图形与变换知识点复习
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第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形:1、轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称,这条直线叫2、轴对称图形:如果把一个图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质:⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒:1、轴对称是指个图形的位置关系,而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形;2、对称轴是而不是线段,轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转:1、平移:⑴定义:在平面内,把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质:Ⅰ、平移不改变图形的与,即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒:平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转:⑴定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个,这样的图形运动称为旋转,这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质:Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中,对应点到旋转中心的距离都,每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒:1、旋转作用的关键是确定、和,2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合,那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形:1、中心对称:在平面内,一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫做2、中心对称图形:一个图形绕着某点旋转后能与自身重合,这种图形叫中心对称图形,这个点叫做3、性质:在中心对称的两个图形中,对称点的连线都经过且被平分【名师提醒:1、中心对称是指个图形的位置关系,而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等,常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形,且有条对称轴,边数为偶数的正多边形,又是对称图形,4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1-b),则a b的值为.2.点P(2,-1)关于x轴对称的点P′的坐标是.3.在图示的方格纸中(1)作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1;(2)说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的?4.已知点P(3,2),则点P关于y轴的对称点P1的坐标是,点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A.B.C.D.6.点(3,2)关于x轴的对称点为()A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)7.在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移3个单位长度后,那么平移后对应的点A′的坐标是()A.(-2,-3)B.(-2,6)C.(1,3)D.(-2,1)8.如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C、A、B1在同一条直线上,那么旋转角等于()A.55°B.70°C.125°D.145°9.P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2,连接OP1、OP2,则下列结论正确的是()A.OP1⊥OP B.OP1=OP2C.OP1⊥OP2且OP1=OP2D.OP1≠OP2 10.已知点M(3,-2),将它先向左平移4个单位,再向上平移3个单位后得到点N,则点N的坐标是.11.夏季荷花盛开,为了便于游客领略“人从桥上过,如在河中行”的美好意境,某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为280m,且桥宽忽略不计,则小桥总长为m.12.如图,在直角△OAB中,∠AOB=30°,将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,则∠A1OB= °.13.如图,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为.14.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A′处,则AE的长为.15.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题:(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标.(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.第二十五讲相似图形(一):【知识梳理】1.比例基本性质及运用(1)线段比的含义:如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n,或写成a m=b n,和数的一样,两条线段的比a、b中,a叫做比的前项 b叫做比的后项.注意:①针对两条线段;②两条线段的长度单位相同,但与所采用的单位无关;③其比值为一个不带单位的正数.(2)线段成比例及有关概念的意义:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,已知四条线段a、b、c、d,如果a c=b d或a:b=c:d,那么a、b、c、d叫做成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、d叫做比例内项,线段d叫做a、b、c的第四比例项,当比例内项相同时,即a bb c=或a:b=b:c,那么线段b叫做线段a和c的比例中项.(3)比例的性质,①基本性质:如果a:b=c:d,那么ad=bc;反之亦成立。
