哈工大2011年数值分析

装订线年 级 学 号 姓 名 专 业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分年 级2011级研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人装 订线年级 学 号 姓 名 专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

年份地区学校学院专业代码专业名称报名人数录取人数报录比推免人数2011 黑龙江哈尔滨工业大学土木工程学院081405 防灾减灾工程及防护工程54 16 29.63% 2 2011 黑龙江哈尔滨工业大学食品科学与工程学院083201 食品科学43 14 32.56% 4 2011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院010101 马克思主义哲学23 8 34.78% 0 2011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院010108 科学技术哲学7 8 114.29% 0 2011 黑龙江哈尔滨工业大学航天学院080100 力学151 64 42.38% 9 2011 黑龙江哈尔滨工业大学理学院070202 粒子物理与原子核物理8 6 75.00% 0 2011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院020101 政治经济学 4 2 50.00% 3 2011 黑龙江哈尔滨工业大学航天学院080300 光学工程67 12 17.91% 4 2011 黑龙江哈尔滨工业大学机电工程学院082503 航空宇航制造工程43 16 37.21% 4 2011 黑龙江哈尔滨工业大学理学院070203 原子与分子物理 1 0 0.00% 0 2011 黑龙江哈尔滨工业大学高等教育研究所120403 教育经济与管理15 8 53.33% 1 2011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院020105 世界经济 4 2 50.00% 4 2011 黑龙江哈尔滨工业大学航天学院080901 物理电子学99 39 39.39% 11年份地区学校学院专业代码专业名称报名人数录取人数报录比推免人数2011 黑龙江哈尔滨工业大学航天学院080300 光学工程67 12 17.91% 42011 黑龙江哈尔滨工业大学能源科学与工程学院080700动力工程及工程热物理192 49 25.52% 392011 黑龙江哈尔滨工业大学化工学院070305高分子化学与物理31 16 51.61% 42011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院030301 社会学14 7 50.00% 32011 黑龙江哈尔滨工业大学土木工程学院081402 结构工程352 85 24.15% 372011 黑龙江哈尔滨工业大学电子与信息工程学院080904电磁场与微波技术17 6 35.29% 32011 黑龙江哈尔滨工业大学经济与管理学院125100（专业硕士）工商管理652 158 24.23% 02011 黑龙江哈尔滨工交通科学082302 交通信息工 2 3 150.00% 0业大学与工程学院程及控制2011 黑龙江哈尔滨工业大学市政环境工程学院083000环境科学与工程276 46 16.67% 192011 黑龙江哈尔滨工业大学理学院070304 物理化学37 27 72.97% 82011 黑龙江哈尔滨工业大学交通科学与工程学院082303交通运输规划与管理33 10 30.30% 72011 黑龙江哈尔滨工业大学交通科学与工程学院081406桥梁与隧道工程19 3 15.79% 52011 黑龙江哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院080800 电气工程459 101 22.00% 472011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院020105 世界经济 4 2 50.00% 42011 黑龙江哈尔滨工业大学土木工程学院081401 岩土工程39 18 46.15% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学经济与管理学院120401 行政管理25 8 32.00% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学市政环境工程学院071005 微生物学79 20 25.32% 22011 黑龙江哈尔滨工业大学经济与管理学院120405土地资源管理17 6 35.29% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学市政环境工程学院081403 市政工程159 35 22.01% 232011 黑龙江哈尔滨工业大学法学院030109 国际法学22 11 50.00% 5 2011 黑龙江哈尔滨工业大学航天学院080901 物理电子学99 39 39.39% 112011 黑龙江哈尔滨工业大学经济与管理学院120201 会计学113 12 10.62% 102011 黑龙江哈尔滨工业大学经济与管理学院020206 国际贸易学50 15 30.00% 42011 黑龙江哈尔滨工业大学土木工程学院080104 工程力学24 10 41.67% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学体育部040303体育教育训练学11 3 27.27% 12011 黑龙江哈尔滨工业大学经济与管理学院120202 企业管理244 45 18.44% 102011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院020206 国际贸易学14 3 21.43% 92011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院030500马克思主义理论40 13 32.50% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院081200计算机科学与技术677 169 24.96% 722011 黑龙江哈尔滨工业大学交通科学与工程学院082301道路与铁道工程28 11 39.29% 42011 黑龙江哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院080400仪器科学与技术226 52 23.01% 332011 黑龙江哈尔滨工业大学理学院070202粒子物理与原子核物理8 6 75.00% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学航天学院080100 力学151 64 42.38% 92011 黑龙江哈尔滨工业大学经济与管理学院120100管理科学与工程202 47 23.27% 342011 黑龙江哈尔滨工业大学理学院070203原子与分子物理1 0 0.00% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学交通科学与工程学院082304载运工具运用工程1 0 0.00% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学市政环境工程学院080103 流体力学 3 3 100.00% 12011 黑龙江哈尔滨工业大学理学院070301 无机化学36 29 80.56% 22011 黑龙江哈尔滨工业大学土木工程学院081405防灾减灾工程及防护工程54 16 29.63% 22011 黑龙江哈尔滨工业大学食品科学与工程学083201 食品科学43 14 32.56% 4院2011 黑龙江哈尔滨工业大学高等教育研究所120403教育经济与管理15 8 53.33% 12011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院010101马克思主义哲学23 8 34.78% 02011 黑龙江哈尔滨工业大学航天学院082500航空宇航科学与技术75 16 21.33% 162011 黑龙江哈尔滨工业大学人文学院020101 政治经济学 4 2 50.00% 3 2011 黑龙江哈尔滨工业大学理学院070205 凝聚态物理18 15 83.33% 12011 黑龙江哈尔滨工业大学市政环境工程学院081404供热、供燃气、通风及空调工程139 29 20.86% 152011 黑龙江哈尔滨工业大学市政环境工程学院081502水力学及河流动力学1 2 200.00% 1。

