matlab编程实现共轭梯度法最优解

一、实验目的:1、掌握求解无约束最优化问题的 F-R 共轭梯度法，以及约束最优化问题 Wolfe 简约梯度法。

2、学会用MATLAB 编程求解问题，并对以上方法的计算过程和结果进行分析。

二、实验原理与步骤: 1、F-R 共轭梯度法基本步骤是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d关于A 共轭，即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点)1(+k X ,即)(m in )()()(0)1(k d X f X f k k λλ+=>+如此下去, 得到序列{)(k X }。

不难求得0,)1()(>=<-k k Ad d的解为)()1()1()()()()1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b XX><>-<+=--+注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭的定义0,)1()(>=<-k k Add 可得： ><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β共轭梯度法的计算过程如下：第一步：取初始向量)0(X , 计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=><><-=-=-∇==(0)0(0)(1))0()0()0()0(0(0)(0)(0)(0)d X X ,,X )X (r d λλAd d Ad r A b f第1+k 步：计算⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-∇=+------(k)0(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(k)d X X ,,r ,,X )X (r λλββk k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Adr A b f2、Wolfe 简约梯度法Wolfe 基本计算步骤：第一步：取初始可行点 x 0∈X l ,给定终止误差ε>0 ，令k:=0；第二步：设 I B k是x k 的 m 个最大分量的下标集，对矩阵A 进行相应分解 A =(B k ,N k )；第三步：计算 ∇f(x k)=(∇B f(x k )∇Nf(x k )) ,然后计算简约梯度r N k=−(B k −1N k )T ∇B f(x k )+∇N f(x k )；第四步：构造可行下降方向 p k . 若||p k ||≤ε ，停止迭代，输出x k 。

一、引言1.1 阐述最优化方法的重要性 1.2 介绍文章内容二、最优化方法的基本概念与分类2.1 最优化问题的定义2.2 最优化方法的分类2.2.1 无约束最优化2.2.2 约束最优化三、常用最优化方法的原理与特点3.1 梯度下降法3.1.1 原理介绍3.1.2 算法流程3.1.3 特点分析3.2 牛顿法3.2.1 原理介绍3.2.2 算法流程3.2.3 特点分析3.3 共轭梯度法3.3.1 原理介绍3.3.2 算法流程3.3.3 特点分析四、最优化方法在实际问题中的应用4.1 工程优化问题4.1.1 结构优化设计4.1.2 控制优化问题4.2 数据拟合与机器学习4.2.1 深度学习中的优化问题4.2.2 模型参数的优化五、 Matlab实现最优化方法的实例5.1 Matlab在最优化方法中的应用 5.2 梯度下降法的Matlab实现5.2.1 代码示例5.2.2 实例分析5.3 牛顿法的Matlab实现5.3.1 代码示例5.3.2 实例分析5.4 共轭梯度法的Matlab实现5.4.1 代码示例5.4.2 实例分析六、结论及展望6.1 对最优化方法的总结与归纳6.2 未来最优化方法的发展方向七、参考文献以上是一篇关于“最优化方法及其Matlab实现”的文章大纲，您可以根据这个大纲和相关资料进行深入撰写。

文章内容需要涉及最优化方法的基本概念与分类、常用最优化方法的原理与特点、最优化方法在实际问题中的应用、Matlab实现最优化方法的实例等方面，保证文章内容的权威性和实用性。

