2019届高三文科数学专题复习测试2

学长文综高考高分经验浅谈又是一年高考时，回首自己高三那一年痛并快乐着的每一天，繁忙而充实的生活总是让今天的自己感到十分的怀念。

如果说高考是一场旷日持久的马拉松比赛的话，那么始终如同箭在弦上，精神高度紧张的状态是不可能也是不可取的，它会让我们的复习由于战线拉得过长而丧失后劲儿。

相反，任其发展，来日方长的过分乐观态度也会让你失去最佳的复习时机，最终感到后悔莫及。

因此，采用一定的战略、战术，让每一天都在自己的计划掌控之下，有条不紊地开展复习，是我高考成功的制胜法宝。

作为参加第一届文科综合高考的考生，我在高三一年的全面复习计划中所总结出的五个关键性步骤，对即将面临高考的你也许会有些许启发。

人们都说“好的开始是成功的一半”，在我看来，这种观点还是要辩证地看。

高二升高三的暑假是我们面对高考最雄心壮志的时候，每一个人身上似乎都有用不完的劲儿，再加上这句俗语的“蛊惑”，往往会让我们陷入妄图一蹴而就的误区。

从外界因素的角度看，一上高三，来自父母亲友的压力如同潮水一般从四面八方向你涌来。

在这个时候，真刀真枪的沙场比拼为时过早，我们所要做的是听来简单，实则关系全局的准备工作。

第一目标：强占战略要地。

可适时地去拜访上一级刚刚在高考中大获全胜的师哥师姐，一来可以得到第一手的复习资料，二来可以获得他们各科复习的独门招数，化为己用以备不时之需，更重要的是你可以得到完全原生态的高三生活小百科。

揭开了高三的神秘面纱，相信你的信心会得到前所未有的提升。

而且根据我的经验，刚刚经历完高考的人，往往有很强的倾诉欲，再加上精神爽极，你基本上不会有吃闭门羹的恐惧。

听也听了，看也看了，面对高考，你的心究竟能载得动几多愁呢？高考一战，实力固然重要，心理作用也不容小觑。

想向忧郁、恐惧、急躁say goodbye，心理准备还是先下手为强，我的强化训练经验可是相当有效的呢：不要刻意回避任何人，任何时间，任何地点，任何有关高考的言论，学会微笑着去面对压力，然后在周围人的喋喋不休中保持主见，耳朵磨出老茧后，你左耳进右耳出的平衡****就已日臻佳境了。

第1页（共8页） 第2页（共8页）2019届高三理科数学测试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}2log 2A x y x ==-，若全集U A =，{}12B x x =<<，则UB =（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．设i 是虚数单位，若复数()5i12ia a +∈-R 是纯虚数，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23．若()0,πα∈，()2sin πcos 3αα-+=，则sin cos αα-的值为（ ） A ．23B ．23- C ．43 D ．43-4．设平面向量()3,1=a ，(),3x =-b ，⊥a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．3x =是⊥a b 的充分不必要条件B ．-a b 与a 的夹角为π3 C ．12=bD ．-a b 与b 的夹角为π65．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为3，且经过点()2,2，则双曲线的实轴长为（ ） A ．12B ．1C ．22D ．26．若321n xdx =+⎰，则二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．45256B ．45256-C ．45128D ．45128-7．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为10，4，则输出的a =（ ）A ．0B ．14C ．4D ．28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．169D ．209 9．已知0a >，1a ≠，()2x f x x a =-，当()1,1x ∈-时，均有()12f x <则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．(]10,1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（ ） A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元11．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点()0,1B -，在区间ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭第3页（共8页） 第4页（共8页）上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当1t ，217π2π,123t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12t t ≠时，()()12f t f t =，则()12f t t +=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．312．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，则（ ）A ．存在点P 使得1k ≥B ．对于任意点P 都有1k <C ．对于任意点P 都有0k <D ．至少存在两个点P 使得1k =-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量()1,x y =-a ，1≤a ，则事件“y x ≥”的概率为__________． 14．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上任意一点，且满足32NF MN =，则NMF ∠=_________． 15．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +=+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）记()21log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．18．（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点． （1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）2AE EB =，在线段AE 上是否存在一点P ，使得二面角P DB F --的余弦值为1010．请说明理由．19．（12分）某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对2017年9月1日到2018年5月1日前8个月的二手房成交量进行统计，y 表示开业第x 个月的二手房成交量，得到统计表格如下：第5页（共8页） 第6页（共8页）（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量x ，y ，如果[]0.75,1r ∈，那么相关性很强；如果[]0.3,0.75r ∈，那么相关性一般；如果0.25r ≤，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，计算()(),1,2,...,8ii x y i =得相关系数r ，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到0.01）；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+（计算结果精确到0.01），并预测该房地产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）；（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．参考数据：81850i i i x y ==∑，821204ii x ==∑，8213776ii y ==∑ 4.58≈ 5.57≈，参考公式：1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，ni ix y nx yr -=∑．20．（12分）设椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M ，N ，椭圆C 上存在两个P ，Q 点满足：M ，N ，1F 三点共线，P ，Q ，1F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值．21．（12分）已知()()()ln f x x m mx m =+-∈R ， （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<．第7页（共8页） 第8页（共8页）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数π3ϕ=，射线π3θ=与曲线2C 交于点π1,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若点A ，B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()34f x x x =-++． （1）求()()4f x f ≥的解集；（2）设函数()()()3g x k x k =-∈R ，若()()f x g x >对x ∀∈R 成立，求实数k 的取值范围．答案 第1页（共8页） 答案 第2页（共8页）高三理科数学（二）答 案一、选择题． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】B 二、填空题．13．【答案】1142π-14．【答案】π615．【答案】3 16．【答案】43三、解答题．17．【答案】（1）12n n a -=；（2）见解析．【解析】（1）11n n a S +=+，2n ≥，11n n a S -=+，所以()122n n a a n +=≥， 又11a =，所以22a =，212a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列．所以12n n a -=． （2）由（1）知()()1212log log 2221nn n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以()21212n n T n n +-==， 所以()22212111111111......1...1212131n T T T n n n +++=+++≤++++⋅⋅- 11111223=+-+-111...221n n n++-=-<-．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，平面ABCD 平面ABE AB =，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC AE ⊥，又∵AE BE ⊥，BCBE B =，∴AE ⊥平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，即AE BF ⊥， 在BCE △中，BE CB =，F 为CE 的中点， ∴BF CE ⊥，AE CE E =，∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ，∴平面BDF ⊥平面ACE ． （2）如图建立空间直角坐标系，设1AE =，则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，()0,0,0E ，设()0,,0P a ，()2,1,2BD =-，()1,0,1BF =-，()2,,0PB a =-，()2,0,2EC =， 因为0EC BD ⋅=，0EC BF ⋅=，所以EC ⊥平面BDF ，故()2,0,2EC =为平面BDF 的一个法向量， 设⊥n 平面BDP ，且(),,x y z =n ，则由BD ⊥n 得220x y z -++=， 由PB ⊥n 得20x ay -=，从而(),2,1a a =-n ，()22cos ,241EC EC EC a a ⋅<>==⋅++-n n n，∴10cos ,10EC <>=n ，解得0a =或1a =，即P 在E 处或A 处． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．答案 第3页（共8页） 答案 第4页（共8页）【解析】（1）依题意可知， 4.5x =，21y =，88i ix y x yr -==∑940.924 4.58 5.57===≈⨯⨯，因为[]0.920.75,1∈，所以变量x ，y 线性相关性很强．（2）818222188508 4.521ˆ 2.242048 4.58i ii i i x yx ybx x===⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ21 2.24 4.510.92ay bx =-=-⨯=， 即y 关于x 的回归方程为ˆ 2.2410.92yx =+， 当10x =，ˆ 2.241010.9233.32y=⨯+=， 所以预计2018年6月份的二手房成交量为33．（3）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，6，9，12千元，()1110224P X ==⨯=，()11132233P X ==⨯⨯=，()1111562336218P X ==⨯+⨯⨯=，()11192369P X ==⨯⨯=，()111126636P X ==⨯=， 所以奖金总额的分布列如下表：()03691244318936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元．20．【答案】（1）2212xy +=；（2） 【解析】（122b a=， ∵离心率为2，∴2c a =，又222a b c =+，解得a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0， 此时4MN =，PQ =，PMQN S =四边形②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠，联立24y x =， 得()()22222400k x k x k ∆-++=>，设M ，N 的横坐标分别为M x ，N x ，则242M N x x k +=+，∴244M N MN x x p k=++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为()()110y x k k=--≠，联立椭圆C 的方程，消去y ，得()()222242200k x x k ∆+-+-=>，设P ，Q 的横坐标为P x ，Q x ，则242P Q x x k +=+，22222P Q k x x k -=+，∴)2212k PQk+==+， )()22221122PMQN k S MN PQ k k +=⋅=+四边形，令()211k t t +=>， 则()()2222111111PMQNS t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形 综上()minPMQNS =四边形21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵()()ln f x x m mx =+-，∴()1f x m x m'=-+， 当0m ≤时，∴()10f x m x m'=->+， 即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间；当0m >时，∴()11m x m m f x m x m x m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=-=++，答案 第5页（共8页） 答案 第6页（共8页）由()0f x '=，得()1,x m m m=-+∈-+∞， 1,x m m m ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，1,x m m ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴当0m >时，()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122ln ln x m mx x m mx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即1212ee mx mx x m x m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 构造函数()e mx g x x =-，()e mx g x x =-与y m =图象两交点的横坐标为1x ，2x ， 由()e 10mx g x m '=-=可得ln 0mx m-=<， 而()2ln 1m m m >>，∴()ln ,mm m-∈-+∞， 知()e mx g x x =-在区间ln ,m m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间ln ,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，可知12ln mm x x m--<<<欲证120x x +<，只需证122ln m x x m +<-，即证212ln ln ,m m x x m m ⎛⎫<--∈-+∞ ⎪⎝⎭， 考虑到()g x 在ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，只需证()212ln m g x g x m -⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 由()()21g x g x =知，只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭， 令()()2ln 2ln 2ln e 2e mx m mx m m h x g x g x x m m ---⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，则()()2ln 2ln e e 2e e 222220e m mx m mxmx mx h x m m m ---⎛⎫'=---=+-≥== ⎪⎝⎭，所以()h x 为增函数，又ln 0m h m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合1ln m m x m --<<知()10h x <， 即()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭成立，即120x x +<成立． 22．【答案】（1）见解析；（2）54． 【解析】（1）将1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭及对应的参数π3ϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得π1cos 3πsin 23a b ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，ϕ为参数，即2214x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意可得，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ= （或()222x R y R -+=），将点π1,3D ⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得π12cos 3R =，即1R =，所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=即()2211x y -+=．（2）设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=，所以22222222121111cos sin 5sin cos 444OAOBθθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23．【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）12k -<≤．【解析】（1）()34f x x x =-++，∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③，解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥， 所以()()4f x f ≥的解集为{5x x ≤-或}4x ≥．（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k ∈R 图象的上方，答案 第7页（共8页） 答案 第8页（共8页）可以作出()21,4347,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()()3g x k x =-，k ∈R 图象为恒过定点()3,0P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，可得()4,7A -，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方， 实数k 的取值范围为12k -<≤．。

