2018浙江高考数学(理)二轮专题复习检测：选择填空题组合特训 题型专项训练4 Word版含答案答案

专题能力训练14直线与圆(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.x-3y-4=02.若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(2017浙江宁波中学模拟)若过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=04.已知直线l:kx+y+4=0(k∈Z)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()ABCD.25.已知直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是()ABC.[-]D6.若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为()AB.2C.4D.27.已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:kx-y-2k=0(k∈R),若直线l与圆C恒有公共点,则实数k的最小值是()A.-B.-1C.1 D8.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是()A.(0,1)BCD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2017浙江金丽衢十二校二模)直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点,P(1,1)到该直线的距离最大值为.10.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.11.已知圆O:x2+y2=r2与圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P,过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同的两点A,B(异于点P),且OA⊥OB,则直线OP的斜率为,r= .12.已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取得最小值时点P的坐标为.13.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则l的方程为.14.已知A是射线x+y=0(x≤0)上的动点,B是x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值;(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.16.(本小题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.参考答案专题能力训练14直线与圆1.C2.D解析由圆x2+y2-2x-2y+1=0,知圆心(1,1),半径为1,所以=1,解得b=2或b=12.3.B解析依题意知,点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,且为切点.因此圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为,切线的斜率k=-2.故圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.4.C解析由l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴知,其必过圆心(-2,2),因此k=3,则过点A(0,k)斜率为1的直线m的方程为y=x+3,圆心到其距离d=,所以弦长等于2=2.故选C.5.D解析由题意知圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离为d==1,故当|MN|≥2时,d=≤1,解得k∈.故选D.6.B解析圆C1的方程x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)可化为(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C2的方程x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)可化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1.∵圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,∴=3-1,即a2+b2=4,ab≤(a2+b2)=2.∴ab的最大值为2.7.A解析由题意知圆心C(-2,0),半径r=2.又圆C与直线l恒有公共点,所以圆心C(-2,0)到直线l的距离d≤r.因此≤2,解得-≤k≤.所以实数k的最小值为-.8.B图1解析 (1)当直线y=ax+b与AB,BC相交时(如图1),由得y E=,又易知x D=-,∴|BD|=1+.由S△DBE=,得b=.图2(2)当直线y=ax+b与AC,BC相交时(如图2),由S△FCG=(x G-x F)·|CM|=,得b=1-(∵0<a<1),∵对于任意的a>0恒成立,∴b∈,即b∈.故选B.9.(-2,3)解析直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R),即λ(y-3)+x+2=0,令解得x=-2, y=3.故直线l恒过定点(-2,3),P(1, 1)到该直线的距离最大值=.10.(x-2)2+(y-1)2=10解析∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心为C(a,b),则有解得a=2,且b=1.因此圆心坐标为(2,1),半径r=|AC|=.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.11. 2解析由题意知,P(1,),A(-1,),B(3,),由OA⊥OB得=-1,所以r2=4,所以r=2,P(1,),k OP=.12. 解析如图所示,圆C:(x+1)2+(y-2)2=2,圆心C(-1,2),半径r=,因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标为.13.x+y=0或x-y+4=0解析若a=b=0,则直线l过点(0,0)与(-2,2),直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.若a≠0,b≠0,则直线l的方程为=1,由题意知解得此时,直线l的方程为x-y+4=0.综上,直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.14.2+2解析设A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线AB的方程是ax+(a+b)y-ab=0.因为要使直线AB与圆x2+y2=1相切,所以d==1,化简得2a2+b2+2ab=a2b2,利用基本不等式得a2b2=2a2+b2+2ab≥2ab+2ab,即ab≥2+2,从而得|AB|==ab≥2+2,当b=a,即a=,b=时,|AB|的最小值是2+2.15.解 (1)∵点M,N到直线l的距离相等,∴l∥MN或l过MN的中点(设其为点C).∵M(0,2),N(-2,0),∴直线MN的斜率k MN=1,MN的中点坐标为(-1,1).又∵直线l:kx-y-2k+2=0过定点(2,2)(设其为点D),∴当l∥MN时,k=k MN=1;当l过MN的中点时,k=k CD=.综上可知,k的值为1或.(2)∵对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,∴l与以MN为直径的圆相离,即圆心(-1,1)到直线l的距离大于半径,∴d=,解得k<-或k>1.16.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].。

题型专项训练2选择填空题组合特训(二)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.已知全集U=R,A={x|x2-2x<0},B={x|x≥1},则A∪(∁U B)=()A.(0,+∞)B.(-∞,1)C.(-∞,2)D.(0,1)2.椭圆=1的焦距为2,则m的值等于()A.5或-3B.2或6C.5或3 D3.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A B+1C D4.已知x,y满足约束条件则z=3x+y的取值范围为()A.[6,10]B.(-2,10]C.(6,10]D.[-2,10)5.(2017浙江宁波十校联考)已知a,b∈R,则“|a|+|b|>1”是“b<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=x2+cos x,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(x)的图象大致是()7.已知随机变量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.4),则E(η),D(η)分别是()A.4和2.4B.2和2.4C.6和2.4D.4和5.68.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,当二面角C1-AA1-B为45°时,直线EF和BC1所成的角为()A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)9.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{a n}为“斐波那契”数列,S n为数列{a n}的前n项和,则S7=.10.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是,|z|=.11.若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0=,a5=.12.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=a cos B,b=3,sin C=2sin A,则a+c=,△ABC面积为.13.(2017浙江杭州高级中学模拟)若向量a,b满足|a|=|2a+b|=2,则a在b方向上投影的最大值是,此时a与b夹角为.14.某科室派出4名调研员到3个学校调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为.参考答案题型专项训练2选择填空题组合特训(二)1.C解析由题意得,集合A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|x≥1},所以∁U B={x|x<1},所以A∪(∁U B)={x|x<2},故选C.2.B解析假设椭圆的焦点在x轴上,则m>4,由焦距2c=2,c=,则c2=m-4,解得m=6,当椭圆的焦点在y轴上时,即0<m<4,由焦距2c=2,c=,则c2=4-m,解得m=2,故m的值为2或6,故选B.3.C解析观察三视图可知,几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1.三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1.则几何体的体积V=×π×12×1+×1×2×1=.故选C.4.B解析由约束条件作出可行域如图,化目标函数为y=-3x+z,由图可知,当直线y=-3x+z过点A时,z取最大值,由得A(4,-2),此时z max=3×4-2=10;当直线y=-3x+z过点B时,z取最小值,由解得B(0,-2),故z=-2.综上,z=3x+y的取值范围为(-2,10].5.B解析当a=2,b=0时,满足|a|+|b|>1,但b<-1不成立,即充分性不成立;若b<-1,则|b|>1,则|a|+|b|>1恒成立,即必要性成立.则“|a|+|b|>1”是“b<-1”的必要不充分条件,故选B.6.A解析由于f(x)=x2+cos x,∴f'(x)=x-sin x,∴f'(-x)=-f'(x),故f'(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除B,D;又当x=时,f'-sin-1<0,排除C,只有A适合,故选A.7.A解析∵ξ~B(10,0.4),∴E(ξ)=10×0.4=4,D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4,∵η=8-ξ,∴E(η)=E(8-ξ)=4,D(η)=D(8-ξ)=2.4,故选A.8.B解析如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面A1B1C1,则A1C1⊥AA1,A1B1⊥AA1,∴∠B1A1C1为二面角C1-AA1-B的平面角,等于45°,∵A1B1=AB=2,∴B1C1=BC=2,以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),E(0,1,0),C1(2,0,2),F(0,0,1),∴=(2,0,2),=(0,-1,1),∴cos<>=, ∴的夹角为60°,即直线EF和BC1所成的角为60°,故选B.9.33解析由题意S7=1+1+2+3+5+8+13=33.10.55解析z=(1+2i)(3-i)=5+5i.故实部为5,模为5.11.0251解析当x=1时,可得a0=0,x10-x5=[(x-1)+1]10-[(x-1)+1]5,所以a5==251.12.3解析由b sin A=a cos B及正弦定理,得sin B sin A=sin A cos B,∵A为三角形的内角,∴sin A≠0,∴sin B=cos B,即tan B=,又B为三角形的内角,∴B=;由sin C=2sin A及正弦定理,得c=2a,①∵b=3,cos B=,∴由b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac,②联立①②解得a=,c=2,∴a+c=3.面积S=ac sin B=×2.13.- 解析∵|2a+b|=2,|a|=2,∴|b|2+4a·b+16=4,设a,b的夹角为θ,则|b|2+8|b|cos θ+12=0.∴cos θ=-.∴a在b方向上投影为|a|cos θ=-=-.∵≥2,当且仅当|b|=时等号成立,∴|a|cos θ≤-.所以a在b方向上投影最大值是-,cos θ=-,θ=.14.36解析分两步完成:第一步将4名调研员按2,1,1分成三组,其分法有种;第二步将分好的三组分配到三个学校,其分法有种,所以不同的分配方案种数为=36种,故填36.。