另外，在撰写文章过程中，建议加入一些案例分析或者数据实验，通过具体的应用场景来展示最优化方法的有效性和优越性，增强文章的说服力和可读性。

对于Matlab实现部分也要注重代码的清晰性和易懂性，方便读者理解和实践。

希望您能够通过深入的研究和精心的撰写，呈现一篇高质量、流畅易读、结构合理的中文文章，为读者提供有益的知识和参考价值。

prp共轭梯度法matlabPRP共轭梯度法是一种用于求解无约束优化问题的数值方法。

它是共轭梯度法的一种改进算法，通过引入一种预处理技术来加速收敛速度。

共轭梯度法是一种迭代方法，用于求解线性方程组或者最小化二次型函数。

它的基本思想是利用共轭方向的性质，通过一系列迭代步骤来逼近最优解。

这种方法在大规模问题的求解中非常有效，因为它不需要存储整个系统矩阵，而只需要存储向量和一些中间变量即可。

然而，传统的共轭梯度法在实际应用中存在一些问题。

首先，它对于一些病态问题的收敛速度较慢，需要较多的迭代步骤才能得到满意的结果。

其次，它对于非二次型函数的最小化问题效果不佳，容易陷入局部最优解。

为了克服这些问题，PRP共轭梯度法应运而生。

PRP共轭梯度法采用了一种预处理技术，通过对梯度向量进行修正来提高算法的收敛速度。

具体来说，PRP共轭梯度法在每一步迭代中计算一个修正系数，将修正系数和梯度向量的线性组合用于更新搜索方向。

这种修正技术可以加速算法的收敛速度，特别是在处理病态问题和非二次型函数时效果显著。

PRP共轭梯度法的算法流程如下：1. 初始化变量，包括初始解向量、梯度向量、搜索方向和修正系数。

2. 计算修正系数，根据修正系数和梯度向量的线性组合更新搜索方向。

3. 求解步长，通过线搜索方法确定下一步的迭代点。

4. 更新解向量和梯度向量。

5. 判断收敛条件，如果满足条件则停止迭代，否则返回第2步继续迭代。

PRP共轭梯度法在实际应用中具有广泛的应用价值。

它可以用于求解大规模线性方程组、最小化二次型函数以及其他无约束优化问题。

与传统的共轭梯度法相比，PRP共轭梯度法具有更快的收敛速度和更好的全局搜索能力。

此外，PRP共轭梯度法还可以与其他优化算法结合，形成更加强大的求解器，提高问题求解的效率和精度。

PRP共轭梯度法是一种有效的数值方法，用于求解无约束优化问题。

它通过引入预处理技术来加速收敛速度，具有较好的全局搜索能力。

在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的优化算法，以提高问题求解的效率和精度。

matlab梯度算法Matlab梯度算法在数学和计算机科学中，梯度是指一个多元函数在某一点上的变化率或斜率。

梯度算法是一种优化算法，用于找到函数的最小值或最大值。

在Matlab中，有多种方法可以使用梯度算法来优化函数，包括梯度下降和共轭梯度法。

本文将详细介绍Matlab中的梯度算法，并逐步讲解其原理和应用。

I. 梯度下降法梯度下降法是一种基于迭代的优化算法，通过计算函数的梯度来更新参数的值，以逐步接近函数的最小值。

在Matlab中，可以使用"gradientDescent"函数来实现梯度下降法。

1. 实现梯度下降法首先，我们需要定义一个优化目标函数，例如：f(x) = x^2 + 2x + 1。

然后，定义其梯度函数为g(x) = 2x + 2。

接下来，我们可以使用以下代码来计算梯度下降：matlab定义优化目标函数f = (x) x^2 + 2*x + 1;定义梯度函数g = (x) 2*x + 2;初始化参数x0 = 0;设置学习率和迭代次数alpha = 0.01;iterations = 100;梯度下降法for i = 1:iterationsx0 = x0 - alpha * g(x0);end打印最优解disp(['Optimal solution: ', num2str(x0)]);在这个例子中，我们使用了学习率(alpha)为0.01，迭代次数(iterations)为100。

通过不断更新参数x0的值，最终得到了最优解。

2. 梯度下降法的原理梯度下降法的核心思想是利用函数在当前点的梯度信息来更新参数的值，以便能够向着函数的最小值前进。

具体来说，算法的步骤如下：a. 初始化参数的值：选择一个初始参数的值作为起始点。

b. 计算梯度：计算函数在当前点的梯度，即求解函数关于参数的偏导数。

c. 更新参数：根据当前点的梯度和学习率，通过减去梯度的乘积来更新参数的值。

Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。

无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。

而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。

本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。

一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。

其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。

然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。

2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。

它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。

相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。

3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。

它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。

然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。

二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。

它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。

然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。

2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。

与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。

内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。

三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。

它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。

信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。

2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。

它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。

遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。

标题：利用MATLAB中的共轭梯度法求解优化问题正文：一、概述在数学和工程领域中，优化问题是一个重要的研究领域。

优化问题的目标是寻找一个能够最大化或最小化某个函数的变量的数值，使得该函数达到最优值。

而共轭梯度法是一种常用的优化算法，能够有效地解决大规模的线性和非线性优化问题。

本文将介绍如何利用MATLAB中的共轭梯度法来求解优化问题。

二、共轭梯度法简介共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解无约束优化问题。

它是一种在局部搜索过程中利用历史信息的优化方法，通常用于求解大规模的线性和非线性优化问题。

共轭梯度法基于数学中的共轭梯度概念，通过迭代寻找下降最快的路径，从而逐步逼近最优解。

三、MATLAB中的共轭梯度法函数MATLAB提供了丰富的优化算法和函数，其中包括了共轭梯度法函数。

在MATLAB中，可以使用“fmincg”函数来调用共轭梯度法来求解无约束优化问题。

该函数可以接收目标函数、初始变量值和其他参数作为输入，并计算出最优解。

四、使用共轭梯度法求解优化问题的步骤1. 确定目标函数在使用共轭梯度法求解优化问题之前，首先需要确定目标函数。

目标函数可以是线性函数、非线性函数或者带有约束条件的函数。

在MATLAB中，需要将目标函数定义为一个函数句柄，并且确保该函数具有输入参数和输出数值。

2. 确定初始变量值在使用共轭梯度法求解优化问题时，需要提供初始的变量值。

这些初始变量值可以是任意的数值，但通常需要根据实际问题进行合理选择。

3. 调用共轭梯度法函数在确定了目标函数和初始变量值之后，可以调用MATLAB中的“fmincg”函数来求解优化问题。

该函数会根据目标函数、初始变量值和其他参数进行迭代计算，直到找到最优解为止。

4. 获取最优解可以通过“fmincg”函数的输出结果来获取最优解。

该结果通常包括最优变量值和最优目标函数值。

五、优化问题的案例分析下面以一个简单的优化问题为例，说明如何利用MATLAB中的共轭梯度法来求解。

数值分析第二次作业学院：电子工程学院基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为[2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947 /895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244].要求：1）Gauss_Sedel迭代法；2）最速下降法；3）共轭梯度法；4）将结果进行分析对比。

