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教学过程一、考纲解读概率这一章的考查，文科减少了独立事件的概率，但理科对相互独立事件的概率求法依然是重点；文科主要是用列举法求随机时间所含的基本事件数及事件发生的概率，同时，重点掌握互斥事件概率的求法；几何概型主要以体积、面积、长度，特别是面积为主要考查对象，理科注意用积分求面积；二项式定理为理科必考；理科中注重离散型随机变量，均值，方差的考查.统计一章用样本估计总体中，会识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数）；重视茎叶图；线性回归方程要引起足够的重视（在现实生活中有广泛的应用）是考查的重点，不仅会求线性回归方程，还要会分析其特点（正相关、负相关、线性回归方程过样本点中心即样本平均数）概率二、复习预习概率计算是该部分的核心内容，概率统计的试题特别是综合解答题，一般离不开概率计算，概率计算主要问题是在分析事件的互斥性、对立性、相互独立性的基础上，选用合适的计算方法几何概型、统计案例是值得关注的考点该部分在高考中一般是1到2个小题和一个解答题，分值在17-22分。
小题重在考查概率统计的基础知识和方法，解答题重在综合性地考查概率统计知识的综合运用。
三、知识讲解考点1 概率（1）事件与概率①了解频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.（4）离散型随机变量及分布列①分布列及期望方差②二项分布③超几何分布（5）正态分布考点2 统计（1）随机抽样:①理解随机抽样的必要性和重要性.②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）.③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性:①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.四、例题精析例1 [2014全国2卷]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45【规范解答】已知某天的空气质量为优良，设随后一天的空气质量也优良的概率是p ， 根据题意有0.6＝0.75p ，解得p ＝0.8， 故选A【总结与反思】 考查相互独立事件同时发生的概率的乘法公式例2 [2014湖北卷]由不等式0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式1,2x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 【规范解答】依题意，不等式组表示的平面区域如图： 由几何概型公式知，该点落在2Ω内的概率为112211722=18222P ⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯，故选D 。
概率统计（文）【考纲解读】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式．3.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义．5.理解随机抽样的必要性和重要性;会及简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.6.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.7.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差).8.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样体估计总体的思想.9.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题.10.会作两个有关联变量数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系;了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.11．了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用;了解回归的基本思想、方法及其简单应用．【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查古典概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、茎叶图的求解.2.预计在2018年高考中，概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.【要点梳理】1.随机事件的概率：（1）随机事件；（2）频率；（3）概率；（4）互斥事件的概率加法公式：()()()P A B P A P B ⋃=+,若A 与B 为对立事件,则()()1P A P B +=.2.古典概型:求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A 包含的基本事件个数;代入公式,求出()P A .3.几何概型:(1)理解几何概型与古典概型的区别;(2)几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比.4.三种抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，正确区分这三种抽样.5.用样本估计总体:(1)在频率分布直方图中,各小矩形的面积表示相应的频率;各个小矩形的面积之和为1;(2)理解众数、中位数及平均数；（3）会求一组数据的平均数、方差、标准差.6.变量间的相关关系,会求回归直线方程. 【考点在线】 考点一 古典概型例1. (2018年高考北京卷文科3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ） （A ）45 (B)35 （C ）25(D)15【答案】 D【解析】分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b a >的有3种，故所求事件的概率为31155P ==. 【名师点睛】本题考查古典概型的概率问题，求解此类问题要求能够准确的确定基本事件空间的基本事件个数，和所求事件所含的基本事件个数.【备考提示】：古典概型是高考考查的重点内容之一,必须熟练掌握.练习1: （2018年高考海南卷文科6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34【答案】A【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为13,选A. 考点二 几何概型例2.（2018年高考福建卷文科7)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）A ．14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】C【解析】这是一几何概型,所求概率为1122AB ADAB AD ⋅⋅=⋅,故选C.【名师点睛】本小题考查几何概型的求法。
专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明第四讲 算法、复数、推理与证明高考导航1．对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义．2．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解．3．对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和概括能力.1．(2017·全国卷Ⅱ)＝( )3＋i1＋i A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i [解析] ＝＝＝2－i.故选D.3＋i1＋i (3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )4－2i2[答案] D2．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ；1z p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝2；z－ p 4：若复数z ∈R ，则∈R .z－ 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由＝＝1z 1a ＋b i ∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题a －b ia 2＋b 2p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝2，z－ 故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.z－ [答案] B3．(2017·天津卷)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A．0 B．1C．2 D．3[解析] 执行程序框图，输入N的值为24时，24能被3整除，执行是，N＝8,8≤3不成立，继续执行循环体；8不能被3整除，执行否，N＝7,7≤3不成立，继续执行循环体；7不能被3整除，执行否，N＝6,6≤3不成立，继续执行循环体；6能被3整除，执行是，N＝2,2≤3成立，退出循环，输出N的值为2，故选C.[答案] C4．(2017·全国卷Ⅰ)下面程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2[解析] 本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n＝n＋2，故选D.[答案] D5．(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在第一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．