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高斯牛顿法编程及实践报告班级：地物11101成员：王云鹤吴迪杨寒张林涛一.小组简介本组成员：王云鹤，吴迪，杨寒，张林涛杨寒，张林涛负责讨论方法原理及编程思路王云鹤负责编程吴迪负责整理并编写报告二.方法原理曲线拟合的目标函数自动反演的主要方法是曲线拟合，即寻找一个模型的理论曲线，使其与实测曲线现在均方差极小意义下重合得最好。
在大地电磁测深资料一维解释中，研究的对象时水平层状地电模型。
设有k 层，就有n=2k-1个参数，即各层的电阻率和厚度，记为列向量形式： λ⃑ =[λ1,λ2,…λn ]T 实际观测数为m 个，是对应不同周期的视电阻率值，也记为列向量形式：ρa ⃑⃑⃑⃑ =[ρa1,ρa2,…ρam ]T一般情况下m>n 。
各周期的理论视电阻率值是模型参数的 λ⃑ 函数，记为：ρc ⃑⃑⃑ =[ρc1(λ⃑ ),ρc2(λ⃑ ),…ρcm (λ⃑ )]T 层状模型理论值与观测值之间拟合的判断依据一般是取目标函数：F( λ⃑ )= ∑(ρai −ρci )2m i=1=∑f i z ( λ⃑ )=‖ f ( λ⃑ )‖2=极小m i=1 (3-1)设 λ0⃑⃑⃑ 为初始参数列向量，f i ( λ⃑ )= f i (λ0⃑⃑⃑ )+[∇f i (λ0⃑⃑⃑ )]ς·Δλ⃑⃑⃑⃑ ，其中：Δλ⃑⃑⃑⃑ = λ⃑ −λ0⃑⃑⃑ ； ∇f i (λ0⃑⃑⃑ )=[∂f 1( λ⃑ )∂λ1,…,∂f i ( λ⃑ )∂λi ]λ⃑ =λ0⃑⃑⃑⃑ T , i=1,2,…,m将上式写成矩阵形式为f ( λ⃑ )=f 0⃑⃑ −A 0△λ⃑ (3-2) 式中 f 0⃑⃑ =f (λ0⃑⃑⃑ )=ρ0⃑⃑⃑⃑ −ρ⃑ (λ0⃑⃑⃑ )=∆ρ0⃑⃑⃑⃑A0=[a ij]=[−∂f i( λ⃑)∂λi]λ⃑=λ0⃑⃑⃑⃑=[−∂ρi( λ⃑)∂λi]λ⃑=λ0⃑⃑⃑⃑i = 1,2,…,m; j=1,2,…,n这样，利用式(3-2)将式(3-1)化为：‖∆ρ0⃑⃑⃑⃑ −A0Δλ⃑⃑⃑⃑ ‖2=极小 (3-3)根据函数的极值条件，可得如下方程组：A0T A0Δλ⃑⃑⃑⃑ −A0T∆ρ0⃑⃑⃑⃑ =0 (3-4)如果矩阵A0T A0满秩，则方程组(3-4)有唯一解Δλ⃑⃑⃑⃑ =(A0T A0)−1A0T∆ρ0⃑⃑⃑⃑ 令λ1⃑⃑⃑ =λ0⃑⃑⃑ +Δλ⃑⃑⃑⃑ ，λ1⃑⃑⃑ 便是解的首次近似，然后重复迭代，知道符合要求为止。
基于HYDRU S模型的盐碱地土壤水盐运移模拟潘延鑫;罗纨;贾忠华;井思媛;李山;武迪【摘要】To determine the movement of salt and water in the saline-alkali flatland of Lubotan,Shaanxi province, based on the saturated-unsaturated soil water and solute transport theory,field monitoring data of local water and salt for many years was applied to simulate the rules of local soil water and salt movement,using the HYDRUS 1D numerical model .The soil water and salt changes were analyzed,and the reasonable field irrigation quota was proposed .The results showed that during the whole reproductive period,soil water content had a similar variation trend under different irrigation quotas .Considering water saving and salt control,farmland irrigation quota of 500 m3·hm-2 is reasonable to control salt accumulation in soil .The simulated results of soil water and salt migration using HYDRUS model are basically consistent with the observed values in field experiment,and the results can be referred for farmland management of water and salt in semblable salinity regions .