解：根据题目要求，编写了对应算法的matlab程序，求解结果如下：（求解精度为10e-4，最大迭代次数1000）1、方程的解：如下图1所示图1 三种方法求解的结果对比图2 Gause_Sedel算法收敛特性图3 最速下降法收敛特性图3 共轭梯度法收敛特性从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共轭梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.000454秒，而且求出解的精度最高；Gauss_Sedel方法需要465次迭代，耗时0.006779秒，求解精度最差；最速下降法需要398次迭代，耗时0.007595秒，求解精度与共轭梯度算法差不多，因此两者求出的解也几乎相同。

从中可以得出结论，共轭梯度算法无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上几乎与共轭梯度算法持平，但求解速度更慢。

Gauss_Sedel方法在求解精度和速度两方面都最差。

具体的解为:Gauss_Sedel迭代法:(共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5) X=[0.995328360833192 1.01431732497804 1.052861239300110.934006974137998 0.931493373808838 0.9665081384030661.00661848511341 1.03799789809258 1.051806903036541.06215849948572 1.04857676431223 1.028561990411131.01999170162638 0.971831831519515 0.9525261666348130.916996019179182].最速下降法:(共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5)X=[0.998835379744322 1.01507463472900 0.9825890937201850.980191460759243 0.991245169713628 1.003780222253291.01350884374478 1.01928337905816 1.020859096651941.01930314197028 1.01444777381651 1.007040589892970.998384452250809 0.987399404644377 0.9757678149709120.963209150871750].共轭梯度法:(共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5)X=[0.996472751179456 1.02707840189049 0.9776233734098530.973206695321590 0.986133032967607 1.001289025642341.01322158496914 1.02047386502293 1.023009050605651.02163015083975 1.01678089454399 1.009203108638740.999772406055155 0.988443827498859 0.9760941924969490.962844741655005].Matlab程序主程序:clc;clear;%% 本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析并比较，也可推广至任意n维的矩阵方程%%A=hilb(16); %生成希尔伯特系数矩阵b=[2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;166 9/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244]; %右端向量M=1000; %最大迭代次数err=1.0e-4; %求解精度[x,n,xx,cc,jingdu]=yakebi_diedai(A,b,err,M); % 雅克比算法求解tic;[x1,n1,xx1,cc1,jingdu1]=gauss_seidel(A,b,err,M); % gauss_seidel算法求解toc;tic;[x2,n2,xx2,jingdu2]=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M); % 最速下降法求解toc;tic;[x3,flag,jingdu3,n3]=bicg(A,b,err); % matlab内置双共轭梯度算法求解toc;tic;[x4,xx4,n4,jingdu4]=con_grad(A,b,err,M); % 教材共轭梯度算法求解toc;%% 计算相应结果，用于作图%%num=[1:16]';jie=[num,x1,x2,x4]; % 三者的解对比% 三者的收敛情况对比num1=[1:n1]';fit1=[num1,jingdu1'];num2=[1:n2]';fit2=[num2,jingdu2'];num4=[1:n4]';fit4=[num4,jingdu4'];子函数1(Gause_Sedel算法):function [x,n,xx,cc,jingdu] = gauss_seidel(A,b,err,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是高斯赛尔得迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数cc 迭代矩阵普半径jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解for ii=1:length(b)if A(ii,ii)==0x='error';break;endendD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)\U;cc=vrho(B); %迭代矩阵普半径FG=(D-L)\b;x0=zeros(length(b),1);x=B*x0+FG;k=0;xx(:,1)=x;while norm(A*x-b)>errx0=x;x=B*x0+FG;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endjingdu(k)=norm(A*x-b);endend子函数2(最速下降算法):function [x,n,xx,jingdu]=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是最速下降迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% % M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);x=x0+t0*r0;r=b-A*x;xx(:,1)=x;k=0;while norm(r)>epsr=r;x=x;t=r'*r/(r'*A*r);x=x+t*r;r=b-A*x;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend子函31(共轭梯度法):function [x,xx,n,jingdu]=con_grad(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是共轭梯度迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;p0=r0;% t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);% x=x0+t0*r0;% xx(:,1)=x;k=0;x=x0;r=r0;p=p0;while norm(r)>epsx=x;r=r;p=p;afa=r'*r/(p'*A*p);x1=x+afa*p;r1=r-afa*A*p;beta=r1'*r1/(r'*r);p1=r1+beta*p;x=x1;r=r1;p=p1;k=k+1;xx(:,k)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend。