[解析] 设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1.(2)由题意知p i ＝＝，i ＝1,2,3.2yi2xi yixi 的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率．yixi 比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．[答案] (1)p 1 (2)p2考点一 复数的概念与运算1．复数的除法复数的除法一般是先将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，＝i ，＝－i ；1＋i 1－i 1－i1＋i (2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ；(3)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( )A. B. 1222C.D ．22[解析] 解法一：∵(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝＝＝2i1＋i 2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i.2(1＋i )2∴|z |＝＝.12＋122解法二：∵(1＋i)z ＝2i ，∴|1＋i|·|z |＝|2i|，·|z |＝2，∴|z |＝.12＋122[答案] C2．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴Error!∴a <－1，故选B.[答案] B3．(2017·山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋i ，z ·3＝4，则a ＝( )z－ A ．1或－1 B.或－77C ．－D.33[解析] ∵z ＝a ＋i ，∴＝a －i ，又∵z ·＝4，∴(a ＋i)3z － 3z－ 3(a －i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.3[答案] A4．(2017·西安模拟)若z ＝(a －)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，2则＝( )a ＋i71＋a i A ．i B ．1 C ．－iD ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴Error!∴a ＝，2∴＝＝＝＝－i.a ＋i71＋ai 2－i1＋2i (2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )－3i3[答案] C 复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二 程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3C．4 D．5[解析] 由程序框图可得S＝0，a＝－1，K＝1≤6；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2≤6；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3≤6；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4≤6；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5≤6；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6≤6；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7>6，退出循环，输出S ＝3.故选B.[答案] B2．(2017·西安八校联考)如图给出的是计算＋＋＋…＋＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的1214161201412016是( )A ．i ≤2014?B ．i ≤2016?C ．i ≤2018?D ．i ≤2020?[解析] 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋，i ＝4；…；S ＝0＋＋＋…＋＋，i 1212141201412016＝2018，输出的S ＝＋＋＋…＋＋，所以题中的判断框1214161201412016内应填入的是“i ≤2016？”，选B.[答案] B3．(2017·江西南昌三模)263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为( )(参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)3A ．12 B ．24 C ．36D ．48[解析] 执行程序框图，可得n ＝6，S ＝3sin60°＝≈2.598，332不满足条件S ≥3.10，继续循环；n ＝12，S ＝6×sin30°＝3，不满足条件S ≥3.10，继续循环；n ＝24，S ＝12×sin15°≈3.1056，满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24.故选B.[答案] B 求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i<n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三 推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察概括、推广猜测一般性结论―→―→2．类比推理的思维过程实验、观察联想、类推猜测新的结论―→―→[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析] 由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.[答案] D2．(2017·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝，通过类比的方法，|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5C.D ．352175[解析] 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝，则所求距离d ＝＝5，|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22故选B.[答案] B3．(2017·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝ 23，3＝，4＝ ，5＝，…，则按照以上规2233833841544155245524律，若9 ＝具有“穿墙术”，则n ＝( )9n 99n A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由2 ＝ ，3 ＝，4 ＝，5 ＝23223383384154415524，…，5524可得若9 ＝ 具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80，故选D.9n 99n [答案] D 合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．热点课题24 数学归纳法[感悟体验] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－，数列{b n }满足4an ＋3b n ＝(n ∈N *)．1an ＋1(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<7.1b 211b 21b 2n [解] (1)由a 1＝1，得b 1＝；12由a 1＝1，得a 2＝0，b 2＝1；由a 2＝0，得a 3＝－，b 3＝；1332由a 3＝－，得a 4＝－，b 4＝2，1312由此猜想b n ＝.n2下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，b 1＝符合通项公式b n ＝；12n2②假设当n ＝k 时猜想成立，即b k ＝＝，a k ＝－1，1ak ＋1k22k 那么当n ＝k ＋1时a k ＋1＝＝＝，ak －1ak ＋32k－1－12k －1＋31－k1＋k b k ＋1＝＝＝，1ak ＋1＋111－k1＋k＋1k ＋12即n ＝k ＋1时猜想也能成立，综合①②可知，对任意的n ∈N *都有b n ＝.n2(2)证明：当n ＝1时，左边＝＝4<7不等式成立；1b 21当n ＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5<7不等式成立；1b 211b 2当n ≥3时，＝<＝4，1b 2n 4n 24n (n －1)(1n －1－1n )左边＝＋＋…＋<4＋1＋4＝5＋41b 211b 21b 2n (12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝7－<7，不等式成立．(12－1n )4n。
