GaussNewton

高斯牛顿法求解非线性问题在科学研究、工程设计等领域中，有许多问题都可以归纳为非线性问题，例如曲线拟合、最小二乘法拟合、非线性规划等。

如何高效地求解这些问题是一个重要的课题。

高斯牛顿法(Gauss-Newton method)是一种常用的优化算法，被广泛应用于求解非线性问题。

高斯牛顿法的基本思想是：将非线性问题转化为最小二乘问题，然后使用线性最小二乘法求解。

具体而言，假设有一个由m个参数和n个数据点组成的非线性模型：f(x) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))^T其中，x = (x1,x2,...,xm)^T 为参数向量，fi(x)为第i个观测值。

若将f(x)看作一个向量函数，则该函数在x处的导数可以用雅可比矩阵来表示：J(x) = [∂f1(x)/∂x1,∂f1(x)/∂x2,...,∂f1(x)/∂xm；∂f2(x)/∂x1,∂f2(x)/∂x2,...,∂f2(x)/∂xm；.............................∂fn(x)/∂x1,∂fn(x)/∂x2,...,∂fn(x)/∂xm]雅可比矩阵是一个n×m的矩阵，表示参数向量对向量函数的导数。

对于非线性模型，其导数难以直接求解，因此需要采用近似方法。

高斯牛顿法采用的是一阶泰勒展开式，将非线性模型在x 处展开：f(x+Δx) ≈ f(x) + J(x)Δx其中，Δx为参数向量x的增量，即x+Δx为新的参数向量。

将上式两边平方，再加上一个权重矩阵W，得到最小二乘问题：min Δx ||sqrt(W)(f(x+Δx)-f(x))||^2上式中，||·||表示向量的欧几里得长度，W为一个n×n的对角矩阵，其作用是赋予不同观测值不同的权重。

将上式展开，得到：min Δx (f(x)+J(x)Δx-y)^TW(f(x)+J(x)Δx-y)其中，y为n×1的向量，表示原始数据点。

高斯牛顿法高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种用于非线性最小二乘问题求解的数值优化方法。

它结合了高斯消元法和牛顿迭代法的特点，旨在寻找函数最小化的参数。

在本文中，我们将介绍高斯牛顿法的原理、步骤和应用。

原理在非线性最小二乘问题中，我们需要找到使得函数残差平方和最小的参数向量。

该问题通常表示为：equation其中，是残差向量函数，是参数向量。

高斯牛顿法通过迭代的方式逼近最优解，其主要思想是将非线性问题转化为一系列的线性问题，并通过逐步线性化来求解。

具体而言，它采用牛顿法中的线性化和高斯消元法来解决线性问题。

步骤高斯牛顿法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.初始化参数：首先，需要对参数向量进行初始化，通常可以使用一些启发式的方法得到初始值。

