)当直线AB 与 x 轴不垂直时，由(1) 知 x1＋ x2＝－第四步再回首：查③方达教育指导教学设计第9 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人→→看要点点，易错点所以 MA＝ (x 1 － m)( x 2 － m) ＋ y 1y 2＝ (x 1－ m)( x 2－ m) ＋ k·MB2(x 1＋ 1)(x 2 ＋ 1)2 ＋ 1)x＝ (k1 2 ＋ (k 1 ＋ 2 ＋ k 2－ m)( x 2＋ m 2 . (特别状况、隐含条2＋ 1)x2－ m)( x2＋ m 2.件等 ) ，审察解题规→ →将 ③ 代入，整理得 MA·MB范性 .12－ 52＋ 1 － 2m － 14＝ 6m － 1 k2＝2m －3 3k3k 2＋ 1＋ m32＝ m 2＋ 2m － 12 ＋ 1＋ m－6m ＋ 143k37 → →是与 k 没关的常数，进而有 6m ＋ 14 ＝ 0，m ＝－32＋1 .注意到 MA，3 3k·MB4→ →此时 MA. ＝ 9·MB2( ⅱ ) 当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为－ 1，、3－1，－2，当 m ＝－ 74 33→ →4.时，也有 MA＝·MB－7→综上，在x 轴上存在定点M为常数 .→ ·MB， 0 ，使 MA322xy(2014 ·福 建 )已知双曲线 E ：2＝ 1(a>0 ， b>0) 的两条渐近线分别为l 1： y2－2－ ba＝ 2x ， l 2： y ＝－ 2x.(1) 求双曲线 E 的离心率．(2) 如图， O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l 1 ， l 2 于 A ， B 两点 (A ， B 分别在第一、四象限 )，且 △ OAB 的面积恒为 8. 尝试究：能否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线 E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明原因．解 (1) 因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝ 2x ， y ＝－ 2x ，所以b2 － a2ca＝ 2，所以＝ 2，故 c ＝5a ，ac进而双曲线E 的离心率 e ＝ ＝ 5.a22(2) 方法一由 (1) 知，双曲线E 的方程为xy2 －2＝ 1.设直线l 与 x 轴订交于点 C.a4a当 l ⊥ x 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则 |OC |＝ a ， |AB|＝ 4a.又因为△ OAB 的面积为此时双曲线 E 的方程为2y＝1.168，所以 112|OC | |·AB|＝ 8，所以 2a ·4a ＝ 8 ，解得 a＝ 2，222 x － y x ＝ 1.若存在知足条件的双曲线E，则 E 的方程只好为－416422x y以下证明：当直线l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E ：＝1也知足条件．4 16－方达教育指导教学设计第10 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人m 设直线 l 的方程为y ＝ kx ＋ m ，依题意，得k>2 或 k<－ 2，则 C( －， 0)．k记 A(x 1， y 1 )， B( x 2， y 2y ＝ kx ＋ m ，得 y 1 ＝ 2m2m)．由，同理，得y 2＝y ＝ 2x ，.2－ k2 ＋ k11 m2m由 S2m2| ·|－|＝ 8，△OAB ＝ 2k 2－ k|OC||y ·－ y |，得|－2＋ k122＝ 4|4 － k 2|＝ 4( k 2－y ＝ kx ＋ m ，即 m222)x 2－ 2kmx － m 2－ 16 ＝ 0.4) ．由xy得 (4－ k2＝ 4|4 － k 2|＝4( k 2－ 4) ．由－ ＝ 1，4162<0 ，所以＝4k 2m 2＋ 4(4 －k 2 )(m 2＋ 16)＝－ 16(4k 2－ m 2 － 16)．因为 4 － k又因为 m2＝ 4( k 2－ 4) ，所以＝0 ，即 l 与双曲线E 有且只有一个公共点．22所以，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为xy－ ＝ 1. 224 16方法二由 (1)知，双曲线E 的方程为xyx ＝ my ＋ t ， A( x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) ．a 2－ 2＝ 1. 设直线 l 的方程为x ＝ my ＋ t ，4a－ 2t 依题意得－ 1 1 2t2<m< 2.由 y ＝ 2x ， 得 y 1＝ ，同理，得 y 2 ＝ .设直线l 与 x 轴订交于点C ，则 C(t,0) ．1－ 2m 1＋ 2m由 S 1 1 2t 2t ＝ 8. 所以 t2＝ 4|1－ 4m 2|＝＋ △OAB ＝ 1－ y 2 |＝ 8，得2 |t| ·1－ 2m 1＋ 2m 4(1 － 4m 2) ．22|OC| |·y24|1－ 4m |＝ 4(1 －＝4m 2)．x ＝ my ＋ t ，22222 2由 xy得 (4m － 1)y ＋ 8mty ＋ 4(t － a2－2＝ 1，)＝0.a4a22 22 2 2因为 4m － 1<0 ，直线 l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当＝64m－ 16(4m － 1)(t － at)＝ 0，2a 2＋ t 2 － a 2＝ 0，即 4m 2 a 2＋ 4(1 － 4m 2) － a 2＝ 0，即 (1 － 4m 2)( a 2－ 4) ＝ 0，所以 a 2＝ 4 ，即 4m2 2所以，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为xy－ ＝ 1.4 16方法三当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝ kx ＋ m ， A( x 1 ， y 1 )， B(x 2， y 2)．y ＝ kx ＋ m ，2)x 2－ 2kmx － m 2＝ 0.依题意，得k>2 或 k< － 2.由2－ y 2＝ 0，4x 得 (4 － k212<0 ， >0 ，所以 x 1 x 2－ m＝2.又因为 △ OAB的面积为8，所以 2因为 4 － k4－ k|OA | |OB|· sin · ∠ AOB ＝ 8， 又易知 sin ∠ AOB ＝4222－ m55 x2＝ 4，得 m 2 ＝ 4(k2－ 4) ．，所以4－ ky＝ kx＋ m，22由 (1) 得双曲线 E 的方程为x y222222＝ 0.x y得 (4 － k)x － 2 kmx － m － 4a2 －2＝1，由 2 －a4a2＝1，a4a2 <0 ，直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当＝4k2m2＋4(4－k2)( m2＋4a2)＝0，因为 4 － k方达教育指导教学设计第11 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人22即 (k＝ 1.2－ 4)(a 2－ 4) ＝ 0，所以a 2＝ 4，所以双曲线E 的方程为 x－y416当 l ⊥ x 轴时，由 △ OAB的面积等于8 可得 l ： x ＝ 2 ，22又易知 l ： x ＝ 2 与双曲线E ：xy －＝ 1 有且只有一个公共点．41622综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为xy－ ＝ 1.416模板7 失散型随机变量的均值与方差甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，依据规则，甲先从6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答，而后由乙回答节余 3 题，每人答对此中2 题就停止答题，即闯关成功．已知在6 道备选题中，甲能答对此中的4道题，乙答对每道题的概率都是2 5.(1) 求甲、乙起码有一人闯关成功的概率；(2) 设甲答对题目的个数为 ξ，求 ξ 的散布列及均值．审题路线图(1) 标志事件→ 对事件分解→ 计算概率(2) 确立 ξ 取值 → 计算概率 → 得散布列 → 求数学希望规范 解 答 示 例 构建 答 题 模 板1 2解(1) 设甲、 乙闯关成功分别为事件A 、B ，则 P( A )＝C4·C23C6＝41第一步定元： 依据已知条件＝ ，确立失散型随机变量的取值．20572222 第二步定性： 明确每个随机2＝ 19，3＋C 1＋ ＝ 27P( B)＝(1－ )(1－ )3·33 327变量取值所对应的事件．则甲、乙起码有一人闯关成功的概率是1 7128第三步定型： 确立事件的概5＝率模型和计算公式．1－P( A ·B )＝1－P( A ) ·P( B )＝ 1－.× 27135(2) 由题意知ξ 的可能取值是1,2.第四步计算： 计算随机变量1 22 1 34取每一个值的概率．C 4C 2 1C 4C 2＋ C 45P( ξ＝1) ＝， P( ξ＝2) ＝，则 ξ 的散布列为＝＝33C5C66ξ12第五步列表：列出散布列．P 1455第六步求解：依据均值、方差公式求解其值.∴ E(ξ)＝ 1×14955 3.＋ 2 ×＝方达教育指导教学设计第12 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人已知一个袋中装有3 个白球和 3 个红球，这些球除颜色外完整同样 ．(1) 每次从袋中取一个球，拿出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数 ξ的散布列和数学希望E( )ξ；(2) 每次从袋中取一个球，拿出后放回接着再取一个球，这样 取3 次，求拿出红球次数η的数学希望E( η)．审题路线图到红球为止取 →取球次数的所有可能 1,2,3,4 →求对应次数的概率→列散布列 →求 E( )ξ．拿出后放回，这是条件→每次取到红球的概率同样→三次独立重复试验→利用公式 .规 范 解 答 示 例11 解 (1) ξ的可能取值为1,2,3,4.P( ξ＝1) ＝ 3 ＝ 1， P(ξ＝2) ＝ A3 A 32构 建 答 题 模 板第一步 ： 确立失散型随3×3＝ 6×5机变量的所有可能值．6 2A6＝3第二步 ： 求出每个可能，10值的概率．21A 3A33P( ξ＝3) ＝3×2×3第三步 ： 画出随机变量3＝＝ ，A6×5×4206311的散布列．A 3A 3P( ξ＝4) ＝ 3×2×3.第四步 ：求希望和方差．4＝＝20A6×5×4×36故 ξ的散布列为1234 第五步 ： 反省回首．查 ξ看要点点、易错点及解 1331P 210 20 20题规范．如此题可要点13 3 1 7查察随机变量的所有可数学希望E( )ξ＝ 1 ×＋ 2×＋3×＋4×＝ 6.2102020能值能否正确；依据分(2) 拿出后放回，取球3次，可看作 3 次独立重复试验，布列性质检查概率能否113所以η～B(3 ，2) ，所以E( η)＝ 3 × 4.正确 .2＝模板 8函数的单一性、极值、最值题问2＋ 1已知函数 f (x) ＝ 2ax － a2＋ 1(x∈R )．此中a∈R .x(1)当 a＝ 1 时，求曲线 y＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线方程；(2) 当 a≠0 时，求函数f(x) 的单一区间与极值．审题路线图方达教育指导教学设计第13页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人规范解答示例构建答题模板方达教育指导教学设计第14 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人解 (1)当(2)f ′(x)＝＝－25y 320.－＝2＋1 － 2x ·2x2－ 2x2a ＝1 时，f(x) ＝2＋ 1 2＝2，f ′(2)2x 4 2 x2＋ 1 x2＋ 1，f(2) ＝ ，又 f ′(x) ＝x 5x646.所以，曲线y ＝ f( x)在点 (2 ， f(2)) 处的切线方程为y － 5(x － 2) ，即 6x ＋25＝－ 25f (x) 的导数f ′(x) ．注2 ax议论．①当 a＞ 0 时，令f′(x)＝ 0，获得 x1＝－1意 f( x)的定义域 .a第二步解方程：解， x2＝ a.当 x 变化时， f′(x) ， f (x) 的变化状况以下表：111f ′(x) ＝ 0，得方程的x( －∞，－根 .a a a)－， a)a(a ，＋∞)( －第三步列表格：利f′(x)－0＋0－用 f′(x)＝ 0 的根将f(x)极小值极大值所以 f(x) 在区间－∞，－1，(a ，＋∞)内为减函数，在区间－1 f (x)定义域分红若干a， a 内为增函数．函数 f(x) 在 x1＝－111a个小开区间，并列出2.函数 f(x) 在 x2＝ a 处获得极大表格 .a a a＝－ a处获得极小值 f －，且 f－第四步得结论：从值 f(a) ，且 f(a) ＝ 1.②当 a＜ 0 时，令f′(x) ＝ 0，获得 x1＝ a， x2＝－1表格察看f(x) 的单一a性、极值、最值等.，当 x 变化时， f′(x) ， f (x) 的变化状况以下表：第五步再回首：对111x( －∞， a)a(a ，－a)－a(－a，＋∞)需议论根的大小问题要特别注意，此外f ′(x)＋0－0＋察看f(x) 的中断点及f(x)极大值极小值1在区间a，－1内为减函数．函步骤规范性 .所以 f(x) 在区间 (－∞， a)，－，＋∞内为增函数，aa11数 f(x) 在 x1＝ a处获得极大值f(a) ，且 f(a) ＝ 1.函数f( x)在 x2＝－a a且 f －1处获得极小值f(－)，2.a＝－ a2x－be－ 2x－ cx( a，b，c∈R) 的导函数f′(x) 为偶函数，且曲线y＝ f (x) (2014重·庆)已知函数f(x) ＝ ae 在点 (0 ， f(0)) 处的切线的斜为率4 － c.方达教育指导教学设计第15页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人(1) 确立 a ，b 的值；(2) 若 c ＝ 3 ，判断 f(x) 的单一性；(3) 若 f(x) 有极值，求c 的取值范围．解 (1) 对 f(x) 求导，得 f ′(x) ＝ 2ae 2x＋ 2b e －2x－ c ，由 f ′(x)为偶函数，知f ′(－ x)＝ f ′(x) 恒成立，即 2(a － b) ·(e) ＝ 0 恒成立，所以a ＝ b.2x －e－2x又 f ′(0) ＝ 2a ＋ 2b － c ＝ 4－ c ，故 a ＝ 1， b ＝ 1.2x － e － 2x － 3x ，那么(2) 当 c ＝ 3 时， f( x)＝e2x＋ 2e－2x－ 3＝ 1>0 ，f ′(x) ＝ 2e－2x － 3≥ 2 2e 2x ·2e故 f(x) 在 R 上为增函数．2x＋ 2e － 2x － c ，而 2e 2x ＋ 2e(3) 由 (1) 知 f ′(x) ＝ 2e2e 2x ·2e －2x＝ 4，当 x ＝ 0 时等号成立．－2x ≥ 2 下边分三种状况进行讨．论当 c<4 时，对随意 x ∈R ， f ′(x)＝ 2e2x＋ 2e －2x－ c>0 ，此时f(x) 无极值；当 c ＝ 4 时，对随意 x ≠0， f ′(x) ＝ 2e2x＋ 2e －2x－ 4>0 ，此时f(x) 无极值；当 c>4 时，令e－ c ＝ 0 有两根 t 1,2 ＝2－ 162x＝ t ，注意到方程2t ＋ 2c ± c2x＝ t ，注意到方程2t ＋ 2>0 ，即 f ′(0) ＝ 0 有两个根t4x 1＝11， x 2 ＝ ln t 2 .当 x 1<x<x 2 时， f ′(x)<0 ；ln t 122又当 x>x 2 时， f ′(x)>0 ，进而 f( x)在 x ＝ x 2 处获得极小值．综上， 若 f(x) 有极值，则c 的取值范围为 (4 ，＋ ∞)．方达教育指导教学设计第16页（共16页）。