%为了解陕西卤泊滩盐碱地的水盐运移情况，基于当地2009—2013年田间水盐监测资料，应用饱和－非饱和土壤水分及溶质运移理论，利用HYDRUS－1 D数值模型对当地土壤水分、盐分运移规律进行数值模拟，分析了盐碱地的水盐变化状况，确定合理的田间灌水定额。
选择题（单选题1－10 每题1 分，多选题11－15 每题2 分，共20 分）1、在多元线性回归中，判定系数R2随着解释变量数目的增加而 BA.减少 B．增加C．不变 D．变化不定2、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近1，则表明模型中存在 CA．异方差性 B．序列相关C．多重共线性 D．拟合优度低3、经济计量模型是指 DA.投入产出模型B.数学规划模C.模糊数学模型D.包含随机方程的经济数学模型4、当质的因素引进经济计量模型时，需要使用 DA.外生变量B.前定变量C.内生变量D.虚拟变量5、将内生变量的前期值作解释变量，这样的变量称为 DA.虚拟变量B.控制变量C.政策变量D.滞后变量6、根据样本资料已估计得出人均消费支出Y对人均收入X的回归模型Ln Y=5+0.75LnX,这表明人均收入每增加1%，人均消费支出将预期增加 BA．0.2% B．0.75%C．5% D．7.5%7、对样本相关系数r，以下结论中错误的是 DA．越接近于1，Y与X之间线性相关程度越高 B．越接近于0，Y与X之间线性相关程度越弱C．-1≤r≤1D．若r=0,则X与Y独立8、当DW>4-d L，则认为随机误差项εiA．不存在一阶负自相关 B．无一阶序列相关C．存在一阶正自相关D．存在一阶负自相关9、如果回归模型包含二个质的因素，且每个因素有两种特征，则回归模型中需要引入A．一个虚拟变量B．两个虚拟变量C．三个虚拟变量 D．四个虚拟变量10、线性回归模型中，检验H0:=0（i=1，2，…,k）i时，所用的统计量t ˆi 服从var(ˆ)iA.t(n-k+1)B.t(n-k-2)C.t(n-k-1)D.t(n-k+2)11、对于经典的线性回归模型，各回归系数的普通最小二乘法估计量具有的优良特性有ABCA．无偏性 B．有效性C．一致性 D．确定性 E．线性特性12、经济计量模型主要应用于ABCDA．经济预测 B．经济结构分析C．评价经济政策 D．政策模拟13、常用的检验异方差性的方法有ABC、A．戈里瑟检验 B．戈德菲尔德-匡特检验C．怀特检验 D．DW检验 E．方差膨胀因子检测14、对分布滞后模型直接采用普通最小二乘法估计参数时，会遇到的困难有BCEA．不能有效提高模型的拟合优度 B．难以客观确定滞后期的长度C．滞后期长而样本小时缺乏足够自由度 D．滞后的解释变量存在序列相关问题 E．解释变量间存在多重共线性问题15、常用的检验自相关性的方法有BCDA．特征值检验 B．偏相关系数检验C．布罗斯－戈弗雷检验 D．DW检验 E．怀特检验二、判断正误（正确打√，错误打×，每题1 分，共10 分，答案填入下表）1、在存异方差情况下采用的普通最小二乘回归估计是有偏估计2、DW统计量的值接近于2，则样本回归模型残差的一阶自相关系数ˆ 近似等于03、方差膨胀因子检测法可以检测模型的多重共线性4、设有样本回归直线Yˆ ˆˆ1X, X、Y 为均值。
2003年6月第2期 河 北 工 程 技 术 高 等 专 科 学 校 学 报JOU RN AL OF HEB E I EN GIN E ER IN G A ND TECHN ICA L COLLE GE Jun.2003No.2文章编号:1008-3782(2003)02-0005-04作物水分生产函数的研究进展夏 辉,杨路华(河北农业大学城乡建设学院,河北保定 071001)摘要:水分生产函数是农业节水的重要理论基础。