共轭梯度法matlab中文：共轭梯度法（Conjugate Gradient），是一种非常有效的求解对称大型线性系统的近似解的算法。

使用共轭梯度法来求解线性系统最终收敛于最小值，它是在不构造正定矩阵时，可以快速求解系统的一个有效解法。

拉格朗日方程，线性系统通常表示为Ax = b，其中A为系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知标量或未知向量。

给定矩阵A和b，共轭梯度法可以用来求解x。

共轭梯度法的基本思想是，不断改变梯度的方向直到梯度收敛为零。

梯度收敛的定义是：在不同的两个迭代过程中，两个梯度的乘积的值小于一个特定的参数。

由于梯度的收敛程度越小，时间复杂度也就越低。

matlab中，我们可以使用共轭梯度法导入函数cgs来解决线性系统的代数方程。

语句形式为[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b)，其中A是系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知量，flag表示结束状态，relres为相对残差，iter表示迭代次数，resvec为残差向量。

若要解决Ax = b，即：A = [1 2;3 4]我们用matlab cgs 函数进行求解，可以这样写:[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b);flag表示收敛情况，flag=0代表收敛，flag=-1代表系数矩阵A不能被处理。

relres 是收敛的相对误差，iter是迭代次数，resvec是残差向量，x为未知量。

上面的程序可以得到flag=0，relres=1.537e-14，iter=13，resvec=[1.0135e-14]。

上面的解为x=[-1;1]，解析解一致，表明matlab cgs函数可以成功求解对称大型线性方程组。

最后，共轭梯度法是一种近似求解线性系统的有效算法，它的优势是具有快速的收敛性，在计算时省去构造正定矩阵的时间，并且稳定。

共轭梯度法在bp算法中的应用及其matlab仿真共轭梯度法在BP算法中的应用：BP神经网络的训练通常会涉及到对于权值矩阵的更新，而梯度下降法是最常用的一种训练方法。

然而梯度下降法存在一些问题，例如收敛速度慢，易陷入局部最优解等。

因此，人们开始尝试使用共轭梯度法对权值矩阵进行更新。

共轭梯度法在更新权值矩阵时可以更快地找到全局最优解。

共轭梯度法是一种迭代法，其思想是不断地利用之前的搜索方向来确定下一个搜索方向，从而加快搜索速度。

在BP神经网络的训练中，共轭梯度法就是针对误差函数进行优化，同时也就是针对权值矩阵进行更新。

具体来说，共轭梯度法主要可以分为以下几个步骤：1.初始化权值矩阵和搜索方向；2.计算误差函数的梯度；3.利用搜索方向计算误差函数在该方向上的最小值；4.更新权值矩阵和搜索方向；5.判断是否满足一定的停止条件，如果满足，则结束迭代。

通过以上步骤，共轭梯度法可以更快地找到全局最优解，从而提高了BP神经网络的训练效率。

Matlab中实现共轭梯度法的代码：在Matlab中，可以使用cg函数来实现共轭梯度法。

cg函数的输入为一个函数句柄和一个初始向量，输出为最优解和最优值。

我们可以以一元二次方程的最小化为例，来展示如何利用cg函数实现共轭梯度法。

代码如下：function [x_star, f_star] = cg_example。

%定义目标函数。

%定义目标函数的梯度。

%定义初始向量。

x0=0;。

% 调用cg函数。

[x_star, f_star] = cg(f, df, x0);。

其中，cg函数的具体实现可以参考Matlab的官方文档。

在实际应用时，需要根据具体的问题来定义目标函数和梯度函数，以及初始向量。

共轭梯度法优缺点数值代数实验报告一、实验名称：用共轭梯度法解线性方程组。

二、实验目的：进一步熟悉理解掌握共轭梯度法解法思路，提高matlab 编程能力三、实验要求：已知线性方程矩阵，应用共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。

