学×思面授班 高一物理 暑假目标班 讲义 暑假目标班第1讲.教师版

高一暑期讲义说明这本讲义是我们第二次讲义升级后的版本，与之前的讲义相比，有如下变化：1．我们的讲义开始区分尖子班（提高班与尖子班讲义相同）与目标班，目标班有些知识点是尖子班没有的，有些例题目标班难度更大，尖子班与目标班差别在15%左右．2．知识点进行了细化，并与例题配套，可以直接顺着讲义上知识点与例题的顺序进行讲解；3．取消了《初高衔接》一讲，将初高衔接的内容细化在各讲，并直接放在需要用到的例题后面，此部分在学生版不出现，在课件中出现．初高衔接的内容有：第一讲集合中：配方法、因式分解；第二讲函数中：解一元二次不等式；第三讲函数的单调性中：立方和与立方差公式；第九讲函数与方程中：韦达定理；4．吸收了一些优秀教师的教法，加入了大量的知识点引入、生活中的小例子引入与数学中的小例子，这些引入的内容与小例子只在教师版出现，所用语言比较通俗易懂，但有些会缺乏严谨，供老师选用；5．知识点睛中配有一些“练习”，一般是对刚刚讲过的概念的直接理解，比较简单；对于一些新知识点，配有“挑战几分钟”，供学生加强练习；6．预习讲义侧重于对新概念理解与辨析，通常不涉及具体的方法与题型的总结，与同步讲义有明显区别，例题整体难度不大．个别例题后面配有较难的备选，供老师选用；7．我们是以知识模块划分的讲次，每讲内容的量有一些区别，以下附有建议课时表：8频讲解．2 第1讲·目标班·教师版当前形势集合在近五年北京卷(理)考查5～18分 高考 要求内容要求层次 具体要求A B C集合的含义与表示√了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．集合间基本关系 √理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 在具体情境中，了解全集与空集的含义．集合基本运算 √理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．能使用Venn 图表达集合的关系及运算北京 高考 解读2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 第1题5分第20题13分第1题5分 第20题13分第1题5分第1题5分新课标剖析满分晋级第1讲函数1级 集合集 合函数2级 函数及其表示函数3级 函数的单调性考点1：集合的概念集合的引入（说明为什么要学习集合）塔罗牌中有一张牌叫巴比塔，是一个倒了的塔，这个塔源自《圣经·旧约》，《圣经》上说，人类的祖先最初讲的是同一种语言．他们在两河流域定居下来，修起了城池．后来，他们的日子越过越好，决定修建一座可以通到天上去的高塔，这就是巴比塔．直到有一天，高高的塔顶已冲入云霄．上帝耶和华得知此事，立即从天国下凡视察．上帝一看，又惊又怒，认为这是人类虚荣心的象征．上帝心想，人们讲同样的语言，就能建起这样的巨塔，日后还有什么办不成的事情呢？于是，上帝决定让人世间的语言发生混乱，使人们互相言语不通．数学家希望建立一个所有学数学的人有一个能共同对话的平台，这个平台就是集合． 那到底什么叫集合呢？1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．集合含义的理解对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中． “能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．理解这个要注意以下三点：①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉； 如：中国所有的比较老的人不能构成一个集合；中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm 的人． 再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程2320x x -+=的根；小于等于3的实数都可以构成集合；知识点睛1.1 集合的概念与表示4第1讲·目标班·教师版②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性． 如：我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．③方程210x +=的实数根能不能构成一个集合呢？我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用∅表示．再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同学．都是空集． 下面可以构成集合的有_______．①中国人口排在第8-12位的城市；②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点； ③高一数学课本中的难题；④方程220x +=的实数解； 正解：①②④．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集实数集N *N 或N + ZQ R<教师备案> 常见数集写法的字母意义：自然数N 是Natural Number （自然数）的首字母，N 即全体非负整数构成的集合； 习惯用*N 或+N 表示正整数集，其中*N 的星是非零的意思； 整数集的Z 是德文Zahlen （数字）的首字母．有理数集的Q 是英语/德语Quotient （商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商． 实数R 是Real Number(实数)的首字母．在后面的学习中，会在均值不等式部分用+R 表示正实数集，在复数中引入C 表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式． 为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？使用Z 作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）．数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）．用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；；∈；∉；∈；∉；∈；∈．4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．<教师备案> 确定性在讲集合的概念时就已经说明了．互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默认的事实存在，如由1a ，构成的集合中，一定满足1a ≠． 因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解． 集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【解析】 ⑴ 1x ≠±且2x ≠．⑵ A ⑶ C ．讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，经典精讲知识点睛6 第1讲·目标班·教师版并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，． 有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，． 描述法引入列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：如世界上所有高度在3000米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程220x x a ++=（a 为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ．方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人；{|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥．但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，． 如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．<教师备案> 在教学用书中有这样的说明：有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这类元素的全体，如用{}奇数表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教师备案中，对一些非数学的概念，我们有时会采用这样的一种写法，如用{我们班同学}表示我们班所有同学表示的集合．①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，．①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，． 由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，． 【解析】 A ：描述的是实数x ，x 满足x ∈R ；A =R ；B ：描述的是实数y ，211y x =+≥，{|1}B y y =≥；C ：描述的是点()x y ，，表示抛物线21y x =+上所有的点．【例3】⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示 集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，， 又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【解析】 ⑴ {(12)(21)(13)(31)(11)(22)}M =，，，，，，，，，，，． ⑵ {0234}M =，，，，{40267010052010}N =，，，； ⑶ B【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数经典精讲8 第1讲·目标班·教师版【解析】 B列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <， 定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ，a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， ab x{|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥． 答案：⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，．知识点睛<教师备案> 区间是集合的一种表示方法，[12]，就表示一个集合，不需要用[12]x ∈，表示一个集合．引入区间表示法后能进一步看出描述法中的字母只是一个符号，没有本质的意义． 如：2{|1}y y x x =+∈R ，用区间表示即为[1)+∞，，与y 无关．在直角坐标系下，记号()23，可以用来表示区间，也可以用来表示一个点，可以根据情况区分．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，． 【解析】 ⑴[11]-，．⑵(1]-∞，；⑶152⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【解析】 ⑴最小值为3-，1x =-；无最大值；⑵最大值为112，此时32x =；无最小值；⑶当1x =-时，有最小值为3-；当2x =时，有最大值15；⑷当32x =，有最大值112；当1x =-时，有最小值7-．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．【解析】 ⑴最小值为78，最大值为4；⑵最大值为6-，最小值为10-．****************************************************************************************集合的关系引入我们研究问题的轨迹通常是从特殊到一般，从单个到多个．前面研究的都是单个集合，下面要研究的是集合间的关系．首先，并不是所有的集合之间都有关系，如{123}，，这个集合与{花果山的猴子}之间可能就没什么关系；实数集R 与{市场上所有卖的鸡蛋}之间可能也没什么关系．但有些集合间是有各种各样稀奇古怪的关系的．如{我们班的同学}与{我们班的女同学}就感觉有关系，下面我们就研究一下这些有关系的集合之间的关系：10 第1讲·目标班·教师版考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “包含于”（或“包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B Ú或B A Û．<教师备案> 从一个大的群体中选出一个部分，这个部分就是群体的一个子集．如：A ={我们班同学}，B ={我们班男同学}，C ={我们班所有戴眼镜的同学}，D ={我们班所有有头发的同学}．则B ，C ，D 都是A 的一个子集．又{猴子}是{动物}的一个子集；{小孩子}是{人}的一个子集……⊆与∈的区别：（调侃：一个横杠在里面，一个横杠在外面）⊆表示的是集合与集合的关系，左右两边都是集合；∈表示的是元素与集合的关系．子集数学上的严格的定义是：对任意的x A ∈，都有x B ∈，则称A 是B 的子集． 意味着，从A 里随便拽一个出来，都在B 里．如{12}{1234}⊆，，，，，⊆⊆⊆N Z Q R ．可以让学生写出{123}，，的所有子集．其中{123}，，是不是子集可以重点讲解：由子集的定义：集合{123}，，中的任意一个元素都在集合{123}，，中，所以A A ⊆．再强调一下空集是任意集合的子集，写子集先写空集，即A ∅⊆．真子集引入子集分为两类，一类是“相等”关系的子集，另一类是把“相等”关系的子集去掉的子集，称为真子集．可以用韦恩图表示如下．A B Ü：A/BBAA B =：A/B在刚刚的例子中，真子集有7个，就是指一个集合的所有子集中，去掉和它相等的那个．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A ÜB （或B ÝA ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．知识点睛1.2集合的关系<教师备案> 可以让学生写出{123}，，的所有真子集、非空真子集．它们分别比所有子集少一个、两个集合．而对于一般的子集个数的问题，我们放到同步再讲．注意：高中数学真子集统一用符号Ü表示，在立体几何中的线面关系中，因为线在面内时，线一定是面的真子集，那时会用一个新的符号⊂表示，在集合的章节里，没有这样的记号．但有时可能会在有些资料中遇到用⊂表示真子集的情况．_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A是集合B的子集（A B⊆），且集合B是集合A的子集（B A⊆），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们说集合A与集合B相等，记作A=B．<教师备案> 集合相等的定义在理论性证明时比较有用，如对于两个比较抽象的集合，证明两个集合相等，一般都是通过证明一个集合中的任何一个元素都是另一个集合中的元素得到的．这类问题与已知集合相等求参数的问题我们留到在同步时再讲．【例5】⑴下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅Ü；③{0}∅Ü；④{}a a⊆；⑤{}{}a aÜ；⑥{}a∅∈．⑵用=≠，，，茌填空：①{1}______2{|320}x x x-+=；②{12}，______2{|320}x x x-+=③∅______2{|20}x x∈+=R；④{|32}x x+>______{|10}y y->；⑤2{()|1}x y y x=+，_____2{|1}y y x=+；⑥2{|1}x y x=+_____2{|1}y y x=+；⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．【解析】⑴②③；<教师备案> 空集的含义：把集合想象成一个大的塑料袋，空集就是这个塑料袋中什么都没有．但{}∅不再是空集，因为这个塑料袋中还放着一个塑料袋呢．在这个集合中，∅是一个元素，但同时∅也可以作为一个集合，所以{}∅∈∅与{}∅∅Ü都正确．所以∅与{}∅的关系有很多种不同的说法，理解即可，不必太纠结．⑵①Ü；②=；③=；④Ý；⑤≠；⑥Ý；⑦≠；⑧≠．【备注】一般来说，我们只研究有关系的两个集合之间的关系，而数集与点集是两种不同类型的集合，它们之间一般没有关系，但在概念初学阶段，我们有时会出现这类的题帮助学生更好地理解它们之间的区别．【例6】⑴若{}|41X x x n n==+∈Z，，{}|43Y y y n n==-∈Z，，{}|81L z z n n==+∈Z，，则X，Y，L的关系是（）经典精讲12 第1讲·目标班·教师版A ．X Y L 葺B ．X Y L 苘C ．X Y L =ÝD ．X Y L ==⑵若{|41}X x x n n ==+∈Z ，，{|21}Y x x n n ==+∈Z ，，{|41}L x x n n ==±∈Z ，，则X Y L ，，的关系是（ ）A ．X YL 苘 B ．X Y L =Ü C ．Y X L 苘 D ．X L Y 苘【解析】 ⑴ C ；⑵B ．集合的运算引入什么叫运算？在座的诸位，从小学一年级算起，直到现在，学了九年的数学．若再加上幼儿园，可能时间会更长些，有没有同学一生下来就会数学的？一生下来，你张口不是“哇”，而是“一”，有这样的吗？ 我们在这么长的学习中，其实很多次都接触到运算，那么我们都学习过哪些运算？+-⨯÷，，，，这叫四则运算；对a 求：n n a a ，a ，1a，a -，也都是运算．到底什么叫运算呢？运算最广义的定义是：如果有一个对象或几个对象，你对它/它们进行相应的操作，得到一个新的对象，这个过程就可以理解为运算．对于今天集合间的运算，我们来学习三种：交运算、并运算、补运算．集合通过这些运算，最终得到一个新的集合，注意运算后的结果仍然是一个集合．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子：知识点睛1.3集合的运算例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ；⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且． 我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则AB A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：AB =∅ AB B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子：例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则AB =Z为所有整数；⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则AB =Z ；我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则AB B =．有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下：或或补集的引入BA14 第1讲·目标班·教师版一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ð．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}U A =，ð； Z N ð就是所有的负整数；R Q ð就是所有的无理数； {|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈Z Z ，ð；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，ð．3．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ð”．读作“A 在U A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且ð． 用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵AB U⑶ABU【解析】 ⑴()U AB ð或U UAB 痧；⑵()U A B ð； ⑶()()U UA B BA 痧．也可以用()AB AB ð表示．读图可以：公共部分——交集；去掉谁——取谁的补集． 这样可以轻松得到更多集合的交集．如：CABU可以表示成U A BC ð．【例7】 ⑴（2008年北京理科卷1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合U A B ð等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥经典精讲C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵（2009年北京文科卷1）设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则AB =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶（2010北京理1）集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则P M =（ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤⑷（2011北京理1）已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若PM P =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【解析】 ⑴D ；⑵A ；⑶B ；⑷C ．但我们会在下一讲安排一元二次不等式解法的初高衔接内容，这里不希望涉及到太多的解一元二次方程的内容，但为了完整，我们将2012年北京高考题放在下面：⑸（2012北京理1）已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ， 则AB =（D ）A ．()1-∞-，B ．213⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．233⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()3+∞，【例8】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值． 【解析】 ⑴ 1a =-或3a =-．⑵ 实数a 的值为012，，．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集 【解析】 B ；**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：因式分解因式分解是一种研究问题的手段，把一个多项式化成几个整式的积的形式，如将232(1)(2)x x x x -+=--，这与代数的核心目的是一样的，代数的核心目的是降次或消元，因式分解的主要目的是降次．<教师备案>初中学过完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±；平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．这些学生比较熟悉，我们不再安排例题．对二次多项式，另一种常用的因式分解方式是十字相乘，这是这里练习的重点．。

