14讲 一次方程组的应用

六年级下学期春季班（学生版）最新讲义一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容，主要考察方程的思想方法．之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题．列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数．对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解．本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．1、列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．一次方程组的应用内容分析知识结构模块一：二元一次方程组的应用知识精讲【例1】笔记本每本3元，钢笔每支4元，共15件用去50元，设买笔记本x本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________．【难度】★【答案】【解析】【例2】已知某年级共有学生568人，其中男生人数比女生人数的2倍少5人．设男生人数为x，女生人数为y，根据题意，可列出方程组为____________________．【难度】★【答案】【解析】【例3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐59只，扁担36根．设该班女同学有x人，男同学y人，根据题意，可列出方程组（）A．125921362x yx y⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B．125921362x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．23612592x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．259236x yx y+=⎧⎨+=⎩【难度】★【答案】【解析】例题解析【例4】汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40千米，则要迟到3小时，每小时行驶50千米，则可早到2小时，设甲、乙两地距离x千米，原规定时间为y小时，可列出方程组：_______________________．【难度】★★【答案】【解析】【例5】六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？【难度】★★【答案】【解析】【例6】某车间51名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车需要5个甲种零件和3个乙种零件才可以配套，为了每天能配套生产应如何安排工人？【难度】★★【答案】【解析】【例7】六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组各有多少人？【难度】★★【答案】【解析】【例8】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们两个人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？【难度】★★【答案】【解析】【例9】把48升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．【难度】★★【答案】【解析】【例10】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？【难度】★★【答案】【解析】【例11】某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米用3小时，求水流速度和船在静水中的速度．【难度】★★【答案】【解析】【例12】用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？【难度】★★【答案】【解析】【例13】一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务，如果他每小时做10个零件，就可超过任务3个，如果每小时做11个零件，就可提前1小时完成，他加工的零件使多少个？规定时间是多少小时？【难度】★★【答案】【解析】【例14】一批零件190个，如甲先做2天，然后乙加入合作3天正好完成；如果乙先做3天，然后甲加入合作2天也正好完成．问甲、乙两人每天各能做多少个零件？【难度】★★【答案】【解析】【例15】小红家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年收入高15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少元？【难度】★★【答案】【解析】【例16】电信局现有600部已申请电话待装，此外每天另有新申请电话待装，设每天新申请的电话数相同．如果安排3个装机小组，60天恰好装完，如果安排5个装机小组，20天恰好装完；问每天新申请电话多少部？每个装机小组每天安装多少部电话？【难度】★★【答案】【解析】【例17】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【例18】甲、乙两人相距28千米，若同时同向而行，则甲在14小时后追上乙；若相向而行，乙先出发2小时，则在甲出发2小时45分后相遇，求甲、乙两人的速度．【难度】★★★【答案】【解析】【例19】两个两位数的和是68，在较大的两位数右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位数少2178，求这两个两位数．【难度】★★★【答案】【解析】【例20】一商贩第一天卖出鲫鱼30千克、草鱼50千克，共获利310元；第二天卖出鲫鱼25千克、草鱼45千克，共获利267元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700千克、草鱼1200千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？【难度】★★★【答案】【解析】【例21】已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元．某中学计划将100500元全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】从甲地到乙地，先下山然后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用去1小时．他回来时以每小时8千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去1小时15分钟，问甲乙两地距离多远？【难度】★★★【答案】【解析】模块二：三元一次方程组的应用知识精讲列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．例题解析【例23】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数．【难度】★★【答案】【解析】【例24】小明有12张面额分别为1元，5元，10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的数量是5元元纸币数量的4倍，求1元，5元，10元纸币各多少张？【难度】★★【答案】【解析】【例25】某人某天能加工甲种零件12个或乙种零件10个或丙种零件20个，而甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个能配成一套．要在10天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几天？【难度】★★【答案】【解析】【例26】某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株树是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？【难度】★★【答案】【解析】【例27】某足球队共参加了11场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20分．求该队胜、平、负各几场．【难度】★★【答案】【解析】【例28】某同学有1元、5角、1角硬币共23枚，共计10.10元，问三种硬币各有多少枚？【难度】★★★【答案】【解析】【例29】汽车在平路上每小时行30公里，上坡路每小时行28公里，下坡路每小时行35公里，现在去某地有142公里的路程，去的时候用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测【习题1】甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树数是乙的1.5倍．若设甲、乙各值x棵，y棵，则可列方程组为________________________．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一个两位数，个位数字比十位数字的2倍大2，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大45，设个位数字是x，十位数字是y，可列出方程组______________________．【难度】★★【答案】【解析】【习题3】22名工人按定额完成了1400件产品，其中高级工每人定额200件，初级工每人定额50件，若这22名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？【难度】★★【答案】【解析】【习题4】为改善某河的周围环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，完成后林场和牧场的面积各有多少公顷？【难度】★★【答案】【解析】【习题5】已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个数的和是87，且后两数和的2倍比第一个数的7倍多3，求这三个数．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的23后，由徒工接着完成其余的部分后，共需6小时40分钟，如果技术工人完成任务的13后，由徒工接着完成其余的部分后，共需172小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？【难度】★★【答案】【解析】【习题7】用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为1 : 3 : 2，在乙中为2 : 1 : 1，在丙中为1 : 2 : 5，三种合金共用锌5.5千克，铝8千克，锡9.5千克，求甲、乙、丙三种合金各自的重量．【难度】★★★【答案】【解析】【习题8】某个三位数除以它各数位上的数字的和的9倍，得到的商为3，已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．如果把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数．【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟内可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】甲、乙两班有88名学生，如从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x人，乙班y人，可列出方程组：_______________________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业3】小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6辆小汽车用去3小时37分钟．平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？【难度】★★【答案】【解析】【作业4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的3倍；若将乙桶中的水倒入1千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两第一次第二次甲种货车辆数（单位：辆）25乙种货车辆数（单位：辆）36累计运货吨数（单位：吨）15.535现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问：货主应付运费多少元？【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个、乙5个、丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业7】某厂去年总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元．已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值与总支出分别为多少万元？【难度】★★【答案】【解析】【作业8】一个三位数的数字之和为11，如果把百位数上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原来的数大693；如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原数大54，求原数．【难度】★★★【答案】【解析】【作业9】一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆水行驶和顺水行驶单程所用的时间比为2 : 1．某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】甲、乙两人在一条与铁路平行的笔直的小路上，同时同地背向而行．当一列火车开过来时，两人在行进中各自测出整列火车通过的时间分别为42秒和34秒，且在整列火车通过时两人各自走了68米和44米，求火车的速度．【难度】★★★【答案】【解析】。

