备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题六 平面向量的数量积问题 含解析

I．题源探究·黄金母题【例1】已知错误!未找到引用源。

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的夹角为错误!未找到引用源。

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．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016年四川高考卷】在平面内，定点错误!未找到引用源。

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的最大值是（）A．错误!未找到引用源。

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【答案】B【解析】甴已知易得错误!未找到引用源。

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为原点，直线错误!未找到引用源。

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轴建立平面直角坐标系，则错误!未找到引用源。

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，它表示圆错误!未找到引用源。

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，故选B．【例3】【2015年湖南高考卷】已知点错误!未找到引用源。

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上运动，且错误!未找到引用源。

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的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】 B【解析】由题意，得错误!未找到引用源。

为圆的直径，故可设错误!未找到引用源。

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专题06 平面向量【真题感悟】1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C．3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】(1)0 (2)【解析】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正. 比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456max AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ==4.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.【答案】 4【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有： 212a b -=+=212212cos 4cos a b θ+=+-⨯⨯⨯=，则：54cos a b a b ++-=+令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin2025,164a b a b a b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．5.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.【解析】由已知得,60<>=︒a b ，不妨取(1,0)=a ，=b ，设(cos ,sin )αα=e ，则cos cos ααα⋅+⋅=++a e b e 2cos αα，取等号时cos α与sin α同号．所以2cos 2cos αααα=αα=)αθ=+（其中sinθθ==θ为锐角）．)αθ+≤ 易知当2αθπ+=时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等．6.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤,则a·b 的最大值是 ．【答案】12【解析】()221||||262a b e a e b e a b a b a b a b +⋅≤⋅+⋅≤+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12. 7.（2015年浙江文）已知1e ， 2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．【解析】由题可知，不妨()11,0e =，212e ⎛=⎝⎭，设(),b x y =，则11b e x ⋅==，2112b e x y ⋅=+=，所以31,3b ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，所以113b =+=.8.（2015年浙江理）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【答案】1，2，22.【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即xy y x y x |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b |x y x y xy ++--+ 22(4)5||x y x y b =+--+22243()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002000y x y y x . 【考纲要求】1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直.9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.【考向分析】1.平面向量的线性运算2.平面向量的坐标运算3.平面向量的数量积、模、夹角.【高考预测】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等或中等偏难.【迎考策略】1.向量线性运算的解题策略（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．2. 准确理解共线向量定理（1）a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线；若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔a∥b；（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具：解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB 外任意一点O ，总存在非零实数λ，使()1OP O OB A λλu u u r u u u u r u r＝＋－成立”．3. 基底的“唯一”与“不唯一”“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；“唯一”：平面内任意向量a 都可被这个平面内的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．4.平面向量数量积的计算方法①定义法求平面向量的数量积：已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②坐标法求平面向量的数量积： (a)已知或可求两个向量的坐标；(b)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积．③基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 5.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.6.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 7.巧建坐标系系，妙解向量题：坐标是向量代数化的媒介，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：（1）利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系． （2）利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限． （3）三角形中有唯一一个特殊角(30°、45°、60°等)时，有以下两种建系方法（4）圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系．（5）所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系．【强化演练】1．(2019年高考北京卷理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．2.(2019届北京市通州区三模)设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+=a b ， 因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+=a b||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3， 所以，由“||+=a b 不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D3.(浙江省温州市2019届高三2月高考适应)在平面上，，是方向相反的单位向量，||＝2 ，(-) •(-) ＝0 ，则|-|的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意(-) •(-) ＝0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量，所以有，即||＝1，记,则A,B两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当反向共线时，如图：|-|的最大值为1+2=3，故选D.4．(浙江省金华十校2019届高三上期末)已知向量，满足：，，，且，则的最小值为A．B．4 C．D．【答案】A【解析】由题意可知，把看作，，，则可表示为，点B在直线上，设，，，，，，，则的最小值可转化为在直线取一点B，使得最小，作点C关于的对称点，则最小值即可求出，设，由，解得，，则，故的最小值为．故选：A．5．(浙江省嘉兴市2019届高三上期末)已知向量，满足，，则的取值范围是( )A．B．C．[D．[【答案】D【解析】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.,即.故答案为：D.6．(浙北四校2019届高三12月模拟)已知向量，满足，，则的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为，，由绝对值向量三角不等式得：===1，故选A.7．(浙江省2019届高考模拟卷（一)）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A．B．C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D.8．(浙江省温州九校2019届高三第一次联考)已知是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意m,n，的最小值为1, 的最小值为2，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【答案】B【解析】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得，两式相乘可得（*）而，结合（*）可得，解得则故选B.9.(浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考)均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系则，，则满足，故，如图其轨迹图象则其最小值为故选.10．（天津市和平区2019届高三下学期第三次质量调查）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为( ) A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭， 且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=.故选：B.11．(湖北省黄冈中学2019届高三三模)已知m ，n 是两个非零向量，且||2m =，|2|4m n +=，则||||m n n ++的最大值为______.【答案】【解析】设m 的起点为坐标原点，因为||2m =，所以设m 的终点坐标为(2,0)，即(2,0)m =，设(,)n x y =，因为|2|4m n +=，所以2222(22)(2)16(1)4x y x y ++=⇒++=，21x -≤≤，||||(m n n x ++=+，而2222(1)423x y x x y ++=⇒++=，所以有||||72m n n ++=+≤==1x =-时，取等号，即||||m n n ++的最大值为12．(浙江省七彩联盟2019届高三11月期中】已知向量，满足，，若对任意实数x 都有，则的最小值为______【答案】【解析】如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x 都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P在直线BC上，线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当时，．故答案为：．13．(浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末)若向量满足，且，则的最小值是_ _.【答案】【解析】设，，，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；设,，则，而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，所以，即最小值为2.故答案为2.14．(浙江省台州市2019届高三上期末)设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，分别在圆，圆上，则的最大值为__ __．【答案】【解析】以为原点，两圆圆心所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．则，，令，，所以所以，令，则，所以当时，有最大值，填．15.(2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BEy x =-， 直线AE的斜率为3-，其方程为3y x =-.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.16. (2019年高考江苏卷)如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故ABAC=。

高考数学平面向量专题研究姚围有从历届高考来看，向量题往往已经成为浙江高考数学的点睛之笔。

向量作为一种既有大小又有方向的量，同时兼具代数和几何双重身份，一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算，另一方面，又可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。

因此，向量是重要而基本的数学概念之一，是高中数学的重点内容之一。

几乎每年都是浙江省高考数学的热点，而且题目比较新颖独特，基本以压轴题的形式出现，对学生的要求比较高，重在考查学生的能力。

一、2017年浙江高考考试说明要求1.1考试内容：平面向量的基本概念，平面向量的线性运算及几何意义，平面向量的基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的应用。

1.2考试要求：1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。

2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。

3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。

4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。

6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。

8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直。

9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

二、说明研读，地位分析从近几年的的浙江省数学高考真题来看，一般出现在选择、填空题的压轴题的位置。

对于学生的能力要求较高，体现了“在考查基础知识的同时，注重考查能力”的高考命题原则，凸显以能力立意命题的指导思想，又考查学生对数学思想方法的理解，试题以中、高档题为主，往往成为试题的亮点。

作为新高考文理不分科后的首次高考，对于平面向量的考查仍然是高考的考查重点，仍然会以中、高档题为主，以选择题或填空题出现，但是可能题目难度略低于理科难度，三、考情分析，总结原因3.1一模考试得失分情况分析本次模拟试卷涉及平面向量考点有3道题，分别是选择题第7题，解答题第19题，第21题向量与解析几何的综合运用，具体各题得分情况如下：3.2本届学生存在的问题根据学生平时学习情况和本次一模考试的得分情况，在平面向量这块内容上， 我校学生主要存在以下问题：（1）部分学生基础不扎实，对平面向量的基本概念、基础知识理解不够，如加减法的几何意义、向量模和夹角、投影等。