暑期第1讲相互作用考点1：力1．力⑴力的三要素：大小、方向、作用点⑵力的基本性质物质性、相互性、瞬时性、方向性、独立性⑶常见的性质力重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力、分子力、核力2．重力⑴重力的产生由于受到地球的吸引而产生，但重力不是地球对物体的万有引力。

⑵重力的大小=G mg⑶重力的方向竖直向下3．弹力⑴弹力的产生两物体接触，并挤压发生弹性形变。

⑵弹力的大小①弹簧弹力=胡克定律：F kx②其它弹力可根据物体所处的状态，由平衡条件或牛顿运动定律解决。

⑶弹力的方向面：过接触点垂直于此平面或切面绳：沿绳且指向绳收缩的方向杆：轻杆的弹力可以指向任意方向⑴摩擦力的产生接触且挤压，接触面粗糙，物体间有相对运动或相对运动的趋势。

⑵摩擦力的大小①滑动摩擦力f=μN，其中动摩擦因数 与两接触物体的材料和接触面的粗糙程度有关。

②静摩擦力其大小与引起相对运动趋势的外力有关，由平衡条件或牛顿运动定律解决。

物体实际受到静摩擦力的大小介于零和最大静摩擦力m f之间。

⑶摩擦力的方向滑动摩擦力的方向与物体的相对运动的方向相反，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。

⑷判断静摩擦力的有无假设没有静摩擦力，看物体是否发生相对运动。

若发生，则存在静摩擦力。

【典例1】（2019•望花区校级学业考试）关于力，以下说法中正确的是（）A．只有接触物体之间才可能有相互作用B．马拉车加速前进时，马拉车的力大于车拉马的力C．地球上的物体受到重力作用，这个力没有反作用力D．相互接触的物体之间也不一定有弹力产生【分析】根据力是物体对物体的作用。

应知道发生力的作用必须在两个物体之间，正确理解力的作用是相互的。

即物体对另一个物体施加力的同时也受到另一个物体对它施加的力的作用。

【解答】解：A、两个不接触的物体也可以产生力，例如磁铁，故A错误B、马拉车的力和车拉马的力是一对作用力与反作用力，大小相等。

故B错误C、重力的反作用力是物体对地球的吸引力，故C错误D、弹力产生的条件是相互接触和发生弹性形变，所以相互接触的物体之间也不一定有弹力产生，故D正确。

暑期第1讲运动的描述开章引言在我们周围，到处都可以看到物体在运动，行人在路上行走，汽车在公路上飞驰，河水流向远方，鸟儿在空中飞翔……连我们脚下的地球，也在不停的自传、公转。

