人教版九年级期末考试考前知识点专题集训《图形的变换》解答题经典题型突破与提升练习

考点二十：图形的变换聚焦考点☆温习理解一、平移1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

二、轴对称1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

三、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

四、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

中考重难点之图形的变换综合一、考情分析：“图形的旋转”是课改后的新增内容，也是近几年中考的必考内容，是中考的热点与重点.运用旋转的全等变换，证明线段与角相等或和、差、倍、分关系，以及在旋转中探索图形的变化，进行图案设计是近几年中考的常见题型，预计研究图形旋转变换的变化规律的开放探究题与二次函数的综合题，是中考的重点题型。

二、知识点睛1、旋转（1）定义：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，定点叫作旋转中心，旋转的角度叫作旋转角，如果一个图形上的点A经过旋转变为A’，那么这两个点叫作旋转的对应点.如图所示，△A’OB’是△AOB绕定点O逆时针旋转30°得到的，其中点A与点A’叫作对应点，线段OB与线段OB’叫作对应线段，∠A与∠A’叫作对应角，点O叫作旋转中心，∠AOA’的度数叫作旋转的角度。

（2）性质①图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；②对应点到旋转中心的距离相等；③旋转前后图形的大小和形状没有改变；④两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；⑤旋转中心是唯一不动的点2、旋转对称图形定义：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，能够与原图形重合，这样的图形叫作旋转对称图形。

3、旋转三要素①定点——旋转中心②旋转方向③旋转角度4、中心对称图形（1）中心对称图形在平面内，一个图形绕某一定点旋转180°，能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心。

（倍长中线性实际上就是在作中心对称）（2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称三、技巧提炼：1、旋转是中考压轴题中的常见题型，在解这类题时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转，下面，就不同类型的旋转问题给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋180°，构造中心对称遇90°，旋90°，造垂直遇60°，旋60°，造等边遇等腰，旋顶角综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转2、图形旋转后我们需要证明旋转角全等，而旋转全等三角中的难点实际上就是倒角，下面给出旋转常用的倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一。

初中学业水平考试数学《图形变换》专题复习教学设计课时1、图形的平移、旋转与轴对称一、复习目标【知识与技能】理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移和图形旋转的概念，并掌握它们的性质。

能按平移、旋转或轴对称的要求作出简单的图形，并作一些简单计算。

【过程与方法】通过例举生活实例，帮助学生温习知识点。

【情感态度与价值观】通过本节内容的复习，让学生走进中考，增加挑战中考的信心。

二、学情分析本届九年级学生基础高低参差不齐，有的基础较牢，成绩较好。

在复习中，既要注意概念的科学性，又要注意概念形成的阶段性。

在教学中要尽可能做到通俗易懂，通过对分析、比较、抽象、概括，使学生形成概念，并注意引导学生在学习，生活和劳动中应用学过的概念，以便不断加深对概念的理解和提高运用数学知识的能力。

要在区别的基础上进行记忆，在掌握时应进行对比，抓住本质、概念特征，加以记忆。

激发学生学习数学的兴趣，帮助学生获得知识和技能，培养观察和分析推理能力，培养学生实事求是、严肃认真的科学态度和科学的学习方法。

所以在复习中再加强指导和练习，加大对学生所学知识的检查，并做好及时的讲评和反馈学生情况。

三、中考热点与特点1.热点：平移、旋转、轴对称的特征,中心对称和轴对称的性质。

2.特点：轴对称、中心对称、点的坐标特征多在选择题，填空题中考查；简单的平移和旋转作图多在解答题中考查，难度中等。

四、复习过程1、知识点梳理我们复习的目的是考好学业水平考试，那么我们首先就得搞清图形变换在学业水平考试中的热点和特点。

热点：平移、旋转、轴对称的特征,中心对称和轴对称的性质。

特点：轴对称、中心对称、点的坐标特征多在选择题，填空题中考查；简单的平移和旋转作图多在解答题中考查，难度中等。

当然还会掺杂些综合性的问题，详见后面的题目。

下面我们先回忆下初中阶段的图形变换有哪些知识点。

图形的变换包括图形的平移、旋转、翻折（轴对称），图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变，也就是说这三种变换都是全等变换。