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B2. A3. D4. A5.B6.C7. C 8. D 9. C 10. D 11.B 12.C简答与提示：1 .【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】B z = -l + z.^B.2 .【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A A = { A\X< 2} A B=十1,0 :•故选A.3.【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知.故选D.4.【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】A易知.故选A.5.【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B易知.故选B.6.【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 舛 +。

6 =+。

5 = 1& 2〃 =+。

5 —（。

2+。

3）= & d = 4 .故选 C.7.【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.2 3【试题解析】C 由题意可知tan a ~2. cos 2a-2 cos2a-\ =—— ------------------------ 1 =——.故选C.tan a + \ 58.【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D由数量积的几何意义可知EF1AE,由E是BC中点，所以AF = -.故选D.9.【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C易知①②③正确.故选C.10.【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】D画出切线/扫过的区域，如图所示，则不可的点为（1,-2）.故选D.11.【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B由题意可知b-= — , e = — M选B.4 212.【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0 <X<7t ,有—— < GJX——< （071——，所以—— <71 + — ,从而6 6 6 6 61 4 ,—5 G） 5 —.故选 C.6 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 2 14. 27 15.（-f，扌）16. 2^2 ；三、解答题17.（本小题满分12分）能在直线上4’ - sin ZAC5【试题解析】解：(1)在直角梯形【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 3 AB【试题解析】解：（1）由 sinZAC5=-, AC= - ------------------------------------------------------------------3（2） cos ZACD = sin ZACB =—，设 AD = 2m, CD = 3m,418.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识.【试题解析】解：(1)由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68. (4分)(2)①A 企业［2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4,设［3000,4000)中两人为A.B,其余5 人为 a,b,c,d,e,取出的两人共有如下 21 种情况，(A,B),(A,a), (A,b), (A,c), (A,d), (A,e),(B,a), (B,b), (B,c,), (B,d), (B,e), (a,b ), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e), (c,d), (c,e), (d,e),符合条件的共有10种情况，故所求事件概率为也.(9分) ②A 企业的员工平均收入为：(2500 x 5 + 3500 x 10 + 4500 x 20 + 5500 x 42 + 6500 x 18 + 7500 x 3 + 8500 x 1 + 9500 x 1) = 5 260 B 企业的员工平均收入为：需(2500 x 2 + 3500 x 7 + 4500 x 23 + 5500x50 + 6500 x 16 + 7500 x2)= 5270. 参考答案1：选企业B,由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A, A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团 体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业B,由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.(12分) (如有其它情况，只要理由充分，也可给分) 19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力.在ABCQ 中，由余弦定理反?=履丹=2 , △PCD,APCB 是等腰三角形，所以 PC 丄MD PC ^MB , PC 丄平面，则平面PBC 丄平面. (6分)(2)取PD 中点N ,连接为平行四边形，所以//AN , BM = AN = 1, 由PA = AD ,所以AN 丄PQ,又由于CQ 丄平面PAD ,所以CD 丄AN,所以4N 丄平面PCD,所以丄平面PCD,所以B到平面PCD的距离为 1. (12分)有< X2 2A/3=1,W 5x2 +8\/3% + 8-0 ,设A(x v y}),B(x2, y),4^220.（本小题满分12分）【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. c J3 b21【试题解析】解：（1）由题意知，一 = _,— = —,a = 2,b = l,a 2 a 2Y所以—+v2=l. （4分）4（2）由条件可知l-.y = x + j3 ,联立直线/和椭圆C,有I X —兀冃召一乂21= J（叫+吃）2 -所以s MOB=~\yi-y2\-^=-Y~-（12分）21.（本小题满怎12分）【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.2 1 2【试题解析】解:(1) a = 2,f(x)=1nx ——x,f'(x) = - + — -\,/ (2) =ln2-3,/,(2)= 0,所X X X"以切线方程为y = ln2-3. (4分)（2）r（x）=-（x+^~a）（i<x<3）,当aSl 时，/'（x）<0, /（x）在［1,3］上单调递减，所以/（l） = -2,a = l；当a>3时，/'（x）>0, /（x）在［1,3］上单调递增，所以/⑶= -2,a= + ； <3,舍去；In 3——3当1<«<3时，/（x）在（1,“）上单调递增，在（a,3）上单调递减，所以/（a） = —2,a = e.综上0 = 1或。