专题学习：一次方程与一次方程组的综合应用【写在前面】一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的， “消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法． 对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数以及解与解和方程（组）与方程（组）的关系.基本思路是首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，巧妙地列出相应的方程或方程组，再通过消元等方法转化，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．另外，一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在：首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决．其次，用于解应用题， 这不是本专题的内容，不做赘述.【知识铺垫】1.二元一次方程（组）的概念及解法；2.含参数一次方程（组）.【思想方法】方程模型的构建，分类讨论，转化思想（消元），参数常数化【例题精讲】一、 不同情境下方程（组）的构建【典型例题】1. 已知-+-m n m n x y x y 1312与2是同类项，则()-n m 2013=_______。

（同类项）2. 若0)3(33252=++-+b a b a ，则a +b 的值为=_______。

（非负性）3. 已知：++-+==x y x y x y 3221456，求x 、y 的值.（连续等式的含义） 4. 已知一次式y =kx +b ，当x =20，30时，y 的值分别为68，86，求k ，b 的值.（方程到方程组） 5. 若++--+=m n m n x y 25942742是关于x 、y 的二元一次方程，求+(+)m n 20131的值.（方程的概念） 6. 若关于x 的方程m (x -1)＝2001-n (x -2)有无数个解，求m 2003+n 2003的值．（无数解的理解）7. 若对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程(a -b )x -(a +b )y =a +b 都有一组公共解，求此公共解.（公共解的理解）-【思路点拨】本组题目利用同类项、绝对值以及二元一次方程的概念等相关数学概念建立二元一次方程组解决问题．【注意事项】建立方程的组的关键要恰当理解题目中参变量之间的关系，即：借助于相关数学概念，找到建立方程组的联系点.二、 关于方程（组）的解（特殊解）的讨论【典型例题】1. 写出二元一次方程4x +y =10的所有非负整数解.2. 已知m 是整数，方程组{436626x y x my -=+=有整数解，求m 的值． 3. k 、b 为何值时，方程组{(31)2y kx b y k x =+=-+ ,(1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?【思路点拨】获得特殊解的根本还是求解一般解，而对于二元一次方程而言，获得一般解就是“用含有某一个未知数的代数式表示另一个未知数”，对于二元一次方程组而言，获得一般解的方法就是利用代入法或加减法进行消元，转化成一元一次方程解决，求得一般解后再进行有关特殊性的讨论.【注意事项】求解是关键，讨论时要抓住特殊性，利用相关知识解决.另外，应该注意在求解过程中，面对字母系数（参数）时，应将其看作已知常数对待.三、 含字母系数的方程（组）的有关问题（一）根据方程组的解求字母系数【典型例题】已知{21x y ==是二元一次方程组{101ax by bx ay +=-=的解，求-a b 3的值.【变式训练】小刚在解方程组{1078ax by cx y +=-=时，本应解出{32x y ==-由于看错了系数c ，而得到的解为{22x y =-=，求++a b c 的值.【思路点拨】由方程组的解的概念入手，借助于解方程组，求得字母系数的值.【注意事项】解决此类问题的关键是理解方程组的解的含义以及会准确求解方程组.（二）根据方程组解的关系求字母系数.【典型例题】已知方程组{23342013x y k x y k +=-=-的解x ，y 满足方程5x -y =3，求k 的值. 【变式训练】已知方程组{23342013x y k x y k +=-=-的解x ，y 互为相反数，求k 的值.【思路点拨】正确求解含参数的方程组是关键，构造关于参数的一元一次方程是目标.【注意事项】求解含参数的方程组始终要有一个观点：即：面对参数时，应将其看作已知常数对待.（三）根据方程组的解相同求字母系数.【典型例题】若关于的方程组{237453x y x y +=-=与方程组{64ax by ax by +=-=有相同的解，求a 、b 的值. 【变式训练】1、若关于,x y 的方程组{2374x y ax by +=-=与方程组{6453ax by x y +=-=有相同的解，求a 、b 的值.2、若关于,x y 的方程组{2433x my nx my n +=+=和{21334x my mx ny m +=-=有相同的解，求m 、n 的值.【思路点拨】 首先理解两方程组同解的含义，这里有两层含义：一是相应两个方程组的公共解；二是构成这两个方程组的所有四个方程的公共解.有了上述理解，可以基于四个方程轻松组建易于求解的方程组，打开问题解决的突破口.【注意事项】易于求解的方程的组建基本原则是：参数越少越好，最好不好参数.【总结】1.上述问题实际上都是以二元一次方程组的解的含义为核心。