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知向量(4,2)a =，(6,)b y =，且a b ，求y ．【解析】因为(4,2)a =，(6,)b y =，a b ，所以4260y -⨯=，解得3y =． II ．考场精彩·真题回放【例2】（2016全国新课程Ⅱ卷）已知向量,4a m =（），3,2b =-（），且a b ，则m =___________．【答案】6- 【解析】因为ab ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．【例3】【 2016全国Ⅱ卷文】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），即2a b ka kb λ+=+，于是12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【例4】【2014福建高考理】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A ．)2,1(),0,0(21==e e B ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B【解析】能否把向量AB 表示出来，关键是看和选项12,e e 是否是非零不共线向量．A 中10e =，不能为基底；B 中不存在λ，使12e e λ=成立；C 中1212e e =，12,e e 共线，不能为基底；D 中12e e =-，12,e e 共线，不能为基底，故选B ．【例5】【2013辽宁高考卷】已知点()1,3A 、()4,1B - ，则与向量AB 同方向的单位向量为（ ） A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A精彩解读【试题来源】人教版A 版必修四第98页例6【母题评析】本题根据向量平行求所涉及到的参数的值，主要考查向量平行的充要条件的应用.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，.【思路方法】根据垂直关系求参数的值主要是利用平行垂直的充要条件建立方程或方程组来解，体现方程思想的应用、逆向思维的应用．【命题意图】本类题通常主要考查平面向量平行的充要条件的应用、方程思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，如果与函数、三角函数、解三角形有联系，会出现在解答题中．【难点中心】（1）平面向量平行有坐标形式与非坐标两种形式，解答时注意分析条件，选择适宜的形式；（2）利用向量平行的坐标形式充要条件公式时注意坐标相乘的对应关系，特别是注意不要与平面向量垂直的坐标形式相混淆．III ．理论基础·解题原理 考点一 平面向量平行的坐标形式 若向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则12210a b x y x y ⇔-=．考点二 平面向量平行的非坐标形式向量(0)a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 考点三 三点共线设O 是平面内任意一点，若OP xOA yOB =+，且1x y +=⇔,,P A B 三点共线． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、三角函数、解三角形等知识交汇，有时会以向量平行为条件渗透到解析几何试题中． 【技能方法】求解向量平行问题通常有两类题型：（1）判断两个向量是否平行，通常直接利用公式进行计算判断；（2）根据平行关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量平行的充要条件建立方程（组）来解决，主要步骤分为两步：（1）简化向量的表达式；（2）利用向量平行条件建立方程（组）；（3）解方程（组）求得参数． 【易错指导】（1）平面向量的共线问题包括同向共线与异向量共线两种情况：因此处理相关题型时注意两个方面：①共线是否存在同向共线与异向量共线的要求；②利用向量平行的坐标形式还是利用非坐标形式．（2）利用平面向量平行的坐标形式的充要条件时，常常会与平面向量垂直的坐标形式的充要条件相混淆．V ．举一反三·触类旁通考向1 根据向量平行关系求参数【例1】【2016河北三市第二次联考理13】已知12,e e 是不共线向量，122a me e =+，12b ne e =-，且0mn ≠．若ab ，则mn=__________． 【答案】2-【名师点睛】根据向量的平行关系求相关参数的值，无论是坐标形式的向量还是非坐标形式的向量间的平行关系，都必须要建立方程（组）来解决． 考向2 利用向量平行关系处理三点共线问题【例2】【2016四川双流中学高三12月月考】已知AC 、CE 为正六边形ABCDEF 的两条对角线，点,M N 分别在线段AC 、CE 上，且使得,AM r AC CN rCE ==，如果,,B M N 三点共线，则r 的值为（ ） AB ．3C ．3 D ．13【答案】C【解析】由题意得，建立如图所示的直角坐标系，设正六边形的边长为2，则(0,0),(2,0),3)A B C ，(0,E ，则(2,0),(1,3(3,3),A B B C A C C E ===-，因为,AM r AC CN rCE ==，则 (3,3),(3)AMr r CN r==-，所以(3)(13BN BC CN r r =+=+-=-，(2,0)(3)(3BM BA AM r r =+=-+=-，因为,,B M N三点共线B N B M λ=，即(13(3r r λ-=-，所以13(32)r r λ-=-⎧⎪=，解得r =C ．【技巧点拨】,,A B C 三点共线问题是常用两种处理：（1）转化两个向量的线性关系，利用共线定理建立方程（组）来处理相关问题，如例9,,B M N 三点共线转化为BN BM λ=；（2）在平面另取一点O ，处理为(1)OA xOB yOC x y =++=． 考向3 平面向量平行与三角函数的交汇【例3】已知向量01(,)sin 55a b x ==共线，则实数x 的值为（ ）A ．1BC 035 D ．0tan 35 【答案】B【规律总结】平面向量的平行通常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换交汇．解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量平行的充要条件转化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量平行的充要条件求解．【跟踪训练】已知(,)6απ∈π，(sin(2),sin )a αββ=+，(3,1)b =，且//a b ，设t a n x α=，tan y β=，当1()3f x =时，α=_______．【答案】4π【解析】由//a b 得sin(2)3sin αββ+=，sin[()]3sin[()]αβααβα++=+-，sin()cos αβα+＝2cos()sin αβα+，∴t a n ()2t a nαβα+=，tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-，即21x y x xy +=-，2()12x f x x =+，所以1()3f x =时，1x =或12，所以t a n 1α=或1tan 2α=．∵(,)6απ∈π，∴tan 1α=，∴4απ=． 考向4 平面向量平行与解三角形的交汇【例4】【2016届广东省湛江市普通高考测试题（二）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为锐角，向量(2sin ,m A =，2cos 2,2cos 12A n A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且m n ．（1）求A 的大小；（2）如果2a =，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）3π；（2）3.【名师指引】平面向量平行与解三角形的交汇主要体现为利用三角形的边或角的三角函数为向量的坐标，然后给出向量的平行关系，求相关的三角形的边和角，或解决相关的三角形的问题，求解时通常是利用向量的平行关系转化为三角形边和角的三角函数关系，然后结合正弦定理、余弦定理、面积公式进行求解．。