专题六概率与统计、复数、算法一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：05856093)(2018·黑河摸底考试)复数3－2i2i的共轭复数在复平面内的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(导学号：05856094)(2017·佳木斯摸底考试)一个班有50名学生，随机编为1～50号，为了解他们在课外的兴趣爱好，运用系统抽样法选出5名学生进行问卷调查，若有3名学生编号为6,26,36，则另2名学生编号分别为() A．16,48 B．18,48 C．18,46 D．16,463．(导学号：05856095)已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程y^＝＝b^x＋a^必过点()A.(2,2) B．(1,2) C4．(导学号：05856096)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13 B.12 C.23 D.565．(导学号：05856098)(2017·巴中质检)某学校从高三甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x＋y的值为() A．6 B．7 C．8 D．96．(导学号：05856099)(2017·遵义联考)在2015年全国大学生运动会中，某主办校从含A的6名大学生中选配2名学生参加比赛，则学生A不被选配参加比赛的概率为()A.16 B.13 C.12 D.237．(导学号：05856100)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均气温高于20℃的月份有5个8．(导学号：05856101)如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为()A．20 B．25 C．22.5 D．22.759．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f(x)＝x2＋2ax＋2有两个不同零点的概率为()A.13 B.12 C.23 D.5610．(导学号：05856102)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛11．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为()A.15 B.25 C.35 D.45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i20171＋i，则复数z在复平面内对应的点为__________．13．高三(2)班在一次数学考试中，对甲、乙两组各12名同学的成绩进行统计分析，两组成绩的茎叶图如图所示，成绩不少于90分为及格，现从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样本，则不及格分数应抽________个．414．任意实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于79的概率是__________．15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}，则|a－b|≤1的概率为__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．( (本小题满分10分))某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．18 (本小题满分12分))某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：(1)(2)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与数学成绩有关系？参考数据：k2＝(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)19.(导学号：05856109)(本小题满分12分)公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.(导学号：05856110)(本小题满分12分)(2017·定西联考)已知直线l1：3x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}．(1)求直线l1∩l2≠∅的概率；(2)求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．21.(导学号：05856111)(本小题满分12分)为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b^＝∑i ＝1n (x 1－x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1n(x i y i )－n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b^x22. (本小题满分12分))高三理科某班有男同学30名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建一个6人的课外兴趣小组．(1)求课外兴趣小组中男、女同学各应抽取的人数；(2)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为1.6、2、1.9、2.5、2，第二次做实验的同学得到的实验数据是2.1、1.8、1.9、2、2.2，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．专题六 概率与统计、复数、算法1．B 3－2i 2i ＝(3－2i )×(－i )2i ×(－i )＝－2－3i 2＝－1－32i.其共轭复数为－1＋32i ，对应点在第二象限．2．D 系统抽样抽取过程被抽的样本间隔是一样的． 3．C 回归方程必过点(x ，y )，∵x ＝0＋1＋2＋34＝32，y ＝1＋2＋4＋54＝3，∴回归方程过点(1.5,3)．4．C 将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，故选C.5．C 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S ＞0.01； 运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S ＞0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.0625，n ＝3，S ＞0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.0625＝0.0625，m ＝0.03125，n ＝4，S ＞0.01； 运行第五次：S ＝0.03125，m ＝0.015625，n ＝5，S ＞0.01； 运行第六次：S ＝0.015625，m ＝0.0078125，n ＝6，S ＞0.01； 运行第七次：S ＝0.0078125，m ＝0.00390625，n ＝7，S ＜0.01. 输出n ＝7.故选C. 6．D7．D 设6名学生分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，则选配2名的不同选法为(AB )，(AC )，(AD )，(AE )，(AF )，(BC )，(BD )，(BE )，(BF )，(CD )，(CE )，(CF )，(DE )，(DF )，(EF )共计15种，而某学生A 不被选配参加比赛的共10种，所以某学生A 不被选配参加比赛的概率1015＝23.8．D 由图可知0℃均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5℃，而一月的平均温差小于7.5℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5℃，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个，所以不正确．故选D.9．C 中位数的两侧频率相等，第一组的频率是0.1，第二组的频率是0.2，第三组的频率是0.4，所以设中位数是20＋x,0.08x ＝0.2，解得x ＝2.5，所以中位数是22.5故选C.10．D 抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2有两个不同零点，得Δ＝4a 2－8＞0，解得a ＜－2或a ＞ 2.又a 为正整数，故a 的取值有2,3,4,5,6，共5种结果，所以函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2有两个不同零点的概率为56，故选D.11．B 将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺序排，分别是3,6,7,10，(1,5并列)，4，其中3,6,7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛的名单为3,6,7,10,9，还需3个编号为1－8的同学进决赛，而(1,5)与4的成绩仅相隔1，故只能1,5,4进30秒跳绳的决赛，故选B.12．B 1个红球，2个白球和3个黑球记为a 1，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3，从袋中任取两球有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，结果共15种，其中满足两球颜色为一白一黑有6种，所以一黑一白的概率等于615＝25.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 ∵i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝1＋i －1－i ＝0， ∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20171＋i＝i1＋i＝i (1－i )2 ＝1＋i 2＝12＋12i ，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，所以答案应填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.14．3 从茎叶图可知及格分数与不及格分数各占一半，所以不及格分数应抽3个．