2009级一、判断题 (每题2分)3. 若n 阶方阵A 是严格对角占优的，则解方程组A =x b 的Jacobi 迭代法收敛。

( √ )4. 设是方程的根，则求的Newton 迭代法至少是平方收敛的。

( ) *x 0)(=x f *x二、填空题 (每空2分)1. 近似数关于准确值* 3.120x = 3.12065x =有 位有效数字，相对误差是 . 4. 设2543A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，A ∞= ，1Cond()A = .五(本题满分10分) 对于下列方程组1231231234222633245x x x x x x x x x ,,,−+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 建立Gauss–Seidel 迭代公式，写出相应的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Gauss–Seidel 迭代公式是否收敛。

七(本题满分10分) 已知方程在10x xe −=00.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值00.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。

*x (2) 取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求（只迭代两次）。

*x2010级一、填空题 (每空2分，共20分)1. 近似数关于准确值*2.315x = 2.31565x =有 位有效数字，相对误差是 .4. 设2345A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，Cond()A ∞= .5. 设是方程的3重实根，则求的改进的Newton 迭代公式为 *x 0)(=x f *x .二 (本题满分8分) 对下列方程组1231231232633245,422x x x x x x x x x ,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩ 建立收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Gauss–Seidel 迭代公式，并说明理由。

五(本题满分10分) 已知方程在3210x x −−=0 1.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值0 1.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设｜x｜>>1______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)解析：8.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)解析：10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -11 x 2)1 x 2，(φ1，φ1)=∫ -1解析：12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)解析：14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)解析：。

