非线性最小二乘数据拟合(高斯-牛顿法)

高斯牛顿法求解非线性问题在科学研究、工程设计等领域中，有许多问题都可以归纳为非线性问题，例如曲线拟合、最小二乘法拟合、非线性规划等。

如何高效地求解这些问题是一个重要的课题。

高斯牛顿法(Gauss-Newton method)是一种常用的优化算法，被广泛应用于求解非线性问题。

高斯牛顿法的基本思想是：将非线性问题转化为最小二乘问题，然后使用线性最小二乘法求解。

具体而言，假设有一个由m个参数和n个数据点组成的非线性模型：f(x) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))^T其中，x = (x1,x2,...,xm)^T 为参数向量，fi(x)为第i个观测值。

若将f(x)看作一个向量函数，则该函数在x处的导数可以用雅可比矩阵来表示：J(x) = [∂f1(x)/∂x1,∂f1(x)/∂x2,...,∂f1(x)/∂xm；∂f2(x)/∂x1,∂f2(x)/∂x2,...,∂f2(x)/∂xm；.............................∂fn(x)/∂x1,∂fn(x)/∂x2,...,∂fn(x)/∂xm]雅可比矩阵是一个n×m的矩阵，表示参数向量对向量函数的导数。

对于非线性模型，其导数难以直接求解，因此需要采用近似方法。

高斯牛顿法采用的是一阶泰勒展开式，将非线性模型在x 处展开：f(x+Δx) ≈ f(x) + J(x)Δx其中，Δx为参数向量x的增量，即x+Δx为新的参数向量。

将上式两边平方，再加上一个权重矩阵W，得到最小二乘问题：min Δx ||sqrt(W)(f(x+Δx)-f(x))||^2上式中，||·||表示向量的欧几里得长度，W为一个n×n的对角矩阵，其作用是赋予不同观测值不同的权重。

将上式展开，得到：min Δx (f(x)+J(x)Δx-y)^TW(f(x)+J(x)Δx-y)其中，y为n×1的向量，表示原始数据点。

高斯牛顿法高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种用于非线性最小二乘问题求解的数值优化方法。

它结合了高斯消元法和牛顿迭代法的特点，旨在寻找函数最小化的参数。

在本文中，我们将介绍高斯牛顿法的原理、步骤和应用。

原理在非线性最小二乘问题中，我们需要找到使得函数残差平方和最小的参数向量。

该问题通常表示为：equation其中，是残差向量函数，是参数向量。

高斯牛顿法通过迭代的方式逼近最优解，其主要思想是将非线性问题转化为一系列的线性问题，并通过逐步线性化来求解。

具体而言，它采用牛顿法中的线性化和高斯消元法来解决线性问题。

步骤高斯牛顿法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.初始化参数：首先，需要对参数向量进行初始化，通常可以使用一些启发式的方法得到初始值。

2.线性化：在每一次迭代中，将残差函数进行线性化。

这意味着将非线性问题转化为一个线性问题，使其更易于求解。

线性化通常通过泰勒级数展开来实现。

3.构造线性方程组：通过线性化后的函数，可以构造出一个线性方程组。

该方程组的解将作为当前迭代中的修正量，用于更新参数向量。

4.求解线性方程组：使用高斯消元法等数值方法求解线性方程组，得到修正量。

5.参数更新：利用修正量更新参数向量，得到新的参数估计。

6.收敛判断：检查参数估计是否已经收敛。

如果满足收敛准则，则停止迭代；否则，返回第2步继续迭代。

应用高斯牛顿法在许多领域都有广泛的应用。

其中一个典型的应用是在计算机视觉中的相机标定问题，即通过已知的图像和相机参数来估计相机的内部和外部参数。

高斯牛顿法可以通过最小化重投影误差来估计这些参数，从而获得更准确的相机模型。

此外，高斯牛顿法还在机器学习中被广泛使用，例如参数估计和优化算法。

通过最小化损失函数，可以使用高斯牛顿法来确定模型中的参数，进而提高模型的拟合能力。

总结高斯牛顿法是一种有效的求解非线性最小二乘问题的数值优化方法。

它通过线性化和高斯消元法的结合，能够提供较快的收敛速度和较高的求解精度。

非线性最小二乘法编辑词条分享•新知社新浪微博腾讯微博人人网QQ空间网易微博开心001天涯飞信空间MSN移动说客非线性最小二乘法非线性最小二乘法是以误差的平方和最小为准则来估计非线性静态模型参数的一种参数估计方法。