一元一次方程组一元一次方程组是由两个或多个一元一次方程组成的方程组。

一元一次方程是指最高次项是一次幂（即x的指数为1）的方程。

而方程组则是一组方程的集合，其中的方程可以有一个或多个未知数。

在一元一次方程组中，每个方程都可以用以下形式表示：a₁x + b₁ = 0a₂x + b₂ = 0...aₙx + bₙ = 0其中a₁，a₂，...，aₙ，b₁，b₂，...，bₙ是已知的常数，x是未知数。

一元一次方程组的解是使得方程组中所有方程同时成立的未知数的值。

解的个数可以有三种情况：1. 方程组有唯一解：方程组中的所有方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到唯一解。

2. 方程组没有解：方程组中的方程是不相容的，即无法通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程。

3. 方程组有无穷多解：方程组中的方程是相容的，即可以通过代数运算将方程组化简为只含一个未知数的方程，并得到一个含有未知参数的方程。

解一元一次方程组的常用方法有消元法、代入法、加减乘除法等。

下面我们将分别介绍这几种方法。

1. 消元法：消元法是一种通过消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。

具体步骤如下：a) 将方程组按照系数相同的未知数排列，将其转化为一个增广矩阵的形式。

b) 选取一个方程作为基准方程，通过线性组合将其他方程的某个未知数的系数消为0。

c) 重复b)步骤，直至将方程组化简为只含一个未知数的方程。

d) 求解得到唯一解或无解。

2. 代入法：代入法是一种通过将某个已知解代入其他方程中，从而求得未知数的值的方法。

具体步骤如下：a) 选择一个方程，将其中一个未知数表示为其他未知数的函数。

b) 将已知解代入该方程，得到关于其他未知数的方程。

c) 解这个关于其他未知数的方程，得到其他未知数的值。

d) 将其他未知数的值代入方程组中的其他方程，逐步求解得到未知数的值。

e) 检验解是否满足方程组中的所有方程。

3. 加减乘除法：加减乘除法是一种通过将多个方程进行相加、相减、相乘或相除，从而消去某些未知数的系数，从而化简方程组的方法。

思路探索：本题的两个相等关系分别为小晶家水费19元和小磊家水费31元。

解析：设小晶家5月份用水y m 3，则小磊家5月份用水1.5y m 3。

可列方程组52(5)1952(1.55)31x y x y ⨯-=⎧⎨⨯-=⎩＋＋，解得 243xy x =⎧⎨=⎩，即38x y =⎧⎨=⎩答：表中的x 的值为3。

规律总结：根据本题中的相等关系虽然列出的是二元二次方程组，但我们可以把这个方程组看作是关于xy 和y 的二元一次方程组，然后求解。

例2：某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．思路探索：（1）本题有两个未知数“1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐”，两个相等关系“同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐”“同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐”（2）计算出“5个大餐厅和2个小餐厅”能够提供的吃饭的人数，然后跟5300相比较。

解析：（1）设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，根据题意，得2168022280.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得960360.x y =⎧⎨=⎩，答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐． （2）因为960×5＋360×2＝5520＞5300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．规律总结：题中出现多个相等关系的题目就要考虑使用二元一次方程组，尽管题目的问题可能问的不是直接求未知数的值。

探究：教材106页：探究3：如图，长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连，这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地。