研究生课程表2011年秋季学期课程名称起止周星期节次教室授课教师开课教研室李道华等应用数学系数值分析(一班) 2-11 一1-2 A112-11 三3-4 A11数值分析(二班) 2-11 一3-4 A11应用数学系2-11 三1-2 A11应用数学系数值分析(三班) 2-11 一1-2 A212-11 三3-4 A21数值分析(四班) 2-11 一3-4 A21应用数学系2-11 三1-2 A21数值分析(五班) 2-11 一1-2 A22应用数学系2-11 三3-4 A22数值分析(六班) 2-11 一3-4 A22应用数学系2-11 三1-2 A22应用数学系数值分析(七班) 2-11 一1-2 A522-11 三3-4 A52数值分析(八班) 2-11 一3-4 A52应用数学系2-11 三1-2 A52应用数学系数值分析(九班) 2-11 一1-2 A122-11 三3-4 A12应用数学系数值分析(十班) 2-11 一3-4 A122-11 三1-2 A12数值分析分班：一班：电气学院自动化测试与控制系、理学院化学系二班：航天学院电子科学与技术系三班：航天学院控制科学与工程系四班：电子与信息工程学院、电气学院电气工程系学号尾数001-030号的工学硕士五班：航天学院航天工程与力学系六班：机电学院学号尾数001-190号的工学硕士七班：材料学院学号尾数001-180号的工学硕士八班：机电学院六班以外其他硕士、理学院生命科学系、电气工程系全日制工程硕士和代培旁听生九班：材料学院七班以外其他硕士、化工学院十班：能源学院、电气学院电气工程系学号尾数030号以后的工学硕士课程名称起止周星期节次教室授课教师开课教研室薛小平等应用数学系现代数学基础(一班) 12-20 一1-2 A1112-20 三3-4 A11应用数学系现代数学基础(二班) 12-20 一3-4 A1112-20 三1-2 A11应用数学系现代数学基础(三班) 12-20 一1-2 A1212-20 三3-4 A12现代数学基础(四班) 12-20 一3-4 A12应用数学系12-20 三1-2 A12现代数学基础分班：一班：电气学院电气工程系二班：机电学院学号尾数001-180号的工学硕士、电信学院、生命科学系三班：能源学院、航天学院电子科学与技术系四班：机电学院二班以外其他硕士、航天学院控制科学与工程系注：计算机学院选修此课学生为避开外语上课时间在一班或者二班上课均可谢鸿政应用数学系数理方程一区12-20 一7-8 A1112-20 三5-6 A11王兴涛应用数学系变分法与最优控制12-20 一3-4 A4112-20 三1-2 A41董增福应用数学系矩阵分析(数学系开设) 12-20 一5-6 A1112-20 三7-8 A11田波平应用数学系应用随机过程2-11 一5-6 A112-11 三7-8 A11注：A代表诚意楼。

2011年数值分析1、设 f (x) =(x 3 -5)2(1) 应用newton 迭代法解方程f (x) =o 导出3 5的迭代公式。

并讨论 迭代公式的收敛速度(2) 改进导出的迭代公式以提高迭代的收敛阶，并用改进后的迭代 公式计算3 5 (取初始近似值x o =1，要求迭代三步，结果保留4位小 数)厂 2 32( 1)求a 及不超过二次多项式p(x)使S(x)=」a *x +X 兰X 。

，具有p(x),1 兰 xW2连续的二阶导数且满足p(2) =0 ；(2)当f(x)用满足条件f(1)=p(1),f (2)二P (2), f '(1^ p '(1的插值多项式2近似时求.f(x)dx-1a 」"(1)写出Jacobi 迭代格式(2) 证明当|a »4时，该迭代格式收敛(3) 当a=5时，取x 0( —,1,—)，求出x 2 (计算结果保留4位小数) 10 5 104设f(x)=???,在［0,1］上给出函数f(x)的n+1个等距节点X i 函数表，若想用二次插值来计算f(x)的近似值。

要求截断误差不超过10-6，问使 用多大的函数表步长h5、给定求积公式 f(x)dx ： A o f(X o ) - f (X i )(1)求出待定参数A b ,X o ,X i ，使公式的代数精度尽可能高，并指出此 'a 3已知线性方程组2 1］叮 2 x 22求积公式的代数精度是多少？2(2)用此求积公式计算积分x4dx。

(计算结果保留4位小数)6试用共轭梯度法求解线性方程组，初始值取x°=o,o,o)2 -1 0 X i 1-i 3 -i X2 1已知计算过程为eg法0 -1 4丄X3」?j7已知数据点(0,1)(1,0)(2,丄)(3,10)，试利用反差商构造有理插值函数R(x)3通过已知数据点._3 -4 31乂1 _2 |8方程组-4 6 3 X2『53^L x d 7J]3(1)试用Doolittle分解方法求解方程组(2)计算出系数矩阵A按模最大特征值及对应的特征向量，初始向量为(1,0,0)T，迭代两步，计算结果保留4位小数。

