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《保险精算学》笔记：多元生命函数

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保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。

⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。

所以长期业务⼀般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。

所以短期业务⼀般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。

2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。

3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。

第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。

原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。

2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。

人大统计学院保险精算学课程大纲

人大统计学院保险精算学课程大纲

人大统计学院保险精算学课程大纲教师：王晓军，黄向阳，王燕英文教材：, Actuarial Mathematics, edition, The Society of Actuarial,1997.中文参考教材：王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。

该教材1996年12月获北京市第四届哲学社会科学优秀成果二等奖，1999年12月获国家统计局第三届全国高等学校优秀统计教材奖。

本课程总课时：72课程教学18周，每周4课时第一章：利息理论基础本章课时：10一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理3、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧4、了解收益率的概念及各种场合下收益率的计算方法5、掌握分期偿还与偿债基金的原理并能确定分期偿还表与偿债基金表。

二、主要内容第一节：利息的度量一、利息的定义二、利息的度量三、变利息第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素二、利息问题求解的原则第三节：年金一、年金的定义和分类二、基本年金三、一般年金第四节：收益率一、收益率的概念二、收益率的唯一性判别三、再投资率四、基金的利息度量第五节：分期偿还表和偿债基金一、分期偿还表二、偿债基金第二章生命表函数与生命表构造本章课时：6一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节生命表函数一、生存函数二、剩余寿命三、死亡效力第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型二、生命表的起源三、生命表的构造四、选择与终极生命表第三节有关分数年龄的假设一、使用背景二、基本原理三、常用假定第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定本章课时：10一、学习目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义及递推公式的含义5、认识计算基数并能使用计算基数计算趸缴纯保费二、主要内容第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理一、人寿保险简介二、人寿保险趸缴纯保费厘定的原理第二节死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定一、定额受益保险二、两全保险三、延期保险四、变额受益保险第三节死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定一、各种情况下的死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定二、死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系第四节递归方程公式一及理解公式二及理解公式三及理解公式四及理解第五节计算基数一、什么是计算基数二、常用计算基数三、用计算基数表示常见寿险的趸缴纯保费第四章生存年金本章课时：8一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。

寿险精算公式集合

寿险精算公式集合

1 x x s ( x) 1
x


De Moivre 模型(1729)

,
0 x

x Bc x
x Gompertze 模型(1825) s ( x ) exp{ B (c 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bc x
x Makeham 模型(1860) s( x) exp{ Ax B(c 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
Var (T ( x )) E (T ( x ) 2 ) E (T ( x )) 2 2 t
0
p x dt ex
o 2
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： ( x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
ex ex E ( K ( x ))
k
x kx n
n 1 } , k 0, n 0, x 0 Weibull 模型(1939) s ( x ) exp{ kx
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布， 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》 。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》 ，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合） 、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。 （用频数估计频率）

寿险精算(第一章)

寿险精算(第一章)

还可证明：
由于 X (t ) ( x t )
sT ( x ) '(t ) sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) (t )) ',
(ln sT ( x ) (t )) ' ( x t ), ln sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) ( s)) 'ds ( x s)ds,
结论与例子： 结论1.2.1 生存函数s(t)和密度函数f(t)可用死亡 力来 (t ) 表示:
( s )ds ( s )ds s(t ) e 0 , f X (t ) (t )e 0 .

t t
证明：
由于 (t )
f X (t ) ( FX (t )) ' (1 FX (t )) ' 1 FX (t ) s (t ) s (t )
i 1 l0
t
t
d x E ( Ix X i Ix t X i ) E ( t Dx ).
T ( x)
2) T(x)的死亡力
s ( x)
x (t )
fT ( x ) (t ) 1 FT ( x ) (t )
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的 关系
结论1.3.1
f X (x t) fT ( x ) (t ) , t 0; s ( x)

t
( x s ) ds sT ( x ) (t ) e 0 ;
人数.
L( x) I X i x
i 1
l0
lx E ( L( x)) E ( IX i x ) l0 P( X1 x) l0 s( x).