编辑摘要目录1 简介2 推导3 配图4 相关连接非线性最小二乘法 - 简介以误差的平方和最小为准则来估计非线性静态模型参数的一种参数估计方法。

设非线性系统的模型为y＝f(x，θ) 式中y是系统的输出，x是输入，θ是参数（它们可以是向量）。

这里的非线性是指对参数θ的非线性模型，不包括输入输出变量随时间的变化关系。

在估计参数时模型的形式f是已知的，经过N次实验取得数据(x1,y1),(x2,y1)， ,(xn，yn)。

估计参数的准则（或称目标函数）选为模型的误差平方和非线性最小二乘法就是求使Q达到极小的参数估计值孌。

推导非线性最小二乘法 - 推导以误差的平方和最小为准则来估计非线性静态模型参数的一种参数估计方法。

设非线性系统的模型为y＝f(x，θ)式中y是系统的输出，x是输入，θ是参数（它们可以是向量）。

这里的非线性是指对参数θ的非线性模型，不包括输入输出变量随时间的变化关系。

在估计参数时模型的形式f是已知的，经过N次实验取得数据(x1,y1),(x2,y1)， ,(x n，y n)。

估计参数的准则（或称目标函数）选为模型的误差平方和非线性最小二乘法就是求使Q达到极小的参数估计值孌。

由于f的非线性，所以不能象线性最小二乘法那样用求多元函数极值的办法来得到参数估计值，而需要采用复杂的优化算法来求解。

常用的算法有两类，一类是搜索算法，另一类是迭代算法。

搜索算法的思路是：按一定的规则选择若干组参数值，分别计算它们的目标函数值并比较大小；选出使目标函数值最小的参数值，同时舍弃其他的参数值；然后按规则补充新的参数值，再与原来留下的参数值进行比较，选出使目标函数达到最小的参数值。

如此继续进行，直到选不出更好的参数值为止。

摘要随着现代社会的发展，大量的统计数据和科学实验数据变得容易获得，数据变得越来越复杂，甚至还会有噪声等干扰信息。

曲线拟合就是找到一组数据点的内在规律，使用曲线近似的拟合这些数据，形成数学模型，对事务进行有效的预测和规划，来获得更大的效益，被广泛应用于社会各个领域，具有重要的实际应用价值。

本文旨在了解一些常用的曲线拟合方法及其原理，根据理解，设计并完成相应的曲线拟合程序，方便使用。

首先，对于有函数解析模型的曲线拟合，都是运用的最小二乘思想进行求解，根据模型种类分为三类：1，线性函数模型，举例一元线性函数的运算过程，通过正规方程求解得到拟合系数，最后根据这些原理，设计并完成了：从1阶到9阶的多项式拟合，幂函数拟合的线性最小二乘拟合程序；2，可线性化的非线性函数：通过变量变换将模型线性化，再进行线性最小二乘拟合；3，不可线性化的非线性函数，求解方法是将目标函数泰勒级数展开，迭代求解的方法有很多，本文实现的方法有3种：高斯牛顿法，信赖域—Dogleg法，LMF法。

最后通过五个实例计算，进行线性最小二乘拟合和非线性拟合，对比分析对于同一组数据，应用不同拟合方法或者不同模型所产生的结果，分析结果并结合实际发现，线性最小二乘拟合对于现实中的很多数据并不适用，将非线性函数线性化之后，有时会放大噪声，使得矩阵奇异，拟合不收敛或者没有非线性拟合准确。

进行非线性拟合时，对比三种方法，发现LMF法可以有效的避免矩阵为奇异值。

初始值只影响LMF法迭代的次数，对结果的影响并不大，而对于高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法，很差的初始值会使得矩阵为奇异值或者接近奇异值，从而无法收敛，得不到拟合结果或者得到的结果拟合精度太差。