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷A(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x 1 =0．724，x 2 =1．25均为有效数，则｜e r (x 1 x 2 )｜≤______｜e(x 1／x 2 )｜≤_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．469×10 -2，0．272×10 -2)解析：3.设∞ =______，cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.超定方程组x 1 =______.x 2 =_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：-0．8333或-0．6667)解析：5.用Simpson______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1.4757)解析：6.0，1，2为节点的三次样条函数，则a=_____，b=_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3，-3)解析：二、计算题(总题数：3，分数：6.00)7.给定方程e x，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设当x=ln0．5时，f"(x)=0；当x∈(-∞，ln0．5)时，f"(x)＜0；当x∈(ln0．5，+∞)时，f"(x)＞0．再注意到f(-4)＞0，f(-3)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0，则该方程存在两个实根，分别在[-4，-3]和[1，2]内．构造迭代格式x *∈[1，2]，取x 0 =1．5，计算得x 1 =1．0651，x 2 =0．9116，x 3 =0．8953，x )解析：8.用列主元Guass（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =-2，x 2 =1，x 3 =-1．)解析：9.给定求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +ωCx k =b，其中ω的值使上述迭代格式收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由Bx (k+1) +ωCx (k) =b得x (k+1) =-ωB -1 Cx (k) +B -1 b 上述格式收敛的充要条件为ρ(-ωB -1 C)＜1．迭代矩阵-ωB -1 C的特征方程为｜λI+ωB -1 C｜=0，可变形为｜B -1｜｜λB+ωC｜=0，即展开得16λ2—8λω)解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)10.作一个3次多项式H(x)，使得H(a)=b 3，H(b)=a 3，H"(a)=6b，H"(b)=6a．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方法1：根据H"(a)=6b，H"(6)=6a可知(x-a)=6b—6(x-a)，两边积分得H(x)=6b(x—a)-3(x-a) 2 +c，H(x)=3b(x-a) 2 -(x—a) 3 +c(x—a)+d．由H(a)=b 3得d=b 3，再由H(b)=a 3有c=-3b 2，所以H(x)=-(x-a) 3 +3b(x-a) )解析：11.求函数y(x)=x 4在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设p(x)=a+bx．由f"(x)=4x 3，f"(x)=12x 2知，当x∈(0，1)时，f"(x)恒大于零．则f(x)-p(x)在[0，1]上有三个交错偏差点：0，x 1，1，且满足即求解得所以)解析：12.已知函数f(x)∈C 4[a，b]，I(f)=∫ a b f（x）dx 1)写出以a，b为二重节点所建立的f(x)的3次Hermite 插值多琐式H(x)及插值余项； 2)根据f(x)≈H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式I H (x)，并分析该公式的截断误差和代数精度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由条件H(a)=f(a)，H"(a)=f"(a)，H(b)=f(b)，H"(b)=f"(b)，作差商表：所以2)根据题意，有I(f)≈∫ a b H(x)dx，下面求代数精度．由插值余项知，当f(x)=1，x，x 2，x 3时，插值余项为零，I H (f)精确求积；当f(x)=x 4时此时b 5系数为I H) 解析：13.给定常微分方程初值问题n，并记h=(b—a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试确定参数A，B，C，使求解公式y i+1 =Ay i +(1-A)y i-1 +h[Bf(x i+1，y i+1 )+Cf(x i，y i )]的局部截断误差R i+1的阶数达到最高，指出所达剑的最高阶数并给出局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：局部截断误差为R i+1=y(x i+1)-Ay(x i)-(1-A)y(x i-1)-h[By"(x i+1)+Cy"(x i)]=y(xi )+hy"(x 1 )+ y"(x i )+ y""(x i y (4) (xi )+O(h5)解析：14.给定如下抛物方程初边值问题：取步长用古典隐格式计算u(x，t)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解该问题的古典隐格式为记则差分格式可写为(1+2r)u i k-r(u i+1k +ui-1k )=uik-1 +τ(3—3xi )，用方程组表示为k=1．2．因为所以，当k=1时，方程为或解得u 11 =0．7870，u 2<) 解析：。