保险精算第3章(3)

保险精算第3章(3)

s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21

保险精算 第3章1 生命函数

保险精算 第3章1 生命函数

X 50) F (50) F (30) 0.25
3.1.3 剩余寿命
剩余寿命 T 的分布函数 ，记作 t qx
关于t求导 函数为 f T (t ) S ( x t ) S ( x)
概率密度 T q Pr T ( x ) t Pr X x t X x t x
下面就是生存模型可回答的例子：
• 一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少?
• 假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能 在下一年内死亡? • 如果某一45岁的男性公民，投保了一个10年的定期的 某种人寿保险，那么应该向他收多少保费?
• 一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民 的未来生存时间的影响是怎样的?
0.125
3.1.5 死亡效力
( x ) 的瞬时死亡率，简记 x 定义： 用生存函数的相对变化率来表示. S ( x) d ln[S ( x)] s S ( x) dx 用死力表示生存函数
联想 利息 力
S ( x) exp y dy
0

x

用死力表示其他函数
s( x) 1
t
x
px
qx

s( x t ) x t t px s ( x) x
t t q x 1 t p x x
练习：已知，死亡服从Markeham死亡 律：
20 0.003 30 0.004 40 0.006 20 A BC 20 0.003
t px xt
3.1.6 生存函数的解析表达式
有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729) 提出随机变量X服从均匀分布(De Moivre假设) 1 x [0, w) f ( x) 其他 0

保险精算 第三章 生命表基础(一)

保险精算 第三章 生命表基础(一)

s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17

当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17

3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1

,
0 x

式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)

x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17

概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k

保险精算学笔记多元生命函数

保险精算学笔记多元生命函数

保险精算学笔记多元生命函数保险精算学是关于保险的理论和实践应用的学科。

它研究如何量化风险和利润，并设计合适的保险产品和资产负债管理策略。

本文将介绍保险精算学中的重要概念——多元生命函数。

什么是多元生命函数？多元生命函数是一种描述多个人同时存活或死亡情况的统计方法。

它包含了多个单变量生命函数，用于描述一个人的生命需要遵循的模型，例如年龄、性别和职业等。

而多元生命函数则可以描述同时考虑多个因素的情况。

在保险精算学中，多元生命函数通常用于计算生命险保费。

当同一保单中涉及到多个被保险人时，我们需要考虑他们可能同时死亡的风险，以及他们各自死亡的风险。

多元生命函数提供了一种方法来评估这种风险。

多元生命函数的形式多元生命函数通常使用生命表来表示。

一个生命表通常包含以下信息：1、年龄：生命表中的人群以不同年龄划分成组，其中每一组人被认为具有相同的死亡风险。

2、q_x：记录生命表中人群中x岁时高于x岁死亡的人数。

3、l_x：人口中在x岁时至少存活的人数。

对于任何特定年龄x，保险公司可以利用生命表的q_x和l_x来推断一岁时的死亡概率。

如何使用多元生命函数使用多元生命函数可以帮助保险公司更精确地计算保费，从而最大限度地保持其利润。

在实践中，保险公司可以使用多项式拟合和最小二乘法等数学工具来评估多元生命函数。

这些工具可以简化多元生命函数的计算，并提高保险公司的精算预测能力。

保险公司还可以使用多元生命函数来评估保险产品的风险程度。

如果一个保险产品涉及到多个被保险人，并且需要考虑多个因素，那么使用多元生命函数可以帮助评估该产品的相关风险。

从而保险公司可以基于真实的风险来定价产品。

总结保险精算学笔记多元生命函数是保险精算学中的重要概念，用于描述多个人同时存活或死亡的情况。

多元生命函数的形式通常使用生命表来表示。

使用多元生命函数可以帮助保险公司更准确地计算保费，并评估保险产品的风险程度。

这对于保险公司来说非常重要，可以帮助他们保持收益的最大化。

《保险精算》3.1生命函数

《保险精算》3.1生命函数
4、Weibull假设（1939年）
kx n 1 s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
x kxn
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
x

