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生命表基本函数

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生命表函数与生命表构造

生命表函数与生命表构造

1 1 1 1 1 d t d t d t ... d 1 l0 2 t 0 t 1 t 2

1 1 1 1 1 [ d 0 (1 )d1 (2 )d 2 .... ( 1 )d 1 ] l0 2 2 2 2 (3.11)
ln
s ( x n) ln n p x s ( x)
xn x
故 n p x exp(
y dy) exp( x s ds
0 t 0
n
同样，对于t p x exp( x s ds)
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) s ( x t ) G (t ) 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
• 概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ 0， 1 ）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
q x t p x x t dt
0
nm
qx
nm t

《保险精算》之三--生命表

《保险精算》之三--生命表
�
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数

寿险精算第二讲：生命表构成及应用

寿险精算第二讲：生命表构成及应用

生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。

从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。

研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。

在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。

生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。

生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。

是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。

即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。

一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。

这种生命表成为实际同批人生命表。

但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。

通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。

这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。

2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。

（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。

由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。

（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。

保险精算之三生命表

保险精算之三生命表

11
生存分布

一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
12
新生儿的生存函数

F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F ( x) Pr(X x)
( x 0)
f x F ' x , x 0

s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s( x) 1 F ( x) Pr(X x)
( x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
Pr(x X z) F ( z) F ( x) s( x) s( z)
13
新生儿的生存函数
10
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积， 而s(x)曲线形状如下图所示，
lx=l0s(x)
14
x岁余寿的生存函数

x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t
qx Pr[T ( x) t ]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示

x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t 0 n 1
n1 qx
4
生命表基本函数

第三章 生命函数和生命表66

第三章 生命函数和生命表66

选择-终极表实例
[x] 选择表 终极5 76 77 .0175 .0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326
q[ x ]+1 q[ x ]+2 q[ x ]+3 q[ x ]+4
.0249 .0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464 .0313 .0342 .0374 .0409 .0447 .0489 .0535 .0586 .0388 .0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727 .0474 .0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889
lx = l0 .p(x > x) = l0 .s(x)
2. dx: 0岁的人在x岁和x+1岁间死亡的人数
dx = l0[s(x) − s(x +1)] = lx − lx+1
3. px :x岁的人在至少存活一年的概率
px
=P(T>1)
4. qx :x岁的人在一年内死亡的概率 qx ＝P(T<1)
yqt s(x + t) − s(x + t + y) = s(x + t) 1− tqx
q = y x+t
例2 ：设张某在3个月前满75岁，在年龄内均匀分布 假设下，求其在5年内死亡的概率。
5
p75.25 =0.75 p75.25⋅4 p76 ⋅0.25 p80
中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）
年龄 （x） 75 76 77 78 79 80 死亡率 生存人数 死亡人数 生存人年数 平均余命 0

保险精算 第三章 生命表基础(一)

保险精算 第三章 生命表基础(一)

s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17

当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17

3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1

,
0 x

式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)

x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17

概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k

《保险精算》3.1生命函数

4、Weibull假设（1939年）
kx n 1 s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
x kxn
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
x

,0 x
qx
s ( x) s ( x 1) s( x)
第3章 生命表基础
3.1 生命函数
为什么要研究生命表？
人寿保险 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定 时期内死亡或生存为给付条件 被保险人寿命的长短对于保险人来说非常重要 对生命表的研究是研究寿险精算的基础
3.1生命函数
3.1.1 分布函数
用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，X是连续型随机变量，则X的 分布函数是F(X) F(X) = Pr(X≤x)，x≥0 这是0岁的人在x岁之前死亡的概率，F(0)=0 X的概率密度函数极为f(x)，则 f(x)=F’(x), x≥0
k
q x s( x k ) s( x k 1)
s ( x)
1 xk

1
x

(1 1 x
x 1

)


x k 1 (1 ) 1 x



1 x
1 x
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
用fT(t)来表示T的概率密度函数： fT(t)=F’T(t)=-*s’(x+t)/s(x)] 用tqx表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则 tqx=Pr[T(x)≤t]，t≥0