专题三 图形的变换(时间：60分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图，△ABC 的面积为12，将△ABC 沿BC 方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C 重合，连接AC′交A ′C 于D ，则△C′DC 的面积为(C )A ．10B ．8C ．6D ．4【考查内容】平移的性质，三角形面积计算．【解析】∵将△ABC 沿BC 方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C 重合，∴AB ∥A ′B ′，∵BC ＝CC′，∴D 为A′B′的中点，∴△C ′DC 的面积为△ABC 的面积的一半，即6.第1题图 第2题图2．(2017菏泽)如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是(C )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【考查内容】旋转的性质，等腰三角形的性质．【解析】∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，∴AC ＝A′C ，∴△ACA ′是等腰直角三角形，∴∠CA ′A ＝45°，∠CA ′B ′＝20°＝∠BAC ，∴∠BAA ′＝20°＋45°＝65°.3．(2017天津)如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(C )第3题图A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠CC ．AD ∥BC D ．AD ＝BC【考查内容】旋转的性质，等边三角形的判定与性质．【解析】∵△AB C 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，∴∠ABD ＝∠CBE ＝60°，AB ＝BD ， ∴△ABD 是等边三角形，∴∠DAB ＝60°，∴∠DAB ＝∠CBE ，∴AD ∥BC.4．(2017宜宾)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上F 处，则DE 的长是(C )A ．3 B.245 C ．5 D.8916【考查内容】翻折变换(折叠问题)，矩形的性质．【解析】∵矩形ABCD ，∴∠BAD ＝90°，由折叠可得△BEF≌△BEA ，∴EF ⊥BD ，AE ＝EF ，AB ＝BF ，AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得BD ＝10，即FD ＝10－6＝4，设EF ＝AE ＝x ，则有ED ＝8－x ，根据勾股定理得x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3(负值舍去)，则DE ＝8－3＝5.第4题图 第5题图5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3.将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD 上，连接DD′，则DD′的长度为(A ) A.3 B.5 C.3＋1 D ．2【考查内容】旋转的性质，等边三角形的判定与性质．【解析】∵矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3， ∴AD ＝BC ＝3，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝3，∴∠ABD ＝60°，∵AB ＝AB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB ′＝60°，∴∠DAD ′＝60°，∵AD ＝AD′，∴△ADD ′是等边三角形，∴DD ′＝AD ＝BC ＝3.6．(2017赤峰)如图，将边长为4的菱形ABCD 纸片折叠，使点A 恰好落在对角线的交点O 处，若折痕EF ＝23，则∠A＝(A )第6题图A ．120°B ．100°C ．60°D ．30°【考查内容】翻折变换(折叠问题)，三角形中位线定理，菱形的性质．【解析】连接AC ，如答图，∵四边形ABCD 是菱形，第6题答图∴AC ⊥BD ，∵A 沿EF 折叠与O 重合，∴EF ⊥AC ，EF 平分AO ，∵AC ⊥BD ，∴EF ∥BD ，∴E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ＝12BD ，∴BD ＝2EF ＝43，∴BO ＝23， ∴AO ＝AB 2－BO 2＝2，∴AO ＝12AB ，∴∠ABO ＝30°，∴∠BAO ＝60°，∴∠BAD ＝120°.二、填空题(每小题5分，共30分)7．如图，三角形ABE 向右平移一定距离后得到三角形CDF ，若∠BAE＝60°，∠B ＝25°，则∠ACD＝__25°__．