本文介绍了水分生产函数模型的国内外研究现状,并将这些模型归纳为最终产量模型和动态产量模型两大类,讨论了两类模型各自的适用条件及特点。
关键词:水分生产函数;非充分灌溉;最终产量模型;动态产量模型中图分类号:S274.1 文献标识码:A我国水资源严重不足是国民经济发展,特别是农业持续发展的重要制约因素。
灌溉是保证农业稳产和高产的主要手段。
提高灌溉水的利用效率,发展节水灌溉是灌溉农业发展的方向。
节水高效灌溉制度是根据作物的需水规律,把有限的灌溉水量在作物生育期内进行最优分配,达到节水的最终目的[1]。
作物水分生产函数的研究为节水高效灌溉制度的制定提供了科学的依据。
随着节水农业研究的不断深入,水分生产函数越来越受到人们的重视。
水分生产函数是指作物的耗水量与产量的关系。
国内外文献中关于水分生产函数的研究有很多,最早可追溯到1913年Briggs和Shantz。
此外,W it(1958)建立了全生育期的初级模型,Stewatr等人又对该模型进行了改进。
J ensen(1968)、Minhas和Rao等分别建立了阶段缺水的乘法模型,Blank、Stewart和Singh等分别建立了阶段缺水的加法模型,Fed-des(1978)、Morgan等又建立了作物水分生产函数的动态模型。
1 作物水分生产函数的数学模型国内外学者从不同角度入手探讨水分与作物产量之间的关系,建立了很多作物水分生产函数模型[2]。
结合高斯牛顿法的广义遗传算法反演地下水渗流参数的开题报告一、研究背景及意义地下水渗流是地球物理学和水文学领域的重要研究内容，对于环境保护和水资源管理具有重要作用。
通过数值模拟来研究这一问题，可以有效地预测地下水的流动、蓄积和污染扩散等情况，对于地下水可持续开发和利用有着重要的指导意义。
数值模拟建模需要确定地下水渗流参数，如渗透系数、蓄水系数等，这些参数的准确性对于模拟结果的精度和可靠性有着极大的影响。
而使用传统的测试方法，需要大量的人力、物力进行大规模的采样测试，费用巨大且周期长，因此寻求一种更加高效准确的参数反演方法势在必行。
基于这种需求，广义遗传算法（GGA）成为一种广泛应用于地下水渗流参数反演的方法。
GGA通过模拟自然演化过程，进行优胜劣汰的选择，通过遗传操作生成新的样本进行迭代，最终得到一组最优参数的解。
此外，为了更进一步提高反演参数的精度和可靠性，本文将采用高斯牛顿法优化GGA策略，得到更加准确的模型参数。
二、研究内容和计划本文将研究基于GGA的地下水渗流参数反演方法，并引入高斯牛顿法优化策略。
具体研究内容如下：1. 建立地下水渗流参数反演模型。
对所研究地区进行调查与采样，建立反演模型，确定反演参数。
2. 设计遗传算法优化策略。
结合 GGA 算法和选择操作，设计适应度函数和交叉和突变概率，在初始随机样本中迭代选择生成新的优良样本。
3. 引入高斯牛顿法优化策略。
通过计算误差函数的梯度，实现对遗传算法的优化，提高反演精度。
4. 算例仿真与结果分析。
在选定的地下水渗流参数反演模型中进行算例仿真，采用优化后的遗传算法进行优化，得出反演结果，并与传统方法进行对比分析。
三、预期研究结果通过本文的研究，预计可以得到以下结果：1. 地下水渗流参数反演模型的建立，包括反演参数的确定和影响因素的分析。
2. 基于 GGA 的地下水渗流参数反演方法，包括适应度函数、交叉和突变概率的设定和样本生成策略。
3. 引入高斯牛顿法优化策略，实现对遗传算法的优化，提高反演精度。
曼法计算作物需水量"灌溉与排水工程设计规〔GB50288-99〕"附录中对曼法作了介绍，"规"推荐的是Penman-FAO方法，近年来Penman－Monteith方法得到重视，建议在计算时同时采用这两种方法，并作一比拟。
〔1〕计算参照作物需水量Penman-FAO方法计算参考作物需水量的根本公式如下：〔1〕式中，——标准大气压，＝1013.25hPa；——计算地点平均气压，hPa；——平均气温时饱和水汽压与温度相关曲线的斜率，hPa/℃；——湿度计常数，＝0.66hPa/℃；——太阳净辐射，以所能蒸发的水层深度计，mm/d；——枯燥力，mm/d。
可根据计算地点高程及气温从气象图表中查得，或按公式〔2〕直接计算数值：〔2〕式中，——计算地点海拔高程，m；——阶段平均气温，℃。
可按公式〔3〕或〔4〕，即气象学中的马格奴斯公式计算，即：〔3〕或〔4〕式中,饱和水汽压，hPa。