,0 x
qx
s ( x) s ( x 1) s( x)
第3章 生命表基础
3.1 生命函数
为什么要研究生命表？
人寿保险 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定 时期内死亡或生存为给付条件 被保险人寿命的长短对于保险人来说非常重要 对生命表的研究是研究寿险精算的基础
3.1生命函数
3.1.1 分布函数
用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，X是连续型随机变量，则X的 分布函数是F(X) F(X) = Pr(X≤x)，x≥0 这是0岁的人在x岁之前死亡的概率，F(0)=0 X的概率密度函数极为f(x)，则 f(x)=F’(x), x≥0
k
q x s( x k ) s( x k 1)
s ( x)
1 xk

1
x

(1 1 x
x 1

)


x k 1 (1 ) 1 x



1 x
1 x
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
用fT(t)来表示T的概率密度函数： fT(t)=F’T(t)=-*s’(x+t)/s(x)] 用tqx表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则 tqx=Pr[T(x)≤t]，t≥0

保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造

保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造

《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。

2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。

这四个常用模型的拟合效果不令人满意。

（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。

（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。

2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡,写过《生命表的自然和政治观察》。

第7章 多元生命函数

第7章 多元生命函数

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【要点详解】
§7.1
基本概念
☞ 状态：若干个生命的组合称为一个状态，并根据其中各生命的生存与死亡情况定义状 态的存续与终止。 ☞ 两个生命组成的状态有两种： ①联合生存状态：一个x岁的生命（x）和一个y岁的生命（y）组成的状态称为联合生存状 态，如果当且仅当这两个生命都生存时状态存续，则这个状态记为（xy）。联合生存状态对 应两个人的联合生命保险。 ②最后生存状态：一个x岁的生命（x）和一个y岁的生命（y）组成的状态称为最后生存状 态，如果这两个生命中至少有一个生存时状态存续，则这个状态记为。最后生存状态对应两 个人的最后生存者保险。
(S ) 0 20s ds 90 t e 90
2 ， 90 t
所以 t p
(S ) 20

t
2
，
从而e20:25

0
t p20:25 dt

0 t
( NS (S p25 ) t p20 ) dt 2
85 t 90 t dt 0 85 90 85 t t2 t t2 t3 (1 )dt 0 45 8100 85 3825 688500 22.1
t
x t y t
说明：由已知的μxy(t)便可确定未来存续时间的分布函数FT(xy)(t)，即
xy ( s ) ds FT ( xy ) (t ) 1 e 0

（3）T（xy）的完全平均余命和方差分别为：
exy E T xy t t pxy xy (t )dt
若T(x)与T(y)相互独立，则：

保险精算学知识点总结

保险精算学知识点总结

保险精算学知识点总结保险精算学是一门研究保险风险和产品价格的学科，它涉及数学、统计学、经济学和财务学等多个领域的知识。

保险精算师通过对保险风险进行评估和分析，为保险公司制定产品定价和资产配置策略提供支持。

下面是保险精算学的一些重要知识点总结：一、风险评估1. 风险分析保险精算师需要对各种风险因素进行分析，包括人身保险中的寿命风险和健康风险，财产保险中的灾害风险和财产损失风险等。