图形与图形的变换1.图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图,会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型.②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断立体模型.③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系.④掌握比较角的大小,估计一个角的大小,计算角度的和与差,进行度、分、秒简单换算.⑤了解角平分线及其性质,了解补角、余角、对顶角;理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.⑥了解两点之间,线段最短;了解经过两点有一条直线,并且只有一条直线.⑦了解垂线、垂线段等概念,垂线段最短的性质,点到直线距离的意义;了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线.⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;了解线段垂直平分线及其性质.⑨理解平行线的特征和平行线的识别;了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.⑩理解平行线之间距离的意义;掌握度量两条平行线之间的距离的方法.2.轴对称①认识轴对称.②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质.③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形.④掌握简单图形之间的轴对称关系,并指出对称轴.⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质.⑥掌握利用轴对称进行图案的设计.3.平移和旋转①认识平移,理解对应点连线平行且相等的性质;掌握按要求作简单平面图形平移后的图形;掌握选用平移进行图案设计.②认识旋转(含中心对称);理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.③了解平行四边形、圆是中心对称图形.④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形.⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式.⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,培养学生的数学说理的习惯与能力.【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时,下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1.知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2.基础知识(1)两点之间线段最短;连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图).(3)平行线间的距离处处相等.(4)平移是由移动的方向和距离决定的.(5)平移的特征:①对应线段平行(或共线)且相等;连结对应的线段平行(或共线)且相等;②对应角分别相等;③平移后的图形与原图形全等.(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定.(7)旋转的特征:①对应点与旋转中心的距离相等;对应线段相等,对应角相等;②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度;③旋转后的图形与原图形全等.3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1,小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体,将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································A.B.C .D .【分析】图形的旋转与展开.【解】D .(2)如图6-2,已知□ABCD 的对角线BD =4cm ,将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°,则点D 所转过的路径长为()A .4πcmB .3πcmC .2πcmD .πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合.【解】C .(3)有两个完全重合的矩形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45 ,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②……,则第10次旋转后得到的图形与图①~图④中相同的是()A .图①B .图②C .图③D .图④【分析】图形的旋转与操作.【解】B .(4)如图6-3,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在边AB 上的点C ′处,则折痕BD的长为__________.【分析】图形的折叠与勾股定理应用.【解】35.(5)如图6-4,在68⨯的网格图(每个小正方形的边长均为1个单位长度)中,⊙A 的半径为2个单位长度,⊙B 的半径为1个单位长度,要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切,应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度.