四、实验原理：1．共轭梯度法：考虑线性方程组A某b的求解问题，其中A是给定的n阶对称正定矩阵，b是给定的n维向量，某是待求解的n维向量.为此,定义二次泛函TT(某)某A某2b某.定理1设A对称正定,求方程组A某b的解，等价于求二次泛函(某)的极小值点.定理1表明，求解线性方程组问题就转化为求二次泛函(某)的极小值点问题.求解二次函数极小值问题，通常好像盲人下山那样，先给定一个初始向量某0，确定一个下山方向p0，沿着经过点某0而方向为p0的直线某某0p0找一个点某某p，1000使得对所有实数有某p某p，00000即在这条直线上某1使(某)达到极小.然后从某1出发，再确定一个下山的方向p1，沿着直线某某p再跨出一步，即找到1使得某在某2某11p1达到极小：11某p某p.11111重复此步骤，得到一串0,1,2,L和p0,p1,p2,L，称pk为搜索方向，k为步长.一般情况下，先在某k点找下山方向pk，再在直线某某p上确定步长k使kk某p某pkkkkk,最后求出某某p.然而对不同的搜索方向和步长，得到各种不同的算法.k1kkk1由此，先考虑如何确定k.设从某k出发，已经选定下山方向pk.令f某pkkTT某pA某p2b某pkkkkkk2T2TpAprp某，kkkkk其中rkbApk.由一元函数极值存在的必要条件有TTf2pAp2rp0kkkk所确定的即为所求步长，即k步长确定后，即可算出TrpkkkTpApkk.某某p.k1kkkT此时，只要rp0，就有kk即某某.k1k某某某p某2k1kkkkkTrpkk2T2T0pAprpkkkkkkTpApkk再考虑如何确定下山方向pk.易知负梯度方向是(某)减小最快的方向，但简单分析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向，而从整体来看并非最佳.故采用新的方法寻求更好的下山方向——共轭梯度法.下面给出共轭梯度法的具体计算过程:给定初始向量某0，第一步仍选用负梯度方向为下山方向，即p0r0，于是有Trr00,某某p,rbA某.0T100010pAp00对以后各步，例如第k+1步（k1）,下山方向不再取rk，而是在过点由向量rk和pk1所张成的二维平面2{某|某某krkpk1,,R}内找出使函数下降最快的方向作为新的下山方向pk.考虑在2上的限制：,(某krkpk)1T(某rp)A(某rp)kkk1kkk1T2b(某rp).kkk1计算关于,的偏导得：TTT2rArrAprr,kkkk1kkTT2rAppAp,T其中最后一式用到了rp10，这可由rk的定义直接验证.令kk1k1k1kk0，即知在2内有唯一的极小值点某%某rp，k0k0k12其中0和0满足TTTrArrAprr0kk0kk1kk,TTrAppAp0kk10k1k10.由于rk0必有00，所以可取1p某%某rpkkkk100作为新的下山方向.显然，这是在平面2内可得的最佳下山方向.令0 k，则可1得Tkk1.k1TpApk1k1T注：这样确定的pk满足pAp10，即pk与pk1是相互共轭的.kk总结上面的讨论，可得如下的计算公式：Trpkk，某k1某kkpk，kTpApkkrbA某，k1k1Tk1k，pk1rk1kpk.kTpApkk在实际计算中，常将上述公式进一步简化，从而得到一个形式上更为简单而且对称的计算公式.首先来简化rk1的计算公式：r1bA某1bA(某p)rAp.kkkkkkkk因为Apk在计算k是已经求出，所以计算rk1时可以不必将某k1代入方程计算，而是从递推关系rk1bkApk得到.再来简化k和k的计算公式.此处需要用到关系式TTTrr1rp1r1p0,k1,2,K.kkkkkk从而可导出1rrr,，k1k1k111kTTTpApprrprkkkkk1kk1T1Tkkrrprr.kkk1k1kkkk由此可得TTrrrrkk11.kk,.kTkTpAprrkkkk从而有求解对称正定方程组的共轭梯度法算法如下：某初值rbA某；k000whilerk0kk1ifk1pr003eleTTkrkrkrkrk21122k1k1k2k2endTTkrkrkpkApk11111某某pkk1k1k1rrApkk1k1k1end某某k注：该算法每迭代一次仅需要使用系数矩阵A做一次矩阵向量积运算.定理2由共轭梯度法得到的向量组r和pi具有如下基本性质：iT（1）pr0，0ijk;T（2）rr0，ij，0i,jk;ijT（3）pAp0，ij，0i,jk;ij（4）pan{r,K,rk}pan{p,K,pk}(A,r,k1)，000其中k(A,r,k1)pan{r,Ar,K,Ar}，0000通常称之为Krylov子空间.下面给出共轭梯度法全局最优性定理：定理3用共轭梯度法计算得到的近似解某k满足某min某:某某(A,r,k)k00或某某某某某某Ark，某min某:0(,0,)kAA其中T某某A某，某某是方程组A某b的解，(A,r0,k)是由所定义的Krylov子空间.A定理2表明，向量组r0,K,rk和p0,K,pk分别是Krylov子空间(A,r0,k1)的正交基和共轭正交基.由此可知，共轭梯度法最多n步便可得到方程组的解某某.因此，理论上来讲，共轭梯度法是直接法.然而实际使用时，由于误差的出现，使rk之间的正交性很快损失，以致于其有限步终止性已不再成立.此外，在实际应用共轭梯度法时，由于一般n很大，以至于迭代On次所耗费的计算时间就已经使用户无法接受了.因此，实际上将共轭梯度法作为一种迭代法使用，而且通常是r是否已经很小及迭代次数是否已经达到最大允许的迭代次数kma某来终止迭代.从而得到解对称正定线性方程组的实用共轭梯度法，其算法如下：某初值4k0;rbA某;Trrwhilebandkkma某2kk1ifk1prele%;prpendTApp某某pTrr;%;rrend算法中，系数矩阵A的作用仅仅是用来由已知向量p产生向量Ap，这不仅可以充分利用A的稀疏性，而且对某些提供矩阵A较为困难而由已知向量p产生向量Ap又十分方便的应用问题是十分有益的。

syms x1 x2；f=4*（x1)^2-4＊（x1）＊(x2）+3＊（x2)^2+x1;％函数表达式%f=8*(x1）^2+4*(x1)*（x2）+5*(x2)^2;X=—10:0.1：10; Y=—10：0。