2018年⾼考数学（理）⼆轮检测（浙江）第⼀部分专题⼆函数专题能⼒训练5含答案专题能⼒训练5导数及其应⽤(时间:60分钟满分:100分)⼀、选择题(本⼤题共8⼩题,每⼩题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0B.C.a≥D.04.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江⾦丽衢⼗⼆校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极⼤值点,2个极⼩值点B.2个极⼤值点,1个极⼩值点C.3个极⼤值点,⽆极⼩值点D.3个极⼩值点,⽆极⼤值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针⽅向旋转⾓θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每⼀个旋转⾓,曲线C都仍然是⼀个函数的图象,则α的最⼤值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为⾃然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成⽴,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)⼆、填空题(本⼤题共6⼩题,每⼩题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极⼤值和极⼩值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的⼀个极值点,则实数a= .11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成⽴的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是⾃然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于?t∈R,f(t)≤kt恒成⽴,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满⾜f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯⼀公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本⼤题共2⼩题,共30分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤)15.(本⼩题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线⽅程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最⼩值(⽤a表⽰).16.(本⼩题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成⽴,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能⼒训练5导数及其应⽤1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,⼜切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增⼤,-x2+2x增⼤,ln(-x2+2x)增⼤,当x∈(1,2)时,x增⼤,-x2+2x减⼩,ln(-x2+2x)减⼩,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成⽴.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成⽴,所以F(x)在R上单调递增.⽽F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所⽰,从⽽可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极⼩值点,x2为极⼤值点,即F(x)有1个极⼤值点,2个极⼩值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针⽅向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜⾓⼩于等于90°时,其图象都仍然是⼀个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且07.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,⼜∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成⽴.。

(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数6＋5i ，2＋4i(i 为虚数单位)对应的点分别为A 、C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( ) A.－2＋3i B.4＋i C.－4＋iD.2－3i解析 ∵两个复数对应的点分别为A (6，5)、C (2，4)，C 为线段AB 的中点，∴B (－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A. 答案 A2.如图，设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤8}，B ＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3 .4 C.7.8解析 依题意，A ∩B ＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A. 答案 A3.已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0，若z ＝x －y ，则z 的最大值为()A.3B.4C.5D.6解析作出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y ＝x －z ，平移直线y ＝x －z 可知，当直线经过点(3，0)时，z 取最大值，代值计算可得z ＝x －y 的最大值为3.故选A. 答案 A4.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.34C.35D.45解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，又|F 1F 2|＝2c ＝22，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.故选B.答案 B5.已知定义在R 上的函数f (x )满足条件： ①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1、x 2∈[0，2]且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. 则下列结论正确的是( ) A.f (7)＜f (6.5)＜f (4.5) B.f (7)＜f (4.5)＜f (6.5) C.f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)D.f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，得f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (2－0.5)＝f (1.5)，由题意知，f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (4.5)＜f (7)＜f (6.5).故选D. 答案 D6.已知在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为( ) A.[2，6) B.[2，6) C.[2，6)D.[4，6)解析 ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，即B ＝60°.∵S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝34ac ＝3， ∴ac ＝4.法一 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，又△ABC 为锐角三角形，∴a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，∵b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴b 2＋c 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(a 2＋b 2)，整理得2a ＞c ，且b 2＋a 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(b 2＋c 2)，整理得2c ＞a ，∴c 2＜a ＜2c ，ac2＜a 2＜2ac ，又ac ＝4，∴2＜a 2＜8，b 2＝a 2＋c 2－ac ＝a 2＋16a 2－4，2＜a 2＜8，∴令a 2＝t ∈(2，8)，则b 2＝f (t )＝t ＋16t －4，2＜t ＜8，∵函数f (t )在(2，4)上单调递减，在(4，8)上单调递增， ∴f (t )∈[4，6)，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 法二 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得ac ＝b 2sin 2B · sin A sin C ⇒4＝43b 2sin A sin(120°－A )， 即b 2＝3sin A sin （120°－A ）＝3sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14（1－cos 2A ）＝6sin （2A －30°）＋12， ∵30°＜A ＜90°，∴30°＜2A －30°＜150°，1＜sin(2A －30°)＋12≤32，∴632≤b 2＜61，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 答案 A7.点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM →·PN →的取值范围是( ) A.[0，2] B.[0，3] C.[0，4] D.[－2，2]解析 如图所示，设正三棱柱的内切球球心为O ，则PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝(PO →＋OM →)·(PO →－OM →)＝PO →2－OM →2，由正三棱柱底边长为23，高为2，可得该棱柱的内切球半径为OM ＝ON ＝1，外接球半径为OA ＝OA 1＝5，对三棱柱上任一点P 到球心O 的距离的范围为[1，5]，∴PM →·PN →＝PO →2－OM →2＝OP →2－1∈[0，4].故选C. 答案 C8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx ＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( ) A.－43 B.－54 C.－35D.－53解析 ∵圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴圆C 的圆心为(4，0)，半径为1，由题意设直线y ＝kx ＋2上至少存在一点A (x 0，kx 0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴存在x 0∈R ，使得|AC |≤1＋1成立，即|AC |min ≤2，∵|AC |min 即为点C 到直线y ＝kx ＋2的距离|4k ＋2|k 2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，即k 的最小值是－43.故选A. 答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 法一 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2， ∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.法二 由题意得y ＝1－2x ＋2＝1－2(x ＋2)－1，∴y ′＝2(x ＋2)－2，∴y ′|x ＝－1＝2，所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案 y ＝2x ＋110.在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝154，a 6a 7＝98，则1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝________.解析 由等比数列的性质知a 5a 8＝a 6a 7，∴1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝a 5＋a 8a 5a 8＋a 6＋a 7a 6a 7＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 6a 7＝154×89＝103.答案 10311.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是________.解析 由三视图知该几何体为两个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的圆柱的组合体，所以几何体的表面积为4π×12＋2π×1×2＝8π，体积为43π×13＋π×12×2＝10π3. 答案 8π10π312.若x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________. 解析因为f (x )＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a ，0<|φ|<π2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；因为x ＝π6是函数f (x )的一条对称轴，所以2×π6＋φ＝k π＋π2，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以φ＝π6，所以a ＝tan φ＝33，所以函数f (x )的最大值为1＋a 2＝233. 答案 π23313.已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy 的最小值为________.解析 设y ＝1－x ，则x －y ＝x －(1－x )＝2x －1，0<x <1，所以x －y ∈(－1，1)；1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝y x ＋x y ＋1≥3，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取得等号. 答案 (－1，1) 314.如图，等腰△OAB 中，∠OAB ＝∠OBA ＝30°，E ，F 分别是直线OA ，OB 上的动点，OE→＝λOA →，OF →＝μOB→，|OA →|＝2.若AF →·AB →＝9，则μ＝________；若λ＋2μ＝2，则AF→·BE →的最小值是________.解析 以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，由|OA |＝2，∠OAB ＝∠OBA ＝30°得A (－3，0)，B (3，0)，O (0，1)，AB→＝(23，0)，由OF →＝μOB→得F (3μ，1－μ)，所以AF →＝(3μ＋3，1－μ)，由AF →·AB →＝23(3μ＋3)＝9得μ＝12，由OE→＝λOA →得E (－3λ，1－λ)，BE →＝(－3λ－3，1－λ)，由λ＋2μ＝2得BE→＝(－33＋23μ，2μ－1)，所以AF →·BE →＝4μ2－10，当μ＝0时，AF →·BE →取得最小值－10. 答案 12 －1015.关于函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈R )，有下列命题：①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为π的整数倍；④y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6上单调递增；⑤y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到. 其中正确命题的序号有________.解析 对于①，y ＝f (x )的对称轴是2x －π6＝k π＋π2，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π3，当k ＝－1时，x ＝－π6，即①正确；对于②，y ＝f (x )的对称点的横坐标满足2x －π6＝k π，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π12.即②不成立；对于③，函数y ＝f (x )的周期为π，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为半个周期π2的整数倍，即③不正确；对于④，y ＝f (x )的增区间满足－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，即④成立；对于⑤，y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≠f (x )，即⑤不正确. 答案 ①④。