哈工大数值分析实验报告标题：哈工大数值分析实验报告一、实验目的：本实验的目的是探究在数值分析中使用的各种数值方法，对于解决实际问题的有效性和可靠性进行评估。

二、实验内容：本实验主要包括以下几个方面的内容：1. 熟悉数值分析中常用的数值方法，如数值积分、数值微分、迭代法等；2. 在MATLAB等数学软件平台上，编写程序实现所学的数值方法；3. 使用所编写的程序，对给定的实际问题进行求解，并分析其结果的有效性和可靠性；4. 根据实际问题的特点，评估不同数值方法的适用性，并给出相应的结论和建议。

三、实验步骤：1. 阅读相关的理论知识，熟悉数值分析中常用的数值方法；2. 编写数值分析实验的程序代码，包括数值积分、数值微分和迭代法等；3. 使用编写的程序，对所给的实际问题进行求解，记录并分析结果；4. 根据实际问题的特点，评估所使用的数值方法的可靠性和有效性；5. 根据实验结果，撰写实验报告，包括实验目的、实验内容、实验步骤和实验结果的分析等。

四、实验结果：根据实际问题的不同，实验结果也会有所差异。

在实验报告中，可以详细叙述对所给实际问题的求解过程，并对结果进行分析和解释。

同时，还可以比较不同数值方法的结果，评估其优劣和适用性。

五、实验结论：根据实验结果的分析，可以得出结论，总结不同数值方法的优缺点，并对其在实际问题中的应用进行评价。

同时，还可以给出相应的建议，为以后的数值分析工作提供参考。

六、实验总结：通过本次实验，进一步加深了对数值分析中常用数值方法的理解和掌握。

通过实际问题的求解，对于这些数值方法的应用和效果有了更深入的认识。

同时，也提高了编程和科研报告撰写的能力，为以后的学习和工作打下了坚实的基础。

以上是关于哈工大数值分析实验报告的基本内容，具体实验细节和结果请根据实际情况进行补充。

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 2011级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、填空题(每空3分，共30分)（1）利用4位浮点数计算，31.97+（2.457+0135。

2）=（ ）。

(2) 设1||<<x ，为了使计算更准确，应将计算公式xx y 21111---=等价转化为（ ）。

（3）用二分法求1)(3-+=x x x f 在区间[0,1]内的唯一根，迭代二步后根所在的区间为（ ）。

（4）求1)(23--=x x x f 在区间（1,2）内的根，用迭代格式111-=+k k x x ，该迭代格式是收敛还是发散？ （ ）。

（5）用高斯消元法求解n 阶线性方程组，乘除的运算量为（ ）。

（6）T x )0,1,2,8(-=，则向量x 的1-范数2||||x =（ ）。

（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8100212322A ，则矩阵A 的无穷范数1||||A =（ ）。

（8）设x 为n 维列向量，G 为n 阶矩阵，则迭代格式f Gx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件为（ ）。

（9）已知2)1(1)(x x f +=在 1.2 1.1, ,0.1 三点的函数值分别为0.2066 0.2268, ,25.0，利用三点数值微分公式近似计算f(x) 在1.1处的导数值)1.1('f ≈（ ）。

（10） 设5228)(257+++=x x x x f ，则差商=]2,,,2,2[821 f （ ）。

二、(10分) 当2,1,0,1-=x时，函数值分别为17,4,3,2)(=x f 求f(x)的三次插值多项式。

三、((10分) 求函数x x f ln )(=在区间[1, 3]的最佳平方逼近一次多项式。

哈尔滨工业大学（威海）研究生2011 / 2012 学年秋季学期 数值分析 试题一、填空题（每小题2分，共10分）1、设862)(24--=x x x f ，则差商=]4,3,2,1,0[f （ ），=]5,4,3,2,1,0[f （ ）。

2、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3121A ，则=F A （ ）， =∞)(A Cond （ ）。

3、应用圆盘定理说出矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=922121013A 的特征值所在区域。