主题一次方程组的应用教学内容1．能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程组解应用题；2．经历和体验解决实际问题的过程，提高解决实际问题的能力．某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．问要多少工人生产螺栓，其余工人生产螺栓才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套．分析：由“某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽”得一等量关系：（1）生产螺栓的工人数＋生产螺帽的工人数＝28人由“一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套”得另一个等量关系：（2）生产的螺栓的个数：生产的螺帽的个数＝1：2解：设x人生产螺栓，y人生产螺帽．由题意得2812:181:2x yx y+=⎧⎨=⎩解得1216xy=⎧⎨=⎩答：12人生产螺栓，16人生产螺帽．练习：试一试：某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？解：设x人生产甲零件，y人生产乙零件．由题意得5116:215:3x yx y+=⎧⎨=⎩解得3516xy=⎧⎨=⎩答：35人生产甲零件，16人生产乙零件．归纳总结运用方程组解决实际问题的一般步骤是：1.审题：分析题意，找出题中的数量关系；2.设未知数：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x、y）；3.列方程组：根据等量关系列出方程组；4.解方程组：求出未知数的值；5.作答：并写出答案．（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。

在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？解：甲、乙两件服装的成本各是x 元、y 元．由题意得：[]500(150%)(140%)90%500157x y x y +=⎧⎪⎨⨯++⨯+⨯=+⎪⎩解得： 300200x y =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两件服装的成本各是300元、200元．试一试：已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加 付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公司 两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元，问 第一次、第二次分别邮购多少件？解：设第一次邮购x 件，第二次邮购y 件．根据题意，第一次每件付款为 10（1+10%）=11（元），第二次每件付款为 10×90%=9（元）得 2001191960x y x y +=⎧⎨+=⎩解得80120x y =⎧⎨=⎩ 答：第一次邮购80件，第二次邮购120件．例题2：六（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话： 班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本．售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元给你．根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？解：设钢笔每支x 元，笔记本每本y 元．由题意得：210151005x y x y -=⎧⎨+=-⎩ 解得： 53x y =⎧⎨=⎩ 答：钢笔每支5元，笔记本每本3元．试一试：某人买甲乙两种水果，甲种水果比乙种水果多买了3千克，共用去44元．已知甲种水果每千克3元，乙种水果每千克4元．问这个人买了甲乙两种水果各多少千克？解：设这个人买了甲种水果x千克，买了乙种水果y千克．由题意得33444x yx y-=⎧⎨+=⎩解得85xy=⎧⎨=⎩答：这个人买了甲种水果8千克，买了乙种水果5千克．例题3：在42千米的环形赛车跑道上，如果甲、乙两人同时同地相对而行，2小时首次相遇，如果甲、乙两人同时同地同向而行，乙需要14小时才能第一次追上甲，求甲、乙两人的平均速度各是多少？解：设甲乙两人的平均速度为x千米/小时、y千米/小时．根据题意，得2()4214()42x yy x+=⎧⎨-=⎩解得912xy=⎧⎨=⎩答：甲乙两人的平均速度为9千米/小时、12千米/小时．试一试：甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇；如果甲比乙先出发40分钟，那么在乙出发后1.5时两人相遇。