15.34 由程序框图可知，当n ＝1时，满足执行循环的条件，x ＝2x ＋1；n ＝2；满足执行循环的条件，x ＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3；n ＝3；满足执行循环的条件，x ＝2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7；n ＝4，不满足循环的条件，所以输出8x ＋7，令8x ＋7≥79可得x ≥9，又因为输入x ∈[2,30]，所以输出的x 不小于79的概率为P ＝30－930－2＝34. 16．0.28 当a 为0时，b 只能取0,1两个数；当a 为9时，b 只能取8,9两个数；当a 取其他数时，b 都可以取3个数，故共有28种情形．又总事件数为100，所以所求的概率为P ＝28100＝0.28.17．(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 [0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.5分(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)10分 18．(1)6分(2)根据列联表中的数据，得到k ＝90×(35×25－13×17)248×42×52×38≈9.66＞7.879，则说明在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为新课改与数学成绩有关系．19．(1)当x ≤19，y ＝3800；当x ＞19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700， ∴y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧3800， x ≤19，500x －5700， x ＞19，(x ∈N ).4分(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46， 不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.8分 (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800， 20台的费用为4300,10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为： 1100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4000×90＋4500×10)＝4050比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.12分 20．(1)直线l 1的斜率k 1＝32，直线l 2的斜率k 2＝ab .设事件A 为“直线l 1∩l 2≠∅”．a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)共36种．若l 1∩l 2＝∅，则l 1∥l 2，即k 1＝k 2，即2a ＝3b ，满足条件的实数对(a ，b )有(3,2)，(6,4)共两种情形．∴P (A )＝1－236＝1718，则直线l 1∩l 2≠∅的概率为1718.6分(2)设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第一象限”，由于直线l 1与l 2有交点，则2a ≠3b .联立方程组⎩⎨⎧3x －2y －1＝0，ax －by ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ＋23b －2a ，y ＝a ＋33b －2a .∵直线l 1与l 2的交点位于第一象限，则⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ＋23b －2a ＞0，y ＝a ＋33b －2a ＞0，解得2a ＜3b .10分a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)共36种， 满足条件的实数对(a ，b )有24种， ∴P (B )＝2436＝23，∴直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率为23.12分21．(1)x ＝3，y ＝5，∑i ＝15x i ＝15，∑i ＝15y i ＝25，∑i ＝15x i y i ＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝55，解得：b ^＝－1.23，a ^＝8.69，∴y ^＝8.69－1.23x.6分 (2)年利润z ＝x(8.69－1.23x)－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ∴x ＝2.72时，年利润最大.12分22．(1)男生：3045×6＝4人；女生：1545×6＝2人.4分 (2)设“第1次选出男生，第2次选出女生为事件A ”， “第1次选出女生，第2次选出男生为事件B ”，则列举P(A)＝415，P(B)＝415， ∴P ＝415＋415＝815.答：恰有一名女生的概率是815.9分 (3)X 1＝1.6＋2＋1.9＋2.5＋25＝2；X 2＝2.1＋1.8＋1.9＋2＋2.25＝2.∵S 21＝0.084，S 22＝0.02，∴S 21＞S 22，∴第二次做实验的同学更稳定.12分。
第二讲统计与统计案例[考情分析］统计部分在选择、填空题中的命题热点有随机抽样、用样本估计总体以及变量的相关性，难度较低.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅰ卷样本的数字特征·T2样本的数字特征的综合应用·T19Ⅱ卷频率分布直方图与独立性检验·T19Ⅲ卷折线图的应用·T32016Ⅲ卷统计图表的应用·T4回归分析及应用·T182015Ⅰ卷回归分析及应用·T19Ⅱ卷条形图、两变量间的相关性·T3[真题自检］1．（2017·高考全国卷Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1,x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ）A．x1，x2,…,x n的平均数B．x1,x2，…,x n的标准差C．x1，x2，…,x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数解析：标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.答案：B2．（2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据,绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：由折线图可知，各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A。
答案：A3．（2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃。
下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确，故D错误．答案:D4．(2016·高考全国卷Ⅲ）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：错误!y i＝9.32，错误!t i y i＝40。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
《计数原理与概率》高考复习指导一、考试说明：1．考试内容（1）分类计数原理与分步计数原理，排列与组合．（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率．2．考试要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率．（4）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．（5）了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．二、高考试题分析排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容．一方面，这部分内容占用教学时数多达36课时，另一方面，这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识，因此，它是高考数学命题的重要内容．从近三年全国高考数学（新材）试题来看，主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力．试题特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是两小（9分～10分）一大（12分），解答题通常是概率问题．试题难度多为低中档．为了支持高中数学课程的改革，高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定．例1．（1999年全国）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_______种（用数字作答）．[解析]A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有一种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2(3＋2＋1)=12种不同的选垄方法．∴应填12.例2．（2018年新教材）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种（以数字作答）．[解析]将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊，3种作物依次看作A、B、C，则3种作物都可以种植在甲试验田里，由于相邻的试验田不能种植同一种作物，从而可知在乙试验田里只能有两种作物．同理，在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植．由分步计数原理，不同的种植方法共有3×2×2×2=48种．∴应填：48例3．（2018年全国高考题）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法有_______种．[解析]由于第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法，所以共有4×3×2=24种不同种法．下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，若第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法．综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．例4．（2018年春季考试题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为A 、42B 、30C 、20D 、12[解析]将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况：（1）两个新节目相邻的插法种数为226A ；（2）两个节目不相邻的插法种数为26A ；由分类计数原理共有2226642A A +=种方法，选A.例5．（2018重庆）（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
