哈工大矩阵分析2012

证明一个映射是线性映射。

（P24,例1.4.9）
给定入口基及出口基，写出线性映射对应的矩阵表示。

求线性映射在不同基上的矩阵表示。

求最简形。

先通过初等行列变换化为阶梯形。

同时记录行变换（相当于左乘），列变换（右乘）。

即对In做变换。

记住Q是m*m，P是n*n，同时化为最简形时得到的是Q逆，还需要再进行变化得到Q。

所得结果也是该最简形在不同线性空间的基。

λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子。

单位模阵。

求λ矩阵的Smith标准型。

两个矩阵相似的定义。

矩阵相似的三个条件。

求复数域上的矩阵的Jordan标准型。

内积-欧几里德空间
证明*是内积空间（欧几里得空间）
证明一个向量组是正交向量组。

施密特正交化化标准正交组。

复矩阵的奇异值和奇异值分解
复矩阵的奇异值分解
总结下：
A = UDV H ；AA H求U，A H A求V，注意维数问题，D和A同维度。

此外不够记住还有特征值为0的特征向量。

V=A H UD-H
（对于复数问题，记得转置；求λI n-AA H时,注意符号，对角线不为0的变负）
点到平面的距离：
A是平面（α1α2）投影矩阵得P，P=A（A T A）-1A T b，b表示一个向量，接着b-P即为距离，再套用距离公式计算长度。