一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容，主要考察方程的思想方法．之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题．列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数．对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解．本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．1、列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．一次方程组的应用内容分析知识结构模块一：二元一次方程组的应用知识精讲【例1】笔记本每本3元，钢笔每支4元，共15件用去50元，设买笔记本x本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________．【难度】★【答案】【解析】【例2】已知某年级共有学生568人，其中男生人数比女生人数的2倍少5人．设男生人数为x，女生人数为y，根据题意，可列出方程组为____________________．【难度】★【答案】【解析】【例3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐59只，扁担36根．设该班女同学有x人，男同学y人，根据题意，可列出方程组（）A．125921362x yx y⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B．125921362x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．23612592x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．259236x yx y+=⎧⎨+=⎩【难度】★【答案】【解析】例题解析【例4】汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40千米，则要迟到3小时，每小时行驶50千米，则可早到2小时，设甲、乙两地距离x千米，原规定时间为y小时，可列出方程组：_______________________．【难度】★★【答案】【解析】【例5】六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？【难度】★★【答案】【解析】【例6】某车间51名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车需要5个甲种零件和3个乙种零件才可以配套，为了每天能配套生产应如何安排工人？【难度】★★【答案】【解析】【例7】六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组各有多少人？【难度】★★【答案】【解析】【例8】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们两个人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？【难度】★★【答案】【解析】【例9】把48升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．【难度】★★【答案】【解析】【例10】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？【难度】★★【答案】【解析】【例11】某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米用3小时，求水流速度和船在静水中的速度．【难度】★★【答案】【解析】【例12】用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？【难度】★★【答案】【解析】【例13】一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务，如果他每小时做10个零件，就可超过任务3个，如果每小时做11个零件，就可提前1小时完成，他加工的零件使多少个？规定时间是多少小时？【难度】★★【答案】【解析】【例14】一批零件190个，如甲先做2天，然后乙加入合作3天正好完成；如果乙先做3天，然后甲加入合作2天也正好完成．问甲、乙两人每天各能做多少个零件？【难度】★★【答案】【解析】【例15】小红家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年收入高15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少元？【难度】★★【答案】【解析】【例16】【难度】★★【答案】【解析】【例17】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【例18】甲、乙两人相距28千米，若同时同向而行，则甲在14小时后追上乙；若相向而行，乙先出发2小时，则在甲出发2小时45分后相遇，求甲、乙两人的速度．【难度】★★★【答案】【解析】【例19】两个两位数的和是68，在较大的两位数右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位数少2178，求这两个两位数．【难度】★★★【答案】【解析】【例20】一商贩第一天卖出鲫鱼30千克、草鱼50千克，共获利310元；第二天卖出鲫鱼25千克、草鱼45千克，共获利267元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700千克、草鱼1200千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？【难度】★★★【答案】【解析】【例21】已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元．某中学计划将100500元全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】从甲地到乙地，先下山然后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用去1小时．他回来时以每小时8千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去1小时15分钟，问甲乙两地距离多远？【难度】★★★【答案】【解析】模块二：三元一次方程组的应用知识精讲列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．例题解析【例23】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数．【难度】★★【答案】【解析】【例24】小明有12张面额分别为1元，5元，10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的数量是5元元纸币数量的4倍，求1元，5元，10元纸币各多少张？【难度】★★【答案】【解析】【例25】某人某天能加工甲种零件12个或乙种零件10个或丙种零件20个，而甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个能配成一套．要在10天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几天？【难度】★★【答案】【解析】【例26】某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株树是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？【难度】★★【答案】【解析】【例27】某足球队共参加了11场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20分．求该队胜、平、负各几场．【难度】★★【答案】【解析】【例28】某同学有1元、5角、1角硬币共23枚，共计10.10元，问三种硬币各有多少枚？【难度】★★★【答案】【解析】【例29】汽车在平路上每小时行30公里，上坡路每小时行28公里，下坡路每小时行35公里，现在去某地有142公里的路程，去的时候用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测【习题1】甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树数是乙的1.5倍．若设甲、乙各值x棵，y棵，则可列方程组为________________________．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一个两位数，个位数字比十位数字的2倍大2，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大45，设个位数字是x，十位数字是y，可列出方程组______________________．【难度】★★【答案】【解析】【习题3】22名工人按定额完成了1400件产品，其中高级工每人定额200件，初级工每人定额50件，若这22名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？【难度】★★【答案】【解析】【习题4】为改善某河的周围环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，完成后林场和牧场的面积各有多少公顷？【难度】★★【答案】【解析】【习题5】已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个数的和是87，且后两数和的2倍比第一个数的7倍多3，求这三个数．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的23后，由徒工接着完成其余的部分后，共需6小时40分钟，如果技术工人完成任务的13后，由徒工接着完成其余的部分后，共需172小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？【难度】★★【答案】【解析】【习题7】用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为1 : 3 : 2，在乙中为2 : 1 : 1，在丙中为1 : 2 : 5，三种合金共用锌5.5千克，铝8千克，锡9.5千克，求甲、乙、丙三种合金各自的重量．【难度】★★★【答案】【解析】【习题8】某个三位数除以它各数位上的数字的和的9倍，得到的商为3，已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．如果把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数．【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟内可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】甲、乙两班有88名学生，如从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x人，乙班y人，可列出方程组：_______________________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业3】小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6辆小汽车用去3小时37分钟．平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？【难度】★★【答案】【解析】【作业4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的3倍；若将乙桶中的水倒入1千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问：货主应付运费多少元？【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个、乙5个、丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业7】某厂去年总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元．已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值与总支出分别为多少万元？【难度】★★【答案】【解析】【作业8】一个三位数的数字之和为11，如果把百位数上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原来的数大693；如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原数大54，求原数．【难度】★★★【答案】【解析】【作业9】一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆水行驶和顺水行驶单程所用的时间比为2 : 1．某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】甲、乙两人在一条与铁路平行的笔直的小路上，同时同地背向而行．当一列火车开过来时，两人在行进中各自测出整列火车通过的时间分别为42秒和34秒，且在整列火车通过时两人各自走了68米和44米，求火车的速度．【难度】★★★【答案】【解析】。