而当初始值良好的时候，高斯牛顿法的迭代求解速度最快。

而信赖域—Dogleg法，相较于另外两种方法，拟合精度和拟合速度都差了一些。

关键词：曲线拟合；最小二乘；高斯牛顿法；信赖域—Dogleg法；LMF法；对比分析1.绪论1.1.毕业论文研究的目的意义随着现代社会的发展，获取大量的数据将变得更加容易，在实际生活中，收集到的数据的复杂性将逐渐增加，并且会生成噪声，背景和其他干扰信息。

问题2运用两种不同的方法求解非线性最小二乘问题 42min ||()||x RF x ，其中问题分析和解决框架：上述问题属于无约束最优化问题，具体又为其中应用很广的一类问题，即非线性最小二乘问题，可看作无约束极小化的特殊情形。

我们既可以采用一般的无约束最优化问题的典型算法，如牛顿法，拟牛顿法，共轭梯度法求解，也可采用根据目标函数的特殊结构，对一般的无约束最优化问题进行改造得到的一些针对非线性最小二乘问题的特殊方法，如高斯-牛顿法，Levenberg-Marquardt 法，最小非线性二乘的拟牛顿法等。

本次试验我采用了一般无约束最优化问题的共轭梯度法，拟牛顿法（DFP ）和针对非线性最小二乘的高斯牛顿法。

由于刚开始用的共轭梯度法和拟牛顿法（DFP ），没有采用解决非线性最小二乘的典型算法，觉得有些缺憾，故加上高斯-牛顿法，共采用三种方法，以求对具体算法有更进一步的认识。

由于要求的停机准则和求解一般无约束最优化问题的共轭梯度法，拟牛顿法（DFP ）有些差异，我对停机准则作了些修改，采用规定的表达式来确定停机与否。

对一维搜索求步长，采用的进退法(确定搜索步长区间)和黄金分割法（0.618法）。

具体程序和运行结果：共轭梯度法：共轭梯度法（Conjugate Gradient method ）是介于最速下降法与牛顿法之间的一种方法，是典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d 仅仅是负梯度方向与上一次迭代搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便。

它仅需利用一阶导数信息，克服了最速下降法收敛慢（“之”字形搜索）的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse 矩阵并求逆的缺点。

而且共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点。

程序：%% conjugate gradient methodclc;clear;format long;error=1e-5; %停机门限syms x1 x2 x3 x4 r;P=(x1+10*x2)^2+(sqrt(5)*(x3-x4))^2+((x2-2*x3)^2)^2+(sqrt(10)*(x1-x4)^2)^2;f = [ x1+10*x2; 5^(1/2)*(x3-x4); (x2-2*x3)^2; 10^(1/2)*(x1-x4)^2]; v=[x1 x2 x3 x4];x=[3;-1;0;1];j=jacobian(f,v); %求jacobian行列式g=jacobian(P,v); %求目标函数梯度向量g=g';J=subs(j,v,x); %初值带入表达式F=subs(f,v,x);G=subs(g,v,x);k=0;ticwhile (sum((J'*F).^2))^(1/2)>error %判断停机与否if k==0d=-G; %初始搜索方向为最速下降方向，即负梯度方向elsebeta=G_new'*G_new/(G_old'*G_old);d=-G_new+beta*d; %从x（k）出发搜索方向介于从x（k-1）出发搜索方向和点x（k）负梯度方向之间endy=subs(P,v,x+r*d);interval=jintuifa(y,r);step=gold(y,r,interval); %一维搜索确定步长G_old=subs(g,v,x); %前一点x（k-1）梯度x=x+step*d;G_new=subs(g,v,x); %新一点x（k）梯度J=subs(j,v,x); %新的迭代点数值带入表达式F=subs(f,v,x);k=k+1; %迭代次数加1end;tocdisp('Conjugate gradient method');kxsigma=(sum((J'*F).^2))^(1/2)F=(sum(F.^2))^(1/2) %显示迭代次数，变量取值，停机表达式值，目标函数值%%运行结果：由运行结果可知，对非线性最小二乘问题，共轭梯度法由于没有包含二阶导数信息，所需迭代次数多，收敛慢，这是一个主要缺点。

最小二乘法高斯牛顿法求解最小二乘法和高斯-牛顿法是两种常用的优化技术，用于求解线性回归问题。

最小二乘法是一种简单且广泛使用的优化技术，用于拟合线性模型。

高斯-牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性最小二乘问题。

最小二乘法是一种简单且广泛使用的线性回归方法。

它的基本思想是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差来拟合一个线性模型。

在最小二乘法中，我们通常使用矩阵表示法来描述问题。

设 (X) 为 (n \times p) 的设计矩阵，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。