热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题． 例 1【山东省枣庄第八中学2019届高三1月考前测试】已知函数（ ）A ．8B ．6C ．3D ．1 【答案】C 【解析】 由函数,可得，则，解得.所以.故选C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因g x在上都是增函数.又，故选B.此()3 分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例3【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知函数若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例5【2019年上海市普陀区高考一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D ．6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时，，则不等式()0f x >的解集用区间表示为（ ）A. ()1,1-B.C.D.【答案】D【解析】f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）=x 2-x ， ∴f （-x ）=x 2+x ，又f （-x ）=x 2+x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）＞0得x 2-x ＞0，解得x ＞1或x ＜0（舍去），此时x ＞1． 当x=0时，f （0）＞0不成立．当x ＜0时，由f （x ）＞0得-x 2-x ＞0，解得-1＜x ＜0． 综上x ∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<，函数若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[)8,m -有最大值3，但无最小值，故函数的最小值1-只能在[],m n 取得，但是，因此[]1,m n ∈且12m ≤-，再根据()f x 的最大值为3，得到，所以n m -的最小值为32，最大值为4，它们的乘积为6. 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，，则函数在区间3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，又，所以()f x。

2019届高三数学模拟试题（二）(文史类)（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共6分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一项正确） 1.集合｛x ∈N|0＜|x-1|＜3｝(N 为含0的自然数集)的真子集个数是A.16B.15个C.8个D.7个 2.奇函数)()(R x x f y ∈=有反函数)(1x fy -=，则必在)(1x fy -=的图象上的点是A ． ()a a f ),(-B ． ()a a f --),(C ． ())(,1a fa -- D ． ())(,1a fa --3.若0＜a ＜1，f(x)=|log a x |，则下列各式中成立的是A.f(2)＞f(31)＞f(41) B.f(41)＞f(2)＞f(31) C.f(31)＞f(2)＞f(41)D.f(41)＞f(31)＞f(2)4.下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是A.22:;:bc ac N b a M >> B.d b d a N d c b a M ->->>:;,: C.bd ac N d c b a M >>>>>:;0,0: D.0:|;||||:|≤+=-ab N b a b a M5.已知23tan(),tan()5422παβα+=+=，那么tan()4πβ-= A.15 B. 14 C. 1318 D. 13226．圆1)2()1(22=-+-y x 与圆4)1()3(22=-+-y x 的公切线共有A.1条B.2条C.3条D.4条7.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是C A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 8.已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 A. 998 B.1069 C. 977 D.978 9．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝A ．21±-B ． 12±C ． 32±D ． 23±10.已知椭圆的中心在原点，离心率22=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则此椭圆方程为A.14822=+y x B. 12422=+y x C.1422=+y x D.1222=+y x 11.若关于x 的方程)1,0(,0112≠>=++a a a ma xx有解，则m 的取值范围是A 、)21,21(- B 、]21,21[-C 、)0,21[- D 。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数其中为虚数单位，则的虚部为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.集合，,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到，最后由交集的概念得到结果.【详解】，=，，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集和集合的补集的概念，要看清楚题目中所给的全集；集合常考的问题还有集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.3.直角的外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求得，三角形的外心O点在BC的中点处，且∠ABC=，由向量投影的定义，利用已知条件求出即可．【详解】直角外接圆圆心O落在BC的中点上，根据题意画出图像，又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∠ABC=；∴向量在向量方向的投影|cos=．故选：A．【点睛】此题主要考查了向量投影的概念与直角三角形外接圆的性质应用问题，是基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

4.设，则A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，∴．选A ．5.在圆内，过点的最短弦的弦长为 A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准式，找到圆心和半径，过点的最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦,再根据垂径定理得到结果. 【详解】圆，化简为：点在圆的内部，记圆心为O点，则最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦，OM=根据垂径定理得到弦长为：=故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解决的，很少联立；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理. 6.为了得到函数的图像，可以将的图像向A. 右平移个单位B. 左平移个单位C. 右平移个单位D. 左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式将函数化为同名，再根据函数左加右减的原则进行平移即可.【详解】=将函数图像向右平移个单位得到，.故答案为：A.【点睛】点睛：本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x 的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，，)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.8.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M 半径为r，球心到底面距离为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到故选A.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。

普通高等学校招生全国统一考试(附参考答案)数学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i是虚数单位，复数=（A）（B）（C）（D）【解析】复数，选C.【答案】C（2）设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为（A）-5 （B）-4 （C）-2 （D）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选B.【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）8 （B）18 （C）26 （D）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选C.【答案】C（4）已知，则a，b，c的大小关系为（A）c<b<a （B）c<a<b（C）b<a<c （D）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选A.【答案】A（5）设x R，则“x>”是“2x2+x-1>0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A），x R（B），x R且x≠0（C），x R（D），x R【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是（A）（B）1 C）（D）2【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选D.【答案】D（8）在△ABC中，A=90°，AB=1，设点P，Q满足=，=(1-)，R。

若=-2，则=（A）（B）C）（D）2【解析】如图，设，则，又，，由得，即，选B.【答案】B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

高三文科数学第二次统一测试试题（文科）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.1、设全集{1,2,3,4,5,6},{4,5},{3,4}U A B ===,则()U A B = ð( ) A 、{3,4,5} B 、{1,2,3,4,6} C 、{1,2,6} D 、{1,2,3,5,6}2、与函数()2x f x =的图像关于直线y x =对称的曲线C 对应的函数为()g x ，则1()2g 的值为（ ）A B 、1 C 、12D 、1- 3、曲线2122,2y x x =-=-在处的切线斜率是（ ） A 、4- B 、2- C 、12 D 、12-4、已知,1)1(3+=-x x f 则)7(f 的值为（ ）A 、173-B 、173+C 、3D 、2 5、下列各式中，正确的是（ ）A 、3232)45()34(-<-B 、3131)65()54(--->-C 、112211()()23>D 、113334()()23->-6、在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ）A 、)(log 21x y --= B 、3x y -= C 、xy 2-= D 、1)21(-=x y7、条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的（ ）A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件 8、方程03lg =-+x x 的根所在的区间是（ ）A 、(0,1)B 、)2,1(C 、)3,2(D 、)4,3(9、已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是定义域为]2,1[a a -的偶函数，则b a +的值是（ ）A 、0B 、31C 、1D 、1- 10、下列图像中，有一个函数)0,(,1)1(31)(223≠∈+-++=a R a x a ax x x f 且的导数' ③ ④ 则=-)1(f （ ） A 、31 B 、31- C 、37 D 、31-或35二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11、已知函数)(x f y =是定义域为R 的奇函数，且)(x f 在)0(∞+，上有且只有一个零点，则)(x f 在R 上的零点个数是 ；12、函数1212-+=x x y 的值域是 ；13、经化简后，)0(639369>∙a a a 的结果是 ，5411log log 45∙的结果是 ；14、函数)(log )(21b x x f +=在)0(∞+，上是单调函数，则b 的取值范围是 。