概率与统计随着概率统计在日常生活、社会生活及各学科领域中的广泛应用，为了使高中生能够具备基本的统计与概率的思想、方法和知识,在遇到有关问题时能自觉地运用所学知识和方法，适应社会的发展，概率统计在高考中日益受到重视。
考纲要求：⑴抽样：①会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。
⑵用样本估计总体：①会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。
②能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），会计算数据标准差，并作出合理的解释。
⑶变量的相关性：①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。
②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
⑷概率①了解概率的意义，了解两个互斥事件的概率加法公式。
②理解古典概型及其概率计算公式，会计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
③了解几何概型的意义。
③理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，能计算其均值和方差，并能解决一些实际问题。
④理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
⑤了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
⑥了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
⑸统计案例：了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。
近年广东高考概率与统计考点逐年扩散，综合程度提高。
从广东近几年的高考题结合其它新课标地区的高考题来看，概率统计问题主要以考查古典概型及统计知识（如频率分布直方图、样本平均值、方差）为主，理科考查离散型随机变量的分布列、数学期望及二项分布问题，文科考查用列举法求相应概率。
但其它知识与方法也有体现：如回归方程，2×2列连表，独立性检验的知识，但难度并不大。
所以对于这一章的复习，要注意覆盖面，不能随意删减。
题型一：古典概型与几何概型例1．设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 。
专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明第二讲 概率、随机变量及其分布列高考导航1．考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容．2．综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题.1．(2017·济南模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45[解析] 设“一天的空气质量为优良”为事件A ，“连续两天为优良”为事件AB ，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P (B |A )．由条件概率可知，P (B |A )＝＝P (AB )P (A )＝＝0.8，故选A.0.60.7545[答案] A2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部色和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. 14π8C.D.12π4[解析] 设正方形的边长为2，则正方形的内切圆半径为1，其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为，所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率P ＝π2＝，故选B.π22×2π8[答案] B3．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.[解析] 由题意知，X ～B (100,0.02)，∴D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96.[答案] 1.964．(2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )．[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝＝.C48C 510518(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝＝，C56C 510142P (X ＝1)＝＝，C46C14C 510521P (X ＝2)＝＝，C36C24C 5101021P (X ＝3)＝＝，C26C34C 510521P (X ＝4)＝＝.C16C44C 510142因此X 的分布列为X 01234P1425211021521142X 的数学期望是E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.5211021521142考点一 古典概型、几何概型、条件概率1．古典概型的概率公式P (A )＝＝.mn 事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数2．几何概型的概率公式P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )n (AB )n (A )[对点训练]1．(2017·山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. 51849.D.5979[解析] 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n ＝9×8＝72，抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m ＝C C A ＝40，所以所求概率P ＝＝＝.故选C.15142mn 407259[答案] C2．在区间上随机取一个数x ，则cosπx 的值介于与[－12，12]22之间的概率为( )32 A. B. 1314C.D.1516[解析] 区间的长度为1，满足cosπx 的值介于与之[－12，12]2232间的x ∈∪，区间长度为，由几何概型概率公式得(－14，－16)(16，14)16P ＝＝.16116[答案] D3．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为________．[解析] 解法一：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得P (AB )＝＝，P (A )＝＝，3×24×3123×34×334所以P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )123423解法二：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )＝3×2＝6种，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9，所以P (B |A )＝＝＝.n (AB )n (A )6923[答案] 234．(2017·郑州一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．[解析] 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝＝.4×85×845[答案] 45 解答几何概型、古典概型、条件概率的关键(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(4)求条件概率时，关键弄清在哪种条件下发生的概率，以便正确使用公式求解．【易错提醒】 在几何概型模型中，当问题中涉及两个变量时，可以考虑构造坐标平面上的区域解决．考点二 相互独立事件与独立重复试验概型特点概率求法相互独立事件同时发生事件互相独立P (AB )＝P (A )P (B )(A ，B 相互独立)独立重复试验一次试验重复n 次P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k (p 为发k n 生的概率)角度1：相互独立事件同时发生的概率问题[思维流程] (1)―→―→判断事件关系确定X 的取值―→利用公式计算X 各值概率求分布列与E (X )(2)―→―→分析事件特征求互斥事件概率问题求解[解] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝××＝，(1－12)(1－13)(1－14)14P (X ＝1)＝××＋××＋×12(1－13)(1－14)(1－12)13(1－14)(1－12)×＝.