【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示,在折纸活动中,小明制作了一张ABC △纸片,点D E 、分别是边AB 、AC 上,将ABC△沿着DE 折叠压平,A 与'A 重合,若=70A ︒∠,则1+2∠∠=()A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2,四边形ABCD 是边长为1的正方形,四边形EFGH 是边长为2的正方形,点D 与点F 重合,点B ,D (F ),H 在同一条直线上,将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止,设点D 、F 之间的距离为x ,正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ,则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是()图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多,复习时可以通过基本练习题的训练,使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能.重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练,重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程,提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。
图形的变换一、平移1.定义:把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。
2.性质:(1)平移不改变图形的大小和形状,但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动。
(2)连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。
二、轴对称1.定义:把一个图形沿着某条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,该直线叫做对称轴。
2.性质:(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(2)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
(3)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。
3.判定:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
三、旋转1.定义:把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2.性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
四、中心对称1.定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
2.性质:(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3.判定:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
五、坐标系中对称点的特征1.两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)3.两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)一、选择题1.在图形的平移中,下列说法中错误的是()A.图形上任意点移动的方向相同;B.图形上任意点移动的距离相同C.图形上可能存在不动点;D.图形上任意对应点的连线长相等2.如图所示图形中,是由一个矩形沿顺时针方向旋转90°后所形成的图形的是()A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(2)D.(2)(4)第4题图3.在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是()①三角形原来的位置;②旋转中心;③三角形的形状;④旋转角.A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④4.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形中可由△OBC平移得到的是()A.△COD B.△OAB C.△OAF D.△OEF5.下列说法正确的是()A.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,则△ADE是△ABC放大后的图形;B.两个位似图形的面积比等于位似比;C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比;D.位似图形的周长之比等于位似比的平方6.下面选项中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A.等边三角形B.等腰梯形C.五角星D.菱形7.下列图形中对称轴的条数多于两条的是()A.等腰三角形B.矩形C.菱形D.等边三角形8.在如图所示的四个图案中既包含图形的旋转,又有图形的轴对称设计的是()9.钟表上2时15分,时针与分针的夹角是()A.30°B.45°C.22.5°D.15°二、填空题10.一个正三角形至少绕其中心旋转________度,就能与本身重合,一个正六边形至少绕其中心旋转________度,就能与其自身重合.11.如图,可以看作是由一个三角形通过_______次旋转得到的,每次分别旋转了__________.12.如图,在梯形ABCD中,将AB平移至DE处,则四边形ABED是_______四边形.13.已知等边△ABC,以点A为旋转中心,将△ABC旋转60°,这时得到的图形应是一个_______,且它的最大内角是______度.14.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm,且较小图形的周长为30cm,则较大图形周长为________.15.将如左图所示,放置的一个Rt△ABC(∠C=90°)绕斜边AB旋转一周,所得到的几何体的主视图是右图所示四个图形中的_______(只填序号).16.