方达教育学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师翟嘉课时数2h 第次课授课日期及时段 2015年月日：—：数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题,是一项重要的内容．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化．模板1三角变换与三角函数的性质问题已知函数f(x）＝2cos x·sin错误!－错误!sin2x＋sin x cos x＋1。

(1）求函数f（x）的最小正周期；（2)求函数f(x）的最大值及最小值；（3）写出函数f(x)的单调递增区间．审题路线图不同角化同角→降幂扩角→化f(x）＝A sin（ωx＋φ）＋h→结合性质求解．规范解答示例构建答题模板解f(x)＝2cos x错误!－错误!sin2x＋sin x cos x＋1＝2sin x cos x＋错误!（cos2x－sin2x）＋1＝sin 2x＋错误!cos 2x ＋1＝2sin错误!＋1.(1）函数f(x）的最小正周期为错误!＝π。

（2）∵－1≤sin错误!≤1，∴－1≤2sin错误!＋1≤3.∴当2x＋错误!＝错误!＋2kπ,k∈Z，即x＝错误!＋kπ,k∈Z 时，f（x)取得最大值3；当2x＋错误!＝－错误!＋2kπ，k∈Z，即x＝－错误!＋kπ，k∈Z时，f（x)取得最小值－1.(3)由－错误!＋2kπ≤2x＋错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z，得－第一步化简：三角函数式的化简，一般化成y＝A sin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式．第二步整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件．第三步求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝A sin(ωx＋φ）＋h 的性质，写出结果．第四步反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1]集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是() A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．[问题2]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.3．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B 时，不要忽略A＝∅的情况．[问题3]设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n －2.[问题4]满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．5．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题5]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[问题6]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________．7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[问题7]设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．8．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b 都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[问题8]若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________________．易错点1忽视空集致误例1已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．找准失分点B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝∅的讨论，是本题的一个易失分点．易错点2对命题的否定不当致误例2已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5M，则a的取值范围是________．找准失分点5M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，易错点3充要条件判断不准例3设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的________条件．找准失分点没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立．1．(2014·北京)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}2．(2014·北京)设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是()A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋1>0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<04．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是()A．a≤23B．0<a<12C．12<a≤23D．12<a<15．如果全集U＝R，A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则图中的阴影部分表示的集合是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0]∪(1,2) C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，0)∪(1,2]6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>27．已知集合U＝R，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x2＋y24＝1，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则(∁U A)∩(∁U B)＝____________.8．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中的元素有________个．9．设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是________．10．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________．1．A2．∅3．{0，12，13} 4．7 5．C6．否命题：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ； 命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b 7．充分不必要 8．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞1．m ≤3 2．(－∞，－2)∪[5，＋∞) 3．充分不必要CDCCDC 7．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 8．8 9．m >－1，n <5 10．[1，＋∞)。