通过建立数学模型，对这些风险进行定量评估，以便为保险产品定价和资产配置提供依据。

2. 数据分析在进行风险评估时，保险精算师需要分析大量的数据，包括历史保险索赔数据、资本市场数据和经济指标等。

通过对这些数据的分析，可以揭示潜在的风险趋势和相关性，为风险评估提供依据。

3. 风险建模为了更准确地评估保险风险，保险精算师需要使用各种风险建模技术，包括概率统计模型、时间序列分析和蒙特卡洛模拟等。

这些模型可以帮助精算师理解风险的概率分布和动态特性，为产品定价和资产配置提供更精准的预测。

二、产品定价1. 保费确定产品定价是保险精算师的核心工作之一，它涉及确定保险产品的保费水平。

在进行产品定价时，保险精算师需要考虑到多种因素，包括风险成本、费用支出、税收和利润要求等。

通过建立数学模型，保险精算师可以确定最优的保费水平，以平衡风险和利润的关系。

2. 实现利润保险公司的盈利能力取决于保险产品的定价是否合理。

保险精算师需要确保产品的保费收入能够覆盖风险成本和费用支出，并且实现一定的利润。

为了实现利润，精算师需要对产品的风险特性进行深入分析，以便设计出合理的保费结构。

三、资产配置1. 风险管理保险公司拥有大量的资金，在进行资产配置时，需要考虑到对冲风险和实现收益的平衡。

保险精算师需要运用投资组合理论和风险管理工具，制定合理的资产配置策略，以确保保险资金的安全性和盈利能力。

2. 投资收益保险公司的财务收益主要来自资产投资收益。

保险精算师需要在进行资产配置时，充分考虑投资组合的收益率和风险特性，以便最大限度地实现投资收益。

寿险精算公式集合

寿险精算公式集合

纯保费厘定的基本假定 三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被 保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益 （即预定利率） 。 净保费厘定原理 原则：保费净均衡原则 解释： 所谓净均衡原则， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时 值 ( x) 基本符号： —— 投保年龄 ——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数 vt ——贴现函 数 zt ——保险给付金在保单生效时的现时值 zt bt vt 主要险种的趸缴净保费的厘定： n 年期定期寿险 终身寿险 延期 m 年的终身寿险 n 年期生存保险 n 年期两全保险 延期 m 年的 n 年期的两全保险 递增终身寿险 递减 n 年定期寿险 2.1.1 死亡保险 n 年定期死亡保险 (x)签约离散型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期死亡保险的趸缴纯保费为:
x
s ( x ) exp{
0 x t t
s ds}
s
死亡效力与生存函数的关系
px
exp{

x
ds}
x
死亡效力与密度函数的关系 死 亡 效
t
f ( x ) x s ( x ) x exp{ s ds}
0
力
表
示
未
来
)
寿
命
的
密
度
函
数
F ) T t (
常用符号：新生生命组个体数：
l0
l0
年龄： x 极限年龄：
lx l0 s ( x )
个新生生命能生存到年龄 X 的期望个数： l x

中国精算师《寿险精算》章节题库-多元生命函数(圣才出品)

中国精算师《寿险精算》章节题库-多元生命函数(圣才出品)
A． B．μ1μ2 C． D． E． 【答案】E 【解析】已知 T（x）、T（y）相互独立，
13．已知 T（x）、T（y）相互独立，且死力分别为常数 μ1、μ2，假设 μ1=2μ2，则 T
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（xy）和
的相关系数
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3．给定条件如下： （1）死亡服从 de Moivre 假设，ω=110； （2）T（80）与 T（85）相互独立； （3）G 为（80）在（85）之后并在未来 5 年内死亡的概率； （4）H 为二人当中最先死亡的人在未来 5 至 10 年中死亡的概率。 则 G＋H=（ ）。[2008 年真题] A．0.25 B．0.28 C．0.33 D．0.38 E．0.41 【答案】B 【解析】由已知，有
A．μ1＋μ2
B．μ1μ2
C．
D．
10 / 108
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E． 【答案】E 【解析】已知 T（x）、T（y）相互独立，所以
12．已知 T（x）、T（y）相互独立，且死力分别为常数 μ1、μ2，则 T（xy）的方差为 （ ）。
（ ）。[2008 年真题]
A．18.3
B．20.4
C．22.1
D．24.5
E．26.8
【答案】C
【解析】
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5．关于最后生存状态的完全连续终身寿险，保单给付额为 1，在死亡时刻给付。假设 如下：
（1）T（x）与 T（y）相互独立； （2）μx（t）=μy（t）=0.07，t>0； （3）δ=0.05； （4）缴纳保费直到第一个人死亡为止。 计算该保险的均衡年缴保费的值为（ ）。[2008 年真题] A．0.04 B．0.07

《保险精算》之三--生命表

《保险精算》之三--生命表
18
整值剩余寿命

定义： ( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,

概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
11
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
17
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u q x ，以 概率的方式表示为：

t｜u
qx Pr[t T ( x) t u ]
t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
保险精算之三
王明征 大连理工大学管理学院 2009年11月
第三章 生命表
2
生命表相关定义

生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
3

生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。

《保险精算学》笔记：多元生命函数-8页文档资料

《保险精算学》笔记：多元生命函数-8页文档资料

《保险精算学》笔记：多元生命函数第一节多元生命函数简介一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。