专题5.2 平面向量数量积及其应用【三年高考】1. 【2021高考山东理数】非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.假设n ⊥〔t m +n 〕，那么实数t 值为〔〕 〔A 〕4 〔B 〕–4 〔C 〕94〔D 〕–94【答案】B2. 【2021高考新课标2理数】向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，那么m =〔 〕〔A 〕－8 〔B 〕－6 〔C 〕6 〔D 〕8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，应选D.3. 【2021高考新课标3理数】向量，，那么ABC ∠=〔 〕 (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A【解析】由题意，得133132222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，应选A ．4. 【2021高考浙江理数】向量a 、b , ｜a ｜=1，｜b ｜ =2，假设对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,那么a ·b 最大值是． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为125. 【2021年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，那么2BM 最大值是( ) 〔A 〕434〔B 〕494〔C 〕〔D 〕 【答案】B【解析】甴易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，那么()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2221334x y BM +++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点(),x y 与点()1,33--距离平方14，()()2222max149333144BM ⎛⎫∴=+-+= ⎪⎝⎭，应选B ．6. 【2021 高考陕西，理7】对任意向量,a b ，以下关系式中不恒成立是〔 〕 A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B7.【2021 高考重庆，理6】假设非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且〔a -b 〕⊥〔3a +2b 〕，那么a 与b 夹角为 〔 〕A 、4πB 、2πC 、34πD 、π【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以222223()cos 2033θ⨯--=，，，选A . 8.【2021 高考福建，理9】1,,AB AC AB AC t t⊥== ，假设P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且 ，那么PB PC ⋅ 最大值等于〔 〕 A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图，那么，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅，因为，所以PB PC ⋅ 最大值等于13，当，即12t =时取等号．9.【2021 高考湖南，理8】点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，假设点P 坐标为(2,0)，那么PA PB PC ++最大值为〔 〕 【答案】B.10.【2021全国课标2，理3】设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A【解析】因为22||()a b a b +=+=222a b a b ++⋅=10，22||()a b a b -=-=2226a b a b +-⋅=，两式相加得：228a b +=，所以1a b ⋅=，应选A.11. 【2021江苏，12】如图在平行四边形ABCD 中，8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，那么AB AD ⋅值是 .【答案】2212. 【2021安徽，理10】在平面直角坐标系xOy 中，向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.假设C Ω为两段别离曲线，那么( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 【答案】A【解析】设(1,0),(0,1)a b ==，那么(2,2)OQ =，(cos ,sin )OP x x =，区域Ω表示是平面上点到点2,2)Q 距离从r 到R 之间，如以下图中阴影局部圆环，要使C Ω为两段别离曲线，那么13r R <<<，应选A.【三年高考命题回忆】纵观前三年各地高考试题, 对平面向量数量积及其应用考察，重点考察结合平面向量加减、实数与向量积运算，运用平面向量数量积定义、数量积运算法那么、数量积性质，计算平面向量数量积、向量夹角、处理向量垂直问题、计算向量模、计算一个向量在另一个向量上投影，而向量数量积及运算律，向量垂直充要条件是高考热点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往与解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量数量积及运算律考察多为一个小题；另外作为工具在考察三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．【2021年高考复习建议与高考命题预测】由前三年高考命题形式可以看出，整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考察单一知识点；有时通过知识交汇与链接，全面考察向量数量积及运算律等内容．试题难度为多为容易题或中档题，少数为选择题或填空压轴题.预测2021高考，对平面向量数量积及其应用考察，重点仍为结合平面向量加减、实数与向量积运算，运用平面向量数量积定义、数量积运算法那么、数量积性质，计算平面向量数量积、向量夹角、处理向量垂直问题、计算向量模、计算一个向量在另一个向量上投影，考察形式为选择题或填空题，分值为5分，试题难度为为容易题或中档题，也可为选择题或填空压轴题，注意向量作为工具，常用向量形式给出题条件或利用向量数量积处理其中夹角与垂直问题.在备战2021年高考中，同学们要熟记向量数量定义、运算法那么及平面向量数量积性质，加强运用这些知识计算平面向量数量积、向量夹角、处理向量垂直问题、计算向量模、计算一个向量在另一个向量上投影等题型训练，善于将题中向量形式给出条件，转化为代数条件或几何条件,善于用平面运用平面向量数量积处理长度、夹角、垂直等问题.【2021年高考考点定位】高考对平面向量数量积及其应用考察主要有三种形式：一是直接考察平面向量数量积概念及其几何意义、平面向量数量积运算法那么及一个向量在另一个向量方向上投影，二是考察平面向量夹角问题与向量垂直充要条件应用，三是考察平面向量模及平面向量数量积综合运用，题型为选择题、填空题、解答题第一个大题，大多难度容易题或中档题，少数为选择题或填空题最末一题为难题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中条件或利用向量垂直充要条件、向量夹角公式、或向量模公式分别处理涉及垂直问题、夹角问题与长度问题. 【考点1】平面向量数量积及其几何意义 【备考知识梳理】1.平面向量数量积：(1)非零向量a 与b ，它们夹角为θ，那么把|a ||b |cos θ叫做a 与b 数量积，记作•a b ，记作•a b =|a ||b |cos θ，规定•0a =0.注意平面向量数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来.(2)a =〔1x ，1y 〕，b =〔2x ，2y 〕，那么•a b =1x 2x +1y 2y .2.向量投影：|b |cos θ叫向量b 在向量a 方向上投影，它是一个实数，而不向量.向量b 在向量a 方向上投影为•a b|a |. •a b 等于a 模与b 在向量a 方向上投影乘积.4.数量积运算法那么：〔1〕•a b =•b a ；〔2〕()•a b+c =••a b+a c ，〔3〕()λ•a b =.()λ•a b =()λ•a b 【规律方法技巧】1.在解决与平面几何有关数量积问题时，充分利用向量线性运算，将所求向量用共同基底表示出来，在利用平面向量数量积数量积运算法那么求解.2.计算向量b 在向量a 方向上投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用•a b|a |计算. 3. 注意向量数量积不满足消去率与结合律.4.在计算向量数量积时，假设一个向量在另一个向量上投影已计算，可以利用向量数量积几何意义计算. 【考点针对训练】1. 【江西师大附中2021年4月高三质检卷】向量，那么b 在a 上投影等于______________. 【答案】12【解析】b 在a 方向上投影为:11||cos ,2||1a b b a b a ⋅<>===⎛⎫. 2. 【2021届河北省石家庄高三二模】在ABC Rt ∆中，2,4==AC AB ，点P 为斜边BC 上靠近点B 三等分点，点O 为ABC ∆外心，那么AO AP ⋅值为_____. 【答案】6【考点2】向量垂直问题与向量夹角问题 【备考知识梳理】1.向量夹角(1)定义：非零向量a 、b ，作OA = a ，OB =b ，那么AOB ∠就是a 与b 夹角，范围为[0,]π，当向量a 与b 同向时，a 与b 夹角为0，当向量a 与b 反向时，a 与b 夹角为π，注意通过平移使两个向量有共同起点，向量所在射线所成角才是向量夹角. (2)假设向量a 与b 夹角为θ，那么cos θ=.(3)假设向量a =〔1x ，1y 〕，b =〔2x ，2y 〕，向量a 与b 夹角为θ，那么cos θ=.(1)概念：假设a 与b 夹角为o 90，那么称a 与b 垂直，记作a ⊥b . 〔2〕非零向量a ，b ，那么a ⊥b ⇔•a b =0.(3)非零向量a ，b ，a =〔1x ，1y 〕，b =〔2x ，2y 〕，那么a ⊥b ⇔1x 2x +1y 2y =0. 【规律方法技巧】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角关系.2.在求夹角时要注意：(1)当a ，b 是非坐标形式时，需要先求出•a b 及|a |、|b |或它们关系. (2)假设向量a ，b 坐标，直接利用公式求解.(3)假设两个向量夹角为锐角，那么cos θ＞0，反之，不一定；假设两个向量夹角为钝角，那么cos θ小于0，反之，不一定.3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出形式：可以用定义式，也可以用坐标式.【考点针对训练】1. 【2021年山西高三四校联考】假设非零向量,a b 满足，且()(32)a b a b -⊥+，那么a 与b 夹角为〔 〕 A. π B. 2πC.34π D. 4π【答案】D2. 【2021届邯郸市一中高三.十研】 向量(1,2),(,1),(3,2)a b m c =-=-=-，假设()a b c -⊥，那么m 值是________．【答案】3-【解析】(1,3),()()0a b m a b c a b c -=---⊥⇒-⋅=,即3(1)(2)30m ⨯--+-⨯=，解之得3m =-. 3. 【2021淮北一中高三最后一卷】向量()()1,1,n 2,2m t t =+=+，假设()()m n m n +⊥-，那么t =___________．【答案】－3【解析】由()()m n m n +⊥-，得()()220m n m n m n +⋅-=-=，所以2222(1)1(2)2t t ++=++，解得3t =-．【考点3】平面向量模与向量数量积综合运用 【备考知识梳理】1.向量模：向量a 模就是表示向量a 有向线段长度，记作|a |，它表示向量a 大小，是非负数. 2. ==•22|a |a a a .a =〔1x ，1y 〕，那么|aA 〔1x ，1y 〕，B 〔2x ，2y 〕，那么||AB【规律方法技巧】1.对于长度问题，可以用向量模来处理，假设向量a 是非坐标形式，用==•22|a |a a a 求模长；假设给出向量a 坐标，那么用|a 来求解.2.对向量与其他知识结合综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量相关知识，转化为向量问题去处理.【考点针对训练】1. 【2021届河南郑州一中高三考前冲刺一】在ABC ∆1120,2A AB AC ∠=⋅=-，那么AM 最小值是____. 【答案】21 【解析】设,AB c AC b ==，由1120,2A AB AC ∠=⋅=-，即有，得1bc =，点M 是BC 中点，那么，()()22222112144AM AB AC AB AC c b =++⋅=+- ()()11121211444bc ≥-=⨯-=．当且仅当1b c ==取得最小值，且为14．那么AM 最小值为12,故答案为：21．2. 【2021年河南八市高三联考】平面向量,,a b c 满足1a a a b b c •=•=•=，2a c •=，那么a b c ++取值范围为〔 〕A ．[0,)+∞ B．)+∞ C．)+∞ D ．[4,)+∞ 【答案】D【解析】如图，设由题意,,,OA a OB b OC c ===由1a a a b b c ⋅=⋅=⋅= ，可知()0b a c ⋅-=即()b a c ⊥-，即()OB OA OC ⊥-，即OB CA ⊥，设,AOB AOC θϕ∠=∠=，由2a c ⋅=可知cos 2c ϕ=即2OD =，由1a =知1OA =，那么1AD =，在Rt OCD 与Rt ACD 中，可知 ，又1cos 1cos b b θθ=∴=，那么2222222,a b c a b c ab bc ac ++=+++++，将1a a a b b c ⋅=⋅=⋅=，2a c ⋅=代入， 2221212122a b c b c ++=+++⨯+⨯+⨯229b c =++221tan 9c θ=+++()2221101cos c cϕ=++-2222110cos c c c ϕ=++-22141416,4c c =+-+≥-当且仅当故4a b c ++≥，应选D. 【应试技巧点拨】向量几何表示是高考热点问题，特别是用三角形各种心向量表示经常是命题素材，常见结论如下：①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上中线AD 上任意向量，过重心；等于AD 是ABC∆中BC 边中线.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 边BC 高AD 上任意向量，过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆内心(是BAC ∠角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔O 为ABC ∆外心.2. 向量垂直重要应用向量垂直重要应用,是高考热点.命题方向有两点：一是利用条件去判断垂直；二是利用垂直条件去确定参数值.需结实掌握判断充要条件. 向量垂直充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=. 3.如何恰中选择向量数量积公式求向量数量积公式有两个：一是定义式a •b ＝cos a b θ；二是坐标式a b ⋅=1212x x y y +.定义式特点是具有强烈几何含义，需要明确两个向量模及夹角，夹角求解方法灵活多样，一般通过具体图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积一个重要途径.坐标式特点具有明显代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量坐标进展求解.即向量问题“坐标化〞，使得问题操作起来容易、方便. 4．求向量夹角时要注意：(1)向量数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线两向量夹角为锐角，数量积等于0说明两向量夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量夹角关系是钝角． 二年模拟1.【2021年江西南昌一中高三模拟】向量a =(1，3，向量a ，c 夹角是3π，a ·c =2，那么|c |等于 . 【答案】2【解析】由题意，得||2a =，向量a c ⋅夹角是3π，且||||cos 23a c a c π⋅=⋅=，解得||2c =.2.【2021年河南商丘高三二模】设向量21,e e 是两个互相垂直单位向量，且221,2e b e e a =-==+b a 〔 〕A ．22B ．5C ．2D ．4 【答案】B【解析】因为12e e ⊥,所以120e e ⋅=,()()()222221212221222442424545a b a ba ab b e e e e e e e e +=+=+⋅+=-+-⋅+=+⋅=．3. 【2021年江西师大附中高三二模】,,A B C 是单位圆上互不一样三点，且满足，那么AB AC →→⋅最小值为〔 〕A ．14- B ．12- C ．34- D ．1- 【答案】B4. 【2021届河南省郑州一中高三考前冲刺五】,a b 均为单位向量，它们夹角为60°，那么3a b +=〔 〕A ．13B ．10C ．4D ．13 【答案】A【解析】由条件可知222211,|b |1,2a ab a b ====⋅= ，()()222336913a ba b a a b b +=+=+⋅+=，所以313a b +=.故此题答案选A.5. 【2021届河南省新乡卫辉一中高考押题一】向量,a b 夹角为120°，且2,3a b ==，那么向量23a b +在向量2a b +方向上投影为〔 〕A ．B ．C 56D 83【答案】A【解析】，向量23a b +在向量2a b +方向上投影为(23)(2)191313|2|4494(3)13a b a b a b +⋅+===+⨯++⨯-，选A.6.【2021届宁夏石嘴山三中高三三模】向量a ，b 满足()2a b a ⋅+=，且||1a =，||2b =，那么a 与b 夹角为〔 〕A ．6πB ．5π C ．4π D ．3π 【答案】D【解析】由()2a b a ⋅+=可得1=⋅b a ，那么21||||,cos =⋅>=<b a b a b a ，故a 与b 夹角为3π． 7. 【2021届河南省郑州市高三第二次模拟】C B A ,,为ABC ∆三个内角，向量m 满足，且)2cos ,2sin 2(CB C B m -+=，假设A 最大时，动点P 使得PB 、BC 、PC 成等差数列，那么BCPA 最大值是〔 〕A ．332 B ．322 C ．42 D ．423【答案】A. 【解析】222262sin cos 2cos cos 22222B C B C A B C m +--=+=+=， ∴222313cos 2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵， ∴132cos22262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 最大值为23π，取到最大值时，又∵||PB ，||BC ，||PC 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+，故P 点轨迹是以B ，C 为焦点椭圆，如以下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2AB AC ==，∴22||433a BC a ==⇒=3c =223b a b =-=，∴椭圆标准方程是，∴22224||(1)12213PA x y y y y =+-=-+-+2211213(3)16433y y y =--+=-++，当且仅当3y =-时，等号成立，∴max ||23()||23PA BC ==A ． 8. 【2021届河南省郑州一中高三考前冲刺二】ABC ∆外心O 满足，那么=A cos 〔 〕A ．21B ．23C ．31- D ．33 【答案】A9. 【2021届湖北省八校高三二联】在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，那么AE BF ⋅=〔 〕A.83- B. 1- C. 2 D. 103【答案】C【解析】2233AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+,1122BF BC CF BC CD AD AB =+=+=-,所以222112232233AE BF AB AD AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221221434322332=-⨯+⨯+⨯⨯⨯=，应选C.10. 【2021届四川省成都市石室中学高三5月一模】如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 中点，对于常数λ，在梯形ABCD 四条边上恰有8个不同点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，那么实数λ取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ． 【答案】D11. 【2021 届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】假设向量a 、b 满足)1,2(-=+b a ，)2,1(=a，那么向量a 与b 夹角等于 〔 〕A ．︒45B ．︒60C ．︒120D ．︒135 【答案】D ．【解析】设(,)b x y =，那么由)1,2(-=+b a ，)2,1(=a得：(1,3)b =-，所以(1,2)(1,3)52cos ,251052a b a b a b⋅⋅--<>====⨯⋅a 与b 夹角等于︒135，故应选D ．12.【2021 届陕西省西安市一中高三下学期自主命题一】设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，那么a b ⋅=〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【解析】2210,210b a b a a b ∴++⋅=+=①；226,26b a b b a a ∴+⋅--==②；①-②得，a b ⋅=1．13.【2021 届福建省泉州五中高三模拟考试】向量2a b ==，a 与b 夹角为3π．假设向量m 满足1m a b --=，那么m 最大值是A ．231-B ．231+C ．4D ．621++ 【答案】B【解析】设()0,2=a ，由于a 与b 夹角为3π，那么()3,1=b ，设()y x m ,=，()3,3--=--y x b a m ()()13322=-+-=y x ，故向量m 终点在以()3,3为 圆心，1=r 为半径圆上，m 最大值为圆心到原点距离加上半径，即132139+=++，故答案为B ．14. 【2021 届江苏省南通市高三第二次调研】在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，那么线段AC 长为 ．【答案】315.【2021 届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】如图：边长为4正方形ABCD 中心为E ，以E 为圆心，1为半径作圆．点P 是圆E 上任意一点，点Q 是边CD BC AB ,,上任意一点〔包括端点〕，那么DA PQ ⋅取值范围为 ． 【答案】[]12,12-【解析】以A 为原点，AD AB ,分别为y x ,轴建立平面直角坐标系，()()40,00，，D A ，()40-=→，DA ，圆E ：()()12222=-+-y x ，设()31,31,,≤≤≤≤y x y x P ，当∈Q 线段AB 时，()40,0,≤≤a a Q ，此时()y x a PQ --=→,，此时[]1244，∈=⋅→→y DA PQ ，当∈Q 线段BC 时，()40,4≤≤b b Q ，，此时()y b x PQ --=→,4，()[]12,124-∈--=⋅→→y b DA PQ ，当∈Q 线段CD 时，()40,4,≤≤a a Q ，此时，()y a PQ --=→4,4，()[]4-,1244-∈--=⋅→→y DA PQ ，所以最后取值范围是[]12,12-． 拓展试题以及解析1.(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，假设(2)a b c -⊥，那么||b =〔 〕 A ．35 B ．32 C ．25 D ．10 【答案】A【解析】由题，得2(22,7)a b k -=--，又(2)a b c -⊥，所以(2)0a b c -⋅=，即1(22)720k ⨯--+⨯=，解得6k =，所以22||(3)35b k =+-=，应选A ．【入选理由】此题考察平面向量坐标运算、数量积与模等根底知识，意在考察转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．此题是一个常规题出法，但有一定综合性，应选此题.2.,a b 是平面内两个单位向量，满足0⋅=a b ，假设向量c 满足=1⋅=⋅a c b c ，那么++c a b 为〔 〕A ．22B ．2C ．3D ．1 【答案】A【入选理由】此题考察平面向量数量积与模等根底知识，意在考察转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．此题主要表达在运用向量数量积解题时，一定要注意两向量夹角范围,具有一定代表性，应选此题.3.平面向量b a ,是非零向量，2||=a ，)2(b a a +⊥，那么向量b 在向量a 方向上投影为 . 【答案】-1【解析】∵ 2||=a ，)2(b a a +⊥，∴)2(b a a +•=02||2=•+b a a ，∴=-2，∴向量b 在向量a ||a =-1.【入选理由】此题主要考察平面向量垂直充要条件、平面向量数量积应用等根底知识，意在考察转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．此题是一个常规题,也是高考考试重点，应选此题.4.扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上动点，AB 与OC 交于点P ，那么OP BP ⋅最小值是_______. 【答案】116-【入选理由】此题考察向量数量积、根本不等式等根底知识，意在考察数形结合思想、分析问题与解决问题能力、根本运算能力及推理能力．此题向量与不等式巧妙结合，有新意，应选此题.5. 向量b a ,满足42=a ，2||=b ，4)3()(=-⋅+b a b a ，那么a 与b 夹角为 . 【答案】32π【解析】由4)3()(=-⋅+b a b a 得，4||2322=-⋅+b b a a ，即422432=-⋅+⨯b a ，得2-=⋅b a . 【入选理由】此题考察向量数量积,向量夹角等根底知识，意在考察分析问题与解决问题能力、根本运算能力及推理能力．此题是一个常规题,而夹角是向量应用重点，应选此题.ABC ∆中，角A B C ，，所对边是a b c ，，，GA GB GC ++=0且0GA GB ⋅=，假设，那么实数m 值是〔 〕A.12B.13C.14D.15【答案】A【解析】由题知，G 是三角形重心，所以，()()11233BG BA BC AC AB +=-=.因为()()1209AG BG AB AC AC AB =+-=，即2220AC AB AB AC --=，所以()222221202b c b c a --+-=，整理得：2225a b c +=①因为，所以()tan tan tan tan tan A B C m A B +=，即()sin cos sin cos sin cos sin sin B A A B C m C A B +=，即2sin cos sin sin C m C A B =，即，将①代入得.【入选理由】此题考察向量数量积,三角恒等变形，正余弦定理等根底知识，意在考察学生分析问题解决问题能力与运算求解能力．此题综合性较强,有一定难度，应选此题.7.在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 中点，边AC 〔含端点〕上存在点M ，使得BM CN ⊥，那么cos A 取值范围为_______.【答案】3[,1)8【入选理由】本小题主要考察向量数量积，函数值域，三角函数有界性等根底知识，意在考察分析问题能力、根本运算能力．此题表达向量作为一个工具作用，应选此题.8.向量,a b 满足|a |=1,|2|a b -=23a 在b 方向投影为12，那么(+2)b a b •= . 【答案】34第 21 页 【解析】设向量a ，b 夹角为θ，那么||cos a θ=12，解得cos θ=12，由|2|a b -=224||4||||cos ||a a b b θ-+=12，即242||||12b b -+=，解得||4b =，所以(2)b a b •-=22||a b b •+=34. 【入选理由】此题主要考察向量数量积,向量模,投影等根底知识，意在考察学生分析问题解决问题能力与运算求解能力．此题是一个常规题出法，但有一定综合性，应选此题.。