正规矩阵酉相似对角化。

矩阵分析教程(电子版)董增福哈尔滨工业大学数学系1第六章特征值的估计核心内容：1．特征值界的估计2．圆盘定理3．Hermite矩阵的正定条件与Rayleigh商4．广义特征值与商广义Rayleigh2§6.1特征值界估计的下面的定理给出矩阵的与它的F的:特征值范数关系定理6.1(Schur),...,,...,A(a)C不等式设为λλλ=∈1i n ij n n×n n ×的特征值,则有Schur不等式n n n(6.1)∑∑∑222λ≤=a Ai ij Fi1i1j1===等号成立的充要条件为A是正规矩阵.3n n n n××证由定理定理存在使3.25(Schur),A C,U U,∀∈∈HU A U R①=其中是对角元为的特征值的R(r)Aλ,...,λ,...,λ=ij n n1i n×上三角矩阵.②取共轭转置有H H HU A U R=上述②①二式相乘得H H H U(A A)U R R=H H这说明A A与R R,故它们的相等酉相似迹H Htr(A A)=tr(R R)(6.2)4因为R的为A的,故上三角阵对角元特征值n n n n∑∑∑∑222Hλ=≤=r r tr(R R) iii iji1i1i1j1====由式(6.2)n n n n∑∑∑∑2H H2a tr(A A)tr(R R)r,===ij ij i 1j1i1j1====n n n∑∑∑222故i a Aλ≤=ijFi1i1j1===.Schur的为不等式取等号充要条件n n n∑∑∑2r r=2 ,ii iji1i1j1===这说明是对角阵由定理知酉相似对角阵R, 3.26A()是正规矩阵.5注:任何一个阶复数矩阵都可表成一个nH e rm i te H e rm i te.矩阵与一个反矩阵之和n×n设∈则A C,,11H HA(A A)(A A)B C=++−=+22其中11H H B(A A),C(A A), =+=−22显然H HB B,C C==−.6用矩阵的m∞范数估计特征值11n n H H定理设6.2(),B(),C()A a C×A A A A=∈=+=−ij n n×22n nλλλ∈,...,,...,为的特征值则A C×, 1i n①λi n i j a ij m i n⋅m ax=A,=1,2,...,;≤,∞②R e()n⋅max b=B,i=1,2,...,n;λ≤i iji j m,∞③I m()n⋅max c=C,i=1,2,...,n.λ≤i iji j m,∞7证由定理有①.6.1n n n∑∑∑22 222i i a n max a,ij ij λ≤λ≤≤i,ji1i1j1===即λ≤==1,2...,i n max a A,i n.iji,j m∞则①得证.( 4.17(A)A,A.)若仅证由定理有故①ρ≤λ≤:i m∞此处证法同时证②,③.8H=,H H=H,,, 因由的定义U AU R U A U R B C于是有11H H H HU B U U[(A A)]U(R R),=+=+22U11H H H H C U U[(A A)]U(R R),=−=−22由于酉相似下矩阵的范数不变Frobenius,1所以(R R+2H)2F=B2F,1 22H(R R)C−=F2F.9因为λ00r r λ11121n0r r0λλ11H22n(R R)() +=+22122λλr rn1n2n n+r rRe()**λλλ111121n*Re()*λ1r rλ+λ212222n==2+**Re() r rλλλ12n n n n n10因为λ00r r λ11121n0r r0λλ11H22n12(R R)()−=−22200λλr rn n1n2nr ri I m()**λ−λλ111121n*i Im()*λ1r r −λ−λ2 12222n==2−−**i I m()λr rλ−λn 1n2n n n11所以有22()注意⋅≤⋅Fm∞n n n∑∑∑∑22222 11r b n max b,λ+λ+=≤4i i2i,ij j iji ji i<j i1j1=1==n n n∑∑∑∑22222 11r c n max c.λ−λ+=≤42,i i ij ij iji ji i<j i1j1=1==故n n∑∑22 2212Re()Re()n max b,λ≤λ=λ+λ≤i i4i i,iji ji1i==1n n∑∑22 2212Im()Im()n max c.λ≤λ=λ−λ≤i i4i i,jii ji1i==1此即②,③的等价不等式.■12推论(1)Hermite矩阵的特征值都是实数(定理2.18);(2).反零Hermite矩阵的特征值为或纯虚数H,, 6.2,(), 证当时由定理之③A A C O Im0==λ=ii i.n,1,2,..,;即为实数λ=H,, 6.2,(), 当时由定理之②A AB O Re0=−=λ=ii i n,1,2,...,.即为零或纯虚数■λ=13对于实矩阵特征值虚部的估计有比定理之③6.2更精细的结果.定理6.31n n T设则A R×,C(A A),∈=−A R ×,C(A A),2Im()λ≤n−nC12m∞这里为的任一特征值.λA证略14011例特征值范数6.1设A=,试论述A的与的关系.−10111−−0解显然为反对称矩阵所以有A,B1H=+=O,(A A) 2C1H=−=(A A) A. 2于是A3,B0,C 3.===m m m∞∞∞15由 6.2,对A的有定理任一特征值λλ≤λ=λ≤3,Re()0,Im() 3.31−由 6.3,Im()C 3.定理λ≤=23m×∞对于的估计定理明显优于定理Im(λ), 6.3 6.2.16以下计算A的:特征值λ−−112λ−=λ−=λλ+I A11(3).11λ故的特征值为A λ=λ=λ=−0,3i,3i. 123(A,);是反对称矩阵其特征值为零或纯虚数另有A 2F332∑∑==aiji1j1==6,于是3∑226A 6. =λ≤=iFi1=因为A是正规矩阵,等号成立,与定理6.1结论一致.17显然ρ=(A)3,且有A6,A6,A3;===mF m1∞A A==1∞2 ,再计算的A2范数λ−−211H2λ−=−λ−−=λλ−I A A121(3).112−λ−故可见≤A2=3,ρ(A)A();任一范数又是正规矩阵有□18 A,ρ(A)=A=3.2§6.2圆盘定理定义n n6.1设A(a)C ×,=∈ij n n×nR a a...a a...a(i1,...,n)(6.8) =∑=+++++= ii j i1ii1ii1i n−+j1,j i=≠称复平面上的圆域G{z z a R,z C}(i1,2,...,n)(6.9)=−≤∈= i ii i为矩阵的第个圆盘简称盖尔圆称为盖尔圆A i Gershgori n,,RiG i 的半径 .19圆盘定理定理n n n×特征值6.4(Gershgorin1)矩阵A C的个都在∈它的个盖尔圆的并集中即为的特征值n.∪G,A,λ∈λi i ii1,2,...,n..=简称此定理为圆盘定理T n 证设为的任一特征值为λ=∈A,x(x,...,x,...,x)C1j n A,Ax x,xθ.的属于特征值的特征向量故λ=λ≠设则由于x max x,x0.=≠k j kjn n∑∑a x x,i1,2,...,n;a x=λ==λ所以x k .ij j i k j jj1j1==20。