物体的空间位置随时间的变化，是自然界中最简单、最基本的运动形态，称为机械运动。

在物理学中，研究物体机械运动规律的分支叫做力学。

霍尔顿说：“无论从逻辑上还是历史上讲，力学都是物理学的基础，也是物理学及其他学科研究的典范……力学之于物理学如同骨骼之于人体。

”在这一章，我们将研究怎么描述物体的运动。

新知点睛1：基本物理量1．机械运动物体的空间位置随时间的变化，是自然界中最简单、最基本的运动形态，称为机械运动。

比如车辆的行驶、机器的运转、树叶的摇摆等等都是机械运动。

2．参考系要描述一个物体的运动，首先要选定某个物体做参考，观察物体相对于这个“某个物体”的位置是否随时间变化，以及怎样变化。

这种用来做参考的物体叫做参考系。

描述一个物体的运动时，参考系可以任意选择。

但是，选择不同的参考系来观察同一物体的运动，其结果会有所不同。

3．坐标系为了定量地描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系（按维度分可分为一维、二维、三维）。

如下图一维坐标所示，若某一物体运动到点，此时它的位置坐标，若它运动到点，则此刻它的坐标。

（一维）（二维）（三维）在某些情况下，可以不考虑物体的大小和形状，而突出“物体具有质量”这一要素，把它简化为一个有质量的点，称为质点。

于是，对实际物体运动的描述，就转化成对质点运动的描述。

例如，一列火车从格尔木开往拉萨，在计算运行时间的时候，可以忽略列车的长度，把它视为质点；但是同样这列火车，要计算它通过拉萨河特大桥所需时间时，则必须考虑列车的长度，不可把列车视为质点。

5．时间与时刻时刻是事物运动、发展、变化过程所经历的各个状态先后顺序的标志；时间则是事物运动、发展、变化所经历的过程长短的量度。

时刻和时间可以在时间轴上表示出来，时间轴上的每一个点都表示一个不同的时刻，时间轴上的一段线段表示的是时间。

**************************************************************************************** 教师版说明：1.建议老师在梳理知识网络的同时，对基本概念进行复习。

框图中涉及了全部概念，重点知识回顾部分对比较重要的概念进行了详细叙述，对于一些比较简单的概念老师带领学生一起回忆一下即可。

2.概念中划线的部分在学生版中作为填空出现。

3.平均速度、瞬时速度、平均速率、瞬时速率、加速度这几个比较重要的、易混的概念在后面的模块中会重点辨析，这里可以跳过，重点是把后面不讲的概念给学生复习一下。

****************************************************************************************暑期课程中，我们已经学习过描述物体运动的基本物理量，下面进行一个简单归纳。

首先要明确什么是“机械运动”；为了描述物体是否运动需要引入“参考系”；为了定量描述运动需要引入“坐标系”；为了简化复杂的运动，引入了“质点”这个理想化模型；初中学习过描述运动的3个物理量时间、路程和速度，高中对其进行了扩展，对应的物理量分别是“时间”和“时刻”、“位移”和“路程”、“速度”和“速率”；由于上述物理量不能完备的描述运动，我们又引入了“加速度”的概念。

1．质点重点知识回顾基础知识梳理第1讲运动学概念专题在某些情况下，可以不考虑物体的大小和形状，这时，我们只突出“物体具有质量”这一要素，把它简化为一个有质量的点，称之为质点。

质点并不存在，是一种理想化的物理模型。

2．路程和位移⑴路程：物体运动轨迹的长度，只有大小，没有方向，是标量。

⑵位移：描述物体位置变化的物理量。

由初位置指向末位置的一条有向线段，既有大小，又有方向，是矢量。

⑶路程与位移的大小关系：位移的大小≤路程。

3．速度⑴速度是描述物体运动快慢的物理量，是位移对时间的变化率。

4.4力学单位制——划重点之初升高暑假预习强化精细讲义知识点1：单位制1.基本量在物理学中，只要选定几个物理量的单位，就能够利用物理量之间的关系推导出其他物理量的单位。

这些被选定的物理量叫作基本量.例如，在力学中选长度、质量、时间为基本量。

2.基本单位与导出单位（1）基本单位:被选定的基本量的单位叫作基本单位。

例如，力学中长度的基本单位有千米、米和厘米等，质量的基本单位有克、千克等，时间的基本单位有小时、分和秒等。

（2）导出单位：由基本量根据物理关系推导出来的其他物理量的单位，叫作导出单位.若位移选用米、时间选用秒为单位，由速度公式推导出来的速度的单位就是米每秒;若位移选用千米、时间选用小时为单位，则速度的单位为千米每小时。

米每秒和千米每小时均为导出单位.3.单位制基本单位和导出单位一起组成了单位制.由于基本单位的选取不同，历史上出现了不同的单位制.4.国际单位制1960年第11届国际计量大会制订了一种国际通用的、包括一切计量领域的单位制，叫作国际单位制，简称为SI。

以下是国际单位制中的七个基本物理量和相应的国际单位制中的基本单位。

（1）只用一个符号表示的单位不一定是基本单位.例如,牛顿(N)、焦耳(J)、瓦特(W)等都不是基本单位,而是导出单位。

（2）基本单位是可以任意选定的,由于选取的基本单位不同,组成的单位制就不同。

（3）是国际单位制的不一定是基本单位。

基本单位只是组成国际单位制的一小部分，在国际单位制中，除七个基本以外的单位都是导出单位。

5.力学单位制的分类力学中的国际单位制基本单位和部分导出单位如下：（1）由于基本物理量的选取和基本单位的规定都带有一定程度的任意性，中外历史上曾出现过许多单位制（如我国在单位中出现的斤、两、尺、寸等），这就阻碍了国际及社会交往.为了建立一种简单、科学、实用的计量单位制，一种以米制为基础发展起来的国际单位制于1960年第11届国际计量大会上得到通过，并推荐各国釆用。

第一讲 运动和力知识梳理一、参照物 运动的相对性1．参照物 2．运动的相对性 3．相对速度的计算 二、匀速直线运动的速度1．匀速直线运动 2．速度 3．匀速直线运动的路程 三、变速直线运动的平均速度1．变速直线运动 2．平均速度 四、匀速直线运动图象 五、力的基本概念 1．什么是力 2．力的三要素 3．力的种类 4．力的平衡六、牛顿第一定律 1．物体的惯性2．牛顿第一运动定律（惯性定律） 3．力和运动的关系 七、牛顿第三定律 1．作用力和反作用力 2．牛顿第三运动定律 八、受力分析1．受力分析的意义2．对物体进行受力分析的步骤例题精讲例1、船在静水中速度为υ1，河水流速为υ2，船顺流由甲地到乙地再逆流返回甲地，所用时间是t 1，该船在静水中往返同样距离所用时间为t 2，则（ ）。

A 、 t 1=t 2， B 、t 1＞t 2，C 、t 1<t 2，D 、无法确定 解：设甲、乙两地相距s ，则静水中往返一次所用时间t 2=12υs；流水中往返一次所用时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=212212121112υυυυυυυssst ，显然t 1＞t 2，正确答案为B 。

例2、将弹簧秤的圆环固定，在其下端挂钩上悬挂一个物体，静止不动时，弹簧秤的示数是3牛，此时弹簧秤的轻弹簧由原长6厘米伸长到8厘米。

（1）这个轻弹簧的劲度系数是多大？（2）若用手握住弹簧秤的圆环，同时另一只手拉弹簧秤的挂钩，如图所示，两手用力大小均为3牛，此时弹簧秤的示数多大？（3）若将弹簧秤的弹簧截去61后重新装好（未挂重物时指针仍指零），要弹簧秤的示数仍是3牛，需要挂多重的物体？ 解：（1）弹簧形变产生的弹力F=3牛时，此时弹簧发生的形变大小Δχ＝2厘米，根据F ＝kΔχ，弹簧的劲度系数为 k=xF =150牛/米。

（2）弹簧发生伸长或压缩形式，必须在其两端同时受到拉力或压力作用。

在（1）中弹簧秤的示数是3牛，就是由于圆环和持钩同时受到拉力作有的结果。

暑假辅导高中物理教案主题：电学时间：暑假教学目标：学生能够理解电学的基本概念和公式，掌握电场、电势、电流、电阻等相关知识，能够解决相关问题。

教学内容：1. 电场- 电场的定义及性质- 电场强度的计算方法- 电场线和电势的关系2. 电势- 电势的定义及性质- 电势差与电场强度的关系- 电势能的计算方法3. 电流- 电流的定义及性质- 电流大小的计算方法- 串联电路和并联电路的特点及计算方法4. 电阻- 电阻的定义及性质- 电阻的计算方法- 阻值和导体材料的关系- 欧姆定律及应用教学活动：1. 知识讲解：通过课堂讲解、示范实验等形式，介绍电学的基本概念和公式，引导学生理解相关知识。