(1－13)141124P (X ＝2)＝××＋××＋××＝，(1－12)131412(1－13)141213(1－14)14P (X ＝3)＝××＝.121314124所以随机变量X 的分布列为X 0123P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＝.141124141241312(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝×＋×141124112414＝.1148所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.1148角度2：独立重复试验概率问题[思维流程] (1)―→―→判断事件关系判断概率类型利用公式求解(2)―→―→―→弄清X 的含义确定X 的取值符合二项分布特征利用公式求解[解] 记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，C 3均相互独立．则P (A i )＝＝，P (B i )＝＝，P (C i )＝＝，i ＝1,2,3，306012206013106016(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P 1＝A P (A 1B 2C 3)＝6×××＝.312131616(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P 2＝＝，30＋106023由X ～B ，(3，23)得P (X ＝k )＝C k3－k (k ＝0,1,2,3)，k 3(23)(1－23)∴X 的分布列为X 0123P1272949827∴X 的数学期望E (X )＝3×＝2.23 求复杂事件概率的2种方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．[对点训练]1．[角度1](2017·湖北黄冈模拟)已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止，方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率；(2)首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？[解] (1)方案乙中所需化验次数恰为2次有两种情况：①先化验一组，结果不含病毒DNA ，再从另一组任取一个进行化验，则恰含有病毒的概率为×＝.C35C361C1316②先化验一组，结果含有病毒DNA ，再从中逐个化验．恰第一个样品含有病毒的概率为×＝.C25C361C1316∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为＋＝.161613(3)设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能取值为1,2,3,4,5，对应的化验费为η元．则P (ξ＝1)＝P (η＝10)＝.16P (ξ＝2)＝P (η＝18)＝×＝.561516P (ξ＝3)＝P (η＝24)＝××＝.56451416P (ξ＝4)＝P (η＝30)＝×××＝.5645341316P (ξ＝5)＝P (η＝36)＝×××＝.5645342313∴η的分布列为η1018243036P1616161613用方案甲平均需要化验费E (η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．16161616137732．[角度2](2017·湖北省七市(州)高三联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人，记X 表示2人中进入决赛的人数，求X 的分布列及数学期望；(3)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．[解] (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴总人数为＝50.70.14由题图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2，∵进入决赛的概率为＝，∴X ～，36501825(2，1825)P (X ＝0)＝C ×2＝，02(725)49625P (X ＝1)＝C ××＝，127251825252625P (X ＝2)＝C ×2＝.2(1825)324625∴X 的分布列为X 012P 49625252625324625∴E (X )＝2×＝，即X 的数学期望为.182536253625(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足Error!设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示，∴由几何概型得P (A )＝＝，即甲比乙跳得远的概12×12×121×2116率为.116考点三 随机变量的分布列、均值与方差1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为实数)．2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例2】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．[思维流程] (1)―→判断概率类型利用古典概型公式求解(2)―→―→―→弄清x 含义确定x 取值利用古典概型求概率求分布列和E (ξ)(3)―→观察图形的离散程度确定结果[解] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.1550(2)由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C .所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝1)＝＝，C22C2416C12C12C2423P (ξ＝2)＝＝.C22C2416所以ξ的分布列为ξ012P 162316故ξ的期望E (ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.162316(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差． 求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．[对点训练] (2017·武汉二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率121838购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q(1)当p ＝时，求q 的值；14(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p 的取45值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝，q ＝，那么丙1216选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．[解] (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋＋q ＝1.13又因为p ＝，所以q ＝.14512(2)记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A ∪B ∪AB ，且A ，B 独立．B － A－由题表可知，P (A )＝，P (B )＝p .12所以P (C )＝P (A )＋P (B )＋P (AB )B － A－＝·(1－p )＋p ＋p 121212＝＋p .1212因为P (C )＝＋p >，121245所以p >.35又因为p ＋＋q ＝1，q ≥0，13所以p ≤.所以<p ≤.233523(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为X 40－2P121838则E (X )＝4×＋0×＋(－2)×＝.12183854假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y 的分布列为Y 20－1P121316则E (Y )＝2×＋0×＋(－1)×＝.12131656因为E (X )>E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．热点课题22 求离散型随机变量的分布列与均值[感悟体验] (2016·甘肃张掖一诊)近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米的空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．张掖市2015年10月1日至10日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．(1)在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；(2)某游客在此期间有2天在张掖市旅游，这2天张掖市的PM2.5监测数据均未超标，请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3)从所给10天的数据中任意抽取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．[解] (1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，P(A)＝＝.2＋41035(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P(B)＝＝.C12·C14C26815(3)ξ的可能值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)C36C31016C26·C14C31012＝＝，P(ξ＝3)＝＝.C16·C24C310310C34C310130其分布列为ξ0123P1612310130E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.161231013065。