设 (y) 为 (n \times 1) 的响应向量。

线性回归模型可以表示为 (y = X\beta + \epsilon)，其中 (\beta) 是 (p \times 1) 的参数向量，(\epsilon) 是误差项。

最小二乘法的目标是最小化 (||X\beta - y||^2)，即最小化预测值与实际观测值之间的平方误差。

高斯-牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性最小二乘问题。

它是一种基于雅可比矩阵的优化方法，通过迭代更新参数向量来逼近最优解。

高斯-牛顿法的每一次迭代包括以下步骤：计算雅可比矩阵 (J(\beta)) 和海森矩阵 (H(\beta))。

计算负海森矩阵 (H(\beta)) 的逆矩阵 (H^{-1}(\beta))。

计算参数向量的更新值 (\Delta\beta = -H^{-1}(\beta) J(\beta))。

更新参数向量 (\beta = \beta + \Delta\beta)。

重复步骤 1-4，直到参数向量收敛。

高斯-牛顿法的优点是可以处理非线性问题，并且收敛速度快。

但是，它需要计算海森矩阵和其逆矩阵，这可能在计算上比较昂贵。

因此，对于大规模问题，可能需要使用其他优化技术，如梯度下降法或拟牛顿法。

⾮线性最⼩⼆乘问题的⽅法1.简介和定义 (1)2.设计⽅法 (5) 2.1.最陡下降法. (7) 2.2.⽜顿法. (8) 2.3.线搜索 (9) 2.4.信赖域和阻尼⽅法 (11)3.⾮线性最⼩⼆乘问题 (17) 3.1.⾼斯-⽜顿法 (20) 3.2. Levenberg–Marquardt⽅法........................................ .24 3.3.鲍威尔的狗腿法 (29) 3.4.混合⽅法：LM和拟⽜顿 (34) 3.5. L–M⽅法的割线形式 (40) 3.6.狗腿法的⼀个正割版本 (45) 3.7.最后的评论 (47)附录 (50)参考资料 (55)索引 (57)1.引⾔和定义在本⼿册中，我们考虑以下问题 定义1.1. 最⼩⼆乘问题 查找x∗，⼀个局部最⼩化器，⽤于1）范例1.1. 最⼩⼆乘问题的重要来源是数据拟合。

例如，请考虑以下所⽰的数据点（t1，y1），...，（t m，y m）图1.1 数据点{（t i，y i）}（⽤+标记）和模型M（x，t）（⽤实线标记）此外，我们给出了拟合模型，模型取决于参数x = [x1，x2，x3，x4]T。

我们假设存在⼀个x†，因此{εi}是数据坐标上的（测量）误差，假定像“⽩噪声”⼀样。

对于x的任何选择，我们都可以计算残差对于最⼩⼆乘拟合，将参数确定为残差平⽅和的最⼩值x∗。

可以看出这是定义1.1中n = 4形式的问题。

在图1.1中⽤实线显⽰了M（x∗，t）的图。

最⼩⼆乘问题是更常见问题的⼀个特殊变体：给定函数F：IR n→IR，找到参数F，该参数给出该所谓的⽬标函数或成本函数的最⼩值。

定义1.2 全局最⼩化器⼀般⽽⾔，这个问题很难解决，我们仅介绍解决以下简单问题的⽅法：找到F的局部极⼩值，这是⼀个⾃变量⽮量，在某个区域内给出了F 的最⼩值，其⼤⼩由δ给出，其中δ是⼀个⼩的正数。

定义1.3 本地最⼩化器在本介绍的其余部分中，我们将讨论优化中的⼀些基本概念，第2章简要介绍了为⼀般成本函数找到局部最⼩化器的⽅法。

python高斯-牛顿迭代法Python高斯牛顿迭代法简介：在数值分析中，高斯牛顿迭代法（Gauss-Newton Iteration Method）是一种非线性最小二乘拟合问题的求解方法。