如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形纸,小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去,使AB边和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,他的判定方法是_______第16题图第17题图17.如图,有一腰长为5cm,底边长为4cm的等腰三角形纸片,•沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_______个不同的四边形.三、解答题18.如图,平移图中的平行四边形ABCD使点A移动至E点,作出平移后的图形.19.如图,作出Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°、180°、270°后的图案,看看得到的图案是什么?20.如图,P是正方形内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合,若BP=3,求PP′.21.如图所示,四边形ABCD是正方形,E点在边DE上,F点在线段CB•的延长线上,且∠EAF=90°.(1)试证明:△ADE≌△ABF.(2)△ADE可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到△ABF的位置.(3)指出线段AE与AF之间的关系.22.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E为BC边上的点,将直角梯形ABCD沿对角线BD 折叠,使△ABD与△EBD重合(如图中的阴影部分).若∠A=120°,•AB=4cm,求梯形ABCD的高CD.23.如图,正方形ABCD内一点P,使得PA:PB:PC=1:2:3,请利用旋转知识,•证明∠APB=135°.(提示:将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′,连结PP′)。
图形的变换与计算【第一部分平移】【知识点】1、平移的概念.2、理解“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本特征;能够按照要求画出简单平面图形平移后的图形;能利用平移进行简单的图案设计.3、平移变换的确定:给定了平移方向和平移的距离,就确定了平移.4、图形在平移下的不变性和不变量.平移把任一线段变成与它平行且相等的线段,即在平移下,任一线段保持方向和长度不变;平移把任一个角变成与它相等的角,即在平移下,任一个角保持大小不变.【基础训练】一、选择题1.下列几种运动属于平移的有()①水平运输带上的砖在运动;②升降机上下做机械运动;③足球场上足球的运动;④超市里电梯上的乘客;⑤平直公路上行驶的汽车A.2种B.3种C.4种D.5种2.点A(1,2)向右平移2个单位得到对应点A’,则点A’的坐标是( )A.(1.4)B.(1.0) C.(-l,2) D.(3,2)二、填空题1.如图5-1-1所示,每个小正方形的边长都是1个单位长度,△ABC移到了△A′B′C′的位置,则平移的方向是,平移的距离是个单位长度.2.如图5-1-2所示,△ABC平移到△A′B′C′的位置,则与AA′平行的线段有,与AA′相等的线段是.【提高训练】一、选择题1.如图所示5-1-3,在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定距离,这样的图形变换为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或垂直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形,至少需要移动()A.12格B.11格C.9格D.8格2.如图5-1-4所示:边长分别为和的两个正方形,其一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为,大正方形内除去小正方形部分的面积为(阴影部分),那么与的大致图象应为()二、解答题A.B.C.D.图5-1-3图5-1-4图2FD EA BC图1图5-1-5 图5-1-1 图5-1-21.已知如图5-1-5所示,图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.(1)将图1中的格点△ABC ,先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到△A 1B 1C 1,请你在图1中画出△A 1B 1C 1.(2)在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.2.在平面直角坐标系中,直线l 过点M(3,0),且平行于轴.(1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,O),C(-1,2),△ABC 关于轴的对称图形是△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1关于直线的对称图形是△A 2B 2C 2,写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标; (2)如果点的坐标是(,0),其中,点P 关于轴的对称点是,点关于直线的对称点是,求的长.3.如图5-1-7(单位:m ),等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合。
图形的变换知识点归纳总结一、平移变换平移变换是指图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动,移动后的图形与原图形形状相同,但位置发生了改变。
平移变换的基本性质如下:1. 平移变换不改变图形的大小、形状和方向。
2. 平移变换前后的图形相似,并且对应的点保持相等的距离。
二、旋转变换旋转变换是指图形绕定点旋转一定角度后得到的图形。
旋转变换的基本性质如下:1. 旋转变换不改变图形的大小和形状,但可能改变图形的方向。
2. 旋转变换前后的图形相似,且对应的点保持相等的距离。
3. 旋转角度可以为正数表示顺时针旋转,也可以为负数表示逆时针旋转。
三、缩放变换缩放变换是指图形按照一定的比例进行放大或缩小的操作。
缩放变换的基本性质如下:1. 缩放变换改变图形的大小,但保持图形的形状和方向不变。
2. 缩放变换前后的图形相似,且对应的点保持相等的距离。