选择填空提速专练（七）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|x2＋4x－12＜0}，B＝{x|2x＞2}，则A∩B＝()A．{x|x＜6} B．{x|1＜x＜2}C．{x|－6＜x＜2} D．{x|x＜2}解析：选B由x2＋4x－12＜0得，－6＜x＜2，则A＝{x|－6＜x＜2}，由2x＞2得x＞1，则B＝{x|x＞1}，所以A∩B＝{x|1＜x＜2}．4 3 πcos θ－sin θ－2．若复数z＝( 5)＋( 5)i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan(θ－的值4 )为()1A．－7 B．－71C．7 D．－7或－74 3解析：选A因为复数z＝( ＋i是纯虚数，所以Error!即Error!则tan cos θ－5) (sin θ－5)3 πtan θ－1θ＝－，则tanθ－＝＝－7，故选A.4 ( 4 )1＋tan θ3．已知a，b为实数，则“a＝0”是“f(x)＝x2＋a|x|＋b为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为对任意a，b∈R，都有f(－x)＝(－x)2＋a|－x|＋b＝x2＋a|x|＋b＝f(x)，函数f(x)为偶函数，所以“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋a|x|＋b为偶函数”的充分不必要条件，故选A.―→―→―→―→―→4．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(2m，m＋1)，若AB∥OC，则m的值是()1A. B．－353 1C．－D．－5 7―→―→―→―→―→解析：选B依题意，AB＝OB－OA＝(3,1)，因为AB∥OC，所以3(m＋1)＝2m，解得m＝－3，故选B.25．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若cos A＋sin A－＝cos B＋sin B- 1 -a ＋b 0，则的值是( )cA ．1 B. 2 C. 3D ．22 解析：选 B 由 cos A ＋sin A － ＝0， cos B ＋sin Bππ得2sin(· sin B ＋＝2， A ＋ 4)2 ( 4)ππ 即 sin(sin4)＝1，A＋ 4) (B ＋ππ 又|A＋ ≤1，≤1，sin (4)||sin (B ＋ 4)| π πππ2 a ＋b所以 sin(A ＋＝sin ＝1，A ＝B ＝ ，C ＝ ，所以 a ＝b ＝ c ，＝ .故选 B.4)(B ＋ 4)2422c6．下列命题正确的是( ) A ．若 ln a －ln b ＝a －3b ，则 a >b >0 B ．若 ln a －ln b ＝a －3b ，则 0<a <b C ．若 ln a －ln b ＝3b －a ，则 a >b >0 D ．若 ln a －ln b ＝3b －a ，则 0<a <b解 析：选 C 若 ln a －ln b ＝3b －a ，则 a >0，b >0，所以 ln a ＋a ＝ln b ＋3b >ln b ＋b ，设 f (x ) ＝ln x ＋x ，则易得函数 f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增，所以 a >b >0，C 正确，故选 C.7．已知 x ，y ∈R ，且满足Error!则 z ＝|x ＋2y |的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．3解析：选 C 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面 区域为以(－2，－2)，(－2,2)，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)， 由图易得当直线 t ＝x ＋2y 经过平面区域内的点(－2，－2)时，直线 t ＝x ＋2y 在 y 轴的截距的绝对值最大，此时 z ＝|x ＋2y |取得最大值 z max ＝|－ 2＋2×(－2)|＝6，故选 C.4 1 1 18．已知数列{a n }满足 a 1＝ ，a n ＋1－1＝a 2n －a n (n ∈N *)，则 m ＝ ＋ ＋…＋ 的整数部3 a 1 a 2 a 2 017分是()A．1 B．2C．3 D．4- 2 -4解析：选B因为a1＝，a n＋1－1＝a－a n(n∈N*)，所以a n＋1－a n＝(a n－1)2>0，知{a n}是2n31 1 1 1 1 1单调递增数列．所以a n＋1－1＝a n(a n－1)>0.所以＝－，即＝－，a n＋1－1 a n－1 a n a n a n－1 a n＋1－11 1 1 1 1 1 1 1 1 1)＋( ＋…＋所以S n＝＋＋＋…＋＝＋a3－1a n( －a2－1) ( －－a4－1) (－) a1 a2 a3 a1－1 a2－1 a3－11 1 1 1 4 4 4＝－＝3－，所以m＝S2 017＝3－，因为a1＝3，a2＝(3 )2－＋1a1－1 a n＋1－1 a n＋1－1 a2 018－1 313 13 13 133 133 133 6 916＝，a 3＝2－＋1＝，a4＝2－＋1＝＋1>2，所以a2 018>a4>2，即0<9 (9 ) 81 (81 )9 81 6 5611 1<1，故2<3－<3，所以m的整数部分为2，故选B.a2 018－1 a2 018－19．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是线段CD中点，则三棱锥P­A1B1A的侧视图为()解析：选D由长方体可知B1A1⊥AA1，所以侧视图的左上角应是直角，排除选项A，B；且侧视图中，A1B1，AB1，AA1，AP，B1P均为实线，只有A1P为虚线，排除选项C，故选D.10．若函数f(x)满足：①对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；②当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.若f(a)＝f(2 017)，则满足条件的最小正整数a是()A．31 B．32C．33 D．34x x x解析：选C设x∈(2m,2m＋1](m∈N*)，则2m∈(1,2]，则f(2m)＝2－，从而f(x)＝2f2mx x 2 017 2 017(2 )＝…＝2m f(2m)＝2m＋1－x，所以f(2 017)＝2f( 2 )＝…＝210f( 210 )＝211－2 017＝31，则f(a)＝f(2 017)＝31，设a∈(2n,2n＋1](n∈N*)，则f(a)＝2n＋1－a＝31，解得a＝2n＋1－31，因为a>2，所以当n＝5时，正整数a取得最小值26－31＝33，故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)- 3 -S 411．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，若 8a 2－a 5＝0，则 ＝________.S 2a 11－24S 4 1－2 15解析：由题意得 8a 1q －a 1q 4＝0，解得 q ＝2，所以 ＝ ＝ ＝5. S 2 a 11－2231－2答案：512．在(2－x )6的展开式中，含 x 3项的二项式系数为________；系数为________(均用数 字作答)．解析：因为该二项式展开式的通项公式 T r ＋1＝C r 626－r (－x )r ，所以含 x 3项的二项式系数为 C 3＝20，含 x 3项的系数为 C 26－3(－1)3＝－160.答案：20 －16013．有 10道数学单项选择题，每题选对得 4分，不选或选错得 0分．已知某考生能答对 1其中的 7道题，余下的 3道题每题能答对的概率为 .假设每题答对与否相互独立，记 ξ 为该3 考生答对的题数，η 为该考生的得分，则 P (ξ＝9)＝________，Eη＝________(用数字作答)．12 1 解析： ξ＝9表示考生在余下的 3道题中能答对 2道，则 P (ξ＝9)＝C 23(3 )2× ＝3×3 92 22 81× ＝9；η 的可能取值为 28,32,36,40，所以 P (η＝28)＝(3＝ ，P (η＝32)＝C × × 3)313 27 3 241 2 2118(3 )9(3 )2＝，P (η＝36)＝C2× ＝ ，P (η＝40)＝3＝，所以 Eη＝28× ＋ 2 3)9327274 2 132× ＋36× ＋40× ＝32. 9 9 272答案： 32914．已知曲线 C 1：(x －1)2＋y 2＝1与曲线 C 2：y (y －mx －m )＝0，则曲线 C 2恒过定点 ________；若曲线 C 1与曲线 C 2有 4个不同的交点，则实数 m 的取值范围是________．解析：由题意，知曲线 C 2：y ＝0或者 y ＝m (x ＋1)，所以曲线 C 2恒 过定点(－1,0)．曲线 C 1表示圆心为(1,0)，半径为 1的圆，曲线 C 2 为 x 轴以及恒过定点(－1,0)的某条直线，由此在同一直角坐标系作 3 出曲线 C 1与 C 2如，图所示由，图知，k 1＝tan 30°＝ ，k 2＝－tan 30°＝－3 333，又直线 l 1(或直线 l 2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知 m ＝k ∈(∪－，0)3( 0，33).3答案：(－1,0)(－，0)∪(0，333)- 4 -y 215．已知双曲线 x 2－ ＝1(b >0)的离心率为 5，则 b ＝________，又以(2,1)为圆心，r 为b 2 半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径 r ＝________.c解析：因为 e ＝ ＝c ＝ 5，所以 b ＝ c 2－a 2＝52－12＝2；因为以(2,1)为圆心的圆a与双曲线的渐近线组成的图形只有一个公共点，所以该圆必与双曲线的渐近线 2x －y ＝0相切， |2 × 2－1| 3 5 所以 r ＝ ＝ . 22＋12 53 5答案：2 516．正方体 ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为 2，P 是面对角线 BC 1的中点，Q 是底面 ABCD 上一动点， 则 D 1P ＋PQ 的最小值为________．解析：由于 D 1P ＝ D 1C 21＋C 1P 2＝ 22＋ 22＝6为定值，则当 PQ 最小时，D 1P ＋PQ 取得最1 小值，易得当点 Q 为 BC 的中点时，PQ ⊥平面 ABCD ，此时 PQ 取得最小值，最小值等于 CC1＝2 1，所以 D 1P ＋PQ 的最小值为 1＋ 6.答案：1＋ 6117．已知 a ，b ∈R 且 0≤a ＋b ≤1，函数 f (x )＝x 2＋ax ＋b 在[－上至少存在一个零点，，0]2则 a －2b 的取值范围为________．11解析：由函数 f (x )＝x 2＋ax ＋b 在[－ ，0]上至少存在一个零点得 f (0)·f (－2 )＝b21 a(＋b)－ ≤0 或Error!又因为 0≤a ＋b ≤1，则在平面直角坐标系 aOb 内画出两不等式组表示的4 2平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，设 z ＝a －2b ，由图易得当目标函数 z ＝a －2b 经过平面区域内的点(0,0)时，z ＝a －2b 取 得最小值 z min ＝0－2×0＝0；当目标函数 z ＝a －2b 经过平面区域内的点(1,0)时，z ＝a －2b 取 得最大值 z max ＝1－2×0＝1.综上所述，a －2b 的取值范围为[0,1]．答案：[0,1]- 5 -。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）。

选择填空提速专练（八）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x ∈R||x |<2}，Q ＝{x ∈R|－1≤x ≤3}，则P ∩Q ＝( ) A ．[－1,2) B ．(－2,2) C ．(－2,3]D ．[－1,3]解析：选A 由题意得集合P ＝(－2,2)，Q ＝[－1,3]，所以P ∩Q ＝[－1,2)，故选A. 2．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由l 1∥l 2，可得a ·a ＝(a ＋2)·1，解得a ＝2或a ＝－1，所以“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的必要不充分条件，故选B.3．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，则sin(A －B )＝( )A ．－725B.725C ．－925D.925解析：选B 因为A ，B 为三角形的内角，所以A ，B ∈(0，π)，则sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝35，则sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝45×45－35×35＝725，故选B.4．向量a ，b 的夹角是60°，|a |＝2，|b |＝1，则|2a －b |＝( ) A ．13 B.13 C.7D ．7解析：选 B 依题意，|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝16－4＋1＝13，故|2a －b |＝13，故选B.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3D ．2解析：选D 由题可知OA ⊥FA ，∠AMO ＝60°，OM ＝OA ＝a ，所以△AMO 为等边三角形，∠AFO＝30°，在Rt △OAF 中，OF ＝c ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝OF OA ＝1sin 30°＝2，故选D.7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 B.()－∞，3 C.()－∞，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94解析：选D 由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94，故选D.8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是( )A.310B.35C.25D.15解析：选B 依题意，基本事件总数为A 55，要使3位女生中有且只有两位女生相邻，需先将两位女生捆绑，然后排两位男生，最后将捆绑的两位女生与剩下的一位女生去插空，共有(C 23A 22)·A 22·A 23种排法，所以所求概率P ＝23A2222·A 23A55＝35，故选B. 9．记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设f (x )＝min{x 2，x 3}，则( )A ．存在t >0，|f (t )＋f (－t )|>f (t )－f (－t )B ．