1：10;[X，Y］=meshgrid(X，Y)；Z=4.＊X.^2-4.＊X。

＊Y+3。

＊Y.^2+X;mesh(X,Y,Z)contour（X,Y,Z)x0=［10 10］'；％初始点v=［x1，x2］；mu=0。

01；％最小误差gradf=gradient（f);%函数的梯度H=jacobian（gradf，v）;h0=subs（H，[x1；x2］，x0）；%在点x0处的Hessiang0=subs(gradf，[x1;x2］,x0);％在点x0处的梯度值if g0’*g0〈mu%检验是否满足精度条件minf=subs(f，[x1；x2],x0）;%函数的最小值return;endd0=-g0;％搜索方向alpha=-（g0’＊d0)/（d0'*h0＊d0）;％步长xk=x0+alpha＊d0;%下一点gk=subs（gradf，[x1；x2],xk）;%梯度值beta=gk’*gk/(g0'＊g0)；%求搜索方向时的系数dk=-gk+beta＊d0;%下一个方向x0=xk;％更新点g0=gk；%更新所在点的梯度d0=dk；%更新方向while g0’*g0>mualpha=-（g0’＊d0）/(d0’*h0＊d0);%步长xk=x0+alpha*d0;%下一点gk=subs(gradf，［x1;x2］,xk）;％梯度值beta=gk’＊gk/（g0’*g0)；％求搜索方向时的系数dk=—gk+beta＊d0；％下一搜索方向x0=xk;％更新点g0=gk；％更新所在点的梯度d0=dk；％更新方向hk=subs（H,[x1;x2］,x0)；％在点xk处的梯度值h0=hk；%更新矩阵endminf=subs（f,[x1；x2］,xk）%函数的最小值xk。

共轭梯度法是一种在求解最优化问题时常用的算法。

下面是一个在MATLAB 中实现共轭梯度法的简单示例。

请注意，这个示例是为了教学目的而编写的，可能不适用于所有最优化问题。

首先，假设我们有一个目标函数f(x)，我们需要找到使得f(x) 最小化的x。

假设f(x) 是一个二次函数，形式为f(x) = x^T Ax + b^T x + c，其中A 是对称正定矩阵，b 和c 是常数向量和标量。

以下是一个使用MATLAB 实现共轭梯度法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = conjugate_gradient(A, b, x0, tol, max_iter)% A -目标函数的系数矩阵% b -目标函数的常数向量% x0 -初始解% tol -容忍的误差% max_iter -最大迭代次数x = x0;r = b - A*x;p = r;iter = 0;while (norm(r) > tol) && (iter < max_iter)Ap = A*p;alpha = (p'*r) / (p'*Ap);x = x + alpha*p;r = r - alpha*Ap;beta = (r'*r) / (p'*r);p = r + beta*p;iter = iter + 1;endend```这个函数接受一个对称正定矩阵A，一个常数向量b，一个初始解x0，一个容忍的误差tol，和一个最大迭代次数max_iter 作为输入，并返回最优解x 和迭代次数iter。

注意，这个函数没有包括一些可能的特殊情况处理，例如如果A 是奇异的或者接近奇异的，那么这个函数可能无法正确地收敛。

在使用这个函数之前，你可能需要根据你的具体问题对其进行一些修改和增强。

双共轭梯度法matlab 概述及解释说明1. 引言1.1 概述引言部分将介绍“双共轭梯度法(Matlab)”，该方法是一种用于解决优化问题的迭代算法，常用于求解大规模线性方程组、最小二乘问题和非线性最优化等。

本文将全面讲解双共轭梯度法的基础知识、算法流程及其在MATLAB中的应用与实现。

1.2 文章结构本文按照以下方式组织：- 第二节将介绍双共轭梯度法的基础知识，包括梯度下降法、共轭梯度法和双共轭梯度法的简介。

- 第三节将详细阐述双共轭梯度法的算法流程及具体步骤解释，包括初始化步骤、迭代更新步骤以及收敛准则和结束条件设定。

- 第四节将以MATLAB为工具，展示双共轭梯度法在实践中的应用与实现举例。

这一部分将给出MATLAB代码编写指导原则，描述一个示例问题，并说明求解过程和结果分析。

- 最后一节是结论与展望，总结了双共轭梯度法的优点和局限性，并提供对未来可能的研究方向的展望和建议。

1.3 目的本文旨在介绍双共轭梯度法的原理、算法流程及其在MATLAB中的实际应用。

读者将通过本文了解如何使用该方法解决优化问题，并深入理解算法背后的理论基础。

同时，本文还将探讨双共轭梯度法存在的局限性，并展望未来可能的研究方向，为相关领域的研究提供参考。

2. 双共轭梯度法基础知识2.1 梯度下降法简介梯度下降法是一种优化算法，用于求解无约束问题的最小值。

其基本思想是通过沿着目标函数的负梯度方向进行迭代更新，以逐步减小目标函数值。

具体而言，对于一个可微分的目标函数f(x)，初始值$x_0$被选为起点，然后通过以下公式进行迭代更新：$$x_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k)$$其中$\alpha_k$是步长或学习率，$\nabla f(x_k)$表示在点$x_k$处的梯度（即函数$f(x)$在$x_k$处的导数）。