二、多元生命函数的作用养老金给付场合合伙人联保场合遗产税的计算场合三、多元剩余寿命的联合分布1、联合密度函数2、联合分布函数3、联合生存函数4、边际生存函数第二节多元生命状况一、连生状况1、连生状况定义（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。

当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。

简记连生状况为：（2）连生状况剩余寿命的定义：（3）连生状况剩余寿命的性质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、两个体连生状况的生命函数（1）分布函数（2）生存函数特别：两个体剩余寿命独立场合（3）密度函数特别：两个体剩余寿命独立场合（4）死亡效力函数特别：两个体剩余寿命独立场合（5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率（6）连生状况整值剩余寿命为的概率（7）剩余寿命的期望二、最后生存状况1、最后生存状况的定义（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。

当所有的成员都死亡时，最后生存状况就结束了。

简记最后生存状况为：（2）最后生存状况剩余寿命的定义：（3）最后生存状况剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量2、多生命状况剩余寿命的关系（1）（2）（3）（4）3、两个体最后生存状况的生命函数（1）分布函数等价公式（2）生存函数等价公式（3）密度函数等价公式（4）死亡效力函数（5）最后生存状况整值剩余寿命为的概率等价公式（6）剩余寿命期望4、联合生命状态剩余寿命协方差分析第三节联合生命模型一、简介联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。

Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。

这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。

Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。

保险精算 第3章1 生命函数综述

保险精算 第3章1 生命函数综述

基本符号
S ( x t ) S ( x t ) S ( x t u) 另外，t|u qx S ( x) S (x t)
t px u qxt tu qx t qx t px tu px
当u 1时， 简记为 t| qx 表示（x）在x t岁和x t 1岁之间死亡的概率
寿命,简称余命.
关于T的分布,就是 X x 时,X 的条件分布.
（X :出生婴儿的未来寿命.）
练习：设
求： 1）
x 80 (0 x 80) F ( x) 1 ( x 80)
s ( x)
2）新生儿在30岁前死亡的概率； 3）新生儿活过50岁的概率； 4）新生儿在30岁和50岁之间死亡的概率。
第三章 生命表基础
背景
• 通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单。 按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据 被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保 险金。 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条 件支付。其最重要特征就是它发生的不确定性。一个 人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊情况下才 是预先可知的。对这个不确定性事件的研究是寿险精 算中最重要的工作之一。
qx ：x岁的人活过t年后的u年内死亡的概率. qx Prt T ( x) t u
即x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率
tu
PrT ( x) t u PrT ( x) t tu qx t qx
S ( x t ) S ( x t u) t px tu px S ( x)
(3) EX 0 xf ( x)dx 0 x[S ( x)]dx 0

保险学 第二章 第三节 生命函数

保险学 第二章 第三节 生命函数

特征：
1、生命表刻画的是整数年龄的人在整数年龄
内生存和死亡的概率； 2、是针对确定的人群构造的； 性别、种族、保险类别 3、有确定的基期人口。 集合是封闭的，一旦选定，就不能再进入。 人数减少的原因是死亡。
（二）、生命表的类型
生命表与人群的性别、种族等多种因素有关，
不同的划分标准，可以得到不同的生命表。 生命表有如下类型： 1、国民生命表和经验生命表。 2、寿险生命表和年金生命表。 3、男性生命表和女性生命表。 4、选择生命表
S x (t ) S xt (u)
3、国际通用的精算符号

t
qx
表示(x)在t年内死亡的概率

பைடு நூலகம்
t
p x 表示(x)活过t年的概率
tu

qx 表示(x)的人活过t年在u年死亡的概
率。
特殊 ：t=1时


qx
t
px
u=1时
一些公式：
qx
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
36
40
64
24
20
3
0.640 0.375 0.167
0.250
0.360 0.625
0.833
4 1
0.750
1.000
1
0.000
50 3） Pr( x 50) s (50) 1 0.375 80
4） 30 X 50) F (50) F (30) 0.25 Pr(
（三）、T分布函数（余命函数）
设x岁的人的剩余寿命为T(x),简写
为T。
T ( x) X x T