高考数学（理）二轮专题练习解答题的八个答题模板【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角变换与三角函数的性质问题已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h →结合性质求解．(2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 模板2 解三角形问题在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)求角B 的取值范围．审题路线图 (1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明 (2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围(2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC→＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(13)2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ， 所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 模板3 数列的通项、求和问题(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1 (2)c n ＝2n －1→a n ＝(2n －1)·3n－1――→错位相减法得S n已知点⎝⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上的一点．等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c .数列{b n } (b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1 (n ≥2)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0012 012的最小正整数n 是多少？解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x . 由题意知，a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227. 又数列{a n }是等比数列， ∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． ∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1) ＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.∴数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×⎝⎛⎭⎫13－15＋12×⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板4 利用空间向量求角问题(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角，C 1D 1＝MA ，所以四所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.所示的空间直角坐标系C－xyz，所以＋CN2＝15 2.如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，分别以AB →，AC →，AA 1→为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,4)，D (1,1,0)，C 1(0,2,4)． 所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)． 所以cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →|×|C 1D →|＝1820×18＝31010.所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)由题意，知AC →＝(0,2,0)是平面ABA 1的一个法向量． 设平面ADC 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，由m ⊥AD →，m ⊥AC 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋4z ＝0.取z ＝1，得y ＝－2，x ＝2，所以平面ADC 1的一个法向量为m ＝(2，－2,1)． 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角为θ，所以|cos θ|＝|cos 〈AC →，m 〉|＝|AC →·m |AC →|×|m ||＝|－42×3|＝23，得sin θ＝53.所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 模板5 圆锥曲线中的范围问题椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．审题路线图 (1)设方程→解系数→得结论(2)设l ：y ＝kx ＋m →l ，c 相交Δ>0得m ，k 的不等式→AP →＝3PB →→得m ，k 关系式→代入m ，k 的不等式消k →得m 范围已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2， 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2，于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0， 解得54≤e 2≤5.由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5. 模板6 解析几何中的探索性问题已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程；设M 存在即为(m,0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m .(2014·福建)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率．(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a . 又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ， 则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时， 双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意， 得k >2或k <－2，则C (－mk ，0)．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k|＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0. 因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t1－2m ，同理，得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪2t1－2m ＋2t 1＋2m ＝8. 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1， 得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0， 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ， 且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三 当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意，得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0， 得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0.因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2.又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8， 化简，得x 1x 2＝4.所以－m 24－k 2＝4，得m 2＝4(k 2－4)． 由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1， 得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0.因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.模板7 离散型随机变量的均值与方差甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值． 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求数学期望(2014·江西)随机将1,2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数，A 组最小数为a 1，最大数为a 2，B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C )的大小关系，并说明理由． 解 (1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为E (ξ)＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1,2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种； 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23；当n ≥3时，P (C )＝2(2＋∑k ＝1n －2C k 2k )C n 2n.(3)由(2)，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑k ＝1n －2C k 2k )<C n2n .①用数学归纳法来证明：1°当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16， ①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． 2°假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4(2＋∑k ＝1m －2C k 2k )<C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4(2＋∑k ＝1m ＋1－2C k 2k )＝4(2＋∑k ＝1m －2C k 2k )＋4C m －12(m －1)<C m 2m ＋4C m －12(m －1)＝(2m )！m ！m ！＋4·(2m －2)！(m －1)！(m －1)！＝(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m －1)(m ＋1)！(m ＋1)！<(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m )(m ＋1)！(m ＋1)！＝C m ＋12(m ＋1)·2(m ＋1)m (2m ＋1)(2m －1)<C m ＋12(m ＋1)＝右边， 即当n ＝m ＋1时①式也成立．综合1°，2°得：对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．模板8 函数的单调性、极值、最值问题已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1(x ∈R )．其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 审题路线图(2014·重庆)已知函数f (x )＝a e 2x －b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立，即2(a －b )·(e 2x －e －2x)＝0恒成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0，即f ′(0)＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

推理与证明、复数、算法1．推理方法 （1）合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．[问题1] 图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：________.（2）演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论． 2．证明方法 （1）直接证明 ①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法． ②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．（2）间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法． （3）数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设____________． 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数． [问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： （1）(1±i)2＝±2i ； （2）1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ；（3）i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；（4）设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.5．算法（1）控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．（2）条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值． [问题5] 执行如图所示的程序框图，如果输出a ＝341，那么判断框中可以是( )A ．k <4?B ．k >5?C ．k <6?D ．k <7?易错点1 复数的概念不明致误例1 若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．－7或－17易错点2 循环次数把握不准致误例2 执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.找准失分点 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．易错点3 数学归纳法未用归纳假设致误例3 用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d (n ∈N ＋)．找准失分点 本题的错因在于从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中，没有用到归纳假设．1．(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i2．(2014·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于()A ．18B ．20C ．21D ．403．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i 为纯虚数，则实数a 等于( )A ．－2B ．－13C ．12D ．25．(2014·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人6．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 8．(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．9．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.10．(2014·湖北)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.1．V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC 2．三角形三个内角都大于60° 3．－2 4．1 5．C1．A 2．4CBDABA 7．－20 8．21 9．b 2a 2 10．495。

第3讲 分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2．分类讨论的常见类型（1）由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． （2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．（6）由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 3．分类讨论的原则 （1）不重不漏．（2）标准要统一，层次要分明．（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤（1）确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． （2）对所讨论的对象进行合理的分类．（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． （4）归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1 （1）(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．（2）在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23B ．1716C ．32D ．1（2）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例2 （1）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)．（2）设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为________．思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．（1）已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( )A ．－12B ．12C ．0D ．－12或0（2）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．热点三 由参数引起的分类讨论例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．（1）若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； （2）判断函数f (x )的单调性．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有：（1）集合：注意集合中空集∅的讨论．（2）函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0<a <1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．（3）数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论． （4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．（5）不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． （6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；（7）平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．（8）排列、组合、概率中的分类计数问题． （9）去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．真题感悟1．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A ．5B ． 5C ．2D ．12．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2014·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1， x ≥0，(a ＋2)e axx <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2,0) C ．[－1,0) D ．[－1，＋∞)2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或123．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( ) A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 5．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .6．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性．例1 (1)a ≤2 (2)32或6 变式训练1 (1)C (2)D例2 (1)20 (2)12或32 变式训练2 (1)D (2)2或72例3 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .变式训练3 解 (1)因为函数g (x )过点(1,1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2(x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x >－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2.①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．②当a <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >－1，得－1<x <－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增． BCD CCCD5．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).6．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．。

典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π2)，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间． 审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性周期性求出ω()2f α−−−−和差公式cos α (2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π3)时没有考虑范围扣1分；3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.典例2 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b， (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝3ab， 由正弦定理可得：3cos C ＋sin C ＝3sin Asin B， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ， 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C )3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理可得：2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得：3ac ＝(a ＋c )2－b 2， 即：3ac ＝175－49. ∴ac ＝42，∴AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线图 数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征―――――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．跟踪演练3 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1. ∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可．∵2n －8n 是随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综上①②可得λ的取值范围是(－∞，－21).典例4 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――――→设法利用中位线定理取PD 中点M ―――――→考虑平行关系长度关系 平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――――→线面平行的判定定理EF ∥平面P AD (2)平面P AD ⊥平面ABCD P A ⊥AD ―――→面面垂直的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点DE ⊥AH ――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面P AH ――――→面面垂直的判定定理平面P AH ⊥平面DEF评分细则 1.第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分；2．第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，缺少条件不扣分．跟踪演练4(2015·北京)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C －VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， 所以三棱锥V －ABC 的体积为33.典例5 (12分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．审题路线图(1)(2)CA、CB、CD两两垂直―→建立空间直角坐标系―→写各点坐标―→求平面AED与平面ABE的法向量―→将所求二面角转化为两个向量的夹角评分细则 1.第(1)问中证明DC ⊥BC 和AC ⊥BC 各给1分；证明DE ∥BC 给1分；证明BC ⊥平面ACD 时缺少AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ，不扣分．2．第(2)问中建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．跟踪演练5 如图，在几何体ABCDQP 中，AD ⊥平面ABPQ ，AB ⊥AQ ，AB ∥CD ∥PQ ，CD ＝AD ＝AQ ＝PQ ＝12AB ，(1)证明：平面APD ⊥平面BDP ； (2)求二面角A —BP —C 的正弦值．方法一 (1)证明 设AQ ＝QP ＝1，则AB ＝2， 易求AP ＝BP ＝2， 由勾股定理可得BP ⊥AP ，而AD ⊥平面ABPQ ，所以BP ⊥DA ， 又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD .而BP ⊂平面BDP ，所以平面APD ⊥平面BDP .(2)解 设M 、N 分别为AB 、PB 的中点，连接CM ，MN ，CN .易得CM ⊥平面APB ，MN ⊥PB ， 故∠CNM 为二面角A —BP —C 的平面角． 结合(1)计算可得，CM ⊥MN ，CM ＝1， MN ＝22，CN ＝62， 于是在Rt △CMN 中，sin ∠CNM ＝63. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为63. 方法二 (1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝2，依题意得A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (0,1,1)，D (0,0,1)， Q (1,0,0), P (1,1,0)，BP →＝(1，－1,0)，AP →＝(1,1,0)，AD →＝(0,0,1)，那么BP →·AP →＝0，BP →·AD →＝0，因此，BP ⊥AP ，BP ⊥AD .又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD ， 而BP ⊂平面BDP ， 所以平面APD ⊥平面BDP .(2)解 设平面CPB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 而BC →＝(0，－1,1)，则BP →·n ＝0，BC →·n ＝0， 那么x －y ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1可得n ＝(1,1,1)． 又由题设，平面ABP 的一个法向量为m ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝33， 可得sin 〈m ，n 〉＝63. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为63.典例6 (12分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n ，记随机变量X ＝m －n ，求X 的分布列及其均值． 审题路线图 (1)对事件进行分解―→求出从10块地中任取两块的方法总数―→求出空气湿度指标相同的方法总数―→利用古典概型求概率(2)确定随机变量X的所有取值―→计算X取各个值的概率―→写分布列―→求均值评分细则 1.第(1)问中，列出空气湿度相同的情况给2分；计算概率只要式子正确给2分；2．第(2)问中，列出长势等级的给2分，只要结果正确无过程不扣分；计算概率时每个式子给1分；分布列正确写出给1分．跟踪训练6(2016·课标全国乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P((3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040(元)． 当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080(元)． 可知当n ＝19时所需费用的均值小于n ＝20时所需费用的均值，故应选n ＝19.典例7 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C上点满足条件―→求出a 222e a b c =+已知离心率 基本量法求得椭圆C 方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||QP |. ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 最值―――――――→利用①得S △ABQ和S △OAB关系得S △ABQ 最大值评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；2．第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练7 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)．(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即m 2－4k 24(m 2－1)＝k 2. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)， 所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．典例8 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；(5)MA →·MB →没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．跟踪演练8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0. ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．典例9 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图 求f ′(x )――→讨论f ′(x )的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．跟踪演练9已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x.依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x .(ⅰ)当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.(ⅱ)当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )＝－2x e x <0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2， 在x ＝1取得最小值g (1)＝0.(ⅲ)当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.①若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.②若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值121()2e ,2aaa g a a--=在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.典例10 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1e －m＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t－t －e ＋1→研究g (t )单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则(1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分；(3)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(4)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；(5)无最后结论扣1分；(6)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练10已知函数f(x)＝ln x＋1x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意的x>1，恒有ln(x－1)＋k＋1≤kx成立，求k的取值范围；(3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2)．(1)解 f ′(x )＝－ln xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝1，列表如下：因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)， 极大值f (1)＝1，无极小值． (2)解 因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ⇔ln (x －1)＋1x －1≤k ⇔f (x －1)≤k ，所以f (x －1)max ≤k ，∴k ≥1，(3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1⇒ln x x ≤1－1x ，当且仅当x ＝1时取等号． 令x ＝n 2 (n ∈N *，n ≥2)． 则ln n 2n 2<1－1n 2⇒ln n n 2<12(1－1n2)<12(1－1n (n ＋1))＝12(1－1n ＋1n ＋1)(n ≥2)， ln 222＋ln 332＋…＋ln n n2 <12(1－12＋13)＋12(1－13＋14)＋…＋12(1－1n ＋1n ＋1) ＝12(n －1＋1n ＋1－12)＝2n 2－n －14(n ＋1).。