专题验收评估(六) 复数、计数原理、概率、随机变量及其分布(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3 i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1 B. 7或－7C．－3 D. 3解析：选A法一：由题意可知z＝a－3i，∴z·z＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.法二：z·z＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.2．甲、乙等4人在微信群中每人抢到1个红包，金额为3个1元，1个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为()1 1 1 3A. B. C. D.4 2 3 4解析：选B甲、乙等4人在微信群中每人抢到1个红包，金额为3个1元，1个5元，基本事件总数为4，甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件有：甲、乙的红包金额分别为(1,5)，(5,1)，2 1所以甲、乙的红包金额不相等的概率为P＝＝.4 21 33．若z＝＋i，且(x－z)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a2＝()2 21 3A．－＋i B．－3＋3 3i2 2C．6＋3 3i D．－3－3 3i1 3( 2＝－3＋3解析：选B∵T－i)－2 23i.z14．(2017·成都模拟)若复数z1＝a＋i(a∈R)，z2＝1－i，且为纯虚数，则z1在复平面z2内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限z1 a＋i a＋i1＋i a－1＋1＋a i解析：选A＝＝＝为纯虚数，则a＝1，z2 1－i 2 2所以z1＝1＋i，z1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.5．(2017·山西临汾二中模拟)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所- 1 -学校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有()A．90种B．180种C．270种D．540种C26C24C2解析：选D法一：先把6名护士平均分成3组，有种分法，再把每组护士配1名A3C26C24C2 C26C24C2医生，有 A 种分法，然后分别分配到3所学校，有 A A ＝540种分法，选D.3 3 33 3A A法二：设3所学校分别为甲、乙、丙，先由学校甲挑选，有C13C26种选法，再由学校乙挑选，有C12C24种选法，余下的到学校丙，只有1种选法，于是不同的分配方法共有C13C26C12C24＝540 种．6．(2017·云南昆明模拟)(1＋2x)3(2－x)4的展开式中x的系数是()A．96 B．64C．32 D．16解析：选B(1＋2x)3的展开式的通项公式为T r＋1＝C r3(2x)r＝2r C r3x r，(2－x)4的展开式的通项公式为T k＋1＝C k424－k(－x)k＝(－1)k24－k C k4x k，所以(1＋2x)3(2－x)4的展开式中x的系数为20C03×(－1)×23C14＋2C13×(－1)0×24C04＝64，故选B.7．(2018届高三·宁波九校期末联考)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则E(ξ)＝() A．0.45 B．0.5C．0.55 D．0.6C1C24 3 C1C23 3 解析：选B由题意可得ξ＝0,1,2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝C35 5 C35101 12)＝＝.可得ξ的分布列如下：C3510ξ0 1 2P 353101103 3 1 1∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.故选B.5 10 10 228．(2017·广东汕头模拟)将二项式( 6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不x＋x)相邻的概率是()2 1A. B.7 358 7C. D.35 24- 2 -26- 解析：选 A由二项展开式的通项 T r ＋1＝C x 6－rr ＝2r C xrr 6x)3 2 r可知，当 r ＝0,2,4,6 2时，T r ＋1为有理项，则二项式(x )6展开式中有 4项为有理项，3项为无理项．基本事件总x ＋A 4·A 35 2 数为 A 7，无理项互不相邻的排列有 A ·A 个．∴无理项互不相邻的概率是 P ＝ ＝ .故选4537A7A.9．(2017·河北张家口模拟)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为 x ， 第二次向上的点数记为 y ，在平面直角坐标系 xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线 2x －y ＝1 上的概率为( )11 A. B. 12 9 5 1 C. D. 366解 析：选 A ∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有 6×6＝36(种)结果，满足条 件的事件是以(x ，y )为坐标的点落在直线 2x －y ＝1上，即 x ＝1，y ＝1或 x ＝2，y ＝3或 x ＝ 3，y ＝5，共有 3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以(x ，y )为坐标的点落在直线 2x － 3 1y ＝1上的概率 P ＝ ＝ .故选 A. 36 1210．一个盒子里装有 6张卡片，上面分别写着 6个定义域为 R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数 ξ 的 数学期望为( )75 A. B. 4 4 77 C ．2D. 40解析：选 A ∵6个定义域为 R 的函数 f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2中偶函数有 f 2(x )＝x 2，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2，共 3个，∴ξ 的可3 1 3 3 3 3 2 3 3 能取值为 1,2,3,4，P (ξ＝1)＝ ＝ ，P (ξ＝2)＝ × ＝ ，P (ξ＝3)＝ × × ＝ ，P (ξ＝ 6 2 6 5 10 6 54 20 3 2 1 3 14)＝ × × × ＝ ，∴ξ 的分布列为 6 5 4 3 20ξ1 2 3 4P123 103 201 201 3 3 1 7 E (ξ)＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .故选 A.2 10 20 20 4- 3 -二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)－11．(2017·杭州六校联考)复数z在复平面内的对应点是(1，－1)，则z＝________，z(23＋i－i)＋＝________.－z－3＋i 3＋i解析：∵z＝1－i，∴z＝1＋i，z(2－i)＋＝(1－i)(2－i)＋＝1－3i＋2－i＝3－1＋iz－4i.答案：1＋i3－4i112．(2017·浙东北三校联考)(ax2＋6(a<0)展开式的常数项为15，则实数a＝________，x)其中二项式系数最大的项为________．1解析：T r＋1＝C r6( r·(ax2)6－r＝a6－r C x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.∴a2C ＝15，x ) r解得a＝－1(a＝1舍去)．∴二项式系数最大的项为T4＝－C36x3＝－20x3.答案：－1－20x313．(2018届高三·温州九校联考)将四位同学等可能的分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是________，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则E(ξ)＝________.24 65解析：由题意，四位学生中至少有一位选择甲班级的概率为1－＝；随机变量ξ＝34 8124 16 4 × 23 32 C24× 22 80,1,2,3,4，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝34 81 34 81 34 27C34× 2 8 13)＝＝，P(ξ＝4)＝，ξ的分布列为34 81 81ξ0 1 2 3 4P 1681328182788118132 8 8 1 4所以E(ξ)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝.81 27 81 81 365 4答案：81 314．袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小、质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这3个球中恰有2个黑球和1个白球的方法总数是________．设摸取的这3个球中所含的黑球数为X，则P(X＝k)取最大值时，k的值为________．- 4 -解析：因为从 6个黑球中摸出 2个黑球有 C 26种方法，从 3个白球中摸出 1个白球有 C 13种 方法，所以摸出的 3个球中恰有 2个黑球和 1个白球的方法数是 C 26C 13＝15×3＝45；设摸出的 3C 3 C 16C 23 个球中所含的黑球数为 X ，则 X ＝0,1,2,3.