（ ） 4、乘幂法是求按模（ ）的特征值和对应的特征向量的方法。

5、n 次Lagrange 插值多项式=)(x L n （ ），其插值余项=)(x E （ ）。

二、讨论方程013=-+x x 有几个实根，并任选一种数值方法求其全部实根，要求近似根具有4位有效数字。

（10分）三、用Doolittle 分解方法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+146326344232132131x x x x x x x x （10分）四、设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++251084118104134410321321321x x x x x x x x x试分别写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的计算式，并讨论以上两种方法的收敛性。

（10分）五、证明2步法nn n y h y y '+=-+211是收敛的。

（10分） 六、证明用梯形法求解初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(y y y 时，数值解为nn h h y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22，并对固定的nh x =，证明当0→h 时n y 收敛于原初值问题的精确解。

（10分） 七、构造Gauss 型求积公式)()(00112x f H dx x f x ≈⎰-，并说明其代数精度。

（10分） 八、已知实验数据如下用最小二乘法求形如x b a y +=的经验公式。

（10分）九、设],[)(2b a C x f ∈，试推导求积公式⎰+-=b a b f a f a b dx x f )]()([2)()()(1213ηf a b ''--，],[b a ∈η （10分） 十、当],[b a x ∈时],[)(b a x ∈ϕ，而且满足1)(<≤'L x ϕ，证明迭代法)(1k k x x ϕ=+收敛于方程)(x x ϕ=的惟一根。

2011年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：16.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设x=1．231，y=0．5122是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数e xy的绝对误差限和相对误差限．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：根据题意，可知｜e(x)｜≤ ×10 -3，｜e(y)｜≤ ×10 -4，｜e(e xy)｜≈｜ye xy e(x)+xe xy e(y)｜≤e xy (y｜e(x)｜+x｜e(y)｜)≤0．5967×10 -3，)解析：2.给定方程x 3 +2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：改写方程为x 3 =-2x+1，作函数y=x 3和y=-2x+1的图像(见下图)，由图像知方程有一个实根x *∈ 构造Newton迭代格式：x k+1=x k k=0，1，2，…，取初值x 0=0．25，计算得x 1 =0．47143，x 2 =0．45357，x 3 =0．45340，x 4 =0)解析：3.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =1，x 2 =1，x 3 =-1，x 4 =-1．)解析：二、综合题(总题数：5，分数：10.00)4.Gauss-Seidel迭代格式，并分析收敛性．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Gauss-Seidel迭代格式为Gauss—Seidel迭代矩阵的特征方程为展开得4λ3—4λ2—2λ+8λ2 +2λ2—2λ2 =0，即λ(2λ2 +2λ-1)=0，求得λ1 =0，因为所以Gauss-Seidel迭代发散．)解析：5.已知f(x)=xe x，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，H"(0)=f"(0)，H"(1)=f"(1)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：作2次插值多项式p(x)，满足p(0)=f(0) p(1)=f(1)，P"(0)=f"(0)，则p(x)=f(0)+f[0,0]x+y[0，0，1]x 2．列表求差商：可得p(x)=x+(e-1)x 2．由插值条件易知H(x)=p(x)+Ax 2 (x-1)，其中A为待定系数．由条件H"(1)=f"(1)得2(e-1)+4A=3e，求得A= 所以H(X)=x+(e-1)x 2x 2 ()解析：6.求a，b（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 1dx=2，(φ0，φ1)=∫-11 x 2，(φ1，φ0)=∫ -11 x 2)解析：7.试用Simpson4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由复化Simpson公式得S 1(f)= [f(1)+4f(1．5)+f(2)]= (e -1+4e -1.52+e -22)=0．13463，S 2(f)= [f(1)+4f(1．25)+2f(1．5)+4f(1．75)+f(2)]=0．13521，因为｜S 2 (f)-S 1 (f)｜=0．38675×10)解析：8.给定常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，x i=a+ih，i=0，1，2，…，n；y i≈y(xi )，1≤i≤n，y 0 =η．求常数A，B，使数值求解公式y i+1 =y i十h[A，(x i+1 ,y i+1f(x i，y i )+Bf(x i-1 ,y i-1 )]，1≤i≤n-1的阶数尽可能高，并求出公式的阶数和局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解公式的局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-Ahf(x i+1，y(x i+1 ))-hy(x i，y(x i ))-Bhf(x i-1，y(x i-1 ))=y(x i+1 )-y(x i )-Ahy"(x i+1hy"(x )解析：。