2. 问题练习：提供一些案例问题给学生进行练习，巩固所学知识，培养学生解决问题的能力。

3. 实验操作：设计一些简单的电学实验，让学生亲自操作，体会电学原理，并进行相关数据的收集与分析。

4. 课堂讨论：组织学生进行讨论，分享解决问题的方法和思路，促进学生之间交流。

评估方法：1. 课堂小测：每节课结束前进行小测验，检查学生对课程内容的掌握程度。

2. 作业检查：每日布置一定数量的作业，检查学生对知识的掌握情况，并及时纠正错误。

3. 实验报告：要求学生完成实验报告，总结实验结果和体会，评价学生的实验操作能力和结论推理能力。

教学资源：1. 电学教材2. 实验器材3. 电路板、导线等实验工具4. 电学模拟软件反馈与改进：根据学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学计划并改进教学方法，保证教学效果。

同时，鼓励学生提出问题和建议，共同努力提高教学质量。

第01讲质点参考系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三教材习题学解题模块四核心考点精准练（7大考点）模块五小试牛刀过关测1.理解质点的定义，知道质点是一个理想化模型，初步体会物理模型在探索自然规律中的作用；2.理解参考系的概念，知道在不同的参考系中对同一个运动的描述可能是不同的；■知识点一：机械运动和质点1.质点（1）机械运动：物体的随的变化，是自然界中最简单、最基本的运动形态，叫作。