平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。

注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则||1e =。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）A.AB CD =B.AB AD BD -=C.AD AB AC +=D.AD BC +=07．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 、AB BA =-。

例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

其中正确的是_______题型1、基本概念 1：给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a =b ，b =c ，则a =c ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ；⑥00a ⋅=；⑦00a ⋅=； 其中正确的序号是 。

五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

I．题源探究·黄金母题【例1】已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

的夹角为错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

．【解析】错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016浙江高考卷】已知向量错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，若对任意单位向量错误！未找到引用源。

，均有错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最大值是___________．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，即最大值为错误！未找到引用源。

．【例3】（2016年天津高考理）已知错误！未找到引用源。

是边长为1的等边三角形，点错误！未找到引用源。

分别是边错误！未找到引用源。

的中点，连接错误！未找到引用源。

并延长到点错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】B【例4】【2015年天津高考理】在等腰梯形错误！未找到引用源。

中,已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，动点错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

分别在线段错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

上，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最小值为___________．A【答案】错误！未找到引用源。

【解析】因为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

I．题源探究·黄金母题【例1】若错误!未找到引用源。

是夹角为错误!未找到引用源。

的两个单位向量，则错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

的夹角为（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

【解析】由题意，得错误!未找到引用源。

．错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

．错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

．错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

．所以错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

，故选C．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016全国新课标Ⅲ卷理】已知向量错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。

（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

【答案】A【解析】由题意，得错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

，故选A．【例3】【2015届重庆高考理】若非零向量错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的夹角为（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

【答案】A【例4】【2014全国新课标Ⅰ卷】已知错误!未找到引用源。

为圆错误!未找到引用源。

上的三点，若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的夹角为_______．【答案】错误!未找到引用源。