【考查内容】平移的性质．【解析】∵△ABE 向右平移一定距离后得到△CDF ，∠B ＝25°，∴AC ∥BF ，∠CDF ＝∠B ＝25°，∴∠ACD ＝∠CDF ＝25°.第7题图 第8题图8．(2017吉林)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3.矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′.若点B 的对应点B′落在边CD 上，则B′C 的长为__1__．【考查内容】旋转的性质，矩形的性质．【解析】由旋转的性质得到AB ＝AB′＝5，在Rt △AB ′D 中，∠D ＝90°，AD ＝3，AB ′＝AB ＝5，由勾股定理得B′D ＝AB′2－AD 2＝52－32＝4，所以B′C ＝5－B′D ＝1.9．(2017贵阳)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A′C 的长的最小值是．翻折变换(折叠问题)，矩形的性质．【解析】连接CE ，根据折叠可知A ′E ＝AE ＝12AB ＝1.在Rt △BCE 中，BE ＝12AB ＝1，BC ＝3，∠B ＝90°，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝10.∵CE ＝10，A ′E ＝1，∴点A′在CE 上时，A ′C 取最小值，最小值为CE －A′E ＝10－1.第9题图 第10题图10．(2017天水)如图所示，在矩形ABCD 中，∠DAC ＝65°，点E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C′处，则∠AFC′＝__40°__．【考查内容】翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，正方形的判定与性质．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∠DAC ＝65°，∴∠ACD ＝90°－∠DAC ＝90°－65°＝25°，∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C′处，∴四边形BCEC′是正方形，∴∠BEC ＝45°，由三角形的外角性质，∠BFC ＝∠BEC ＋∠ACD ＝45°＋25°＝70°，由翻折的性质得，∠BFC ′＝∠BFC ＝70°，∴∠AFC′＝180°－∠BFC －∠BFC′＝180°－70°－70°＝40°.11．(2016苏州)如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且BD ＝BE ＝4，将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B′DE (点B′在四边形ADEC 内)，连接AB′，则AB′的长为．第11题图 第11题答图【考查内容】翻折变换(折叠问题)，等边三角形的判定与性质，勾股定理．【解析】如答图，作DF⊥B′E 于点F ，作B′G⊥AD 于点G ，∵∠B ＝60°，BE ＝BD ＝4，∴△BDE 是边长为4的等边三角形，∵将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B′DE ，∴△B ′DE 也是边长为4的等边三角形，∴GD ＝B′F ＝2，∵B ′D ＝4，∴B ′G ＝B′D 2－GD 2＝42－22＝23，∵AB ＝10，∴AG ＝10－6＝4， ∴AB ′＝AG 2＋B′G 2＝42＋（23）2＝27.12．(2017南充)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE＝DG ；②BE⊥DG；③DE 2＋BG 2＝2a 2 ＋2b 2，其中正确结论是__①②③__．(填序号)第12题图 第12题答图【考查内容】旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．【解析】设BE ，DG 交于O ，∵四边形ABCD 和EFGC 都为正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCD ＋∠DCE ＝∠ECG ＋∠DCE ＝90°＋∠DCE ，即∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ，∴△BCE ≌△DCG (SAS )，∴BE ＝DG ，∴∠1＝∠2，∵∠1＋∠4＝∠3＋∠1＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠BOG ＝90°，∴BE ⊥DG ；故①②正确；连接BD ，EG ，如答图所示，∴DO 2＋BO 2＝BD 2＝BC 2＋CD 2＝2a 2，EO 2＋OG 2＝EG 2＝CG 2＋CE 2＝2b 2，则BG 2＋DE 2＝DO 2＋BO 2＋EO 2＋OG 2＝2a 2＋2b 2，故③正确．故正确的结论是①②③.。