3. 缩放因子大于1表示放大,缩放因子小于1表示缩小。
四、对称变换对称变换是指图形绕一条直线、点或中心对称后得到的图形。
对称变换的基本性质如下:1. 对称变换改变图形的形状、大小和方向。
2. 对称变换前后的图形相似,且对应的点与对称轴的距离相等。
五、复合变换复合变换是指对同一个图形进行多次变换操作,可以是平移、旋转、缩放或对称变换的组合。
复合变换的基本性质如下:1. 复合变换的结果与变换的顺序有关。
2. 复合变换可以通过矩阵运算来表示。
六、应用举例1. 平移变换:例子如将一个正方形沿水平方向平移10个单位。
2. 旋转变换:例子如将一个三角形绕原点逆时针旋转45度。
3. 缩放变换:例子如将一个长方形按照缩放因子2放大。
4. 对称变换:例子如将一个矩形绕直线y=x对称。
5. 复合变换:例子如将一个矩形先绕原点旋转90度,然后再沿y轴平移10个单位。
通过对图形的变换操作,我们可以更好地理解空间几何变换的性质和规律。
图形变换在计算机图形学、几何学、建筑设计等领域都有重要的应用,对于培养思维能力和观察力也有积极的影响。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)1、平移(1)定义:把一个图形沿着某一直线方向移动,这种图形的平行移动,简称为平移。
(2)平移的性质:平移后的图形与原图形全等;对应角相等;对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移:点(x,y)向右平移a个单位长度后的坐标变为(x+a,y);点(x,y)向左平移a个单位长度后的坐标变为(x-a,y);点(x,y)向上平移a个单位长度后的坐标变为(x,y+a);点(x,y)向下平移a个单位长度后的坐标变为(x,y-a)。
2、轴对称(1)轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
(2)轴对称图形:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质:关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称:点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y);3、旋转(1)旋转定义:把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
初三数学第二章图形与变换复习(NO:005)知识总结1、(2012浙江)如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ,则四边形ABFD 的周长为 102、(2012绍兴)在如图所示的平面直角坐标系内,画在透明胶片上的▱ABCD ,点A 的坐标是(0,2).现将这张胶片平移,使点A 落在点A′(5,﹣1)处,则此平移可以是( B )A . 先向右平移5个单位,再向下平移1个单位B . 先向右平移5个单位,再向下平移3个单位C . 先向右平移4个单位,再向下平移1个单位D . 先向右平移4个单位,再向下平移3个单位3、(2012湖北咸宁,6,3分)如图,正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形,O 为位似中心,相似比为1∶2,点A 的坐标为(1,0),则E 点的坐标为( C ).A .(2,0)B .(23,23) C .(2,2) D .(2,2)4、(2012年广西玉林市,10,3)如图,正方形ABCD 的两边BC 、AB 分别在平面直角坐标系内的x 轴、y 轴的正半轴上,正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形,已知AC=23,若点A ′的坐标为(1,2),则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是( B )5、(2012聊城)如图,在方格纸中,△ABC 经过变换得到△DEF,正确的变换是( B ) A .把△ABC 绕点C 逆时针方向旋转90°,再向下平移2格 B .把△ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°,再向下平移5格 C .把△ABC 向下平移4格,再绕点C 逆时针方向旋转180° D .把△ABC 向下平移5格,再绕点C 顺时针方向旋转180°6、(2012山东德州)由图中左侧三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换,不能得到的图形是( C )A B DF(第6题)(A ) (C ) (D )(B )7、(2007潍坊)如图,两个全等的长方形ABCD 与CDEF ,旋转长方形ABCD 能和长方形CDEF 重合,则可以作为旋转中心的点有( A )A .1个B .2个C .3个D .无数个8、(2008潍坊)如图,在平面直角坐标系中,Rt OAB △的顶点A的坐标为,若将OAB △绕O 点逆时针旋转60后,B 点到达B '点,则B '点的坐标是)23,33(第7题 第8题 第9题9、(2009潍坊)如图,已知Rt ABC △中,9030ABC BAC AB ∠=∠==°,°,,将ABC △绕顶点C 顺时针旋转至A B C '''△的位置,且A C B '、、三点在同一条直线上,则点A 经过的最短路线的长度是( D )cm .A .8B.C .32π3D .8π310、(2012广东汕头)如图,将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′.若∠A=40°.∠B′=110°,则∠BCA′的度数是 80011、(2012贵州六盘水)两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图5水平放置.将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转,当E 点恰好落在AB 上时,△CDE 旋转了 30 度.第10题第11题 第12题12、(2012中考)如图,在△ABC 中,∠ACB =90º,∠B =30º,AC =1,AC 在直线l 上.