哈工大12年快题设计优秀案例
1. 案例一，基于人工智能的智能家居系统设计。

这个案例是哈工大学生在12年的快题设计中提出的。

他们设计了一个基于人工智能的智能家居系统，通过智能感知、自动控制和远程监控等功能，实现了对家居环境的智能化管理。

该系统可以自动调节室内温度、湿度和照明等参数，提高居住舒适度，同时也能通过手机远程监控家庭安全。

2. 案例二，智能交通管理系统设计。

这个案例是哈工大学生在12年的快题设计中提出的。

他们设计了一个智能交通管理系统，通过车辆识别、信号优化和智能调度等技术，实现了对交通流量的智能化管理。

该系统可以根据实时交通情况自动调整信号灯的时间，优化交通流动，减少拥堵和交通事故的发生。

3. 案例三，智能健康监测系统设计。

这个案例是哈工大学生在12年的快题设计中提出的。

他们设计
了一个智能健康监测系统，通过传感器和数据分析等技术，实现了
对人体健康状态的实时监测和预警。

该系统可以监测人体的心率、
血压、体温等指标，并通过手机App提醒用户采取相应的健康措施，预防疾病的发生。

这些案例充分展示了哈工大学生在12年的快题设计中的创新能
力和技术水平。

他们通过运用人工智能、智能感知和数据分析等技术，设计出了具有实际应用价值的智能系统，为解决现实生活中的
问题提供了有效的解决方案。

这些案例不仅体现了学生们的专业能
力和创造力，也展示了哈工大在科技创新方面的领先地位。

结构动力学大作业对于如下结构，是研究质量块的质量变化和在简支梁上位置的变化对整个系统模态的影响。

1以上为一个简支梁结构。

集中质量块放于梁上，质量块距简支梁的左端点距离为L.将该简支梁简化为欧拉伯努利梁，并离散为N 个单元。

每个单元有两个节点，四个自由度。

单元的节点位移可表示为：]1122,,,e v v δθθ⎡=⎣则单元内一点的挠度可计作：带入边界条件：1332210)(x a x a x a a x v +++=01)0(a v x v ===3322102)(L a L a L a a v L x v +++===110d d a xv x ===θ2321232d d L a L a a xv Lx ++===θ10v a =[]1234N N N N N =建立了单元位移模式后，其动能势能均可用节点位移表示。

单元的动能为：00111()222l l T TT ke e e e e y E dx q N Ndxq q mq t ρρ∂===∂⎰⎰ 其中m 为单元质量阵，并有：lT m N Ndx ρ=⎰带入公式后积分可得：2222156225413224133541315622420133224l l l l l l l m l l ll ll ρ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦单元势能可表示为2220011()()222T l lT Te pe e e e q y E EI dx EI N N dxq q Kq x ∂''''===∂⎰⎰其中K 为单元刚度矩阵，并有()lT K EI N N dx ''''=⎰2232212612664621261266264l l l l l l EI k l l l l lll -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦以上为单元类型矩阵，通过定义全局位移矩阵，可以得到系统刚度矩阵和系统质量矩11θ=a )2(1)(3211222θθ+--=Lv v L a )(1)(22122133θθ++-=Lv v L a 1232133222231)(θ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=L x L x x v L x L x x v 22232332223θ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+L x L x v L x L x 24231211)()()()()(θθx N v x N x N v x N x v +++=阵。