第14讲 一元一次不等式（组）应用题本讲重点：列一元一次不等式（组）解决简单的实际问题.【考点链接】1．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）；④解不等式（组）；⑤检验.其中 是正确求解的必要环节．【典例探究】考点1 列一元一次不等式解应用题『例1』（2012益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A 、B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．（1）若购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，问购进A 、B 两种树苗各多少棵？（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．『解析』（1）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（17﹣x ）棵，根据题意得： 80x+60（17﹣x ）=1220，解得：x=10，∴17﹣x=7.答：购进A 种树苗10棵，B 种树苗7棵；（2）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（17﹣x ）棵，根据题意得：17﹣x ＜x ，解得：x ＞.购进A 、B 两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x ）=20x+1020，则费用最省需x 取最小整数9，此时17﹣x=8，这时所需费用为20×9+1020=1200（元）．答：费用最省方案为：购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵．这时所需费用为1200元．『备考兵法』解含不等式问题时，关键是掌握有关概念的含义，正确地列不等式， 常见的概念有：(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．(3)正数、负数、非负数、非正数等概念．考点2 列一元一次不等式组解应用题『例2』（2012福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？『解析』(1) 设小明答对了x 道题，依题意得：5x －3(20－x )＝68．解得：x ＝16．答：小明答对了16道题．(2) 设小亮答对了y 道题，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧5y －3(20－y )≥705y －3(20－y )≤90．因此不等式组的解集为1614≤y ≤1834．∵ y 是正整数，∴ y ＝17或18． 答：小亮答对了17道题或18道题．『备考兵法』用一元一次不等式组解应用题的一般步骤（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系（2）设：设适当的未知数（3）找：找出题目中的所有不等关系（4）列：列不等式（组）（5）解：求出不等式（组）的解集（6）答：写出符合题意的答案考点3 综合应用『例3』（2012铜仁）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A 、B 两种艺术节纪念品．若购进A 种纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 『解析』（1）设该商店购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元，根据题意得方程组得：⎩⎨⎧=+=+8006595038b a b a ， 解方程组得：⎩⎨⎧==50100b a ， ∴购进一件A 种纪念品需要100元，购进一件B 种纪念品需要50元；（2）设该商店购进A 种纪念品x 个，则购进B 种纪念品有（100﹣x ）个，∴⎩⎨⎧≤-+≥-+7650)100(501007500)100(50100x x x x ，解得：50≤x≤53， ∵x 为正整数，∴共有4种进货方案；（3）因为B 种纪念品利润较高，故B 种数量越多总利润越高，因此选择购A 种50件，B 种50件． 总利润=50×20+50×30=2500（元）∴当购进A 种纪念品50件，B 种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．『备考兵法』不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.有时需根据问题情境选取边界解.【当堂过关】1. （2012•恩施州）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A． 40% B．33.4% C．33.3% D．30%『解析』设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥，∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．『答案』B2. （2011湖南永州）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费2.0元，以后每分钟收费1.0元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为5.0元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费4.0元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（）A．6.0元 B．7.0元 C．8.0元 D．9.0元『解析』列不等式求解.『答案』B3. （2012南京模拟）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃～5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）A. 1℃～3℃ B. 3℃～5℃ C. 5℃～8℃ D. 1℃～8℃『解析』找公共部分.『答案』B4. （2012昆山一模）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有种．『解析』列不等式求解.『答案』25. （2012温州模拟）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共l5支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了支．『解析』列不等式求解.『答案』86. （2012张家界）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A．B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？解：设某游客一年中进入该公园x次，依题意得不等式组：，解①得：x ＞10，解②得：∴不等数组的解集是：x ＞25．答：某游客一年进入该公园超过2x=25次时，购买A 类年票合算．7. （2012江苏无锡前洲中学模拟）张先生前年在美美家园住宅小区订购了一套住房，图纸如图所示.已知：①该住房的价格15000 a 元/平方米；②楼层的电梯、楼梯及门厅前室面积由两户购房者平均负担；③每户配置车库16平方米，每平方米以6000元计算；根据以上提供的信息和数据计算：（1）张先生这次购房总共应付款多少元？（2）若经过两年，该住房价格变为21600元/平方米，那么该小区房价的年平均增长率为多少？（3）张先生打算对室内进行装修，甲、乙两公司推出不同的优惠方案：在甲公司累计购买10000元材料后，再购买的材料按原价的90％收费；在乙公司累计购买5000元材料后，再购买的材料按原价的95％收费．张先生怎样选择能获得更大优惠？解：（1）室内面积=4.65×4.2+5×6.6+8.4×5.7=100.41（平方米）, 楼梯电梯面积=3.9×4.2+3.6×5=34.38（平方米）,需张先生负担的面积=100.41+34.38÷2=117.6（平方米）,总费用=117.6×15000+16×6000=1860000（元）.（2）设年增长率为x ，则有15000（1+x ）2=21600∴x 1=0.2，x 2=-2.2（舍去）.年增长率为0.2（或20%）.（3）①如果累计购物不超过5000元，两个公司购物花费一样多；②如果累计购物超过5000元而不超过10000元，在乙公司购物省钱；③如果累计购物超过10000元，设累计购物为x 元（x ＞10000）．