2019届高三数学文科下学期二模试题河西区xxxx学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（史类）第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2、本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分、（9）设（是虚数单位），则、（10）在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则、（11）函数，的最大值是、 (12）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是_____________、 (13）若，则的最小值为_____________、（14）已知函数满足，，其中，若函数有个零点，则实数的取值范围是、三、解答题：本大题共6小题，共80分、解答应写出字说明，证明过程或演算步骤、（15）（本小题满分13分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，这三张卡片除标记的数字外完全相同、随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为、（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率、（16）（本小题满分13分）在中，，，对应的边为，，、（Ⅰ）若，，且的面积等于，求和，的值；（Ⅱ）若是钝角，且，，求的值、（17）（本小题满分13分）如图等腰梯形中，，且平面平面，，为线段的中点、（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值、（18）（本小题满分13分）数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，已知，，，、（Ⅰ）求数列，的通项公式，；（Ⅱ）设的前项和为，（i）求；（ii）证明：、（19）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率、（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围、（20）（本小题满分14分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点，设函数、（Ⅰ）若函数在上无极值点，求的取值范围；（Ⅱ）求证：对任意实数，在函数的图象上总存在两条切线相互平行；（Ⅲ）当时，若函数的图象上存在的两条平行切线之间的距离为，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由、河西区xx—xx 学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试题（史类）参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算、每小题5分，满分40分、（1）（2）A（3）（4）D （5）（6）B（7）A（8）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算、每小题5分，满分30分、（9）（10）（11）（12）（13）（14）三、解答题：本大题共6小题，共80分、（15）本小题满分13分、（Ⅰ）解：由题意，所有的可能为：， , ,共种、设“抽取的卡片上的数字满足”为事件，则事件包括，共种，所以、因此，“抽取的卡片上的数字满足”的概率为、..................8分（Ⅱ）解：设“抽取的卡片上的数字不完全相同”为事件，则事件包括,共种、所以、因此，“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为、...............13分（16）本小满分13分、（Ⅰ）解：因为,,所以、所以、由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得、联立方程组解得，、........................7分（Ⅱ）解：因为是钝角，且，、所以所以..................13分（17）本小题满分13分、（Ⅰ）证明：取中点，连接,，因为为,所以且所以四边形为平行四边形所以，又因为平面，平面所以平面 (4)分（Ⅱ）证明：因为平面平面，平面，所以平面又因为平面所以平面平面……………………8分（Ⅲ）解：由第（Ⅱ）问知，平面，所以，所以为二面角的平面角即，所以在等腰梯形中，因为，所以由第（Ⅰ）问知，，所以，与平面所成的角相同又因为平面，所以即为直线与平面所成的角在中所以、……………………13分（18）本小题满分13分、（Ⅰ）解：设数列的公比为（），，（舍）或，设数列的公差为，、……………6分（Ⅱ）解：、……………13分（19）本小题满分14分、（Ⅰ）解：由已知得，即，解得，所以，得，椭圆方程为、……………………5分（Ⅱ）解：设直线的斜率为，则直线的方程为，设由方程组，消去，整理得解得或，所以点坐标为、由（Ⅰ）知，，设，有，，由,则，所以，解得，因此直线的方程为，设，由方程组消去，解得，在中，，即，化简得，即，解得，或、所以，直线的斜率的取值范围为、………14分（20）本小题满分14分、（Ⅰ）解：由函数的导数为，由，得，因函数在上无极值点，所以或，解得或、……………………3分（Ⅱ）证明令，即，，当时，，此时存在不同的两个解, 设这两条切线方程为分别为和，若两切线重合，则，即，而，化简得，此时，与矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t，函数f（x）的图象总存在两条切线相互平行、……………8分（Ⅲ）解：当时，，，由（Ⅱ）知时，两切线平行、设，，不妨设，过点的切线方程为：所以，两条平行线间的距离化简得令，则，即，即显然为一解，有两个异于的正根，所以这样的有解，而，，，所以有解，所以满足此条件的平行切线共有组、 (14)分 xx。