它是以高斯牛顿法为基础，通过迭代的方式进一步提高拟合的精度。

本文将详细介绍Python中如何实现高斯牛顿迭代法，从基本概念到具体步骤，为你提供一步一步的解答。

1. 最小二乘拟合问题最小二乘拟合问题是指在观测数据与数学模型之间存在着一定的差异，我们希望找到最佳的数学模型参数，使模型与观测数据的残差最小化。

对于非线性最小二乘拟合问题，高斯牛顿迭代法是一种常见的求解方法。

2. 高斯牛顿法高斯牛顿法主要用于解决非线性最小二乘问题。

它的核心思想是通过迭代的方式，在每一步使用线性化的数学模型来逼近原始的非线性模型，并根据逼近模型的参数来更新最终结果。

高斯牛顿法的基本步骤如下：a) 初始化参数（迭代的起点）b) 计算数学模型的残差和雅可比矩阵c) 解线性方程组（雅可比矩阵的转置乘以雅可比矩阵）找到模型参数的更新量d) 更新模型参数e) 重复步骤b-d，直到满足收敛条件或达到最大迭代次数f) 输出最优参数3. Python实现在Python中实现高斯牛顿迭代法主要涉及以下几个步骤：a) 定义数学模型b) 定义初始化参数c) 定义残差和雅可比矩阵的计算函数d) 定义线性方程组求解函数e) 实现迭代更新模型参数的过程f) 设定收敛条件和最大迭代次数g) 输出最优参数让我们逐步详细解释每个步骤。

a) 定义数学模型首先，我们需要定义拟合问题的数学模型。

假设我们的数学模型是一个多项式：y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n。

在这个例子中，我们希望通过拟合一组观测数据来确定最佳的模型参数。

b) 定义初始化参数接下来，我们需要定义模型参数的初始值。

通常情况下，我们可以将参数设定为任意值，但这将会影响迭代算法的收敛速度和结果的精度。

通俗易懂理解lm(levenberg-marquardt)算法1. 引言1.1 概述Levenberg-Marquardt（简称LM）算法是一种优化算法，常用于参数估计和曲线拟合问题。

该算法结合了最小二乘法与高斯-牛顿方法的优势，能够快速且准确地找到使损失函数最小化的最优参数。

1.2 文章结构本文将首先介绍LM算法的基本原理，包括其产生历程、背景以及核心思想和优势。

之后将探讨该算法在不同领域中的应用案例，分别涉及优化问题求解、数据拟合和曲线拟合问题以及图像处理。

接下来，我们将详细讲解LM算法的实现步骤和关键技术点，包括初始参数设定、迭代控制策略、损失函数的定义与更新规则以及Jacobian矩阵计算及其优化方法。

最后，我们会对LM算法进行总结，并展望其未来发展趋势。

1.3 目的本文旨在以通俗易懂的方式解释LM算法，并通过实际应用领域的案例分析来展示它的价值与作用。

通过阅读本文,读者将能够全面理解LM算法的基本原理、实现步骤和关键技术点，并对其未来发展趋势有所了解。

无论是对于学术界还是工程领域，LM算法都具有重要的意义和应用价值，掌握该算法将为读者在相关领域中的研究和工作提供有力支持。

2. lm算法的基本原理:2.1 生产历程和背景Levenberg-Marquardt（LM）算法是用于非线性最小二乘问题求解的优化算法。

它起源于20世纪40年代，由K.A. Levenberg和D.W.H. Marquardt分别提出并发展而来。

LM算法在处理非线性优化问题上表现出色，因此被广泛应用于各个领域，如数据拟合、曲线拟合和图像处理等。

2.2 算法思想及优势LM算法的核心思想是将高效的最速下降法（steepest descent method）和牛顿法（Newton's method）结合起来，以克服两者在不同情况下的局限性。

它通过调整一个控制参数（称为阻尼因子）的大小来控制最速下降法和牛顿法之间的权衡。

反向高斯牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述反向高斯牛顿法是一种优化算法，常用于解决非线性最小二乘问题。