所以 P (X ＝0)＝ ＝ ，P (X ＝1)＝ ＝ ，P (X ＝C 39 84 C 39 841 18C 26C 13 45 C 36 20 2)＝ ＝ ，P (X ＝3)＝ ＝ ，即 P (X ＝2)最大．C 39 84 C 39 84 答案：45 215．(2017·四川成都七中模拟)设 l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能的取－2 5 52，－ 3，－ ，0， ，3，2 2，用 ξ 表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量 ξ 的数学期望2 2E (ξ)＝________.解析：设直线 l 的方程为 kx －y ＋1＝0，1则原点到 l 的距离 ξ＝，k 2＋11 12 将题中所述 l 的斜率代入，可得 ξ 的可能取值为 ，，，1.3 2 312则 P (ξ＝3)＝P (k ＝－2 2)＋P (k ＝2 2)＝ ；712 P (ξ＝2)＝P (k ＝－ 3)＋P (k ＝ 3)＝ ；7255 2P(＝P＋P k ＝＝ ； ξ＝3) (k ＝－ 2) ( 2)71 P (ξ＝1)＝P (k ＝0)＝ .7 则随机变量 ξ 的分布列如下， ξ1 3 12 23 1P 2 7 2 7 2 7 1 71 2 1 2 2 2 1 4 则随机变量 ξ 的数学期望 E (ξ)＝ × ＋ × ＋ × ＋1× ＝ . 3 7 2 7 3 7 7 74 答案： 716．(2018届高三·安徽阶段联考)国庆节放假，2个三口之家结伴乘火车外出，每人均实 名购票，上车后随意坐所购票的 6个座位，则恰好有 2人是对号入座(座位号与自己车票相符) 的坐法有________种．(用具体数字作答)解析：根据题意，6人中恰好有 2人是对号入座，需要在 6个人中任取 2人，使他们的座位号与自己车票相符，有C26＝15(种)坐法，另外的4人不是对号入座，假设这4人为A，B，C，D.其座位号与自己车票都不相符的坐法有：- 5 -BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA，共9种坐法，故6人中恰好有2人是对号入座的坐法有15×9＝135(种)．答案：13517．(2017·上海虹口模拟)设函数f(x)＝Error!则当x≤－1时，f(f(x))表达式的展开式中含x2项的系数是________．解析：由函数f(x)＝Error!当x≤－1时，f(x)＝－2x－1，此时f(x)min＝f(－1)＝2－1＝1，∴f(f(x))＝(－2x－1)6＝(1＋2x)6，∴T r＋1＝C r62r x r，当r＝2时，系数为C26×22＝60.答案：60三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)(2017·广东佛山一中模拟)有6名同学，求下列情况下的分配方法数：(1)分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；(2)分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；(3)分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人．解：(1)分三步完成：第一步，从6名同学中选3人到数学组，有C36种方法；第二步，从剩下的3人中选2人到物理组，有C23种方法；第三步，剩下的1人到化学组，有1种方法．于是，共有C36C23＝60种分配方法．(2)分三步完成：第一步，从6名同学中选2人到数学组，有C26种方法；第二步，从剩下的4人中选2人到物理组，有C24种方法；第三步，剩下的2人到化学组，有1种方法．于是，共有C26C24＝90种分配方法．(3)分两大步骤：第一步，将6人分成三组，其人数分别为3,2,1；第二步，将这三组人分到数学、物理、化学这三个组．第一步分三组的步骤：从6名同学中选3人，有C36种方法，从剩下的3人中选2人，有C 2种方法，于是，共有C C ＝60种方法．第二步，分给数学、物理、化学这三组共有A3＝6种方法．于是，共有60×6＝360种不同的分配方法．119．(本小题满分15分)(2017·河北衡水中学模拟)已知( 4 x)n的展开式中，前三项x＋2的系数成等差数列．(1)求展开式中的有理项；- 6 -(2)求展开式中系数最大的项．1 1 1 1解：由二项展开式知，前三项的系数分别为C0n，C ，C ，由已知得2× C ＝C ＋C ，解1n2n 1 n22 4 2 4得n＝8(n＝1舍去)．1 1 r r3r(1) (8的展开式的通项T r＋1＝C ( )8－r r＝2－r C x4－－＝2－r C x4－(rx＋4 x ) r 4 x) r r882 2 2 4 4＝0,1，…，8)，3r35 要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，4 81T9＝.256x2(2)设第r＋1项的系数为a r＋1，则a r＋1＝2－r C r8，a r＋1 2－r C r8a r＋1 2－r C r8则＝≥1，＝≥1，解得2≤r≤3.a r2－r－1C r－81a r＋2 2－r＋1C r＋81当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最5 7大，故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.2 420．(本小题满分15分)(2017·山东烟台二中模拟)现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．解：从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，总的基本事件有：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，共12 种．(1)记“C1被选中”为事件M，事件M包含的基本事件有：(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，共6种．6 1所以P(M)＝＝.12 21因而C1被选中的概率为.2－(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“A1，B1全被选中”，－由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，- 7 -－－ 2 1所以事件N由两个基本事件组成，所以P(N)＝＝，12 6由对立事件的概率公式，得－ 1 5P(N)＝1－P(N)＝1－＝.6 65故A1和B1不全被选中的概率为.621．(本题满分15分)(2017·山东聊城模拟)以“赏中华诗词、寻文化基因，品生活之美”为基本宗旨的《中国诗词大会》，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主．在某场比赛3 5中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率为，乙答对的概率为，每道题4 121 目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为，各题答题情况互不影响．2(1)求抢答一道题目，甲得1分的概率；(2)现在前5题已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解：(1)设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生的情况有甲抢到答题权1 3 1 5 2后答对或乙抢到答题权后答错．∴P(A)＝×＋×12)＝.2 (1－2 4 32 1(2)在接下来的比赛中，甲的得分ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝( 3 )2＝，P(ξ1－92 2 2 4 2 2 4 1 ＝1)＝C12·××3 )＝，P(ξ＝2)＝C ·2×2＝，P(ξ＝3)＝1－3 (1－3 )( 3 ) ( 3 )1－1－227 27 94 4 16－－＝.27 27 27∴ξ的概率分布列如下：ξ0 1 2 3P 1942742716271 4 4 16 20E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.9 27 27 27 922．(本题满分15分)(2017·广东中山实验高中模拟)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝，乙的命中率为P2，在射击活动中，每人射击两发子弹完成一次检测，在一3次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．- 8 -(1)若 P 2＝ ，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；2(2)计划在 2018年每月进行 1次检测，设这 12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次 数为 ξ，如果 E (ξ)≥5，求 P 2的取值范围．解：(1)设该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”为事件 A ，21 1 1 11 1 则 P (A )＝(＋＝ . C 12 × × C 2 × ×3223 ×2)3)(C 12 × 2) (C ×× )((2)该小组在 1次检测中荣获“先进和谐组”的概率212 284P ＝([C ×P 2×(1－P 2)]＋C × ×＝ P 2－ P ，C 12 × 22× 3)213(C 2 × P 2)3 39 9由题意可知，12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数 ξ 服从二项分布 ξ～B (12，P )，84于是 E (ξ)＝12P ，即 E (ξ)＝12(，P 2－P 2)9 9843由 E (ξ)≥5，P 2≤1 知，12(P 2－≥5⇒ ≤P 2≤1.P 2)994- 9 -。