将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①,可得到点P 1,此时AP 1=2;将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②,可得 到点P 2,此时AP 2=2+3;将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③,可得到点P 3,此时AP 3=3 +3;…,按此规律继续旋转,直到得到点P 2012为止,则AP 2012=【 】A .2011+671 3B .2012+671 3C .2013+671 3D .2014+671 3'B①② ③1P 2 P 3 … l又∵2012÷3=670…2,∴AP 2012=670(3+3)+(2+3)=2012+6713故选B .13、(2012山东泰安)如图,菱形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A 在x 轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转105°至OA B C '''的位置,则点B '的坐标为(2,2-)14、(2012广州)如图4,在等边△ABC 中,AB=6,D 是BC 上一点,且BC=3BD ,△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ,则CE 的长度为 2 。
图形与变换知识点总结1. 基本图形在图形与变换中,我们首先要了解的是基本图形。
基本图形包括点、线、面以及立体图形。
点是没有大小和形状的,只有位置的表示。
线是连续的点的集合,有长度没有宽度。
面是由线段构成的,有长度和宽度。
而立体图形是由面构成的,有长度、宽度和高度。
2. 平移变换平移变换是指将一个图形沿着一条直线进行移动,但是位置、大小和形状都不发生改变。
平移变换有两种方式:向右移动、向左移动、向上移动以及向下移动。
3. 旋转变换旋转变换是指将一个图形以一个固定点为中心进行旋转。
旋转变换有两种方式:顺时针旋转和逆时针旋转。
4. 镜像变换镜像变换是指将一个图形关于一条直线进行对称。
镜像变换有两种情况:关于x轴对称和关于y轴对称。
5. 缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定比例进行放大或缩小。
缩放变换有两种情况:等比例缩放和非等比例缩放。
6. 合成变换合成变换是指将多个变换组合在一起进行操作,比如先进行平移,再进行旋转。
7. 图形的性质在进行图形与变换的过程中,我们需要了解一些图形的性质,比如,几何图形的对称性,图形的面积和周长的计算,图形的相似性等。
8. 应用图形与变换在我们的日常生活中应用非常广泛。
比如在建筑设计中,进行平移变换,旋转变换可以帮助我们设计出更加合理的建筑物。
在工程制图中,我们经常需要对图形进行放大或缩小,这就是缩放变换的应用。
在电子游戏中,图形与变换也是非常重要的内容,可以帮助我们实现更加生动的游戏画面。
总的来说,图形与变换是数学中一个非常重要的知识点,它不仅可以帮助我们更好地理解几何图形的性质,还可以应用到我们的生活和工作中。
希望本篇总结对大家有所帮助。
第二章图形与变换复习教学目标(1)会利用轴对称、平移、旋转、相似变换以及它们的组合解决一些简单的图案设计、剪纸等(2)欣赏轴对称、平移、旋转、相似等变换在现实生活中的应用.重难点(1)利用图形变换的思想解决有关图形的计算问题.(2)利用简单图形和图形变换,欣赏并设计一些简单的图案设计问题.教学过程一、梳理知识形成网络1、出示课题,提问:(1)我们已学过哪几种图形变换?(2)这个课题图案中运用了哪些图形变换?(3)你能从画面上找出轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换吗?2、回顾:(1)把一个图形沿着某一条直线对折,若直线两侧的部分能够互相重合,则这样的图形称之为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴 .(2)由一个图形变为另一个图形,使这两个图形关于某条直线成轴对称,这样的图形改变叫做图形的对称变换,也叫轴对称变换,经变换所得的新图形叫做原图形的对称图形 .(3)若图形关于某一条直线对称,则连结相应两对称点的线段必被其对称轴平分 .(4)平移后的图形与原来图形的对应线段相等,对应点所连的线段相等 .(5)旋转变换不改变图形的形状,对应点到旋转的中心的距离相等,对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转角的角度.(7)图形的相似变换不改变图形中的每一个角的大小,图形中的每条线段都(缩小或扩大)相同的倍数 .二、双基落实巩固提高(一)轴对称1、如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫作轴对称图形.这条直线叫作它的对称轴,图形中能够完全重合的两个点称为对称点.2、轴对称图形的性质:对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段.(二)平移变换由一个图形改变为另一个图形,在改变过程中,原图形上所有的点都向同一个方向运动,且运动相等的距离,这样的图形改变叫做图形的平移变换,简称平移.平移变换的性质:(1)、平移变换不改变图形的形状、大小和方向;(2)、连结对应点的线段平行且相等.(三)相似变换1、由一个图形改变为另一个图形,在改变的过程中保持形状不变(大小可以改变),这样的图形改变叫做图形的相似变换.2、图形的放大和缩小都是相似变换,大小不变时是一种特殊的相似变换.(四)旋转变换由一个图形改变为另一个图形,在改变过程中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按同一个方向,转动同一个角度,这样的图形改变叫做图形的旋转变换,简称旋转,这个固定的点叫做旋转中心.旋转的基本性质:(1)、旋转不改变图形的大小和形状;(2)、对应点到旋转中心的距离相等;(3)、对应点与旋转中心的连线所成的角度等于旋转的角度.一、选择题1.(2011年江苏盐都中考模拟)图所示的汽车标志图案中,能用平移变换来分析形成过程的图案是 ( )A. B. C . D.答案 D2.(2011年北京四中中考模拟19)图3,将∠BAC 沿DE 向∠BAC内折叠,使AD 与A ’D 重合,A ’E 与AE 重合,若∠A =300, 则∠1+∠2=( )A 、500B 、600C 、450D 、以上都不对 答案 B3.