选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做． 方法一 直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．12 B ．23 C ．32D ．2思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( )A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260（2）如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( )A ．32 B ． 2 C ．1 D ．12方法三 排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是()思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，a 变动时，方程b ＝g (a )表示的图形可以是()方法四 数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法． 例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8思维升华 本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A ．33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A ．34 B ．1 C ．74 D ．2思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．13D ．51．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．例1A 变式训练1 C例2 (1)C (2)B 变式训练2 A 例3 A 变式训练3 B 例4 C 变式训练4 B 例5 C 变式训练5 D。

专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合与常用逻辑用语考情解读 1．集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．1．集合的概念、关系（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验． （2）集合与集合之间的关系：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ，空集是任何集合的子集，含有n 个元素的集合的子集数为2n ，真子集数为2n －1，非空真子集数为2n －2. 2．集合的基本运算（1）交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． （2）并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．（3）补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．重要结论：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理． 4．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 5．简单的逻辑联结词（1）命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．（2）命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )． 6．全称量词与存在量词“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”.热点一 集合的关系及运算例1 （1）(2014·四川)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1} D ．{－1,0}（2）(2013·广东)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( ) A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉S B ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S C ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈S D ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S 思维启迪 明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．思维升华 (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．（1）已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{x ∈Z |1<x <4}，则( )A ．M ⊆NB ．N ＝MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝(1,4)（2）(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 热点二 四种命题与充要条件例2 （1）(2014·天津)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 （2）(2014·江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2≥cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义． 思维升华 (1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．（1）命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．（2）“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写) 热点三 逻辑联结词、量词例3 （1）已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题（2）(2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 思维启迪 （1）先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；（2）含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定判断词．思维升华 （1）命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；（2）判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．（1）已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假 D ．“p ∧q ”为真（2）已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x ＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤11．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn 图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}2．(2014·重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q 押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a>1(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·陕西)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．133．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．8 4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >xB ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x >xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x <2或x >4}C ．{x |2≤x ≤4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真10．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 二、填空题11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则ba ＝________.13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________． 14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．例1 (1)A (2)B 变式训练 (1)C (2)C例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要 例3(1)C (2)D 变式训练3 (1)C (2)C BD BDA BDCBC CBCCA11．(1，＋∞) 12．－4 13．1 14．①④ 15．②④。

方达教育学科教师辅导教案学员姓名年 级高三辅导科目 数 学授课老师翟 嘉 课时数2h 第 次课授课日期及时段 2015年 月 日 ： — ：数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角变换与三角函数的性质问题已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1.解答题的八个答题模板a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ， 所以a ＋c ＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ， 故a ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列．(2)解 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2＋c 2－2ac 8ac ≥6ac －2ac 8ac ＝12，因为0<B <π，所以0<B ≤π3.解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 模板3 数列的通项、求和问题已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1 (2)c n ＝2n －1→a n ＝2n －1·3n －1――→错位相减法得S n规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1， 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.第一步 找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．第二步 求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式． 第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)． 第四步 写步骤：规范写出求和步骤． 第五步 再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板4 利用空间向量求角问题(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，如图(1)． 在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因为C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)解 方法一 如图(2)，连接AC ，MC .由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形，可得BC ＝AD ＝MC ，由题意得∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C －xyz ，所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步 求夹角：计算向量的夹角．第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0.解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b2， 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b a ＋1a 2＋b 2，于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5.由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.模板6 解析几何中的探索性问题解(1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝36k 4－43k 2＋13k 2－5>0， ①x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ②由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①.所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0. (2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1. ③ 所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将③代入，整理得MA →·MB → ＝6m －1k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2m －133k 2＋1－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋1433k 2＋1.注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数.(2014·福建)已知双曲线E ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率．(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2x 2＋1－2x ·2x x 2＋12＝2－2x 2x 2＋12，f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.(2)f ′(x )＝2ax 2＋1－2x 2ax －a 2＋1x 2＋12＝－2x －a ax ＋1x 2＋12.由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，－1a)－1a(－1a，a )a(a ，＋∞)f ′(x)－0 ＋ 0 －f (x )极小值极大值所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，a 内为增函数．函数f (x )在x 1＝－1a 处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2.函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，a )a(a ，－1a)－1a(－1a，＋∞)。

立体几何1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．”[问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．3．简单几何体的表面积和体积（1）S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． （2）S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．（3）S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．（4）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)， S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)． （5）体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．（6）球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[问题3] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．32π4．空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个公共点．②平行直线——在同一平面内，没有公共点．③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点．[问题4] 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系是________． 5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 （1）直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交． ②直线与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．③直线与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． （2）平面与平面①位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)． ②平面与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．③平面与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．[问题5] 已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a ⊥α”是“直线a ⊥b ，直线a ⊥c ”的________条件．6．空间向量（1）用空间向量求角的方法步骤①异面直线所成的角若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.②直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：方法一 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．方法二 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．③利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．方法二 通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n 1和n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦． ②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． （2）用空间向量求A 到平面α的距离：可表示为d ＝|n ·AB →||n |.[问题6] （1）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于________．（2）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为________．易错点1 三视图认识不清致误例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80找准失分点 不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错认为等腰梯形的腰为4.易错点2 对几何概念理解不透致误例2 给出下列四个命题：①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ④底面是矩形的平行六面体是长方体．其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号)．找准失分点 ①是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；④是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直．易错点3 对线面关系定理条件把握不准致误例3 已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β； ⑤若m 、n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α. 其中正确的命题序号是________． 找准失分点 ③是错误的；⑤是错误的．1．已知三条不同直线m ，n ，l 与三个不同平面α，β，γ，有下列命题： ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ④若m ，n 为异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( ) A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．64B ．72C ．80D ．1124．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．2＋ 2B ．3＋ 2C ．1＋2 2D ．56．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 7．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ； ②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ； ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ； ④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD . 其中正确的是________．(填序号)8.如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________．9．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中为真命题的是________．(填序号)10．三棱锥D －ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则棱BD 的长为________．1．43 2．22 3．D 4．相交 5．充分不必要 6．(1)64 (2)24 1．C 2．②③ 3．②④CABCAD 7．①④ 8．π3 9．①④ 10．4 2。

2015年高考数学答题策略技巧及答题模板一、历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键；二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。

切记不要“小题大做”。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15不等式题目注意绝对值的几何意义；16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。