【解析】由错误!未找到引用源。

，故错误!未找到引用源。

三点共线，且错误!未找到引用源。

是线段错误!未找到引用源。

中点，故错误!未找到引用源。

是圆错误!未找到引用源。

的直径，从而错误!未找到引用源。

，因此错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的夹角为错误!未找到引用源。

．【例5】【2014山东高考卷文】已知向量错误!未找到引用源。

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为30︒，求||a b +、||a b -．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016年四川高考卷】在平面内，定点A B C D ，，，满足DA ＝DB ＝DC ,DA DB ⋅＝DB DC ⋅＝2DC DA ⋅=-，动点P M ，满足1AP =，PM =MC ，则2BM 的最大值是（ ）A ．434 B ．494C ．374+D 【答案】B【解析】甴已知易得120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，2DA DB DC ===．以D 为原点，直线DA为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,A B C --．设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=．又PM MC =，∴1,2x M ⎛- ⎝⎭，∴12x BM ⎛+= ⎝⎭，∴()(22214x y BM -++=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y与点(1,--距离平方的14，∴ ()22max149144BM ⎫==⎪⎭，故选 B ．【例3】【2015年湖南高考卷】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】 B【解析】由题意，得AC 为圆的直径，故可设(,),(,),(,)A m n C m n B x y --，则(2,)PA m n =-，(2,)PB x y =-，(2,)PC m n =---，所以(6,)PA PB PC x y ++=-，于是||PA PB PC ++＝221x y +=上的动点到定点(6,0)距离的最大值，从而根据图形特征知当1x y =-⎧⎨=⎩时，PA PB PC ++的最大值为7，故选B ．【例4】（2015年浙江高考文科）已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =___________．【例5】﹙2014年江西高考文科﹚已知单位向量，12,e e 的夹角为α，且1cos 3α=，项向量1232a e e =-，则||a =_______．【答案】 3【解析】由题意，得2212||(32)a e e =-＝2211229124e e e e -⋅+＝912cos 4α-⨯+＝1131293-⨯=，所以||3a =．【例5】【2013湖南高考卷】）已知,a b 是单位向量，0a b ⋅=．若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的取值范围是（ ）A ．1]B ．2]C ．1]D ．2] 【答案】A【解析】因为,a b 是单位向量，0a b ⋅=，所以22|22a b a b a b +=+⋅=|||||+．设向量a b +与c 的夹角为θ，于是由||1c a b --=，两边平方，得222||||||2()21c a b a b c a b ++-+⋅+⋅=，即2||1122||cos 1c c θ++-=，即2cos 0||c θ=>21||c ≤，得2||22||11c c -+≤，解得1||21c ≤≤+，故选A ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修四第119页复习参考题A 组第13题．【母题评析】本题中,a b 是利用两个已知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两个新向量的模，求解时通常直接利用模的公式2||||a a a a ==⋅可直接解决．高考命题常常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向量的模．【思路方法】求由两个已知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的模，通常利用模的公式2||||a a a a ==⋅结合乘法法则展开，然后利用两个已知向量模与夹角进行求解．【命题意图】本类题主要考查平面向量的模的求法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小．也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中．【难点中心】（1）利用模公式2||||a a a a ==⋅转化后，如何求新的向量式的值，是一个难点；（2）在平面几何图中进行向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个向量的模及夹角是已知的．III ．理论基础·解题原理 考点一 向量模的定义向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作||AB ．长度为0的向量叫做零向量，长度等于1的向量叫做单位向量． 考点二 向量模的计算公式 （1）非坐标形式：2||||a a a a ==⋅；（2）坐标形式：若(,)a x y =，则2||a x y =+．考点三 向量模的性质（1）||||||a b a b +≤+，当且仅当,a b 同向共线时，等号成立； （2）||||||a b a b -≤+，当且仅当,a b 异向共线时，等号成立． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇． 【技能方法】（1）求已知向量的模，通常直接利用公式进行计算即可；（2）根据向量的模的大小求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量模的公式建立方程（组）来解决，主要步骤分为三步：①简化向量的表达式；②利用向量的模的公式建立方程（组）；③解方程（组）求得参数； 【易错指导】（1）不能正确将非坐标形式的向量利用公式2||||a a a a ==⋅进行转化；（2）错误利用向量模的性质，特别是性质不等式中，在什么情况等号成立易出现错误． V ．举一反三·触类旁通 考向1 求向量的模【例1】【2016黑龙江哈尔滨六中高三下期中】设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +＝（ ）A ．5B ．10C ．25D ．10 【答案】B【解析】∵a b ⊥r r ，∴20a b x ⋅=-=r r，2x =，则(3,1)a b +=-，所以10a b +=，故选B ．【例2】【2016山东寿光现代中学高三下开学检测】平面向量a b 与r r的夹角为()2,0,13a bπ==，rr ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．0CD ．2 【答案】D【归纳总结】求两个向量的模主要有两种题型：（1）求给出坐标的向量(,)a x y =的模，利用公式2||a x =+（2）求非坐标形式的向量的模，利用公式2||||a a a a ==⋅求解．【跟踪训练】已知平面向量a 与b 的夹角为3π，且1,223b a b =+=，则a =___________．【答案】2【解析】由1b =，将223a b +=的两边同时平方可得，224cos 4123a ab b π+⋅+=，即2144122a a +⋅+=，解得2a =． 考向2 根据平面向量的模求解参数问题【例2】【2016宁夏六盘山高中高三下第二次月考】已知向量(,1),(2,1)a b λλ==+，若a b a b +=-，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2- 【答案】C【名师点睛】根据向量的模的大小，或几何向量的模间关系等求相关参数的值或取值范围，解答此类问题通常要建立方程（组）来解决．【跟踪训练】已知平面向量(0,1)a =-，(2,1)b =，||2a b λ+=，则λ的值为（ ）A ．1B 1C ．2D ．1 【答案】D【解析】因为 (2,1)a b λλ+=-，所以222||2(1)4a b λλ+=+-=，又0λ>，解得1λ=，故选D ．考向3 求向量的模的最值或取值范围【例3】【2016浙江嘉兴一中高三期中】已知平面向量(),αβαβ≠ 满足3α=且α与βα- 150︒的夹角为，则()1m m αβ+-的取值范围是___________．【答案】2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】()()()()()()()222111m m m αβα+-=+()23213m βαβα⎛⎫=-+-⨯⨯-- ⎪ ⎪．令()1m t βα--=，则()2232133m t βαβα⎛⎫-+-⨯⨯--=-≥= ⎪ ⎪，所以()1m m αβ+-取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭．【方法归纳】求平面向量的模的最值或取值范围通常有如下途径：（1）根据条件建立函数，通常求函数的最值来解决，而建立函数时有时可通过建立坐标系来处理；（2）如果条件中的向量具有几何意义，可转化为平面几何问题，利用图形的直观性来解决；（3）建立多个变量的表达式，结合基本不等式可解析几何知识求解．【跟踪训练】在平面直角坐标系xOy 中，已知点B A ,分别为x 轴，y 轴上一点，且1=AB ，若点)3,1(P ，则AP BP OP ++的取值范围是（ ） A ．]6,5[ B ．]7,6[ C ．]9,6[ D ．]7,5[ 【答案】D考向4 平面向量的模与不等式交汇【例4】【2016陕西西藏民族学院附中高三4月月考】已知向量,a b 满足1a =，a 与b 的夹角为3π，若对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，则b 的取值范围是（ ） A ．1[,)2+∞ B ．1(,)2+∞ C ．[1,)+∞ D ．(1,)+∞【答案】C【解析】由若对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，得222xa b a b +≥+，即222224+42x a b xa b a b a b +⋅≥++⋅，整理得222224+42x a b x a b a b a b +⋅≥++⋅，把1a =，a 与b 的夹角为3π代入，整理得()222310x x b b b ++--≥恒成立，故 ()22=44310b b b ∆---≤，解得1b ≥．【方法点睛】因为向量的模实际是一个实数，因此它常常与不等式相结合，常常会出现在不等式的种类题型．解答时通常是首先利用不等式的知识确定出向量的模应满足的条件，然后求解相关的问题．【跟踪训练】已知非零向量,1||,=≠且对任意的实数,R t ∈都有||||t -≥-，则有（ ）A ．a e ⊥B ．⊥+)(C ．()e a e ⊥-D ．)()(-⊥+ 【答案】C【解析】因为非零向量,1||,=≠且对任意的实数,t ∈R 都有||||t -≥-，所以22||||a te a e -≥-，22210t a et a e -⋅+⋅-≥，()()224210a e a e ∆=⋅-⋅-≤，即()210a e ⋅-≤，()210a e a e e e a e ⋅-=⋅-=-=，故选C ．考向5 平面向量的模与三角函数的交汇【例5】【2016江苏南京市高三三调】在平面直角坐标系xOy 中，已知点cos (n )si A θθ，，()sin 0B θ，，其中θ∈R ．（1）当23πθ=时，求向量AB 的坐标； （2）当[0,]2θπ∈时，求||AB 的最大值．【答案】（1）1(22AB = ；（2【规律总结】平面向量的模与三角函数的交汇通常体现为以三角函数为向量的坐标，同时给出向量的模大小、范围或几个向量模间关系，求解三角函数问题或向量问题等．解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量的模的公式化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量的模的公式求解．【跟踪训练】设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()x f 的最大值．【答案】（1）6x π=；（2）32．考向6 平面向量的模与解析几何的交汇【例6】【2016河南郑州市高三二模】已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角，向量m26=，且)2cos ,2sin2(CB C B -+=，若A 最大时，动点P成等差数列，的最大值是（ ）A ．332 B ．322 C ．42 D ．423【答案】A.【解析】2sin m ===，∴2c o s 2B C-＝ 232cos [0,1]22A -∈，∴213cos 424A ≤≤．又∵(0,)22A π∈，∴1cos 22A ≤≤，∴623A ππ≤≤，∴233A ππ≤≤，故A 的最大值为23π，取到最大值时6B C π==，又∵||PB ，||BC ，||PC 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+，故P 点的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2AB AC ==，∴22||32a B C ==⇒，c =，3b ==，∴椭圆的标准方程是221129x y +=，∴2||P A x =+＝＝4，当且仅当3y =-时，等号成立，∴max ||()3||PA BC ==，故选A ．【名师指引】因为解析几何中曲线上的点是利用坐标表示的，这与向量的坐标运算完全融合在一起，因此圆锥曲线中的线段长度问题问题与平面向量中的模有紧密联系．解答此类题主要是抓住向量的坐标表示及坐标间的关系，有时与韦达定理结合来处理．【跟踪训练】已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线22:1c x y -=上，过点M 作双曲线c 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为___________．【答案】12。

（九）平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．涉及本专题知识的题目，一般以选择题、填空题的形式出现，考查平面向量概念的正误，应用三角形法则或平行四边形法则进行平面向量的线性运算，应用平面向量基本定理表示平面向量，平面向量的数量积运算及向量的坐标化表示与运算，体现了平面向量的几何性与代数性.注意向量在解析几何、三角函数中的应用.2．从考查难度来看，考查本专题内容的题目一般难度不大，需注意运算过程中几何图形的辅助效果.3．从考查热点来看，向量线性运算及数量积运算是高考命题的热点，要能够利用回路三角形法则表示向量，掌握向量数量积的运算法则，熟练进行数量积运算.1．已知向量()()1,2,,3m m =-=-a b ，若⊥a b ，则实数m =A ．或3-B ．2-或CD ．2．在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ==，则AC DB ⋅等于A ．B ．C ．25D ．7-3．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点.若()()4,3,1,5PA PQ ==，则BC =__________．（用坐标表示）。