可按下式计算：〔5〕或〔6〕可按公式〔7〕计算：〔7〕式中，——大气顶层的太阳辐射，可由"喷灌工程设计手册"查得，mm/d；、——计算净辐射的经历系数，可由"喷灌工程设计手册"查得；——实际日照时数；——最大可能日照时数，可由"喷灌工程设计手册"查得；；——黑体辐射，mm/d；——斯蒂芬－博茨曼常数，可取2.01×10-9mm/℃4·d；——绝对温度，可取273＋；——实际水汽压，可从当地气象站取得，或取饱和水汽压与相对湿度的乘积，hPa。
可按公式〔8〕计算：〔8〕式中，——地面以上2m处的风速(m/s)，其它高度的风速应换算为2m高处风速；——风速修正系数。
如果利用气象站的地面以上10m处的风速资料时，需乘以(2/10)0.2，换算为2m高的风速。
在日最低气温平均值大于5℃且日最高气温与日最低气温之差的平均值大于12℃时，；其余条件下，。
作物水分高效利用的技术和理论研究进展摘要从作物水分高效利用的技术依据、作物吸水的土壤有效水分含量范围、水分对作物生理生态特性的影响、作物和品种耗水特性差异、作物亏水后的补偿效应、水分利用效率与耗水量非同步性等理论领域对国内外研究成果进行了综述，为生物节水和管理节水提供理论依据。
关键词作物;水分利用效率;节水技术;节水理论AbstractThe achievement of technique and theory research on crop water utilization was reviewed in this paper. The main content included the effective soil moisture content for utilization of crops，the effect of water deficit on physiological and ecological characteristics of crop，the different of water consume characteristics of different crops or varieties，the water implement effect of crops after water deficit，the relationship between WUE and water consume amount，etc. This could be used as a theory guidance for bio-water-saving and management water-saving.Key wordscrop;water use efficiency;water-saving technique;water-saving theory随着淡水资源日趋紧缺以及人口增加对旱耕地压力的逐步增大，充分利用有限水资源、走节水型旱作农业的路子已成为旱农发展的主流。
高斯牛顿和牛顿法
高斯-牛顿法和牛顿法都是优化算法中常用的方法，它们都被用来寻找函数的最小值。
牛顿法是一种基于一阶导数信息的迭代算法，通过不断利用函数的局部信息逼近函数的极值。
其基本思想是在当前点处，利用一阶导数信息构造一个局部的二次模型，并求出该二次模型的极小值点，将其作为下一步的搜索点。
这个过程可以被表示为以下迭代公式：
x_{k+1} = x_k - \frac{f'(x_k)}{f''(x_k)}
其中，x_k表示第k次迭代时的搜索点，f(x)表示要求解的目标函数，f'(x)和f''(x)分别表示目标函数的一阶和二阶导数。
高斯-牛顿法是牛顿法的一种变形，用于求解最小二乘问题。
在最小二乘问题中，我们需要找到使得残差平方和最小的参数向量。
高斯-牛顿法通过在每次迭代中使用雅可比矩阵（残差对参数的一阶导数矩阵）来逼近目标函数，其迭代公式为：
x_{k+1} = x_k - [J(x_k)^T J(x_k)]^{-1} J(x_k)^T f(x_k)
其中，J(x_k)是函数f(x)在x_k处的雅可比矩阵，f(x_k)是x_k处的残差向量。
总之，高斯-牛顿法和牛顿法都是常用的优化算法，用于寻找函数的最小值，但它们的应用范围略有不同。
牛顿法可以处理一般的无约束问题，而高斯-牛顿法则更适合求解最小二乘问题。
斯托克顿数据水分计算公式在农业生产中，水分含量是一个重要的指标，它直接影响着农作物的质量和产量。
因此，准确地测量作物的水分含量对于农业生产至关重要。