存在t >0，|f (t )－f (－t )|>f (t )－f (－t )C ．存在t >0，|f (1＋t )＋f (1－t )|>f (1＋t )＋f (1－t )D ．存在t >0，|f (1＋t )－f (1－t )|>f (1＋t )－f (1－t )解析：选C 由x 2－x 3＝x 2(1－x )≤0得x ≥1，所以f (x )＝min{x 2，x 3}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥1，x 3，x <1.当t >1时，|f (t )＋f (－t )|＝|t 2＋(－t )3|＝t 3－t 2，|f (t )－f (－t )|＝|t 2－(－t )3|＝t 3＋t 2，f (t )－f (－t )＝t 2－(－t )3＝t 3＋t 2，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t )；当0<t <1时，|f (t )＋f (－t )|＝|t 3＋(－t )3|＝0，|f (t )－f (－t )|＝|t 3－(－t )3|＝2t 3，f (t )－f (－t )＝t 3－(－t )3＝2t 3，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t ); 当t ＝1时，|f (1)＋f (－1)|＝0，|f (1)－f (－1)|＝2，f (1)－f (－1)＝2，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t )．综上所述，A ，B 错误．当t >0时，设g (t )＝f (1＋t )＋f (1－t )＝(1＋t )2＋(1－t )3＝－t 3＋4t 2－t ＋2，则g ′(t )＝－3t 2＋8t －1，令－3t 2＋8t －1＝0得t ＝4±133，所以函数g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞上单调递减，所以存在t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞使得g (t 0)<0成立，所以存在t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞，使得|f (1＋t 0)＋f (1－t 0)|≥0>f (1＋t 0)＋f (1－t 0)，C 正确；当t >0时，设h (t )＝f (1＋t )－f (1－t )＝(1＋t )2－(1－t )3＝t 3－2t 2＋5t ，则h ′(t )＝3t 2－4t ＋5＝3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋113>0，所以函数h (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以h (t )>h (0)＝0，所以|f (1＋t )－f (1－t )|＝f (1＋t )－f (1－t )，D 错误．综上所述，故选C.10．已知f (x )是定义在R 上的函数，若方程f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝|2x －1|B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 2＋x ＋1D ．f (x )＝sin x解析：选D 对于A ，由f (f (x ))＝x ，即|2|2x －1|－1|＝x ，可得x ＝1或13或15或35，故A 错误；对于B ，由(e x －x )′＝e x －1，得y ＝e x－x 在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以(e x －x )min ＝1>0，即e x >x 恒成立，所以f (f (x ))＝ee x >e x>x ，即f (f (x ))＝x 无解，故B 错误；对于C ，f (x )＝x 2＋x ＋1，f (f (x ))＝(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋x ＋1＋1＝x ，即(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋2＝0，无实数根，故C 错误；对于D ，令y ＝sin x －x ，则y ′＝cos x －1≤0，则y ＝sin x －x 在R 上单调递减，当x ＝0时，y ＝0，所以当x ∈(0，＋∞)时，sin x <x ，sin(sin x )<sin x <x ，当x ∈(－∞，0)时，sin x >x ，sin(sin x )>sin x >x ，则sin(sin x )－x 在R 上单调递减，且sin(sin0)＝0，故f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，故选D.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z －2＋az ＝0，则|z ＋a |＝________. 解析：由题意得z －＝1＋3i ，所以z －2＋az ＝－2＋23i ＋a －a 3i ＝(a －2)－(a －2)3i ＝0，所以a ＝2，则|z ＋a |＝|1－3i ＋2|＝32＋32＝2 3.答案：2 312．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________；f (－t )＝________.解析：因为函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)，所以f (π)＝π2sin π＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1.设g (x )＝x 2sin x ，则易得函数g (x )为奇函数，又因为f (t )＝g (t )＋1＝2，所以g (t )＝1，g (－t )＝－g (t )＝－1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.答案：1 013．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则a n ＝________，T n ＝________.解析：由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n－1)＝3n －1，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，则T n ＝－4n1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 答案：3n －1 23(4n－1)14．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________；体积为________．解析：由三视图知，该几何体为长、宽、高分别为2,2,3的长方体挖去同底等高的正四棱锥后所得．因为四棱锥的侧棱长为32＋22＝11，所以四棱锥的侧面高为112－12＝10，所以该几何体的表面积S ＝22＋4×2×3＋4×12×2×10＝28＋410，体积V ＝22×3－13×22×3＝8.答案：28＋410 8 15．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x2 017，则各项系数之和为________，a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．解析：令x ＝1，则各项系数之和为(1－2×1)2 017＝－1.令x ＝0得a 0＝(1－2×0)2 017＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017a 2 017＝－a 0＝－1.答案：－1 －116．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________． 解析：因为x ，y 为正实数，所以由xy ＋2x ＋3y ＝42得y ＝42－2xx ＋3>0，所以0<x <21，则xy＋5x ＋4y ＝x－2x x ＋3＋5x ＋－2x x ＋3＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3＋16x ＋3＋31≥3×2 x ＋16x ＋3＋31＝55，当且仅当x ＋3＝16x ＋3，即x ＝1时等号成立，所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55. 答案：5517．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎢⎡⎦⎥⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．解析：如图①，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图②中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos ∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.答案：3 12π。

选择填空提速专练（五）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Zx ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 中含有元素1的子集个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由于A ＝{x ∈Z|－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，则B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，则集合B 中含有元素1的子集为{1}，{1,2}，{1,5}，{1,2,5}，共4个，故选B.2．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，若(1＋i)2＋|2i|＝z －，则直线bx －ay ＋a ＝0的斜率为( )A ．－1B ．1 C. 3D.33解析：选A 由于z －＝(1＋i)2＋|2i|＝2i ＋2，则z ＝2－2i ，可得a ＝2，b ＝－2，即直线的方程为－2x －2y ＋2＝0，亦即y ＝－x ＋1，故斜率k ＝－1，故选A.3．若直线y ＝x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2解析：选 D 由于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，所表示的平面区域是由点A ⎝⎛⎭⎪⎫m ，m －32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，13，C (m,4－m )围成的三角形区域(含边界，如图所示)，若直线y ＝x 上存在点(x ，y )满足约束条件，则有m ≤4－m ，解得m ≤2，即实数m 的最大值为2，故选D.4．已知a ∈R ，“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R ，则有Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1，故“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R”是“0≤a ≤1”的充要条件，故选C.5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为()A.833π B.163πC.16327π D.32327π解析：选D 由三视图知该几何体是以俯视图中的等腰直角三角形为底面，高为3的三棱锥，且过底面斜边的侧面垂直于底面，则该几何体的外接球球心在侧视图的高上，设其外接球的半径为R ，则有R 2＝12＋(3－R )2，解得R ＝233，故其体积V ＝43πR 3＝32327π，故选D.6．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－142B ．－144C.142D.144解析：选A 由sin α＝12＋cos α可得sin α－cos α＝12，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－142，故选A. 7．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，可将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选D 由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，而y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π2＝sin2x ＋π6＝sin2x ＋π12，则将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向右平移π12＋π6＝π4个单位长度即可得到函数y ＝sin2x －π3的图象，故选D.8．已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，3e 2 解析：选C 令f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x ，而f (x )＝kx ＋1与g (x )＝|ln x |的图象在(0,1)上一定有1个交点，那么根据题目条件只需f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x 在(1，e 3)上有2个交点即可，函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x 的图象如图所示，设两者相切于点(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1a，b ＝ln a ，b ＝ka ＋1，解得k ＝1e2，且对数函数g (x )＝ln x 的增长速度越来越慢，直线f (x )＝kx ＋1过定点(0,1)，方程|ln x |＝kx ＋1中取x ＝e 3得k ＝2e 3，则2e 3<k <1e 2，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2，故选C.9．如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设AE ＝λ，B 1F ＝μ.若平面BEF 与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析：选A 通过特殊位置来分析，当AE ＝λ→1时(此时，E 与D 接近重合)，若B 1F ＝μ→0(此时，B 1与F 接近重合)，此时截面是四边形，即随着B 1F ＝μ的变大，平面BEF 与正方体的截面是五边形，由此知λ＋μ>1；随着B 1F ＝μ→1，平面BEF 与正方体的截面仍是五边形，当两者均为1时，截面是三角形，由此知λ＋μ<2，故1<λ＋μ<2，故选A.10．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ，b ∈R ，若y ＝|f (x )|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最大值为4，则a ，b 的值可以是( )A ．3,5 B.3， 5 C ．4,3D ．2， 3解析：选 B 由选项知，a ，b 均不为0.