方达教育学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师翟嘉课时数2h 第次课授课日期及时段2015年月日：—：解答题的八个答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角变换与三角函数的性质问题(1)证明 因为a cos 2C2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ， 所以a ＋c ＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ，故a ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)解 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2＋c 2－2ac 8ac ≥6ac －2ac 8ac ＝12，因为0<B <π，所以0<B ≤π3.(2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝cb sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 模板3 数列的通项、求和问题已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a nb n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1(2)c n ＝2n －1→a n ＝2n －1·3n －1――→错位相减法得S n规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1， 于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，第一步 找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．第二步 求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式．第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)．又数列{a n }是等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13， ∴a n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)． ∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.∴数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板4 利用空间向量求角问题(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD－A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1； (2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，如图(1)．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因为C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线． 第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步 求向量：求直线(2)解 方法一 如图(2)，连接AC ，MC .由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形，可得BC ＝AD ＝MC ，由题意得∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C －xyz ，所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n|CD 1→||n |＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.方法二 由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ， 过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ， 连接D 1N ，如图(3)．由CD 1⊥平面ABCD ， 可得D 1N ⊥AB ，的方向向量或平面的法向量．第四步 求夹角：计算向量的夹角．第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.已知双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b a ＋1a 2＋b 2，于是s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b 2＝2ab c.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5. 由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤52，5.模板6 解析几何中的探索性问题解(1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－43k 2＋13k 2－5>0， ①x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ②由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①. 所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1.③所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将③代入，整理得MA →·MB →＝6m －1k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2m －133k 2＋1－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋1433k 2＋1.注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA→·MB →＝49. 综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数.(2014·福建)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率．(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝5.(2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a . 又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2xx 2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2x 2＋1－2x ·2x x 2＋12＝2－2x 2x 2＋12，f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.(2)f ′(x )＝2a x 2＋1－2x 2ax －a 2＋1x 2＋12＝－2x －a ax ＋1x 2＋12.由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1a)－1a(－1a，a )a(a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋0 － f (x )极小值极大值所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，a 内为增函数．函数f (x )在x 1＝－1a处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2.函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1.②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，a ) a(a ，－1a)－1a(－1a，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以f (x )在区间(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞内为增函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－1a 内为减函数．函。

第1讲 直线与圆考情解读 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．1．直线方程的五种形式（1）点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． （2）斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． （3）两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．（4）截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．（5）一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： （1）两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. （2）两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3．三种距离公式（1）A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.（2）点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．（3）两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)． 提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式（1）圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.（2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．（2）圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.热点一 直线的方程及应用例1 （1）过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0（2）“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 思维启迪 (1)不要忽略直线过原点的情况；(2)分别考虑充分性和必要性．思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0热点二 圆的方程及应用例2 （1）若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4（2）已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4思维启迪 (1)确定圆心在直线x ＝2上，然后待定系数法求方程；(2)根据弦长为23及圆与l 2相切列方程组． 思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．（1）已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0（2）已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________________．热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．思维启迪 (1)先求出圆C 的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将|MA |＝2|MO |化为M 点坐标满足的条件后，可知点M 是两圆的交点．思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．（1）(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.（2）两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．－6B ．－3C ．－3 2D ．31．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况． 2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：（1）直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； （2）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （3）圆心在任一弦的中垂线上；（4）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；（5）圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.5．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程.真题感悟1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________________． 2．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 押题精练1．在直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的 点P 的个数为__2．如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，则实数a 的取值范围是________． 3．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于( ) A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1 D ．3或－12．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝03．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x ＋y ＋2＝04．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[2,4]5．动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积()A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π6．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为( ) A ．1 B ．32C ．2 3D ． 3 二、填空题7．已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________________．8．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____. 9．(2013·湖北)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.10．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________． 三、解答题11．（1）求圆心在x 轴上，且与直线y ＝x 相切于点(1,1)的圆的方程；（2）已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称，求圆C 的方程．12．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．13．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H . （1）若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．例1 (1)B (2)C 变式训练 C例2 (1)D (2)B 变式训练 (1)B (2)x 2＋(y －1)2＝10例3 解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和直线y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则2－1≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 变式训练 答案 (1)4±15 (2)C 1．25552．[－1,1]解析 如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON . M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N . 设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22. 而ON ＝1，∴OM ≤ 2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]．1．2 2．－22<a <0或0<a <22 3．(2－1，2＋1)CACCDD 7．3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0 8．2 9．4 10．3＋211．解 (1)根据题意可设圆心(a,0)，则1－01－a ＝－1⇒a ＝2，即圆心为(2,0)，半径r ＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，则所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设圆心为C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，又P (1,1)在圆上，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.12．解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2＋(y －1)2＝8， 故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.圆O 的圆心为O (0,0)，因为|MO |＝2<22，所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M . 设圆O 的半径为r ，因为圆O 内切于圆M ，所以|MO |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m <n .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2，y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，故E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，得|DE |×|DF |＝|DO |2， 即(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得x 2－y 2＝1. 而DE →＝(－2－x ，－y )，DF →＝(2－x ，－y )，所以DE →·DF →＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1.由于点D 在圆O 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<2，x 2－y 2＝1，得y 2<12，所以－1≤2y 2－1<0， 即DE →·DF →∈[－1,0)．13．解 (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为(－1)2＋32＝10， ⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3. 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0. (2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )， 因为点M 是线段PN 的中点， 所以M (m ＋x 2，n ＋y2)，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(m ＋x 2－3)2＋(n ＋y 2－2)2＝r 2. 即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2. 因为该关于x ，y 的方程组有解， 即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心， 2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2， 又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立． 而f (m )＝10m 2－12m ＋10 在[0,1]上的值域为[325，10]，故r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对∀m ∈[0,1]成立， 即r 2<325.故⊙C 的半径r 的取值范围为[103，4105)．。