以斯托克顿数据水分计算公式是一种常用的计算方法，它可以帮助农民准确地测量作物的水分含量，从而指导农业生产工作。
以斯托克顿数据水分计算公式是由美国科学家以斯托克顿提出的，它是根据作物的重量和干物质含量来计算作物水分含量的。
该公式的计算方法相对简单，但却非常实用。
下面我们将详细介绍以斯托克顿数据水分计算公式的具体计算方法和应用。
首先，以斯托克顿数据水分计算公式的计算方法如下：水分含量（%）=（样品的湿重样品的干重）/ 样品的干重× 100%。
其中，样品的湿重是指作物在称重前的重量，样品的干重是指作物在称重后的重量。
通过这个公式，我们可以得到作物的水分含量。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来使用以斯托克顿数据水分计算公式：1. 首先，我们需要准备好待测的作物样品。
样品的数量和选择要具有代表性，以保证测量结果的准确性。
2. 然后，我们需要将样品的湿重和干重分别测量出来。
这一步需要使用天平或称重器具进行测量，确保测量结果的准确性。
3. 接下来，我们可以根据以斯托克顿数据水分计算公式进行计算，得到作物的水分含量。
通过以上步骤，我们就可以使用以斯托克顿数据水分计算公式来准确地测量作物的水分含量。
这个方法简单易行，可以在农田、实验室等多种环境中进行，因此被广泛应用于农业生产中。
除了计算水分含量外，以斯托克顿数据水分计算公式还可以帮助我们进行作物的质量检测和产量预测。
通过测量作物的水分含量，我们可以及时发现作物生长过程中的问题，及时采取措施进行调整，以保证作物的质量和产量。
另外，以斯托克顿数据水分计算公式还可以帮助我们进行作物的储存和加工。
在作物收获后，我们可以通过测量作物的水分含量来确定作物的储存条件和加工工艺，以确保作物的质量和安全。
总之，以斯托克顿数据水分计算公式是一种简单实用的计算方法，它可以帮助我们准确地测量作物的水分含量，指导农业生产工作。
文章编号:100724929(2004)0120001202试验研究高斯2牛顿法及其在作物水分生产函数模型参数求解中的应用罗玉峰,崔远来,朱秀珍(武汉大学水利水电学院,湖北武汉430072) 摘 要:对于作物水分生产函数的非线性模型,现有参数求解方法是先采用变量代换使模型线性化后再用最小二乘法求解。
用这种方法得到的参数估计值并不是无偏估计,因而回归方程也不是最优的,相应相关系数也不能很好地反映拟合的显著性水平。
介绍了高斯2牛顿法,并把它用于作物水分生产函数Jensen 模型参数求解,该方法可使拟合结果逼近无偏估计,从而提高拟合的精度。
同时,给出的未经线性化模型的相关系数更能反映拟合的显著性水平。
关键词:作物水分生产函数;模型参数;非线性回归;高斯2牛顿法;相关系数 中图分类号:S274.1 文献标识码:AApplication of G auss 2N e w ton Method in C alculation of Parametersof Crop W ater Production FunctionL U O Yu 2feng ,CUI Yuan 2lai ,ZHU Xiu 2zhen(College of Water Resources and Hydropower ,Wuhan University ,Wuhan City ,430072)Abstract :The present calculation method for parameters of nonlinear model of crop water production function is firstly using variable substi 2tution to convert it into linear model ,and then using least square method to calculate it.However ,the estimation value of parameter achieved by using this method is not unbiased ,so the regressive function is not optimal and the correlative coefficient can not measure the performance of