绝密 ★ 启用前2019年高考（文科）数学总复习综合试题（二）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A ＝{x |x 2－9≤0}，B ＝{x |y ＝ln (－x 2＋x ＋12)}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3＜x ≤3} B ．{x |－2＜x ≤0} C ．{x |－2＜x ＜0}D ．{x |x ＜0或x ＞2且x ≠3}2．复数z 满足z (1＋3i)＝|1＋3i|，则z 等于( ) A ．1－3i B ．1 C ．12－32iD ．32－12i 3．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是( ) A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ∥α，n ∥β且α⊥β，则m ⊥n C ．α∩β＝m ，n ⊥β且α⊥β，则n ⊥α D ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n4．已知a ＝log 312，b ＝log 1213，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则( ) 此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b5．已知在平面直角坐标系中，曲线f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝a 处的切线过原点，则a ＝( ) A ．1 B ．e C ．1eD ．06．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )7．如果执行下面的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )A ．720B ．360C ．240D ．1208．f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω＞0)的图象如图所示，为得到g (x )＝－A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象，可以将f (x )的图象( )A ．向右平移5π6个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝16，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．30D ．6010．已知a ，b 是单位向量，a ，b 的夹角为90°，若向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的最大值为( )A ．2－2B ． 2C ．2D ．2＋ 211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a x ＋1(x ＞1)，－x 2＋2x (x ≤1)在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[－1,1]D ．(－1,1]12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3x －y ≥－12x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________．15．已知点M 是半径为4的圆C 内的一个定点，点P 是圆C 上的一个动点，线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ，则|CQ |·|QM |的最大值为______．16．已知实数a ，b 满足0＜a ＜1，－1＜b ＜1，则函数y ＝13ax 3＋ax 2＋b 有三个零点的概率为________．三、解答题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝2n ＋1＋λ(λ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝1(2n＋1)log4(a n a n＋1)，求数列{b n}的前n项和T n.18．(12分)某校高三特长班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：(1)求分数在[70,80)之间的频数，并计算频率分布直方图中[70,80)间的矩形的高；(2)若要从分数在[50,70)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[50,60)之间的概率．19．(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB与△P AD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．(1)求证：AE∥平面PCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．20．(12分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，顶点为A 1、A 2、B 1、B 2，且A 1B 1→·A 1B 2→＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点Q ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EQ 的斜率为m ，试问2m －k 是否为定值？并说明理由．21．(12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－ax (a 为常数)有两个不同的极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)记f (x )的两个不同的极值点分别为x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)＜λ(x 1＋x 2)恒成立，求实数λ的取值范围．以下两题请任选一题选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l与曲线C交于M，N两点，求1|PM|＋1|PN|的值．选修4－5：不等式选讲23．(10分)已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|.(1)求不等式－2＜f(x)＜0的解集A；(2)若m，n∈A，证明：|1－4mn|＞2|m－n|.2019年高考（文科）数学总复习综合试题（二）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A ＝{x |x 2－9≤0}，B ＝{x |y ＝ln (－x 2＋x ＋12)}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3＜x ≤3} B ．{x |－2＜x ≤0} C ．{x |－2＜x ＜0}D ．{x |x ＜0或x ＞2且x ≠3}解析：A ＝{x |x 2－9≤0}＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{x |y ＝ln (－x 2＋x ＋12)}＝{x |x 2－x －12＜0}＝{x |－3＜x ＜4}，则A ∩B ＝{x |－3＜x ≤3}，故选A ．答案：A2．复数z 满足z (1＋3i)＝|1＋3i|，则z 等于( ) A ．1－3i B ．1 C ．12－32iD ．32－12i 解析：复数z 满足z (1＋3i)＝|1＋3i|＝2，z ＝21＋3i ＝2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝12－32i.故选C ．答案：C3．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是( ) A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ∥α，n ∥β且α⊥β，则m ⊥n C ．α∩β＝m ，n ⊥β且α⊥β，则n ⊥α D ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n解析：对A ，由面面平行的判定定理知，m 与n 可能相交，故A 不对；对B ，当m 与n 都与α和β的交线平行时，也符合条件，但是m ∥n ，故B 不对；对C ，由面面垂直的性质定理知，必须有m ⊥n ，n ⊂β时，n ⊥α，否则不成立，故C 不对；对D ，由n ⊥β且α⊥β，得n ⊂α或n ∥α，又因m ⊥α，则m ⊥n ，故D 正确．答案：D4．已知a ＝log 312，b ＝log 1213，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：a ＝log 312＝－log 32＜0，b ＝log 1213＝log 23＞1，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ＝2－13∈(0,1)，∴b ＞c ＞a .故选B ．答案：B5．已知在平面直角坐标系中，曲线f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝a 处的切线过原点，则a ＝( ) A ．1 B ．e C ．1eD ．0解析：∵f (x )＝a ln x ＋x ，∴f ′(x )＝a x ＋1，∴f ′(a )＝aa ＋1＝2，∵f (a )＝a ln a ＋a ，∴曲线f (x )在x ＝a 处的切线方程为y －a ln a －a ＝2(x －a )，∵曲线f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝a 处的切线过原点，∴－a ln a －a ＝－2a ，解得a ＝e.故选B ．答案：B6．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )解析：∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a ＞0，－b2a ＞0，∴b ＜0，∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴函数f ′(x )的图象经过一，三，四象限，∴A 符合，故选A ．答案：A7．如果执行下面的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )A ．720B ．360C ．240D ．120解析：第一次：k ＝1，p ＝1×3＝3；第二次：k ＝2，p ＝3×4＝12；第三次：k ＝3，p＝12×5＝60；第四次：k ＝4，p ＝60×6＝360，此时不满足k ＜4.所以p ＝360.故选B ．答案：B8．f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω＞0)的图象如图所示，为得到g (x )＝－A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象，可以将f (x )的图象( )A ．向右平移5π6个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度解析：由题意可得A ＝1，14T ＝14·2πω＝7π12－π3，解得ω＝2，∴f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＝cos(2x＋φ)．再由五点法作图可得 2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π12，g (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π2＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π3，而π3－⎝⎛⎭⎫－π12＝5π12，故将f (x )的图象向左平移5π12个单位长度，即可得到函数g (x )的图象，故选D ．答案：D9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝16，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．30D ．60解析：设等差数列{a n }的公差为d ≠0.∵a 4是a 3与a 7的等比中项，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，化为：2a 1＋3d ＝0.∵S 8＝16，∴8a 1＋8×72×d ＝16，联立解得a 1＝－32，d ＝1.则S 10＝10×⎝⎛⎭⎫－32＋10×92×1＝30.故选C ． 答案：C10．已知a ，b 是单位向量，a ，b 的夹角为90°，若向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的最大值为( )A ．2－2B ． 2C ．2D ．2＋ 2解析：依题意，设a ，b 分别是x 轴与y 轴正方向上的单位向量，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，a ＋b ＝(1,1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，因为|c －a －b |＝(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以(x －1)2＋(y －1)2＝4，故c ＝OC →中，点C 的轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆，圆心M (1,1)到原点的距离为|OM |＝12＋12＝2，|c |max ＝2＋2.故选D ． 答案：D11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a x ＋1(x ＞1)，－x 2＋2x (x ≤1)在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[－1,1]D ．(－1,1]解析：x ≤1时，f (x )＝－(x －1)2＋1≤1，x ＞1时，f (x )＝x ＋a x ＋1，f ′(x )＝1－ax 2≥0在(1，＋∞)恒成立，故a ≤x 2在(1，＋∞)恒成立，故a ≤1，而1＋a ＋1≥1，即a ≥－1，综上，a ∈[－1,1]，故选C ．