它是对经典的高斯牛顿法的改进和扩展，通过使用矩阵的逆来代替原方法中的线性近似，从而提高了算法的鲁棒性和收敛速度。

在实际问题中，往往需要通过最小化非线性函数的平方差来获得最佳拟合结果。

而高斯牛顿法则是一种常用的优化方法，通过线性近似来求解该最小化问题。

然而，当函数的非线性程度比较高时，高斯牛顿法的线性近似效果就会受到限制，导致收敛速度较慢甚至无法收敛。

反向高斯牛顿法通过使用矩阵的逆来替代高斯牛顿法中的线性近似，在一定程度上缓解了上述问题。

具体而言，该方法在每一步迭代中，通过计算目标函数的海森矩阵的逆矩阵来近似非线性函数的梯度，从而更新参数。

相比于高斯牛顿法，反向高斯牛顿法不再受限于线性近似的效果，能够更好地适应函数的非线性特性。

反向高斯牛顿法在许多领域中都有广泛的应用。

例如，在计算机视觉中，它常被用于图像拼接、摄像头标定等问题的求解。

在机器学习领域，反向高斯牛顿法可以用于训练神经网络模型的参数。

此外，该方法还可以应用于地球物理勘探、信号处理等其他相关领域。

总之，反向高斯牛顿法通过改进传统的高斯牛顿法，提高了非线性最小二乘问题的求解效率和鲁棒性。

它在多个领域中都被广泛应用，并且在未来的研究中可能会有更多的发展和应用。

在接下来的章节中，我们将进一步探讨反向高斯牛顿法的原理和应用，并总结其优势，并展望未来的研究方向。

1.2 文章结构文章结构是写作过程中非常重要的一部分，它能够为读者提供一个清晰明了的框架，帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。

本文以反向高斯牛顿法为主题，分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要包括概述、文章结构和目的。

首先，我们会对反向高斯牛顿法进行简要的概述，介绍它的基本原理和应用领域。

接着，会详细描述本文的结构，包括各个部分的内容和组织方式。

最后，明确本文的目的，即通过对反向高斯牛顿法的探究，总结其优势并展望未来的研究方向。

⾮线性最⼩⼆乘问题的求解⽅法⽬录希望朋友们阅读后能够留下⼀些提⾼的建议呀，哈哈哈！1. ⾮线性最⼩⼆乘问题的定义对于形如（1）的函数，希望寻找⼀个局部最优的x ∗，使得F (x )达到局部极⼩值F (x ∗) 。

F (x )=12m ∑i =1f i (x )2其中，f i :R n ↦R ,i =1,…,m ，即 x ∈R n ,f i (x )∈R 。

局部极⼩值：存在δ>0，对任意满⾜‖x −x ∗‖<δ 的x ，都有F x ∗≤F (x )。

这⾥举三个简单的例⼦：1. x ∈R ,m =1,f 1(x )=x +1，则F (x )=12（x +1）2，局部极⼩值在x ∗=−1处取得。

2. x ∈R ,m =2,f 1(x )=x +1,f 2(x )=exp (3x 2+2x +1)，则F (x )=12（x +1）2+exp (3x 2+2x +1)，此时就不容易计算出局部最优x ∗的位置了。

3. x ∈R 3,m =1,f 1(x )=x T x ，则F (x )=12(x T x )2事实上，f i 也可以将x 映射到R m 空间中，因为f i (x )2=f i (x )T f i (x )∈R ，最终计算出来的值总是⼀个实数。

对于简单的最⼩⼆乘问题，如1，可以⽤求导取极值的⽅法得到局部极⼩值的位置，然⽽复杂的、⾼维的，如2和3，就只能采取⼀些迭代的策略来求解局部极⼩值了。

注意，是局部极⼩值⽽⾮全局最⼩值！对于凸函数⽽⾔是可以得到全局最⼩值的。

2. 最速下降法假设函数（1）是可导并且光滑的，则可以对函数（1）在x 处进⾏⼆阶泰勒展开为（2）式F (x +Δx )=F (x )+Δx T J +12Δx ⊤H Δx +O ‖Δx ‖3其中 J =∂J (x )∂x 1⋮∂J (x )∂x n ，H =∂2H (x )∂x 1∂x 1⋯∂2H (x )∂x 1∂x n ⋮⋱⋮∂2H (x )∂x n ∂x 1⋯∂2H (x )∂x n ∂x n ，J 和H 分别F 对变量x 的⼀阶导和⼆阶导。

levenberg-marquardt 算法原理标题：Levenberg-Marquardt 算法原理详解一、引言Levenberg-Marquardt（LM）算法，又称为改进的梯度下降法，是一种广泛应用于非线性最小二乘问题的有效优化算法。