第20讲图形的平移，对称，旋转☞【基础知识归纳】☜☞归纳 1：图形的平移把一个图形整体沿某一方向移动．．，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．☞归纳2：作已知图形的平移图形画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．☞归纳3：平移的性质(1)对应线段平行且相等，对应点所连的线段平行且相等，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；(2)对应角分别相等，且对应角的两边分别平行、方向一致；(3)平移变换后的图形与原图形全等☞归纳4：轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠．．，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．☞归纳5：作已知图形的轴对称图形如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线☞归纳6：轴对称的性质轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，性质: (1)对应点的连线被对称轴垂直平分(2)对应线段相等(3)成轴对称的两个图形全等☞归纳7：中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转．．后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【注】解这类问题的关键是看图形旋转180°之后是否能完全重合．☞归纳8：认识旋转1.定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角2.图形的旋转有三个基本条件：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度.3.性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(3)旋转前后的图形全等☞【常考题型剖析】☜☺题型一、平移【例1】（2016某某）如图1，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′=____________图1图2【答案】5【分析】直接利用平移的性质得出顶点C平移的距离．【解答】解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位，∴顶点C平移的距离CC′=5【举一反三】1.( 2016某某) 如图2，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 21cm【答案】C【分析】先根据平移的性质得到CF=AD=2cm，AC=DF，而AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴EF=AD=2cm，AE=DF，∵△ABE的周长为16cm，∴AB+BE+AE=16cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．2.( 2016某某) 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（）A.（﹣2，﹣1）B.（﹣1，0）C.（﹣1，﹣1）D.（﹣2，0）【答案】C【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．【解答】解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，∴点B的横坐标为1-2=-1，纵坐标为3-4=-1，∴B的坐标为（-1，-1）．☺题型二、轴对称与中心对称【例2】(2016凉山州) 在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：线段、矩形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形不是中心对称图形，【例3】(2016某某) 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．【举一反三】3.( 2016某某) 下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有个．【答案】2【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：①既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；②是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；③既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；④是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③共2个．4.( 2016某某) 在图形：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：①线段既是轴对称图形又是中心对称图形，②等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形，③矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，⑤平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是3个．5.( 2016某某)下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．6.( 2016某某)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断．【解答】解：A、平行四边形为中心对称图形，所以A选项错误；B、图形为中心对称图形，所以B选项错误；C、图形为轴对称图形，所以C选项错误；D、图形是中心对称图形也是轴对称图形，所以D选项正确．☺题型三、旋转【例3】(2016某某)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=度．【答案】46【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，证明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答．【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，即∠BCB′=∠ACA′，∴∠BCB′=67°，∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，【举一反三】7.( 2016某某) 如图7，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为．图7图8 图9【答案】17°【分析】先利用旋转的性质得到∠B'AC'=33°，∠BAB'=50°，从而得到∠B′AC的度数．【解答】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，∴∠B'AC'=33°，∠BAB'=50°，∴∠B′AC的度数=50°-33°=17°．8.( 2016某某) 如图8，将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，则∠α的大小是．【答案】120°【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，9.( 2016贺州) 如图9，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A.（2，5）B.（5，2）C.（2，﹣5）D.（5，﹣2）【答案】B【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC ⊥y 轴于C ，A′C′⊥x 轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO 和△A′C′O 中，'''''ACO AC O AOC AOC AO AO ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACO ≌△A′C′O（AAS ），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A （﹣2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．10.( 2016某某) 如下图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得 点B ，A ，C′在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的角度是（ ）A. 60° B . 90° C . 120° D . 150°【答案】D【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠CAC′=180°-30°=150°．☞【巩固提升自我】☜1.( 2016某某)下列所述图形中，是中心对称图形的是（）A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误．2.( 2015某某)下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形【答案】A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．3.( 2014某某) 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．4.(2016湘西州)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 平行四边形B. 等腰三角形C. 矩形D. 正方形【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确．C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；D、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；5.( 2016某某)下列图形中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】CA B C，6.( 2014某某) 如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△'''若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于【答案】21-【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=12BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=22AC′=1，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=12BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=22AC′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=12×1×1﹣12×（2﹣1）2=21-7.( 2016某某改) 如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；。