实验报告哈尔滨工程大学教务处制实验三 数值积分一．数值积分的基本思想1.复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h2∑-=11)](n k xk f ；2.复合辛普森公式：Sn=6h[f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1)2/1(n k x f ]；以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh,x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。

3.龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式（1）Sn=34T2n-31Tn（2）Cn=1516S2n-151Sn（3）Rn=6364C2n-631Cn4T)(k m=144-m m T )1(1+-k m - 141-mT )(1k m -，k = 1，2，… 二.实验题目及实验目的(第4章计算实习题第1题)用不同数值方法计算积分xdx x ln 1⎰= -94。

（1）取不同的步长h 。

分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。

（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到104-。

三．实验手段：指操作环境和平台:win7系统下MATLAB R2009a程序语言：一种类似C 语言的程序语言，但比C 语言要宽松得多，非常方便。

四.程序①复合梯形求积程序function t=TiXing_quad(a,b,.h) format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);y(1)=0;t=0;for k=1:(b-a)/h,t= t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;②复合辛普森求积程序function s=Simpson_quad(a,b,h) format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;for k=1:(b-a)/h,s= s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;③龙贝格求积程序function [q,R]=Romberg(a,b,eps) h=b-a;R(1,1)=h*(0+sqrt(b).*log(b))/2; M=1;J=0;err=1;while err>epsJ=J+1;h=h/2;S=0;for p=1:Mx=a+h*(2*p-1);S=S+sqrt(x).*log(x);endR(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S;M=2*M;for k=1:JR(J+1,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k))/(4^k-1);enderr=abs(R(J+1,J)-R(J+1,J+1));endq=R(J+1,J+1);控制台输入代码：（1）>> a=0;>> b=1;>> h=0.1;>> t=TiXing_quad(a,b,h)>> s=Simpson_quad(a,b,h)>> h=0.01;>> t=TiXing_quad(a,b,h)>> s=Simpson_quad(a,b,h)>> h=0.001;>> t=TiXing_quad(a,b,h)>> s=Simpson_quad(a,b,h)（2）>> a=0;>> b=1;>> eps=10^-8;>> [quad,R]=Romberg(a,b,eps)（3）>> a=0;>> b=1;>> eps=10^-4;>> q=ZiShiYingSimpson('sqrt(x).*log(x)',a,b,eps) 五．实验结果比较与分析（1）h = 0.1时h = 0.01时h = 0.001时由结果（1）可知对于同一步长h，复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即h越小时，积分精度越高。

哈尔滨工业大学数值分析历年试题(五套)第一套 1. 用函数()y f x =的函数表及2次插值多项式计算的近似值。

2. 今用复化梯形公式近似计算积分21x e dx ⎰，问为使误差不超过410-，应复化多少次？用线性多步法推导如下形式的微分方程数值求解公式11n n n ny ay by chy +-'=++，(,)n n n y f x y '=要求二阶方法 3. 证明迭代公式212(3)3i i i i x x a x x a++=+4. 用追赶求解线性方程组Ax b =5. 要求①用如下LU 分解11112222221111n nn nn p c a c p c b a c q c b a q p +⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭②求解y=b,L Ux y =第二套1.今用等距分段一次插值多项式计算3()f x x =，01x ≤≤，在0.1x =处的近似值（1） 问至少分段多少次时，用分段一次插值多项计算3()f x x =的近似值误差不超过0.02。