如果在甲公司购物花费小，则5000+0.95（x-5000）＞10000+0.9（x-100）x ＞15000.如果在乙公司购物花费小，则5000+0.95（x-5000）＜10000+0.9（x-100）x ＜15000而当花费恰好是15000元时，在两个店花费一样多．所以，累计购物超过10000元而不到15000元时，在乙公司购物省钱；累计购物等于15000元，两个公司花费一样多；而累计购物超过15000元时，在甲公司购物省钱．8. （2012韶山市初三质量检测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑音箱和液晶显示器，若购进电脑音箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑音箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．(1)每台电脑音箱、液晶显示器的进价各是多少元?(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金 不超过 22240元．根据市场行情，销售电脑音箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于 4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大? 最大利润是多少?解：(1)设每台电脑音箱的进价是x 元，液晶显示器的进价是y 元，得1087000254120x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得60800x y =⎧⎨=⎩. 答：每台电脑音箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元.(2)设购进电脑音箱x 台，得60800(50)2224010160(50)4100x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩，解得24≤x≤26. 因x 是整数，所以x=24,25,26.利润10x+160(50-x)=8000-150x ，可见x 越小利润就越大，故x=24时利润最大为4400元答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑音箱，26台液晶显示器；②进25台电脑音箱，25台液晶显示器；③进26台电脑音箱，24台液晶显示器.第①种方案利润最大为4400元.【浙江两年中考】1.（2012绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm ，如图，第一棵树左边5cm 处有一个路牌，则从此路牌起向右510m ～550m 之间树与灯的排列顺序是（ ）A．B．C．D．『解析』根据题意得：第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，由51040n30550≤≤﹣，解得1113n1422≤≤，∴n=14.当n=14时，40n﹣30=530米处是灯，则510米、520米、540米处均是树.∴从此路牌起向右510m～550m 之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树.故选B.『答案』B2. （2012湖州）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，∴乙种树每棵200元，丙种树每棵32×200=300（元）.（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000－3x）棵．根据题意：200·2x＋200x＋300（1000－3x）=210000，解得x=30.∴2x=600，1000－3x=100，答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵.（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，根据题意得：200（1000－y）＋300y≤210000＋10120，解得：y≤201.2.∵y为正整数，∴y最大为201.答：丙种树最多可以购买201棵.3. (2011绍兴)筹建中的城南中学需720套担任课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务，该厂生产桌子的必须5人一组，每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把.已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务.（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅？（2）先学校筹建组组要求至少提前1天完成这项生产任务，光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案. 解：（1）7206=120÷ ，∴光明厂平均每天要生产120套单人课桌椅.（2）设x 人生产桌子，则(84)x -人生产椅子，则125720,584245720,4x x ⨯⨯≥-⨯⨯≥⎧⎨⎩ 解得6060,60,8424x x x ≤≤∴=-=，∴生产桌子60人，生产椅子24人.4. （2012宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计（说明：+污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a 、b 的值；（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，9200×2%=184元， ∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过30吨.设小王家六月份用水量为x 吨，由题意，得17×3+13×5+6.8（x ﹣30）≤184，6.8（x ﹣30）≤68，解得x≤40. ∴小王家六月份最多能用水40吨.【命题趋势提醒】 本节内容在中考中题目越来越多，有填空、选择、解答题等，将会在不等式的实际应用问题、情境设计、设问方式等有新的突破，一大批具有较强的时代气息、格调清新、设计自然、紧密联系日常生活实际的应用题将会不断涌现【迎考精炼】一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共20分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. （2012广东南塘二模）已知ab ＞15，且a ＝－5，则b 的取值范围是 （ ）A 、b ＞3B 、b ＜3C 、b ＞－3D 、b ＜－3 『解析』由－5b ＞15得b ＜－3.『答案』D2. （2012菏泽市模拟）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折『解析』列不等式求解.『答案』B3. （2012西宁市）西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元.某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（ ）A ．至少20户B ．至多20户C ．至少21户D ．至多21户『解析』列不等式求解.『答案』C4. （2011绥化市）现有球迷150人欲同时租用A 、B 、C 三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A 、B 、C 三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A 型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种『解析』列不等式组求解.『答案』B5. （2012黄石）有一根长40mm 的金属棒，欲将其截成x 根7mm 长的小段和y 根9mm 长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x ，y 应分别为（ ）A. 1x =，3y =B. 3x =，2y =C. 4x =，1y =D. 2x =，3y =『解析』根据题意得：7x+9y ≤40，则x ≤9740x -，∵40-9y ≥0且y 是非负整数，∴y 的值可以是：0或1或2或3或4．