专题2 平面向量的数量积及其应用【三年高考】1. 【2016高考江苏13】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是 .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）（）， 2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）（），因此22513,82FD BC ==u u u r u u u r ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）（） 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．2．【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=L ，则11k =∑(a k g a k+1)的值为 【答案】93【考点定位】向量数量积，三角函数性质3．【2014江苏，理12】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是 .【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213216AD AD AB AB =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即1322564216AD AB =-⋅-⨯u u ur u u u r ，解得22AD AB ⋅=u u u r u u u r ．4．【2013江苏，理15】已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |2，求证：a⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a －b ＝c ，求α，β的值． 【答案】(1)详见解析．(2) 5π6α=，π6β=. 【解析】(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0.故a ⊥b .(2)解：因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以5π6α=，π6β=. 5．【2016高考山东理数改编】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 ． 【答案】－4考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+r u r r 出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.6.【2016高考新课标2理数改编】已知向量(1,)(3,2)a m a =-r r ，=，且()a b b ⊥r r r+，则m = ． 【答案】8 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-r r ，由(a b)b +⊥r r r得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=．考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：结论 几何表示 坐标表示 模|a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝07.【2016高考新课标3理数】已知向量13(,)22BA=uu v，31(,)22BC=uu u v，则ABC∠=．【答案】30︒【解析】试题分析：由题意，得133132222cos112||||BA BCABCBA BC⨯+⨯⋅∠===⨯u u u r u u u ru u u r u u u r，所以30ABC∠=︒．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量ar与br的数量积为·cosa b a bθr r r r＝，其中θ是ar与br的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a·r r r，·cosa ba bθ=r rr r，·0a b a b⇔⊥r r r r＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．8.【2016年高考北京理数改编】设ar，br是向量，则“||||a b=r r”是“||||a b a b+=-r r r r”的．（在“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”中选填）【答案】既不充分也不必要条件【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b+=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥r r r r r r r r r r r r，故是既不充分也不必要条件.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos||||⋅⋅=⋅baba(θ为a，b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.9.【2016高考天津理数改编】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2=，则AF BC⋅uuu r uu u r的值为【答案】18考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．10.【2016年高考四川理数改编】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r=DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r ⋅DB u u u r =DB u u u r ⋅DC u u u r =DC u u u r ⋅DA u u u r =-2，动点P ，M 满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u r 的最大值是 ． 【答案】494【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r.以D 为原点，直线DA为x 轴建立平面直角坐标系，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =u u u r，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u ur()()2221334x y BM +++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点(),x y 与点()1,33--距离平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=+-+= ⎪⎝⎭u u u u r ．考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===u u u r u u u r u u u r，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()()2221334x y BM +++=u u u u r ，因此可用圆的性质得出最值．11.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .12．【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是 ．【答案】12【解析】试题分析：221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12考点：平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤r r 两边同时平方，转化为2226a b a b ++⋅≤r rr r 的过程中，很容易忘记右边的6进行平方而导致错误．13．【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r，()D 2,1A =u u u r，则D C A ⋅A =u u u r u u u r ____________.【答案】5【解析】因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB+A =-+=-u u u r u u u r u u u r，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=u u u r u u u r．14.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |22|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为______________.【答案】4π【解析】由题意22 ()(32)320 a b a b a ab b-⋅+=-⋅-=rrr r r r r r，即223cos20a ab bθ--=r r r r，所以222223()cos2033θ⨯--=，2cos2θ=，4πθ=.15.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC tt⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若P点是ABC∆所在平面内一点，且4AB ACAPAB AC=+u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r，则PB PC⋅u u u r u u u r的最大值等于_________.【答案】13xyBCAP16．【2015高考湖南，理8】已知点A，B，C在圆221x y+=上运动，且AB BC⊥，若点P的坐标为(2,0)，则PA PB PC++u u u r u u u r u u u r的最大值为__________.【答案】7【2017年高考命题预测】纵观2016各地市高考试题，对平面向量数量积及其应用的考查，重点考查结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，而向量的数量积及运算律，向量垂直的充要条件是高考的热点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容．试题难度为多为容易题或中档题，少数为选择题或填空的压轴题.预测2015高考，对平面向量数量积及其应用的考查，重点仍为合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，考查形式为选择题或填空题，分值为5分，试题难度为为容易题或中档题，也可为选择题或填空的压轴题，注意向量作为工具，常用向量形式给出题的条件或利用向量数量积处理其中的夹角与垂直问题.在备战2017年高考中，同学们要熟记向量数量的定义、运算法则及平面向量的数量积性质，加强运用这些知识计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影等题型的训练，善于将题中的向量形式给出的条件，转化为代数条件或几何条件,善于用平面运用平面向量数量积处理长度、夹角、垂直等问题.【2017年高考考点定位】高考对平面向量数量积及其应用的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量数量积的概念及其几何意义、平面向量数量积的运算法则及一个向量在另一个向量方向上的投影，二是考查平面向量夹角问题与向量垂直的充要条件的应用，三是考查平面向量的模及平面向量数量积的综合运用，题型为选择题、填空题、解答题的第一个大题，大多难度容易题或中档题，少数为选择题或填空题的最末一题为难题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量垂直的充要条件、向量夹角公式、或向量模公式分别处理涉及的垂直问题、夹角问题和长度问题. 【考点1】平面向量数量积及其几何意义 【备考知识梳理】 1. 平面向量的数量积：(1)已知非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积，记作•a b ，记作•a b =|a ||b |cos θ，规定•0a =0.注意平面向量的数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来. (2)已知a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），则•a b =1x 2x +1y 2y .2. 向量的投影：|b |cos θ叫向量b 在向量a 方向上的投影，它是一个实数，而不向量. 向量b 在向量a 方向上的投影为•a b|a |. 3.平面向量的数量积的几何意义•a b 等于a 的模与b 在向量a 方向上的投影的乘积. 4.数量积的运算法则：（1）•a b =•b a ；（2）()•a b+c =••a b+a c ，（3）()λ•a b =.()λ•a b =()λ•a b 【规律方法技巧】1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2. 计算向量b 在向量a 方向上的投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用•a b|a |计算. 3. 注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算. 【考点针对训练】1. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r的最大值是 ．nmA B【答案】21.4 【解析】22221121()()4(25)(252).444AB AC AB AC AB AC AB AC BC +=-+⋅⇒⋅=-≤-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=o， E 为CD 的中点，则AB AE ⋅u u u r u u u r 的值是 ．BCDEA【答案】1【解析】连结,B E 两点，结合向量的数量积的定义，由题设可得2,||1BE AB AE AB AB ⊥∴==u u u r u u u r g ．【考点2】向量垂直问题与向量夹角问题 【备考知识梳理】 1. 向量夹角(1)定义：已知非零向量a 、b ，作OA u u u r = a ，OB uuu r=b ，则AOB ∠就是a 与b 的夹角，范围为[0,]π，当向量a 与b 同向时，a 与b 的夹角为0，当向量a 与b 反向时，a 与b 的夹角为π，注意通过平移使两个向量有共同的起点，向量所在的射线所成的角才是向量夹角. (2)若向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ=•a b|a ||b |.(3)若已知向量a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ121222221122x yx y++.2.向量垂直(1)概念：若a 与b 的夹角为o90，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . （2）已知非零向量a ，b ，则a ⊥b ⇔•a b =0.(3)已知非零向量a ，b ，a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），则a ⊥b ⇔1x 2x +1y 2y =0. 【规律方法技巧】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.在求夹角时要注意：(1)当a ，b 是非坐标形式时，需要先求出•a b 及|a |、|b |或它们的关系. (2)若已知向量a ，b 的坐标，直接利用公式求解.(3)若两个向量夹角为锐角，则cos θ＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则cos θ小于0，反之，不一定.3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式. 【考点针对训练】1. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在平面内，若A (1,7)、B (5,1)、M (2,1)，点P 是直线OM 上的一个动点，且→PA ·→PB ＝－8，则cos ∠APB ＝__________． 【答案】41717-2.若0||2=+⋅AB BC AB ，则ABC ∆的形状为_______. 【答案】直角三角形【解析】由题意0||2=+⋅，可得()0AB BC AB AB AB BC AB AB AC ⋅+⋅=⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以00,,90AB AC AB AC BAC ⋅=∴⊥∴∠=u u u r u u u r u u u r u u u r，所以ABC ∆为直角三角形．【考点3】平面向量模与向量的数量积的综合运用 【备考知识梳理】1. 向量的模：向量a 的模就是表示向量a 的有向线段的长度，记作|a |，它表示向量a 的大小，是非负数.2. ==•22|a |a a a .3.若向量a =（1x ，1y ），则|a |=2211x y +.4.若A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则||AB uuu r =221212()()x x y y -+-.【规律方法技巧】1. 对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量a 是非坐标形式，用==•22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a |=2211x y +来求解.2. 对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理. 【考点针对训练】1. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是 ． 【答案】1.16-2.边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则MN DA ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是__________________.【答案】[1212]-，【解析】以O 为坐标原点，x 轴//AB ，y 轴//D A ，建立如图所示的平面直角坐标系：设()cos ,sin ααM ，()D 0,4A =-u u u r（1）若N 点在边AB 上，设()0,2x N -（022x -≤≤），则()0cos ,2sin x ααMN =---u u u u r，所以MN DA 84sin α⋅=+u u u u r u u u r ，因为1sin 1α-≤≤，所以484sin 12α≤+≤，即4D 12≤MN ⋅A ≤u u u u r u u u r；（2）若N 点在边C B 上，设()02,y N （022y -<≤），则()02cos ,sin y ααMN =--u u u u r，所以0MN DA 44sin y α⋅=-+u u u u r u u u r，因为022y -<≤，1sin 1α-≤≤，所以0848y -<-≤，44sin 4α-≤≤，所以01244sin 12y α-<-+≤，即12D 12-<MN ⋅A ≤u u u u r u u u r；（3）若N 点在边CD 上，设()0,2x N （022x -≤<），则()0cos ,2sin x ααMN =--u u u u r，所以MN DA 84sin α⋅=-+u u u u r u u u r ，因为1sin 1α-≤≤，所以1284sin 4α-≤-+<-，即12D 4-≤MN ⋅A <-u u u u r u u u r． 综上所述，MN DA ⋅u u u u r u u u r的取值范围是[]12,12-．【两年模拟详解析】1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC上，且272,BD DC AD ==u u u r u u u r ，则AC 的长为 ．【答案】3【解析】由题意得：2133AD AC AB =+uuu r uuu r uu u r ，所以222414999AD AC AB AC AB =++⋅uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r即2284141||16||4()||399992AC AC AC =+⨯+⨯⨯-⇒=uuu r uuu r uuu r ,（负舍）2．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD =u u u u r u u u u r ．若AC BM ⋅u u u r u u u u r ＝－3，则AB AD ⋅u u u r u u u r＝ ．【答案】32【解析】因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-u u u r u u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以3.2AB AD ⋅=u u u r u u u r 3．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ．【答案】51-4．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中,a b r r是互相垂直的单位向量，且()(3)1a c b c -•-=r r r ，则||c r的最大值为 .2+1【解析】由,a b r r 是互相垂直的单位向量得|3|132a b =+=r ，因此由()(3)1a c b c -•-=r r r 得222||(3)1||2||cos 1||2||10||21c a c c c c c c θ-⋅=⇒-⋅=⇒-⋅≤⇒≤≤r r r r r r r r．5．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知向量,a b r r 满足(4,3)a =-r ，||1b =r ，||21a b -r r向量,a b r r的夹角为 .【答案】3π 【解析】由||21a b -=r r 5512252121cos ,,25123a b a b a b a b π-⋅+=⇒⋅=⇒<>==⇒<>=⨯r r r r r r r r ． 6．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==u u u r u u u r ，则()()AP AQ AB AC +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r的值为 .【答案】-16 【解析】 试题分析：()()()()()()()()22AP AQ AB AC PQ AQ AB AC AQ AB AC AB ACAB AC +⋅-=+⋅-=⋅-=+-uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r2292516AB AC =-=-=-u u u r u u u r7．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u ur u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r 的值为 .【答案】2-【解析】 22()()[()]33AD BC AC CD BC AC CB BC AC AB AC BC ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21()()33AB AC AC AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-u u ur u u u r u u u r u u u r ． 8．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ． 【答案】9【解析】由题意得2()5(4)909.a a b a a b x x x ⋅-=-⋅=--=-=⇒=r r r r r r9．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点5)P ，则AP BP OP ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是 ．【答案】[7,11]【解析】设22(,0),(0,),4A a B b a b +=，(25),5)AP a BP b =-=u u u r u u u r，AB C D第11题(6,35)856(25)AP BP OP a b a b ++=--=--u u u r u u u r u u u r ，令 5125,22c a b a b c =-=+代入224a b +=，得2251()422b c b ++=，化简得229540424c b cb ++-=，22594(4)0444c c ∆=-⨯⨯-≥，解得66c -≤≤，则AP BP OP ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是[7,11]．10．【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC ＝ ． 【答案】3【解析】设正ABC ∆边长为a ，11()22DC AC AD AC AB AC AC AB =-=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以22214DC AC AC AB AB =-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2221cos 43a a a π=-+，即2334a =，2a =，11()()22DA DC AB AC AC AB ⋅=-+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22213344AB AC a =-==u u u r u u u r ．11．【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】（本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时，（1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．【答案】（1）k ＝－13±1336；（2）当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23．【解析】（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0． ∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336．（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23．12．【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】如图，在平行四边形ABCD 中，AB 的中点为M ，过A 作DM 的垂线，垂足为H ，若3AH =，则向量AH AC =uuu r uuu rg ．DACBMH【答案】27【解析】2(+)(+2)(++22)327.AH AC AH AD AB AH AD AM AH AH HD AH HM AH ===+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g13. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，则AM ＝________.【答案】3【解析】由题意得22BC =，因为11(+)(+2)22AM AB AC BC AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以22211||(+4)=(8+4)=3||= 3.44AM BC AC AM =u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，14．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =u u u r u u u r，BA BC BA BC +u u u r u u u r u u u r u u u r 3BD BD=u u u r u u u r ，则四边形ABCD 的面积是 ． 【答案】23【解析】设BA a BA =u u u r r u u u r ，BC b BC =u u u r r u u u r ，BD c BD =u u u rr u u u r，则|a |=|b |=|c |=1，a +b =3c ，所以，得co s<a ,b >=12,又由AD BC =u u u r u u u r ，所以，可得四边形ABCD 为有一个3π角的菱形，所以，其面积32223S =⨯⨯=.15．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，216．【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若AD AB λ=u u u r u u u r ，(12)AE AC λ=-u u u r u u u r ()λ∈R ，则FG u u u r的取值范围为 ．【答案】1,24⎡⎢⎣⎦【解析】111()()[(1)2]222FG AG AF AB AC AD AE AB AC λλ=-=+-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2222111[(1)4(1·)4](31)424FG λλλλλ=-+-+=+u u u r ，又010121λλ≤≤⎧⎨≤-≤⎩即102λ≤≤，所以217416FG ≤≤u u ur ，即12FG ≤≤u u u r ．拓展试题以及解析1.已知(2,0),(0,1)A B ，O 是坐标原点，动点P 满足2(2)(510)OP OA OB λλλ=+++u u u r u u u r u u u r ，若0OP AB ⋅>u u u r u u u r ，则实数λ的取值范围是_______________.【答案】524λ-<<【解析】由题，2(24,510)OP λλλ=++u u u r ，(2,1)AB =-u u u r ，所以2485100OP AB λλλ⋅=--++>u u u r u u u r ，即243100λλ+-<，解得524λ-<<. 【入选理由】本题主要考查向量数量积的坐标运算以及一元二次不等式的求解等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题是一个常规题的出法，但有一定的综合性，故选此题. 2.在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，求ABC ∆面积的最大值 ．【答案】35【入选理由】本题考查向量数量积、基本不等式，三角形的面积公式等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题向量与基本不等式巧妙的结合，有新意，故选此题.3.已知||||2a b ==r r ，对任意x R ∈，若不等式||1a xb +≥r r恒成立，则a b ⋅r r 的取值范围是__________.【答案】(,23⎤-∞-⎦，或)23,⎡+∞⎣【入选理由】本题考查向量的模，二次函数最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力．本题向量与二次函数最值，不等式恒成立巧妙的结合，有新意，故选此题.。