图形的变换一、选择题1．下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）A．上B．下C．左D．右3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形 B．平行四边形C．正三角形 D．矩形4．如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°6．下面四X扑克牌中，图案属于中心对称图形的是图中的（）A．B．C．D．7．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．将如图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．9．若将图中的每个字母都看成独立的图案，则这七个图案中是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．11．下面的图形中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．二、填空题12．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE=cm，△ABC的面积=cm2．13．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．14．将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是cm．三、解答题15．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．（1）观察图1、2中所画的“L”型图形，然后各补画一个小正方形，使图1中所成的图形是轴对称图形，图2中所成的图形是中心对称图形；（2）补画后，图1、2中的图形是不是正方体的表面展开图？（填“是”或“不是”）16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）17．在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a ＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．观察计算：（1）在方案一中，d1=km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）．探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？图形的变换参考答案与试题解析一、选择题1．下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】轴对称图形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．【解答】解：所有图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么一定是轴对称图形的有5个，故选D．【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2．有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）A．上B．下C．左D．右【考点】旋转的性质．【专题】压轴题；操作型；规律型．【分析】根据题意可知每一次变换后相当于逆时针旋转了90°，经过4次变换后会回到原始位置，所以按上述规则完成第9次变换后，相当于第一次变化后的位置关系，分析比较可得答案．【解答】解：根据题意可知每一次变换后相当于逆时针旋转了90度，经过4次变换后会回到原始位置，所以按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是应该是第一次变换后的位置即在左边，比较可得C符合要求．故选C．【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．关键是找到旋转的方向和角度．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形 B．平行四边形C．正三角形 D．矩形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和等腰梯形、平行四边形、正三角形、矩形的性质解答．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4．如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和各图的特点求解．【解答】解：①、是轴对称图形，不是中心对称图形；②、是轴对称图形，也是中心对称图形；③、是轴对称图形，不是中心对称图形；④、是轴对称图形，也是中心对称图形．满足条件的是①③，故选A．【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等．【解答】解：根据题意得：∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°．故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．6．下面四X扑克牌中，图案属于中心对称图形的是图中的（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象．【分析】依据中心对称图形的定义即可求解．【解答】解：其中A选项、C选项及D选项旋转180度后新图形中间的桃心向下，原图形中间的桃心向上，所以不是中心对称图形．故选B．【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．7．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．将如图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．【考点】生活中的旋转现象．【分析】根据旋转的意义，找出图中眼，眉毛，嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．【解答】解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90°，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为A图，故选A．【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．9．若将图中的每个字母都看成独立的图案，则这七个图案中是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：根据中心对称图形的概念可知，图案O、I是中心对称图形；而图案L、Y、M、P、C都不是中心对称图形．故选B．【点评】解答此题要掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点．10．．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，故B正确；C、不是轴对称图形，故C错误；D、不是轴对称图形，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11．下面的图形中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题12．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE=2 cm，△ABC的面积=18 cm2．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】三角形的重心是三条中线的交点，根据中线的性质，S△ACD=S△BCD；再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，从而得出△BCD的高，可求△BCD的面积．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴DE=GD=GC=2，CD=3GD=6，∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE，∵CD为△ABC的中线，∴S△ACD=S△BCD，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2××BG×CD=18cm2．填：2，18．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．13．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．故答案为：4【点评】考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．14．将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是1 cm．【考点】平移的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，画出图形，由平移的性质直接求得结果．【解答】解：在平移的过程中各点的运动状态是一样的，现在将线段平移1cm，则每一点都平移1cm，即AA′=1cm，∴点A到点A′的距离是1cm．【点评】本题考查了平移的性质：由平移知识可得对应点间线段即为平移距离．学生在学习中应该借助图形，理解掌握平移的性质．三、解答题15．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．（1）观察图1、2中所画的“L”型图形，然后各补画一个小正方形，使图1中所成的图形是轴对称图形，图2中所成的图形是中心对称图形；（2）补画后，图1、2中的图形是不是正方体的表面展开图？（填“是”或“不是”）【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．【专题】网格型．【分析】（1）根据轴对称图形与中心对称的定义即可作出，首先确定对称轴，即可作出所要作的正方形；（2）利用折叠的方法进行验证即可．【解答】解：（1）如图（画对一个得3分）．（2）图1（不是）或图2（是），图3（是）．【点评】掌握轴对称的性质：沿着一直线折叠后重合．中心对称的性质：绕某一点旋转180°以后重合．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．【专题】作图题；压轴题．【分析】（1）连接对应点，对应点的中点即为对称中心，在网格中可直接得出点E、A、C 的坐标；（2）根据“（a+6，b+2）”的规律求出对应点的坐标A2（3，4），C2（4，2），顺次连接即可；（3）由△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系直接看出是关于原点O成中心对称．【解答】解：（1）如图，E（﹣3，﹣1），A（﹣3，2），C（﹣2，0）；（4分）（2）如图，A2（3，4），C2（4，2）；（8分）（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称．（10分）【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．中心对称是旋转180度时的特殊情况．17．在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a ＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．观察计算：（1）在方案一中，d1= a+2 km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）．探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；阅读型；方案型．【分析】运用勾股定理和轴对称求出d2，根据方法指导，先求d12﹣d22，再根据差进行分类讨论选取合理方案．【解答】解：（1）∵A和A'关于直线l对称，∴PA=PA'，d1=PB+BA=PB+PA'=a+2；故答案为：a+2；（2）因为BK2=a2﹣1，A'B2=BK2+A'K2=a2﹣1+52=a2+24所以d2=．探索归纳：（1）①当a=4时，d1=6，d2=，d1＜d2；②当a=6时，d1=8，d2=，d1＞d2；（2）=4a﹣20．①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0，∴d1﹣d2＞0，∴d1＞d2；②当4a﹣20=0，即a=5时，d12﹣d22=0，∴d1﹣d2=0，∴d1=d2③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0，∴d1﹣d2＜0，∴d1＜d2综上可知：当a＞5时，选方案二；当a=5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5（缺a＞1不扣分）时，选方案一．【点评】本题为方案设计题，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．。