由于f (x )＝a sin x ＋b cos x ，那么y ＝|f (x )|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝|a sin x ＋b cos x |＋|a cos x －b sin x |＝a 2＋b 2|sin(x ＋φ)|＋a 2＋b 2|cos(x ＋φ)|＝2×a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ±π4⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a ，结合题中条件可得2×a 2＋b 2＝4，即a2＋b 2＝8，只有选项B 中的值可以满足条件，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．双曲线x 2－y 2＝2的焦距为________，离心率为________．解析：双曲线的方程化为标准形式为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，所以c ＝2＋2＝2，则焦距为2c ＝4，离心率为e ＝c a＝ 2.答案：4212．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为________．解析：由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝e 1ln 2＝12.由f (f (x ))＝1可得f (x )＝0或f (x )＝e ，由f (x )＝0可得ln x ＝0，解得x ＝1；由f (x )＝e 可得ln x ＝e ，解得x ＝e e，故对应方程的解集为{1，e e}．答案：12{1，e e}13．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝(－1)n ·(a n －2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2时，b n ＝(－1)n·(a n －2)＝(－1)n·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥24914．高一(1)班的假期义工活动小组由10人组成，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现要从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，则选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为________；若设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，则随机变量X 的数学期望为________．解析：根据等可能事件的概率，选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为P ＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.由题可得X 的所有可能取值是0,1,2，则P (X ＝0)＝2C 23＋C 24C 210＝415，P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415，则数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.答案：13115．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：由抛物线y 2＝2px 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则|CF |＝7p 2－p 2＝3p ，又|CF |＝2|AF |，则|AF |＝3p 2，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＝3p2，所以x A ＝p ，则|y A |＝2p .由CF ∥AB 得△ABE ∽△FCE ，从而得|EF ||EA |＝|CF ||BA |＝2，所以S △CEF ＝2S △CEA ＝62，S △ACF ＝S △AEC ＋S △CFE ＝92，所以12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.答案： 616．已知平面向量a ，b ，满足 |a |＝|b |＝a·b ＝2，且(a －c )·(b －c )＝0，则|b ＋2c |的最大值是________．解析：设平面向量a ，b 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则a·b ＝2×2×cos θ＝2，可得cos θ＝12，即θ＝π3.在平面直角坐标系中，设a ＝OA ―→＝(2,0)，b ＝OB ―→＝(1，3)，c ＝OC ―→，由于(a －c )·(b －c )＝0，则CA ―→⊥CB ―→，即点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，则其轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，可设c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos α，32＋sin α，则有b ＋2c ＝(4＋2cosα，23＋2sin α)，故|b ＋2c |＝＋2cos α2＋3＋2sin α2＝32＋83sin α＋16cos α＝32＋87α＋φ⎝⎛⎭⎪⎫其中φ是锐角，tan φ＝233，则其最大值为32＋87＝27＋2.答案：27＋217．已知x >0，y >0，且x 3＋y 3＝x －y ，则1－x2y2的最小值是________．解析：由x >0，y >0，且x 3＋y 3＝x －y 可得x 3＋y 3x －y ＝1，则x >y ，令f (x ，y )＝1－x 2y 2＝x 3＋y 3x －y －x 2y 2＝y 2＋x 2xy －y 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2x y－1，令t ＝x y >1，则f (t )＝1＋t 2t －1，由于f ′(t )＝t 2－2t －1t －2，令f ′(t )＝0可得t ＝1＋2(舍负)，易知当t ＝1＋2时，f (t )取得最小值f (1＋2)＝1＋＋221＋2－1＝2＋22，所以1－x2y2的最小值是2＋2 2.答案：2＋2 2。

选择填空提速专练（六）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x |1≤x ≤3}，Q ＝{x |x 2≥4}，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选C 由题易得∁R Q ＝{x |－2<x <2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |1≤x <2}，故选C. 2．已知复数z 满足z ·(1－i)＝2i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i ，则z (1－i)＝(a ＋b i)(1－i)＝a ＋b ＋(b －a )i ＝2i.所以根据对应相等可得，a ＝－1，b ＝1.所以z ＝－1＋i ，|z |＝2，故选B.3．已知a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |>1”是“b <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为不等式|a |＋|b |>1，由特殊值法，取a ＝0，b ＝2符合条件但推不出b <－1，充分性不成立；反过来b <－1，则|b |>1，又|a |≥0，所以|a |＋|b |>1，必要性成立．所以“|a |＋|b |>1”是“b <－1”的必要不充分条件，故选B.4．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选A 由题意可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度得到的函数图象对应的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，结合选项，当k ＝1时，x ＝2π3，故选A. 5．(x 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－25的展开式的常数项为( )A ．112B ．48C ．－112D ．－48解析：选D 原式的展开式的常数项包括x 2×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2×(－2)3＋(－1)×C 55×(－2)5＝－48，故选D.6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 217，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( )A ．8或9B ．9或10C ．10或11D ．11或12解析：选A 由题意知，a 1＝±a 17，又因为d <0，所以a 1＝－a 17，故a 9＝0，a 1＝－8d ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －9)d ，当a n ≥0时，n ≤9，又S n ＝a 1＋a n n2，所以当n ＝8或9时，S n 取最大值，故选A.7．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种解析：选D 由题意可知，不同的选法有从甲组5名男生中选1名，3名女生中选1名，然后乙组从6名男生中选2名，或者从甲组5名男生中选2名，从乙组6名男生中选1名，2名女生中选1名，即C 15C 13C 26＋C 25C 16C 12＝345种，故选D.8．已知直线(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＋1＝0上存在点(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53解析：选D 该题目标函数对应的直线表示过定点A (－1,1)的直线束．约束条件对应的平面区域是以点B (1,2)，C (1，－1)，D (3,0)为顶点的三角形区域，如图(阴影部分，含边界)所示，当直线经过该区域时，k AB ＝12，k AC ＝－1，易知在题设条件下m ＋1≠0，即直线(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＋1＝0的斜率－m ＋2m ＋1∈[k AC ，k AB ]，故m ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53，故选D. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2－x ，x <1，－x 2＋4x －2，x ≥1，则方程f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－2＝1的实根个数为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由f (x )的解析式可以在平面直角坐标系中画出简图，如图所示，通过图象易知f (x )＝1有四个根，分别为x ＝－1，12，1或3，即x ＋1x－2可能取该四个值，分别对应x＋1x ＝1或52或3或5，整理得，x 2－x ＋1＝0 ①，x 2－52x ＋1＝0 ②，x 2－3x ＋1＝0 ③，x 2－5x ＋1＝0 ④，Δ1<0，Δ2>0，Δ3>0，Δ4>0，所以实根有6个，故选C.10．如图，平面PAB ⊥平面α，AB ⊂α，且△PAB 为正三角形，点D 是平面α内的动点，四边形ABCD 是菱形，点O 为AB 的中点，AC 与OD 交于点Q ，l ⊂α，且l ⊥AB ，则PQ 与l 所成角的正切值的最小值为( )A. －3＋372B. 3＋372C.7D ．3解析：选B 如图，过点D ，Q 分别作DE ⊥AB 于点E ，QH ⊥AB 于点H ，设∠ABC 为θ，则|QH |＝13|DE |＝13|AD |sin θ，|OH |＝13|OE |＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫|AD |cos θ＋12|AB |，设|AD |＝|AB |＝3，则|QH |＝sin θ，|OH |＝cos θ＋12，|PO |＝332，∴|PH |＝PO 2＋OH 2＝7＋cos θ＋cos 2θ，要求的角即为∠PQH ，∴tan ∠PQH ＝|PH ||QH |，令cos θ＝t ，则tan ∠PQH ＝7＋t ＋t21－t2＝－1＋8＋t 1－t2＝－1＋116－⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋t ＋638＋t ≥3＋372(当且仅当8＋t ＝638＋t时，等号成立)，故选B. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．若sin θ＝－13，tan θ>0，则cos θ＝________，tan 2θ＝________.解析：由题意知，因为sin θ<0，tan θ>0，所以cos θ<0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，故cos θ＝－223，又由tan θ＝sin θcos θ，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ，可知tan 2θ＝427. 答案：－223 42712．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m,4)到其焦点的距离为174，则p ＝________，m ＝________.解析：由题意可知，该抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p 2，所以4＋p 2＝174，故p ＝12，抛物线的方程为x 2＝y ，将点(m,4)代入，可得m ＝±2.答案：12±213．定义：函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值与最小值之差为函数f (x )的极差．若定义在区间[－2b,3b －1]上的函数f (x )＝x 3－ax 2－(b ＋2)x 是奇函数，则a ＋b ＝________，函数f (x )的极差为________．解析：由f (x )在[－2b,3b －1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b ＋3b －1＝0，b ＝1，又由f (－x )＋f (x )＝0可求得a ＝0，所以a ＋b ＝1.又f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，易知f (x )在(－2，－1)，(1,2)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以f (x )在[－2,2]上的最大值，最小值分别为f (－1)＝f (2)＝2，f (1)＝f (－2)＝－2，所以极差为4.答案：1 414．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱上边截去一个底面直角边分别为3,4的直角三角形、高为3的三棱锥后剩余的部分(如图所示)．结合题中的数据，易得该几何体的体积为12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24(cm 3)，表面积为12×3×4＋5×5＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×3＋12×32×822＝111＋3412(cm 2)． 答案：24111＋341215．将3个小球随机地投入编号为1,2,3,4的4个小盒中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制)，则1号盒子中小球的个数ξ的期望为________．解析：因为三个小球依次投入4个小盒中，彼此之间没有影响，因此符合独立性重复试验与二项分布．每个小球落在1号小盒的概率都是14，故期望为3×14＝34.答案：3416．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝－1，且a －c 与b －c 的夹角为π4，则|c |的最大值为________．解析：设DA ―→＝a ，DB ―→＝b ，DC ―→＝c .∵平面向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |×|b |＝－12×1＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4.∵a －c 与b －c 的夹角为π4，∴点C 在△DAB 的外接圆的弦AB 所对的优弧上，如图所示．因此|c |的最大值为△DAB 的外接圆的直径． ∵|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－－＋12＝ 5.由正弦定理得：△DAB 的外接圆的直径2R ＝|a －b |sin3π4＝522＝10，则|c |的最大值为10.答案：1017．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c ＋2c －1的最小值为________．解析：由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b 22ab－1＝2a 2＋b22ab≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．答案：3 2。