（2）质点的概念：在某些情况下，可以忽略物体的和，把它简化为一个具有的点，这样的点叫作质点。

（3）可将物体看成质点的两种情况①物体的和可以忽略。

②物体上各点的完全相同，从描述运动的角度看，物体上任意一点的运动完全能反映的运动。

(4)质点的特点①质点不同于几何“点”。

质点是忽略了物体的，代替物体的有质量的点，其特点是具有质量，没有大小、、，它与几何“点”有本质的区别。

②质点是一个的物理模型。

质点是对实际物体的科学抽象，它突出了问题的，忽略，在现实中是不存在的。

③一个物体能否看成质点是由决定的。

同一个物体，由于所要研究的问题不同，有时可以看成质点，有时不能看成质点。

■知识点二：参考系（1）运动与静止：自然界的一切物体都处于永恒的运动中的物体是不存在的，即运动是的，静止是的。

(2)运动的相对性：描述某个物体的位置随时间的变化时，总是于其他物体而言的。

如果两个物体运动的快慢相同，方向相同，我们就说这两个物体是的。

(3)参考系的定义：要描述一个物体的运动，首先要选定某个其他物体作为，观察物体的位置相对于这个“其他物体”是否随变化，以及。

这种用来作为参考的物体叫作参考系。

(4)参考系的四个性质①标准性：被选为参考系的物体都是的，被研究的物体是运动还是静止，都是相对于而言的。

②任意性：参考系可以选择。

参考系的选取一般以观察方便和使运动的描述尽可能简单为原则。

通常在研究地面上物体的运动时，如果不特殊说明，则默认以为参考系。

【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形知识切片满分晋级第1讲 我会解三角形你会么？三角函数3级 三角函数的图象性质及简单应用三角函数4级 我会解三角形你会么三角函数5级 三角函数公式强化中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三角形全等的证明（SSS SAS ASA AAS，，，），只要给出上述条件我们就能把三角形确定，也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理.在ABC△中的三个内角A，B，C的对边分别用a b c，，表示：1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即sin sin sina b cA B C==．【教师备案】2sin sin sina b cRA B C===，其中R为ABC△的外接圆的半径．建议老师用三角形的外接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以不如这时给学生讲了.利用三角形中的线段关系证明正弦定理：①在R t ABC△中（如图），有sin sina bA Bc c==，，因此sin sina bcA B==，又因为sin1C=，所以sin sin sina b cA B C==②在锐角ABC△中（如图），作CD AB⊥于点D，有sinCDAb=，即sinCD b A=；sinCDBa=，即sinCD a B=，因此sin sinb A a B=，即sin sina bA B=，同理可证sin sina cA C=，因此sin sin sina b cA B C==1.1正弦定理与其在解三角形中的应用知识点睛cb aDCBAC BAcba③在钝角ABC △中（如图），作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则sin CDA b=，即sin CD b A =；()sin 180sin CDB B a=-=，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a cA C=，因此sin sin sin a b cA B C== 利用平面几何知识证明正弦定理：如图所示，设O 为ABC △的外接圆的圆心，连BO 并延长交O 于A '，连A C '，则A A '= 或πA A '=-，∴sin sin 2BC a A A A B R '==='，即2sin aR A=，同理可证2sin sin b c R B C ==，故有2sin sin sin a b cR A B C=== 当ABC △是钝角三角形时，类似地得出上述结论. 利用向量知识证明正弦定理：①当ABC △是锐角三角形时，过A 点作单位向量i 垂直于AB ， 如图，∵AC AB BC =+,∴()i AC i AB BC i AB i BC i BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅，∴()()cos 90cos 90b A a B -=-，得sin sin b A a B =，得sin sin a bA B= ②当ABC △为钝角三角形时，类似地得出上述结论2．利用正弦定理解三角形⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；【教师备案】有了正弦定理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于AAS 和ASA 的条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定.②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．【教师备案】1.已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正弦值，但是解三角形时，因为在(0,π)内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一边所对的角的正弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么SSA 无法证明三角形全等的原因.2.利用正弦定理证明三角形中“大边对大角”的结论：①当ABC △为锐角三角形时，若a b >，则sin sin A B >，又π02A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，正弦函数在此区间内单调递增，故A B >；i CA cba DCBAOA 'CA②当ABC△为钝角三角形时，若A为钝角，则由πA B+<得，πB A<-，又ππ02A B⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，，故由正弦函数的单调性知：()sin sinπsinB A A<-=，从而由正弦定理知：b a<．对直角三角形，此结论显然成立，故综上知，在任意三角形中，均有大边对大角．3.此时，到底取一个角还是取两个角，关键保持一个原则“大边对大角”.具体讨论如下：已知,a b和角A，若B为钝角或直角，则C至多有一个解；若B为锐角，得分情况讨论，如图：无解的情况例如：3460b c B===︒，，，求C．由sin sinb cB C=sin4sin6023sin133c BCb︒⇒===>，∴C无解，从而满足此条件的三角形不存在．这就是sinc B b>的情况．【教师备案】在讲利用正弦定理解三角形时，对于边角互化和利用边角互化判断三角形形状的题型建议放到同步去讲，本板块只讲利用正弦定理解两种类型三角形，在讲完“已知两角和任一边解三角形”后就可以让学生做例1；在讲“已知两边和其中一边的对角解三角形”时一定要注意三角形的多解问题，具体的多解见考点2的【教师备案】，讲完多解问题后就可以让学生做例2的铺垫以及例2.考点1：已知两角和任一边解三角形【例1】已知两角和任一边解三角形⑴已知ABC△中，a b c，，分别是A B C、、的对边，3c=，60A=︒，45C=︒，则a=_______.⑵在ABC△中，30B=︒，45C=︒，1c=，则b=_______；三角形的外接圆半径R=_______.⑶在ABC△中，已知8a=，60B=，75C=，则b=_______.经典精讲b sin A<a<b , 两解a>b , 一解a<b sin A , 无解ba=b sin A , 一解CB【解析】⑴32⑵2；2已知30B =，45C =，1c =，由正弦定理得：2sin sin b cR B C==， 所以sin 1sin 302sin sin 45c B b C ⋅===，122sin sin 452c R C ====,2R =⑶46由60B =，75C =，知45A =，再由正弦定理有846sin 45sin 60bb =⇒=考点2：已知两边和其中一边的对角解三角形【铺垫】根据下列条件解三角形：①6031A a b ===，，；②3012A a b ===，，；③30610A a c ===，，； ④150105A a c ===，，，其中有唯一解的个数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】C ①3sin 3b A =<，又31>∵，∴有唯一解；②sin 2sin301b A ==，∴有唯一解；③sin 10sin305610c A ==<<，∴有两解；④有唯一解.【例2】 已知两边和一边对角解三角形⑴在ABC △中，已知4522A a b ===，，B =_______.⑵已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，22345a b A ===︒， 则B =_______.⑶已知ABC △，三个内角A B C ，，的对边分别记为a b c ，，，若245c x b B ===︒，，，且这个 x 的取值范围． ⑷（目标班专用）（2010山东卷理数）在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2a =，2b =，sin cos 2B B +A 的大小为 ．【解析】⑴30 根据正弦定理得：sin sin a b A B =，∴sin 2sin 451sin 2b A B a ⋅===，b a <∵，B A <∴， B ∴为锐角，即30B =⑵60或120由正弦定理得，sin 23sin 453sin 22b A B a ===，∵sin b A a b <<，∴这个三角形有两组解，即60B =或120. ⑶ 由正弦定理可得：sin sin c b C B =，解得：2sin x C =，由于三角形有两解，又45B =︒， 则45135C <<︒且90C ≠2sin 1C <<221x<<，解得222x <<【点评】本题的⑶也可用以下方法解，当sinc B b c<<，即sin2x B x<<时，对应两个C的值，方程有两组解，解得222x<<．⑷π6由sin cos 2B B+=平方得12sin cos2B B+=，即sin21B=，因为0πB<<，所以π4B=．又因为22a b==，，所以在ABC△中，由正弦定理得：22sin B=，解得1sin2A=．又a b<∵，所以A B<，所以π6A=．【点评】易错点：忽略a b<A B⇒<的隐藏条件．多解．【教师备案】在正弦定理中，我们还有两种类型的全等没有讨论，SAS和SSS型，正弦定理处理的是对边对角的情形，仅仅用正弦定理是很难把三角形求解出来的，因此，我们需要一个新的工具，能够把边的条件化成角，就是下面所介绍的余弦定理.1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos,2cos,2cos.c a b ab Cb ac ac Ba b c bc A⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-它的变形为：222222222cos,2cos,2cos.2a b cCaba c bBacb c aAbc⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩<教师备案> 余弦定理的推导可以由三角形的向量运算直接得到，比如：2222()()2a BC BA AC BA AC BA BA AC AC==+⋅+=+⋅+()22222cosπ2cosc bc A b c bc A b=+-+=-+．也可以通过坐标法及两点距离公式得到．建立合适的坐标系，如图，得()()()cos sin000A b C b CB a C，，，，，，从而有22(cos)(sin)AB c b C a b C==-+，1.2余弦定理及其在解三角形中的应用知识点睛bxyBCA(b cosC , b sinC)整理得：2222cos c a b ab C =+-. 也可以通过三角形中的线段关系证明：在ABC △中，已知边a b ，及C ∠（为了方便起见，假设C ∠为最大的角），求边c 的长证明：当90C ∠=时，那么222c a b =+当90C ∠≠时，如图，无论C ∠为锐角还是为钝角，都过A 点做边BC 的高，交BC （或延长线）于点D ，这时高AD 把ABC △分成两个直角三角形ADB 和ADC ， 则sin AD b C =，cos BD a b C =-，在Rt ADB △中，运用勾股定理，得 ()222222sin cos c AD BD b C a b C =+=+-222cos a b ab C =+-2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： ①已知两边和任意一个内角解三角形； ②已知三角形的三边解三角形．【教师备案】老师在讲完余弦定理后，可以就SSS 和SAS 型的全等证明做个简单讲解，这样子整个讲义的主线就串在一起.然后，可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接套公式的，做完【铺垫】就可以做例3，例3是灵活的运用余弦定理解三角形，在解题过程中需要转化的；学生在能够灵活运用余弦定理后，就可以讲考点4，用余弦定理判断三角形形状，在三角形中，因为每个角都在()0π，内，所以一个角的正弦不能判断这个角是锐角还是钝角，但是余弦就能很快的判定是锐角还是钝角，在三角形中，当cos 0α>时，α为锐角；当cos 0α<时，α为钝角；当cos 0α=时，α为直角；考点4的【铺垫】是直接根据三角形的三条边判断三角形形状的，老师可以让学生先体会一下怎么样用余弦判定三角形形状，例4是已知三角形形状，求边的取值范围的，在解题过程中要注意用余弦定理和构成三角形的条件.考点3：用余弦定理解三角形【铺垫】⑴在ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则c =_______．⑵在ABC △中，222a b c bc =++，则A 等于（ ）．A ． 60B ． 45C ．120 D ． 30 【解析】⑴ 7 由余弦定理2222cos 25644049c a b ab C =+-=+-=，∴7c =． ⑵C∵2222222()1cos 222b c a b c b c bc A bc bc +-+-++===-经典精讲abcABCDD cbCBA∵0180A <<，∴120A =．【例3】 余弦定理解三角形⑴在ABC △中，5a =，8b =，7c =，则sin C =_______．⑵在ABC △中，已知3sin 5A =，sin cos 0A A +<，35a =，5b =，则c =______.⑶在ABC △中，若1378cos 14a b C ===，，，则最大角的余弦是( )． A ．15- B ．16- C ．17- D ．18-【解析】⑴3 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =，3sin C =． ⑵∵sin cos 0A A +<，且3sin 5A =，24cos 1sin 5A A =--=-∴，又∵35a =，5b =，2222cos a b c bc A =+-，∴()2224355255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，即28200c c +-=，解得2c =或10c =-（舍），∴2c = ⑶ C由2222cos c a b ab C =+-，∴3c =，则b a c >>，∴最大角为B ，∴2221cos 27a c b B ac +-==-考点4：用余弦定理判断三角形形状【教师备案】最大角定三角形的形状，由余弦定理易得，较小两边的平方和与最大边的平方的差可以定最大角是锐角、直角或钝角．注意:三角形三边关系应满足的为:较小两边的和大于 第三边．【铺垫】在ABC △中，已知5a =，6b =，7c =，则此三角形是一个 三角形． 【解析】锐角三角形 c b a >>∵,∴角C 为最大角，2221cos 025a b c C ab +-==>∴，∴角C 为锐角，∴三角形为锐角三角形【例4】判断三角形形状⑴ 若以34x ，，为三边组成一个直角三角形，则x 的值为 ． ⑵ 若以34x ，，为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为 ． ⑶ 若以34x ，，为三边组成一个钝角三角形，则x 的取值范围为 ． 【追问】我们还可以考虑，当我们知道三角形两边的情况下，求某一个角的取值范围，例如下面这个问题：已知ABC △中，12AB BC ==，，则C ∠的取值范围是________________⑷ （目标班专用）已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.【解析】 ⑴ 5722234x +=或22234x +=．⑵)75依题意有:22217434x x x ⎧<<⎪>⎨⎪+>⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+>⎩≤75x <．⑶ (()1757，∪， 解法一：依题意有:22217434x x x ⎧<<⎪>⎨⎪+<⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩≤解得57x <<或17x <<．解法二：本题也可以由函数的图象来解决，如图，设圆的半径3OA =，4OB =，圆上任取一点与O B ，两点构成三角形，从图形上看出，当圆上的点在点D 和点E 上时，构成直角三角形；当点 在DE 上时，构成锐角三角形；当点在AD 和EG 上时，构成 钝角三角形.由此可以很快得出答案. 【追问】π06⎛⎤ ⎥⎝⎦，⑷设三角形三边的长为：()12n n n n *++∈N ，，最大角为α，∴222(1)(2)cos 2(1)n n n n n α++-+=+，∵α是钝角，∴cos 0α<，∴222(1)(2)02(1)n n n n n ++-+<+，2(1)0n n +>∵，∴222(1)(2)0n n n ++-+<∴2230n n --<，∴13n n *-<<∈N ，∵，1n =∴或2. 当1n =时，123，，不能构成三角形的三边，故舍去. 当2n =时，234，，即为所求三边的长.【拓展】⑴钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，其最大角不超过120，求a 的取值范围. ⑵在ABC △中，若三条边是三条连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求ABC △的三条边长.【解析】⑴∵钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，∴显然有210a a a +>+>>，设钝角三角形 的最大的（内）角为α，依题意，得90120α<≤， 由()()()()()()22212313cos 21212a a a a a a a a a a a α++-+-+-===++，可得13022a a--<≤， GFEDCBAO解得332a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，⑵设最小内角为θ，三边长为11n n n-+，，，根据正弦定理得：11sin sin2n nθθ-+=，112cosnnθ+-=∴，()1cos21nnθ+=-∴，根据余弦定理得：()()()22211cos21n n nn nθ++--=+，()()()()2221112121n n nnn n n++--+=-+∴，解得5n=，从而得ABC△的三条边分别为456，，1.正弦定理灵活应用：①2sina R A=，2sinb R B=，2sinc R C=(其中R为ABC△的外接圆的半径)；②sin2aAR=，sin2bBR=，sin2cCR=；③::sin:sin:sina b c A B C=．2.正余弦定理的综合应用已知条件应用定理一般解法一边和两角（如a B C，，）正弦定理由πA B C++=，求角A；由正弦定理求出b与c．两边和夹角（如a b C，，）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角(此角一定是锐角)；再由πA B C++=，求剩下的角.三边（a b c，，）余弦定理正弦定理由余弦定理求出最大角，然后正弦计算剩余两角．两边和其中一边的对角（如a b A，，）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由πA B C++=，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c．正弦定理可以得到三角形的边与角之间的关系，可以把角全部换成边，也可以把边全部换成角，【铺垫】就是根据正弦定理把边用角表示，例5是先要根据正弦定理把边角化掉再根据余弦定理解三角形，此类题型不属于边角互化题型，是正弦定理的灵活运用，边角互化的题型是比如“2sina b A=”类型的，对于这类题我们放到同步去讲；在讲完正余弦定理的灵活运用后就可以让学生体会一下正余弦定理在平面几何中的应用，因为在同步的时候不会讲此类题型，所以在预习的时候可以给学生介绍一下，具体见例6和目标班学案2，而对于三角形中()sin sinA B C+=的应用建议放到同步去讲.1.3正余弦定理在解三角形中的灵活应用经典精讲知识点睛【铺垫】在ABC △中，若::1:2:3A B C =，则::a b c =______.【解析】 由已知得306090A B C ===，，，::sin :sin :sin1:3:2a b c A B C ==∴【例5】 正余弦定理的综合运用⑴在ABC △中，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．23⑵在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则角C 为（ ）A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定【追问】在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（ ） A .直角三角形 B .等边三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形⑶（2010天津理7）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 【解析】⑴A 根据正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=，sin :sin :sin ::3:2:4A B C a b c ==∴，2223241cos 2324C +-==-⨯⨯∴⑵B222sin sin sin A B C +<∵，∴根据正弦定理得222a b c +<，222cos 02a b c C ab+-=<∴，∴角C 为钝角【追问】B ⑶A由sin 23sin C B =，根据正弦定理，得23c b =.所以22236a b bc b -==，即227a b =. 由余弦定理得2223cos 2b c a A bc +-==.所以30A =︒.【例6】 正余弦定理在平面几何中的应用⑴ 在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，6AC =，求BD⑵ 在ABC △中，已知4AB =，7AC =，BC 边上的中线7AD =，那么BC = ．⑶ （目标班专用）在ABC △中，已知46AB =6cos ABC ∠=，AC 边上的中线5BD ，求sin A 的值【解析】 ⑴如图，在ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即222635235cos B =+-⋅⋅ ①在ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 即22235235cos BD A =+-⋅⋅ ②①+②得：()22226235BD +=+，即42BD =DCBA【点评】由本题可以得出平行四边形定理：平行四边形的对角线平方之和等于四条边长平方之和⑵解法一：如图：设BD x=，则2BC x=，DC x=，∵πADB ADC∠=-∠,cos cosADB ADC∠=-∠∴，由余弦定理，得222222774722772222x xx x⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⋅⋅⋅，解得92x=，9BC=∴解法二：由平行四边形定理得：()2222247781BC=+-=，9BC=∴⑶如图：设E为BC的中点，连接DE，则DE AB∥，且1262DE AB==，设BE x=，在BDE△中利用余弦定理可得：2222cosBD BE ED BE ED BED=+-⋅∠，()()6cos cosπcosπcosBED DEC ABC ABC∠=-∠=-∠=-∠=-∵28266523x x=++⨯⨯∴，解得1x=或73x=-（舍），故2BC=，从而222282cos3AC AB BC AB BC ABC=+-⋅∠=，即221AC=,又30sin ABC∠=∵，故22123sin30A=，70sin A=∴【教师备案】因为三角形的面积和正余弦定理关系不是特别紧密，而且到本讲结束，三角形的面积公式已经全部讲完，所以把三角形的面积单独做一个板块，老师可以把所有的三角形面积公式给学生讲一下.1.4三角形的面积知识点睛DA72x745463DCA面积公式：()11111sin sin sin 222224a abcS ah a b c r ab C bc A ac B R ==++====．其中r 为ABC △内切圆半径，R 为外接圆半径.【教师备案】在求三角形的面积时，学生印象最深的就是12a ah ，那这个时候老师就可以根据12a ah 推导其它公式，并且老师可以在这里把三角形的面积公式全部给学生整理一下，但是本讲重点是介绍1sin 2S ab C =类型的三角形面积公式，如果学生的程度很好，老师可以介绍一下“海伦公式”和圆内接四边形面积公式.【选讲】海伦公式：()()()S p p a p b p c =---2a b cp ++=. 【推导】 ()2222222111sin 1cos 12224a b c S ab C C ab a b+-==--()()()2222222222221142244a b a b c ab a b c ab a b c -+-++---+()()()()()()22221144a b c c a b a b c a b c a c b b c a ⎡⎤⎡⎤+---+++-+-+-⎣⎦⎣⎦令()12p a b c =++，则()()()S p p a p b p c =---圆内接四边形面积：()()()()S p a p b p c p d ----2a b c dp +++=. 【推导】由()22222cos 2cos πa b ab c d cd θθ+-=+--，可得2222cos 22a b c d ab cd θ+--=+()()222222222sin 1cos ab cd a b c d θθ+-+---()()()()b c d a a c d b a b d c a b c d ++-++-++-++- (){}()11sin sin πsin 22S ab cd ab cd θθθ=+-=+ ()()()()()()()()142222b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d p a p b p c p d ++-++-++-++-++++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----【教师备案】老师在讲完三角形的面积后就可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接利用公式求三角形面积的，例7不能够直接利用公式求三角形面积，需要先看在面积公式中缺少哪些变量，然后再根据题中的已知条件利用正余弦定理求出所需要的变量，最后再利用面积公式就CB A b aDC BAπ-θθd cba可以了.第三题放了一道关于圆内接四边形面积的题目，供老师选择使用；例8是已知三角形面积解三角形，在解题过程中会用到正余弦定理，对于求面积的最大值的问题建议放到同步，因为在求最大值的问题时大多数要用到均值定理，学生这时候还没学，所以建议以后再讲.【铺垫】在ABC△中，若5AB=，7BC=,33sin14B=，求ABC△的面积.【解析】∵5AB=，7BC=,33sin14B=，1133153sin5722144ABCS AB BC B=⋅⋅=⨯⨯⨯=△∴【例7】求面积⑴已知ABC△，三个内角,,A B C的对边分别记为a b c，，，43460b c B===︒，，，求ABCS△．⑵已知ABC△，三个内角,,A B C的对边分别记为a b c，，，若234a b c===，，，求ABCS△．⑶（目标班专用）已知：四边形ABCD内接于圆O，四边长依次为2,7,6,9，求圆直径. 【解析】⑴分析:三角形的已知条件为常见的SSA型．根据条件有两种思路求三角形的面积:11sin sin22ABCS bc A ac B∆=⋅=⋅．所以欲求三角形面积需要先求A或先求a．方法一:由正弦定理知sin sinb cB C=，sin1sin243c BCb︒===，因为C是三角形的一个内角，故30C︒=或150︒，又60B︒=，故30C︒=．180603090A︒︒︒︒=--=，从而1832ABCS bc∆==．方法二:由余弦定理得222cos2a c bBac+-=，即24320a a--=．()()480a a+-=．因为0a>，所以8a=．1sin832ABCS ac B∆=⋅=．⑵要求面积，先求一个角，已知三边，可以用余弦定理求一角：222416911cos21616a c bBac+-+-===，∴2315sin1cosB B=-=，经典精讲∴113153sin 241522164ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=．⑶ 85.【铺垫】已知ABC △的三边长分别为a b c ，，，且面积()22214ABC S b c a =+-△，则A 等于（ ） A ．45 B ．30 C ．120 D ．15【解析】 A()2221112cos cos 442ABC S b c a bc A bc A =+-=⨯=△，又1sin 2ABC S bc A =△∵，sin cos A A =∴，45A =∴【例8】 已知三角形面积解三角形ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，22sin 3cos C C =，7c =，又ABC △的面积为332， 求⑴角C 的大小；⑵a b +的值【解析】⑴由已知得()221cos 3cos C C -=，1cos 2C =∴或cos 2C =-（舍）， ∴在ABC △中，60C =⑵133sin 22ABC S ab C ==△∵，133sin 6022ab =∴，6ab =∴，又2222cos c a b ab C =+-∵，()22272cos a b ab C =+-∴，227a b ab +-=∴，2213a b +=∴， 222255a b a b ab +=++==∴【演练1】 （2010北京卷文理10）在ABC △中，若2π133b c C ==∠=，，，则________a = 【解析】1 方法一: 由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得， 220a a +-=．∵0a >，∴1a =．方法二: 由正弦定理sin sin b c B C =得，1sin 2B =，π6B =或5π6，又因为b c <，即B C <， 所以π6B =，∴2ππππ366A =--=．∴1a b ==．实战演练【演练2】 在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若()222tan 3a c b B ac +-，则角B 的值为（ ）．A ． π6B ． π3C ．π6或5π6D ． π3或2π3【解析】D 由余弦定理2222cos a c b ac B +-=及()222tan 3a c b B ac +-得， 3sin B =． 所以π3B =或2π3．【演练3】 在ABC △中，已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --，则角B 的大小为（ ）A ．150︒B ．30︒C ．120︒D ．60︒ 【解析】A 由222sin sin sin 3sin sinBC A A C --=及正弦定理可得2223b c a ac --=即得2223cos 2a c b B ac +-==，∴150B =︒．【演练4】 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，1tan 2A =，310cos B = 若ABC △最长的边为1，则最短边的长为（ ）．A 25B 35C 45D 5 【解析】D 由310cos B =B 为锐角，∴1tan 3B =，故()()tan tan πtan C A B A B =--=-+tan tan 11tan tan A BA B+=-=--⋅①， 由①知135C ∠=︒，故c 边最长，即1c =，又tan tan A B >，故b 边最短，∵10sin B =，2sin C =sin sin b c B C =， ∴sin 5sin c B b C =5．【演练5】（2011西城一模文15） 设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． ⑴ 当30A =︒时，求a 的值；⑵ 当ABC △的面积为3时，求a c +的值．【解析】 ⑴ 因为4cos 5B =，所以3sin 5B =，由正弦定理sin sin a b A B =，可得10sin303a =︒，所以53a =．⑵ 因为ABC △的面积1sin 2S ac B =，3sin 5B =，所以3310ac =，10ac =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222284165a c ac a c =+-=+-，即2220a c +=．所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=，所以，210a c +=．1.正弦定理公式 ；余弦定理公式22a b +- = .2.三角形面积公式S = .盲人数学家——欧拉1783年9月18日，法国人蒙高尔费兄弟举行了第二次热气球升空试验。