总复习：图形的变换【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点进阶】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点进阶】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.【要点进阶】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点进阶】１．图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.【典型例题】类型一、平移变换例1.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．（1）证明△A′AD′≌△CC′B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．例2．操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．举一反三：【变式】如图，若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分PC A ' 的面积是21cm ，则移动的距离'AA 等于 .类型二、轴对称变换例3．如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点E 是射线CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，点C 的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD 上时，BC′= ；（2）若点C′刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，求CE 的长； （3）若点C′刚好落在线段AD 的垂直平分线上时，求CE 的长．举一反三：【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 的边上中点，将C 点折至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连接PQ ． （1）求MP 的长；（2）求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.例4.已知：矩形纸片ABCD 中，AB=26厘米，5.18=BC 厘米，点E 在AD 上，且6=AE 厘米，点P 是AB 边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图（1）所示）； 步骤二，过点P 作,AB PT ⊥交MN 所在的直线于点Q ，连结QE （如图（2）所示）； （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“＞”、“=”、“＜”号 ） （2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点,1Q ,1Q 点的坐标是（ ， ）； ②当6=PA 厘米时，PT 与MN 交于点2Q ，2Q 点的坐标是（ ， ）； ③当12=PA 厘米时，在图（3）中画出MN ，PT （不要求写画法）并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；（3）点P 在在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点,1Q 2Q ，3Q …观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.（1） （2）（3）类型三、旋转变换例5.已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B 、C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M.（1）如图①，当AC=BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB 、CM 的数量关系是 ；（2）如图②，当AC=BC ，点P 在线段CB 的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图③，若，点P 在线段CB 的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP 的面积．A BCDPEMN BC（P ） （A ） BCDE xN 1QO6 12 18 24 612 18 2Qy例6 .如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．OO和小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即1OO，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于12扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________?请你解答上述两个问题．举一反三：【变式】 如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．(1)请在所给的图中，用尺规画出点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积S ．BPA(M)QNDC【巩固练习】 一、选择题1．有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ） ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化． A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）. ①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④3.如图，折叠直角三角形ABC 纸片，使两锐角顶点A 、C 重合，设折痕为DE.若AB=4，BC=3，则BD 的值是（ ）A ．78 B ．1 C ．98 D ．234.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ）.A 、30°B 、60°C 、120°D 、180°5.如图,把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）.A.20B.22C.24D.30第4题 第5题6．如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼 成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）. A ．2 B ．4 C ．8 D ．10二、填空题7.如图，在Rt △A BC 中，∠A CB ＝90°，AB=5，AC=3，点D 是BC 上一动点，连结AD ，将△ADC 沿AD 折叠，点C 落在点C '，连结C ’D 交AB 于点E ，连结BC ’.当△BC ’D 是直角三角形时，DE 的长为 ．8.在Rt ∆ABC 中，∠A <∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将∆ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度.第7题 第8题9.在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，连结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．10.如图，在∆ABC 中，MN//AC ，直线MN 将∆ABC 分割成面积相等的两部分，将∆BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE//CN ，则AE:NC= .第9题 第10题11.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿着过点A 的折痕翻折，使点B 落在AD 边上的点F ，折痕交BC 于点E ，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A 的折痕翻折，点E 恰好与点D 重合，此时折痕交DC 于点G ，则CG ：GD 的值为 ．12.如图,在计算机屏幕上有一个矩形画刷ABCD ，它的边AB ＝l ，．把ABCD 以点B 为中心按顺时针方向旋转60°，则被这个画刷着色的面积为________.三、解答题13. 如图（1）所示，一张三角形纸片ABC ，6,8,90==︒=∠BC AC ACB .沿斜边AB 的中线CD 把这线纸片剪成11D AC ∆和22D BC ∆两个三角形如图（2）所示.将纸片11D AC ∆沿直线B D 2（AB ）方向平移（点B D D A ,,,21始终在同一条直线上），当点1D 与点B 重合时，停止平移，在平移的过程中，11D C 与2BC 交于点E ，1AC 与222,BC D C 分别交于点F ，P.（1）当11D AC ∆平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中E D 1与F D 2的数量关系，并证明你的猜想.（2）设平移距离12,D D 为x ，11D AC ∆与22D BC ∆重叠部分的面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量x 的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x ，使得重叠部分面积等于原ABC ∆纸片面积的41？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.14.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．15.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.16．已知抛物线经过点 A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG 翻折得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．。