阶段滚动检测(二) 专题一~专题三 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1＝2，n ≥2，n ∈N *，即a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，所以必要性成立．故选B.3．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (log 28)＝( )A ．3B.18C ．－2D ．2解析：选D ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 28)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)．又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (log 28)＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.4．(2018届高三·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3解析：选D ∵{a n }是等比数列，{b n }是等差数列， 且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3， ∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.选D.6．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b，则A ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.π3或2π3解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由A 为三角形的内角，知A ＝π3，故选B.7．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.8．已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE ―→·BF ―→＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝12BC ―→－BA ―→，BF ―→＝BC ―→＋1λBA ―→，因此AE ―→·BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ―→－BA ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC ―→＋1λBA ―→＝12BC ―→2－1λBA ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC ―→·BA ―→，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B. 9.已知函数f (x )＝exx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝exx，则g ′(x )＝x －xx 2，则g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝exx与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e，故选A.10．(2017·沈阳二中模拟)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0且a ≠1)，f 1g 1＋f －1g －1＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x>0，知f xg x在R 上是增函数，即f xg x ＝a x为增函数，所以a >1.又由f 1g 1＋f －1g －1＝a ＋1a ＝52，得a ＝2或a ＝12(舍)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n gn 的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝－2n1－2＝2n ＋1－2>62，即2n>32，得n >5，所以n 的最小值为6.故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．(2017·杭州模拟)若2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：由已知条件，2sin α＝5＋cos α，将两边平方，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可求得sin α＝255，cos α＝－55，∴tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－2－11＋－＝3.答案：2553 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， x ≤－1，x －x |－，x >－1，则f (f (－2))＝________，若f (x )≥2，则x 的取值范围为________．解析：f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝2，f (f (－2))＝f (2)＝0.当x ≤－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥2，解得x ≤－2；当x >－1时，f (x )＝(x －2)(|x |－1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －－x －，－1<x ≤0，x －x －，x >0.当－1<x ≤0时，由(x －2)(－x －1)≥2，解得x ＝0，当x >0时，由(x －2)·(x －1)≥2，解得x ≥3.综上，x 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)．答案：0 (－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b ＝6，△ABC 的面积为3＋32，则c ＝_______，B ＝________.解析：由题意得△ABC 的面积等于12bc sin A ＝62c ×22＝3＋32，解得c ＝3＋1，则由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(6)2＋(1＋3)2－2×6×(1＋3)×22＝4，解得a ＝2，则由正弦定理得b sin B ＝asin A，即sin B ＝b sin A a ＝32，又因为b <c ，所以B ＝π3.答案：3＋1π314．(2017·萧山中学模拟)设等比数列{a n }的首项a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则公比q ＝________；数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：因为a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2 2n －115．已知△ABC 的面积是4，∠BAC ＝120°.点P 满足BP ―→＝3PC ―→，过点P 作边AB ，AC 所在直线的垂线，垂足分别是M ，N ，则PM ―→·PN ―→＝________.解析：不妨设△ABC 是等腰三角形，因为∠BAC ＝120°，则B ＝C ＝30°，b ＝c ，S △ABC ＝12bc sinA ＝34b 2＝4，b 2＝1633，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16 3.又BP ―→＝3PC ―→，则|BP ―→|＝3a 4，|PC ―→|＝a 4，则|PM ―→|＝|BP ―→|sin B ＝3a 8，|PN ―→|＝|PC ―→|sin C ＝a 8，∠MPN ＝60°，所以PM ―→·PN ―→＝|PM ―→||PN ―→|·cos 60°＝3a 8×a 8×12＝3a 2128＝3128×163＝338.答案：33816．(2017·嘉兴中学模拟)已知a >0，b >0，且满足3a ＋b ＝a 2＋ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解析：由3a ＋b ＝a 2＋ab 得显然a ≠1，所以b ＝3a －a2a －1，又因为a >0，b >0，所以(a －1)(3a－a 2)>0，即a (a －1)·(a －3)<0,1<a <3，所以a －1>0，则2a ＋b ＝2a ＋3a －a 2a －1＝2a 2－2a ＋3a －a2a －1＝a 2＋a a －1＝a －1＋2a －1＋3≥2a －2a －1＋3＝22＋3，当且仅当a －1＝2a －1，即a ＝1＋2时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为22＋3.答案：22＋317．(2017·湖南岳阳一中模拟)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ×2n ＋1，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)×2n ，②①－②得2n －1a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ，解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，其公差为2.令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，知2－k <0，且b 5＝12－5k ≥0，b 6＝14－6k ≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )(x ∈R)． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求函数f (x )的最大值． 解：(1)∵f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值是3. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cosB ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ， ∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cosA sinB ＝sinC ，∵sin C ≠0，∴54cos B ＝1，即cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23，又a ＋b ＝10，解得a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S＝12ac sin B＝12×5×10×35＝15.20．(本小题满分15分)已知f(x)＝x－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝ln xx，其中e是自然对数的底数．(1)判断f(x)的单调性并求其极值；(2)求证：f(x)>g(x)＋12 .解：(1)∵f′(x)＝1－1x＝x－1x，x∈(0，e]，∴当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当1<x≤e时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝1，无极大值．(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12，则h′(x)＝1－ln xx2，当0<x≤e时，h′(x)≥0，h(x)在(0，e]上单调递增，∴h(x)max＝h(e)＝1e＋12<1＝f(x)min.∴f(x)>g(x)＋12 .21．(本小题满分15分)已知数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1－2S n.(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)设函数f(x)＝，b n＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a n)，求T n＝1b1＋1b2＋1b3＋…＋1b n.解：(1)证明：∵数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1－2S n.∴a1＝1－2a1，解得a1＝13 .n≥2时，a n－1＝1－2S n－1，可得a n－a n－1＝－2a n.∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n 2 017＋a n (n ∈N *)．(1)求证：a n ＋1>a n; (2)求证：a 2 018<1；(3)若a k >1，求正整数k 的最小值．解：(1)由a n ＋1－a n ＝a 2n2 017≥0，得a n ＋1≥a n ，因为a 1＝12，所以a n ≥12，因此a n ＋1－a n ＝a 2n2 017>0，所以a n ＋1>a n .(2)由已知得1a n ＋1＝2 017a na n ＋2 017＝1a n －1a n ＋2 017，所以1a n＋2 017＝1a n－1a n＋1，由1a1＋2 017＝1a1－1a2，1a2＋2 017＝1a2－1a3，…，1a n－1＋2 017＝1a n－1－1a n，累加可得1a1－1a n＝1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a n－1＋2 017.当n＝2 018时，由(1)得12＝a1<a2<a3<…<a2 017，所以1a1－1a2 017＋1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a2 017＋2 017<2 017×1a1＋2 017<1.所以a2 018<1.(3)由(2)得12＝a1<a2<a3<…<a2 018<1，所以1a1－1a2 019＝1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a2 018＋2 017>2 018×11＋2 017＝1.所以a2 018<1<a2 019，又因为a n＋1>a n，所以k的最小值为2 019.。