2024新高一暑假物理衔接讲义第01讲：质点参考系（解析版）第01讲：质点参考系一：知识精讲归纳考点一、物体和质点1．定义：忽略物体的大小和形状，把物体简化为一个具有质量的点．2．物体看作质点的条件：一个物体能否看成质点是由所要研究的问题决定的．当物体的大小和形状对研究问题影响较小，可把物体看作质点．3．理想化模型：在物理学中，突出问题的主要因素，忽略次要因素，建立理想化的物理模型，并将其作为研究对象，是经常采用的一种科学研究方法．质点这一理想化模型就是这种方法的具体应用．考点二、参考系1．运动与静止(1)自然界的一切物体都处于永恒的运动中，运动是绝对的．(2)描述某个物体的位置随时间的变化，总是相对于其他物体而言的，这便是运动的相对性．2．参考系：要描述一个物体的运动，首先要选定某个其他物体作为参考，这种用来作为参考的物体叫作参考系．3．参考系的选择是任意(填“任意”或“唯一”)的．4．选择不同的参考系来观察同一个物体的运动，其结果往往会有所不同(填“会有所不同”或“一定相同”)．考点技巧归纳：1．对质点的理解(1)质点是用来代替物体的有质量的点，只占有位置而不占有空间，具有被代替物体的全部质量．(2)质点是一种“理想化模型”，它是对实际物体的一种科学抽象．2．物体能看成质点的条件(1)物体的大小、形状对研究结果没有影响或影响可以忽略时．(2)平动的物体．(3)当所研究物体的运动涉及的空间远大于物体的尺寸时．二：考点题型归纳题型一：机械运动1．下列所举的事例中，不属于机械运动的是（）A．苹果从树枝上掉落B．小船在水面上滑行C．生产技术革新运动D．月亮绕地球的运动2．下列所举的事例中，不属于机械运动的是（）A．抛出的石块在空中运动B．小船在水面上滑行C．生产技术革新运动D．月亮绕地球的运动3．下列不属于机械运动的是（）A．流星划过夜空B．煤燃烧的过程C．钟表指针的运动D．秋天树叶纷纷飘落题型二：质点的概念与理解4．下列物体能够看作质点的是（）A．花样滑冰比赛中，研究运动员的跳跃和旋转B．研究落地时正面朝上还是朝下的硬币C．研究人造地球卫星绕地球飞行时的运动轨迹D．研究一辆大巴车经过路旁一根电线杆所用的时间5．下列的说法正确的是（）A．研究汽车发动机的工作原理时，可以把汽车当做质点B．研究汽车从上江开往六库的时间，可以把汽车当做质点C．研究公交车经过某电线杆所用的时间，可以把公交车当做质点D．研究地球自转时，可以把地球当做质点6．2020年2月14日，在斯诺克威尔士公开赛中，中国小将颜丙涛5－2击败希金斯闯进四强。