该过程将重复执行直到满足预设的终止条件。

2.2 共轭梯度法简介共轭梯度法是一种高效的迭代方法，用于解决对称正定线性系统的问题。

a03共轭梯度法编程MK7FCCK282Z3SVMK6CZBW26Q6LZ9 MKHMNXTJJQ4S83MKMDE2RESG33HSP90 第二章 11（2）用大M法求解min w=2x1+x2-x3-x4s.t x1-x2+2x3-x4=22x1+x2-3x3+x4=6x1+x2+x3+x4=7xi≥0, i = 1, 2, 3, 4用matlab求解如下：f=[2,1,-1,-1,200,200,200];a=[1 -1 2 -1 1 0 0;2 1 -3 1 0 1 0;1 1 1 1 0 0 1];b=[2 6 7];lb=zeros(7,1);[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,[],[],a,b,lb) Optimization terminated.运行结果如下：x =3.00000.00001.00003.00000.00000.00000.0000fval =2.0000exitflag =1output =iterations: 7algorithm: 'large-scale: interior point'cgiterations: 0message: 'Optimization terminated.'lambda =ineqlin: [0x1 double]eqlin: [3x1 double]upper: [7x1 double]lower: [7x1 double]从上述运行结果可以得出：最优解为x= ，最小值约为f*=2。

P151 第三章 26用共轭梯度算法求f(x) = (x1-1)^2+5*(x2-x1^2)^2的极小点，取初始点x0= 。

用matlab求解如下：function mg=MG()%%共轭梯度法求解习题三第26题%clc;clear;n=2;x=[2 0]';max_k=100;count_k=1;trace(1,1)=x(1);trace(2,1)=x(2);trace(3,1)=f_fun(x);k=0;g1=f_dfun(x);s=-g1;while count_k<=max_kif k==ng0=f_dfun(x);s=-g0;k=0;elser_min=fminbnd(@(t) f_fun(x+t*s),-100,100);x=x+r_min*s;g0=g1;g1=f_dfun(x);if norm(g1)<10^(-6)break;endm=(norm(g1)^2)/(norm(g0)^2);s=-g1+m*s;count_k=count_k+1;trace(1,count_k)=x(1);trace(2,count_k)=x(2);trace(3,count_k)=f_fun(x);k=k+1;endendcount_kxf=f_fun(x)function g=f_dfun(x)g(1,1)=20*x(1)^3-20*x(1)*x(2)+2*x(1)-2;g(2,1)=10*x(2)-10*x(1)^2;function f=f_fun(x)f=5*x(1)^4-10*x(1)^2*x(2)+x(1)^2-2*x(1)+1+5*x(2)^2;运行结果如下：k =59x0 =1.00001.0000f0 =从上述运行结果可以得出：最优解为x= ，最小值约为f*=0。