方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人方达教育学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师翟嘉课时数2h 第次课授课日期及时段2015 年月日：—：解答题的八个答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1三角变换与三角函数的性质问题已知函数 f (x)＝2cos x·sin x＋π2x＋sin xcos x＋1.－3sin3(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间．审题路线图不同角化同角→降幂扩角→化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h→结合性质求解．规范解答示例构建答题模板13解f( x) 2cos x＝sin x＋2cosx3sin－2 2x)＋1＝sin 2x＋3cos 2x＋1第一步化简：三角函数式的化简，一般化成y＝A sin( ωx＋φ) ＋h 的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式．2＝2sin xcos x＋3(cosx－sinπ＝2sin 2x＋＋1.3第二步整体代换：将ωx＋φ看作一(1)函数f(x)的最小正周期为2π＝π.2个整体，利用y＝sin x，y＝cos x 的性质确定条件．π(2)∵－1≤sin 2x＋≤1，∴－1≤2sin 2x＋3 π＋1≤ 3.3第三步求解：利用ωx＋φ的范围求∴当2x＋π＝3ππ＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f( x)取2 12条件解得函数y＝A sin( ωx＋φ) ＋h的性质，写出结果．得最大值3；π当2x＋＝－3 π＋2kπ，k∈Z，即x＝－25π＋kπ，k∈Z时，f(x)12第四步反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性.方达教育辅导教案第 1 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人取得最小值－ 1.(3)由－π＋2kπ≤2x＋2π≤3π＋2kπ，k∈Z，得－25π＋kπ≤x≤12π＋12kπ，k∈Z.∴函数f (x)的单调递增区间为－5ππ＋kπ，＋kπ(k∈Z).12 12(2014福·建)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－1 2.π，且sin α＝(1)若0<α<22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．2π解方法一(1) 因为0<α< ，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22×(22＋22)－21 1＝.2 2(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12x－1＝2 12sin 2x＋1＋cos 2x－21 1＝2sin 2x＋212cos 2x＝2 π2 sin(2 x＋4)，2π所以T＝＝π.2由2kπ－ππ3πππ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.2 4 2 8 8所以f (x)的单调递增区间为[kπ－3ππ，kπ＋]，k∈Z.8 81 12x－方法二f(x)＝sin xcos x＋cos＝sin 2x＋2 2 1＋cos 2x 1－＝2 212sin 2x＋12cos 2x＝2sin(2 x＋2π)．4π，sin α＝(1)因为0<α<22，所以α＝2π，从而f(α)＝422 sin(2α＋π4)＝2 3π2 sin4＝12.2π(2)T＝＝π.2由2kπ－πππ3ππ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.2 4 2 8 8所以f (x)的单调递增区间为[kπ－3ππ，kπ＋]，k∈Z.8 8模板2解三角形问题2C 2A 在△ABC 中，若acos ＋ccos ＝2 23 2 b.(1)求证：a，b，c 成等差数列；(2) 求角B 的取值范围．审题路线图(1) 化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明(2) 用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围方达教育辅导教案第 2 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人规范解答示例构建答题模板2C 2A 1＋cos C(1) 证明因为acos ＋＋ccos ＝a·2 2 2第一步定条件：即确定三角形中的已知和1＋cos A c·＝2 3b，2所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．所以a＋c＋( a cos C＋ccos A)＝3b，2＋b2－c2 2＋c2－a2a b故a＋c＋a·＋c·2ab 2bc ＝3b，第二步定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．整理，得a＋c＝2b，故a，b，c 成等差数列．第三步求结果．(2) 解cos B＝2＋c2－a＋ca2＋c2－b2a 2＝2ac 2ac2 第四步再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全2＋c2 －2ac3 a6ac－2ac＝8acπ.3＝≥8ac因为0< B<π，所以0<B≤12，部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.→→(2014辽·宁)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA·BC ＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1) a 和c 的值；(2)cos( B－C)的值．→→解(1)由BA ＝2 得c·acos B＝2.又cos B＝·BC 13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.又b＝3，2＋c2＝b2＋2accos B.又b＝3，所以a ＝13.解2＋c2＝9＋2×6×12＋c2＝9＋2×6×13 ac＝6，2＋c2＝13，a得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC 中，sin B＝1－cos2B＝1－2B＝1－132＝22，，3c由正弦定理，得sin C＝bsin B＝2 2 2×＝3 34 29 .因为a＝b> c，所以 C 为锐角，2因此cos C＝1－sinC＝1－4 292＝79.于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝17×＋3 92 23×4 29＝23.27模板3数列的通项、求和问题* )满足a n b n已知首项都是 1 的两个数列{ a n} ，{b n}( b n≠0，n∈N＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0.a n(1)令c n＝，求数列{ a n} 的通项公式；b nn－1，求数列{ a (2)若b n＝316 页）方达教育辅导教案第 3 页（共方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人审题路线图(1) a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0 →a n＋1＋1－b n＋1a nb n＝2 →c n＋1－c n＝2 →c n＝2n－1错位相减法n－1 ――→(2) c n＝2n－1 →a n＝2n－1 ·3得S n规范解答示例构建答题模板解(1)因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0(b n≠0，n∈N*)，第一步找递推：根据已知条件确定数列相所以a n＋1－b n＋1＋1a n＝2，即c n＋1－c n＝2，b n邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．第二步求通项：根据数列递推公式转化为所以数列{c n} 是以首项c1＝1，公差d＝2 的等差数等差或等比数列求通项公式，或利用累加法列，故c n＝2n－1.或累乘法求通项公式．n－1 知a n－1，(2)由b n＝3 n＝c n b n＝(2n－1)3第三步定方法：根据数列表达式的结构特于是数列{a n} 的前n 项和S n＝1·30＋3·31＋5·32＋,0＋3·31＋5·32＋,征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、n－1，＋(2n－1) ·3错位相减法、分组法等)．1＋3·32＋, ＋(2n－3) ·3n－1＋(2n－1) ·3n，3S n＝1·3第四步写步骤：规范写出求和步骤．相减得－2S n＝1＋2·(31＋32＋,＋3n－1)－(2n－1＋32＋, ＋3n－1)－(2n－第五步再反思：反思回顾，查看关键点、n＝－2－(2n－2)3n，1) ·3所以S n＝(n－1)3n＋1.n＋1.易错点及解题规范.已知点1，13是函数f( x)＝a x (a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{a n} 的前n 项和为f(n)－c.数列{ b n} ( b n>0) 的首项为c，且前n 项和S n 满足S n－S n－1＝S n＋S n－1 (n≥2)．(1)求数列{ a n} 和{b n} 的通项公式；(2)若数列1b n b n＋11 001的前n 项和为T n，问满足T n> 的最小正整数n 是多少？2 012解(1)∵f(1)＝a＝1，∴f( x)＝313x.1由题意知，a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[ f(2)－c]－[f(1) －c] ＝－3 29，a3＝[f (3)－c]－[f(2)－c]＝－23.422a 81又数列{ a n}是等比数列，∴a1＝＝＝－a3 2－27 23＝1a2 1－c，∴c＝1.又公比q＝＝，3 a1 3∴a n＝－23·13n－1＝－2·13n *(n∈N)．∵S n－S n－1＝( S n－S n－1)( S n＋S n－1)＝S n＋S n－1 (n≥2)．方达教育辅导教案第 4 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人又b n>0，S n>0，∴S n－S n－1＝1.2. ∴数列{ S n} 构成一个首项为1、公差为 1 的等差数列，S n＝1＋(n－1)×1＝n，即S n＝n当n≥ 2 时，b n＝S n－S n－1＝n 1＝1 也适合此通项公式．2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1 时，b*∴b n＝2n－1 (n∈N)．(2)T n＝1＋b1b21＋b2b31＋, ＋b3b41b n b n＋1＝1 1＋＋1×3 3×51＋, ＋5×712n－1 ×2n＋1＝12×1－131＋×21 1－3 5＋12×1 1－5 7＋, ＋12×1 1－2n－1 2n＋112＝×1－12n＋1n＝.2n＋1 n 1 001 1 001由T n＝，得n>2n＋1 2 012 10> ，1 001∴满足T n>的最小正整数n 的值为101.2 012模板4利用空间向量求角问题(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M 是线段A B 的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD 1；(2)若CD1 垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C1D1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．AB＝2CD审题路线图(1) M是AB中点，四边形ABCD是等腰梯形――→CD∥AM CD＝AM ? ?AMC 1D 1→C1M∥平面A1ADD1(2) CA，CB，CD1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规范解答示例构建答题模板第一步找垂直：找出(或(1)证明因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC. 作出)具有公共交点的三又由M 是AB 的中点，因此CD∥MA 且CD＝MA.条两两垂直的直线．连接A D1，如图(1)．第二步写坐标：建立空在四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，间直角坐标系，写出特征因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D 1 点坐标．为平行四边形，因为C1M∥D1A. 第三步求向量：求直线方达教育辅导教案第 5 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人又C1M? 平面A1ADD 1，D1A? 平面A1ADD 1，所以C1M∥平面A1ADD 1. 的方向向量或平面的法(2)解方法一如图(2)，连接AC，MC .由(1)知向量．CD∥AM 且CD＝AM，第四步求夹角：计算向所以四边形AMCD 为平行四边形，可得BC＝AD＝量的夹角．MC，第五步得结论：得到所由题意得∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC 为正三求两个平面所成的角或角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝3，因此CA⊥CB.直线和平面所成的角.以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C－xyz，所以A( 3，0,0)，B (0,1,0)，D1(0,0，3)，因此M3，212→，0 ，所以MD 1＝－3，－212→→， 3 ，D1C1＝MB＝－3 1，，0 .2 2设平面C1D1M 的一个法向量为n＝(x，y，z)，由→＝0，n·D1C1→＝0，n·MD 1得3x－y＝0，3x＋y－2 3z＝0，可得平面C1D1M 的一个法向量n →→＝(1，3，1)．又CD 1＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，因此cos〈CD1，→CD 1·n n〉＝＝→|CD1||n|55 .所以平面C1D1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5.5方法二由(1)知平面D1C1M ∩平面ABCD＝AB，过点 C 向AB 引垂线交AB 于点N，连接D1N，如图(3)．由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，因此∠D1NC 为二面角C1－AB－C 的平面角．在Rt△BNC 中，BC＝1，∠NBC＝60°，可得CN＝ 3.所以ND1＝2CD2＝1521＋CN.23所以Rt△D1CN 中，cos∠D1NC＝CN＝D1N2＝1525，5方达教育辅导教案第 6 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人所以平面C1D1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5 . 5如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点 D 是BC 的中点．(1)求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC1 与平面ABA1 所成二面角的正弦值．→→→解(1)以A 为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A1(0,0,4)，D (1,1,0)，C1(0,2,4)．→→所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．→→所以cos〈A1B，C1D〉＝→→A1B·C1D＝→→|A1B|×|C1D|18 3 10＝.1020×18所以异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值为310.10→＝(0,2,0)是平面ABA1 的一个法向量．(2)由题意，知AC→设平面ADC 1的法向量为m＝(x，y，z)，因为AD →＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，→由m⊥AD→，m⊥AC1，得x＋y＝0，2y＋4z＝0.取z＝1，得y＝－2，x＝2，所以平面ADC1 的一个法向量为m＝(2，－2,1)．设平面ADC 1与平面ABA1 所成二面角为θ，→－4→AC·m 2所以|cos θ|＝|cos〈AC，m〉|＝| ，得sin θ＝|＝| |＝→2× 3 3|AC |×|m|5 . 3所以平面ADC1 与平面ABA1 所成二面角的正弦值为 5.3模板5圆锥曲线中的范围问题方达教育辅导教案第7 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人椭圆 C 的中心为坐标原点O，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为2，直线l 与y 轴交于点2→→＝3PB P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点A，B，且AP .(1)求椭圆 C 的方程；(2)求m 的取值范围．审题路线图(1) 设方程→解系数→得结论→→＝3PB (2) 设l：y＝kx＋m →l，c相交Δ>0得m，k的不等式→AP →得m，k关系式→代入m，k的不等式消k →得m范围规范解答示例构建答题模板解(1) 设椭圆 C 的方程为2y2＋a2x2＝1(a>b>0)，b设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b ＝2，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝2，c＝a2 ，2所以a＝1，b＝c＝22 x2 2 2＝1，即y ＋2x ＝1.2 .故椭圆 C 的方程为y ＋1第一步提关系：2 从题设条件中提取(2)设直线l 的方程为y＝kx＋m( k≠0)，l 与椭圆 C 的交点坐标为A(x1，y1)，不等关系式．B(x2，y2)，由y＝kx＋m，2＋y2＝1，2x得(k2＋2) x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，2＋2) x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，第二步找函数：用一个变量表示目2－4( k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)Δ＝(2 k m)标变量，代入不等x1＋x2＝－2km2－ 1m→→2＋2 ，x＝3PB，所以－x1＝3x2，1x2＝2＋2 .因为APk k关系式．第三步得范围：所以x1＋x2＝－2x2，x1x2＝－3x22.所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.2＋4x1x2＝0.通过求解含目标变所以3·－2km2＋2k2－ 1m2＋4·2＋2 ＝0.k量的不等式，得所求参数的范围．2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.整理得4k第四步再回顾：当m2＝12＝1时，上式不成立；4注意目标变量的范2 当m≠142时，k＝22－2m2－1，4m围所受题中其他因素的制约.22>2 m2－2，又k≠0，所以k2＝2－2m由(*) 式，得k2－1>0.4m解得－1< m<－1 1或<m<1.即所求m 的取值范围为－1，－2 212∪12，1 .方达教育辅导教案第8 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导 学海方舟，教以达人已知双曲线 22x y2－2＝ 1(a>1，b>0)的焦距为 2c ，直线 l 过点 (a ,0)和 (0， b)，且点 (1,0)到直线 l 的距 a b离与点 (－ 1,0)到直线 l 的距离之和 s ≥ 45c ，求双曲线的离心率 e 的取值范围．解 设直线 l 的方程为 x y＋＝1，即 bx ＋ ay －ab ＝0. a b由点到直线的距离公式，且 a>1，得到点 (1,0)到直线 l 的距离 d 1＝ b a －1 ， 2＋b 2 a同理可得点 (－1,0)到直线 l 的距离为 d 2＝ b a ＋1 ，于是 s ＝d 1＋d 2＝ 2＋b 2a2ab2ab ＝ c .2＋ b 2 a 由 s ≥ 4 5c ，得 2ab ≥ c4 2－ a 2≥ 2c 2，可得5 e 2－1≥ 2e 2，即 4e 4－2 5e 2＋25≤ 0，解得 5 ≤ e2≤ 5. 5c ，即 5a c4 由于 e>1，故所求 e 的取值范围是 5， 5 .2 模板 6 解析几何中的探索性问题已知定点 C(－1,0)及椭圆x2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于 A ，B 两点．(1)若线段A B 中点的横坐标是－12，求直线 AB 的方程； → →为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)在 x 轴上是否存在点 M ，使 MA ·MB→ →审题路线图设 AB 的方程 y ＝k(x ＋1)→待定系数法求 k → 写出方程；设 M 存在即为 (m,0)→求MA·MB →在→ → 为常数的条件下求 m.MA ·MB规范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为 y ＝ k(x ＋1)，将第一步先假定：假2＋3y 2＝5，消去y 整理得 (3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.y ＝k(x ＋ 1)代入 x设结论成立． 4－4 3k 2＋13k 2－5 >0，①Δ＝ 36k第二步 再推理：以设 A (x 1，y 1)，B(x 2， y 2)，则x 1＋x 2＝－26k2＋ 1. ② 3k假设结论成立为条由线段A B 中点的横坐标是－1 2 ，得x 1＋ x 2 ＝－ 2 23k ＝－ 2＋1 3k1 3 ，解得 k ＝± ，23 件，进行推理求解． 第三步下结论：若适合 ①.推出合理结果，经验所以直线AB 的方程为x－3y＋1＝0 或x＋3y＋1＝0.→→(2) 假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA·MB为常数．(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x1＋x2＝－26k，x1x2＝2＋13k2－53k3k2＋1.证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设．第四步再回顾：查③方达教育辅导教案第9 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人→→所以MA ＝(x1－m)( x2－m)＋y1y2＝(x1－m)( x2－m)＋k·MB2(x1＋1)(x2＋1)看关键点，易错点＝(k 1x2＋(k 1＋x2)＋k2＋1)x 2－m)( x 2＋m2.2＋1)x 2－m)( x 2＋m2.(特殊情况、隐含条→→将③代入，整理得MA·MB件等)，审视解题规＝2－ 56m－1 k2＝2＋1 ＋m3k12＋1 －2m－142m－3 3k32＝m2＋2m－12＋1 ＋ m－3k 3范性.6m＋14→→是与k 无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－2＋1 .注意到MA·MB3 3k 7 3 ，→→此时MA＝·MB 4 . 9(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A、B 的坐标分别为－1，23、－1，－23，当m＝－73→→时，也有MA＝·MB44.综上，在x 轴上存在定点M －7→，0 ，使MA3→·MB 为常数.2x(2014福·建)已知双曲线E：2－2－a2y2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y b＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线 E 的离心率．(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l1，l2 于A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由．解(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以ba＝2，所以2－a2c＝2，故c＝5a，ac从而双曲线 E 的离心率e＝＝ 5.a(2)方法一由(1)知，双曲线 E 的方程为2 2x y2－2＝1.设直线l 与x 轴相交于点 C.a 4a当l⊥x 轴时，若直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB 的面积为8，所以1|OC | |·AB|＝8，因此2 12a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线 E 的方程为2 2x y－＝1.若存在满足条件的双曲线E，则E 的方程只能为4 162x－42y＝1.162 2x y以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E：＝1 也满足条件．4 16－方达教育辅导教案第10 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人m设直线l 的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2 或k<－2，则C(－，0)．k记A(x1，y1)，B( x2，y2)．由y＝kx＋m，y＝2x，得y1＝2m 2m，同理，得y2＝.2－k 2＋k由S△OAB ＝12|OC| ·|y1－y2|，得12|－m2m| ·|－k 2－k2m|＝8，2＋ky＝kx＋m，即m2＝4|4－k2|＝4( k2－4)．由2＝4|4－k2|＝4( k2－4)．由2x－42y＝1，162)x2－2kmx－m2－16＝0.得(4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．因为4－k又因为m2＝4( k2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线 E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E，且 E 的方程为2x－42y＝1.16方法二由(1)知，双曲线 E 的方程为2x2－a2y2＝1.设直线l 的方程为x＝my＋t，A( x1，y1)，B(x2，y2)．4a依题意得－1 12<m< 2.由x＝my＋t，y＝2x，2t得y1＝，同理，得y2＝1－2m－2t.设直线l 与x 轴相交于点C，则C(t,0)．1＋2m由S△OAB ＝11－y2|＝8，得2|OC| |·y12 |t| ·2t 2t＋1－2m 1＋2m＝8.所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．x＝my＋t，由 2 2x y2－2＝1，a 4a2 2 2 2得(4m －1)y ＋8mty＋4(t －a)＝0.2 2 因为4m －1<0，直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64mt 2 2 2 2－16(4m －1)(t －a)＝0，2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)( a2－4)＝0，所以a2＝4，即4m因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E，且 E 的方程为2x－42y＝1.16方法三当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y＝kx＋m，A( x1，y1)，B(x2，y2)．依题意，得k>2 或k<－2.由y＝kx＋m，2－y2＝0，4x2)x2－2kmx－m2＝0.得(4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝因为4－k2－m2.又因为△OAB 的面积为8，所以4－k12|OA | ·|OB| ·s in∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝45，所以252x2－m2＝4，得m2＝4(k2－4)．4－k由(1)得双曲线 E 的方程为2 2x y2－2＝1，由a 4ay＝kx＋m，2 2x y2－2＝1，a 4a2)x2－2 k mx－m2－4a2＝0.得(4－k2<0，直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)( m2＋4a2)＝0，因为4－k方达教育辅导教案第11 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人22即(k＝1.2－4)(a 2－4)＝0，所以 a 2＝4，所以双曲线 E 的方程为 x－ y 4 16当 l ⊥x 轴时，由 △OAB 的面积等于 8 可得 l ：x ＝2，又易知 l ：x ＝2 与双曲线 E ： 2 x－ 4 2y ＝1 有且只有一个公共点． 16综上所述，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E ，且 E 的方程为2 x － 4 2 y ＝1. 16模板 7 离散型随机变量的均值与方差甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6 道备选题中一次性抽取3 道题独立作答，然后由乙回答剩余3 题，每人答对其中 2 题就停止答题，即闯关成功．已知在6 道备选题中，甲能答对其中的 4 道题，乙答对每道题的概率都是 2 5.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为 ξ，求 ξ的分布列及均值．审题路线图(1) 标记事件 → 对事件分解 → 计算概率(2) 确定 ξ取值 → 计算概率 → 得分布列 → 求数学期望规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解 (1)设甲、 乙闯关成功分别为事件A 、B ，则 P( A )＝ 1 2C 4·C2 3C6＝4 1 ＝ ， 20 5第一步 定元： 根据已知条件确定离散型随机变量的取值．2222＝ 1 3＋C 1 ＋P( B )＝(1－ ) (1－ )3·3 3 3 27 2 9＝ 7 ， 27第二步定性： 明确每个随机变量取值所对应的事件．则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1 5 1－P( A ·B )＝1－P( A ) ·P ( B )＝1－ × 7 128＝ .27 135第三步 定型： 确定事件的概率模型和计算公式．(2)由题意知 ξ的可能取值是 1,2.第四步 计算： 计算随机变量1 2 2 132＋C C 4C1 C 4C 24，P(ξ＝2)＝P(ξ＝1)＝＝ ＝ 33C5C6645，则 ξ的分布列为取每一个值的概率．第五步列表：列出分布列．ξ 1 2P 1545第六步求解：根据均值、方差公式求解其值.∴E(ξ)＝1×15＋2×45＝93.方达教育辅导教案第12 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人已知一个袋中装有 3 个白球和 3 个红球，这些球除颜色外完全相同．(1)每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(2)每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取 3 次，求取出红球次数η的数学期望E(η)．审题路线图取到红球为止→取球次数的所有可能1,2,3,4→求对应次数的概率→列分布列→求E(ξ)．取出后放回，这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式.规范解答示例构建答题模板1 解(1)ξ的可能取值为1,2,3,4.P(ξ＝1)＝3＝1，P(ξ＝2)＝A3A26 2 A6 13＝3×36×5第一步：确定离散型随机变量的所有可能值．＝3，10第二步：求出每个可能2A 3AP(ξ＝3)＝3A6 133×2×3 3＝＝，6×5×4 20值的概率．第三步：画出随机变量3A 3A P(ξ＝4)＝4A6 133×2×3＝＝6×5×4×31.20的分布列．第四步：求期望和方差．故ξ的分布列为第五步：反思回顾．查ξ 1 2 3 4看关键点、易错点及解1 3 3 1P2 10 20 20 题规范．如本题可重点1 数学期望E(ξ)＝1×＋2×23 3 1＋3×＋4×＝10 20 2076.查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分(2) 取出后放回，取球 3 次，可看作 3 次独立重复试验，所以η～B(3，1 12)，所以E(η)＝3×2＝34.布列性质检查概率是否正确.模板8函数的单调性、极值、最值问题已知函数 f (x)＝2＋12ax－a2＋1 (x∈R)．其中a∈R.x(1)当a＝1 时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程；(2)当a≠0 时，求函数f(x)的单调区间与极值．审题路线图16 页）方达教育辅导教案第13 页（共规范解答示例构建答题模板方达教育辅导教案第14 页（共16 页）解(1)当a＝1 时，f(x)＝2＋1 －2x·2x2＋1 2 ＝2x 4 2 x2＋1，f(2)＝，又f′(x)＝x 5 x22－2x2＋1 2，f′(2)x＝－6.所以，曲线y＝f( x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2545＝－6(x－2)，即6x＋2525y 320.－＝2ax(2)f′(x)＝f (x)的导数f′(x)．注讨论．①当a＞0 时，令f′(x)＝0，得到x1＝－1a，x2＝a.意f( x)的定义域.第二步解方程：解当x 变化时，f′(x)，f (x)的变化情况如下表：f′(x)＝0，得方程的x (－∞，－1a) －1a1a，a) a (a，＋∞)(－根.第三步列表格：利f′(x) －0 ＋0 －用f′(x)＝0 的根将f(x) 极小值极大值所以f(x)在区间－∞，－1a，(a，＋∞)内为减函数，在区间－1，a 内为增函数．函af (x)定义域分成若干个小开区间，并列出数f(x)在x1＝－1a处取得极小值 f －1a1a，且f －2.函数f(x)在x2＝a 处取得极大＝－a表格.第四步得结论：从值f(a)，且f(a)＝1.②当a＜0 时，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－1a，表格观察f(x)的单调性、极值、最值等.当x 变化时，f′(x)，f (x)的变化情况如下表：第五步再回顾：对x (－∞，a) a (a，－1a) －1a (－1a，＋∞)需讨论根的大小问题要特殊注意，另外f′(x) ＋0 －0 ＋观察f(x)的间断点及f(x) 极大值极小值1所以f(x)在区间(－∞，a)，－，＋∞内为增函数，在区间a，－a 1a内为减函数．函步骤规范性.数f(x)在x1＝a 处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.函数f( x)在x2＝－1a处取得极小值f(－1a)，且f －1a2.＝－a2x－be－2x－cx( a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f (x) (2014重·庆)已知函数f(x)＝ae在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.方达教育辅导教案第15 页（共16 页）方达教育个性化一对一辅导学海方舟，教以达人(1)确定a，b 的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求 c 的取值范围．解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝2ae2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)恒成立，即2(a－b) ·(e)＝0 恒成立，所以a＝b.2x－e－2x又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.2x－e－2x－3x，那么 (2)当c＝3 时，f( x)＝e2x＋2e －2x－3＝1>0，f′(x)＝2e－2x－3≥ 2 2e2x·2e故f(x)在R上为增函数．2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e(3)由(1)知f′( x)＝2e－2x≥ 2 2e2x·2e－2x＝4，当x＝0 时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4 时，对任意x∈R，f′( x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c＝4 时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；当c>4 时，令e－c＝0 有两根t1,2＝2x＝t，注意到方程2t＋22x＝t，注意到方程2t＋2t2－16c±c>0，即f′(0)＝0 有两个根4x1＝1 1ln t1，x2＝ln t2.当x1<x<x2 时，f′(x)<0；2 2又当x>x2 时，f′(x)>0，从而f( x)在x＝x2 处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．16 页）方达教育辅导教案第16 页（共。