暑期第1讲运动的描述开章引言在我们周围，到处都可以看到物体在运动，行人在路上行走，汽车在公路上飞驰，河水流向远方，鸟儿在空中飞翔……连我们脚下的地球，也在不停的自传、公转。

物体的空间位置随时间的变化，是自然界中最简单、最基本的运动形态，称为机械运动。

在物理学中，研究物体机械运动规律的分支叫做力学。

霍尔顿说：“无论从逻辑上还是历史上讲，力学都是物理学的基础，也是物理学及其他学科研究的典范……力学之于物理学如同骨骼之于人体。

”在这一章，我们将研究怎么描述物体的运动。

新知点睛1：基本物理量1．机械运动物体的空间位置随时间的变化，是自然界中最简单、最基本的运动形态，称为机械运动。

比如车辆的行驶、机器的运转、树叶的摇摆等等都是机械运动。

2．参考系要描述一个物体的运动，首先要选定某个物体做参考，观察物体相对于这个“某个物体”的位置是否随时间变化，以及怎样变化。

这种用来做参考的物体叫做参考系。

描述一个物体的运动时，参考系可以任意选择。

但是，选择不同的参考系来观察同一物体的运动，其结果会有所不同。

3．坐标系为了定量地描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系（按维度分可分为一维、二维、三维）。

如下图一维坐标所示，若某一物体运动到点，此时它的位置坐标，若它运动到点，则此刻它的坐标。

（一维）（二维）（三维）在某些情况下，可以不考虑物体的大小和形状，而突出“物体具有质量”这一要素，把它简化为一个有质量的点，称为质点。

于是，对实际物体运动的描述，就转化成对质点运动的描述。

例如，一列火车从格尔木开往拉萨，在计算运行时间的时候，可以忽略列车的长度，把它视为质点；但是同样这列火车，要计算它通过拉萨河特大桥所需时间时，则必须考虑列车的长度，不可把列车视为质点。

5．时间与时刻时刻是事物运动、发展、变化过程所经历的各个状态先后顺序的标志；时间则是事物运动、发展、变化所经历的过程长短的量度。

时刻和时间可以在时间轴上表示出来，时间轴上的每一个点都表示一个不同的时刻，时间轴上的一段线段表示的是时间。

2018高一物理暑假衔接班第1讲谈谈高中物理的学习方法（教师版独有）首先热烈欢迎大家来到充满活力竞争的雨露教育.这一课时我们与大家共同谈谈高中物理的学习方法.其次告诉同学们一句话:物理-------万物之理物理-------“悟”理呵呵……什么感觉? “好玄”高一新生开始学高中物理时，感觉同初中物理大不一样，好象高中物理同初中物理间有一道鸿沟。

那么怎样才能跨越鸿沟，学好高中物理呢？我们先从高中物理的知识结构特点与初中物理的区别入手，找到新的学习方法。

一．高中物理知识结构特点与初中物理的区别：１、初中物理研究的问题相对独立，高中物理则有一个知识体系。

例：第一学期所学的内容；第一章：运动的描述，第二章：匀速直线运动的研究，第三章：相互作用，第四章：牛顿运动定律等本身就构成一个动力学体系。

第一、二章从运动学的角度研究物体的运动规律，找出物体运动状态改变的规律－－加速度。

第三章讲述力的知识，为动力学做准备。

第四章牛顿运动定律，则从力学的角度进一步阐述运动状态改变产生加速度）的原因。

２、初中物理只介绍一些较为简单的知识，高中物理则注重更深层次的研究。

如物体的运动，初中只介绍到速度及平均速度的概念，高中对速度概念的描述更深，速度是矢量，速度的改变必然有加速度，而加速度又有加速和减速之分。

又如摩擦力，高中仅其方向的判定就是一个难点，“摩擦力总是阻碍物体的相对运动或相对运动趋势。

首先要分清是相对哪个面，其次要用运动学的知识来判断相对运动或相对运动趋势的方向，然后才能找出力的方向，有一些问题中还要用动力学的知识能才得出结论。

例如：在水平面上有一物体Ｂ，其上有一物体Ａ，今用一水平力Ｆ拉Ｂ物体，它们刚好在水平面上做匀速直线运动，求Ａ和Ｂ之间的摩擦力。

分析：Ａ物体作匀速直线运动受力平衡），在水平方向不受力的作用，故Ａ和Ｂ之间的摩擦力为零。

３、初中物理注重定性分析，高中物体则注重定量分析。

定量分析比定性的要难，当然也更精确。

高中物理暑期预科教案
课程名称：高中物理暑期预科班
课程时间：每周一至周五，上午9:00-12:00
教学目标：通过本课程的学习，让学生掌握高中物理的基础知识，培养其科学思维能力，并为日后高中物理学习打下坚实的基础。