选择填空提速专练（四）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x ∈R|0<x <1}，Q ＝{x ∈R|x 2＋x －2≤0}，则( ) A ．P ∈Q B ．P ∈∁R Q C ．∁R P ⊆QD ．∁R Q ⊆∁R P解析：选D 由题意得集合P ＝{x |0<x <1}，Q ＝{x |－2≤x ≤1}，所以∁R P ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁R Q ＝{x |x <－2或x >1}，所以∁R Q ⊆∁R P ，故选D.2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－3i2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由题意得复数z ＝1－3i 2＋i ＝ 1－3i 2－i 2＋i 2－i ＝－15－75i ，则其在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－75，位于第三象限，故选C.3．在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“cos A <cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，又因为在(0，π)内函数f (x )＝cos x 单调递减，所以A >B ⇔cos A <cos B ，所以sin A >sin B ⇔A >B ⇔cos A <cos B ，故选B.4．直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，所有棱长都相等，M 是A 1C 1的中点，N 是BB 1的中点，则AM 与NC 1所成角的余弦值为( )A.23 B.35C.53D.45解析：选B 设直三棱柱的棱长为2a ，AC 的中点为D ，连接C 1D ，DN ，则易得C 1D ∥AM ，则∠DC 1N 就是AM 与NC 1的夹角，又因为C 1D ＝CC 21＋CD2＝5a ，DN ＝AB 2－AD 2＋BN 2＝2a ，C 1N ＝C 1B 21＋B 1N 2＝5a ，所以AM 与NC 1的夹角的余弦值等于cos ∠DC 1N ＝C 1D 2＋C 1N 2－DN 22C 1D ·C 1N ＝35，故选B.5．若(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x2 017，则a 3的值为( )A ．C 32 017 B ．C 32 018 C ．C 42 017D ．C 42 018解析：选D 由题意得a 3＝C 33＋C 34＋…＋C 32 017＝C 44＋C 34＋…＋C 32 017＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017＝…＝C 42 017＋C 32 017＝C 42 018，故选D.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.310B.37C.13D.12解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 4S 8＝13得d ≠0，S 42S 4＋16d ＝13，解得S 4＝16d ，所以S 8S 16＝S 82S 8＋64d ＝3×16d 6×16d ＋64d ＝310，故选A. 7．从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3解析：选C 设双曲线的右焦点为F 1，连接PF 1.因为点M 为PF 的中点，点O 为F 1F 的中点，所以|OM |＝12|PF 1|＝12(|PF |－23)＝|FM |－3，所以|OM |－|MT |＝|FM |－|MT |－3＝|FT |－3，又因为直线FP 与圆x 2＋y 2＝3相切于点T ，所以|FT |＝8－3＝5，则|OM |－|MT |＝5－3，故选C.8．从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )A ．72B ．70C ．66D ．64解析：选D 选取的三个数中有且只有两个相邻的选法有7×2＋6×7＝56种，选取的三个数都相邻的选法有8种，所以选取的三个数中至少有两个相邻的不同选法种数为56＋8＝64，故选D.9．已知f (x )＝2x 2－4x －1，设有n 个不同的数x i (i ＝1，2，…，n )满足0≤x 1<x 2<…<x n ≤3，则满足|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|≤M 的M 的最小值是( )A ．10B ．8C ．6D ．2解析：选A 由二次函数的性质易得f (x )＝2x 2－4x －1在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，且f (0)＝－1，f (1)＝－3，f (3)＝5，则当x 1＝0，x n ＝3，且存在x i ＝1时，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|取得最大值，最大值为|f (x 1)－f (x i )|＋|f (x i )－f (x n )|＝|－1－(－3)|＋|－3－5|＝10，所以M 的最小值为10，故选A.10．已知Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫712，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，712 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析：选A 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则易得A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)，I (1,1)，设点P (x ，y )，则由AP ―→＝λAB ―→＋μAC―→得(x ，y )＝λ(3,0)＋μ(0,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x3，μ＝y4，则λ＋μ＝x 3＋y4，又由题意得点P (x ，y )在以B (3,0)，C (0,4)，I (1,1)为顶点的三角形内部(不包含边界)，所以当目标函数z ＝x 3＋y4与直线BC 重合时，z ＝x 3＋y 4取得最大值1，当目标函数z ＝x 3＋y 4经过点I (1,1)时，z ＝x 3＋y4取得最小值712，又因为点P (x ，y )的可行域不包含边界，所以z ＝x 3＋y 4的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1，即λ＋μ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则f (x )的最小正周期为________；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 解析：函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝tan 2π3－tanπ41＋tan 2π3·tanπ4＝－3－11＋ －3 ×1＝2＋ 3.答案：π22＋ 312．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3；该几何体的外接球的直径为________cm.解析：由三视图得该几何体为一个底面为边长为1的正方形，有一条长为1的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以该几何体的体积为13×1×1×1＝13(cm 3)．由题意得该四棱锥可以补形为一个棱长为1的正方体，且正方体的外接球即为四棱锥的外接球，所以该几何体的外接球的直径为12＋12＋12＝3(cm)． 答案：13313．随机变量X 的分布列如下：则p ＝________；若Y ＝2X ＋3解析：由分布列的概念易得12＋13＋p ＝1，解得p ＝16，则E (X )＝(－2)×12＋0×13＋1×16＝－56，所以E (Y )＝2E (X )＋3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋3＝43.答案：16 4314．已知函数y ＝x ＋a x 2＋1(a ∈R)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，m ，则常数a ＝________，m ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ＋a x 2＋1≥－14，即a ≥－14x 2－x －14对任意x ∈R 恒成立，且存在x ∈R 使得等号成立，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2－x －14max ，又因为－14x 2－x －14＝－14(x ＋2)2＋34，所以a ＝⎝⎛⎭⎪⎫－14x 2－x －14max＝34，所以f (x )＝x ＋34x 2＋1＝4x ＋34x 2＋4，则f ′(x )＝－2x 2－3x ＋22 x 2＋12＝ x ＋2 －2x ＋1 2 x 2＋1 2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12时，f ′(x )>0，x ∈(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )<0，又x →－∞时f (x )→0，所以当x ＝12时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4×12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4＝1，即m ＝1.答案：34115．已知P (x ，y )是抛物线y 2＝4x 上的点，则 x －3 2＋ y －2 2－x 的最大值是________． 解析：由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，所以|PF |＝x ＋1，则x ＝|PF |－1.设点A (3,2)，则 x －3 2＋ y －2 2－x ＝|PA |－(|PF |－1)＝|PA |－|PF |＋1，由图结合三角形的性质易得当P ，F ，A 三点自下而上依次共线时，|PA |－|PF |取得最大值|AF |＝ 3－1 2＋ 2－0 2＝22，所以 x －3 2＋ y －2 2－x 的最大值为22＋1.答案：22＋116．过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．解析：由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值范围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2，3)的距离最大，最大值为 2＋1 2＋ 3＋1 2＝5.所以|PA |＋|PB |的取值范围为[22，5]．答案：[22，5]17．已知非负实数x ，y 满足2x 2＋4xy ＋2y 2＋x 2y 2＝9，则22(x ＋y )＋xy 的最大值为________． 解析：由2x 2＋4xy ＋2y 2＋x 2y2＝9得2(x ＋y )2＋x 2y 2＝9，令⎩⎪⎨⎪⎧u ＝x ＋y ，v ＝xy ，则x ，y 为方程t2－ut ＋v ＝0(t 为自变量)的两个根，则Δ＝u 2－4v ≥0，即有u 292＋v 29＝1，而22(x ＋y )＋xy ＝22u ＋v ，以u 为横坐标，v 为纵坐标建立平面直角坐标系，设z ＝22u ＋v ，则u ，v 的可行域为⎩⎪⎨⎪⎧u 2－4v ≥0，u 292＋v29＝1，作出可行域，如图中椭圆的实线部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧u 2－4v ＝0，u 292＋v29＝1得⎩⎪⎨⎪⎧u ＝±2，v ＝1，且点在(2,1)处，椭圆u 292＋v 29＝1的切线斜率为－4<－22，所以当直线z ＝22u ＋v 经过点(2,1)时，z 取得最大值42＋1，所以22(x ＋y )＋xy 的最大值为42＋1.答案：42＋1。

年浙江高考仿真卷(二)(对应学生用书第页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共分，考试时间分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知是虚数单位，则＝( )．－＋．＋．－．－－[＝＝－＋，故选.]．已知集合＝{＋－≤}，＝{＝，≤}，则集合{∈且∉}为( )．(]．[－]．[－]．[－)[易得＝[－]，＝(]，则{∈且∉}＝[－]，故选.]．已知∈，则“－－－<”是“≠”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[因为－－－≤(－)－(－)＝，当且仅当≤时，等号成立，所以－－－＜等价于>，所以“－－－<”是“≠”的充分不必要条件．故选.]．如图，某多面体的正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ( )图．．[三视图对应的直观图为四棱锥，补形成正方体如图所示，由图可知最长棱的长度为.]．若(＋)＝＋＋＋…＋，则＋＋＋＝( )．．．．[记()＝(＋)，则＝()＝, 又()＝＋＋＋…＋＝，(－)＝－＋－…－＝(－)＝－，两式相减得＋＋＝，所以＋＋＋＝，故选.]．设是公差为(≠)的无穷等差数列{}的前项和，则下列命题错误．．的是( ) ．若<，则数列{}有最大项．若数列{}有最大项，则<．若数列{}是递增数列，则对任意∈*，均有>．若对任意∈*，均有>，则数列{}是递增数列[由于＝＋＝＋是关于的二次函数，定义域为*，所以当<时，有最大值，反之也成立，故，正确；由于＋>⇔＋>，即若数列{}是递增数列，则>(≥)，并不能说明>也成立，如数列－，，…，所以不正确；对于，显然＝>，若公差<，由＝＋可知，存在∈*，有<，与对任意∈*，均有>矛盾，所以≥，从而>(∈*)，所以数列{}是递增数列，故正确．]．已知为三角形内一点，且满足＋λ＋(λ－)＝，若△的面积与△的面积的比值为，则λ的值为( )．[如图，设的中点为，连接，直线与相交于点，由＋λ＋(λ－)＝，可知(－)＋λ(＋)＝，＝－λ，则∥，因为△的面积与△的面积的比值为，所以＝，又＝，所以＝，从而＝，＝，所以λ＝，λ＝.]．给定上函数()，( )．存在上函数()，使得(())＝．存在上函数()，使得(())＝．存在上函数()，使得(())＝()．存在上函数()，使得(())＝(())[对于，：若()＝，则(())＝，(())＝均不成立，排除，；对于：()＝＋，则(())＝()＋≠()，。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