当x 的值最大时，废料最少，因而当y=0时，所剩的废料是40-5×7=5mm ；当y=1时，所剩的废料是40-1×9-4×7=3mm ；当y=2时，所剩的废料是：40-2×9-3×7=1mm ；当y=3时，所剩的废料是：40-3×9-7=6mm ；所剩的废料是：40-4×9=4mm ．则最小的是：x=3，y=2．『答案』B二、解答题（本大题共8小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 6. （10分）（2012德州三模）先化简分式23111x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从不等式组⎩⎨⎧+<-≥--15242)2(3x x x x 的解集中取一个合适的值代入，求原分式的值． 解：原式=42+x .解不等式组得：23≤<-x ，若2=x 时，原式=8.（x 为23≤<-x 中不为0、1、－1的任意数）7. （10分）（2012南昌十五校联考）某幼儿园在六一儿童节购买了一批牛奶．如果给每个小朋友分5盒；则剩下38盒，如果给每个小朋友分6盒，则最后小朋友不足5盒，但至少分得1盒．问：该幼儿园至少有多少名小朋友？最多有多少名小朋友．解：设该幼儿园有x 名小朋友.依题意得：1≤5x ＋38 - 6（x - 1）＜5 ∴不等式组的解集为：39＜x ≤43. 又∵x 为整数，∴x ＝40,41,42,43. 答：该幼儿园至少有40名小朋友，最多有43名小朋友.8. （10分） （2012广东二模）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3 200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3∶2，单价和为160元．(1)篮球和排球的单价分别是多少元？(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？解：(1)设篮球的单价为x 元，则排球的单价为23x 元，据题意得x ＋23x ＝160， 解得x ＝96.故23x ＝23×96＝64.所以篮球和排球的单价分别是96元、64元． (2)设购买的篮球数量为n 个，则购买的排球数量为(36－n )个．由题意得：⎩⎨⎧ 36－n <1196n ＋6436－n ≤3 200， 解得25＜n ≤28.而n 是整数，所以其取值为26,27,28，对应36－n 的值为10,9,8，所以共有三种购买方案：①购买篮球26个，排球10个；②购买篮球27个，排球9个；③购买篮球28个，排球8个．9.（10分）（2012金华四模）产自庆元县百山祖山麓一带的“沁园春”茶叶是丽水市知名品牌．现该品牌旗下一茶厂有采茶工人30人，每人每天采鲜茶叶“炒青”20千克或鲜茶叶“毛尖”5千克.已知生产每千克成品茶叶所需鲜茶叶（1）则可采鲜茶叶“炒青” 千克，尖” 千克．（2）若某天该茶厂工生产出成品茶叶102千克，则安排采鲜茶叶“炒青”与“毛尖”各几人？（3）根据市场销售行情，该茶厂的生产能力是每天生产成品茶叶不少于100千克且不超过110千克，如果每天生产的茶叶全部销售，如何分配采茶工人能使获利最大？最大利润是多少？解：（1）设安排x 人采“炒青”，20x ；5（30－x ）．（2）设安排x 人采“炒青”，y 人采“毛尖”,则30205(30)10245x y x x +=⎧⎪-⎨+=⎪⎩，解得：1812x y =⎧⎨=⎩. 即安排18人采“炒青”，12人采“毛尖”．（3）设安排x 人采“炒青”，205(30)11045205(30)10045x x x x -⎧+≤⎪⎪⎨-⎪+≥⎪⎩,解得：17.5≤x ≤20, ①18人采“炒青”，12人采“毛尖”．②19采“炒青”，11人采“毛尖”．③20采“炒青”，10人采“毛尖”．所以有3种方案．计算可得第（1）种方案获得最大利润．18×204×40+12×55×120=5040元最大利润是5040元．10.（10分）（2012荆门东宝区模拟）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.解：( 1）甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米.（2）设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队（1000y -）米.由题意，得10,70100010.50yy⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩解得500700y≤≤．所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．11.（10分）（2012丽水一模）现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）根据题意西红柿种了（24-x）垄15x+30(24-x)≤540，解得x≥12 .∵x≤14，且x是正整数，∴x=12，13，14.共有三种种植方案，分别是：方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄;方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄;方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄 .（2）方案一获得的利润：12×50×1.6+12×160×1.1=3072（元）;方案二获得的利润：13×50×1.6+11×160×1.1=2976（元）;方案三获得的利润：14×50×1.6+10×160×1.1=2880（元）.由计算知，种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大，最大利润是3072元.12.（10分）（2011温州）2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于．．．85%，求其中所含碳水化合物．．．．．质量的最大值．解：(1) 400×5%＝20．答：这份快餐中所含脂肪质量为20克．(2)设所含矿物质的质量为x克，由题意得：x+4x+20+400×40% =400，∴x＝44，∴4x＝176.答：所含蛋白质的质量为176克．(3)解法一：设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为(380-5y)克，∴4y+(380－5y)≤400×85%，∴y≥40，∴380－5y≤180，∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．解法二：设所含矿物质的质量为而克，则n≥(1－85%－5%)×400，∴n≥40，∴4n≥160，∴400×85%－4n≤180，∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．13.（10分）(2011湖州)我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：(1) 2011年，王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求王大爷这一年共收益多少万元？（收益＝销售额－成本）(2) 2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3) 已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每载装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?解：（1）2011年王大爷的收益为：20.+.（3－24）10（25－2）＝17（万元）.⨯⨯（2）设养殖甲鱼x亩，则养殖桂鱼（30－x）亩．由题意得2.42(30)70,+-≤解得25x xx≤，又设王大爷可获得收益为y 万元，则0.60.5(30)y x x =+-，即11510y x =+. ∵函数值y 随x 的增大而增大，∴当x ＝25，可获得最大收益.答：要获得最大收益，应养殖甲鱼25亩，养殖桂鱼5亩.（3）设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a kg ，由（2）得，共需饲料为50025+700516000⨯⨯＝（kg ），根据题意，得160001600022a a-=，解得4000()a kg =. 答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000kg.。