答案：C12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：联立⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1y ＝ba (x －c )，解得⎩⎨⎧x ＝c2y ＝－bc2a，∴M ⎝⎛⎭⎫c 2，－bc2a ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∴MF →1＝⎝⎛⎭⎫－3c 2，bc 2a ，MF →2＝⎝⎛⎭⎫c 2，bc 2a ，由题意可得MF →1·MF →2＞0，即b 2c 24a 2－3c 24＞0，化简可得b 2＞3a 2，即c 2－a 2＞3a 2，故可得c 2＞4a 2，c ＞2a ，可得e ＝ca＞2，故选D ．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3x －y ≥－12x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析：设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3x －y ≥－12x －y ≤3，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2,1)，B (4,5)，C (1,2)，当直线过A (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为7.故答案为7.答案：714．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________．解析：由三视图知：几何体为四棱柱消去一个三棱锥，如图：四棱柱的底面边长为5，高为3，消去的三棱锥的高为3，底面直角三角形的两直角边长分别为5、3，∴几何体的体积V ＝5×3×3－12×5×3×3×13＝752.故答案为752.答案：75215．已知点M 是半径为4的圆C 内的一个定点，点P 是圆C 上的一个动点，线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ，则|CQ |·|QM |的最大值为______．解析：∵M 是半径为4的圆C 内一个定点，P 是圆C 上的一个动点，线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ，∴|CQ |＋|QM |＝|CQ |＋|QP |＝|CP |＝4，∴4＝|CQ |＋|QM |≥2|CQ →|·|QM →|，∴|CQ |·|QM |≤4，当且仅当Q 为CP 中点时取等号，∴|CQ |·|QM |的最大值为4.故答案为4.答案：416．已知实数a ，b 满足0＜a ＜1，－1＜b ＜1，则函数y ＝13ax 3＋ax 2＋b 有三个零点的概率为________．解析：对y ＝13ax 3＋ax 2＋b 求导数可得y ′＝ax 2＋2ax ，令ax 2＋2ax ＝0，可得x ＝0，或x ＝－2,0＜a ＜1，x ＝－2是极大值点，x ＝0是极小值点，函数y ＝13ax 3＋ax 2＋b 有三个零点，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＞0f (0)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－83a ＋4a ＋b ＞0b ＜0，画出可行域如图：满足函数y ＝13ax 3＋ax 2＋b 有三个零点，如图深色区域，实数a ，b 满足0＜a ＜1，－1＜b ＜1，为长方形区域，所以长方形的面积为：2，实数区域的面积为：12×⎝⎛⎭⎫1＋14＝58，∴所求概率为P ＝582＝516.答案：51617．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝2n ＋1＋λ(λ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1(2n ＋1)log 4(a n a n ＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)依题意，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝4＋λ， 故当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；因为数列{a n }为等比数列，故a 1＝1，故4＋λ2＝1，解得λ＝－2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)依题意，log 4(a n a n ＋1)＝log 4(2n －1·2n )＝12(2n －1)，故b n ＝1(2n ＋1)log 4(a n a n ＋1)＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，故数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.18．(12分)某校高三特长班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：(1)求分数在[70,80)之间的频数，并计算频率分布直方图中[70,80)间的矩形的高； (2)若要从分数在[50,70)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[50,60)之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.08， 由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频率为2， ∴全班人数为20.08＝25，分数在[70,80)之间的频数为10，∴频率分布直方图中[70,80)间的矩形的高为： 1025×110＝0.04. (2)将[60,70)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [50,60)之间的2个分数编号为5,6，在[50,70)之间的试卷中任取两份的基本事件为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)， (1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)， (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，∴至少有一份在[50,60)之间的概率为p ＝915＝35.19．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 与△P AD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点．(1)求证：AE ∥平面PCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．(1)证明：∵∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴AD ∥BC ， ∵BC ＝2AD ，E 是BC 的中点，∴AD ＝CE ， ∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE ∥CD ， 又AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AE ∥平面PCD .(2)解：连接DE ，BD ，设AE ∩BD ＝O ，则四边形ABED 是正方形， ∴O 为BD 的中点，∵△P AB 与△P AD 都是边长为2的等边三角形， ∴BD ＝22，OB ＝2，OA ＝2，P A ＝PB ＝2， ∴OP ⊥OB ，OP ＝2，∴OP 2＋OA 2＝P A 2，即OP ⊥OA ，又OA ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，OA ∩BD ＝O ，∴OP ⊥平面ABCD . ∴V P －ABCD ＝13S 梯形ABCD ·OP ＝13×12(2＋4)×2×2＝2 2.20．(12分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，顶点为A 1、A 2、B 1、B 2，且A 1B 1→·A 1B 2→＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点Q ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EQ 的斜率为m ，试问2m －k 是否为定值？并说明理由．解：(1)由e ＝32，则c a ＝32， 由题意及图可得A 1(－a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )， ∴A 1B 1→＝(a ，－b )，A 1B 2→＝(a ，b ) 又A 1B 1→·A 1B 2→＝3，则a 2－b 2＝3，∴c ＝ 3 ∴a ＝2，b ＝a 2－b 2＝1 ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2)由题意可知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)， 由A 2P 的斜率为k ，则直线A 2P 的方程为 y ＝k (x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 24＋y 2＝1，得 (1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，其中xA 2＝2，则x P ＝8k 2－21＋4k 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2，则直线B 2P 的方程为y ＝－4k 2－4k －18k 2－2x ＋1＝－2k ＋12(2k －1)x ＋1⎝⎛⎫k ≠－12， 令y ＝0，则x ＝2(2k －1)2k ＋1，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(2k －1)2k ＋1，0直线A 1B 2的方程为x －2y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0y ＝k (x －2)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ＋22k －1y ＝4k2k －1，则E ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1， 则EQ 的斜率m ＝－4k 2k －12(2k －1)2k ＋1－2(2k ＋1)2k －1＝2k ＋14，∴2m －k ＝2·2k ＋14－k ＝12(定值)，2m －k 为定值12.21．(12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－ax (a 为常数)有两个不同的极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)记f (x )的两个不同的极值点分别为x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)＜λ(x 1＋x 2)恒成立，求实数λ的取值范围．(1)解：f ′(x )＝x 2－ax ＋ax (x ＞0)，f (x )有2个不同的极值点，即方程x 2－ax ＋a ＝0有2个不相等的正根，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＞0，解得：a ＞4； (2)证明：由(1)得x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a ，a ＞4， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝a ln x 1＋x 212－ax 1＋a ln x 2＋x 222－ax 2＝a ln (x 1x 2)＋(x 1＋x 2)22－x 1x 2－a (x 1＋x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫ln a －a2－1， 不等式f (x 1)＋f (x 2)＜λ(x 1＋x 2)恒成立， 即λ＞a ⎝⎛⎭⎫ln a －a2－1a ＝ln a －a2－1恒成立，记h (a )＝ln a －a2－1(a ＞4)，则h ′(a )＝1a －12＜0，则h (a )在(4，＋∞)递减，故h (a )＜h (4)＝ln 4－3， 即λ≥ln 4－3. 以下两题请任选一题选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P (1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM |＋1|PN |的值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋y 2＝6y ，即ρ2＝6ρsin θ，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)设直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2＋y 2－6y ＝0中，化简可得t 2－22t －7＝0，显然Δ＞0；设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22t 1t 2＝－7，∴1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM |·|PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝67. 选修4－5：不等式选讲23．(10分)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)求不等式－2＜f (x )＜0的解集A ； (2)若m ，n ∈A ，证明：|1－4mn |＞2|m －n |.(1)解：依题意，f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2－2x －1，－2＜x ＜1－3，x ≥1，由不等式－2＜f (x )＜0，可得－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，故A ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. (2)证明：由(1)可知，m 2＜14，n 2＜14；因为|1－4mn |2－4|m －n |2＝(1－8mn ＋16m 2n 2)－4(m 2－2mn ＋n 2)＝(4m 2－1)(4n 2－1)＞0， 故|1－4mn |2＞4|m －n |2，故|1－4mn |＞2|m －n |.。