保险精算学3-生命表

保险精算学3-生命表
死亡均匀分布假设条件下，有：
E(S(x)) 1/ 2 ex ex 1/ 2
例3-2 当20≤x ≤ 25时，死亡效力为 0.001，试计算：20岁的人在22岁~24岁 间死亡的概率。
4
4
q 2 2 20 t p20 20tdt e0.001t 0.001dt 0.002
2
2
例3-3
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡
（1） q4=0.000358
（2）2p4=p4 * p5=p4 * （1-q5） =（1-0.000358）*（1-0.000323） =0.999319
（3）26p4=l30/l4=984635/997762 （4）（l30-l35）/l4=（984635-979738）/997762
三、生命表中的各类时间
k 0
k 0
k 0
T(x)的期望值是完全平均余命：
lxtdt
ex E(T (x)) t g(t)dt t t px xtdt td ( t qx ) t pxdt
两种余0 命之间的0关系：
0
0
0
lx
T (x) K(x) S(x)
E(T (x)) E(K (x)) E(S(x))
x
lim
h0
s(x) s(x h s(x)
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《保险精算学》笔记：多元生命函数
第一节多元生命函数简介
一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。

二、多元生命函数的作用
养老金给付场合
合伙人联保场合
遗产税的计算场合
三、多元剩余寿命的联合分布
1、联合密度函数
2、联合分布函数
3、联合生存函数
4、边际生存函数
第二节多元生命状况
一、连生状况
1、连生状况定义
（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。

当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。

简记
连生状况为：
（2）连生状况剩余寿命的定义：
（3）连生状况剩余寿命的性
质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、两个体连生状况的生命函数
（1）分布函数
（2）生存函数
特别：两个体剩余寿命独立场合
（3）密度函数
特别：两个体剩余寿命独立场合
（4）死亡效力函数
特别：两个体剩余寿命独立场合
（5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率
（6）连生状况整值剩余寿命为的概率
（7）剩余寿命的期望
二、最后生存状况
1、最后生存状况的定义
（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。

当所有的成员都死亡时，最后生存状
况就结束了。

简记最后生存状况为：
（2）最后生存状况剩余寿命的定义：
（3）最后生存状况剩余寿命的性
质：最后生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量
2、多生命状况剩余寿命的关系
（1）
（2）
（3）
（4）
3、两个体最后生存状况的生命函数（1）分布函数
等价公式
（2）生存函数
等价公式
（3）密度函数
等价公式
（4）死亡效力函数
（5）最后生存状况整值剩余寿命为的概率
等价公式
（6）剩余寿命期望
4、联合生命状态剩余寿命协方差分析
第三节联合生命模型
一、简介
联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。

Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。

这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。

Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。

这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。

我们主要研究简单的Common Shock 模型。

二、 Common Shock 模型
1、定义：如果有满足
且有一个Common Shock 随机变量，它独立于，且服从指数生存函数
令
则
2、联合生命状况分析
记
则
（1）边际生存函数为
（2）连生状况剩余寿命生存函数为
（3）最后生存状况剩余寿命生存函数为
特别，独立时，等价于。

第四节人寿保险与生存年金
一、联合生命状况趸缴纯保费的确定
1、趸缴纯保费的确定原理
2、联合多生命状况趸缴纯保费的确定
（1）连生状况
（2）最后生存状况
二、联合生命状况生存年金的确定
1、生存年金确定原理
2、联合生命状况生存年金的确定
（1）连生状况
（2）最后生存状况
三、连生状况合最后死亡状况的关系
四、继承年金
1、继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开
始获得年金。

这种年金叫做继承年金，简记为。

2、终身继承年金
3、定期继承年金
第五节在特殊死亡律假定下求值
一、Gomperz 和Makeham假定
1、 Gomperz假定下
寻找能替代连生状态的单个生命状态，即
已知在Gomperz假定下有，则在两生命独立假定下有
由这个等式可求出，于是
2、 Makeham假定下
由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用
两个同年龄的连生状态作替换，即
已知在Makeham假定下有，则在两生命独立假定下有
由这个等式可求出，于是
二、均匀分布假定
在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质。