fitting efficiently.This paper introduces G auss -Newton method and uses it to calculate theparameters of Jensen model of crop water production function.The result by using this method is nearly unbiased ,the fitting precision is enhanced and the correlative co 2efficient of original model presented can measure the performance of fitting more efficiently.K ey w ords :crop water production function/parameters of model/nonlinear regression/G auss 2Newton method/cor 2relative coefficient0 引 言作物产量与水分的数学关系称为作物水分生产函数。
作物水分生产函数模型很多,其中Jensen 模型是应用较广的一种,其表达式为:Y a Y m =Πn i =1ET aET mλii(1)式中:Y a 为各处理条件下的实际产量,kg/hm 2;Y m 为正常灌溉下的产量,kg/hm 2;ET a 为各处理条件下的实际蒸发蒸腾量,mm ;ET m 为正常灌溉下的蒸发蒸腾量,mm ;i 为阶段编号;n为模型的阶段总数。
对于Jensen 模型,常用的模型参数求解方法[1,2]是先采用变量代换使模型线性化,然后再用最小二乘法求解,即对式(1)两边取对数:ln YaY m=∑n i =1λi ln ET aET m(2)得到线性模型,再用最小二乘法求解得到模型参数的估计值。
相应的相关系数的计算公式可写成:R =∑lj =1lnY a^Y mj-lnY aY m 2∑lj =1ln Y a Y mj-lnY aY m212(3)收稿日期:2003209215基金项目:863计划项目“现代灌溉条件下水肥耦合与高效利用技术(2001AA242032-4)”及“南方季节性缺水灌区(江西省鹰潭)节水农业综合技术体系集成与示范(2002AA2Z4331)”部分研究内容。
作者简介:罗玉峰(19772),男,博士研究生。
1节水灌溉・2004年第1期式中:j为实验处理的编号,l为处理的个数。
这种方法所求出的回归模型参数尽管符合最小二乘原理,但它们仅对置换变量是无偏的,而对于原变量则不是无偏估计量。
因为不是直接观测值,它们只是观测值的非线性函数。
这种方法只能使:∑l j=1lnY aY mj-lnY a^Y mj2最小,但∑lj=1Y aY mj-Y a^Ym j2不一定最小,因此,得到的回归方程不是最优的。
式(3)计算的只是线性化后参数的相关系数,不能反映观测值的相关系数。
实际上,用未经线性化的原始模型的相关系数R′更能反映拟合的显著性水平。
R′=1-∑mj=1Y aY mj-Y a^Y mj2∑mj=1Y aY mj-Y aY m212(4)1 高斯2牛顿法原理在线性回归情况下,可以根据最小二乘估计的定义直接求出参数的表达式。
但是对于非线性情况,要想求出参数的解析解几乎是不可能的。
实际上参数求解问题是一个优化问题,求解优化问题的算法有直接搜索法、Hooke2Jeevese法、梯度法、截尾牛顿法、变尺度法等。
统计学中常用的是高斯2牛顿法。
高斯2牛顿法的基本出发点就是先对模型进行线性近似,求出近似模型的最小二乘估计,然后再施以迭代程序[3,4]。
记含有t个回归因子和n个待定参数B的非线性模型为:y=f(x1,x2,…,x t;b1,b2,…,b n)=f(X;B)(5)在曲线拟合的回归计算中,是通过l组观测样本值(X j,y j)来估计待定参数b i(i=1,2,…,n)。
这里把现有方法计算的回归模型参数b0i作为近似值,并将最优b i与b0i的差记为Δb i,即:b i=b0i+Δb i(6)这样,参数b i的优化问题就转化为确定修正值Δb i。
因此将式(5)在B0按泰勒级数展开并取其一次项,得:y=f(X,B)≈f(X,B0)+9f(X,B)9b1・Δb1+…+9f(X,B)9b n・Δb n(7)式中f(X,B0)为函数的近似值。