（2） 表明插值节点i x ，00,1,,(0,1)n in x x ===。

选取适当的两个节点构造一次插值多项式，并用它计算(0.1)f 的近似值。

2.今用复化梯形公式计算积分420x dx ⎰问复化多少次时，用这个公式计算其误差不超过1.（1） 用这个复化梯形公式计算积分420x dx ⎰的近似值。

3.证明迭代公式212(3)3i i i i x x a x x a++=+的三阶方法 4.用LU 分解法求下列三元一次方程组解31203x y z x y z x y z +-=--+=++=5.（1）用线性多步法方法确定下列形式的微分方程数值解公式1111011()3n n nn n hy y b y b y b y +--+-''''=+++ 要求是三阶方法（只要求列出关于系数的方程组） （2）分析微分方程数值解公式11111(4)3n n n n n hy a y y y y +-+-'''=+++的误差 6.分析两步法Euler 法112n n ny y hy +-'=+的稳定性 7.求二步法11111()(43)24n n n nn n hy y y y y y +-+-'''=++-+ 是截断误差首项，回答该法是几阶方法. 8.用赛代尔迭代法求解方程组3152x y x y -=-=要求（1）写出迭代公式 （2）取001,1x y == 求11?,?x y ==（3）求迭代矩阵B. 第三套1. 求满足的插值多项式()()(0,1,2)j j p x f x j ==及11()()p x f x ''=，22()()p x f x ''=余项表达式.2. 设012,,x x x 是插值节点，而012(),(),()l x l x l x 插值基函数，求230()?k k k x l x ==∑3. 推导矩形公式()()()()()224baa b f f x dx b a f b a ξ''+=-+-⎰4. 用复化高斯 勒让德表示下列积分2()f x dx ⎰要求：用二点高斯 勒让德公式并复化二次.5. 将x tgx =化为合适的迭代形式，并求 4.5x =（弧度）附近的根.要求：写出迭代公式并以0 4.5x =为初值求1?x =6. 设()0f x =有单根,()a x x ϕ=是()0f x =的等价方程，其中()()()x x m x f x ϕ=-，证明当[]1()()m a f a -'≠时迭代法：1()k k x x ϕ+=是一阶的，而[]1()()m a f a -'=时迭代法：1()k k x x ϕ+=至少是二阶的.7. 验证三阶龙格 库塔法111312131(3)4()(,)3322(,)33n n n n n n n n h y y k k k f x y h hk f x y k h k f x h y k +-⎧⎫=++⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎨⎬=++⎪⎪⎪⎪⎪⎪=++⎪⎪⎩⎭是三阶的. 第四套 一、 设()()n f x 在[,]a b 上连续，(1)()n f x +在(,)a b 内存在，节点01,()n n a x x x b L x ≤<<<≤是满足条件(),0,1,,,n j j L x y j n ==的插值多项式，则对任何[,]x a b ∈，插值余项n+10()()()()()(1)!n n n f R x f x L x x x x x n ξ=-=--+（）（）这里(,)a b ξ∈二、 求满足()()(0,1,2)j j p x f x j ==及11()()p x f x ''=的插值多项式及其余项表达式。

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哈尔滨工程大学在陕西地区录取分数线--文科专业类型平均分最高分最低分录取批次核工程与核技术611 639 -- 第一批电子信息工程600 605 -- 第一批工程力学591 594 -- 第一批电子商务584 584 -- 第一批建筑环境与设备工程588 589 -- 第一批飞行器动力工程595 595 -- 第一批热能与动力工程594 603 -- 第一批核化工与核燃料工程594 595 -- 第一批环境工程587 587 -- 第一批材料物理586 588 -- 第一批计算机科学与技术586 591 -- 第一批给水排水工程585 585 -- 第一批工业设计596 596 -- 第一批数学与应用数学588 588 -- 第一批通信工程591 599 -- 第一批测控技术与仪器591 597 -- 第一批信息安全591 593 -- 第一批自动化598 603 -- 第一批材料科学与工程591 592 -- 第一批信息对抗技术589 589 -- 第一批经济学类585 586 -- 第一批船舶与海洋工程623 629 -- 第一批港口航道与海岸工程602 610 -- 第一批飞行器设计与工程599 601 -- 第一批光电子材料与器件585 585 -- 第一批土木工程588 590 -- 第一批机械设计制造及其自动化593 602 -- 第一批电子科学与技术589 589 -- 第一批信息与计算科学584 584 -- 第一批电气工程及其自动化595 596 -- 第一批查看：2013陕西高考分数线哈尔滨工程大学录取分数线 2011陕西高考分数线专题:全国历年高考理科分数线汇总全国历年高考文科分数线汇总哈尔滨工程大学介绍：哈尔滨工程大学坐落于美丽的松花江畔——北国冰城哈尔滨市。