第1讲 函数与方程思想1．函数与方程思想的含义（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 2．和函数与方程思想密切关联的知识点（1）函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．（2）数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．（3）在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．（4）解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．（5）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.热点一 函数与方程思想在不等式中的应用例1 （1）f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.（2）设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________．思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )<0恒成立，一般可转化为f (x )min >0或f (x )max <0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．（1）若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0（2）已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．（1）若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； （2）在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k恒成立，求实数k 的最小值．思维升华 (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解．（1）(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．（2）已知函数f (x )＝(13)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．23D ．－23热点三 函数与方程思想在几何中的应用例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .（1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 思维升华 几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．（1）(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________． （2）若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.真题感悟1．(2014·辽宁)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝121log 3，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 23．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．4．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元) 押题精练1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)2．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 B ．12 C ．52 D ．223．(2014·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98] C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]4．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．5．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．6．如图，已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，P 为椭圆G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点． （1）求t ＝|PM →|的取值范围；（2）把PE →·PF →表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值．例1 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3) 变式训练1 (1)B (2)A 例2 解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n＝2n .(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.变式训练2 (1)4 (2)D3．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.所以，k 的值为1或－1. 变式训练3 (1)x 2＋32y 2＝1 (2)BC D 3．－3 4．160 B D C 4．[－1,2)5．解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，① ∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ， ∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0，∴－1<a <13且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a.设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2，∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43.∵－1<a <13且a ≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33. 即△OAB 的面积S 的最大值为33. 6．解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20a 2－1＝1(a >1)，∴y 20＝(a 2－1)⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2， ∴t 2＝|PM →|2＝(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0＋1)2＋(a 2－1)⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2＝⎝⎛⎭⎫1a x 0＋a 2， ∴t ＝⎪⎪⎪⎪1a x 0＋a .∵－a ≤x 0≤a ，∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)．(2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos ∠EPF ＝|PE →|2(2cos 2∠EPM －1) ＝(|PM →|2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(|PM →|2－1)|PM |2－1 ＝(t 2－1)⎣⎡⎦⎤2(t 2－1)t 2－1＝t 2＋2t 2－3，∴f (t )＝t 2＋2t2－3(a －1≤t ≤a ＋1)．对于函数f (t )＝t 2＋2t2－3(t >0)，显然在t ∈(0，42]时，f (t )单调递减，在t ∈[42，＋∞)时，f (t )单调递增．∴对于函数f (t )＝t 2＋2t 2－3(a －1≤t ≤a ＋1)，当a >42＋1，即a －1>42时，[f (t )]max ＝f (a ＋1)＝a 2＋2a －2＋2(a ＋1)2， [f (t )]min ＝f (a －1)＝a 2－2a －2＋2(a －1)2；当1＋2≤a ≤42＋1时，[f (t )]max ＝f (a ＋1)＝a 2＋2a －2＋2(a ＋1)2， [f (t )]min ＝f (42)＝22－3； 当1<a <1＋2时，[f (t )]max ＝f (a －1)＝a 2－2a －2＋2(a －1)2，[f(t)]min＝f(42)＝22－3.。