2019届江西省南昌市高三复习模拟测试卷文科数学（二）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7．考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

必做部分一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数,,121i z i z =+=其中i 为虚数单位，则2__1z z 的虚部为 A.1- B.1 C. i D. i -2.集合{}{}012,0122<+=<--=x x N x x x M ，R U =,则=N C M UA. )1,21[-B.)1,21(-C. )21,1(-D.]21,1(- 3．直角ABC ∆(090=∠A )的外接圆圆心O ，半径为1，且||||OA AB =u u u r u u u r ，则向量BA u u u r 在向量BC u u u r 方向的投影为A ．21 B ．23C ．21-D ．4．设 312.0212,)31(,3log ===c b a ，则23-A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 5.在圆22420x y x y +-+=内，过点)0,1(M 的最短弦的弦长为 A ．5 B. 52 C ．3 D.32 6．为了得到函数x y 3sin =的图像，可以将x y 3cos =的图像向A. 右平移6π个单位 B. 左平移6π个单位 C.右平移2π个单位 D. 左平移3π个单位7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边（第16题）数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如下图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为 ( 1.732，sin150.2588︒≈，sin 7.50.1305︒≈)A. 96 B ．48 C ．24 D ．128．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于A.π34B. π32C.π17D.π217 9．已知实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-21022y y y x x .若目标函数y ax z += （其中a 为常数）仅在)21,21(处取得最大值，则a 的取值范围是A. )1,1(-B. )0,1(-C.)1,0(D. {}1,1-10.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，向量),1,1(),2,2(=--=→→b n m a 则→a 和→b 共线的概率为A ．118B ．112C ．19D ．512 11．已知各项均为正数的递增数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n =，nn n a b a t=+（*t ∈N ），若12,,mb b b 成等差数列，则mt的最大值为 A ．72 B ．53 C ．83 D ．4512．已知函数12)(,44)(-=+-=x x g x x x f ，则()f x 和()g x 的公切线的条数为A.三条B.二条C. 一条D.0条 二．填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设函数),0(cos )()(2≠+=a x b ax x f 若1)2017(=-f ，则14.若满足6π=∠ABC ，3AC =，t BC =的ABC △实数t 的取值范围为 ．15. 已知抛物线y x 42=的准线与双曲线14222=-x a y )0(>a A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆曲线离心率的值为________．16.国务院批准从2009年起，将每年8月8为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所.个长方形地块ABCD ，边AB 为km 2，AD 为km 4．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的△BEF 作为健身场所．则△BEF 的面积为S 的最大值为 （单位：2km ）．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)记n S 为各项为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，已知318,a =53216S S -=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）令2log 2log 12313++⋅=n n n a a b ，求{}n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)如图1，四边形ABCD 为等腰梯形,2,4====CB DC AD AB ADC ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点，连接,DE DB （如图2）.（Ⅰ）求证： BC AD ⊥；（Ⅱ）求三棱锥E BCD -的体积.19. (本小题满分12分)我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x （吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照),5.4,4[,),1,5.0[),5.0,0[⋅⋅⋅分成9组，制成 了如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中的a 值；（Ⅱ）已知平价收费标准为4元/吨，议价 收费标准为8元/吨，当3x =时，估计该 市居民的月平均水费.（同一组中的数据用 该组区间的中点值代替）20. (本小题满分12分) 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个顶点坐标分别为1B ，离心率为22. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，点)21,1(-P 是该椭圆内一点，四 边形)//(CD AB ABCD 的对角线BD AC 与交于点P .设直线m x y AB +=:，记PAB S m g ∆=2)(.求3432)()(3-+-=m m m g m f 的最大值.21. (本小题满分12分)已知函数x eax x f 2)(=,直线x e y1-=为曲线)(x f y =的切线（e 为自然对数的底数）.(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ) 用{}q p ,min 表示q p ,中的最小值，设函数)0(1),(min )(>⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=x x x x f x g ，若函数2)()(mx x g x -=ϕ为增函数，求实数m 的取值范围.选做部分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2019年高三文科数学高考模拟卷文科数学（2）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =--<，{}2log 0B x x =<，则A B =（ ）A ．()1,2-B ．()0,1C ．(),2-∞D ．()1,1-2．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．13C ．25D ．123．欧拉公式i e cos isin θθθ=+(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当πθ=时，就有i πe 10+=．根据上述背景知识试判断2018πi 3e -表示的复数在复平面对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，590S =，则等差数列{}n a 的 公差d =（）A ．2B ．32C ．3D ．45．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<6． “远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为M ，众数为N ，平均数为x ，则（）A ．N M x <<B ．N x M <<C ．M N x <<D ．M N x ==7．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体外接球的体积是（）A ．B C D ．8阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤9．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 10．已知抛物线()220y px p =>上一点()5,t 到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线与圆()2261x y -+=上的动点，则PQ的最小值为（）A1B．2-C．D．111．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（） A ．eBC ．1eD ．112．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时，n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．平面向量a 与b 的夹角为π2，1=a ，1=b ，则32-=a b _______． 14．已知x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为_______．15．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．16．把三个半径都是2的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第四个球（半径是2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC△中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，ABC△的面积为23sinADB．（1）求sin sinBAD BDA∠⋅∠的值；（2）若6BC AB=，AD=b．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，2AB BC CD DA====，1PA=，120BAD∠=︒，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥平面PAD；（2）若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．19．（12分）自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在[]50,70使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[)50,60的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()11f x x ax =-++．（1）1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．文科数学答案（2）一、选择题． 1．【答案】A【解析】解不等式220x x --<，得12x -<<，即()1,2A =-， 由2log 0x <，得01x <<，即()0,1B =，所以()1,2A B =-，故选A ．2．【答案】B【解析】设小三角形的直角边长度为1则小三角形的面积和为141122⨯⨯⨯=，大三角形的面积和为1442⨯=，则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+，故选B ． 3．【答案】C【解析】由题意，2018πi 32018π2018π2π2π1ecos isin cosisin 33332-⎛⎫⎛⎫=-+-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2018πi3e-表示的复数在复平面对应的点为1,2⎛- ⎝⎭，位于第三象限，故答案为C ． 4．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，590S =， 所以515456010902S a d d ⨯=+=+=，解得3d =，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ． 6．【答案】A【解析】由中位数的定义，得565.52M +==，众数为5N =， 平均数为2334105663728292105.9630x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，所以N M x <<，故选A ．7．【答案】D【解析】由几何体正视图、侧视图均是边长为2的正方形，结合俯视图可得此几何体是棱长为2的正方体的一部分，如图，四棱锥E ABCD -，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径等于正方体的体对角线长，即2R =R =此几何体的外接球的体积34π3V R =⨯=，故选D ． 8．【答案】C【解析】当0S =，1k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，1S =，2k =， 当1S =，2k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，6S =，3k =， 当6S =，3k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，21S =，4k =， 当21S =，4k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，58S =，5k =， 当58S =，5k =时，不满足输出条件，进行循环，执行完循环体后，141S =，6k =， 此时，由题意，满足输出条件，输出的数据为141， 故判断框中应填入的条件为5k ≤，故答案为C ． 9．【答案】B【解析】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=． 再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=， 可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．10．【答案】D【解析】由抛物线()2:20C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2px =-， 则点()5,t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =，所以抛物线方程24y x =， 设(),P x y ，圆()22:61M x y -+=，圆心为()6,0，半径为1， 则PM ，当4x =时，PQ11=，故选D ． 11．【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ． 12．【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ．二、填空题． 13．【答案【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为π2，所以0⋅=a b ，所以32-=a b14．【答案】32【解析】x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，画出可行域如图所示．目标函数2z x y =-，即2y x z =-．平移直线2y x z =-，截距最大时即为所求． 21010y x y +=--=⎧⎨⎩，点11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭， z 在点A 处有最小值1132222z =⨯+=，故答案为32．15．【答案1【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+， 又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =故答案为1e =+ 16．【答案4【解析】四个球心是正四面体的顶点（如图所示），它的棱长均为4， 设E 为BC 的中点，O 为正三角形的中心，则AO ⊥平面BCD ，又ED =23OD ED =AO ===，第四个球的最高点与桌面的距离为OA 4+．三、解答题．17．【答案】（1）13；（2 【解析】（1）由ABC △的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD △的面积为26sin AD B ，由三角形的面积公式可知21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=．（2）6BC AB =，又因为D 为BC 的中点，所以26BC BD AB ==，即3BD AB =， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠， 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin 3BDA ∠=，sin 1BAD ∠=，()0,πBAD ∠∈，2πBAD ∴∠=，在直角ABD △中AD =1sin 3BDA ∠=，所以1AB =，3BD =．2BC BD =，6BC ∴=，在ABC △中用余弦定理，可得22212cos 136216333b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=．18．【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥． 连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD ==PG =12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒△△△． 设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ，由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF 19．【答案】（1）17100；（2）25；（3）2200．【解析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的有31417+=人， 所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[)30,50且未参加自由购的概率估计为17100P =．（2）设事件A 为“这2人年龄都在[)50,60”．被抽取的年龄在[)50,60的4人分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，被抽取的年龄在[]60,70的2人分别记为1b ，2b ，从被抽取的年龄在[]50,70的自由购顾客中随机抽取2人，共包含15个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，11a b ，12a b ，23a a ，24a a ，21a b ，22a b ，34a a ，31a b ，32a b ，41a b ，42a b ，12b b ，事件A 包含6个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，23a a ，24a a ，34a a ，则()62155P A ==． （3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 20．【答案】（1）2214x y +=；（2）0k ≥或43k ≤-．【解析】（1）由题设知222a b c =+，ce a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a+=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k=-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， 设()00,P x y ，则0022y kx k =+-， 依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=， 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k kx k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦，化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-．21．【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e xf x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数． 显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数， 因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞． （2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤， 由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增， ∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =， 最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m+-， 所以21e 11e m +--≤，解得2m≥或2m ≤-． ∴实数m 的取值范围是2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭；（2）2．【解析】（1）2211:C x y +=，22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当11π12θ=时，max 2S =+ 23．【答案】（1）3322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）[]1,1-． 【解析】（1）1a =，()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩， ()3f x ≥，则32x ≤-或32x ≥，不等式的解集为3322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）()3f x x ≤-的解集包含[]1,1-，即为()3f x x ≤-在[]1,1-上恒成立．[]1,1x ∈-，()1111f x x ax x ax =-++=-++．故()3f x x ≤-，即为113x ax x -++≤-，即12ax +≤． 所以212ax -≤+≤，31ax -≤≤，又因为[]1,1x ∈-，()311311a a -≤-⋅≤-≤⋅≤⎧⎪⎨⎪⎩，则[]1,1a ∈-．。