1.设线性空间V 为由基函数1234cos ,sin ,cos ,sin at at at at x e bt x e bt x te bt x te bt ====生成的实数域上的线性空间，令1234cos (1),sin (1),cos (1),sin (1)at at at at y e b t y e b t y te b t y te b t =-=-=-=-（1）分别求向量1234,,,y y y y 在基函数1234,,,x x x x 下的坐标；（2）证明：1234,,,y y y y 也为V 的一组基；（3）求1234,,,y y y y 到1234,,,x x x x 的过渡矩阵。

2.设线性空间22R ⨯中的矩阵0140B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义22R ⨯中的一个变换T 为22(),T X XB X R ⨯=∈。

（1）证明：T 是线性变换； （2）求T 在基111000E ⎛⎫=⎪⎝⎭，120100E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，210010E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，220001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭下的矩阵； （3）求22R ⨯的一组基，使T 在这组基下的矩阵为对角阵。

3.设12345,,,,e e e e e 是5R 中的一组标准正交基，{}123,,V Span ααα=，其中1135e e e α=-+，2124e e e α=-+，3123453232e e e e e α=-++-，求V ⊥的一组标准正交基。

4.设T 为欧氏空间3R 中的线性变换，对3(,,)x y z R ∈，令 (,,)(cos cos sin sin cos ,cos sin cos sin sin ,sin cos )T x y z x y z x y z x z γθθγθγθθγθγγ=--+-+（1）求线性变换T 在基123(100),(010),(001)T T T εεε===下的矩阵；（2）证明：T 为正交变换。

实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。

本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。

前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。

数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。

在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。

对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。

重复运行计算，直至满足精度为止。

这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。

当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。

另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。

程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。

其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。

二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。

2012年春季学期研究生《矩阵分析》课程考试试题注意行为规范遵守考场纪律一．填空题（每小题5分，共30分）1．n维线性空间()nV F上一切线性变换所组成的线性空间记为End(),V则dim End()=.V2．设1,...,,...,i nεεε为n C中的标准正交基，则它的度量矩阵为．3．矩阵111011001A的Jordan标准形为.0114101,110F.--=-=.设则A A10115,0012..λ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-===设则满足的非零广义特征值为A B Ax Bx.6．rank5,rank4,rank()=.==⊗若则A B A B}{H,(),(),.()().(10)m nnNNN N⨯===设表示矩阵的零空间即:分A C A AA x Axθx CA A A二.求证∈∈222211122122,10()0110010000,,,.00001001.(12)⨯⨯∈⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是上的线性变换: 线性变换在基下的表示矩阵线性变换的特征值R M RM ME E E E A有分.求三AAAA∀①②,:;(10)121012212411..+-=---设的满秩分解分A A A 四求①②2.,:().(10)n n =设是正规矩阵分A C A A 五求证∈.,110011,,(10)011011.+=-===-Lyapunov 矩阵方程其中分AX XB F A B F 六求解.,,.(4):.m n n pr s m p p m ++==设矩阵若A C B C AB O B A O 分八求证⨯⨯⨯⨯∈∈ Td d (0)(0,0,1)460350.(14)361t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦常系数线性齐次微分方程组初值问题其中分xAxx A 七求解。

哈⼯⼤研究⽣数值分析试题及答案1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。

取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。

（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+ 2()328f x x x '=-- ()62f x x ''=- (3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代：3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+2001023634x x x x ++==+2112123634x x x x ++==+2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????的Jacobi 迭代法收敛。

解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+10210211203203130130J a B a a a -----=--=-- ? ? ? ? ? ???123a b g a b a b -??=迭代矩阵J B 的特征⽅程：021211120323013013J a E B a a a a λλλλλλλ-----=+-=-=即：3()14()0a a λλ+=特征根：0,aλλ==±谱半径：()1J B aρ=< 时Jacobi 迭代收敛故：a >3. 设（1）⽤Crout 三⾓分解法求解⽅程组 12323251034133619x x x ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyy x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ).八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