题型专项训练4选择填空题组合特训(四)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.(2017浙江杭州高级中学模拟)设集合A={y|y=sin x,x∈R},集合B={x|y=lg x},则(∁R A)∩B=()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)2.已知抛物线y2=x的焦点是椭圆=1的一个焦点,则椭圆的离心率为()A BC D3.若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值与最小值的和等于()A.-4B.-2C.2D.64.若函数f(x)=(x2+x-2)(x2+ax+b)是偶函数,则f(x)的最小值为()A BC.-D.-5.已知a,b,c都是实数,则“a,b,c成等比数列”是“b2=a·c”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=p k q1-k(k=0,1,p+q=1),则E(X)与D(X)依次为()A.0和1B.p和p2C.p和1-pD.p和p(1-p)7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.28+6B.30+6C.56+12D.60+128.已知△ABC和点M满足=0,若存在实数m使得=m成立,则m=()A.2B.3C.4 D二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)9.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖,周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米斛.(古制1丈=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率π≈3)10.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中下学期期中)在复平面内,复数z的对应点为(1,1),则z 的虚部为,z2=.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=4, A=60°,且△ABC外接圆的面积为4π,则角B为,△ABC的面积为.12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.13.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人,分别派到西部的三个不同地区,要求3人中既有男公务员又有女公务员,则不同的选派方法种数是.14.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为抛物线C的准线与x轴的交点,若|AB|=8,则tan∠AMB=.参考答案题型专项训练4选择填空题组合特训(四)1.C解析由集合A中的函数y=sin x,x∈R,得到y∈[-1,1],∴A=[-1,1],∴∁R A=(-∞,-1)∪(1,+∞),由集合B中的函数y=lg x,得到x>0,∴B=(0,+∞),则(∁R A)∩B=(1,+∞).故选C.2.D解析抛物线y2=x的焦点为.所以椭圆=1的一个焦点为.即c=,a2=3+,a=.椭圆的离心率e=,故选D.3.A解析由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知A(0,2),由解得B(-2,-2),且A,B分别为目标函数z=2x+y取得最大值和最小值的最优解,则z min=-2×2-2=-6,z max=2×0+2=2,∴z=2x+y的最大值和最小值之和等于-4.故选A.4.C解析由已知f(x)=x4+(a+1)x3+(a+b-2)x2+(b-2a)x-2b,f(x)为偶函数,则解得即f(x)=x4-5x2+4=,所以当x2=时,f(x)min=-,故选C.5.A解析由a,b,c成等比数列可得b2=ac;但是当a=b=0时可得b2=ac,而a,b,c不成等比数列,故正确答案为A.6.D解析由题意,离散型随机变量X~B(1,p),根据二项分布的期望与方差公式可得E(X)=1·p=p,D(X)=1·p·(1-p)=p(1-p),故选D.7.B解析由三视图可得该四棱锥的底面是直角边长为4,5的直角三角形,面积为10;侧面ACD是底边长为5,高为4的三角形,面积为10;侧面BCD是直角边长为4,5的三角形,面积为10;侧面ABD是边长为,2的等腰三角形,底边上的高为=6,面积为2×6×=6.故该四棱锥的表面积为30+6.8.B解析因为=0,所以点M为△ABC的重心.设点D为底边BC的中点,则)=),∴=3.∴m=3.故选B.9.2 700解析 2πr=54,r=9,圆柱形容器体积为πr2h≈3×92×18,所以此容器能装=2 700斛米.10.12i解析在复平面内,复数z的对应点为(1,1),∴z=1+i.z2=(1+i)2=2i.11. 2解析πR2=4π⇒R=2,∴=2R=4⇒sin B=1,B=,∴a=2,c=2,S=ac=2.12.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=.令y=,则y2=10+2∈[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是2.13.420解析由题意,从5名男公务员和4名女公务员中选出3人,有种选法,再排除其中只选派3名男公务员的方案数为,只有女公务员的方案数为种,利用间接法可得既有男公务员又有女公务员的选法有种,分别派到西部的三个不同地区共有)=420.故答案为420.14.2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则由条件得|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8,所以x1+x2=6,=24,y1y2=-4,x1x2==1,(y1-y2)2=-2y1y2=32.所以tan∠AMB====2.。

2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷 2018.04.23考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A ＝{x | x ＞1}， B ＝{x | x ＜2}，则 A ∩B ＝（ ） A ． { x | 1＜x ＜2} B ． {x | x ＞1} C ． {x | x ＞2} D ． {x | x ≥1}2．设 a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R （ i 是虚数单位），则 a ＝（ ） A ． 3 B ． －3 C ．13 D ． －133． 二项式512)xx -（的展开式中 x 3项的系数是（ ） A ． 80 B ． 48 C ． －40 D ． －804．设圆 C 1： x 2＋y 2＝1 与 C 2： (x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆 C 1与 C 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含5． 若实数 x ， y 满足约束条件 2x+3y-90x-2y-10≥⎧⎨≤⎩，设z ＝x ＋2y ，则（ ）A ． z ≤0B ．0≤z ≤5C ． 3≤z ≤5D ．z ≥56．设 a ＞b ＞0， e 为自然对数的底数． 若 a b＝b a，则（ ） A ． ab ＝e 2 B ． ab ＝21eC ． ab ＞e 2D ． ab ＜e 2 7． 已知 0＜a ＜14，随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1P3 41 4 －aaA ． E (ξ)增大， D (ξ)增大B ． E (ξ)减小， D (ξ)增大C ． E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小， D (ξ)减小 8．已知 a ＞0 且 a ≠1，则函数 f (x )＝(x －a )2ln x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值9．记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b ＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A． |a－c|max＝372+B． |a＋c|max＝372-C． |a－c|min＝√372+D． |a＋c|min＝372-10．已知三棱锥S－ABC 的底面ABC 为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）A．α1＜α2 B．α1＞α2C．α2＜α3 D．α2＞α3非选择题部分（共 110 分）二、填空题（本大题共 7 小题，第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）11．双曲线222xy-= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．12．设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．14．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤14，|f(x)＋1－x2|≤34，则f(1)＝．17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝（Ⅰ）求f (x )的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y ＝f (－x )的单调减区间．19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD ． （Ⅰ）证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数f (x )＝2lnxx x（Ⅰ）求函数f (x )的导函数f ′(x )； （Ⅱ）证明：f (x )＜2e+e（e 为自然对数的底数）．21．（本题满分15分）如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A （点A 不与原点O 重合）作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），直线CG 交y 轴于点D ．（Ⅰ）设A (x 0，x 02)（x 0≠0），求直线AB 的方程；（Ⅱ）求|OB||OD|的值．22．（本题满分15分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋nca （c ＞0，n ∈N *）， （Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1； （Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m 时，()n m mca n m a a -+≤ （ⅱ）．51n n a -2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDADCACAA二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．2y x =6 12．3；162 13．143π；6(613)++π 14．－14315 15．3216．3417．三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）（Ⅰ）因为sin(x ＋74π)＝cos(x －34π)，所以 f (x )＝2sin(x ＋74π)＝－2sin(x ＋34π)．所以函数f (x )的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分 （Ⅱ）因为f (－x )＝2sin(x －34π)，所以单调递减区间为(54π＋2kπ，94π＋2kπ)（k ∈Z）．…………14分19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，又因为 AC ′⊥BD ， 所以 BD ⊥平面AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ，所以平面AMC ⊥平面AB D ．…………7分（Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角． 设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BCMD ＝2DC ＝DC ′＝2，AD．在Rt△C ′MD 中，222222)(2MC C D MD ''=-=-＝9－设AF ＝x ，在Rt△C ′FA 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2， 即 4－x 2＝(9－－(x －1)2， 解得，x ＝2，即AF ＝2． 所以 C ′F ＝故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于C FAF '． …………15分20．（本题满分15分）（I ）221(21)ln ()()x x xf x x x +-+'=+．…………6分（Ⅱ）设111()ln ln 21242x g x x x x x +=-=+-++， 则函数g (x )在(0,)+∞单调递减，且0g >，(e)0g <，ABC′D M F （第19题）所以存在0x ∈，使g (x 0)＝0，即0001ln 021x x x +-=+， 所以 x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以 f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)单调递增，区间(x 0，＋∞)单调递减． 所以 f (x )≤f (x 0)＝00ln (1)x x x +＝001(21)x x + …………15分21．（本题满分15分）（Ⅰ）因为 y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′0|x x =＝2x 0．所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，即 y ＝2x 0x －20x ．…………6分（Ⅱ）由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－20x ，所以AB 中点坐标为0(,0)2x ． 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0． 由021,2x my x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋2014x ＝0．因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2． 由韦达定理，得y 1＋y 2＝4y 2＝021mx m-，y 1y 2＝3220224x y m=．所以 220042(1)1612mx x mm-=，解得 mx 0＝3-±所以点D 的纵坐标y D＝202x m -=，故||||6||BDy OB OD y ==±． …………15分22．（本题满分15分）（Ⅰ）因为c ＞0，所以 a n ＋1＝a n ＋nca ＞a n （n ∈N *）， 下面用数学归纳法证明a n ≥1． ①当n ＝1时，a 1＝1≥1； ②假设当n ＝k 时，a k ≥1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋kca ＞a k ≥1． 所以，当n ∈N *时，a n ≥1． 所以 a n ＋1＞a n ≥1．…………5分（Ⅱ）（ⅰ）当n ≥m 时，a n ≥a m ，所以 a n ＋1＝a n ＋n c a ≤a n ＋mca ， 所以 a n ＋1－a n ≤m c a ，累加得 a n －a m ≤mc a (n －m )， 所以 ()n m mca n m a a -+≤． …………9分（ⅱ）若12c >，当282(21)c m c ->-时， 21822()1221(21)m c c a c c c ->--=--，所以12m c c a <-． 所以当n m ≥时，1()1()2n m mcc n a n m a a ---+≤≤．所以当112m m mcm a a n c c a +->--时，1()1()2m m cc n n m a a -->-+，矛盾．所以 12c ≤．因为 222222125224n nn n nc a a c a c c a a +=+++++≤≤，所以n a …………15分。