第一周教学计划：
第一天：物理学科概述
- 介绍物理学的定义和研究对象
- 探讨物理学在现代科学发展中的地位和作用
第二天：运动学基础
- 学习运动的基本概念和运动的描述方法
- 讨论匀速直线运动的运动规律
第三天：力学基础
- 了解力的概念和分类
- 学习牛顿三定律及其应用
第四天：功与能
- 探讨功和能的概念
- 学习能量守恒定律及其应用
第五天：热学基础
- 介绍热能和温度的概念
- 讨论物体的热平衡和热传导
教学方法：理论讲解结合实验演示，通过实践操作锻炼学生的动手能力和观察分析能力。

评估方式：每周末进行一次小测验，了解学生对本周内容的掌握情况，帮助教师及时调整教学进度。

教学资料：教材《高中物理》，实验器材，PPT课件等。

同学们，希望你们在本周的学习中能够认真听讲，积极思考，勇于提问，共同努力，为自己的高中物理学习打下扎实的基础！。

****************************************************************************************教师版说明：前言的内容，请老师根据需要和自己的总结进行讲解，这里只提示一些主要内容。

****************************************************************************************1．物理学改变了世界物理学是一门以实验为基础、崇尚理性、重视逻辑推理的自然科学。

它起始于伽利略和牛顿的年代，经过三个多世纪的发展，已经成为一门有众多分支的基础科学。

在历史上，物理学经历了三次重大突破，每一次都给科学技术带来革命性的发展变化。

17~18世纪，牛顿力学的建立和热力学的发展，导致了蒸汽机的发明，使人类进入蒸汽动力时代，引发了第一次工业革命。

19世纪，法拉第发现了电磁感应现象，麦克斯韦创立了电磁理论，推动了电机、电器、电信设备等的发明和制造，使人类进入了电气时代。

20世纪以来，相对论、量子论的创立和发展，极大拓宽和加深了人们对物质基本结构和基本性质的认识。

根据这些理论，人们大力开发新材料、新能源、发展了微电子技术、计算机技术、促进了社会各个方面的变革，使人类进入了信息时代。

可以说，物理学的发展极大地改变了人们的生活方式、工作方式，为人类的文明、进步作出了巨大的贡献。

图1 物理学的发展改变了人类的生活——人力车VS 汽车图2 物理学的发展改变了人类的生活——传统的保温箱VS 冰柜 走进高中物理 同学们，大家好！欢迎大家开始高中物理的学习。

首先为大家简单介绍一图3 物理学的发展改变了人类的生活——古代通信工具“信鸽”VS手机图4 物理学的发展改变了人类的生活——手工画像VS数码照片图5 物理学的发展改变了人类的生活——弹弓VS原子弹**************************************************************************************** 教师版说明：这里放的5组图是希望从力、热、电磁、光、原子多个方面体现物理改变了人类的生活，和高中物理所要涉及的研究领域相呼应。

目录第一讲质点参考系和坐标系 (2)第二讲时间和位移 (5)第三讲运动快慢的描述——速度 (10)第四讲速度变化快慢的描述——加速度 (15)第五讲匀变速直线运动的速度与时间的关系 (20)第六讲匀变速直线运动的位移与时间的关系 (24)第七讲匀变速直线运动的速度与位移的关系 (29)第八讲自由落体运动 (32)第九讲基本相互作用 (37)第十讲弹力 (42)第一讲质点参考系和坐标系第一部分：三维目标（一）知识与技能1．机械运动概念及其相对性。

2．理解质点概念及意义，知道质点概念是对运动物体给出的一种简化和一种理想化模型，掌握物体看作质点的条件。

3．了解参考系概念，知道选取的参考系不同，对运动的描述结果一般也不同。

（二）过程与方法1．通过质点概念的分析与建立，掌握对运动物体这一研究对象转化为质点这一理想化模型的科学研究与分析方法。

2．掌握数学坐标系方法定量描述运动物体的位置及其变化的方法。

（三）情感、态度与价值观1．通过质点概念的学习，明确在物理学的学习和研究中，要抓住问题的主要方面，忽略次要方面的科学研究方法，进而将研究对象转化为一种理想化模型。

2．明确机械运动是相对的，进而树立运动是绝对的，静止是相对的辩证观点。

第二部分：自主性学习（一）旧知识铺垫什么是参照物？参照物一般是如何选取的？（二）新知识预览自学教材，思考讨论下列问题：1．雄鹰飞翔，足球飞滚时它们各部分的运动是否相同？为何不同？2．地球绕太阳的公转运动，地球的各部分运动情况是否相同？为什么？与公转相比，其差别明显吗？3．什么是质点？4．物体能否看作质点是由问题的决定的。

研究问题时有时把物体简化为质点有什么意义呢？5．什么是参考系？6．选择参考系的原则：一般研究地面上的物体运动时，选择为参考系；当不特别指明参考系时，参考系即为。

（三）自主性学习效果检测1．“空姐”热情为旅客服务，为了描述“空姐”服务时的运动情况，应选下列哪个物体为参照物（）A．飞机场B．飞机C．沿航线的山、树或云彩D．都可以2．我们描述某个物体的运动时，总是相对一定的参考系，以下各说法中正确的是（）A．我们说“太阳东升西落”是以地球为参考系的B．我们说“地球围绕太阳转”是以地球为参考系的C．坐在火车上的乘客看到铁路旁的树木、电线杆迎面向他飞奔而来，乘客是以他自己为参考系的D．无风的雨天，坐在行驶汽车上的人看到雨滴斜向下落向地面，汽车上的人是以地面为参考系的3．下列说法中正确的是（）A．参考系就是绝对静止不动的物体B．只有选择好参考系后，物体的运动才能确定C．同一物体的运动相对于不同的参考系，观察结果可能不同D．我们平常所说的楼房静止不动，是指楼房相对于地球的位置是不变的4．在第一次世界大战期间，一位法国飞行员在飞行时，用手抓住了一颗德军的子弹，这个飞行员能很容易地抓住子弹的原因是（）A．飞行员的飞行速度不大B．子弹的飞行速度不大C．子弹相对于飞行员的速度不大D．子弹已经停了下来（四）我的疑难问题：……第三部分：重难点解析一、机械运动：（1）定义：物体的随时间的变化。

物理暑假教案高中版一、教学目标：1. 知识目标：复习物理基础知识，加深对物理概念的理解。

2. 能力目标：提高学生的物理解题能力，培养学生的实验思维和分析问题的能力。

3. 情感目标：鼓励学生养成良好的学习习惯，激发学生对物理学习的兴趣。

二、教学内容：1. 复习基础知识2. 解题技巧3. 实验操作三、教学安排：第一周：复习物理基础知识，包括力学、热学、电磁学等各个方面的内容。

第二周：实验操作，学生根据老师设计的实验进行实际操作，体会物理定律。

第三周：解题技巧，学生通过不同类型的习题练习，提高解题能力。

四、教学方法：1. 集体讨论：引导学生通过讨论解决问题，培养合作精神。

2. 实验操作：让学生在实验中亲身体会物理规律，提高实验技能。

3. 解题训练：通过解题训练，巩固学生的物理知识，提高解题能力。

五、教学评价：1. 考试评价：安排期末考试，检查学生对物理知识的掌握程度。

2. 作业评价：布置适量的作业，检查学生对知识的理解情况。

3. 实验评价：评估学生在实验中的表现和实验结果的准确性。

六、教学内容：1. 复习基础知识- 牛顿运动定律- 能量守恒定律- 电磁感应定律- 等等2. 解题技巧- 根据题目特点选择合适的解题方法- 分析问题，理清思路- 多练习，熟练解题技巧3. 实验操作- 确定实验目的和步骤- 观察数据变化，进行数据处理- 总结实验结果，得出结论七、教学建议：1. 提醒学生要按时复习，不能等到考试前才开始。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和实验操作。

3. 激发学生的学习兴趣，增加学习的动力。

以上是物理暑假教案的范本，希朥对你有所帮助。

祝学习顺利，暑假愉快！。