平面向量既有数的特征又有形的背景，是体现数形结合的良好素材，高考在这部分命题通常难度不大,属于比较基础的内容，但是这部分内容也容易与其他部分的内容结合起来考查，会大大增加解决问题的难度，所以在备考路上，对这部分的内容亦不可掉以轻心。

【热门考点展示】1.平面向量的线性运算和几何意义2.平面向量的基本定理和坐标运算3.平面向量的数量积4.平面向量的模与夹角5.平面向量的平行与垂直6.平面向量的综合应用五年高考考情分布2012-2016年全国高考平面向量试题分布表（文数）年代考点选择填空20 16课标卷Ⅰ向量的数量积及坐标运算课标卷Ⅱ平面向量的坐标运算,平行向量课标卷平面向量的模与夹角【题型归纳与分析】纵观全国卷五年高考试题，平面向量部分每年必有一道题（选择或填空），重点考查了平面向量的运算及其几何意义,平面向量的模与夹角、平面向量的数量积等,根据五年高考试题命题特点及高考命题趋势,把五年高考试题按照命题特点分三方面进行阐述（练习包括部分地方题）：一、重视向量的基本运算以及平行垂直 【例题1】【2014年全国一卷文数（6）】设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （ ）A 。

ADB 。

AD 21C 。

BC 21D 。

BC【答案】A考点：向量的运算【例题2】【2016年全国一卷文数（13）】设向量a =(x ，x +1），b =(1，2），且a ⊥b ，则x = . 【答案】23-【解析】试题分析:由题意，20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b【考点】向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现，属于基础题。

解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .【练习1】【2016年全国二卷文数（13）】已知向量a=（m，4），b=(3,−2)，且a∥b,则m=___________。

平面向量一、平面向量的基本概念：1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。

向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。

6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②,,c b b a == 则c a =；③,//,//c b b a c a //④若CD AB=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量（1）PM QP MN NQ +++ （2）)()()(MB PM AB CQ BC BP +++++（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；b a + 是以a ，b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则2.向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）在平行四边形中，已知以a 、b 为邻边的平行四边形中，b a b a -+, 分别为平行四边形的两条对角线，当ba b a -=+时，此时平行四边形是矩形。

I．题源探究·黄金母题【例1】如图，已知四边形错误！未找到引用源。

是等腰梯形，错误！未找到引用源。

分别是错误！未找到引用源。

的中点，错误！未找到引用源。

是线段错误！未找到引用源。

上的两个点，且错误！未找到引用源。

，下底是上底的2倍，若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

．【解析】错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

．又错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

II．考场精彩·真题回放【例2】【2015全国新课标Ⅰ卷】设错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用源。

所在平面内一点错误！未找到引用源。

，则（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】由题知错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

，故选A．【例3】【（2015北京高考卷】在错误！未找到引用源。

中，点错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

______；错误！未找到引用源。

_______．【答案】错误！未找到引用源。

【例4】【2014全国新课标Ⅰ卷】设错误！未找到引用源。

分别为错误！未找到引用源。

的三边错误！未找到引用源。

的中点，则错误！未找到引用源。

（）A．错误！未找到引用源。

B.．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，同理错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

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．【例5】【2013高考广东卷】设错误！未找到引用源。

是已知的平面向量且错误！未找到引用源。

,关于向量错误！未找到引用源。

平⾯向量知识点总结、经典例题及解析、⾼考题50道及答案第五章平⾯向量【考纲说明】1、理解平⾯向量的概念和⼏何表⽰，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其⼏何意义，会⽤坐标表⽰。

2、了解平⾯向量的基本定理，掌握平⾯向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式，会进⾏平⾯向量数量积的运算，会⽤向量⽅法解决简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题。