第八讲 生存分布与生命表

10
有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
µx =
1 ω−x x s( x) = 1 −
ω
,
0 ≤ x ≤ω
Gompertze模型(1825)
µ x = Bc x
s ( x) = exp{− B (c x − 1)} , B > 0,c > 1,x ≥ 0
11
有关寿命分布的参数模型
3
管理方式和费用不同
31
团险种类
团体寿险
团体意外险 团体年金
团体健康险
32
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) = µ x ⋅ s ( x) = µ x ⋅ exp{− ∫ µ s ds}
0 x
死亡效力表示未来寿命的密度函数 g (t )
s( x) − s( x + t ) FT (t ) = 1 − t px = s( x) d d s( x) − s ( x + t ) s( x + t ) µ x +t = t px ⋅ µ x +t fT (t ) = G (t ) = = dt dt s ( x) s ( x)
lx = l0 ⋅ s ( x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数：d x n 特别：n=1时，记作 d x
n
d x = lx − lx + n = lx ⋅ n qx
d x = lx − lx +1 = lx ⋅ qx
16
生命表的构造
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
10
2、 30 5 q 20
3、
0

第二章 生命表函数与生命表构造

第二章生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。

2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。

这四个常用模型的拟合效果不令人满意。

（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。

（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。

2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。

生命表算法

生命表函数及计算通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。

以下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。

1、年龄区间[x,x+1][x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。

通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。

2、生存人数l x设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。

生存人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。

在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，但为方便，一般设为100 000人。

3、死亡人数d xd x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。

dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，不同于实际人口死亡数。

根据定义可知l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)4、死亡概率q xq x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。

以x至x+1的死亡人数d z占x岁存活人数l x的比例表示。

q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。

l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x5、生存人年数L xx岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。

人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。

把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：L x=1tx ttl dt++⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：L x =(l x +l x+1)/2又根据公式(7.23)得：L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。

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0
1 1 1 ω −1 1 平均寿命为: e0 = ( l1 + l2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + dt l0 2 l0 t =0 2
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx + lx+1 1 Lx = = lx+1 + d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx =
( 2 ) qω −1 =
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x + n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx − lx + n n d x = n qx = lx lx 当n = 1时， x = qx . 1q
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x + 1岁时仍然存活的概率。 lx +1 px = , px + qx = 1 lx
生命表的通常函数
1. x : 年 龄 ， 在 生 命 表 中 的 范 围 ， − − (ω − 1) 岁 。 x取 整 数 值 。 0 2.l x : 存 活 到 确 切 整 数 年 龄 x岁 的 人 数 。 x = 0,1, K , ω − 1。 l0 = 100000,1000000, K > l1 > l 2 > L
(1) l0
( 2 ) lω
=0
3.d x : x岁 的 存 活 人 在 x岁 这 一 整 年 内 的 死 亡 人 数 。 (1)l x − l x +1 = d x lx =
n
(2)l0 = d 0 + d 1 + d 2 + L + d ω −1
ω − x −1
∑
t =0
m
当n = 0时， x = qx . q 0
nm
x + n + m岁之间死亡的概率，
m
d x + n lx + n − lx + m+ m = = n px − m + n px = n px n m qx = lx lx
0
qx + n
7. e x : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望 生存的平均年数。
0
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25. 解： Ex：p69ex3.1,3.2
0
ω − x −1
t =0
∑L
x +t
Tx 1 ω − x−1 e x = = ∑ Lx+t lx lx t = 0 1 ω − x−1 1 1 1 = ∑ lx+t +1 + d x+t = ( lx+1 + lx+2 + ... + lω −1 ) + lx t =0 2 2 lx Tx 1 ω − x−1 1 ω − x−1 lx+t + lx+t +1 1 ω − x−1 1 另,e x = = ∑ Lx+t = ∑ = l ∑ t + 2 d x+t lx lx t = 0 lx t =0 2 x t =0
d x+t
d x : 表 示 在 x岁 到 x + n岁 之 间 死 亡 的 人 数 ， 用 公 式 表 示 即 为 ：
n
d x = lx − lx+ n
4.qx : 死亡率，表示x岁的人在一年内死亡的概率。 (1)qx = dx , x = 0,1,K , ω − 1 lx dω −1 lω −1 − lω = =1 lω −1 lω −1
0
e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 ω − x−1 1 ex = ( lx+1 + lx+2 + L + lω −1 ) + = ∑ t + d x+t lx 2 lx t = 0 2
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率，用公式表示即为：
n
px =
lx + n ,n px + n qx = 1 lx
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n + 1年死亡的概率。
n
lx + n − lx + n +1 d x + n lx + n d x + n qx = = = = n px qx + n lx lx lx lx + n qx : 表示x岁的人在x + n
理论基础：个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法：1 编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数，这个 数称为确定基数。 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数，计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω ：在极限年龄ω 极限年龄ω ：在极限年龄ω时，该群体的 存活人数为0 存活人数为0。
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡 的全部过程。
本章主要内容
• • • • • 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。 根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。