九年级数学专题复习——图形与图形的变换1．如图1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540米2，则道路的宽应是 米？2．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1，则图中阴影部分的面积是3．将一张纸片沿任一方向翻折，得到折痕AB（如图1）；再翻折一次，得到折痕OC （•如图2）；翻折使OA 与OC 重合，得到折痕OD （如图3）；最后翻折使OB 与OC 重合，•得到折痕OE （如图4）．展开恢复成图1形式，则∠DOE的大小是 ．4．如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米。

30︒30︒30︒A5．如图4，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 12π B. π C. 2π D. 4π 6 .下图是由10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图 l ）和梅花图案（图 2 )（图中的折扇无重叠）, 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为 （ ） A . 36º B . 42º C . 45º D . 48º图47、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首位依次相接的三角形，至少需要移动（ ）A.12格B.11格C.9格D.8格8．为了改善农民吃水质量，市政府决定从新建的水厂A 向两村B C 、供水，已知三点A 、B C 、之间的距离相等，为了节约成本，降低工程造价，请你设计一种最佳方案，使铺设的输水管道最短．在图画出你所设计方案的线路图．9．如图是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中．．．．．．按下列要求操作： ⑴ 请在网格中建立平面直角坐标系, 使A 点坐标为(－2，4)，B 点坐标为(－４，2)； ⑵ 在第二象限内的格点上．．．．．．．．．．画一点C, 使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C 点坐标是 ， △ABC 的周长是 (结果保留根号)； ⑶ 画出△ABC 以点C 为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C, 连结AB′和A′B, 试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形, 并说明理由.10．如图，半圆M 的直径AB 为20cm ，现将半圆M 绕着点A 顺时针旋转180°．E OD（3）（2）（1）ABCABCAB CCBAA B C DOE（1）请你画出旋转后半圆M 的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆M 所扫过区域的面积（结果精确到1cm 2）．11．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。