【知识梳理】⼀、向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，记作AB u u u r ；向量的⼤⼩即向量的模（长度），记作|AB u u u r| 向量不能⽐较⼤⼩，但向量的模可以⽐较⼤⼩．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其⽅向是任意的，0与任意向量平⾏（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常⽤e 表⽰．（4）平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量，记作a ∥b平⾏向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且⽅向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a⼤⼩相等，⽅向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、⽅向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =02 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满⾜交换律与结合律；向量加法有“三⾓形法则”与“平⾏四边形法则” ．（2）向量的减法：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三⾓形法则，b a 可以表⽰为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a；②当0 时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0 时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；当0 时，0 a ，⽅向是任意的③数乘向量满⾜交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与⾮零向量a共线有且只有⼀个实数，使得b =a向量b 与⾮零向量a共线有两个均不是零的实数、，使得0a b ．⼆、平⾯向量的基本定理与坐标表⽰ 1 平⾯向量的基本定理：如果21,e e 是⼀个平⾯内的两个不共线向量，那么对这⼀平⾯内的任⼀向量a，有且只有⼀对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表⽰这⼀平⾯内所有向量的⼀组基底2. 平⾯向量的坐标表⽰：（1）在直⾓坐标系中，分别取与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r作为基底由平⾯向量的基本定理知，该平⾯内的任⼀向量a r 可表⽰成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是⼀⼀对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0r =（0,0），(1,0)i r ，(0,1)j r ．（2）设OA xi y j u u u r r r.则向量OA u u u r 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA u u u r =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成⽴（O 是坐标原点）． 3 平⾯向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr ．（2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r，AB u u u r（3）若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)．（4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr ．（5）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr ．三、平⾯向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个⾮零向量a r 与b r ，它们的夹⾓为，a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r ⽅向上的投影的乘积叫做a r 与b r 的数量积（或内积），即a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos ，规定00a r r2 向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r ⽅向上的投影投影的绝对值称为射影3 向量的模与平⽅的关系：22||a a a a r rr r4 乘法公式成⽴：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r ．5 平⾯向量数量积的运算律：①交换律成⽴：a b b a r r r r．②对实数的结合律成⽴：a b a b a b R r r r r r r．③分配律成⽴： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r ；特别注意：①结合律不成⽴： a b c a b c r r r r r r．②消去律不成⽴a b a cr r r r不能得到b c r r．③a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r6 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r=1212x x y y 7 向量的夹⾓：已知两个⾮零向量a r 与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （0 01800 ）叫做向量a r 与b r 的夹⾓cos =cos ,a b a b a b r r r rr r当且仅当两个⾮零向量a r 与b r 同⽅向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反⽅向时θ=1800，同时0r 与其它任何⾮零向量之间不谈夹⾓这⼀问题8 垂直：如果a r 与b r 的夹⾓为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b ra ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a ，ECBA CA b ，1,2a b ，则CD = （）（A ）1233a b （B ）2133a b （C ）3455a b （D ）4355a b 【答案】B ．【解析】由⾓平分线的性质得2AD DB u u u u r u u u u r ,即有22()()33AD CB CA a b u u u r u u u r u u u r ．从⽽221()333CD CA AD b a b a b u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k a b (k R ),d a b ,如果c //d ，那么（） A ．1k 且c 与d 同向 B ．1k 且c 与d 反向 C ．1k 且c 与d 同向 D ．1k 且c 与d 反向【答案】D ．【解析】取a 1,0 ，b 0,1 ，若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，显然，a 与b 不平⾏，排除A 、B ．若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷⽂）如图，D ，E ，F 分别是 ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF u u u r u u u r u u u r r C ．0AD CE CF u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC u u u r u u u r u u u r r【答案】A ．【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ 得0AD BE CF u u u r u u u r u u u r r ．或0AD BE CF AD DF CF AF CF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．【例4】（2009宁夏海南卷⽂）已知 3,2,1,0a b ，向量a b 与2a b 垂直，则实数的值为( )A.17B.17C.16D.16【答案】A ．【解析】向量a b ＝（－3 －1，2 ），2a b ＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3 －1，2 ）×（－1,2）＝0，即3 ＋1＋4 ＝0，解得：＝17，故选A ．【例5】（2009全国卷Ⅰ⽂）设⾮零向量a 、b 、c 满⾜c b a c b a |,|||||，则b a , （）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平⾏四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对⾓线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷⽂）在平⾏四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43．【解析】设BC b u u u r r 、BA a u u u r r 则12AF b a u u u r r r ,12AE b a u u u r r r ,AC b a u u ur r r代⼊条件得2433u u ．【例7】（2009辽宁卷⽂）在平⾯直⾓坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________．【答案】(0,－2)．【解析】平⾏四边形ABCD 中,OB OD OA OC u u u r u u u r u u u r u u u r∴OD OA OC OB u u u r u u u r u u u r u u u r＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF u u u r u u u r g ,得cos 2AB AF FAB u u u r u u u r g g ,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF u u u rg ．∵2AB ，∴22DF ，∴1DF ∴21CF ．记AE BF u u u r u u u r和之间的夹⾓为,AEB FBC ，，则．⼜∵2BC ，点E 为BC 的中点，∴1BE ．∴ =cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g .本题也可建⽴以, AB AD 为坐标轴的直⾓坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ，已知2233AB AC AB AC BC u u u r u u u r u u u r u u u r ，求⾓A ，B ，C 的⼤⼩．【答案】2,,663A B C．【解析】解：设,,BC a AC b AB c由23AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r 得2cos 3bc A bc ，所以3cos 2A⼜(0,),A 因此6A由233AB AC BC u u u r u u u r 得23bc a ，于是23sin sin 3sin 4C B A所以53sin sin()6C C ，133sin (cos sin )2C C C ，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ，既sin(2)03 C由A=6 知506C ，所以3 ，4233C ，从⽽20,3C 或2,3C ，既,6C 或2,3C 故2,,,636A B C 或2,,663A B C．【课堂练习】⼀、选择题1.（2012辽宁理）已知两个⾮零向量a ,b 满⾜|a +b |=|a b |,则下⾯结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a b2. (2009年⼴东卷⽂)已知平⾯向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量 a b ( )A. 平⾏于x 轴B. 平⾏于第⼀、三象限的⾓平分线C. 平⾏于y 轴D. 平⾏于第⼆、四象限的⾓平分线3.（2012天津⽂）在ABC 中,90A ,1AB ,AC=2,设点,P Q 满⾜,(1),AP AB AQ AC R u u u r u u u r u u u r u u u r .若2BQ CP u u u r u u u r,则 ( )（）A ．13B ．23 C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满⾜：||3 a ，||4 b ，0 a b ．以a ，b ， a b 的模为边长构成三⾓形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y R,向量 4,2,,1,1,y x ,且//, ,则a b r r（）A B C ．D ．106. （2009浙江卷⽂）已知向量(1,2) a ，(2,3) b ．若向量c 满⾜()// c a b ，() c a b ，则c （）A ．77(,)93B ．77(,)39C ．77(,)39D ．77(,)937．（2012浙江理）设a ,b 是两个⾮零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则 a c b c ? 的最⼩值为( )A.2 2D.1 9.（2012天津理）已知△ABC 为等边三⾓形,=2AB ,设点P,Q 满⾜=AP AB u u u r u u u r ,=(1)AQ AC u u u r u u u r,R ,若3=2BQ CP u u u r u u u r ,则=（）A ．12B C D10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量 2,1,10,||a a b a b ||b ( )5 D. 2511.（2012⼤纲理）ABC 中,AB 边上的⾼为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b u u u r r u u u r r r r r r ,则AD u u u r（）A ．1133a b r rB ．2233a b r rC ．3355a b r rD ．4455a b r r12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD u u u r u u u r 2,CE EA u u u r u u u r 2,AF FB u u u r u u u r则AD BE CF u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r( ) A. 反向平⾏ B. 同向平⾏C. 互相垂直D. 既不平⾏也不垂直13.（2008⼴东）在平⾏四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC u u u r a ，BD u u u r b ，则AF u u u r（）A ．42a bB ．2133 a b C ．1124 a bD ．1233a b 14.（2007湖北）设(43) ，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（）A ．(214)，B ．227，C ．227，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平⾯直⾓坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP uuu r 按逆时针旋转34后,得向量OQ uuu r 则点Q 的坐标是（） A ．(72,2) B ．(72,2) C ．(46,2)D ．(46,2)⼆、填空题16.（2012浙江⽂）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC u u u r u u u r=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平⾯向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹⾓为120o.如图所⽰，点C 在以O 为圆⼼的圆弧AB u u u v上变动. 若,OC xOA yOB u u u r u u u r u u u r其中,x y R ,则x y的最⼤值是________.18.（2012上海⽂）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满⾜||||||||CD CN BC BM,则AN AM 的取值范围是_________ .19.（2012课标⽂）已知向量a ,b 夹⾓为045,且|a |=1,|2 a b |=10,则|b |=_______.20.（2012湖南⽂）如图4,在平⾏四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂⾜为P,3AP 且AP AC u u u v u u u vg = _____.A DBP21.（2012湖北⽂）已知向量(1,0),(1,1)a b r r,则(Ⅰ)与2a b r r同向的单位向量的坐标表⽰为____________; (Ⅱ)向量3b a r r 与向量a r夹⾓的余弦值为____________.22.（2012北京⽂）已知正⽅形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB u u u r u u u r的值为________.23.（2012安徽⽂）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m r r r ,若()a c r r⊥b r ,则a r_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___.25.（2012安徽理）若平⾯向量,a b r r满⾜:23a b r r ;则a b r r g的最⼩值是_____ 三、解答题26. (2009年⼴东卷⽂)（已知向量)2,(sin a 与)cos ,1( b 互相垂直，其中)2,0(（1）求 sin 和 cos 的值（2）若 cos 53)cos(5 ，02,求 cos 的值 27.（2009上海卷⽂）已知ΔABC 的⾓A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b u r ， (sin ,sin )n B A r ，(2,2)p b a u r（1）若m u r //n r，求证：ΔABC 为等腰三⾓形；（2）若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，⾓C = 3，求ΔABC 的⾯积 .28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的⾓，向量)sin ,(sin B A m ，)cos ,(cos A B n ，且C n m 2sin .（Ⅰ）求⾓C 的⼤⼩；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)( AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】⼀、选择题1.（2009辽宁卷理）平⾯向量a 与b 的夹⾓为060，(2,0)a ，1b 则2a b ( )B. 2.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC 所在平⾯内，且,0OA OB OC NA NB NC ，且PA PB PB PC PC PA ? ? ?，则点O ，N ，P 依次是ABC 的( )A. 重⼼外⼼垂⼼B. 重⼼外⼼内⼼C. 外⼼重⼼垂⼼D. 外⼼重⼼内⼼3.（2008安徽）在平⾏四边形ABCD 中，AC 为⼀条对⾓线，若(2,4)AB u u u r ，(1,3)AC u u u r ,则BD u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平⾯内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满⾜0)()( c b c a ,则c 的最⼤值是( )A. 1B. 2C. 2D.25.（2007海南、宁夏）已知平⾯向量(11)(11) ，，，a b ，则向量1322 a b（） A ．(21) ， B ．(21) ，C ．(10) ，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是⾮零向量，若函数()()()f x x x g a b a b 的图象是⼀条直线，则必有（）A ．⊥a bB ．∥a bC ．|||| a bD ．|||| a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos ) ，a 和sin 2m m，b ，其中m，，为实数．若2 a b ，则m的取值范围是（） A ．[-6，1] B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]。

2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量1．【2017全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，ABC △P ABC 则的最小是（ ）()PA PB PC ⋅+ A ．B ．C ． D ．2-32-43-1-【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．【2017全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上。

若= +，则+的最大值为AP λAB μAD λμA ．3B ．CD ．2【答案】A试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系设 ,()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y 根据等面积公式可得圆的半径，即圆C 的方程是 ，r =()22425x y -+=【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。

3．【2017全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】试题解析：，所以222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b.|2|+==a b 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的2+a b长度，则为【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.（4.【2017全国高考天津卷理数·13T 】在中，，，.若，ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ，且，则的值为___________.()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=- λ【答案】 3115．【2017全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题解析：设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：a b -== ，a b +== ，则：a b a b ++-=+ ，令y =，则[]21016,20y =+，据此可得：())max min 4a b a b b a b ++-==++-== ，即a b a b ++- 的最小值是4，最大值是．【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式， 可得a b a b ++-= ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．6.【2017全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1OA OB O C与的夹角为，且tan =7，与的夹角为45°。

山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 答 案【真题回访】回访一 平面向量的线性运算 1．A 2．12回访二 平面向量的数量积 3．D 4．16热点题型1 平面向量的运算 【例1】 (1)B (2)B【变式训练一】 (1)32(2)－2热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】 (1)85(2)122⎤-⎢⎥⎣⎦【变式训练二】 (1)6π(2)6x π=，()g x 的最大值为32. 专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 二、填空题 6．65 7．712 8．16三、解答题9．(1)∵23m n ==，()1,2AB =u u u r ，()2,1AC =u u u r ，∴()()()221,22,12,233OP =+=u u u r ，∴OP ==u u u r(2)∵()()()1,22,12,2OP m n m n m n =+=++u u u r，∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m n y x -=-.令y x t -=，由图知，当直线y x t =+ 过点()2,3B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.10．(1)由2BA BC =u u u r u u u rg 得cacosB 2=. 因为1cosB 3=，所以6ac =. 余弦定理，得2222accosB a c b +=+. 又3b =，所以2292213a c +⨯=+=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2a =，=3c 或3a =，2c =.因为ac >，所以3a =，2c =.(2)在ABC △中，sinB 3===，由正弦定理，得2sin C sin B 339c b ==⨯=. 因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos C 9===.于是1723cos cosBcosC sinBs ()inC 393927B C -+=⨯+⨯==. 【B 组 名校冲刺】 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．2 6．－3 三、解答题7．(1)因为向量22sin ,03a x πω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos ,30b x ωω=>，所以函数())2214sin cos 4sin cos cos cos 3222sin cos 1cos 2sin 2x 2cos 26a b x x x x x x x x x x f x πωωωωωωπωωωωω⎛⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭g g g 由题意可知f (x )的最小正周期为πT =， 所以2π=π2ω，即1ω=. (2)已知()2co =s 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 故[π2π6],2πx +∈或[π23π],4π6x +∈时，函数()f x 单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设BC u u u r ，CA u u u r ，AB u u u r依次为a ，b ，c ，则6a b c ++=，2b ac =.在ABC △中，22222212cosB 222a c b a c ac ac a ac ac c ac +-+-==-≥=，故有03B π≤＜，又622a c bb +-≤==，从而02b <≤.(1)22111πsin sin 2sin 2223S ac B b B ==≤=g g 当且仅当a c =，且π3B =，即ABC△为等边三角形时面积最大，即max S .(2)()()()22222222263cos 327.222a c acb b b ac b BA BC ac B b +----+-=====-++u u u r u u u r g ∵02b <≤，∴821BA <≤u u u rg ， 即BA BC u u u r u u u rg 的取值范围是[)2,18.山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 解 析【真题回访】回访一 平面向量的线性运算1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.]回访二 平面向量的数量积3．D[由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．16[已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.] 热点题型1 平面向量的运算 【例1】(1)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM → )＋μ(BA →＋AD → )＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD → )＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. ](2)B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]【变式训练一】(1)32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.](2)－2 [∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32， 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12.11分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， ∴32－1≤y ≤2－12， 即y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.12分【变式训练一】[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分 所以x ＝π6，.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分 ＝32sin2x ＋12－12cos 2x 7分 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.8分 将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.10分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取最大值1，11分 所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】 一、选择题1．B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.] 3．D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝b ·(a －b )|b |·|(a －b )|＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.] 二、填空题6．65 [设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(2x －2y )＝1，λ(x －2y )＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．712 [∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB → ·OC →＝(AB →－AO → )·(AC →－AO → )＝AB → ·AC →－AO → ·AC →－AO → ·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝⎛⎭⎫332＝－16.] 三、解答题9．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分【B 组 名校冲刺】 一、选择题1．B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3． B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.] 4．A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4， 所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.]二、填空题5．2 [由题意得|a |＝12＋(3)2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题 7．[解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3， 由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)已知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.8．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3， 又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b ≤2. (1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27. ∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18，即BA →·BC →的取值范围是[2,18).。