(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图是万花筒的一个图案,图中所有小三角形均是全等三角形,其中把菱形ABCD 以A 为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形( )A 、顺时针旋转60°B 、 顺时针旋转120°C 、逆时针旋转60°D 、 逆时针旋转120° 答案:D4. (2011年兴华公学九下第一次月考)如图,直径AB 为6的半圆,绕A 点逆时针旋转60°,此时点B 到了点B ,则图中阴影部分的面积是A .6πB .5πC .4πD .3π 答案:A5. (2011年黄冈市浠水县中考调研试题)下列图案由黑、白两种颜色的正方形组成,其中属于轴对称图形的是( )答案:B6.(2011年青岛二中)视力表对我们来说并不陌生.如图是视力表的一部分,其中开口向上的两个“E ”之间的变换是( )(第3题)标准对数视力表 0.1 4.00.12 4.1 0.154.2(第11题图)A .平移B .旋转C .对称D .位似答案:D7、(北京四中模拟)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A 、角 B 、平行四边形 C 、等边三角形 D 、矩形答案:D 8、(2011浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角,使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 答案:B9. (2011武汉调考模拟)下列图形中,绕着它的中心旋转60°后,能够与原图形完全重合.,则这个图形是( )A .等边三角形B .正方形C .圆D .菱形答案:C 10、(2011年浙江杭州二模)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.答案:C11、(2011年浙江杭州七模)如图,点A ,B ,C 的坐标分别为(0,1),(0,2),(3,0)-.从下面四个点(3,3)M ,(3,3)N -,(3,0)P -,(3,1)Q -中选择一个点,以A ,B ,C 与该点为顶点的四边形是中心对称图形的个数有( ) A .1个 B .2个 C .3个D .4个答案:CB 组1.(2011 天一实验学校 二模)下列交通标志中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 ( )答案:A 2. (2011浙江慈吉 模拟) 如图所示网格中, 已知②号三角形是由①号三角形经旋转变化得到的, 其旋转中心是下列各点中的( )A. PB. QC. R 答案:C3.(2011年重庆江津区七校联考一模)下列美丽的图案,既是轴对称图形又是)A .1个B .2个C .3个D .4个 答案:C 4.(2011年安徽省巢湖市七中模拟)下列美丽图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个 答案:C5.(2011北京四中二模)下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 答案:C6.(2011浙江杭州育才初中模拟)一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m ,然后,原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)。
《图形的变换》一、考点归纳考点一:轴对称图形和轴对称(1)轴对称图形:如果某个图形沿一条直线对折后,两个部分能完全重合,这个图形叫轴对称图形。
(2)轴对称:把一个图形沿一条直线对折后,如果它能与另一个图形完全重合,这两个图形叫做轴对称。
(3)轴对称图形和轴对称的区别与联系。
区别:1、轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形,是只对一个图形而言的;轴对称是两个图形的位置关系,必须涉及到两个图形。
2、轴对称只有一条对称轴;轴对称图形可以不止一条对称轴。
联系:1、沿对称轴折叠后能完全重合;2、如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形;3、如果把周堆成图形沿着对称轴分成两部分,那么这两部分各自组成的图形就关于这条直线成轴对称。
考点二:平移和平移的特征。
(1)、平移:物体的平行移动叫平移,它由移动方向和移动的距离决定。
(2)、平移的特征:对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,连接对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等;对应角相等;物体的形状和大小都没有发生改变。
考点三:旋转和旋转的特征。
(1)、旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿一定方向转动一定的角度叫旋转,它由旋转中心、旋转方向和旋转角度决定。
(2)、旋转的特征:对应线段相等,对应角相等,对应点到旋转中心的距离相等;每个点都绕旋转中心旋转了同样的方向、同样的角度;物体的形状和大小都没有发生改变。
(3)、旋转对称图形:如果一个图形绕某点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合,那么这个图形叫旋转对称图形。
中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形,它的特征是绕某点旋转180°后能与自身重合。
考点四:常见的中心对称图形和轴对称图形。
中心对称图形:线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等。
轴对称图形:线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、圆等。
考题中往往出现生活中的图案,所以,我们教师在复习时要教会学生判断的方法。
考点五:平面直角坐标系内点的对称。
2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第20讲图形的变换知识点一:轴对称图形1.将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧部分能够完全重合,这样的图形叫轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴画对称轴的方法:用对折的方法寻找对称轴,对称轴要画成虚线,两端要画出图形外面2.画轴对称图形的方法:(1)找出所给图形的关键点(2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离(3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点(4)对照所给图形顺次连接各点知识点二:平移与旋转1.图形的平移2.图形的旋转知识点三:放大与缩小1.图形的放大或缩小(各边按相同的比放大或缩小)所得到的图形与原图形相比, 形状相同, 大小不同。