当B0给定时,式中各偏导数均为观测值的函数,可以直接计算出来。
并令:9f(X,B)9b1=A1,…,9f(X,B)9b n=A n则有:y-f(X,B0)=Δy≈A・Δb1+…+A n・Δb n(8)设改正数为V=(y^+Δy)-y,且令y^-y=-L,则:V=Δy-L(9)当观测值(样本)组数为l时,就有l个这样的改正数方程式。
将式(8)代入式(9)得:V j=A1j・Δb1+A2j・Δb2+…+A lj・Δb n-L j(10)这里,Δb1,Δb2,…,Δb n为未知数,按照最小二乘原理,所求各参数的修正值Δb i应使改正数V j的平方和最小。
为此令: Q=∑lj=1V2j=∑lj=1(A1j・Δb1+…+A lj・Δb n-L j)2(11)则有:9Q9Δb1=2∑lj=1(A1j・Δb1+…+A lj・Δb n-L j)A1j9Q9Δb2=2∑lj=1(A1j・Δb1+…+A lj・Δb n-L j)A2j …9Q9Δb n=2∑lj=1(A1j・Δb1+…+A lj・Δb n-L j)A nj(12)将式(12)展开除以2,并按未知数Δb i合并同类项,得到一个方程组,写成矩阵形式为:∑A1A1…∑A1A n∑A2A1…∑A2A n……∑A n A1…∑A n A n・Δb1Δb2…Δbn=∑A1L∑A2L…∑A n L(13)解此方程组即可求得参数的修正值Δb i,再由式(6)得到修正后的参数估计值。
这时用新的拟合值计算的剩余标准差和残差平方和减小,相关系数增大。
上述过程使改正数V j的平方和最小,但在使用泰勒级数展开时舍去了二次以上的高次项,是用线性模型逼近非线性模型,因此需要用以上步骤经过多次迭代计算,最终使Δb i趋近于0,参数值逼近无偏估计值。
实际应用中各参数在计算拟合值时的权重不同,不一定要求Δb i都趋近于0,只需迭代1～3次使b i的估计值达到不影响拟合值计算的给定精度即可[5]。
2 Jensen模型参数求解的实例取文献[6]中1992年河北唐海县中稻田间试验资料为例,用高斯2牛顿法求解Jensen模型的参数。
文献[6]中已用传统方法求出了模型参数的估计值λ0i和相关系数R。
如前所述,其结果不是最优的。
为了优化λi,把λ0i作为初始值,将式(1)在λ0i按泰勒级数展开并取其一次项,得:ΔY aY m=∑4i=1A i・Δλi(14)式中:A i=9(Y aY m)9λi=Y aY m・lnET aET m。
计算出A i和L后,即可得到形式如式(13)的线性方程组。
求此方程组可得到Δλi,由λ1i=λ0i+λi即可得到第一次迭代优化的结果。
用Δλ1i代替Δλ0i,重复以上步骤进行第二次迭代。
本文的实例在第三次迭代时已趋收敛。
迭代结果见表1。
从表1可以看出,Jensen模型的参数经过3次迭代后,残差平方和由0.0624降低到0.0590,与它相应的剩余标准差随之减小,相关系数R′增大,曲线拟合精度提高。
这说明用高斯2牛顿法来进一步优化线性化后的Jensen模型的参数是可行的。
3 结 论①现有的模型参数求解方法得到的Jensen模型的参数估计值并不是无偏估计,因而回归方程也不是最优的;用高斯2牛顿法来优化线性化后的Jensen模型的参数能提高拟合的精度。
(下转第8页)2高斯2牛顿法及其在作物水分生产函数模型参数求解中的应用 罗玉峰 崔远来 朱秀珍表1 各时期各处理区不同灌水量及灌水方式与辣椒发育对比时期降雨/mm平均灌溉水量/mmA B C D E平均株高/cmA B C D E平均叶面积指数L A IA B C D E长叶期219.400.50.50.60.618.018.018.018.018.0 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8叶茂～长枝66.500.60.60.70.728.050.551.449.018.0 5.6 6.7 6.8 6.5 6.7开花～挂果396.200.70.70.90.940.052.154.255.052.0 5.67.07.17.17.0成熟期128.10000045.052.054.055.053.0 5.77.17.27.27.0合 计707.00 1.9 1.9 2.3 2.3 在辣椒生育各个时期,不同的灌水方式产生的效果有异,见表1。