一、名词解释（15分）1、实际汇率2、正常利润3、费雪效应4、生产扩展线5、边际消费倾向二、简答（35分）1、劳动供给曲线为什么向后弯曲？2、导致总需求曲线移动的因素有哪些？3、为什么在严重的衰退中，货币供给变化不能带来投资水平的提高？4、什么是棘轮效应？5、财政政策和货币政策效果与IS和LM曲线的斜率有什么关系？6、影响货币需求的因素有哪些？7、在新古典增长模型中，储蓄率的变动对经济有哪些影响？三、分析题（45分）1、辨析：短期边际成本曲线平均总成本曲线和平均可变成本曲线相交，且交点为平均总成本曲线和平均可变成本曲线的最低点。

2、辨析：在完全竞争市场上，如果一个企业的生产技术具有规模报酬不变的特性，那么如果最大利润存在，它一定是零。

3、辨析：由于交换契约曲线上的所有点都是有效率的，因此从社会的观点来看他们都是同样理想的。

4、分析浮动汇率下财政政策和货币政策的效果。

5、分析总收益、边际收益与需求价格弹性的关系。

四、计算题（35分）1、已知生产函数为Q=min（2L，3K），求：（1）当产量Q=36时，L和K分别是多少？（2）如果生产要素价格分别为PL =2，PK=5，则生产480单位产量的最小成本是多少？2、宿舍中有甲乙两个同学，甲发现水壶没水了，此时若他去打水，将获得的效用是1，若他等待乙去打水，所获效用是3。

若两个人一起去，因为可以互相分担，两人所获效用分别为2。

若两人都等待对方去打水，所获效用都为0。

乙的效用水平与甲相同。

试问：（1）写出这个博弈的收益矩阵，这个博弈有纳什均衡吗？（2）若甲（或乙）坚持一个不打水的策略，对此人有好处吗？3、假设有A、B、C三厂商，A年产5000万美元，卖给B、C和消费者，其中B买200万美元，C 买2000万美元，其余2800万美元卖给消费者。

B年产500万美元，直接卖给消费者。

C 年产6000万美元，其中3000万美元由 A购买，其余由消费者购买。

（1）计算GDP为多少？（2）如果 A厂商有1000万美元的进口值，C厂商有1500万美元的出口值，其他条件不变，GDP 是多少？贸易差额是多少？五、论述题（20分）举例说明信息不对成引起的逆向选择和道德风险，并进一步说明如何解决该问题。

哈尔滨工业大学（威海）研究生2011 / 2012 学年秋季学期 数值分析 试题一、填空题（每小题2分，共10分）1、设862)(24--=x x x f ，则差商=]4,3,2,1,0[f （ ），=]5,4,3,2,1,0[f （ ）。

2、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3121A ，则=F A （ ）， =∞)(A Cond （ ）。

3、应用圆盘定理说出矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=922121013A 的特征值所在区域。

（ ） 4、乘幂法是求按模（ ）的特征值和对应的特征向量的方法。

5、n 次Lagrange 插值多项式=)(x L n （ ），其插值余项=)(x E （ ）。

二、讨论方程013=-+x x 有几个实根，并任选一种数值方法求其全部实根，要求近似根具有4位有效数字。

（10分）三、用Doolittle 分解方法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+146326344232132131x x x x x x x x （10分）四、设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++251084118104134410321321321x x x x x x x x x试分别写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的计算式，并讨论以上两种方法的收敛性。

（10分）五、证明2步法nn n y h y y '+=-+211是收敛的。

（10分） 六、证明用梯形法求解初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(y y y 时，数值解为nn h h y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22，并对固定的nh x =，证明当0→h 时n y 收敛于原初值问题的精确解。