2.线性化：在每一次迭代中，将残差函数进行线性化。

这意味着将非线性问题转化为一个线性问题，使其更易于求解。

线性化通常通过泰勒级数展开来实现。

3.构造线性方程组：通过线性化后的函数，可以构造出一个线性方程组。

该方程组的解将作为当前迭代中的修正量，用于更新参数向量。

4.求解线性方程组：使用高斯消元法等数值方法求解线性方程组，得到修正量。

5.参数更新：利用修正量更新参数向量，得到新的参数估计。

6.收敛判断：检查参数估计是否已经收敛。

如果满足收敛准则，则停止迭代；否则，返回第2步继续迭代。

应用高斯牛顿法在许多领域都有广泛的应用。

其中一个典型的应用是在计算机视觉中的相机标定问题，即通过已知的图像和相机参数来估计相机的内部和外部参数。

高斯牛顿法可以通过最小化重投影误差来估计这些参数，从而获得更准确的相机模型。

此外，高斯牛顿法还在机器学习中被广泛使用，例如参数估计和优化算法。

通过最小化损失函数，可以使用高斯牛顿法来确定模型中的参数，进而提高模型的拟合能力。

总结高斯牛顿法是一种有效的求解非线性最小二乘问题的数值优化方法。

它通过线性化和高斯消元法的结合，能够提供较快的收敛速度和较高的求解精度。

python高斯-牛顿迭代法高斯-牛顿迭代法（Gauss-Newton method）是一种用于非线性优化问题的迭代算法。

它基于线性最小二乘法，用于求解非线性函数的最优解。

在本文中，我们将详细介绍高斯-牛顿迭代法的原理和实现，以及一些常见的应用。

1.高斯-牛顿迭代法原理高斯-牛顿迭代法的目标是找到一个最优的参数向量x，使得一个非线性函数集合F(x)的残差平方和最小化。

其中，残差r(x)定义为测量值与模型值之间的差异，即r(x) = y - f(x)，其中y是测量值，f(x)是模型值函数。

残差平方和定义为S(x) = sum(r(x)^2)，即所有残差的平方和。

为了找到最优的参数向量x，高斯-牛顿迭代法采用以下步骤进行迭代：1.初始化参数向量x的值。

2.计算残差r(x)和残差雅可比矩阵J(x)。

3.求解线性最小二乘问题J(x)^T J(x) dx = -J(x)^T r(x)，其中dx是参数的增量。

4.更新参数向量x = x + dx。

5.重复步骤2-4，直到满足停止条件（如参数更新小于某个阈值）。

2.高斯-牛顿迭代法的实现高斯-牛顿迭代法的实现需要计算残差和雅可比矩阵，通过求解线性最小二乘问题来更新参数向量。

以下是一个简单的实现示例：```pythonimport numpy as npdef gauss_newton(x0, y, f, f_prime, max_iterations=100,tol=1e-6):x = x0for i in range(max_iterations):r = y - f(x)J = f_prime(x)dx = np.linalg.lstsq(J, -r, rcond=None)[0]x = x + dxif np.linalg.norm(dx) < tol:breakreturn x```在上述代码中，x0是参数向量的初始值，y是测量值，f是模型值函数，f_prime是模型值函数的导数。

⾼斯⽜顿迭代（GaussNewton）代码实现#include <cstdio>#include <vector>#include <iostream>#include <opencv2/core/core.hpp>using namespace std;using namespace cv;const double DELTAX = 1e-5;const int MAXCOUNT = 100;double function(const Mat &input, const Mat params){//给定函数已知x求ydouble a = params.at<double>(0,0);double b = params.at<double>(1,0);double c = params.at<double>(2,0);double x = input.at<double>(0,0);return exp( a*x*x + b*x + c );}double derivative(double(*function)(const Mat &input, const Mat params), const Mat &input, const Mat params, int n){// ⽤增加分量的⽅式求导数Mat params1 = params.clone();Mat params2 = params.clone();params1.at<double>(n,0) -= DELTAX;params2.at<double>(n,0) += DELTAX;double y1 = function(input, params1);double y2 = function(input, params2);double deri = (y2 - y1) / (2*DELTAX);return deri;}void gaussNewton(double(*function)(const Mat &input, const Mat ms), const Mat &inputs, const Mat &outputs, Mat params){int num_estimates = inputs.rows;int num_params = params.rows;Mat r(num_estimates, 1, CV_64F); // 残差Mat Jf(num_estimates, num_params, CV_64F); // 雅克⽐矩阵Mat input(1, 1, CV_64F);double lsumR = 0;for(int i = 0; i < MAXCOUNT; i++){double sumR = 0;for(int j = 0; j < num_estimates; j++){input.at<double>(0,0) = inputs.at<double>(j,0);r.at<double>(j,0) = outputs.at<double>(j,0) - function(input, params);// 计算残差矩阵sumR += fabs(r.at<double>(j,0)); // 残差累加for(int k = 0; k < num_params; k++){Jf.at<double>(j,k) = derivative(function, input, params, k); // 根据新参数重新计算雅克⽐矩阵}}sumR /= num_estimates; //均残差if(fabs(sumR - lsumR) < 1e-8) //均残差⾜够⼩达到收敛{break;}Mat delta = ((Jf.t()*Jf)).inv() * Jf.t()*r;// ((Jf.t()*Jf)) 近似⿊塞矩阵params += delta;lsumR = sumR;}}int main(){// F = exp ( a*x*x + b*x + c )int num_params = 3;Mat params(num_params, 1, CV_64F);//abc参数的实际值params.at<double>(0,0) = 1.0; //aparams.at<double>(1,0) = 2.0; //bparams.at<double>(2,0) = 1.0; //ccout<<"real("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; int N = 100;double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值cv::RNG rng; // OpenCV随机数产⽣器Mat estimate_x(N, 1, CV_64F);Mat estimate_y(N, 1, CV_64F);for ( int i = 0; i < N; i++ ){double x = i/100.0;estimate_x.at<double>(i,0) = x;Mat paramX(1, 1, CV_64F);paramX.at<double>(0,0) = x;estimate_y.at<double>(i,0) = function(paramX, params) + rng.gaussian ( w_sigma );}//abc参数的初值params.at<double>(0,0) = 0; //aparams.at<double>(1,0) = 0; //bparams.at<double>(2,0) = 0; //ccout<<"init("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; gaussNewton(function, estimate_x, estimate_y, params);cout<<"result("<<"a:"<< params.at<double>(0,0) <<" b:"<< params.at<double>(1,0) << " c:"<< params.at<double>(2,0) << ")"<< endl; return0;}# Project: GaussNewtonDemo## All rights reserved.cmake_minimum_required( VERSION 2.6 )cmake_policy( SET CMP0004 OLD )### initialize project ###########################################################################################SET(CMAKE_BUILD_TYPE "Debug")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_DEBUG "$ENV{CXXFLAGS} -O0 -Wall -g2 -ggdb")SET(CMAKE_CXX_FLAGS_RELEASE "$ENV{CXXFLAGS} -O3 -Wall")project(GaussNewtonDemo)find_package(Eigen3 REQUIRED)find_package(OpenCV REQUIRED)set(CMAKE_INSTALL_PREFIX /usr)set(BUILD_SHARED_LIBS on)set(CMAKE_CXX_FLAGS "${CMAKE_CXX_FLAGS} -fPIC -O0")include_directories(${EIGEN3_INCLUDE_DIR}${OpenCV_INCLUDE_DIR})add_definitions( "-DPREFIX=\"${CMAKE_INSTALL_PREFIX}\"" )### global default options #######################################################################################set(SOURCESmain.cpp)add_executable(GaussNewtonDemo ${SOURCES}) TARGET_LINK_LIBRARIES( GaussNewtonDemo ${OpenCV_LIBS} )。