用MATLAB实现共轭梯度法求解实例介绍共轭梯度法是一种迭代优化算法，用于求解线性方程组或最小化二次函数的问题。

在本文档中，我们将使用MATLAB来实现共轭梯度法，并通过一个实例来演示它的应用。

共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化算法，用于求解形如Ax=b的线性方程组。

它的主要思想是利用迭代过程中的残差和共轭梯度的特性，逐步逼近方程的解。

共轭梯度法的优点是收敛速度快，尤其适用于大规模稀疏线性方程组的求解。

共轭梯度法的具体步骤共轭梯度法的具体步骤如下： 1. 初始化解向量x和残差r，令初始残差r0等于b减去Ax的乘积，初始搜索方向p等于r0。

2. 迭代更新解向量： - 计算搜索步长α：α等于r的转置乘以r除以p的转置乘以Ap的乘积。

- 更新解向量和残差：x等于x加上α乘以p，r等于r减去α乘以Ap。

- 计算残差的L2范数：如果残差的L2范数小于预设阈值，停止迭代；否则，继续迭代。

- 计算搜索方向的系数β：β等于r的转置乘以r除以上一次迭代的残差r的转置乘以上一次迭代的残差r的乘积。

- 更新搜索方向：p等于r加上β乘以上一次迭代搜索方向p。

3. 输出解向量x，即为线性方程组的解。

实例在这个实例中，我们将使用共轭梯度法来求解以下线性方程组：A = [4, -1, 0; -1, 4, -1; 0, -1, 4]b = [5; 5; 10]首先，我们将初始化解向量x、残差r和搜索方向p：A = [4, -1, 0; -1, 4, -1; 0, -1, 4];b = [5; 5; 10];x = zeros(size(b)); % 初始化解向量xr = b - A*x; % 初始化残差rp = r; % 初始化搜索方向p然后，我们将进行迭代更新解向量：while norm(r) > 1e-6% 设置迭代终止条件为残差的L2范数小于1e-6Ap = A*p; % 计算Apalpha = (r'*r) / (p'*Ap); % 计算搜索步长alphax = x + alpha*p; % 更新解向量xr_new = r - alpha*Ap; % 计算新的残差rbeta = (r_new'*r_new) / (r'*r); % 计算搜索方向系数betap = r_new + beta*p; % 更新搜索方向pr = r_new; % 更新残差rend最后，输出解向量x的值：x共轭梯度法是一种有效的迭代优化算法，用于求解线性方程组。

主题：matlab共轭梯度法求解方程组近年来，随着科学技术的不断发展，数学建模和计算机仿真成为科学研究和工程技术领域的重要手段。

在实际应用中，我们常常需要解决线性方程组的求解问题，而共轭梯度法作为一种高效的迭代求解方法，广泛应用于信号处理、图像处理、地球物理勘探和优化问题等领域。

本文将介绍如何利用matlab中的共轭梯度法求解线性方程组的基本原理和实际操作方法。

1. 共轭梯度法的基本原理共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定线性方程组Ax=b。

该方法的核心思想是通过一系列的迭代操作，逐步逼近方程组的解，直到满足一定的精度要求。

在每一步迭代中，共轭梯度法利用残差和方向向量的共轭性质，不断寻找最优的步长，从而实现方程组的求解。

2. matlab中共轭梯度法的基本调用方法在matlab中，调用共轭梯度法求解线性方程组非常简单。

需要将方程组的系数矩阵A和右端向量b输入到matlab中，然后利用内置函数conjugateGradient进行求解。

具体的调用方法如下：x = conjugateGradient(A, b, x0, maxIter, tol)其中，A为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始解向量，maxIter为最大迭代次数，tol为精度要求。

调用完毕后，matlab将返回方程组的近似解x。

3. 共轭梯度法在实际工程中的应用共轭梯度法作为一种高效的求解方法，在工程技术领域得到了广泛的应用。

以图像处理为例，图像处理中经常需要解决大规模的线性方程组，而共轭梯度法能够高效地求解这类问题，提高了图像处理算法的效率和稳定性。

另外，在地球物理勘探中，共轭梯度法也被广泛应用于三维数据的快速处理和解释。

可以说，共轭梯度法在实际工程中发挥着重要的作用。

4. 共轭梯度法的优缺点分析尽管共轭梯度法具有非常高的效率和稳定性，但是该方法也存在一些缺点。

该方法只适用于对称正定的线性方程组，对于一般的线性方程组并不适用。

共轭梯度法的收敛速度受到方程条件数的影响，对于病态问题，可能收敛速度较慢。

最优化计算方法及其matlab程序实现以最优化计算方法及其MATLAB程序实现为标题的文章最优化计算是一种重要的数学方法，可以用于解决各种实际问题。

最优化计算的目标是找到一个使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。

在实际应用中，最优化计算广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。

在最优化计算中，常用的方法有无约束优化方法和约束优化方法。

无约束优化方法用于求解没有约束条件的最优化问题，常见的方法有牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等。

约束优化方法用于求解带有约束条件的最优化问题，常见的方法有拉格朗日乘子法、KKT条件法等。

MATLAB是一种强大的数值计算软件，它提供了丰富的最优化计算函数和工具箱，可以方便地实现各种最优化计算方法。

下面将介绍几种常用的最优化计算方法及其在MATLAB中的实现。

1. 牛顿法牛顿法是一种基于一阶和二阶导数信息的优化方法，可以用于求解无约束最优化问题。

其基本思想是通过一阶导数和二阶导数信息来逼近目标函数的局部极小值点。

在MATLAB中，可以使用fminunc函数实现牛顿法。

2. 梯度下降法梯度下降法是一种基于一阶导数信息的优化方法，可以用于求解无约束最优化问题。

其基本思想是沿着目标函数梯度的反方向进行搜索，以找到目标函数的极小值点。

在MATLAB中，可以使用fminunc函数实现梯度下降法。

3. 共轭梯度法共轭梯度法是一种基于一阶导数信息的优化方法，可以用于求解无约束最优化问题。

其基本思想是通过迭代的方式，利用前一次迭代的搜索方向和当前的梯度信息来更新搜索方向，以加速收敛速度。

在MATLAB中，可以使用fminunc函数实现共轭梯度法。

4. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种用于求解带有等式约束和不等式约束的最优化问题的方法。

其基本思想是将带约束的优化问题转化为一个不带约束的优化问题，在目标函数中引入拉格朗日乘子，并通过求解原问题和对偶问题的极值点来得到最优解。

在MATLAB中，可以使用fmincon函数实现拉格朗日乘子法。