它结合了高斯-牛顿法和梯度下降法的优点，在解决大规模非线性优化问题时表现出了良好的性能，尤其在机器学习、计算机视觉、信号处理等领域有广泛应用，例如用于训练神经网络模型、图像配准等任务。

二、算法背景与目标非线性最小二乘问题通常表述为寻找参数向量θ使下述目标函数最小：\[ E(\theta) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}(f_i(\theta)-y_i)^2 \]其中，\( f_i(\theta) \) 是依赖于参数向量θ 的非线性模型，\( y_i \) 是观测数据。

Levenberg-Marquardt 算法的主要目标就是在这样的背景下，有效地寻找到使得目标函数值最小的参数估计值。

三、算法原理1. **高斯-牛顿迭代**：Levenberg-Marquardt 算法首先构建了一个基于目标函数二阶导数信息的Hessian矩阵和梯度向量，然后通过求解如下正规方程来更新参数：\[ J^TJ\Delta\theta = -J^T\epsilon \]其中，J是雅可比矩阵（即所有fi关于θ的一阶偏导数组成的矩阵），ε是残差向量（fi(θ) - yi），Δθ是对参数的修正值。

2. **引入正则化项**：在高斯-牛顿方法的基础上，Levenberg-Marquardt算法引入了一个正则化项λI（λ是一个调整参数，I是单位矩阵）。

这样，更新公式变为：\[ (J^TJ + \lambda I)\Delta\theta = -J^T\epsilon \]正则化项的作用是在Hessian矩阵条件不佳（如近似奇异或病态）的情况下，增加搜索方向的稳定性，并在接近最优解时自动转换为梯度下降法，实现更精细的局部搜索。

常⽤⾮线性优化算法总结⾮线性最⼩⼆乘定义：简单的⾮线性最⼩⼆乘问题可以定义为min x 12||f(x)||22其中⾃变量x∈R n,f(x)是任意的⾮线性函数，并设它的维度为m,即f(x)∈R m.对于⼀些最⼩⼆乘问题，我们可以利⽤⽬标函数对x求导并令导数等于0来求解。

但是导数d(12||f(x)||22)dx=0不⼀定可以直接求解x,这个导函数可能是⼀个复杂的⾮线性⽅程。

这种情况下⼀般采⽤迭代来求解，具体步骤可以表⽰为 :(1) 给定⼀个初试值x0(2) 对于第k次迭代，寻找⼀个增量Δx k,使得||f(x k+Δx k)||达到极⼩值(3) 若Δx k⾜够⼩，则停⽌迭代(4) 否则，令x k+1=x k+Δx k,返回第(2)步骤这个其实是通过迭代让⽬标函数⼀步步下降，直到最终达到收敛为⽌。

⼀般⽽⾔，增量Δx可通过⼀阶梯度或⼆阶梯度来确定。

⼀阶梯度和⼆阶梯度法⾸先，我们将⽬标函数在x附近进⾏泰勒展开||f(x+Δx)||22≈||f(x)||22+J(x)Δx+12Δx T H(x)Δx这⾥的J(x)是f(x)关于x的导数（雅可⽐矩阵），H(x)是⼆阶导数(海森矩阵)。

我们可以选择保留泰勒公式的⼀阶导数和⼆阶导数，如果保留⼀阶导数，则增量的解就是Δx∗=−J T(x)它理解起来就是，沿着沿着梯度相反的⽅向前进，⽬标函数下降得最快。

通常会在这个⽅向上计算⼀个步长λ,迭代公式表⽰为x k+1=x k−λJ T(x k)该⽅法称为最速梯度下降法。

如果保留⼆阶梯度信息，增量可以表⽰为Δx∗=arg minΔx||f(x)||22+J(x)Δx+12Δx T H(x)Δx对Δx求导数并令它等于0，则J T+HΔx=0于是增量的解为HΔx=−J T这种⽅法称为⽜顿法，它的迭代公式可以表⽰为x k+1=x k−H−1J⽜顿法和最速梯度下降法思想⽐较简单，只需要将函数在迭代点附近展开，然后对增量求最⼩化即可，然后可以通过线性⽅程直接求的增量的解。