2019年高三文科数学高考仿真模拟卷文科数学（2）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}21,A x x x U >=∈，则UA =（ ）A ．{}2,2-B ．{}1,1-C ．{}2,0,2-D ．{}1,0,1-2． i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13．在正方体1111ABCD A B C D -中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体的一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则左视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C D ． 5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516 C ．38D ．7166．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则ωϕ⋅=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3 D ．2π37．已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ） A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-8．函数()()2e e x x f x x -=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．910．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D11．正三棱锥P ABC -中，已知点E 在PA 上，PA ，PB ，PC 两两垂直，4PA =，3PE EA =，正三棱锥P ABC -的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．已知锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =ABC △周长的最大值为（ ） A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．14．设实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则2z x y =-的最大值是________．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为____．16．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()''f x ，若在(),a b 上()''0f x <恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，已知()4323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列(){}1nn a -⋅的前2n 项和2n T ．18．（12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由． 附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分如图，在四棱锥P ABCD -中，DC AB ∥，2DC AB =，平面PCD ⊥平面PAD ，PAD △是正三角形，E 是PD 的中点．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：AE ∥平面PBC ．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长等于，右焦点F 距C 最远处的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值．21．（12分）已知()()2ln ln a x xf x x+=．（1）求()f x 在()1,0处的切线方程； （2）求证：当1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）； （2）设()2,1P --，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知0a >，0b >，0c >，设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R ． （1）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：()14918a b c a b b c c a++≥+++++．文科数学答案（2）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】211x x >⇒<-或1x >，又x U ∈，则{}2,2A =-，∴{}1,0,1UA =-，故选D ．2．【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3．【答案】A【解析】根据已知条件得，三棱锥在正方体中的位置如图所示，故选A ．4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5．【答案】C【解析】设小正方形的边长为1；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为∴12238P ⨯⨯==，故选C ． 6．【答案】C【解析】由函数图像可得2A =， ∵()01f =，∴1sin 2ϕ=，结合图像可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ， ∵π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴11ππ2sin 0126ω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11ππ2π126k ω⨯+=，故2241111k ω=-+， ∴2ω=，∴π3ωϕ⋅=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵0x >时，()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称； ∴0x >时，()2x f x =；∴0x >时，()22x g x x =+，又()g x 是奇函数；∴()()()()()1212214411g g g g =-⎡⎤⎣-+-=-++++=-⎦．故选C ． 8．【答案】A【解析】∵()()2e e x x f x x -=-，∴()()()()()22e e e e x x x x f x x x f x ---=--=--=-， ∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，∵2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >，e e x x y -=-在()0,+∞上是增函数且0y >， ∴()()2e e x x f x x -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且OA AP ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ． 10．【答案】D【解析】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FBF S S S ''==△△，又2224tan45FBF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 11．【答案】C【解析】由PA ，PB ，PC 两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴R =过O 作OH PA ⊥，H 为垂足，OH =Rt OHE △中，OH =1HE =， ∴3OE =，当OE 垂直截面α时，截面圆半径最小． (2222233r R OE =-=-=，2π3πS r ==．故选C ．12．【答案】B【解析】∵锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =∴2sin cR C=4=，∴sin C ， 又C 为锐角，∴π3C =，由正弦定理得4sin sin sin a b cA B C===，∴4sin a A =，4sin b B =，c =∴2ππ4sin 4sin 6sin 36a b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫++=+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当ππ62B +=，即π3B =时，a b c ++取得最大值=B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号． 故答案为6． 14．【答案】1【解析】根据实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图：11y y x =-⎧⎨=--⎩解得()0,1A -，可知当目标函数经过点A 取最大值， 即()2011z =⨯--=．故答案为1． 15．【答案】2【解析】以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B ，()0,1D ，()1,1E ，设(),P x y ，01x ≤≤，∴()2,1DB =-，()0,1AD =，(),AP x y =， ∵AP DB AD λμ=+，∴()(),2,x y λμλ=-，∴2x x λμλ=⎧⎨=-⎩，∴232x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22x λμ+=≤，故答案为2．16．【答案】51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()323f x x tx x '=-+，()2''323f x x tx =-+， ∵函数()4323432x t f x x x =-+在()1,4上是“凸函数”，∴在(),a b 上，()0f x "<恒成立，∴23230x tx -+<，即312t x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，令()312g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然()g x 在()1,4上单调递增，∴()()5148g x g <=，∴518t ≥．故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）23n a n =-；（2）22n T n =．【解析】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列，则()22341a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，∴数列的通项公式23n a n =-．（2）由（1），可知12n n a a --=，∴()()()212342122n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=．18．【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人， 按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为60646030⨯=+，女生被抽取的人数为30626030⨯=+，记4名男生分别为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ，则从这6名学生中抽取2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为93155=． （2）列联表为：()()()()()()22230018030603010014.28610.82824060210907n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵PAD △是正三角形，点E 是PD 的中点，∴AE PD ⊥．又平面PCD ⊥面PAD ，平面PCD 平面PAD PD =，AE ⊂平面PAD ．∴AE ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ，∴AE PC ⊥． （2）取PC 的中点F ，连结EF ，在PCD △中，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，∴EF CD ∥且2CD EF =． 又AB CD ∥，2CD AB =，∴EF AB ∥且EF AB =， ∴四边形AEFB 是平行四边形，∴AE BF ∥，又AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，∴AE ∥平面PBC ． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）3．【解析】（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）∵过()1,0F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上）， ∴设:1l x ty =+，()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵OE OA OB =+，∴AOBE为平行四边形，∴12234AOB S S y y t ==-=+△1m =≥，得21241313mS m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 3S =． 21．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析． 【解析】（1）()()()222ln 1ln ln 'a x a x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦=，故()11f '=，故切线方程是10x y --=． （2）令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1递减，在()1,+∞，故()()min 10g x g ==，故ln 1x x ≥+， ∵1a ≥， ∴()()()()()2222ln ln ln ln ln ln ln 1ln 110a x x xx x x x x x x f x xxxx+++++++++=≥≥≥≥，故1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）()240x ay a =>，10x y -+=；（2）14． 【解析】（1）曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ 可得()22cos 4sin 0a a ρθρθ=>，化简得()240x ay a =>； 直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），可得1x y -=-，得10x y -+=． （2）将21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入()240x ay a =>并整理得)()21810t a t a -+++=，韦达定理：)121t t a +=+，()12810t t a ⋅=+>，由题意得2MN PM PN =，即21212t t t t -=⋅，可得()21212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即()()2321401a a +=+，0a >，解得14a =． 23．【答案】（1）()2,2-；（2）见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即114x x -++<当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-；当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<； 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<， ∴解集为()2,2-．（2）()()()f x x b x c a x c x b a b c a =-+++≥+--+=++， ∵0a >，0b >，0c >，∴()min 1f x a b c =++=， ∴()149149a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭ ()11492a b b c a c a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭22222212⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()2118182a b c ≥==++．。