方达教育学科教师辅导教案学员姓名 年 级高三 辅导科目数 学授课老师翟 嘉课时数2h第 次课授课日期及时段 2015年 月 日 ： — ：数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角变换与三角函数的性质问题已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间． 审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h →结合性质求解．规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解答题的八个答题模板(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD－A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值． 审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，如图(1)．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因为C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线． 第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．(2)解 方法一 如图(2)，连接AC ，MC .由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形，可得BC ＝AD ＝MC ，由题意得∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系C －xyz ，所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)， 因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量，因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二 由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ， 过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ， 连接D 1N ，如图(3)．由CD 1⊥平面ABCD ， 可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1， ∠NBC ＝60°，可得CN ＝32.所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 第四步 求夹角：计算向量的夹角．第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.③所以MA→·MB→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.将③代入，整理得MA→·MB→＝(6m－1)k2－53k2＋1＋m2＝⎝⎛⎭⎫2m－13(3k2＋1)－2m－1433k2＋1＋m2＝m2＋2m－13－6m＋143(3k2＋1).注意到MA→·MB→是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－73，此时MA→·MB→＝49.(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－1，23、⎝⎛⎭⎫－1，－23，当m＝－73时，也有MA→·MB→＝49.综上，在x轴上存在定点M⎝⎛⎭⎫－73，0，使MA→·MB→为常数.第四步再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.(2014·福建)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率．(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a . 又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C (－mk，0)．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12|－m k |·|2m 2－k －2m2＋k|＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t1－2m ，同理，得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.。

数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.2．等差数列的有关概念及性质（1）等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． （2）等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . （3）等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .（4）等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列． ③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 3．等比数列的有关概念及性质（1）等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.（2）等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.（3）等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．（4）等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . （5）等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] （1）在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. （2）各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.4．数列求和的方法（1）公式法：等差数列、等比数列求和公式； （2）分组求和法； （3）倒序相加法； （4）错位相减法；（5）裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .（6）并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．5．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示． [问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________．6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件．7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)（1）推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． （2）用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1.易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．282．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．3966．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________．10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .1．⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．A 3．(1)512 (2)10 4．925．⎝⎛⎭⎫23，1 6．充分不必要 7．9 8．221．1或－1 2．S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7)3．150 4．252CBAAC 6．22 7．4 8．4 9．(4,8) 10．解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，① 知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。