2.在方格纸上画出按一定的比将图形放大或缩小后的图形的方法:一看:看原图形每边各占几格;二算:按给定的比计算图形放大或缩小后得到的图形的边各占几格;三画,按计算出的边长画出原图形放大或缩小的图形。
一、精挑细选(共5题;每题1分,共5分)1.(1分)(2021六上·澄江期末)下列轴对称图形中,()的对称轴条数最少。
A.圆B.正方形C.长方形2.(1分)下面这些图形中,()是轴对称图形。
A.B.C.D.3.(1分)下图中,图形A通过()得到图形B。
A.向下平移3格,再向右平移5格B.向右平移3格,再向下平移3格C.向左平移3格,再向上平移3格D.向右平移5格,再向下平移6格4.(1分)(2021六上·南郑期末)以下叙述正确的是()。
A.人离路灯越近他的影子就越长。
B.圆直径所在的直线是圆的对称轴。
C.观察一个正方体魔方,一次最多能看到5个面。
D.圆越大圆周率越大。
5.(1分)(2021·建邺)再画一个小正方形,使下图成为轴对称图形,共有()种不同的画法。
A.2 B.3 C.4 D.5二、判断正误(共5题;每题1分,共5分)6.(1分)在中,对称轴最多的是长方形。
7.(1分)(2021·临西)长方形、等边三角形、平行四边形、等腰三角形都是轴对称图形。
图形与变换
平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
一、轴对称与轴对称图形:
1、轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称,这条直线叫
2、轴对称图形:如果把一个图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形
3、轴对称性质:⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
1、轴对称是指个图形的位置关系,而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形;
2、对称轴是而不是线段,轴对称图形的对称轴不一定只有一条
二、图形的平移与旋转:
1、平移:⑴定义:在平面内,把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移
⑵性质:Ⅰ、平移不改变图形的与,即平移前后的图形
Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且
【名师提醒:平移作图的关键是确定平移的和】
2、旋转:⑴定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个,这样的图形运动称为旋转,这个点称为转动的称为旋转角
⑵旋转的性质:Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中,对应点到旋转中心的距离都,每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都
【名师提醒:1、旋转作用的关键是确定、和,
2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合,那么这个图形就是旋转对称图形】
三、中心对称与中心对称图形:
1、中心对称:在平面内,一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫做
2、中心对称图形:一个图形绕着某点旋转后能与自身重合,这种图形叫中心对称图形,这个点叫做
3、性质:在中心对称的两个图形中,对称点的连线都经过且被平分
【名师提醒:1、中心对称是指个图形的位置关系,
而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形
2、常见的轴对称有、、、、、等,常见的中心对称图形有、、、、、等
3、所有的正n边形都是对称图形,且有条对称轴,边数为偶数的正多边形,又是对称图形,
4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用
【重点考点例析】
例3 (2014•贵港)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()
A.12
5
B.4 C.
24
5
D.5
考点四:平移例4 (2014•呼和浩特)已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为()
则四边形ABFD的周长为()
A.16cm B.18cm C.20cm D.22cm
方向旋转到△AB1C1的位置,点B1恰好落在边BC的中点处.那么旋转的角度等于()
A.55° B.60° C.65° D.80
将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()
55
考点七:简单的图形变换的应用
例8 (2014•烟台)如图,将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′,则点P的坐标是()
A.(1,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(1,4)
考点八:几何变换综合题
例9 (2014•济南)如图1,有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4,正方形ABCD的第四个顶点分别在l1,l2,l3,l4上,EG过点D且垂直l1于点E,分别交l2,l4于点F1,G1,EF=DG=1,DF=2.(1)AE= ,正方形ABCD的边长= ;
(2)如图2,将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′,旋转角为α(0°<α<90°),点D′在直线l3上,以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′,使B′,C′分别在直线l2,l4上
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明;
②若α=30°,求菱形AB′C′D′的边长.。