gaussnewton法
高斯牛顿法是一种非线性最小二乘问题求解方法，它基于最小二乘中误差的平方和最小的原则，通过迭代优化参数，使得误差达到最小的方法。

同样也是一种梯度下降方法，但与传统的梯度下降法不同，高斯牛顿法可以适用于非线性问题，而且相对于梯度下降法有更快的收敛速度。

高斯牛顿法主要涉及到雅可比矩阵和海森矩阵的计算。

雅可比矩阵的求解用于求解问题的初始值，并在每次迭代时计算当前值，用于计算海森矩阵。

海森矩阵是损失函数的Hessian矩阵，是损失函数的二阶导数矩阵，其求解需要数值方法求解。

然后利用计算出的雅可比矩阵和海森矩阵进行迭代更新，不断逼近最优解。

在实际问题中，高斯牛顿法通常比梯度下降方法更有效，其因为高斯牛顿法能够利用二阶导数信息（海森矩阵）更好的逼近函数的曲率，因此将收敛速度大大提高。

但同时，高斯牛顿法缺点也明显：需要计算雅可比矩阵和海森矩阵，这会涉及到大量的矩阵运算，如果数据量很大则计算量也会很大；另外，当初始值很远离最终的最优值时，可能会出现海森矩阵为负定的情况，导致无法收敛。

因此，在实际使用中，需要根据具体问题的特征选择算法。

对于数据量较小，但是需要求解非线性参数的问题，高斯牛顿法是一种不错的选择，但在数据量较大的问题中，或存在局部极小值的情况下，可能需要选择其他算法进行求解。

总之，高斯牛顿法是一种广泛应用于非线性最小二乘问题的近似最优化算法。

通
过迭代优化参数，让误差达到最小，从而得到参数的最优估计值。

高斯牛顿法在实际问题中有很多应用，如数学建模、机器学习、计算机视觉、信号处理等领域都有广泛应用。

四、非线性回归法（Method of nonlinear regression ）在药物动力学中，血药浓度与时间的关系常常不是直线而是曲线，符合指数函数或抛物线等，如一室模型静脉注射即属指数函数kt e C C -=0，通常转化为对数形式0l o g 303.2l o g C kt C +=，以log C 对t 进行线性回归求出k 值。

但此法不尽合理，因这是log C 与t 之间最小二乘，而不是C 与t 之间最小二乘。

故提出非线性回归法，此法所得结果更为准确，但其计算复杂，工作量大，必须采用电子计算机才能完成运算。

非线性回归一般采用高斯-牛顿（Gauss-Newton ）迭代法。

迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。

一般非线性参数的确定，通常采用逐次逼近的方法，即逐次“线性化”的方法。

设某药在体内的模型中待定参数a 1，a 2，a 3，…，a m ，求得隔室中药时关系的函数式为：C = f (t ，a 1，a 2，a 3，…，a m )其中t 是单个变量，t = ( t 1，t 2，t 3，…，t n )，今有n 组实验观测值（t k ，C k ）k = 1，2，…n ，在最小二乘意义下确定m 个参数a 1，a 2，a 3，…，a m 。

下面介绍一般解法。

1．先给a i (i = 1,2,…m )一个初始值，记为)0(ia ，并记初值与真值之差i ∆（未知），这时有i i i a a ∆+=)0(若知i ∆则可求a i ，在)0(i a 附近作Taylor 级数展开并略去i ∆的二次以上各项得f (t k ，a 1，a 2，…，a m )m m k k k k a f a f a f f ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂+≈02201100 式中),,,,()0()0(2)0(10m k k a a a t f f =)0()0(1121),,,(m m k i m ikoa a a a t t a a a a t f a f ===∂∂=∂∂ 当)0(i a 给定时，0k f ，i koa f ∂∂均可由t 算得。