（10分） 七、构造Gauss 型求积公式)()(00112x f H dx x f x ≈⎰-，并说明其代数精度。

（10分） 八、已知实验数据如下用最小二乘法求形如x b a y +=的经验公式。

（10分）九、设],[)(2b a C x f ∈，试推导求积公式⎰+-=b a b f a f a b dx x f )]()([2)()()(1213ηf a b ''--，],[b a ∈η （10分） 十、当],[b a x ∈时],[)(b a x ∈ϕ，而且满足1)(<≤'L x ϕ，证明迭代法)(1k k x x ϕ=+收敛于方程)(x x ϕ=的惟一根。

研究生课程表2009年秋季学课程名称起止周星期节次教室授课教师开课教研室数值分析(一班) 2-11 一1-2 A112-11 三3-4 A11李道华等应用数学系数值分析(二班) 2-11 一3-4 A112-11 三1-2 A11应用数学系数值分析(三班) 2-11 一1-2 A212-11 三3-4 A21应用数学系数值分析(四班) 2-11 一3-4 A212-11 三1-2 A21应用数学系数值分析(五班) 2-11 一1-2 A222-11 三3-4 A22应用数学系数值分析(六班) 2-11 一3-4 A222-11 三1-2 A22应用数学系数值分析(七班) 2-11 一1-2 A522-11 三3-4 A52应用数学系数值分析(八班) 2-11 一3-4 A522-11 三1-2 A52应用数学系数值分析(九班) 2-11 一1-2 A122-11 三3-4 A12应用数学系数值分析(十班) 2-11 一3-4 A122-11 三1-2 A12应用数学系数值分析分班：一班：电气学院自动化测试与控制系、航天学院18系（航空宇航）二班：航天学院21系（物理电子）、电气学院电气工程系三班：航天学院控制科学与工程系四班：电子与信息工程学院、航天学院21系（微电子）五班：理学院化学系、化工学院、航天学院18系(力学)六班：机电学院(机械电子、宇航制造)、航天学院21系（光学）、21系集成电路工程硕士七班：材料学院（材料加工、材料物理化学）八班：机电学院(机械制造、机械设计)、理学院生命科学系九班：材料学院（材料学、材料全日制工程硕士）、航天学院18系（材料）十班：机电学院（机械全日制工程硕士）、能源学院矩阵分析(12系开设) 5、18、21系12-20 一5-6 A1112-20 三7-8 A11董增福应用数学系应用随机过程（5系为主141）1、3、4、5系2-11 一5-6 A112-11 三7-8 A11田波平应用数学系课程名称起止周星期节次教室授课教师开课教研室现代数学基础(一班) 12-20 一1-2 A1112-20 三3-4 A11薛小平等应用数学系现代数学基础(二班) 12-20 一3-4 A1112-20 三1-2 A11应用数学系现代数学基础(三班) 12-20 一1-2 A1212-20 三3-4 A12应用数学系现代数学基础(四班) 12-20 一3-4 A1212-20 三1-2 A12应用数学系现代数学基础(五班) 12-20 一3-4 A2112-20 三1-2 A21应用数学系现代数学基础分班：一班：电气学院电气工程系、航天学院微电子工程系二班：机电学院(机械制造、机械工程、宇航)三班：能源学院四班：机电学院(机械电子、机械设计)五班：电子与信息工程学院、理学院生命科学系、航天学院控制科学与工程系数理方程(一班) 12-20 一7-8 A1112-20 三5-6 A11谢鸿政应用数学系数理方程分班：一班：航天学院18系、电气学院电气工程系、电子与信息工程学院（微波）小波理论及应用(一班) 12-20 一1-2 A4212-20 三3-4 A42冉启文应用数学系小波理论及应用(二班) 12-20 一3-4 A4212-20 三1-2 A42应用数学系小波理论及应用分班：一班：航天学院控制科学与工程系、电子与信息工程学院二班：电气学院自动化测试与控制系、电气学院电气工程系变分法与最优控制18系12-20 一3-4 A4112-20 三1-2 A41王兴涛应用数学系。